Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел . В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони - 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы . Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b и c – произвольные натуральные числа.

Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .

Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.

Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .

Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a .

Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a .

Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу . Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a , где a – произвольное натуральное число.

Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a .

Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю . То есть, 0+0=0 .

Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми . А результат сложение число 7 называется суммой .

Сумма — это сложение чисел. Знак плюс “+”.
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:

a+ b= c

Компоненты сложения:
a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.

Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:

Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения .

Переместительный закон сложения.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

В буквенной записи переместительный закон выглядит так:

a+ b= b+ a

Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:

(1+2)+4=7

Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:

1+(2+4)=7

Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:

(1+2)+4=1+(2+4)

Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения .

Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.

Сочетательный закон сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a+ b)+ c= a+(b+ c)

Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых. Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30

Свойство сложения с нулем.

При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:

a+0= a
0+ a= a

Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:

Второй вариант таблицы сложения.

Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.

В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.

В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.

Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.

Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.

Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a

Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22

Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.

Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921

Тема. «Сочетательное свойство сложения. Скобки».

Цели. Познакомить с сочетательным свойством сложения, с новым математическим знаком – скобками; совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки табличного сложения и вычитания однозначных чисел в пределах 20 с переходом через разряд.

Учебный материал. Учебник «Математика. 2 класс» (авт. Н.Б. Истомина); тетради на печатной основе: «Тетрадь по математике 1», «Учимся решать комбинаторные задачи»; индивидуальные карточки на кленовых листочках; 15 полосок с выражениями для работы в группах; игра «Распутай клубок»; схемы-опоры; индивидуальные экраны для письма.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель. Поднимите руки те, кто из вас любит путешествовать. Сегодня мы отправимся в математическое путешествие по осеннему лесу, который полон загадок и чудес. А путешественники – это первооткрыватели. Сегодня вы сами постараетесь сделать открытие. Наш девиз: «За всякое дело берись умело».

II. Актуализация знаний

У. Пойдем по лесной тропинке так, чтобы не беспокоить обитателей леса, – только со стороны будем наблюдать за ними.

Игра «Распутай клубок»

На доске записаны равенства, в которых часть чисел закрыта геометрическими фигурами:

По команде учителя дети записывают на индивидуальных экранах пропущенное число и дают объяснение своим действиям.

У. Откуда начнем распутывать клубок? Почему?

Дети. Начнем с выражения 15 – 8, так как известны два числа.

У. Внимание! Напишите на своих экранах значение разности чисел 15 и 8.

Дети написали 7 и одновременно все подняли свои экраны .

– А теперь на какое равенство обратим внимание?

Д. На первое. Там кроме числа 12 изображен такой же треугольник, а значит, должно быть число 7.

У. Верно. Уменьшите 12 на 7.

На экранах дети написали число 5.

Д. Посмотрим на четвертое равенство, так как там кроме числа 9 изображен такой же квадрат, что и в первом равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 5.

У. Верно. Найдите значение суммы чисел 5 и 9.

На экранах дети написали число 14.

Д. Возьмем второе равенство, так как там кроме числа 8 есть такой же круг, что и в четвертом равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 14.

У. Верно. Найдите значение разности 14 и 8.

На экранах дети написали число 6.

Д. Возьмем пятое равенство, так как там кроме числа 40 есть такой же прямоугольник, что и во втором равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 6.

У. Верно. Найдите значение разности чисел 40 и 6.

На экранах дети написали число 34.

III. Знакомство с новым материалом

У. Лесная тропинка привела нас на полянку. Осмотримся. Около деревьев – ковер из разноцветных листьев. У каждого из вас на столе кленовые листочки с заданием. Двое учеников будут работать по заданиям с обратной стороны доски.

Догадайтесь, по какому правилу записаны равенства слева и справа, и вставьте числа в «окошки».

Учащиеся выполняют задание самостоятельно.

9 + 1 + 6 = 10 + 6 7 + 3 + 2 = 10 + 2 8 + 2 + 5 = ... + ... 9 + 1 + 7 = ... + ... 9 + 1 + 6 = 9 + 7 7 + 3 + 2 = 7 + 5 8 + 2 + 5 = ... + ... 9 + 1 + 7 = ... + ...

– Посмотрим, как выполнили задание ребята, работавшие у доски. Что вы можете сказать о содержании заданий?

Д. У всех задания одинаковые.

У. А как они их выполнили?

Д. По-разному.

У. Почему так получилось?

Д. Не все разгадали правило: один знает больше, а другой меньше. Такое задание мы выполняем в первый раз.

IV. Формулировка темы урока

У. Проанализируем равенства и выясним, кто выполнил задание правильно. Сравним левые части равенств первого и второго столбиков.

Д. Они одинаковые. Складываем три числа.

У. Сравним правые части равенств первого и второго столбиков.

Д.

– Во втором столбике сначала сложили второе и третье числа и результат прибавили к первому числу.

У. Какие числа вставим в «окошки»?

Д. 8 + 2 + 5 = 10 + 5
9 + 1 + 7 = 10 + 7
8 + 2 + 5 = 8 + 7
9 + 1 + 7 = 9 + 8

У. Кто догадался и сможет сформулировать тему урока?

Д. Будем складывать три числа разными способами.

У. Мы познакомимся еще с одним свойством сложения. Повторите, как складывали три числа?

Д. В первом столбике сначала сложили первые два числа, а потом прибавили третье.

– Во втором столбике сначала сложили второе и третье числа, и результат прибавили к первому числу.

У. Как все это можно записать? Наверное, должен быть какой-то знак?

Д. Это скобки.

У. Что показывают скобки?

Д. Какое действие нужно выполнять первым.

На доске открывается запись.

(9 + 1) + 6 = (7 + 3) + 2 = (8 + 2) + 5 = (9 + 1) + 7 = 9 + (1 + 6) 7 + (3 + 2) 8 + (2 + 5) 9 + (1 + 7)

У. Что вы еще заметили?

Д. Три числа складывали по-разному, а значение суммы одинаково. Оно не зависит от порядка выполнения действий.

У. Проверим, правы ли вы. Откройте учебник на с. 47, прочитайте правило. Вы открыли сейчас для себя сочетательное свойство сложения.

V. Физкультминутка

VI. Первичное закрепление материала

У. Прочитайте задание 127 на с. 48.

Д. « Покажи с помощью скобок, какие два слагаемых ты заменишь значением суммы, и найди значение каждого выражения».

У. Объясните, почему в одних выражениях находили сначала сумму первого и второго чисел и прибавляли третье, а в других к первому числу прибавляли сумму второго и третьего чисел. Поднимите руку те, кто хотел это задание выполнить самостоятельно. Вы будете работать по вариантам. Первый столбик – для учеников 1-го варианта, второй столбик – для 2-го варианта, а третий столбик – дополнительный для тех, кто быстро выполнит задание.

Двое учащихся пишут на доске. Дети выполняют задание. Проверяются все примеры.

– Прочитайте выражение, значение которого – «круглое число».

Д. 30 + (4 + 6) = 40
60 + (24 + 6) = 90
40 + (37 + 3) = 80

У. Прочитайте выражение, значение которого на 7 меньше, чем наибольшее двузначное число.

Д. (20 + 70) + 2 = 92

У. Прочитайте выражение, значение которого – число, состоящее из одинакового количества десятков и единиц.

Д. (30 + 40) + 7 = 77

У. Прочитайте выражение, значение которого – число, идущее перед 50.

Д. 40 + (6 + 3) = 49

У. Самые внимательные, назовут выражения, значения которых мы еще не проверили. Объясните, почему в одних выражениях мы находили сначала сумму первого и второго чисел и прибавляли третье, а в других к первому числу прибавляли сумму второго и третьего чисел.

Д. Нам удобнее складывать числа, при сложении которых получается «круглое» число, – так быстрее производить вычисления.

У. Чтобы запомнить новое свойство сложения и быстро его вспомнить, если забыли, необходимо выбрать схему, состоящую из букв или знаков. Эти схемы находятся на стенах класса. Посмотрите на них, выберите одну и объясните свой выбор.

(* + *) + * = * + (* + *) (а + b ) + с = а + (b + с ) (0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0)

Д. Все схемы подходят. В математике используют латинские буквы, поэтому выберем схему (а + в ) + с = а + (в + с ).

VII. Самостоятельная работа в группах

Учащиеся распределяются на группы, получают задания на полосках разного цвета. Необходимо найти и записать значения данных выражений, используя сочетательное свойство сложения, затем прикрепить полоску с выражением на магнитной доске под соответствующей формулой:

У. Все молодцы! Идем по лесной тропинке дальше. Отгадайте загадку о лесном зверьке:

Не птица, а с дерева на дерево летает.

Д. Это белка.

У. Верно. Помогите белке разместить запасы на зиму по трем дуплам. Работаем в тетрадях на печатной основе «Учимся решать комбинаторные задачи». Выполняем задание 20 на с. 20 самостоятельно.

Проверка:

– Прочитайте задание 21 на с. 20.

Д. « Расположи буквы о , н , с в клеточках по-разному».

У. Выполните это задание самостоятельно.

Дети группируют буквы.

– Что у вас получилось?

Д. Получилось шесть вариантов.

У. Обведите варианты, где получились слова, имеющие смысл.

Д. Это сон и нос .

У. Назовите животных, которые на зиму ложатся в спячку.

Д. Медведь, еж, уж.

У. Какую зимующую птицу называют «лесным доктором»?

Д. Дятла. Своим клювом он достает насекомых из-под коры деревьев, тем самым спасая их от вредителей.

VIII. Итог урока

У. Наше путешествие по осеннему лесу подошло к концу. Какое открытие вы сделали сегодня на уроке?

Д. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Это сочетательное свойство сложения.

У. Кому понравилось путешествие, поаплодируйте.

Дети аплодируют.

IХ. Домашнее задание

В «Тетради по математике 1» – с. 33, № 81.

Статья опубликована при поддержке компании "Евроконтракт", одного из основных производителей пеноблоков, стеновых блоков, тротуарной плитки, пазогребневых плит, бордюрного камня и других современных строительных материалов. В настоящее время одно из первых мест по популярности среди стройматериалов прочно закрепилось за пенобетоном. И, надо сказать, вполне заслуженно. В ряде стран пенобетонные блоки даже называют "биоблоками", поскольку они состоят только из натуральных компонентов и являются экологически чистым строительным материалом, безопасным для человека и окружающей среды. Кроме того, пенобетон по сравнению с обычным бетоном, значительно меньше весит, и, следовательно, его намного легче транспортировать, а большие размеры и правильная форма пенобетонных блоков существенно упрощают их кладку. С информацией о массе других преимуществ пенобетонных блоков и их цене можно подробно ознакомиться на сайте evrocontract.ru.

В этой задаче нужно разобрать основные свойства сложения.

Сложение

Сложение представляет собой арифметическое действие. Объединение нескольких чисел в одно, равное всем им, вместе взятым.

Переместительное и сочетательное свойства сложения

• Переместительное свойство. Суть: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
• Математическая запись: a + b = b + a.
• Примеры: 1/4 + 1 = 1 + 1/4; 2 + 3 = 3 + 2; 0,34 + 0,45 = 0,45 + 0,34.
• Сочетательное свойство. Суть: для того чтобы к сумме двух некоторых чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
• Математическая запись: (a + b) + с= а + (b + с).
• Примеры: (1 + 1/4) + 2 = 1 + (1/4 + 2); (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1); (0,34 + 0,45) + 0,2 = 0,34 + (0,45 + 0,2).

Свойство нуля

При сложении некоторого числа и нуля, получается тоже число.

Свойство вычитания суммы из числа. Свойство вычитания числа из суммы

Для того чтобы вычесть сумму из числа, необходимо из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое. Математическая запись: a - (b + c) = a - b - c. Также это можно назвать раскрытием скобок. Пример: 5 - (2 + 1) = 5 - 2 - 1.

Чтобы вычесть число из суммы, необходимо вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Тема, которой посвящен этот урок, - «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.

Урок: Свойства сложения

Внимательно посмотрите на выражение:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?

Если мы перегруппируем числа по-другому:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.

Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.

В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?

Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.

Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.

6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)

Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Мы видим, что значение выражения осталось прежним.

Потренируемся еще на одном примере.

(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значение нашего выражения осталось таким же.

Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.

Теперь сумму 14 и 6.

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

Сделай дома

1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Вычислите результаты выражений:

а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1

3. Вычислите сумму удобным способом:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13