Площ на повърхността, образувана от въртене. Как да намерите площта на въртене с помощта на интеграла. Изчисляване на площта на въртене, дадена параметрично

Поздрави, скъпи студенти от Argemony University!

Днес ще продължим да изучаваме материализацията на обектите. Последния път завъртяхме плоски фигури и получихме триизмерни тела. Някои от тях са много примамливи и полезни. Мисля, че много от това, което магьосникът изобретява, може да се използва в бъдеще.

Днес ще завъртим кривите. Ясно е, че по този начин можем да получим някакъв предмет с много тънки ръбове (конус или бутилка за отвари, ваза за цветя, чаша за напитки и т.н.), защото една въртяща се крива може да създаде точно такива обекти . С други думи, чрез завъртане на кривата можем да получим някаква повърхност - затворена от всички страни или не. Защо точно сега си спомних дупчестата чаша, от която сър Шърф Лонли-Локли пиеше през цялото време.

Така че ще създадем течаща купа и неперфорирана и ще изчислим площта на създадената повърхност. Мисля, че по някаква причина тя (като цяло повърхността) ще е необходима - добре, поне за нанасяне на специална магическа боя. И от друга страна, зоните с магически артефакти може да са необходими за изчисляване на магическите сили, приложени към тях или нещо друго. Ще се научим как да го намерим и ще намерим къде да го приложим.

И така, част от парабола може да ни даде формата на купа. Нека вземем най-простото y=x 2 на интервала . Вижда се, че при въртене около оста OY се получава просто купа. Без дъно.

Заклинанието за изчисляване на повърхността на въртене е както следва:

Тук |y| е разстоянието от оста на въртене до всяка точка от кривата, която се върти. Както знаете, разстоянието е перпендикуляр.
Малко по-трудно с втория елемент на заклинанието: ds е разликата в дъгата. Тези думи не ни дават нищо, така че нека не се занимаваме, а да преминем към езика на формулите, където тази разлика е изрично представена за всички случаи, които са ни известни:
- декартова координатна система;
- записи на кривата в параметричен вид;
- полярна координатна система.

За нашия случай разстоянието от оста на въртене до всяка точка на кривата е x. Разглеждаме повърхността на получената купа с дупки:

За да направите купа с дъно, трябва да вземете друго парче, но с различна крива: на интервала това е линията y=1.

Ясно е, че когато се върти около оста OY, дъното на купата ще се получи под формата на кръг с единичен радиус. И ние знаем как се изчислява площта на кръг (според формулата pi * r ^ 2. За нашия случай площта на кръга ще бъде равна на pi), но ще го изчислим използвайки нова формула - за проверка.
Разстоянието от оста на въртене до всяка точка от тази част от кривата също е x.

Е, нашите изчисления са правилни, което радва.

И сега домашна работа.

1. Намерете повърхността, получена чрез завъртане на полилинията ABC, където A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), около оста OX.
съвет. Запишете всички сегменти в параметрична форма.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Между другото, как изглежда полученият елемент?

2. Е, сега измислете нещо сами. Три елемента мисля, че са достатъчни.

Пример:Намерете обема на сфера с радиусР.

В напречните сечения на топката се получават кръгове с променлив радиус y. В зависимост от текущата координата x, този радиус се изразява с формулата.

Тогава функцията на площта на напречното сечение има формата: Q(x) = .

Получаваме обема на топката:

Пример:Намерете обема на произволна пирамида с височина H и основна площС.

При пресичане на пирамидата с равнини, перпендикулярни на височината, в разрез получаваме фигури, подобни на основата. Коефициентът на сходство на тези фигури е равен на отношението x / H , където x е разстоянието от равнината на сечението до върха на пирамидата.

От геометрията е известно, че отношението на площите на подобни фигури е равно на коефициента на подобие на квадрат, т.е.

От тук получаваме функцията на площите на напречните сечения:

Намиране на обема на пирамидата:

Обемът на телата на въртене.

Разгледайте кривата, дадена от уравнението y=f(x ). Да приемем, че функцията f(x ) е непрекъснат на отсечката [ a , b ]. Ако съответният криволинеен трапец с основи a и b завъртаме около оста х, тогава получаваме т.нар тяло на революцията.

y=f(x)

Площ на повърхността на тялото на въртене.

М и Б

определение: Повърхностна площ на въртенекрива AB около дадена ос е границата, към която се стремят площите на повърхностите на въртене на начупени линии, вписани в кривата AB, когато най-голямата от дължините на връзките на тези начупени линии клони към нула.

Нека разделим дъгата AB на n части по точки M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координатите на върховете на получената полилиния имат координатите x i и y i . Когато начупената линия се върти около оста, получаваме повърхност, състояща се от странични повърхности на пресечени конуси, чиято площ е равна на D P i . Тази област може да се намери с помощта на формулата:

Ако кривата е дадена чрез параметрични уравнения, тогава повърхността, получена чрез завъртане на тази крива около оста, се изчислява по формулата . В същото време „посоката на рисуване“ на линията, за която толкова много копия бяха счупени в статията, е безразлична. Но, както в предишния параграф, важно е кривата да е разположена по-високабсцисната ос - в противен случай функцията "отговорна за играчите" ще приеме отрицателни стойности и ще трябва да поставите знак минус пред интеграла.

Пример 3

Изчислете площта на сферата, получена чрез завъртане на кръга около оста.

Решение: от материалите на статията за площ и обем с параметрично зададена линиязнаете, че уравненията определят окръжност с център в началото с радиус 3.

добре и сфера , за тези, които са забравили, е повърхността топка(или сферична повърхност).

Ние се придържаме към разработената схема на решение. Нека намерим производни:

Нека съставим и опростим корена на "формулата":

Излишно е да казвам, че се оказа бонбон. Вижте за сравнение как Фихтенголц блъска глави с площада елипсоид на революцията.

Според теоретичната забележка разглеждаме горния полукръг. Той се "начертава" при промяна на стойността на параметъра в рамките (лесно се вижда това на този интервал), по този начин:

Отговор:

Ако проблемът е решен в общ изглед, тогава получавате точно училищната формула за площта на една сфера, където е нейният радиус.

Нещо болезнено прост проблем, дори се срамувах .... Предлагам ви да коригирате тази грешка =)

Пример 4

Изчислете повърхността, получена чрез завъртане на първата дъга на циклоидата около оста.

Задачата е творческа. Опитайте се да изведете или интуитивно да разберете формулата за изчисляване на повърхността, получена чрез завъртане на крива около оста y. И, разбира се, трябва отново да отбележим предимството параметрични уравнения- не е необходимо да се модифицират по никакъв начин; няма нужда да се занимавате с намирането на други граници на интеграция.

Циклоидната графика може да видите на страницата Площ и обем, ако линията е зададена параметрично. Повърхността на въртене ще прилича на ... дори не знам с какво да го сравня ... нещо неземно - заоблено със заострена вдлъбнатина в средата. Тук за случая на въртене на циклоидата около оста мигновено се сети асоциацията - продълговата топка за ръгби.

Решение и отговор в края на урока.

Завършваме нашия увлекателен преглед с един случай полярни координати. Да, това е преглед, ако погледнете учебниците по математически анализ (от Фихтенголц, Бохан, Пискунов и други автори), можете да получите добра дузина (или дори значително повече) стандартни примери, сред които е напълно възможно да ви ще намерите проблема, от който се нуждаете.

Как да изчислим площта на въртене,
ако линията е дадена в полярна координатна система?

Ако кривата е настроена на полярни координатиуравнение и функцията има непрекъсната производна на даден интервал, тогава повърхностната площ, получена чрез завъртане на тази крива около полярната ос, се изчислява по формулата , където са ъгловите стойности, съответстващи на краищата на кривата.

В съответствие с геометричния смисъл на задачата подинтегралната функция и това се постига само ако ( и е известно, че са неотрицателни). Следователно е необходимо да се вземат предвид стойностите на ъглите от диапазона, с други думи, кривата трябва да бъде разположена по-високполярната ос и нейните продължения. Както можете да видите, същата история като в предишните два параграфа.

Пример 5

Изчислете повърхността, образувана от въртенето на кардиоида около полярната ос.

Решение: графиката на тази крива може да се види в Пример 6 от урока за полярна координатна система. Кардиоидът е симетричен спрямо полярната ос, така че разглеждаме горната му половина върху празнината (което всъщност също се дължи на горната забележка).

Повърхността на въртене ще прилича на око.

Техниката на решение е стандартна. Нека намерим производната по отношение на "phi":

Съставете и опростете корена:

Надявам се със свръхщатни тригонометрични формулиникой не е имал проблеми.

Използваме формулата:

Между , следователно: (Описах подробно как правилно да се отървете от корена в статията Дължина на дъгата на кривата).

Отговор:

Интересна и кратка задача за самостоятелно решаване:

Пример 6

Изчислете площта на сферичния колан,

Какво е колан с топка? Поставете кръгъл необелен портокал на масата и вземете нож. Направи две паралеленнарязани, като по този начин разделяте плода на 3 части с произволни размери. Сега вземете средата, в която сочната каша е изложена от двете страни. Това тяло се нарича сферичен слой, и неговата гранична повърхност (портокалова кора) - топка колан.

Читателите запознати с полярни координати, лесно представи чертежа на проблема: уравнението определя окръжност с център в полюса на радиус , от който лъчи отрязвам по-малъкдъга. Тази дъга се върти около полярната ос и така се получава сферичен пояс.

Сега можете да ядете портокал с чиста съвест и леко сърце, на тази вкусна бележка ще завършим урока, не разваляйте апетита си с други примери =)

Решения и отговори:

Пример 2:Решение : изчислете площта на повърхността, образувана от въртенето на горния клон около оста x. Използваме формулата .
В такъв случай: ;

По този начин:

Отговор:

Пример 4:Решение : използвайте формулата . Първата дъга на циклоидата е определена върху сегмента .
Нека намерим производни:

Съставете и опростете корена:

Така че площта на въртене е:

Между , Ето защо

Първи интегралинтегрирайте по части :

Във втория интеграл, който използваметригонометрична формула .

Отговор:

Пример 6:Решение : използвайте формулата:

Отговор:

Висша математика за задочници и не само >>>

(Отидете на главната страница)

Как да изчислим определен интеграл
използвайки формулата на трапеца и метода на Симпсън?

Числените методи са доста голям раздел от висшата математика и сериозните учебници по тази тема имат стотици страници. На практика в контролна работатрадиционно се предлага за решаване на някои проблеми чрез числени методи, а един от често срещаните проблеми е - приблизително изчисление определени интеграли. В тази статия ще разгледам два метода за приблизително изчисляване на определен интеграл − трапецовиден методИ метод на Симпсън.

Какво трябва да знаете, за да овладеете тези методи? Звучи смешно, но може изобщо да не можете да вземете интеграли. И дори не разбират какво са интеграли. От техническите средства ще ви трябва микрокалкулатор. Да, да, чакаме рутинни училищни изчисления. Още по-добре, изтеглете моя полуавтоматичен калкулатор за трапецовиден метод и метод на Симпсън. Калкулаторът е написан на Excel и ще ви позволи да намалите десетократно времето за решаване и обработка на задачи. Включено е видео ръководство за чайници Excel! Между другото, първото видео с моя глас.

Първо, нека си зададем въпроса защо изобщо са необходими приблизителни изчисления? Изглежда възможно да се намери първоизводната на функцията и да се използва формулата на Нютон-Лайбниц, като се изчисли точната стойност на определен интеграл. Като отговор на въпроса, нека веднага разгледаме демо пример с картина.

Изчислете определен интеграл

Всичко би било наред, но в този пример интегралът не е взет - преди вас не е взет, т.нар интегрален логаритъм. Съществува ли изобщо този интеграл? Нека изобразим графиката на интегранта на чертежа:

Всичко е наред. Интегранд непрекъснатовърху сегмента и определеният интеграл е числено равен на защрихованата област. Да, това е само един проблем - интегралът не се взема. И в такива случаи на помощ идват числените методи. В този случай проблемът възниква в две формулировки:

1) Изчислете приблизително определения интеграл , като резултатът се закръгля до определен знак след десетичната запетая. Например до два знака след десетичната запетая, до три знака след десетичната запетая и т.н. Да приемем, че получавате приблизителен отговор 5,347. Всъщност може да не е съвсем правилно (всъщност да кажем, че по-точният отговор е 5,343). Нашата задача е само в товаза да закръглите резултата до три знака след десетичната запетая.

2) Изчислете приблизително определения интеграл, с определена точност. Например, изчислете приблизително определения интеграл с точност до 0,001. Какво означава? Това означава, че ако се получи приблизителен отговор от 5,347, тогава всичкофигурите трябва да са стоманобетонни правилно. За да бъдем по-точни, отговорът 5.347 трябва да се различава от истината по модул (в една или друга посока) с не повече от 0.001.

Има няколко основни метода за приблизително изчисляване на определен интеграл, който се среща в задачи:

Правоъгълен метод. Участъкът на интегриране се разделя на няколко части и се изгражда стъпкова фигура ( стълбовидна диаграма), която е близка по площ до желаната област:

Не съдете стриктно по чертежите, точността не е перфектна - те само помагат да се разбере същността на методите.

В този пример сегментът на интеграция е разделен на три сегмента:
. Очевидно, колкото по-често е разделянето (колкото повече по-малки междинни сегменти), толкова по-висока е точността. Методът на правоъгълниците дава грубо приближение на площта, очевидно, следователно, той е много рядък на практика (спомних си само един практически пример). В тази връзка няма да разглеждам метода на правоъгълниците и дори няма да дам проста формула. Не поради мързел, а поради принципа на моята книга с решения: това, което е изключително рядко в практическите задачи, не се разглежда.

Трапецовиден метод. Идеята е подобна. Интеграционният сегмент е разделен на няколко междинни сегмента, а графиката на интегралната функция се приближава прекъсната линиялиния:

Така че нашата площ (синьо засенчване) е приблизително изчислена от сумата от площите на трапецовете (червено). Оттук и името на метода. Лесно се вижда, че методът на трапеца дава много по-добро приближение от метода на правоъгълника (със същия брой разделителни сегменти). И, разбира се, колкото повече по-малки междинни сегменти вземем предвид, толкова по-висока ще бъде точността. Методът на трапец се среща понякога в практически задачии няколко примера ще бъдат обсъдени в тази статия.

Метод на Симпсън (метод на парабола). Това е по-перфектен начин - графиката на интегранта се подхожда не с начупена линия, а с малки параболи. Колко междинни сегмента - толкова много малки параболи. Ако вземем същите три сегмента, тогава методът на Симпсън ще даде още по-точно приближение от метода на правоъгълника или метода на трапеца.

Не виждам смисъл в изграждането на чертеж, тъй като визуално приближението ще бъде насложено върху графиката на функцията (прекъснатата линия на предишния параграф - и дори тогава почти съвпадна).

Задачата за изчисляване на определен интеграл с помощта на формулата на Симпсън е най-популярната задача в практиката. И на метода на параболите ще бъде отделено значително внимание.

Нека е дадено тяло в пространството. Нека неговите сечения са построени от равнини, перпендикулярни на оста, минаваща през точките x
на нея. Площта на фигурата, образувана в разреза, зависи от точката х, която определя равнината на сечението. Нека тази зависимост да бъде позната и да бъде дадена непрекъснато функция. След това обемът на частта от тялото, разположена между равнините х=аИ x=vизчислено по формулата

Пример.Нека намерим обема на ограничено тяло, затворено между повърхността на цилиндър с радиус :, хоризонтална равнина и наклонена равнина z=2y и лежащо над хоризонталната равнина.

Очевидно разглежданото тяло е проектирано върху оста на сегмента
, и за x
напречното сечение на тялото е правоъгълен триъгълник с крака y и z=2y, където y може да бъде изразено чрез x от уравнението на цилиндъра:

Следователно площта на напречното сечение S(x) е:

Прилагайки формулата, намираме обема на тялото:

Изчисляване на обемите на телата на въртене

Нека върху сегмента [ а, b] е непрекъсната знакоконстантна функция г= f(х). Обем на въртеливо тяло, образувано от въртене около ос о(или брадви OU) криволинеен трапец, ограничен от крива г= f(х) (f(х) 0) и директно y=0, x=a, x=b, се изчисляват по формулите:

, ( 19)

(20)

Ако едно тяло е образувано от въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от крива
и директно х=0, г= ° С, г= д, тогава обемът на тялото на въртене е равен на

. (21)

Пример.Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос о.

Съгласно формула (19), желаният обем

Пример.Нека правата y=cosx се разглежда в равнината xOy на сегмента .

д тази линия се върти в пространството около оста и получената повърхност на въртене ограничава някакво тяло на въртене (виж фиг.). Намерете обема на това въртеливо тяло.

Според формулата получаваме:

Повърхностна площ на въртене

,
, се върти около оста Ox, тогава повърхността на въртене се изчислява по формулата
, Където аИ b- абсцисите на началото и края на дъгата.

Ако дъгата на кривата, дадена от неотрицателна функция
,
, се върти около оста Oy, тогава повърхността на въртене се изчислява по формулата

където c и d са абсцисите на началото и края на дъгата.

Ако е дадена дъгата на кривата параметрични уравнения
,
, и
, Че

Ако дъгата е настроена на полярни координати
, Че

Пример.Изчислете площта на повърхността, образувана от въртене в пространството около оста на частта от правата y= разположен над граничната линия.

защото
, тогава формулата ни дава интеграла

Нека направим промяната t=x+(1/2) в последния интеграл и ще получим:

В първия от интегралите от дясната страна правим промяната z=t 2 -:

За да изчислим втория от интегралите от дясната страна, ние го обозначаваме и интегрираме по части, получавайки уравнение за:

Премествайки се наляво и разделяйки на 2, получаваме

където най-накрая,

Приложения на определения интеграл за решаване на някои задачи на механиката и физиката

Работа с променлива сила. Помислете за движението на материална точка по оста ОХпод действието на променлива сила f, в зависимост от позицията на точката хпо оста, т.е. сила, която е функция х. Тогава работете А, необходими за преместване на материална точка от позиция х = ав позиция х = bизчислено по формулата:

Да изчисля сили на налягане на течносттаизползвайте закона на Паскал, според който налягането на течност върху платформа е равно на нейната площ Сумножено по дълбочината на потапяне ч, върху плътността ρ и ускорението на гравитацията ж, т.е.

1. Моменти и масови центрове на равнинни криви. Ако дъгата на кривата е дадена от уравнението y=f(x), a≤x≤b и има плътност
, Че статични моментина тази дъга, M x и M y по отношение на координатните оси Ox и Oy са

;

моменти на инерция I X и I y спрямо същите оси Ox и Oy се изчисляват по формулите

А координати на центъра на масата И - по формули

където l е масата на дъгата, т.е.

Пример 1. Намерете статичните и инерционните моменти около осите Ox и Oy на дъгата на контактната мрежа y=chx за 0≤x≤1.

Ако плътността не е посочена, кривата се приема за равномерна и
. Имаме: Следователно,

Пример 2Намерете координатите на центъра на масата на дъгата на окръжността x=acost, y=asint, разположена в първия квадрант. Ние имаме:

От тук получаваме:

В приложенията често е полезно следното. Теорема Гулдън. Повърхнината, образувана от въртенето на дъга от равнинна крива около ос, която лежи в равнината на дъгата и не я пресича, е равна на произведението на дължината на дъгата и дължината на окръжността, описана от нейната център на масата.

Пример 3Намерете координатите на центъра на масата на полукръга

Заради симетрията
. Когато полукръг се върти около оста Ox, се получава сфера, чиято повърхност е равна, а дължината на полукръга е равна на pa. По теоремата на Гулден имаме 4

Оттук
, т.е. центърът на масата C има координати C
.

2. Физически задачи.Някои приложения на определения интеграл при решаване на физически проблеми са илюстрирани по-долу в примерите.

Пример 4Скоростта на праволинейното движение на тялото се изразява с формулата (m / s). Намерете пътя, изминат от тялото за 5 секунди от началото на движението.

защото пътя, изминат от тялотосъс скорост v(t) за времевия интервал , се изразява с интеграла

тогава имаме:

П
пример.Нека намерим площта на ограничената област, лежаща между оста и правата y=x 3 -x. Тъй като

линията пресича оста в три точки: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

Ограничената зона между линията и оста се проектира върху сегмент
,и на сегмента
,линия y=x 3 -x преминава над оста (т.е. линия y=0 и на - По-долу. Следователно площта на района може да се изчисли, както следва:

П
пример.Намерете площта на областта, затворена между първия и втория завой на спиралата на Архимед r=a (a>0) и сегмент от хоризонталната ос
.

Първото завъртане на спиралата съответства на промяна на ъгъла в диапазона от 0 до, а второто - от до. Да донесе промяна на аргумента до една празнина, записваме уравнението на втория оборот на спиралата във формата
,

. Тогава площта може да се намери по формулата, като се постави
И
:

П пример.Нека намерим обема на тялото, ограничено от повърхността на въртене на правата y=4x-x 2 около оста (с
).

За да изчислим обема на въртящо се тяло, прилагаме формулата

П пример.Изчислете дължината на дъгата на правата y=lncosx, разположена между правите и
.

(взехме като стойност на корена, а не -cosx, тъй като cosx > 0 при
, дължината на дъгата е

Отговор:
.

Пример.Изчислете площта Q на повърхността на въртене, получена чрез завъртане на дъгата на циклоидата x=t-sint ; y=1-цена, с

, около оста.

д За да изчислим, прилагаме формулата:

Ние имаме:

, Така

За да преминем под знака за интеграл към променлива, отбелязваме, че когато

получаваме

, и

В допълнение, ние изчисляваме предварително

(Така
) И

Получаваме:

Правейки заместването, стигаме до интеграла

Преди да преминем към формулите за площта на повърхността на въртене, даваме кратка формулировка на самата повърхност на въртене. Повърхността на въртене или, което е същото, повърхността на въртеливото тяло е пространствена фигура, образувана от въртенето на сегмент ABкрива около оста вол(снимката по-долу).

Нека си представим криволинеен трапец, ограничен отгоре от споменатия сегмент на кривата. Тялото, образувано от въртенето на този трапец около същата ос вол, и има тяло на революцията. И повърхността на въртене или повърхността на ротационно тяло е неговата външна обвивка, без да се броят кръговете, образувани от въртене около оста на линиите х = аИ х = b .

Обърнете внимание, че тялото на въртене и съответно неговата повърхност може да се образува и чрез завъртане на фигурата не около оста вол, и около оста Ой.

Изчисляване на площта на повърхността на въртене, дадена в правоъгълни координати

Нека в правоъгълни координати в равнината от уравнението г = f(х) дадена е крива, чието въртене около координатната ос образува тяло на въртене.

Формулата за изчисляване на площта на въртене е следната:

(1).

Пример 1Намерете повърхността на параболоид, образуван от въртене около ос волдъгата на параболата, съответстваща на промяната хот х= 0 до х = а .

Решение. Изрично изразяваме функцията, която дефинира дъгата на параболата:

Нека намерим производната на тази функция:

Преди да използваме формулата за намиране на площта на повърхността на въртене, нека запишем частта от нейния интегранд, която е коренът, и да заместим производната, която току-що намерихме там:

Отговор: Дължината на дъгата на кривата е

Пример 2Намерете площта на повърхността, образувана от въртене около ос воластроиди.

Решение. Достатъчно е да изчислим повърхността, получена от въртенето на един клон на астроида, разположен в първата четвърт, и да го умножим по 2. От уравнението на астроида изрично изразяваме функцията, която ще трябва да заместим във формулата за да намерите повърхността на въртене:

Извършваме интеграция от 0 до а:

Изчисляване на площта на въртене, дадена параметрично

Разгледайте случая, когато кривата, образуваща повърхността на въртене, е дадена от параметричните уравнения

Тогава площта на повърхността на въртене се изчислява по формулата

(2).

Пример 3Намерете площта на повърхността на въртене, образувана от въртенето около ос Ойфигура, ограничена от циклоида и права линия г = а. Циклоидата се дава от параметричните уравнения