Лекции

Лекции 4-5. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения плоского движения, число степеней свободы. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс. Соотношение между скоростями двух любых точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС. Различные способы определения угловой скорости. Соотношение между ускорениями двух любых точек плоской фигуры. Понятие о мгновенном центре ускорений. Различные способы определения углового ускорения. Пример ОЛ4-5.14.

ОЛ-1, гл. 3, §§ 3.1-3.9.

Лекции 6-7. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнения движения. Мгновенная ось вращения. Векторы угловой скорости и углового ускорения. Скорости точек тела: векторная и скалярная формулы Эйлера. Формулы Пуассона. Ускорения точек тела. Пример Л5-19.4. Общий случай движения свободного твердого тела. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.

ОЛ-1, гл. 4, гл. 5.

Лекции 8-9. Сложное движение точки, основные понятия и определения. Полная и локальная производные вектора, формула Бура. Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса, правило Жуковского. Частные случаи. Примеры: Л4-7.9, 7.18. Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений, сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

ОЛ-1, гл. 6, гл. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

Студенты самостоятельно изучают тему «Сложение вращений вокруг параллельных осей, пара вращений».

ОЛ-1, гл. 7, § 7.3.

Лекция 10. Понятие о криволинейных координатах. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения в цилиндрических и сферических координатах.

ОЛ-1, гл. 1, § 1.4.

Семинары

Занятие 5. Определение скоростей точек твердого тела при его плоском движении. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС, определение угловой скорости тела.

Ауд.: ОЛ5-16.29, Л4-5.6,5.7,5.14.

Дома: ОЛ4-5.8,5.15,5.20.

Занятие 6. Определение ускорений точек плоской фигуры по соотношению между ускорениями двух любых ее точек и с помощью мгновенного центра ускорений. Различные способы определения углового ускорения.

Ауд.: ОЛ5-18.11, Л4-5.26,5.30.

Дома: ОЛ4-5.21, 5.28.

Занятие 7

Ауд.: ОЛ4-5.38, 5.37.

Дома: ОЛ4-5.39, 5.43.

Занятие 8 Определение скоростей и ускорений точек твердых тел при плоском движении в системах с одной степенью свободы.

Ауд.: ОЛ4-5.40.

Дома: ОЛ4-5.41.

Занятие 9. Решение задач типа ДЗ-2 «Кинематика плоского движения твердого тела»

Ауд.: Задачи типа ДЗ-2.

Дома: ДЗ-2, МП 5-7.

Занятие 10. Определение скоростей и ускорений точек при заданных переносном и относительном ее движениях.

Занятие 11. Определение скоростей и ускорений точек в сложном движении при известной траектории ее абсолютного движения.

Ауд.: ОЛ5-23.18,23.27,23.30, ОЛ4-7.17.

Дома: ОЛ4-7.6(7.3),7.16(7.13).

Занятие 12. Решение задач типа ДЗ-3 «Сложное движение точки»

Ауд.: ОЛ4-7.34 (7.29). Задачи типа ДЗ-3.

Дома: ДЗ №3, МП 8-10.

Модуль 3: Статика

Лекции

Лекция 11. Статика, основные понятия и определения. Аксиомы статики. Основные виды связей и их реакции: гладкая поверхность, цилиндрический шарнир, шаровой шарнир, подпятник, гибкая нить, шарнирный стержень.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.1, 8.2.

Лекция 12. Система сходящихся сил, условия равновесия. Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки или оси. Векторный и алгебраический моменты пары.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.3-8.5.

Лекция 13. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. Лемма о параллельном переносе силы. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил – основная теорема статики.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6.

Лекция 14. Главный вектор и главный момент системы сил. Формулы для их вычисления. Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи: система параллельных сил, плоская система сил – основная форма. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей, распределенные силы. Примеры: Л5-4.26, Л4-2.17. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6, гл. 9, § 9.1.

Лекции 15-16. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Равновесие системы тел. Силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Задачи статически определенные и статически неопределенные. Равновесие тела на шероховатой поверхности. Трение скольжения. Законы Кулона. Угол и конус трения. Пример Л5-5.29. Трение качения. Коэффициент трения качения.

ОЛ-1, гл. 9, § 9.2, гл. 10.

Лекция 17. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил. Центр тяжести тела: объема, площади, линии. Методы нахождения центра тяжести: метод симметрии, метод разбиения на части, метод отрицательных масс. Примеры.

ОЛ-1, гл. 11.

Семинары

Занятие 13.

Ауд.: ОЛ5-2.19,2.29,4.17,4.25.

Дома: Л4-1.3, 1.5.

Занятие 14. Определение реакций при равновесии плоской системы тел.

Ауд.: ОЛ4-1.14,1.15,1.17.

Дома: Л4-1.12, 1.16, МП 11,14.

Занятие 15. Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил.

Ауд.: ОЛ4-1.26, Л5-8.17, 8.19.

Дома: ОЛ4-1.24,1.25,1.29.

Занятие 16 Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил. Решение задач типа ДЗ-4.

Ауд.: ОЛ5-8.26, Л4-2.12,2.18,2.19.

Дома: ОЛ4-2.16, ДЗ №4, МП 12-14.

Занятие 17. Определение сил при равновесии с учетом трения.

Ауд.: ОЛ5-5.26,5.28, Л4-1.39 (1.38).

Дома: ОЛ4-1.43(1.42),1.46(1.45).

Модуль 4: Экзамен

Экзамен проводится по материалам модулей 1-4.

Самостоятельная подготовка

· Проработка курса лекций, учебников, методических пособий по темам лекций 1 – 17, семинаров 1 – 17

· Выполнение домашних заданий №№ 1–4.

· Подготовка к письменным работам №№ 1–4 и их написание.

Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения : x A = f 1 (t), y A = f 2 (t), j = f 3 (t), точка А назыв. полюсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят.

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Если в теле провести некоторую прямую О 1 О 2 , перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.

Положение отрезка АВ, относительно системы координат определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления. Например, координаты точки А () и направление, заданное углом .

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат имеют вид: .

Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы.

называются уравнениями плоского движения твердого тела .

Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела. Положение любой точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат x и y точки М (Рис.6-3).

Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:

, (6-1)

где - длина отрезка ОМ, - постоянный угол между ОМ и осью . С учетом выражений и получаем

, (6-2)

Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки М плоской фигуры относительно координат . Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:

, (6-3)

где А – матрица поворота на плоскости:

, , , .

Разложение плоского движения на поступательное

И вращательное движения.

Теорема . Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное.

В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2. Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2 вокруг точки A", называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с некоторой точкой тела (полюсом) и вращение вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.

Число степеней свободы при плоском движении равно трем. Выберем точку А тела – полюс. Две координаты зададут перемещение полюса, а третья – угол поворота – вращение вокруг полюса:

,
,
.

Последние выражения называются уравнениями плоского движения твердого тела.

3.2. Скорости точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр скоростей

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Радиус вектор точкиВ
,
, так как это расстояние между двумя точками в твердом теле. Продифференцируем обе части этого равенства:
или
. Для
применим формулу производной от вектора, имеющего постоянный модуль:

– скорость точкиВ при вращении тела вокруг полюсаА . Тогда,
или
, где– вектор угловой скорости тела, он направлен по оси, проходящей через точкуА перпендикулярно к плоскости движения. Модуль– так какАВ лежит в плоскости, аперпендикулярна плоскости.

Мгновенным центром скоростей тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени угловая скорость тела
, то мгновенный центр скоростей существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
, скорость точкиА –. Проведем перпендикуляр вА к скоростии отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоР – мгновенный центр скоростей, т.е.
.

Скорость точки Р
,
, т.е.
, следовательно
, а значитР – мгновенный центр скоростей.

Пусть теперь тело совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей Р . Определим вначале скорость точкиА :,
; скорость точкиВ :
; тогда
. Следовательно скорости точек тела при плоском движении относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей.

3.3. Ускорение точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр ускорений

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Скорость точкиВ
. Продифференцируем обе части этого равенства:
. Обозначим
,
,
– угловое ускорение,
– скорость точкиВ относительно полюсаА ,. Введем обозначения:
– касательное (вращательное) ускорение точкиВ , при вращении тела вокруг полюсаА ,– вектор углового ускорения, направленный перпендикулярно к плоскости движения;– нормальное ускорение точкиB при вращении тела вокруг полюсаА . С учетом этих обозначений выражение для ускорения записывается следующим образом:
. Таким образом, ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения какой-либо другой точки тела (полюса) и ускорения точки тела при его вращении вокруг полюса. Если обозначить
, то
,
,
,
.

Мгновенным центром ускорений тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, ускорение которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени
и
, то мгновенный центр ускорений существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
,
ускорение точкиА –
. Проведем в точкеА луч под углом
к ускорению
и отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоQ – мгновенный центр ускорений, т.е.
.

Ускорение точки Q
,

,
,
,
, следовательно
, а значитQ – мгновенный центр ускорений. Тогда
,
,
.

Рассмотрим способы определения углового ускорения тела при плоском движении.

1. Если известен угол поворота
, то
.

2. Проецируя векторное уравнение
на ось, перпендикулярную ускорению точкиВ (при известных, направлении и величине
, направлении вектора
), получаем уравнение из которого определяем
и тогда
.

До сих пор при изучении движения точки (отдельной точки, точки тела) мы всегда предполагали, что система координат Oxyz, относительно которой рассматривается движение, является неподвижной. Теперь рассмотрим случай, когда система координат Oxyz также движется, так что движутся как точка М, так и система координат Oxyz - по отношению к другой системе координат являющейся неподвижной (рис. 111). Этот случай, когда движение точки М рассматривается одновременно в двух системах координат - подвижной и неподвижной, называется сложным движением точки.

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением. Ее скорость и ускорение по отношению к неподвижным осям называются соответственно абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением.

Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью (обозначается ) и относительным ускорением . Индекс - от латинского слова relativus (относительный).

Движение подвижной системы координат вместе с неизменно связанными с ней геометрическими точками относительно неподвижной системы координат называется переносным движением. Переносной скоростью и переносным ускорением точки М называются скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат точки М, неизменно связанной с подвижными осями, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка М. Индекс e - от латинского enteiner (увлекать с собой).

Понятия переносной скорости и переносного ускорения являются более тонкими. Приведем следующее дополнительное пояснение. В процессе относительного движения точка М оказывается в различных местах (точках) подвижной системы координат.

Обозначим М ту точку подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка М Точка М движется вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы с некоторой скоростью и ускорением . Эти величины и служат переносной скоростью и переносным ускорением точки М:

Сделаем еще два замечания.

1. Подвижные и неподвижные координатные оси, фигурирующие в постановке задачи о сложном движении, нужны лишь для общности постановки задачи. На практике роль систем координат выполняют конкретные тела и предметы - подвижные и неподвижные.

2. Переносное движение или, что то же самое, движение подвижных осей относительно неподвижных, сводится к одному из движений твердого тела - поступательному, вращательному и т.д. Поэтому при вычислении переносной скорости и переносного ускорения следует пользоваться соответствующими правилами, установленными для различных видов движения тела.

Скорости и ускорения в сложном движении связаны строгими математическими зависимостями - теоремой сложения скоростей и теоремой сложения ускорений.