Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны .

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения этих прямых.

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой, хотя проекции их могут пересекаться или быть параллельными.

Точки пересечения этих проекций не лежат на одной линии связи. Одной точке 1 v соответствуют две точки 1 н и 1" н . Эти точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости V (Рис.2.9а, б, в).

Рис. 2.9. Взаимное положение отрезков на эпюре:

А) параллельные; б) пересекающиеся; в) скрещивающиеся

2.3.1. Конкурирующие точки

Точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими относительно этой плоскости (Рис.2.10а, б).

По конкурирующим точкам определяется видимость геометрических образов на эпюре. Видимой на данной проекции всегда будет та из конкурирующих точек, которая лежит дальше от этой плоскости проекций, следовательно, ближе к зрителю. Точки А и В являются фронтально конкурирующими. На фронтальной плоскости проекции будет видима точка А , т.к. она дальше от плоскости V и ближе к наблюдателю. Точки А и С – горизонтально конкурирующие. На горизонтальной плоскости проекций будет видима также точка А , т.к. она отстоит от плоскости Н дальше, чем точка С .

Рис. 2.10. Конкурирующие точки: а) в диметрии; б) на эпюре

2.4. Проекции плоских углов

Две пересекающиеся прямые образуют плоский угол.

Если угол расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.

В общем случае плоский угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется на эту плоскость с искажением.

2.4.1. Теорема о проекциях прямого угла

Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций , а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).

Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:

А) на фронтальной плоскости проекции; б) на горизонтальной плоскости проекции

Доказательство : Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н . Тогда имеем: ВАС = 90˚; АВ || Н ; АА н Н . Докажем, что В н А н С н = 90º (Рис.2.12). А н АВ = 90°, т.к. фигура АА н ВВ н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВ АС ; АВ АА н ). Поэтому АВ Q , но А н В н || АВ отсюда и А н В н Q , а это означает, что В н А н С н = 90º.

Рис 2.12 Проекция прямого угла

Задача: Определить расстояние от точки А до фронтали (Рис.2.13).

Решение . Прямой угол между искомым перпендикуляром и фронталью ВС проецируется в натуральную величину на плоскость V . Натуральная величина перпендикуляра АК может быть найдена методом прямоугольного треугольника.

Рис. 2.13. Определение расстояния от точки А до фронтали ВС

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.

Под углом между прямыми в плоскости понимают меньший (острый) из двух смежных углов образованными этими прямыми.

Если прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=к 1 х+b 1 и у=к 2 х+b 2, то угол φ между ними вычисляется по формуле

Условие параллельности прямых l 1 и l 2 имеет вид

а условие их перпендикулярности

k 1 = - (или k 1 k 2 = - 1)

Если прямые l 1 и l 2 заданы общими уравнениями А 1 х+B 1 y+C 1 =0 и А 2 х+B 2 y+C 2 =0,

то величина φ угла между ними вычисляется по формуле

tg φ=

угловые их параллельности

(или А 1 В 2 -А 2 В 1 =0)

Условие их перпендикулярности

А 1 А 2 +В 1 В 2 =0

Для нахождения общих точек прямых l 1 и l 2 необходимо решить систему

уравнений

А 1 х+В 1 у+С 1 =0, у=k 1 x+b 1

или

А 2 х+B 2 y+C 2 =0, у=k 2 x+b 2

При этом:

Если
, то имеется единственная точка пересечения прямых;

Если
- прямые l 1 и l 2 не имеет общей точки, т. е параллельны;

Если
-прямые имеют бесконечное множество точек т.е совпадают

Расстоянием d от точки М 0 (х 0 ;у 0) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние d определяется по формуле

d=

Расстояние от точки М 0 (х 0 ;у 0) до прямой х cos + y sin- p=0 вычисляется по формуле

d=

ПРИМЕР: найти угол между прямыми:

1) y=2x-3 и y=
;

2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;

3) y=
и 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 и y=5x-2;

=arctg
);

Задания для практических занятий:

1. Найти угол между прямыми:

1) у=0,5х-3 и у=2х-2;

2) 2х-3у-7=0 и 2х-у+5=0;

3) у=х+6 и 3х-2у-8=0;

4) у= 7х -1 и у=7х+1;

1) 3х+5у-9=0 и 10х-6у+4=0

2) 2х+5у-2=0 и х+у+4=0;

3) 2у=х-1 и 4у-2х+2=0;

4) х+8=0 и 2х-3=0;

5)
=1 и у=х+2;

6) х+у=0 и х-у=0

7)у+3=0 и 2х+у-1=0;

8) у=3-6х и 12х+2у-5=0;

9) 2х+3у=8 и х-у-3=0

10) х -у-1=0 и х +у+2=0

3. При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны.

1) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0;

2) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0;

3) 4х+у-6=0 и 3х+у-2=0;

4) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0;

4.Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0; х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

5. Найти уравнение прямой, проходящий через точку А (-1;2):

а) параллельно прямой у=2х-7;

б) перпендикулярно прямой х+3у-2=0.

6. Найти длину высоты ВД в треугольнике с вершинами А (4;-3); В (-2;6) и С (5;4).

7. Даны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х-11у-29=0 и 3х-у+11=0.

Найти вершины этого треугольника.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти острый угол между прямыми:

1) у=3х и у= - х

2) 2х-3у+6=0 и 3х-у-3=0

4) 3х+4у-12=0 и 15х-8у-45=0

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 2х-3у+4=0 и 10х+3у-6=0

2) 3х-4у+12=0 и 4х+3у-6=0

3) 25х+20у-8=0 и 5х+4у+4=0

4) 4х+5у-8=0 и 3х-2у+4=0

5) у=3х+4 и у=-3х+2

3. Найти уравнение прямой, проходящий через точку В (2;-3)

а) параллельно прямой, соединяющей точки М 1 (-4;0) и М 2 (2;2);

б) перпендикулярно прямой х-у=0.

4. Составить уравнение прямой, содержащий высоту ВД в треугольнике с вершинами

А (-3;2), В (5;-2), С (0; 4)

5. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2х+у+4=0, х+7у-11=0 и 3х-5у-7=0.

6.Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

7. Дан четырехугольник АВСД с вершинами А (3;5); В (6;6); С (5;3); Д (1;1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

8.Даны вершины треугольника А(2;-2), В (3;5), С (6;1). Найти:

1) длины сторон АС и ВС;

2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС;

3) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из В;

4) длину этой высоты;

5) уравнение прямой, на которой лежит медиана проведенная из точки А;

6) длину этой медианы;

7) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

8) центр тяжести треугольника;

9) площадь треугольника;

10) угол С;

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1)Параллельны;

2)Перпендикулярны; 3)Параллельны; 4)Пересекаются; 5)Пересекаются;

3. а)х-3у-11=0; б)х+у+1=0; 4. 3х+2у-11=0; 5. 13; 6. 7х-у=0 и 17у-28=0; 7. а)(4;4);

б); 8. 1) -5;5 2) 4х+3у-27=0,3х-4у-14=0; 3) 4х+3у-27=0; 4) 5; 5) 2х-у-6=0; 6) ; 7) х+7у-13=0; 8) (;); 9); 10)

Если провести через данные параллельные прямые АВ и С D плоскости, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, то эти две плоскости будут параллельны, и в их пересечении с плоскостью H будут получены две взаимно параллельные прямые A "B " и C "D ", являющиеся ортогональными проекциями данных прямых АВ и CD на горизонтальную плоскость проекций (рис. 25).

Аналогичным образом можно получить и ортогональные проекции данных прямых на фронтальную плоскость V.

На комплексном чертеже одноименные проекции параллельных прямых параллельны: A "B "C "D " и A ""B ""C ""D "" (рис. 25).

Пересекающиеся прямые

Взаимно пересекающиеся прямые имеют общую точку, например, отрезки прямых АВ и CD пересекаются в точке К . Проекции пересекающихся прямых пересекаются, и точки их пересечения (K " и K "") лежат на одной линии связи - перпендикуляре к оси x (рис. 26).

Скрещивающиеся прямые

Это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. На комплексном чертеже проекции скрещивающихся прямых (прямые АВ и CD ) могут пересекаться, но точки пересечения (1 ,2 и 3 ,4 ) лежат на разных линиях связи (рис. 27). Точкам пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых соответствуют в пространстве две точки: в одном случае -1 и 2 , а в другом -3 и 4 , расположенные на прямых. На чертеже точке пересечения горизонтальных проекций прямых соответствует две фронтальные проекции точек 1 "" и 2 "". Аналогично - с точками 3 и 4 .

Прямые линии и организация пространства

Прямые линии – простой, но очень
выразительный элемент:
-линия делит плоскость на
отдельные
части;
-линия помогает объединить
композицию
в единое целое;
-линия, в большей мере, чем
прямоугольник
влияет на ритмическое построение
композиции.

Фронтальная и глубинные композиции из линий
и прямоугольников

даже самыми простыми средствами
можно достичь эмоциональной
образности

Линия - это не «похудевший
прямоугольник», а самостоятельный
изобразительный элемент Линия придает
выразительность всей композиции. В
работах, где линия навылет (от края до края
листа), она как бы выносит
изобразительное действие за рамки и
делает композицию открытой, разомкнутой
и более интересной.
Тонкие, длинные и
ровные линии режутся
по линейке

Работая
над
своими
композициями,
добивайтесь различия в крупности планов,
потому что это создает изобразительное
многоголосие, интонационное богатство и,
соответственно, большую выразительность
композиции.

ЗАДАНИЯ
Прямые линии - элемент организации плоскостной
композиции.
1. Расположением и взаимным пересечением 3-4 прямых линий
разной толщины добейтесь гармоничного членения
пространства (используйте линии навылет).
2. Создайте композицию из 2-3 прямоугольников и 3-4 прямых
линий, которые своим расположением связывают элементы в
единое композиционное целое. Создайте: а) фронтальную
композицию; б) глубинную композицию.
3. Из произвольного количества элементов сделайте интересную
композицию.
Ритмически расположив элементы на плоскости, добейтесь
эмоционально-образного впечатления (например, «полета», сужения», «замедления» и т.д.).
Задания можно выполнить на компьютере.

Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:

Прямые совпадают;

Прямые параллельны (но не совпадают);

Прямые пересекаются;

Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.

Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)

Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)

Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.

Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):

Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.

Сведем все условия воедино:

Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.

Пример 6.4.

Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:

Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.

Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем