Теорема 1. (За линейната независимост на ортогоналните вектори). Нека Тогава системата от вектори е линейно независима.

Съставяме линейна комбинация ∑λ i x i =0 и разглеждаме скаларното произведение (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, но ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Определение 1. Векторна системаили (e i ,e j)=δ ij - символ на Кронекер, се нарича ортонормална (ONS).

Определение 2. За произволен елемент x от произволно безкрайномерно евклидово пространство и произволна ортонормална система от елементи, редът на Фурие на елемент x в системата се нарича формално съставена безкрайна сума (серия) от формата , в която реалните числа λ i се наричат ​​коефициенти на Фурие на елемента x в системата , където λ i =(x,e i).

Коментар. (Естествено възниква въпросът за конвергенцията на тази серия. За да проучим този проблем, ние фиксираме произволно число n и откриваме какво отличава n-тата частична сума от реда на Фурие от всяка друга линейна комбинация от първите n елемента на ортонормална система.)

Теорема 2. За всяко фиксирано число n, сред всички суми на формата, най-малкото отклонение от елемента x в нормата на даденото евклидово пространство има n-тата частична сума от реда на Фурие на елемента

Като вземем предвид ортонормалността на системата и дефиницията на коефициента на Фурие, можем да запишем

Минимумът на този израз се достига при c i =λ i , тъй като в този случай винаги неотрицателната първа сума от дясната страна изчезва, а останалите членове не зависят от c i.

Пример. Помислете за тригонометричната система

в пространството на всички интегрируеми по Риман функции f(x) на сегмента [-π,π]. Лесно се проверява, че това е ONS и тогава редът на Фурие на функцията f(x) има формата където .

Коментар. (Тригонометричният ред на Фурие обикновено се записва като Тогава )

Произволно ONS в безкрайномерно евклидово пространство без допълнителни предположения, най-общо казано, не е основа на това пространство. На интуитивно ниво, без да даваме строги определения, ще опишем същността на въпроса. В произволно безкрайномерно евклидово пространство E, разгледайте ONS, където (e i ,e j)=δ ij е символът на Кронекер. Нека M е подпространство на евклидово пространство и k=M ⊥ подпространство, ортогонално на M, така че евклидовото пространство E=M+M ⊥ . Проекцията на вектор x∈E върху подпространство M е вектор ∈M, където

Ще търсим тези стойности на коефициентите на разширение α k, за които несъответствието (квадрат на несъответствието) h 2 =||x-|| 2 ще бъде минимумът:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ясно е, че този израз ще приеме минималната стойност за α k =0, което е тривиално, и за α k =(x,ek). Тогава ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Оттук получаваме неравенството на Бесел ∑α k 2 ||x|| 2. За ρ=0 ортонормална система от вектори (ONS) се нарича пълна ортонормална система по смисъла на Стеклов (PONS).От тук можем да получим равенството на Стеклов - Парсевал ∑α k 2 =||x|| 2 - "Питагоровата теорема" за пълни, по смисъла на Стеклов, безкрайномерни евклидови пространства. Сега би било необходимо да се докаже, че за да може всеки пространствен вектор да бъде уникално представен като ред на Фурие, сходен към него, е необходимо и достатъчно равенството на Стеклов-Парсевал да бъде изпълнено. Системата от вектори pic=""> ONB образува? системата от вектори Помислете за частичната сума на серията Тогава като опашка на конвергентна серия. Така системата от вектори е PONS и образува BSS.

Пример.Тригонометрична система

в пространството на всички интегрируеми по Риман функции f(x) на сегмента [-π,π] е PONS и образува ONB.

Определение 1. Система от вектори се нарича линейно зависима, ако един от векторите на системата може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори на системата, и линейно независима в противен случай.

Определение 1´. Система от вектори се нарича линейно зависима, ако има числа с 1 , с 2 , …, с k , не всички равни на нула, така че линейната комбинация от вектори с дадени коефициенти е равна на нулевия вектор: = , в противен случай системата се нарича линейно независима.

Нека покажем, че тези определения са еквивалентни.

Нека Определение 1 е изпълнено, т.е. един от векторите на системата е равен на линейна комбинация от останалите:

Линейна комбинация от система от вектори е равна на нулев вектор и не всички коефициенти на тази комбинация са равни на нула, т.е. важи определение 1.

Нека Определение 1 е изпълнено. Линейната комбинация на системата от вектори е , като не всички коефициенти на комбинацията са равни на нула, например коефициентите на вектора .

Представихме един от векторите на системата като линейна комбинация от останалите, т.е. определение 1 е изпълнено.

Определение 2. Единичният вектор или ort се нарича n-мерен вектор, кое азКоординатата th е равна на единица, а останалите са нула.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различни единични вектори н-мерното пространство са линейно независими.

Доказателство.Нека линейната комбинация от тези вектори с произволни коефициенти е равна на нулевия вектор.

От това равенство следва, че всички коефициенти са равни на нула. Имаме противоречие.

Всеки вектор н-измерно пространство ā (А 1 , А 2 , ..., А n) може да се представи като линейна комбинация от единични вектори с коефициенти, равни на координатите на вектора

Теорема 2. Ако системата от вектори съдържа нулев вектор, тогава тя е линейно зависима.

Доказателство.Нека е дадена система от вектори и един от векторите е нула, например = . Тогава с векторите на тази система е възможно да се състави линейна комбинация, равна на нулевия вектор, и не всички коефициенти ще бъдат нула:

Следователно системата е линейно зависима.

Теорема 3. Ако някаква подсистема на система от вектори е линейно зависима, то цялата система е линейно зависима.

Доказателство.Дадена е система от вектори. Да приемем, че системата е линейно зависима, т.е. има числа с 1 , с 2 , …, с r , не всички равни на нула, така че = .Тогава

Оказа се, че линейната комбинация от векторите на цялата система е равна и не всички коефициенти на тази комбинация са равни на нула. Следователно системата от вектори е линейно зависима.

Последица.Ако една система от вектори е линейно независима, тогава всяка от нейните подсистеми също е линейно независима.

Доказателство.

Да приемем обратното, т.е. някаква подсистема е линейно зависима. От теоремата следва, че цялата система е линейно зависима. Стигнахме до противоречие.

Теорема 4 (теорема на Щайниц).Ако всеки от векторите е линейна комбинация от векторите и м>н, тогава системата от вектори е линейно зависима.

Последица.Във всяка система от n -мерни вектори не може да има повече от n линейно независими.

Доказателство.Всеки н-мерният вектор се изразява като линейна комбинация от n единични вектора. Следователно, ако системата съдържа мвектори и м>н, тогава според теоремата тази система е линейно зависима.

3.3. Линейна независимост на векторите. Основа.

Линеен комбинация векторни системи

наречен вектор

където a 1 , a 2 , ..., a n - произволни числа.

Ако всички i = 0, тогава се извиква линейната комбинация тривиален . В този случай, очевидно

Определение 5.

Ако за система от вектори съществува нетривиална линейна комбинация (поне една a i ¹ 0) равен на нулевия вектор: тогава системата от вектори се нарича линейно зависим. Ако равенството (1) е възможно само ако всички a i =0, тогава системата от вектори се извиква линейно независима .

Теорема 2 (Условия на линейна зависимост).

Определение 6.

От теорема 3 следва, че ако базата е дадена в пространството, тогава добавяйки произволен вектор към нея, получаваме линейно зависима система от вектори. В съответствие съсТеорема 2 (1) , един от тях (може да се покаже, че векторът ) може да бъде представен като линейна комбинация от останалите:

.

Определение 7.

Числа Наречен координати вектори в основата (означено

Ако векторите се разглеждат в равнина, тогава основата ще бъде подредена двойка неколинеарни вектори

и координатите на вектора в тази основа са двойка числа:

Забележка 3. Може да се покаже, че за даден базис координатите на вектора са еднозначно определени . От това по-специално следва, че ако векторите са равни, то съответните им координати са равни и обратно .

Така, ако в пространството е дадена база, тогава на всеки вектор от пространството съответства подредена тройка числа (координати на вектора в тази база) и обратно: всяка тройка числа съответства на вектор.

В равнината подобно съответствие се установява между вектори и двойки числа.

Теорема 4 (Линейни операции чрез координати на вектори).

Ако в някаква основа И а е произволно число, тогава в тази основа

С други думи:

когато вектор се умножи по число, неговите координати се умножат по това число ;

когато се добавят вектори, се добавят съответните им координати .

Пример 1 . В някаква основа, векторитеимат координати

Покажете, че векторите образуват базис и намерете координатите на вектора в този базис.

Векторите формират основа, ако не са копланарни, следователно (споредТеорема 3(2) ) са линейно независими.

По дефиниция 5 това означава, че равенството

възможно само когатох = г = z = 0.

Концепциите за линейна зависимост и независимост на система от вектори са много важни при изучаването на векторната алгебра, тъй като концепциите за измерение и пространствена основа се основават на тях. В тази статия ще дадем определения, ще разгледаме свойствата на линейната зависимост и независимост, ще получим алгоритъм за изследване на система от вектори за линейна зависимост и ще анализираме подробно решенията на примерите.

Навигация в страницата.

Определяне на линейна зависимост и линейна независимост на система от вектори.

Помислете за набор от p n-мерни вектори, означете ги по следния начин. Съставете линейна комбинация от тези вектори и произволни числа (реални или сложни): . Въз основа на дефиницията на операциите върху n-мерни вектори, както и свойствата на операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, може да се твърди, че записаната линейна комбинация е някакъв n-мерен вектор, т.е. .

Така стигнахме до дефиницията на линейната зависимост на системата от вектори.

Определение.

Ако линейна комбинация може да бъде нулев вектор, когато е сред числата има поне един различен от нула, тогава системата от вектори се нарича линейно зависими.

Определение.

Ако линейната комбинация е нулев вектор само когато всички числа са равни на нула, тогава системата от вектори се нарича линейно независими.

Свойства на линейна зависимост и независимост.

Въз основа на тези определения формулираме и доказваме свойства на линейна зависимост и линейна независимост на система от вектори.

Ако няколко вектора се добавят към линейно зависима система от вектори, тогава получената система ще бъде линейно зависима.

Доказателство.

Тъй като системата от вектори е линейно зависима, равенството е възможно, ако има поне едно ненулево число от числата . Позволявам .

Нека добавим още s вектора към оригиналната система от вектори и получаваме системата. Тъй като и , тогава линейната комбинация от вектори на тази система от формата

е нулев вектор и . Следователно получената система от вектори е линейно зависима.

Ако няколко вектора са изключени от линейно независима система от вектори, тогава получената система ще бъде линейно независима.

Доказателство.

Приемаме, че получената система е линейно зависима. Добавяйки всички изхвърлени вектори към тази система от вектори, получаваме оригиналната система от вектори. По условие той е линейно независим и поради предишното свойство на линейна зависимост трябва да бъде линейно зависим. Стигнахме до противоречие, следователно предположението ни е грешно.

Ако система от вектори има поне един нулев вектор, тогава такава система е линейно зависима.

Доказателство.

Нека векторът в тази система от вектори е нула. Да приемем, че оригиналната система от вектори е линейно независима. Тогава векторното равенство е възможно само когато . Въпреки това, ако вземем всяка различна от нула, тогава равенството все още ще бъде валидно, тъй като . Следователно нашето предположение е погрешно и оригиналната система от вектори е линейно зависима.

Ако една система от вектори е линейно зависима, тогава поне един от нейните вектори е линейно изразен по отношение на останалите. Ако системата от вектори е линейно независима, тогава нито един от векторите не може да бъде изразен чрез другите.

Доказателство.

Нека първо докажем първото твърдение.

Нека системата от вектори е линейно зависима, тогава има поне едно ненулево число и равенството е вярно. Това равенство може да бъде разрешено по отношение на , тъй като в този случай имаме

Следователно векторът е линейно изразен чрез останалите вектори на системата, която трябваше да се докаже.

Сега доказваме второто твърдение.

Тъй като системата от вектори е линейно независима, равенството е възможно само за .

Да предположим, че някакъв вектор на системата е изразен линейно чрез другите. Нека този вектор бъде , тогава . Това равенство може да се пренапише като , от лявата му страна има линейна комбинация от векторите на системата, а коефициентът пред вектора е различен от нула, което показва линейна зависимост на оригиналната система от вектори. Така че стигнахме до противоречие, което означава, че свойството е доказано.

Важно твърдение следва от последните две свойства:
ако системата от вектори съдържа вектори и , където е произволно число, то тя е линейно зависима.

Изследване на системата от вектори за линейна зависимост.

Нека поставим задачата: трябва да установим линейна зависимост или линейна независимост на системата от вектори.

Логичният въпрос е: "Как да го решим?"

Нещо полезно от практическа гледна точка може да се извлече от горните определения и свойства на линейната зависимост и независимост на система от вектори. Тези определения и свойства ни позволяват да установим линейна зависимост на система от вектори в следните случаи:

Какво ще кажете за други случаи, които са мнозинство?

Нека се справим с това.

Спомнете си формулировката на теоремата за ранга на матрица, която цитирахме в статията.

Теорема.

Позволявам r е рангът на матрица A от ред p по n, . Нека M е основният минор на матрицата A . Всички редове (всички колони) на матрицата A, които не участват във формирането на базисния минор M, се изразяват линейно чрез редовете (колоните) на матрицата, които генерират базисния минор M .

А сега нека обясним връзката на теоремата за ранга на матрица с изследването на система от вектори за линейна зависимост.

Нека направим матрица A, чиито редове ще бъдат векторите на изследваната система:

Какво ще означава линейната независимост на системата от вектори?

От четвъртото свойство на линейната независимост на система от вектори знаем, че нито един от векторите на системата не може да бъде изразен чрез другите. С други думи, нито един ред от матрицата A няма да бъде линейно изразен чрез други редове, следователно, линейната независимост на системата от вектори ще бъде еквивалентна на условието Rank(A)=p.

Какво ще означава линейната зависимост на системата от вектори?

Всичко е много просто: поне един ред от матрицата A ще бъде линейно изразен по отношение на останалите, следователно, линейната зависимост на системата от вектори ще бъде еквивалентна на условието Rank(A)

.

И така, проблемът за изучаване на система от вектори за линейна зависимост се свежда до проблема за намиране на ранга на матрица, съставена от векторите на тази система.

Трябва да се отбележи, че при p>n системата от вектори ще бъде линейно зависима.

Коментирайте: при компилиране на матрица А системните вектори могат да се приемат не като редове, а като колони.

Алгоритъм за изследване на система от вектори за линейна зависимост.

Нека анализираме алгоритъма с примери.

Примери за изследване на система от вектори за линейна зависимост.

Пример.

Дадена е система от вектори. Проверете го за линейна връзка.

Решение.

Тъй като векторът c е нула, първоначалната система от вектори е линейно зависима поради третото свойство.

Отговор:

Системата от вектори е линейно зависима.

Пример.

Разгледайте системата от вектори за линейна зависимост.

Решение.

Не е трудно да се види, че координатите на вектора c са равни на съответните координати на вектора, умножени по 3, т.е. Следователно първоначалната система от вектори е линейно зависима.

Позволявам Л е линейното пространство над полето Р . Позволявам A1, a2, ... , an (*) крайна система от вектори от Л . вектор IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Ан (16) се обади Линейна комбинация от вектори ( *), или да речем вектор IN линейно изразено чрез система от вектори (*).

Определение 14. Системата от вектори (*) се нарича линейно зависими , ако и само ако съществува ненулев набор от коефициенти a1, a2, … , такъв, че a1× A1 + a2× A2 + … + an× Ан = 0. Ако a1× A1 + a2× A2 + … + an× Ан = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, тогава се извиква системата (*). линейно независими.

Свойства на линейна зависимост и независимост.

10. Ако система от вектори съдържа нулев вектор, то тя е линейно зависима.

Действително, ако в системата (*) векторът A1 = 0, След това 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ако система от вектори съдържа два пропорционални вектора, то тя е линейно зависима.

Позволявам A1 = Л×a2. След това 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× А N= 0.

30. Крайна система от вектори (*) за n ³ 2 е линейно зависима тогава и само ако поне един от нейните вектори е линейна комбинация от другите вектори на тази система.

Þ Нека (*) е линейно зависим. Тогава има ненулев набор от коефициенти a1, a2, …, an такъв, че a1× A1 + a2× A2 + … + an× Ан = 0 . Без загуба на общност можем да приемем, че a1 ¹ 0. Тогава съществува A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× А Н. И така, векторът A1 е линейна комбинация от останалите вектори.

Ü Нека един от векторите (*) е линейна комбинация от останалите. Можем да приемем, че това е първият вектор, т.е. A1 = B2 А2+ … + млрд А N, следователно (–1)× A1 + b2 А2+ … + млрд А N= 0 , т.е. (*) е линейно зависим.

Коментирайте. Използвайки последното свойство, може да се определи линейната зависимост и независимост на безкрайна система от вектори.

Определение 15. Векторна система A1, a2, ... , an , … (**) е наречен линейно зависими, Ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от някакъв краен брой други вектори. В противен случай се извиква системата (**). линейно независими.

40. Крайна система от вектори е линейно независима тогава и само тогава, когато нито един от нейните вектори не може да бъде линейно изразен чрез други нейни вектори.

50. Ако една система от вектори е линейно независима, то всяка нейна подсистема също е линейно независима.

60. Ако някаква подсистема на дадена система от вектори е линейно зависима, то цялата система също е линейно зависима.

Нека са дадени две системи от вектори A1, a2, ... , an , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Ако всеки вектор от система (16) може да бъде представен като линейна комбинация от краен брой вектори от система (17), тогава казваме, че система (17) е линейно изразена чрез система (16).

Определение 16. Двете системи от вектори се наричат еквивалентен , ако всеки от тях е линейно изразен по отношение на другия.

Теорема 9 (основна теорема за линейната зависимост).

Нека и са две крайни системи от вектори от Л . Ако първата система е линейно независима и линейно изразена чрез втората, тогава н£s.

Доказателство.Нека се преструваме, че н> С.Според теоремата

(21)

Тъй като системата е линейно независима, равенството (18) w X1=x2=…=xN=0.Нека заместим тук изразите на векторите: …+=0 (19). Следователно (20). Условия (18), (19) и (20) очевидно са еквивалентни. Но (18) е изпълнено само когато X1=x2=…=xN=0.Нека намерим кога равенството (20) е вярно. Ако всичките му коефициенти са равни на нула, то очевидно е вярно. Приравнявайки ги на нула, получаваме система (21). Тъй като тази система има нула, тя

става. Тъй като броят на уравненията е по-голям от броя на неизвестните, системата има безкрайно много решения. Следователно, той има ненулево x10, x20, …, xN0. За тези стойности равенството (18) ще бъде вярно, което противоречи на факта, че системата от вектори е линейно независима. Така че нашето предположение е погрешно. следователно н£s.

Последица.Ако две еквивалентни системи от вектори са крайни и линейно независими, тогава те съдържат еднакъв брой вектори.

Определение 17. Системата от вектори се нарича Максималната линейно независима система от вектори линейно пространство Л , ако е линейно независим, но добавяйки към него всеки вектор от Л не е включен в тази система, той става линейно зависим.

Теорема 10. Всякакви две крайни максимални линейно независими системи от вектори от Л Съдържат същия брой вектори.

Доказателствоследва от факта, че всеки две максимални линейно независими системи от вектори са еквивалентни .

Лесно е да се докаже, че всяка линейно независима система от пространствени вектори Л може да бъде завършен до максималната линейно независима система от вектори на това пространство.

Примери:

1. В множеството на всички колинеарни геометрични вектори всяка система, състояща се от един ненулев вектор, е максимално линейно независима.

2. В множеството от всички копланарни геометрични вектори всеки два неколинеарни вектора съставляват максимална линейно независима система.

3. В множеството от всички възможни геометрични вектори на тримерното евклидово пространство всяка система от три некомпланарни вектора е максимално линейно независима.

4. В множеството на всички полиноми степента е най-много нС реални (комплексни) коефициенти, система от полиноми 1, x, x2, …, xnТой е максимално линейно независим.

5. В множеството от всички полиноми с реални (комплексни) коефициенти примери за максимална линейно независима система са

а) 1, x, x2, … , xn, … ;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)Н, …

6. Наборът от матрици на размерност М´ не линейно пространство(провери го). Пример за максимална линейно независима система в това пространство е системата от матрици E11= , E12 \u003d, ..., EМн = .

Нека е дадена система от вектори C1, c2, ..., вж (*). Извиква се подсистемата от вектори от (*). Максимално линейно независим Подсистемасистеми ( *) , ако е линейно независим, но когато към него се добави всеки друг вектор от тази система, той става линейно зависим. Ако системата (*) е крайна, тогава всяка от нейните максимални линейно независими подсистеми съдържа същия брой вектори. (Доказателство от себе си.) Броят на векторите в максималната линейно независима подсистема на системата (*) се нарича ранг Тази система. Очевидно еквивалентните системи от вектори имат еднакви рангове.