вълново уравнениее уравнение, изразяващо зависимостта на преместването на трептяща частица, участваща във вълновия процес, от координатата на нейното равновесно положение и време:

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по отношение на координатите. Освен това точки, които са на разстояние л един от друг, се колебаят по същия начин.

Нека намерим вида на функцията х в случай на плоска вълна.

Помислете за равнинна хармонична вълна, разпространяваща се по положителната посока на оста в среда, която не абсорбира енергия. В този случай вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста. Всички величини, характеризиращи колебателното движение на частиците на средата, зависят само от времето и координатата. Отместването ще зависи само от и: . Нека трептенето на точката с координата (източника на трептенията) е дадено от функцията . Задача: намерете вида на флуктуацията на точките в равнината, съответстващи на произволна стойност на . Отнема време, докато една вълна премине от една равнина до тази равнина. Следователно трептенията на частиците, лежащи в равнината, ще изостават във фаза с известно време от трептенията на частиците в равнината. Тогава уравнението на трептенията на частиците в равнина ще изглежда така:

В резултат на това получихме уравнението на плоска вълна, разпространяваща се в посока на нарастване:

. (3)

В това уравнение е амплитудата на вълната; – циклична честота; е началната фаза, която се определя от избора на референтна точка и ; е фазата на плоската вълна.

Нека фазата на вълната е постоянна стойност (фиксираме стойността на фазата във вълновото уравнение):

Нека намалим този израз с и диференцираме. В резултат на това получаваме:

или .

По този начин скоростта на разпространение на вълна в уравнението на равнинната вълна не е нищо друго освен скоростта на разпространение на фиксирана фаза на вълната. Тази скорост се нарича фазова скорост .

За синусоида скоростта на пренос на енергия е равна на фазовата скорост. Но синусоидата не носи никаква информация и всеки сигнал е модулирана вълна, т.е. не синусоидален (не хармоничен). При решаването на някои задачи се оказва, че фазовата скорост е по-голяма от скоростта на светлината. Тук няма парадокс, т.к скоростта на фазово движение не е скоростта на предаване (разпространение) на енергия. Енергията, масата не може да се движи по-бързо от скоростта на светлината ° С .

Обикновено на уравнението на равнинната вълна се дава форма, която е симетрична по отношение на и. За да направите това, въведете стойността , което се нарича вълново число . Нека трансформираме израза за вълновото число. Записваме го във формата (). Заместете този израз в уравнението на равнинната вълна:

Накрая получаваме

Това е уравнението на плоска вълна, разпространяваща се в посока на нарастване. Обратната посока на разпространение на вълната ще се характеризира с уравнение, в което знакът пред члена ще се промени.

Удобно е уравнението на равнинната вълна да се напише в следната форма.

Обикновено подписвайте Re се пропускат, което означава, че се взема само реалната част от съответния израз. Освен това се въвежда комплексно число.

Това число се нарича комплексна амплитуда. Модулът на това число дава амплитудата, а аргументът дава началната фаза на вълната.

По този начин уравнението на плоска незатихваща вълна може да бъде представено в следната форма.

Всичко разгледано по-горе се отнася до среда, в която няма затихване на вълната. В случай на затихване на вълната, в съответствие със закона на Бугер (Пиер Бугер, френски учен (1698 - 1758)), амплитудата на вълната ще намалява, докато се разпространява. Тогава уравнението на равнинната вълна ще има следния вид.

ае коефициентът на затихване на вълната. A0 е амплитудата на трептене в точка с координати . Това е реципрочната стойност на разстоянието, на което амплитудата на вълната намалява д веднъж.

Нека намерим уравнението на сферична вълна. Източникът на трептения ще считаме за точков. Това е възможно, ако се ограничим до разглеждане на вълната на разстояние, много по-голямо от размерите на източника. Вълна от такъв източник в изотропна и хомогенна среда ще бъде сферична . Точките, лежащи върху вълновата повърхност с радиус , ще осцилират с фазата

Амплитудата на трептене в този случай, дори ако вълновата енергия не се абсорбира от средата, няма да остане постоянна. Той намалява с отдалечаване от източника според закона. Следователно уравнението на сферичната вълна има формата:

или

По силата на направените предположения уравнението е валидно само за , значително надвишаващо размерите на източника на вълна. Уравнение (6) не е приложимо за малки стойности на , тъй като амплитудата ще клони към безкрайност, което е абсурдно.

При наличие на затихване в средата уравнението за сферична вълна се записва по следния начин.

групова скорост

Една строго монохроматична вълна е безкрайна последователност от "гърбици" и "корита" във времето и пространството.

Фазовата скорост на тази вълна, или (2)

С помощта на такава вълна е невъзможно да се предаде сигнал, т.к. във всяка точка на вълната всички "гърбици" са еднакви. Сигналът трябва да е различен. Бъдете знак (етикет) на вълната. Но тогава вълната вече няма да бъде хармонична и няма да се описва с уравнение (1). Сигналът (импулсът) може да бъде представен съгласно теоремата на Фурие като суперпозиция на хармонични вълни с честоти, съдържащи се в определен интервал. Dw . Суперпозиция от вълни, които се различават малко една от друга по честота

Наречен вълнов пакет или вълнова група .

Изразът за група от вълни може да бъде написан по следния начин.

(3)

Икона w подчертава, че тези количества зависят от честотата.

Този вълнов пакет може да бъде сбор от вълни с леко различни честоти. Там, където фазите на вълните съвпадат, има нарастване на амплитудата, а където фазите са противоположни, има затихване на амплитудата (резултат от интерференция). Такава картина е показана на фигурата. За да може суперпозицията на вълните да се разглежда като група от вълни, трябва да е изпълнено следното условие Dw<< w 0 .

В недиспергираща среда всички плоски вълни, образуващи вълнов пакет, се разпространяват с една и съща фазова скорост v . Дисперсията е зависимостта на фазовата скорост на синусоидална вълна в среда от честотата. Ще разгледаме явлението дисперсия по-късно в раздела за вълновата оптика. При липса на дисперсия скоростта на движение на вълновия пакет съвпада с фазовата скорост v . В диспергираща среда всяка вълна се разпръсква със собствена скорост. Следователно вълновият пакет се разпространява във времето, ширината му се увеличава.

Ако дисперсията е малка, тогава разпространението на вълновия пакет не става твърде бързо. Следователно на движението на целия пакет може да се присвои определена скорост U .

Скоростта, с която се движи центърът на вълновия пакет (точката с максимална стойност на амплитудата) се нарича групова скорост.

В дисперсна среда v¹ U . Заедно с движението на самия вълнов пакет има движение на "гърбици" вътре в самия пакет. "Гърбиците" се движат в пространството със скорост v , а пакетът като цяло със скоростта U .

Нека разгледаме по-подробно движението на вълнов пакет, използвайки примера на суперпозиция на две вълни с еднаква амплитуда и различни честоти w (различни дължини на вълните л ).

Нека запишем уравненията на две вълни. Нека вземем за простота началните фази j0 = 0.

Тук

Позволявам Dw<< w , съответно Dk<< k .

Добавяме флуктуациите и извършваме трансформации, използвайки тригонометричната формула за сумата от косинусите:

В първия косинус пренебрегваме Dwt И Dkx , които са много по-малки от другите количества. Научаваме това cos(–a) = cosa . Нека го запишем най-накрая.

(4)

Факторът в квадратни скоби се променя с времето и се координира много по-бавно от втория фактор. Следователно израз (4) може да се разглежда като уравнение на плоска вълна с амплитуда, описана от първия фактор. Графично вълната, описана с израз (4), е показана на фигурата, показана по-горе.

Получената амплитуда се получава в резултат на добавянето на вълни, следователно ще се наблюдават максимуми и минимуми на амплитудата.

Максималната амплитуда ще се определя от следното условие.

(5)

м = 0, 1, 2…

xмаксе координатата на максималната амплитуда.

Косинусът приема максималната стойност по модул стр .

Всеки от тези максимуми може да се разглежда като център на съответната група вълни.

Разрешаване на (5) по отношение на xмакс получавам.

Тъй като фазовата скорост наречена групова скорост. Максималната амплитуда на вълновия пакет се движи с тази скорост. В границата изразът за груповата скорост ще има следния вид.

(6)

Този израз е валиден за центъра на група от произволен брой вълни.

Трябва да се отбележи, че когато всички членове на разширението са точно взети предвид (за произволен брой вълни), изразът за амплитудата се получава по такъв начин, че от него следва, че вълновият пакет се разпространява във времето.
Изразът за груповата скорост може да бъде даден в различна форма.

При липса на дисперсия

Максимумът на интензитета пада върху центъра на вълновата група. Следователно скоростта на пренос на енергия е равна на груповата скорост.

Концепцията за групова скорост е приложима само при условие, че поглъщането на вълната в средата е малко. При значително затихване на вълните понятието групова скорост губи смисъла си. Този случай се наблюдава в областта на аномалната дисперсия. Ще разгледаме това в раздела Wave Optics.

Преди да разгледаме вълновия процес, нека дадем дефиниция на осцилаторно движение. колебание е повтарящ се процес. Примерите за колебателни движения са много разнообразни: смяната на сезоните, флуктуацията на сърцето, дишането, зарядът на кондензаторните пластини и др.

Уравнението на трептенията в общ вид се записва като

Където - амплитуда на трептене,
- циклична честота, - време, - начална фаза. Често началната фаза може да се приеме равна на нула.

От осцилаторното движение можем да преминем към разглеждането на вълновото движение. Вълна е процесът на разпространение на вибрациите в пространството във времето. Тъй като трептенията се разпространяват в пространството във времето, във вълновото уравнение трябва да се вземат предвид както пространствените координати, така и времето. Вълновото уравнение има формата

където A 0 - амплитуда,  - честота, t - време,  - вълново число, z - координата.

Физическата природа на вълните е много разнообразна. Известни са звукови, електромагнитни, гравитационни, акустични вълни.

Според вида на трептенията всички вълни могат да бъдат класифицирани на надлъжни и напречни. Надлъжни вълни - това са вълни, при които частиците на средата осцилират по посока на разпространение на вълната (фиг. 3.1а). Пример за надлъжна вълна е звукова вълна.

напречни вълни - това са вълни, при които частиците на средата трептят в напречна посока спрямо посоката на разпространение (фиг. 3.1б).

Електромагнитните вълни се класифицират като напречни вълни. Трябва да се има предвид, че при електромагнитните вълни полето осцилира и не се получава колебание на частиците на средата. Ако една вълна се разпространява в пространството с една честота , то такава вълна Наречен едноцветен .

За описание на разпространението на вълновите процеси се въвеждат следните характеристики. Аргументът косинус (виж формула (3.2)), т.е. изразяване
, е наречен вълнова фаза .

Схематично разпространението на вълната по една координата е показано на фиг. 3.2, в този случай разпространението става по оста z.

Период е времето на едно пълно трептене. Периодът се обозначава с буквата Т и се измерва в секунди (s). Реципрочната стойност на период се нарича честота на линията и означено f, измерено в херци (= Hz). Честотата на линията е свързана с кръговата честота. Връзката се изразява с формулата

(3.3)

Ако фиксираме времето t, тогава от фиг. 3.2 се вижда, че има точки, например А и В, които трептят по един и същи начин, т.е. във фаза (в фаза). Разстоянието между най-близките две точки, които трептят във фаза, се нарича дължина на вълната . Дължината на вълната се означава с  и се измерва в метри (m).

Вълновото число  и дължината на вълната  са свързани с формулата

(3.4)

Вълновото число  иначе се нарича фазова константа или константа на разпространение. От формула (3.4) се вижда, че константата на разпространение се измерва в ( ). Физическият смисъл е, че показва с колко радиана се променя фазата на вълната при преминаване на един метър от пътя.

За описание на вълновия процес се въвежда понятието вълнов фронт. фронт на вълната е геометричното място на въображаемите точки на повърхността, до които е достигнало възбуждането. Фронтът на вълната се нарича още фронт на вълната.

Уравнението, описващо вълновия фронт на плоска вълна, може да се получи от уравнение (3.2) във формата

(3.5)

Формула (3.5) е уравнението на вълновия фронт за плоска вълна. Уравнение (3.4) показва, че вълновите фронтове са безкрайни равнини, движещи се в пространството перпендикулярно на оста z.

Скоростта на фазовия фронт се нарича фазова скорост . Фазовата скорост се означава с V f и се определя по формулата

(3.6)

Първоначално уравнение (3.2) съдържа фаза с два знака – отрицателен и положителен. Отрицателен знак, т.е.
, показва, че фронтът на вълната се разпространява по положителната посока на разпространение на оста z. Такава вълна се нарича пътуваща или падаща.

Положителният знак на фазата на вълната показва движението на фронта на вълната в обратна посока, т.е. противоположна посока на оста z. Такава вълна се нарича отразена.

По-нататък ще разгледаме пътуващите вълни.

Ако вълната се разпространява в реална среда, тогава поради възникващите топлинни загуби амплитудата неизбежно ще намалее. Нека разгледаме един прост пример. Нека вълната се разпространява по оста z и началната стойност на амплитудата на вълната съответства на 100%, т.е. A0=100. Да приемем, че при преминаване на един метър от пътя амплитудата на вълната намалява с 10%. Тогава ще имаме следните вълнови амплитуди

Общият модел на промяна на амплитудата има формата

Експоненциалната функция има тези свойства. Графично процесът може да бъде показан под формата на фиг. 3.3.

Най-общо отношението на пропорционалност може да се напише като

, (3.7)

където  е константата на затихване на вълната.

Фазовата константа  и константата на затихване  могат да се комбинират чрез въвеждане на комплексната константа на разпространение , т.е.

, (3.8)

където  е фазовата константа,  е константата на затихване на вълната.

В зависимост от вида на вълновия фронт вълните биват плоски, сферични и цилиндрични.

плоска вълна е вълна с плосък вълнов фронт. На плоска вълна може да се даде и следното определение. Вълната се нарича хомогенна в равнината, ако векторното поле И във всяка точка на равнината са перпендикулярни на посоката на разпространение и не променят фазата и амплитудата.

Уравнение на плоска вълна

Ако източникът, който генерира вълната, е точка, тогава вълновият фронт, разпространяващ се в неограничено хомогенно пространство, е сфера. сферична вълна е вълна със сферичен вълнов фронт. Уравнението на сферичната вълна има формата

, (3.10)

където r е радиус-векторът, изчертан от началото, което съвпада с позицията на точковия източник, до определена точка в пространството, разположена на разстояние r.

Вълните могат да бъдат възбудени с помощта на безкраен низ от източници, разположени по оста z. В този случай такава нишка ще генерира вълни, чийто фазов фронт е цилиндрична повърхност.

цилиндрична вълна е вълна с фазов фронт под формата на цилиндрична повърхност. Уравнението на цилиндричната вълна има формата

, (3.11)

Формули (3.2), (3.10, 3.11) показват различна зависимост на амплитудата от разстоянието между източника на вълната и конкретна точка в пространството, до която е достигнала вълната.

Уравнения на Хелмхолц

Максуел получава един от най-важните резултати от електродинамиката, доказвайки, че разпространението на електромагнитните процеси в пространството във времето се извършва под формата на вълна. Нека разгледаме доказателството на това твърдение, т.е. Нека докажем вълновата природа на електромагнитното поле.

Записваме първите две уравнения на Максуел в сложна форма като

(3.12)

Нека вземем второто уравнение на системата (3.12) и приложим към него работата на ротора към лявата и дясната част. В резултат на това получаваме

Обозначете
, което е константата на разпространение. По този начин

(3.14)

От друга страна, въз основа на добре познатата идентичност във векторния анализ, може да се пише

, (3.15)

Където
е операторът на Лаплас, който в декартовата координатна система се изразява с тъждеството

(3.16)

Имайки предвид закона на Гаус, т.е.
, уравнение (3.15) може да бъде написано в по-проста форма

, или

(3.17)

По същия начин, използвайки симетрията на уравненията на Максуел, може да се получи уравнение по отношение на вектора , т.е.

(3.18)

Уравнения от вида (3.17, 3.18) се наричат ​​уравнения на Хелмхолц. В математиката е доказано, че ако някой процес е описан под формата на уравнения на Хелмхолц, това означава, че процесът е вълнов процес. В нашия случай заключаваме: променливите във времето електрически и магнитни полета неизбежно водят до разпространение на електромагнитни вълни в пространството.

В координатна форма уравнението на Хелмхолц (3.17) се записва като

Където ,,- единични вектори по съответните координатни оси

,

,

.(3.20)

Свойства на плоските вълни при разпространение в непоглъщащи среди

Нека плоска електромагнитна вълна се разпространява по оста z, тогава разпространението на вълната се описва от система от диференциални уравнения

(3.21)

Където И са комплексните амплитуди на полето,

(3.22)

Решението на система (3.21) има вида

(3.23)

Ако вълната се разпространява само в една посока по оста z, а векторът е насочена по оста x, тогава е целесъобразно да напишете решението на системата от уравнения във формата

(3.24)

Където И - единични вектори по оста x,y.

Ако няма загуби в средата, т.е. параметри на околната среда  a и  a, и
са истински ценности.

Изброяваме свойствата на плоските електромагнитни вълни

За средата се въвежда понятието вълново съпротивление на средата

(3.25)

Където ,
- амплитудни стойности на напрегнатостта на полето. Импедансът за среда без загуби също е реална величина.

За въздуха вълновото съпротивление е

(3.26)

Уравнение (3.24) показва, че магнитното и електрическото поле са във фаза. Полето на плоска вълна е пътуваща вълна, което се записва във формата

(3.27)

На фиг. 3.4 полеви вектори И промяна на фазата, както следва от формула (3.27).

Векторът на Пойнтинг във всеки момент съвпада с посоката на разпространение на вълната

(3.28)

Векторният модул на Пойнтинг определя плътността на потока на мощността и се измерва в
.

Определя се средната плътност на потока на мощността

(3.29)

, (3.30)

Където
- ефективни стойности на напрегнатостта на полето.

Енергията на полето, съдържаща се в единица обем, се нарича енергийна плътност. Електромагнитното поле се променя с времето, т.е. е променлива. Стойността на енергийната плътност в даден момент се нарича моментна енергийна плътност. За електрическите и магнитните компоненти на електромагнитното поле моментните енергийни плътности са съответно равни на

Като се има предвид това
, отношенията (3.31) и (3.32) показват, че
.

Общата плътност на електромагнитната енергия се дава от

(3.33)

Фазовата скорост на разпространение на електромагнитната вълна се определя по формулата

(3.34)

Определя се дължината на вълната

(3.35)

Където - дължина на вълната във вакуум (въздух), s - скорост на светлината във въздуха,  - относителна диелектрична проницаемост,  - относителна магнитна проницаемост, f- линейна честота,  - циклична честота, V f - фазова скорост,  - константа на разпространение.

Скоростта на пренос на енергия (груповата скорост) може да се определи от формулата

(3.36)

Където - Пойнтингов вектор,  - енергийна плътност.

Ако рисувате и в съответствие с формули (3.28), (3.33), тогава получаваме

(3.37)

Така получаваме

(3.38)

Когато електромагнитна монохроматична вълна се разпространява в среда без загуби, фазовата и груповата скорости са равни.

Съществува връзка между фазовата и груповата скорост, изразена с формулата

(3.39)

Помислете за пример за разпространение на електромагнитна вълна във флуоропласт с параметри  =2, =1. Нека напрегнатостта на електрическото поле съответства на

(3.40)

Скоростта на разпространение на вълната в такава среда ще бъде равна на

Вълновият импеданс на флуоропласта съответства на стойността

Ом (3,42)

Стойностите на амплитудата на силата на магнитното поле приемат стойностите

, (3.43)

Плътността на енергийния поток съответно е равна на

Дължина на вълната при честота
има значението

(3.45)

Теорема на Умов–Пойнтинг

Електромагнитното поле се характеризира със собствената си енергия на полето, а общата енергия се определя от сумата от енергиите на електрическото и магнитното поле. Нека електромагнитното поле заема затворен обем V, тогава можем да запишем

(3.46)

Енергията на електромагнитното поле по принцип не може да остане постоянна. Възниква въпросът: Какви фактори влияят върху промяната на енергията? Установено е, че върху изменението на енергията в затворен обем влияят следните фактори:

част от енергията на електромагнитното поле може да се превърне в други видове енергия, например механична;

външни сили могат да действат вътре в затворен обем, което може да увеличи или намали енергията на електромагнитното поле, съдържащо се в разглеждания обем;

разглежданият затворен обем V може да обменя енергия с околните тела поради процеса на енергийно излъчване.

Интензитетът на излъчване се характеризира с вектора на Пойнтинг . Обемът V има затворена повърхност S. Изменението на енергията на електромагнитното поле може да се разглежда като поток на вектора на Пойнтинг през затворената повърхност S (фиг. 3.5), т.е.
, и опциите
>0 ,
<0 ,
=0 . Имайте предвид, че нормалата към повърхността
, винаги е външен.

Спомнете си това
, Където
са моментните стойности на напрегнатостта на полето.

Преминаване от интеграл върху повърхнина
към интеграла по обем V се извършва въз основа на теоремата на Остроградски-Гаус.

Знаейки това

нека заместим тези изрази във формула (3.47). След трансформацията получаваме израз във формата:

От формула (3.48) се вижда, че лявата част е изразена като сума, състояща се от три члена, всеки от които ще разгледаме отделно.

срок
изразява мигновена загуба на мощност , причинени в разглеждания затворен обем от токове на проводимост. С други думи, терминът изразява загубите на топлинна енергия на полето, затворено в затворен обем.

Втори срок
изразява работата на външните сили, произведени за единица време, т.е. сила на външни сили. За такава мощност възможните стойности
>0,
<0.

Ако
>0, тези. енергия се добавя в обема V, тогава външните сили могат да се разглеждат като генератор. Ако
<0 , т.е. в обем V има намаляване на енергията, тогава външните сили играят ролята на товар.

Последният термин за линейна среда може да бъде представен като:

(3.49)

Формула (3.49) изразява скоростта на промяна на енергията на електромагнитното поле, съдържащо се в обема V.

След разглеждане на всички членове, формула (3.48) може да бъде записана като:

Формула (3.50) изразява теоремата на Пойнтинг. Теоремата на Пойтинг изразява баланса на енергията в произволна област, в която съществува електромагнитно поле.

Забавени потенциали

Уравненията на Максуел в сложна форма, както е известно, имат формата:

(3.51)

Нека съществуват външни токове в хомогенна среда. Нека се опитаме да трансформираме уравненията на Максуел за такава среда и да получим по-просто уравнение, което описва електромагнитното поле в такава среда.

Вземете уравнението
.Знаейки, че характеристиките И взаимосвързани
, тогава можем да пишем
Вземаме предвид, че силата на магнитното поле може да бъде изразена с помощта на вектор електродинамичен потенциал , което се въвежда от релацията
, Тогава

(3.52)

Нека вземем второто уравнение на системата Максуел (3.51) и извършим трансформации:

(3.53)

Формула (3.53) изразява второто уравнение на Максуел по отношение на векторния потенциал . Формула (3.53) може да бъде записана като

(3.54)

В електростатиката, както е известно, се изпълнява връзката:

(3.55)

Където - вектор на напрегнатост на полето,
- скаларен електростатичен потенциал. Знакът минус показва, че векторът насочени от точка с по-висок потенциал към точка с по-нисък потенциал.

Изразът в скоби (3.54), по аналогия с формула (3.55), може да бъде записан като

(3.56)

Където
- скаларен електродинамичен потенциал.

Нека вземем първото уравнение на Максуел и го запишем с помощта на електродинамични потенциали

Във векторната алгебра идентичността се доказва:

Използвайки идентичността (3.58), първото уравнение на Максуел, написано във формата (3.57), може да бъде представено като

Ето подобни

Умножете лявата и дясната част по коефициента (-1):

може да се зададе произволно, така че можем да приемем, че

Извиква се израз (3.60). Лоренц габарит .

Ако w=0 , тогава получаваме Кулонов датчик
=0.

Като се вземат предвид измервателните уреди, може да се напише уравнение (3.59).

(3.61)

Уравнение (3.61) изразява само себе си нехомогенно вълново уравнение за векторния електродинамичен потенциал.

По подобен начин, въз основа на третото уравнение на Максуел
, може да се получи нехомогенно уравнение за скаларен електродинамичен потенциал като:

(3.62)

Получените нехомогенни уравнения за електродинамични потенциали имат свои собствени решения

, (3.63)

Където М- произволна точка М, - обемна плътност на заряда, γ е константата на разпространение, r

(3.64)

Където Vе обемът, зает от външни токове, rе текущото разстояние от всеки елемент от изходния обем до точка М.

Извиква се решението за векторния електродинамичен потенциал (3.63), (3.64). Интеграл на Кирхоф за забавени потенциали .

Фактор
може да се изрази по отношение на
като

Този фактор съответства на крайната скорост на разпространение на вълната от източника и
защото скоростта на разпространение на вълната е крайна стойност, тогава въздействието на източника, който генерира вълните, достига произволна точка М със закъснение във времето. Стойността на времето на забавяне се определя от:
На фиг. 3.6 показва точков източник U, която излъчва сферични вълни, разпространяващи се със скорост v в околното хомогенно пространство, както и произволна точка M, разположена на разстояние rдо който достига вълната.

В момента във времето Tвекторен потенциал
в точка М е функция на токовете, протичащи в източника Uв по-ранен момент
С други думи,
зависи от токовете на източника, които са протичали в него в по-ранен момент

От формула (3.64) се вижда, че векторният електродинамичен потенциал е успореден (копосочен) на плътността на тока на външните сили; амплитудата му намалява по закон; на големи разстояния в сравнение с размерите на излъчвателя, вълната има сферичен вълнов фронт.

Имайки в предвид
и първото уравнение на Максуел, може да се определи силата на електрическото поле:

Получените зависимости определят електромагнитното поле в пространството, създадено от дадено разпределение на външни токове

Разпространение на плоски електромагнитни вълни в силно проводими среди

Разгледайте разпространението на електромагнитна вълна в проводяща среда. Такива медии се наричат ​​също металоподобни. Реалната среда е проводима, ако плътността на токовете на проводимост значително надвишава плътността на токовете на изместване, т.е.
И
, и
, или

(3.66)

Формула (3.66) изразява условието, при което една реална среда може да се счита за проводима. С други думи, имагинерната част от комплексната диелектрична проницаемост трябва да надвишава реалната част. Формула (3.66) също показва зависимостта на честотата и колкото по-ниска е честотата, толкова по-изразени са свойствата на проводника в средата. Нека разгледаме тази ситуация с пример.

Да, на честотата f = 1 MHz = 10 6 Hz сухата почва има параметри =4, =0,01 ,. Нека сравним И , т.е.
. От получените стойности се вижда, че 1,610 -19 >> 3,5610 -11, следователно сухата почва по време на разпространението на вълна с честота 1 MHz трябва да се счита за проводима.

За реална среда записваме комплексната диелектрична проницаемост

(3.67)

защото в нашия случай
, тогава за проводяща среда можем да напишем

, (3.68)

където  - специфична проводимост,  - циклична честота.

Известно е, че константата на разпространение  се определя от уравненията на Хелмхолц

Така получаваме формулата за константата на разпространение

(3.69)

Известно е, че

(3.70)

Като се вземе предвид идентичността (3.49), формула (3.50) може да бъде записана като

(3.71)

Константата на разпространение се изразява като

(3.72)

Сравнението на реалните и въображаемите части във формули (3.71), (3.72) води до равенство на стойностите на фазовата константа  и константата на затихване , т.е.

(3.73)

От формула (3.73) записваме дължината на вълната, която полето придобива при разпространение в добре проводяща среда

(3.74)

Където е дължината на вълната в метала.

От получената формула (3.74) се вижда, че дължината на електромагнитната вълна, разпространяваща се в метал, е значително намалена в сравнение с дължината на вълната в пространството.

По-горе беше казано, че амплитудата на вълната по време на разпространение в среда със загуби намалява според закона
. За да се характеризира процеса на разпространение на вълната в проводяща среда, се въвежда понятието дълбочина на повърхностния слой или дълбочина на проникване .

Дълбочина на повърхностния слой - това е разстоянието d, на което амплитудата на повърхностната вълна намалява с фактор e в сравнение с първоначалното си ниво.

(3.75)

Където е дължината на вълната в метала.

От формулата може да се определи и дълбочината на повърхностния слой

, (3.76)

където  е цикличната честота,  a е абсолютната магнитна проницаемост на средата,  е специфичната проводимост на средата.

От формула (3.76) се вижда, че с увеличаване на честотата и проводимостта дълбочината на повърхностния слой намалява.

Да вземем пример. Медна проводимост
на честота f = 10 GHz ( = 3 cm) има дълбочина на повърхностния слой d =
. От това можем да направим важен за практиката извод: нанасянето на слой от високопроводимо вещество върху непроводимо покритие ще направи възможно изработването на елементи на устройството с ниски топлинни загуби.

Отражение и пречупване на плоска вълна на границата на раздела между среди

Когато плоска електромагнитна вълна се разпространява в пространството, което е област с различни стойности на параметрите
и границата под формата на равнина, възникват отразени и пречупени вълни. Интензитетите на тези вълни се определят чрез коефициентите на отражение и пречупване.

коефициент на отражение на вълната е съотношението на комплексните стойности на напрегнатостта на електрическото поле на отразените към падащите вълни на интерфейса и се определя по формулата:

(3.77)

коефициент на преминаване вълни към втората среда от първата е съотношението на комплексните стойности на напрегнатостта на електрическото поле на пречупеното към падането вълни и се определя по формулата

(3.78)

Ако векторът на Пойнтинг на падащата вълна е перпендикулярен на интерфейса, тогава

(3.79)

където Z 1 ,Z 2 - характеристично съпротивление за съответната среда.

Характерното съпротивление се определя по формулата:

Където
(3.80)

.

При наклонено падане посоката на разпространение на вълната по отношение на границата се определя от ъгъла на падане. Ъгъл на падане е ъгълът между нормалата към повърхността и посоката на разпространение на лъча.

равнина на падане е равнината, която съдържа падащия лъч и нормалата, възстановена до точката на падане.

От граничните условия следва, че ъглите на падане и пречупване свързани със закона на Снел:

(3.81)

където n 1 , n 2 са показателите на пречупване на съответните среди.

Електромагнитните вълни се характеризират с поляризация. Има елиптична, кръгова и линейна поляризация. При линейната поляризация се разграничават хоризонтална и вертикална поляризация.

Хоризонтална поляризация е поляризацията, при която векторът осцилира в равнина, перпендикулярна на равнината на падане.

Нека плоска електромагнитна вълна с хоризонтална поляризация падне върху интерфейса между две среди, както е показано на фиг. 3.7. Означен е векторът на Пойнтинг на падащата вълна . защото вълната има хоризонтална поляризация, т.е. векторът на напрегнатост на електрическото поле осцилира в равнина, перпендикулярна на равнината на падане, тогава се обозначава и на фиг. 3.7 е показан като кръг с кръст (насочен встрани от нас). Съответно векторът на магнитното поле лежи в равнината на падане на вълната и се обозначава . Вектори ,,образуват дясна тройка от вектори.

За отразената вълна съответните вектори на полето са снабдени с индекс "neg", за пречупената - с индекс "pr".

При хоризонтална (перпендикулярна) поляризация коефициентите на отражение и предаване се намират, както следва (фиг. 3.7).

На границата между две среди са изпълнени граничните условия, т.е.

В нашия случай трябва да идентифицираме тангенциалните проекции на векторите, т.е. може да се напише

Линиите на напрегнатостта на магнитното поле са насочени за падащи, отразени и пречупени вълни перпендикулярно на равнината на падане. Следователно човек трябва да пише

Въз основа на това можем да съставим система, базирана на граничните условия

Известно е също, че силите на електрическите и магнитните полета са взаимосвързани чрез вълновото съпротивление на средата Z

Тогава второто уравнение на системата може да бъде написано като

И така, системата от уравнения е приела формата

Нека разделим двете уравнения на тази система на амплитудата на падащата вълна
и като вземем предвид дефинициите на коефициентите на пречупване (3.77) и предаване (3.78), можем да запишем системата във формата

Системата има две решения и две неизвестни. Известно е, че такава система е разрешима.

Вертикална поляризация е поляризацията, при която векторът осцилира в равнината на падане.

При вертикална (паралелна) поляризация коефициентите на отражение и пропускане се изразяват по следния начин (фиг. 3.8).

За вертикална поляризация се записва подобна система от уравнения като за хоризонтална поляризация, но като се вземе предвид посоката на векторите на електромагнитното поле

Такава система от уравнения може да бъде сведена по подобен начин до формата

Решението на системата са изразите за коефициентите на отражение и пропускане

Когато равнинни електромагнитни вълни с паралелна поляризация падат върху интерфейса между две среди, коефициентът на отражение може да стане нула. Ъгълът на падане, при който падащата вълна напълно, без отражение, прониква от една среда в друга, се нарича ъгъл на Брустър и се означава като
.

(3.84)

(3.85)

Подчертаваме, че ъгълът на Брюстър, когато плоска електромагнитна вълна пада върху немагнитен диелектрик, може да съществува само при паралелна поляризация.

Ако плоска електромагнитна вълна пада под произволен ъгъл върху интерфейса между две среди със загуби, тогава отразените и пречупените вълни трябва да се считат за нехомогенни, тъй като равнината с равни амплитуди трябва да съвпада с интерфейса. За реалните метали ъгълът между фазовия фронт и равнината с равни амплитуди е малък, така че можем да приемем, че ъгълът на пречупване е 0.

Приблизителни гранични условия на Шукин-Леонтович

Тези гранични условия се прилагат, когато една от средите е добър проводник. Да приемем, че плоска електромагнитна вълна пада от въздуха под ъгъл  върху плоска повърхност с добре проводима среда, която се описва от комплексния индекс на пречупване

(3.86)

От определението на понятието добре проводима среда следва, че
. Прилагайки закона на Снел, може да се отбележи, че ъгълът на пречупване  ще бъде много малък. От това можем да приемем, че пречупената вълна навлиза във вътрешността на добре проводяща среда практически по посока на нормалата при всяка стойност на ъгъла на падане.

Използвайки граничните условия на Леонтович, е необходимо да се знае допирателната компонента на магнитния вектор . Обикновено се приема приблизително, че тази стойност съвпада с подобна компонента, изчислена за повърхността на идеален проводник. Грешката, произтичаща от такова приближение, ще бъде много малка, тъй като коефициентът на отражение от повърхността на металите като правило е близо до нула.

Излъчване на електромагнитни вълни в свободното пространство

Нека да разберем какви са условията за излъчване на електромагнитна енергия в свободното пространство. За да направите това, разгледайте точков монохроматичен излъчвател на електромагнитни вълни, който е поставен в началото на сферичната координатна система. Както е известно, сферичната координатна система се определя от (r, Θ, φ), където r е радиус-векторът, начертан от началото на системата до точката на наблюдение; Θ е меридионалният ъгъл, измерен от оста Z (зенит) към радиус вектора, начертан към точка М; φ е азимуталния ъгъл, измерен от оста X към проекцията на радиус вектора, начертан от началото до точката M′ (M′ е проекцията на точка M върху равнината XOY). (фиг.3.9).

Точковият излъчвател се намира в хомогенна среда с параметри

Точковият излъчвател излъчва електромагнитни вълни във всички посоки и всеки компонент на електромагнитното поле се подчинява на уравнението на Хелмхолц, с изключение на точката r=0 . Може да се въведе сложна скаларна функция Ψ, която се разбира като всяка произволно взета компонента на полето. Тогава уравнението на Хелмхолц за функцията Ψ има формата:

(3.87)

Където
- вълново число (константа на разпространение).

(3.88)

Да приемем, че функцията Ψ има сферична симетрия, тогава уравнението на Хелмхолц може да бъде написано като:

(3.89)

Уравнение (3.89) може също да бъде записано като:

(3.90)

Уравнения (3.89) и (3.90) са идентични едно с друго. Уравнение (3.90) е известно във физиката като уравнение на трептене. Такова уравнение има две решения, които, ако амплитудите са равни, имат формата:

(3.91)

(3.92)

Както се вижда от (3.91), (3.92), решението на уравнението се различава само по знаци. Освен това, показва вълната, идваща от източника, т.е. вълната се разпространява от източника до безкрайността. Втора вълна показва, че вълната идва към източника от безкрайността. Физически, един и същ източник не може едновременно да генерира две вълни: една пътуваща и една идваща от безкрайността. Следователно трябва да се има предвид, че вълната не съществува физически.

Разглежданият пример е доста прост. Но в случай на излъчване на енергия от система от източници е много трудно да се избере правилното решение. Следователно е необходим аналитичен израз, който е критерий за избор на правилното решение. Необходим е общ критерий в аналитична форма, който позволява да се избере еднозначно физически определено решение.

С други думи, имаме нужда от критерий, който разграничава функция, която изразява пътуваща вълна от източник към безкрайността, от функция, която описва вълна, която идва от безкрайността към източник на радиация.

Този проблем е решен от А. Зомерфелд. Той показа, че за пътуваща вълна, описана от функцията , релацията е изпълнена:

(3.93)

Тази формула се нарича радиационно състояние или Състояние на Зомерфелд .

Помислете за елементарен електрически излъчвател под формата на дипол. Електрическият дипол е късо парче жица лв сравнение с дългата вълна  ( л<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия л<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Лесно е да се покаже, че изменението на електрическото поле в пространството около жицата има вълнов характер. За по-голяма яснота, нека разгледаме изключително опростен модел на процеса на формиране и промяна на електрическия компонент на електромагнитното поле, излъчвано от проводника. На фиг. 3.11 показва модел на процеса на излъчване на електрическото поле на електромагнитна вълна за период от време, равен на един период

Както знаете, електрическият ток се дължи на движението на електрически заряди, а именно

или

В бъдеще ще разглеждаме само промяната в позицията на положителните и отрицателните заряди върху жицата. Линията на напрегнатост на електрическото поле започва с положителен заряд и завършва с отрицателен. На фиг. 3.11 силовата линия е показана с пунктирана линия. Струва си да се помни, че електрическото поле се създава в цялото пространство около проводника, въпреки че на фиг. 3.11 показва една силова линия.

За да може променлив ток да тече през проводник, е необходим източник на променлив ЕМП. Такъв източник е включен в средата на жицата. Състоянието на процеса на излъчване на електрическо поле е показано с числа от 1 до 13. Всяко число съответства на определен момент от времето, свързан със състоянието на процеса. Моментът t=1 съответства на началото на процеса, т.е. EMF = 0. В момента t=2 се появява променлива EMF, която предизвиква движение на заряди, както е показано на фиг. 3.11. С появата на движещи се заряди в жицата в пространството възниква електрическо поле. с течение на времето (t = 3÷5) зарядите се придвижват към краищата на проводника и силовата линия обхваща все по-голяма част от пространството. силовата линия се разширява със скоростта на светлината в посока, перпендикулярна на жицата. В момента t = 6 - 8 ЕМП, преминавайки през максималната стойност, намалява. Зарядите се движат към средата на жицата.

В момента t = 9 полупериодът на промяна на ЕМП завършва, той намалява до нула. В този случай зарядите се сливат, те се компенсират взаимно. в този случай няма електрическо поле. Силовата линия на излъченото електрическо поле се затваря и продължава да се отдалечава от жицата.

След това идва вторият полуцикъл на промяната на ЕМП, процесите се повтарят, като се вземе предвид промяната в полярността. На фиг. 3.11 в моменти t = 10÷13 показва картината на процеса, като се вземе предвид силовата линия на електрическото поле.

Разгледахме процеса на образуване на затворени силови линии на вихрово електрическо поле. Но си струва да запомните, че излъчването на електромагнитни вълни е един процес. Електрическото и магнитното поле са неразделни взаимозависими компоненти на електромагнитното поле.

Процесът на излъчване, показан на фиг. 3.11 е подобно на излъчването на електромагнитно поле от симетричен електрически вибратор и се използва широко в радиокомуникационната технология. Трябва да се помни, че равнината на трептения на вектора на напрегнатост на електрическото поле е взаимно перпендикулярна на равнината на трептения на вектора на напрегнатост на магнитното поле .

Излъчването на електромагнитни вълни се дължи на променлив процес. Следователно във формулата за заряда можете да поставите константата C \u003d 0. За комплексната стойност на заряда може да се напише.

(3.94)

По аналогия с електростатиката можем да въведем концепцията за момента на електрически дипол с променлив ток

(3.95)

От формула (3.95) следва, че моментните вектори на електрическия дипол и насочения сегмент на проводника са еднопосочни.

Трябва да се отбележи, че истинските антени имат дължини на проводниците, които обикновено са сравними с дължината на вълната. За да се определят радиационните характеристики на такива антени, жицата обикновено се разделя мислено на отделни малки секции, всяка от които се разглежда като елементарен електрически дипол. полученото поле на антената се намира чрез сумиране на излъчените векторни полета, генерирани от отделните диполи.

механични вълни- процесът на разпространение на механични вибрации в среда (течна, твърда, газообразна).Трябва да се помни, че механичните вълни пренасят енергия, форма, но не пренасят маса. Най-важната характеристикавълната е скоростта на нейното разпространение. Вълните от каквото и да е естество не се разпространяват в пространството моментално, тяхната скорост е ограничена.

Геометрията отличава: сферични (пространствени), едномерни (равнинни), спираловидни вълни.

Вълната се нарича плоска, ако неговите вълнови повърхности са равнини, успоредни една на друга, перпендикулярни на фазовата скорост на вълната (фиг. 1.3). Следователно лъчите на плоска вълна са успоредни прави линии.

Уравнение на равнинна вълна::

Настроики :

Период на трептене T е периодът от време, след който състоянието на системата приема същите стойности: u(t + T) = u(t).

Честота на трептене n е броят на трептенията за 1 секунда, реципрочната стойност на периода: n = 1/T. Измерва се в херци (Hz), има размерност s–1. Махало, което се люлее веднъж в секунда, осцилира с честота 1 Hz

Фаза на трептене j- стойност, показваща каква част от трептенето е преминала от началото на процеса. Измерва се в ъглови единици – градуси или радиани.

Амплитуда на трептене А- максималната стойност, която осцилаторната система приема, "диапазонът" на трептенето.

4.Доплер ефект- промяна в честотата и дължината на вълните, възприемани от наблюдателя (вълновия приемник), поради относителното движение на източника на вълна и наблюдателя. Представете сиче наблюдателят се приближава с определена скорост към неподвижен източник на вълни. В същото време той среща повече вълни в същия интервал от време, отколкото при липса на движение. Това означава, че възприеманата честота е по-голяма от честотата на вълната, излъчвана от източника. Така че дължината на вълната, честотата и скоростта на разпространение на вълната са свързани помежду си чрез връзката V= / , - дължина на вълната.

Дифракция- феноменът на огъване около препятствия, които са сравними по размер с дължината на вълната.

намеса-явление, при което в резултат на наслагването на кохерентни вълни се получава увеличаване или намаляване на трептенията.

Опитът на ЙънгПървият експеримент с интерференция, обяснен на базата на вълновата теория на светлината, е експериментът на Йънг (1802). В експеримента на Йънг светлина от източник, който служи като тесен процеп S, пада върху екран с два близко разположени процепа S1 и S2. Преминавайки през всеки от прорезите, светлинният лъч се разширява поради дифракция, следователно на белия екран E светлинните лъчи, които преминават през прорезите S1 и S2, се припокриват. В областта на припокриващи се светлинни лъчи се наблюдава интерференчен модел под формата на редуващи се светли и тъмни ивици.

2.Звук - механична надлъжна вълна, която се разпространява в еластична среда, има честота от 16 Hz до 20 kHz. Има видове звуци:

1. прост тон - чисто хармонична вибрация, излъчвана от камертон (метален инструмент, който издава звук при удар):

2. сложен тон - не синусоидално, а периодично трептене (излъчвано от различни музикални инструменти).

Съгласно теоремата на Фурие такова сложно трептене може да бъде представено чрез набор от хармонични компоненти с различни честоти. Най-ниската честота се нарича основен тон, а множеството честоти се наричат ​​обертонове. Набор от честоти, показващ техния относителен интензитет (плътност на вълновия енергиен поток), се нарича акустичен спектър. Спектърът на сложния тон е линеен.

3. шум - звук, който се получава от добавянето на много противоречиви източници. Спектър - непрекъснат (непрекъснат):

4. звуково въздействие - краткотрайно звуково въздействие.Например: памук, експлозия.

Устойчивост на вълната-съотношението на звуковото налягане в плоска вълна към скоростта на трептене на частиците на средата. Характеризира степента на твърдост на средата (т.е. способността на средата да устои на образуването на деформации) в движеща се вълна. Изразява се с формулата:

P / V \u003d p / c, P- звуково налягане, p- плътност, c- скорост на звука, V- обем.

3 - характеристики, които не зависят от свойствата на приемника:

Интензитет (сила на звука) - енергията, пренасяна от звукова вълна за единица време през единица площ, разположена перпендикулярно на звуковата вълна.

честота на тона.

Спектърът на звука е броят на обертоновете.

При честоти под 17 и над 20 000 Hz, колебанията на налягането вече не се възприемат от човешкото ухо. Надлъжните механични вълни с честота под 17 Hz се наричат ​​инфразвук. Надлъжните механични вълни с честота над 20 000 Hz се наричат ​​ултразвук.

5. UZ- механични вълна с честота над 20 kHz. Ултразвукът е редуване на кондензация и разреждане на средата. Във всяка среда скоростта на разпространение на ултразвука е еднаква . Особеност- теснотата на лъча, която ви позволява да действате върху обекти локално. В нехомогенни среди с малки включвания на частици се получават дифракционни явления (обвиващи препятствия). Проникването на ултразвук в друга среда се характеризира с коефициента на проникване () =L /L където дължината на ултразвука след и преди проникването в средата.

Въздействието на ултразвука върху тъканите на тялото е механично, термично, химично. Приложение в медицинатасе разделя на 2 направления: метод на изследване и диагностика и метод на действие. 1) ехоенцефалография- откриване на тумори и мозъчен оток ; кардиография- измерване на сърцето в динамика. 2) Ултразвукова физиотерапия-механични и термични ефекти върху тъканта; по време на операции като "ултразвуков скалпел"

6. Идеалната течноствъображаема несвиваема течност, лишена от вискозитет и топлопроводимост. Идеалната течност няма вътрешно триене, тя е непрекъсната и няма структура.

Уравнение на непрекъснатост -V 1 А 1 = V 2 А 2 Обемният поток във всяка тръба за поток, ограничена от съседни линии на потока, трябва да бъде еднакъв по всяко време във всички нейни напречни сечения.

Уравнение на Бернули - Р v 2 / 2 + Рул + Рgh= const, в случай на постоянен поток общият напор е еднакъв във всички напречни сечения на текущата тръба. Р v 2 / 2 + Рул= const – за хориз. парцели.

7Стационарен потокПоток, чиято скорост никога не се променя никъде във течността.

ламинарен поток- подреден поток от течност или газ, при който течността (газът) се движи, така да се каже, в слоеве, успоредни на посоката на потока.

турбулентен поток- формата на потока на течност или газ, при който техните елементи правят хаотични, нестабилни движения по сложни траектории, което води до интензивно смесване между слоевете на движеща се течност или газ.

линии- линии, допирателните към които съвпадат във всички точки с посоката на скоростта в тези точки. При стационарен поток токовите линии не се променят с времето.

Вискозитет -вътрешно триене, свойството на течните тела (течности и газове) да се съпротивляват на движението на една от техните части спрямо друга

Уравнение на Нютон: F = (dv/dx)Sη.

Коефициент на вискозитет- Коефициент на пропорционалност в зависимост от вида на течността или газа. Число, използвано за количествено определяне на свойството вискозитет. Коефициент на вътрешно триене.

ненютонова течностсе нарича течност, при която нейният вискозитет зависи от градиента на скоростта, чийто поток се подчинява на уравнението на Нютон. (Полимери, нишесте, кръв от течен сапун)

Нютонов -Ако в движещ се флуид неговият вискозитет зависи само от неговата природа и температура и не зависи от градиента на скоростта. (Вода и дизелово гориво)

.Числото на Рейнолдс- характеризиране на връзката между инерционните сили и вискозните сили: Re \u003d rdv / m, където r е плътността, m е динамичният коефициент на вискозитет на течността или газа, v е скоростта на потока.< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekp потокът може да стане турбулентен.

Коефициент на кинематичен вискозитет- отношението на динамичния вискозитет на течност или газ към тяхната плътност.

9. Метод на Стокс, базиран метод АФормулата на Стоукс за съпротивителната сила, която възниква, когато топка се движи във вискозна течност, получена от Стокс: Fc = 6 π η V r. За да се измери индиректно коефициентът на вискозитет η, трябва да се вземе предвид равномерното движение на топка във вискозна течност и да се приложи условието за равномерно движение: векторната сума на всички сили, действащи върху топката, е нула.

Mg + F A + F c \u003d 0 (всичко във векторна форма !!!)

Сега е необходимо да изразим силата на гравитацията (mg) и силата на Архимед (Fa) чрез известни количества. Чрез приравняване на стойностите mg = Fa + Fс, получаваме израза за вискозитет:

η \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ кладенец) * r 2 / v \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ кладенец) * r 2 * t / L. Радиусът на топката r (в диаметър) се измерва директно с микрометър, L е пътят на топката в течността, t е времето за пътуване на пътя L. За измерване на вискозитета по метода на Стокс пътят L не се взема от повърхността на течността, но между белези 1 и 2. Това се дължи на следното обстоятелство. При извеждане на работната формула за коефициента на вискозитет по метода на Стокс е използвано условието за равномерно движение. В самото начало на движението (началната скорост на топката е нула), съпротивителната сила също е нула и топката има известно ускорение. С увеличаване на скоростта силата на съпротивление се увеличава, равностойната на трите сили намалява! Само след определен знак движението може да се счита за равномерно (и след това приблизително).

11.Формула на Поазей: При стационарно ламинарно движение на вискозен несвиваем флуид през цилиндрична тръба с кръгло напречно сечение, обемният дебит за секунда е право пропорционален на спада на налягането на единица дължина на тръбата и четвъртата степен на радиуса и обратно пропорционален на вискозитета на флуида.

Вълнови процеси

Основни понятия и определения

Помислете за някаква еластична среда - твърда, течна или газообразна. Ако във всяко място на тази среда се възбудят вибрации на неговите частици, тогава поради взаимодействието между частиците, вибрациите, предавани от една частица на средата на друга, ще се разпространяват в средата с определена скорост. Процес се нарича разпространение на трептенията в пространството вълна .

Ако частиците в средата осцилират в посоката на разпространение на вълната, тогава се нарича надлъжно. Ако трептенията на частиците се извършват в равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната, тогава вълната се нарича напречен . Напречните механични вълни могат да възникнат само в среда с ненулев модул на срязване. Следователно в течни и газообразни среди, само надлъжни вълни . Разликата между надлъжните и напречните вълни се вижда най-ясно в примера за разпространение на трептенията в пружина - вижте фигурата.

За да се характеризират напречните колебания, е необходимо да се зададе позицията в пространството равнина, преминаваща през посоката на трептене и посоката на разпространение на вълната - равнини на поляризация .

Нарича се областта на пространството, в която се колебаят всички частици на средата вълново поле . Границата между вълновото поле и останалата среда се нарича фронт на вълната . С други думи, вълнов фронт - геометричното място на точките, до които трептенията са достигнали даден момент във времето. В хомогенна и изотропна среда посоката на разпространение на вълната перпендикуляренкъм предната част на вълната.

Докато в средата има вълна, частиците на средата осцилират около своите равновесни позиции. Нека тези трептения са хармонични и периодът на тези трептения е равен на T. Частици, разделени една от друга на разстояние

по посока на разпространение на вълната, трептят по същия начин, т.е. във всеки даден момент от време техните премествания са еднакви. Разстоянието се нарича дължина на вълната . С други думи, дължина на вълната е разстоянието, изминато от вълна за един период на трептене .

Географското място на точките, които осцилират в една фаза, се нарича вълнова повърхност . Вълновият фронт е частен случай на вълновата повърхност. Дължина на вълната – минимумразстоянието между две вълнови повърхности, в които точките осцилират по един и същи начин, или можем да кажем така фазите на техните трептения се различават по .

Ако вълновите повърхности са равнини, тогава вълната се нарича апартамент , а ако по сфери, тогава сферична. Плоска вълна се възбужда в непрекъсната хомогенна и изотропна среда по време на трептения на безкрайна равнина. Възбуждането на сферична повърхност може да бъде представено в резултат на радиални пулсации на сферична повърхност, а също и в резултат на действието точков източник,чиито размери в сравнение с разстоянието до точката на наблюдение могат да бъдат пренебрегнати. Тъй като всеки реален източник има крайни размери, на достатъчно голямо разстояние от него вълната ще бъде близка до сферична. В същото време участъкът от вълновата повърхност на сферичната вълна, когато размерът му намалява, става произволно близък до участъка от вълновата повърхност на плоска вълна.

Уравнения на равнинни и сферични вълни

вълново уравнениее израз, който определя преместването на осцилираща точка като функция на координатите на равновесното положение на точката и времето:

Ако източникът го прави периодично изданиефлуктуации, тогава функцията (22.2) трябва да бъде периодична функция както на координатите, така и на времето. Периодичността във времето следва от факта, че функцията описва периодични трептения на точка с координати; периодичност в координатите - от факта, че точките, разположени на разстояние по посока на разпространение на вълната, се колебаят по същия начин

Нека се ограничим до разглеждането на хармоничните вълни, когато точките на средата извършват хармонични трептения. Трябва да се отбележи, че всяка нехармонична функция може да бъде представена като резултат от суперпозиция на хармонични вълни. Следователно разглеждането само на хармонични вълни не води до фундаментално влошаване на общността на получените резултати.

Помислете за плоска вълна. Избираме координатна система, така че оста осъвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста ои тъй като всички точки на вълновата повърхност осцилират по един и същи начин, изместването на точките на средата от равновесните позиции ще зависи само от x и t:

Нека трептенията на точки, лежащи в равнина, имат формата:

(22.4)

Трептения в равнина на разстояние хот началото на координатите, изостават от трептенията във времето за интервала от време, необходим на вълната да преодолее разстоянието Х,и се описват с уравнението

кое е уравнение на плоска вълна, разпространяваща се по посока на оста Ox.

При извеждането на уравнение (22.5) приехме, че амплитудата на трептенията е еднаква във всички точки. В случай на плоска вълна това е вярно, ако енергията на вълната не се абсорбира от средата.

Помислете за някаква стойност на фазата в уравнение (22.5):

(22.6)

Уравнение (22.6) дава връзката между времето Tи място - х, в който в момента е внедрена определената фазова стойност. Определяйки от уравнение (22.6), намираме скоростта, с която се движи дадената стойност на фазата. Диференцирайки (22.6), получаваме:

Откъдето следва (22.7)

Вълновото уравнение е израз, който дава изместването на осцилираща частица като функция на нейните координати x, y, z и времето t:

(има предвид координатите на равновесното положение на частицата). Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето t, така и по отношение на координатите x, y, z. Периодичността във времето следва от факта, че тя описва трептенията на частица с координати x, y, z. Периодичността в координатите следва от факта, че точките, разделени от разстояние K, осцилират по един и същи начин.

Нека намерим формата на функцията в случай на плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични по природа. За да опростим, нека насочим координатните оси така, че оста да съвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста и тъй като всички точки на вълновата повърхност осцилират по същия начин, изместването ще зависи само от Нека трептенията на точките, лежащи в равнината (фиг. 94.1), имат формата

Нека намерим вида на трептене на точки в равнината, съответстващи на произволна стойност на x. За да премине от равнината x = 0 до тази равнина, вълната се нуждае от време - скоростта на разпространение на вълната).

Следователно трептенията на частиците, лежащи в равнината x, ще изостават във времето от трептенията на частиците в равнината, т.е. те ще имат формата

И така, уравнението на плоска вълна (както надлъжна, така и напречна), разпространяваща се по посока на оста x, е както следва:

Величина a представлява амплитудата на вълната. Началната фаза на вълната a се определя от избора на произход. Когато се разглежда една вълна, началото на времето и координатите обикновено се избират така, че a да е равно на нула. Когато няколко вълни се разглеждат заедно, обикновено е невъзможно началните фази да бъдат равни на нула за всички тях.

Ние фиксираме някаква стойност на фазата в уравнение (94.2), като зададем

(94.3)

Този израз определя връзката между времето t и мястото x, където фазата има фиксирана стойност. Получената стойност дава скоростта, с която се движи дадената фазова стойност. Диференцирайки израз (94.3), получаваме

По този начин скоростта на разпространение на вълната v в уравнение (94.2) е скоростта на фазата, във връзка с което се нарича фазова скорост.

Съгласно (94.4) . Следователно уравнение (94.2) описва вълна, разпространяваща се в посока на увеличаване на x. Вълна, разпространяваща се в обратна посока, се описва от уравнението

Наистина, чрез приравняване на фазата на вълната (94.5) към константа и диференциране на полученото равенство, ние достигаме до връзката

от което следва, че вълната (94.5) се разпространява в посока на намаляване на x.

Уравнението на равнинната вълна може да получи форма, която е симетрична по отношение на x и t. За да направим това, въвеждаме стойността

което се нарича вълново число. Умножавайки числителя и знаменателя на израза (94.6) по честотата v, можем да представим вълновото число във формата

(виж формула (93.2)). Отваряйки скобите в (94.2) и вземайки предвид (94.7), стигаме до следното уравнение за плоска вълна, разпространяваща се по оста x:

Уравнението на вълна, разпространяваща се в посока на намаляване на x, се различава от (94.8) само в знака на члена

При извеждането на формула (94.8) приехме, че амплитудата на трептене не зависи от x. За плоска вълна това се наблюдава, когато вълновата енергия не се абсорбира от средата. При разпространение в енергопоглъщаща среда интензитетът на вълната постепенно намалява с увеличаване на разстоянието от източника на трептенията - наблюдава се затихване на вълната. Опитът показва, че в хомогенна среда такова затихване се извършва по експоненциален закон: с намаляване във времето на амплитудата на затихналите трептения; виж формула (58.7) от 1 том). Съответно уравнението на равнинната вълна има следната форма:

Амплитуда в равнинни точки

Сега нека намерим уравнението на сферична вълна. Всеки истински източник на вълни има известна степен. Въпреки това, ако се ограничим до разглеждането на вълната на разстояния от източника, които са много по-големи от нейния размер, тогава източникът може да се счита за точков източник. В изотропна и хомогенна среда вълната, генерирана от точков източник, ще бъде сферична. Да приемем, че фазата на трептенията на източника е Тогава точките, лежащи върху вълновата повърхност с радиус , ще осцилират с фазата