Страница 1

Подпространство, неговата основа и измерение.

Позволявам Ле линейното пространство над полето П И Ае подмножество на Л. Ако Асам по себе си представлява линейно пространство над полето Пза същите операции като Л, Че Анаречено подпространство на пространството Л.

Според определението за линейно пространство, така че Абеше подпространство за проверка на осъществимостта Аоперации:

1) :
;

2)
:
;

и проверете дали операциите в Аподчинени на осем аксиоми. Последното обаче ще бъде излишно (поради факта, че тези аксиоми важат в L), т.е. следното

Теорема.Нека L е линейно пространство над поле P и
. Набор A е подпространство на L тогава и само ако са изпълнени следните изисквания:

1. :
;

2.
:
.

Изявление.Ако Л – н-мерно линейно пространство и Анеговото подпространство, тогава Асъщо е крайномерно линейно пространство и неговата размерност не надвишава н.

П пример 1.Дали множеството S от всички вектори на равнината, всеки от които лежи на една от координатните оси 0x или 0y, е подпространство на пространството на сегментните вектори V 2?

Решение: Позволявам
,
И
,
. Тогава
. Следователно S не е подпространство .

Пример 2 V 2 набор от векторни сегменти на равнината Свсички равнинни вектори, чиито начало и край лежат на дадена права лтози самолет?

Решение.

д sli вектор
умножете по реално число к, тогава получаваме вектора
, също принадлежащи на С. Иф И са два вектора от S, тогава
(според правилото за събиране на вектори на права линия). Следователно S е подпространство .

Пример 3Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 няколко Авсички вектори на равнината, чиито краища лежат на дадената права л, (да приемем, че началото на всеки вектор съвпада с началото)?

Р решение.

В случай, че прекият лне минава през произхода Алинейно подпространство на пространството V 2 не е, защото
.

В случай, че прекият л преминава през началото, множеството Ае линейно подпространство на пространството V 2 , защото
и при умножаване на всеки вектор
до реално число α извън терена Рполучаваме
. По този начин изискванията за линейно пространство за комплекта Азавършен.

Пример 4Нека е дадена система от вектори
от линейното пространство Лнад полето П. Докажете, че множеството от всички възможни линейни комбинации
с коефициенти
от Пе подпространство Л(това е подпространство Асе нарича подпространство, генерирано от системата от вектори
или линейна обвивка тази система от вектори, и се означават както следва:
или
).

Решение. Наистина, тъй като , Тогава за всякакви елементи х, гАние имаме:
,
, Където
,
. Тогава

защото
, Че
, Ето защо
.

Нека проверим осъществимостта на второто условие на теоремата. Ако хе всеки вектор от АИ T- всяко число от П, Че . Тъй като
И
,
, Че
,
, Ето защо
. Така, според теоремата, множеството Ае подпространство на линейно пространство Л.

За крайномерните линейни пространства обратното също е вярно.

Теорема.Всяко подпространство Алинейно пространство Лнад полето е линейният обхват на някаква система от вектори.

При решаването на задачата за намиране на основата и размерите на линейната обвивка се използва следната теорема.

Теорема.Основа на линейна обвивка
съвпада с основата на системата от вектори
. Размер на линейната обвивка
съвпада с ранга на системата от вектори
.

Пример 4Намерете основата и размерността на подпространство
линейно пространство Р 3 [ х] , Ако
,
,
,
.

Решение. Известно е, че векторите и техните координатни редове (колони) имат еднакви свойства (по отношение на линейна зависимост). Ние правим матрица А=
от координатни колони от вектори
в основата
.

Намерете ранга на матрица А.

. М 3 =
.
.

Следователно ранг r(А)= 3. И така, рангът на системата от вектори
е равно на 3. Следователно размерността на подпространството S е равна на 3 и неговата основа се състои от три вектора
(защото в основния минор
са включени само координатите на тези вектори)., . Тази система от вектори е линейно независима. Наистина, нека.

И
.

Може да се провери, че системата
линейно зависими за всеки вектор хот з. Това доказва това
максимална линейно независима система от подпространствени вектори з, т.е.
- основа в зи дим з=н 2 .

Страница 1

Подмножество на линейно пространство образува подпространство, ако е затворено спрямо векторно събиране и умножение със скалари.

ПРИМЕР 6.1. Подпространството в една равнина образува ли множество от вектори, чиито краища лежат: а) в първи квадрант; б) на права, минаваща през началото? (началото на вектора е в началото)

Решение.

а) не, тъй като множеството не е затворено при умножение по скалар: когато се умножи по отрицателно число, краят на вектора попада в третата четвърт.

б) да, тъй като при събиране на вектори и умножаването им по произволно число краищата им остават на една и съща права линия.

УПРАЖНЕНИЕ 6.1. Дали следните подмножества на съответните линейни пространства образуват подпространство:

а) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат в първи или трети квадрант;

б) набор от равнинни вектори, чиито краища лежат на права линия, която не минава през началото;

в) набор от координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

г) набор от координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

д) набор от координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 = x 2 2 ).

Размерността на линейно пространство L е броят dim L на векторите, включени във всяка негова основа.

Размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата са свързани с релацията

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

ПРИМЕР 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:

Решение Всяка от системите от вектори, които генерират подпространствата U и V, е линейно независима и следователно е основа на съответното подпространство. Нека изградим матрица от координатите на тези вектори, като ги подредим в колони и разделим една система от друга с линия. Нека приведем получената матрица в стъпаловидна форма.

~ ~ ~ .

Базисът U + V се формира от векторите , , , които съответстват на водещите елементи в матрицата на стъпките. Следователно dim (U + V) = 3. Тогава

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Пресечната точка на подпространствата образува набор от вектори, които удовлетворяват уравнението (стоящи от лявата и дясната страна на това уравнение). Базисът на пресичане се получава с помощта на фундаменталната система от решения на системата линейни уравнениясъответстващи на това векторно уравнение. Матрицата на тази система вече е сведена до стъпаловидна форма. Въз основа на това заключаваме, че y 2 е свободна променлива и задаваме y 2 = c. Тогава 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. и пресичането на подпространства образува набор от вектори на формата = c(3, 6, 3, 4). Следователно базисът UÇV образува вектора (3, 6, 3, 4).

Забележки. 1. Ако продължим да решаваме системата, намирайки стойностите на променливите x, тогава получаваме x 2 \u003d c, x 1 \u003d c, а от лявата страна на векторното уравнение получаваме вектор, равен на полученото по-горе.

2. Използвайки този метод, може да се получи основата на сумата, независимо дали генериращите системи от вектори са линейно независими. Но базата на пресичане ще бъде получена правилно само ако поне системата, генерираща второто подпространство, е линейно независима.

3. Ако се установи, че размерността на пресечната точка е 0, тогава пресечната точка няма основа и няма нужда да я търсите.

УПРАЖНЕНИЕ 6.2. Намерете основата и размерността на сумата и пресечната точка на подпространствата, обхванати от следните системи от вектори:

а)

б)

Евклидово пространство

Евклидовото пространство е линейно пространство над поле Р, в което е дефинирано скаларно умножение, което присвоява на всяка двойка вектори скалар и са изпълнени следните условия:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹ z > 0.

Стандартният точков продукт се изчислява с помощта на формулите

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n .

Векторите и се наричат ​​ортогонални, записват се с ^, ако тяхното скаларно произведение е равно на 0.

Система от вектори се нарича ортогонална, ако векторите в нея са ортогонални по двойки.

Ортогоналната система от вектори е линейно независима.

Процесът на ортогонализиране на системата от вектори , … , се състои в преминаването към еквивалентна ортогонална система , … , , извършвано по формулите:

, където , k = 2, … , n.

ПРИМЕР 7.1. Ортогонализация на система от вектори

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Решение Имаме = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

УПРАЖНЕНИЕ 7.1. Ортогонализация на системи от вектори:

а) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

б) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

ПРИМЕР 7.2. Допълнете системата от вектори = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), до ортогонален пространствен базис.

Решение Първоначалната система е ортогонална, така че проблемът има смисъл. Тъй като векторите са дадени в четиримерно пространство, е необходимо да се намерят още два вектора. Третият вектор = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) се определя от условията = 0, = 0. Тези условия дават система от уравнения, чиято матрица се формира от координатните редове на векторите и . Решаваме системата:

~ ~ .

Свободните променливи x 3 и x 4 могат да получат произволен набор от стойности, различни от нула. Приемаме, например, x 3 = 0, x 4 = 1. Тогава x 2 = 0, x 1 = 1 и = (1, 0, 0, 1).

По същия начин намираме = (y 1, y 2, y 3, y 4). За да направим това, добавяме нов координатен ред към стъпковата матрица, получена по-горе, и го намаляваме до стъпкова форма:

~ ~ .

За свободна променлива y 3 задаваме y 3 = 1. Тогава y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 и = (0, 1, 1, 0).

Нормата на евклидов пространствен вектор е неотрицателно реално число.

Вектор се нарича нормализиран, ако неговата норма е 1.

За да се нормализира вектор, той трябва да бъде разделен на неговата норма.

Ортогонална система от нормализирани вектори се нарича ортонормална.

УПРАЖНЕНИЕ 7.2. Допълнете системата от вектори до ортонормална основа на пространството:

а) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

б) = (1/3, -2/3, 2/3).

Линейни дисплеи

Нека U и V са линейни пространства над поле F. Преобразуване f: U ® V се нарича линейно, ако и .

ПРИМЕР 8.1. Линейни трансформации на триизмерното пространство са:

а) f (x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 - x 3, 0);

б) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Решение.

а) Имаме f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1, x 2, x 3)) = f(lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 - lx 3, 0) = l(2x 1, x 1 - x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Следователно трансформацията е линейна.

б) Имаме f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3)) = (1, x 1 + x 2, x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Следователно трансформацията не е линейна.

Образът на линейно преобразуване f: U ® V е множеството от изображения на вектори от U, т.е.

Im (f) = (f() ï Î U). + … + a m1

УПРАЖНЕНИЕ 8.1. Намерете ранга, дефекта, основите на изображението и ядрата на линейното преобразуване f, дадено от матрицата:

а) A = ; б) A = ; в) А = .

П И Ае подмножество на Л. Ако Асам по себе си представлява линейно пространство над полето Пза същите операции като Л, Че Анаречено подпространство на пространството Л.

Според определението за линейно пространство, така че Абеше подпространство за проверка на осъществимостта Аоперации:

1) :
;

2)
:
;

и проверете дали операциите в Аподчинени на осем аксиоми. Последното обаче ще бъде излишно (поради факта, че тези аксиоми важат в L), т.е. следното

Теорема.Нека L е линейно пространство над поле P и
. Набор A е подпространство на L тогава и само ако са изпълнени следните изисквания:

Изявление.Ако Л – н-мерно линейно пространство и Анеговото подпространство, тогава Асъщо е крайномерно линейно пространство и неговата размерност не надвишава н.

П пример 1. Дали подпространството на пространството на сегментните вектори V 2 е множеството S от всички вектори на равнината, всеки от които лежи на една от координатните оси 0x или 0y?

Решение: Позволявам
,
И
,
. Тогава
. Следователно S не е подпространство .

Пример 2Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 набор от векторни сегменти на равнината Свсички равнинни вектори, чиито начало и край лежат на дадена права лтози самолет?

Решение.

д sli вектор
умножете по реално число к, тогава получаваме вектора
, също принадлежащи на С. Иф И са два вектора от S, тогава
(според правилото за събиране на вектори на права линия). Следователно S е подпространство .

Пример 3Е линейно подпространство на линейно пространство V 2 няколко Авсички вектори на равнината, чиито краища лежат на дадената права л, (да приемем, че началото на всеки вектор съвпада с началото)?

Р решение.

В случай, че прекият лне минава през произхода Алинейно подпространство на пространството V 2 не е, защото
.

В случай, че прекият л преминава през началото, множеството Ае линейно подпространство на пространството V 2 , защото
и при умножаване на всеки вектор
до реално число α извън терена Рполучаваме
. По този начин изискванията за линейно пространство за комплекта Азавършен.

Пример 4Нека е дадена система от вектори
от линейното пространство Лнад полето П. Докажете, че множеството от всички възможни линейни комбинации
с коефициенти
от Пе подпространство Л(това е подпространство Асе нарича подпространство, генерирано от система от вектори или линейна обвивка тази система от вектори, и се означават както следва:
или
).

Решение. Наистина, тъй като , Тогава за всякакви елементи х, гАние имаме:
,
, Където
,
. Тогава

От тогава
, Ето защо
.

Нека проверим осъществимостта на второто условие на теоремата. Ако хе всеки вектор от АИ T- всяко число от П, Че . Тъй като
И
,, Че
, , Ето защо
. Така, според теоремата, множеството Ае подпространство на линейно пространство Л.

За крайномерните линейни пространства обратното също е вярно.

Теорема.Всяко подпространство Алинейно пространство Лнад полето е линейният обхват на някаква система от вектори.

При решаването на задачата за намиране на основата и размерите на линейната обвивка се използва следната теорема.

Теорема.Основа на линейна обвивка
съвпада с основата на системата от вектори . Размерността на линейния участък съвпада с ранга на системата от вектори.

Пример 4Намерете основата и размерността на подпространство
линейно пространство Р 3 [ х] , Ако
,
,
,
.

Решение. Известно е, че векторите и техните координатни редове (колони) имат еднакви свойства (по отношение на линейната зависимост). Ние правим матрица А=
от координатни колони от вектори
в основата
.

Намерете ранга на матрица А.

. М 3 =
.
.

Следователно ранг r(А)= 3. И така, рангът на системата от вектори е 3. Следователно размерността на подпространството S е 3 и неговата основа се състои от три вектора
(защото в основния минор
включени са само координатите на тези вектори).

Пример 5Докажете, че множеството заритметични пространствени вектори
, чиято първа и последна координати са 0, съставлява линейно подпространство. Намерете неговата основа и измерение.

Решение. Позволявам
.

След това и . следователно
за всякакви. Ако
,
, Че . Така, съгласно теоремата за линейното подпространство, множеството зе линейно подпространство на пространството . Да намерим основата з. Разгледайте следните вектори от з:
,
, . Тази система от вектори е линейно независима. Наистина, нека.

1. Нека подпространството Л = Л(А 1 , А 2 , …, a m) , това е Ле линейната обвивка на системата А 1 , А 2 , …, a m; вектори А 1 , А 2 , …, a mе системата от генератори на това подпространство. След това основата Ле в основата на системата от вектори А 1 , А 2 , …, a m, тоест основата на системата от генератори. Измерение Ле равен на ранга на системата от генератори.

2. Нека подпространството Ле сумата от подпространствата Л 1 и Л 2. Системата от генериращи подпространства може да се получи чрез комбиниране на системите от генериращи подпространства, след което се намира основата на сумата. Размерността на сумата се намира по следната формула:

дим(Л 1 + Л 2) = dimL 1 + dimL 2 – дим(Л 1 Z Л 2).

3. Нека сумата от подпространствата Л 1 и Л 2 права линия, т.е Л = Л 1 Å Л 2. При което Л 1 Z Л 2 = {О) И дим(Л 1 Z Л 2) = 0. Основата на прекия сбор е равна на обединението на основите на събираемите. Размерността на пряката сума е равна на сумата от размерностите на членовете.

4. Нека дадем важен пример за подпространство и линейно многообразие.

Помислете за хомогенна система млинейни уравнения с ннеизвестен. Много решения М 0 на тази система е подмножество на множеството R nи е затворен спрямо събирането на вектори и тяхното умножение по реално число. Това означава, че това е комплект М 0 - подпространство на пространството R n. Основата на подпространството е фундаменталното множество от решения на хомогенната система, размерността на подпространството е равна на броя на векторите във фундаменталното множество от решения на системата.

Няколко Мобщи системни решения млинейни уравнения с н unknown също е подмножество на множеството R nи е равно на сбора от множеството М 0 и вектор А, Където Ае някакво конкретно решение на оригиналната система и комплекта М 0 е набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения, придружаващи тази система (различава се от оригиналната система само в свободни условия),

М = А + М 0 = {А = м, м Î М 0 }.

Това означава, че много Ме линейно многообразие на пространството R nс изместващ вектор Аи посока М 0 .

Пример 8.6.Намерете основата и размерността на подпространство, дадено от хомогенна система от линейни уравнения:

Решение. Нека намерим общото решение на тази система и нейния фундаментален набор от решения: с 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), с 2 = (12, –8, 0, 1, 0), с 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Базисът на подпространството се формира от вектори с 1 , с 2 , с 3, измерението му е три.

Край на работата -

Тази тема принадлежи на:

Линейна алгебра

Кострома Държавен университетиме n и nekrasov ..

Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

туит

Всички теми в този раздел:

ББК 22.174я73-5
M350 Отпечатано по решение на редакционно-издателския съвет на KSU. Н. А. Некрасова Рецензент А. В. Чередников

ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина 2013 ã КСУ им. Н. А. Некрасова, 2013

съюз (или сума)
Определение 1.9 Обединението на множества A и B е множеството A È B, състоящо се от онези и само онези елементи, които принадлежат на

Пресечна точка (или продукт)
Определение 1.10. Пресечната точка на множества A и B е множеството A Ç B, което се състои от тези и само тези елементи, принадлежащи на едно и също

Разлика
Определение 1.11 Разликата между множествата A и B е множеството A B, състоящо се от онези и само онези елементи, които принадлежат на множеството A

Декартов продукт (или директен продукт)
Определение 1.14. Подредена двойка (или двойка) (a, b) са два елемента a, b, взети в определен ред. Двойки (a1

Свойства на операциите с множество
Свойствата на операциите обединение, пресичане и допълване понякога се наричат ​​закони на алгебрата на множествата. Нека изброим основните свойства на операциите върху множества. Нека универсално множество U

Метод на математическата индукция
Методът на математическата индукция се използва за доказване на твърдения, в които участва естественият параметър n. Методът на математическата индукция - методът за доказване на математиката

Комплексни числа
Концепцията за число е едно от основните постижения на човешката култура. Първо се появиха естествени числа N = (1, 2, 3, …, n, …), след това цели Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), рационално Q

Геометрична интерпретация на комплексни числа
Известно е, че отрицателните числа са въведени във връзка с решаването на линейни уравнения с една променлива. В конкретни задачи отрицателният отговор се интерпретира като стойността на насоченото количество (

Тригонометрична форма на комплексно число
Векторът може да бъде зададен не само чрез координати в правоъгълна координатна система, но и чрез дължина и

Операции с комплексни числа в тригонометрична форма
По-удобно е да се извършва събиране и изваждане на комплексни числа в алгебрична форма, а умножение и деление в тригонометрична форма. 1. Умножения Нека две k

степенуване
Ако z = r(cosj + i×sinj), тогава zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), където n Î

Експоненциалната форма на комплексно число
От математическия анализ е известно, че e = , e е ирационално число. Ейл

Концепция за връзка
Определение 2.1. n-арна (или n-арна) връзка P върху множества A1, A2, …, An е всяко подмножество

Свойства на двоичните отношения
Нека двоичното отношение P е дадено върху непразно множество A, т.е. P Í A2. Определение 2.9.Двоично отношение P върху множество

Отношение на еквивалентност
Определение 2.15. Бинарна релация върху множество A се нарича релация на еквивалентност, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Еквивалентно съотношение

Функции
Определение 2.20 Бинарна релация ƒ н A ´ B се нарича функция от множество A към множество B, ако за всяко x

Общи понятия
Определение 3.1. Матрицата е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m реда и n колони. Числата m и n се наричат ​​ред (или

Добавяне на матрици от същия тип
Можете да добавяте само матрици от същия тип. Определение 3.12. Сумата от две матрици A = (aij) и B = (bij), където i = 1,

Свойства на добавяне на матрици
1) комутативност: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) асоциативност:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Умножение на матрица по число
Определение 3.13. Произведението на матрицата A = (aij) и реалното число k е матрицата C = (сij), за която

Свойства на умножение на матрица по число
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Матрично умножение
Дефинираме умножението на две матрици; За да направим това, трябва да въведем някои допълнителни понятия. Определение 3.14. Матриците A и B се наричат ​​последователни

Свойства на матрично умножение
1) Матричното умножение не е комутативно: A×B ≠ B×A. Демонстрирайте даден имотвъзможно с примери. Пример 3.6. а)

Транспониране на матрица
Определение 3.16. Матрицата Аt, получена от дадената чрез замяна на всеки неин ред с колона със същия номер, се нарича транспонирана към дадената матрица A

Детерминанти на матрици от втори и трети ред
На всяка квадратна матрица A от порядък n е присвоено число, което се нарича детерминанта на тази матрица. Обозначение: D, |A|, det A,

Определение 4.6.
1. За n = 1 матрицата A се състои от едно число: |A| = a11. 2. Нека е известна детерминантата за матрица от ред (n – 1). 3. Дефинирайте

Свойства на квалификатора
За да се изчислят детерминанти от порядъци по-големи от 3, се използват свойствата на детерминантите и теоремата на Лаплас. Теорема 4.1 (Лаплас). Детерминанта на квадратна матрица

Практическо изчисляване на детерминанти
Един от начините за изчисляване на детерминантите на ред над три е да го разширите в някаква колона или ред. Пример 4.4 Изчислете детерминантата D =

Концепцията за ранг на матрицата
Нека A е m´n матрица. Избираме произволно k реда и k колони в тази матрица, където 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Намиране на ранга на матрица по метода на граничещите минори
Един от методите за намиране на ранга на матрица е изброяването на непълнолетни. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата. Същността на метода е следната. Ако има поне един елемент

Намиране на ранга на матрица чрез елементарни трансформации
Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица. Определение 5.4. Следните трансформации се наричат ​​елементарни матрични трансформации: 1. умножаване

Концепцията за обратна матрица и как да я намерите
Нека е дадена квадратна матрица A. Определение 5.7. Матрица A–1 се нарича обратна на матрица A, ако A×A–1

Алгоритъм за намиране на обратната матрица
Помислете за един от начините да намерите обратното на дадена матрица с помощта на алгебрични добавки. Нека е дадена квадратна матрица A. 1. Намерете детерминантата на матрицата |A|. ЕС

Намиране на обратната матрица чрез елементарни трансформации
Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица с помощта на елементарни трансформации. Нека формулираме необходимите понятия и теореми. Дефиниция 5.11 Име на матрица B

Метод на Крамер
Да разгледаме система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, тоест m = n и системата изглежда така:

Метод на обратната матрица
Методът на обратната матрица е приложим за системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и детерминантата на основната матрица не е равна на нула. Матрична нотационна система

Метод на Гаус
За да се опише този метод, който е подходящ за решаване на произволни системи от линейни уравнения, са необходими някои нови концепции. Определение 6.7. 0 × уравнение

Описание на метода на Гаус
Методът на Гаус - методът за последователно елиминиране на неизвестни - се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации първоначалната система се свежда до еквивалентна система от стъпкови или т

Изучаване на система от линейни уравнения
Да се ​​изследва система от линейни уравнения означава, без да се решава системата, да се отговори на въпроса: последователна ли е системата или не и ако е така, колко решения има? Отговорете на това в

Хомогенни системи линейни уравнения
Определение 6.11 Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако нейните свободни членове са равни на нула. Хомогенна система от m линейни уравнения

Свойства на решенията на хомогенна система от линейни уравнения
1. Ако векторът а = (a1, a2, …, an) е решение на хомогенна система, то векторът k×а = (k×a1, k&t

Фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения
Нека M0 е множеството от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения. Определение 6.12 Вектори c1, c2, ..., c

Линейна зависимост и независимост на система от вектори
Нека a1, a2, …, am е набор от m части от n-мерни вектори, който обикновено се нарича система от вектори, и k1

Свойства на линейна зависимост на система от вектори
1) Системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима. 2) Система от вектори е линейно зависима, ако някоя от нейните подсистеми е линейно зависима. Последица. Ако си

Система на единични вектори
Определение 7.13. Система от единични вектори в пространството Rn е система от вектори e1, e2, …, en

Две теореми за линейна зависимост
Теорема 7.1. Ако една по-голяма система от вектори е линейно изразена чрез по-малка, тогава по-голямата система е линейно зависима. Нека формулираме тази теорема по-подробно: нека a1

Базис и ранг на система от вектори
Нека S е система от вектори в пространството Rn; може да бъде ограничен или безкраен. S" е подсистема на системата S, S" Ì S. Нека дадем две

Ранг на векторната система
Нека дадем две еквивалентни определения за ранга на система от вектори. Определение 7.16. Рангът на система от вектори е броят на векторите във всеки базис на тази система.

Практическо намиране на ранга и основата на система от вектори
От дадената система от вектори съставяме матрица, като подреждаме векторите като редове на тази матрица. Привеждаме матрицата до стъпаловидна форма, като използваме елементарни трансформации върху редовете на тази матрица. При

Дефиниция на векторно пространство над произволно поле
Нека P е произволно поле. Примери за познати ни полета са полето на рационалните, реалните, комплексните числа. Определение 8.1. Наборът V се извиква

Най-простите свойства на векторните пространства
1) o е нулев вектор (елемент), уникално дефиниран в произволно векторно пространство над полето. 2) За всеки вектор a О V съществува уникален

Подпространства. Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L Ì V (L е подмножество на V). Определение 8.2. Подмножество L на вектора pro

Пресечна точка и сума на подпространства
Нека V е векторно пространство над поле P, L1 и L2 са неговите подпространства. Определение 8.3. Подзаявка за пресичане

Линейни многообразия
Нека V е векторно пространство, L е подпространство и нека a е произволен вектор от пространството V. Определение 8.6 Чрез линейно многообразие

Крайномерни векторни пространства
Определение 8.7 Векторно пространство V се нарича n-мерно, ако съдържа линейно независима система от вектори, състояща се от n вектора, и за

Базис на крайномерно векторно пространство
V е крайномерно векторно пространство над полето P, S е система от вектори (крайна или безкрайна). Определение 8.10. Основата на системата S

Координати на вектора спрямо дадения базис
Да разгледаме крайномерно векторно пространство V с размерност n, като векторите e1, e2, …, en образуват неговата основа. Нека бъде продукт

Векторни координати в различни бази
Нека V е n-мерно векторно пространство, в което са дадени две бази: e1, e2, ..., en е старата база, e "1, e

Евклидови векторни пространства
Дадено е векторно пространство V над полето от реални числа. Това пространство може да бъде или крайномерно векторно пространство с размерност n, или безкрайномерно.

Точково произведение в координати
В n-мерно евклидово векторно пространство V е даден базис e1, e2, …, en. Векторите x и y, разложени на вектори

Метрични понятия
В евклидовите векторни пространства може да се премине от въведеното скаларно произведение към понятията за норма на вектор и ъгъл между векторите. Определение 8.16. норма (

Нормални свойства
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||ла|| = |l|×||a||, тъй като ||la|| =

Ортонормална основа на евклидово векторно пространство
Определение 8.21. Базис на евклидово векторно пространство се нарича ортогонален, ако векторите на базиса са по двойки ортогонални, т.е. ако a1, a

Процес на ортогонализиране
Теорема 8.12. Всяко n-мерно евклидово пространство има ортонормална основа. Доказателство. Нека a1, a2

Точково произведение в ортонормална основа
Дадена е ортонормална база e1, e2, …, en на евклидовото пространство V. Тъй като (ei, ej) = 0 за i

Ортогонално подпространствено допълнение
V е евклидово векторно пространство, L е неговото подпространство. Определение 8.23. Казва се, че вектор a е ортогонален на подпространство L, ако векторът

Връзка между координатите на вектор и координатите на неговия образ
Линеен оператор j е даден в пространството V и неговата матрица M(j) се намира в някакъв базис e1, e2, …, en. Нека това е основата

Подобни матрици
Нека разгледаме множеството Pn´n от квадратни матрици от ред n с елементи от произволно поле P. В това множество въвеждаме относителната

Свойства на отношението на подобие на матрицата
1. Рефлексивност. Всяка матрица е подобна на себе си, т.е. A ~ A. 2. Симетрия. Ако матрица A е подобна на B, тогава B е подобна на A, т.е.

Свойства на собствените вектори
1. Всеки собствен вектор принадлежи само на една собствена стойност. Доказателство. Нека x е собствен вектор с две собствени стойности

Характеристичен полином на матрица
Дадена е матрица A Î Pn´n (или A Î Rn´n). Дефинирайте

Условия, при които една матрица е подобна на диагонална матрица
Нека A е квадратна матрица. Можем да приемем, че това е матрицата на някакъв линеен оператор, даден в някакъв базис. Известно е, че в друга основа матрицата на линейния оператор

Йордан нормална форма
Определение 10.5. Йорданова клетка от ред k, свързана с числото l0, е матрица от ред k, 1 ≤ k ≤ n,

Привеждане на матрица до йорданова (нормална) форма
Теорема 10.3. Йордановата нормална форма е уникално дефинирана за матрица до реда, в който клетките на Джордан са разположени на главния диагонал. и т.н

Билинейни форми
Определение 11.1. Билинейна форма е функция (преобразуване) f: V ´ V ® R (или C), където V е произволен вектор n

Свойства на билинейните форми
Всяка билинейна форма може да бъде представена като сбор от симетрични косо-симетрични форми. С избраната основа e1, e2, …, en във вектора

Трансформация на матрица с билинейна форма при преминаване към нов базис. Ранг на билинейна форма
Нека две основи e = (e1, e2, …, en) и f = (f1, f2,

Квадратни форми
Нека A(x, y) е симетрична билинейна форма, дефинирана върху векторно пространство V. Дефиниция 11.6 Чрез квадратична форма

Намаляване на квадратна форма до канонична форма
Дадена е квадратна форма (2) A(x, x) = , където x = (x1

Закон за инерцията на квадратичните форми
Установено е, че броят на ненулевите канонични коефициенти на квадратична форма е равен на нейния ранг и не зависи от избора на неизродена трансформация, чрез която формата A(x

Необходимо и достатъчно условие една квадратна форма да бъде знакоопределена
Твърдение 11.1. За да бъде знакоопределена квадратичната форма A(x, x), дадена в n-мерното векторно пространство V, е необходимо

Необходимо и достатъчно условие за квазипроменливи квадратни форми
Твърдение 11.3. За да може квадратичната форма A(x, x), дефинирана в n-мерното векторно пространство V, да бъде квазипроменлива (т.е.

Критерий на Силвестър за знакоопределеност на квадратна форма
Нека формата A(x, x) в основата e = (e1, e2, …, en) се дефинира от матрицата A(e) = (aij)

Заключение
Линейната алгебра е задължителна част от всяка програма по математика за напреднали. Всеки друг раздел предполага наличието на знания, умения и способности, заложени по време на преподаването на тази дисциплина.

Библиографски списък
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейна алгебра с елементи аналитична геометрия. - М .: Издателство на Висшето училище по икономика, 2007. Беклемишев Д.В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра.

Линейна алгебра
Учебно помагалоРедактор и коректор Г. Д. Неганова Компютърен набор от Т. Н. Матицина, Е. К. Коржевина

Когато анализирахме понятията за n-мерен вектор и въведохме операции върху вектори, открихме, че наборът от всички n-мерни вектори генерира линейно пространство. В тази статия ще говорим за най-важните свързани понятия - за размерността и основата на векторното пространство. Ние също така разглеждаме теоремата за разширяването на произволен вектор по отношение на базис и връзката между различни бази на n-мерно пространство. Нека анализираме подробно решенията на типични примери.

Навигация в страницата.

Понятие за измерение и базис на векторното пространство.

Концепциите за измерение и основа на векторно пространство са пряко свързани с концепцията за линейно независима система от вектори, така че препоръчваме, ако е необходимо, да се обърнете към статията линейна зависимост на система от вектори, свойства на линейна зависимост и независимост.

Определение.

Размерност на векторното пространствосе нарича числото, равно на максималния брой линейно независими вектори в това пространство.

Определение.

Векторна пространствена основае подреден набор от линейно независими вектори на това пространство, чийто брой е равен на размерността на пространството.

Представяме някои аргументи, базирани на тези определения.

Разгледайте пространството от n -мерни вектори.

Нека покажем, че размерността на това пространство е равна на n.

Нека вземем система от n единични вектора от вида

Нека вземем тези вектори като редове на матрицата A. В този случай матрица A ще бъде n на n идентична матрица. Рангът на тази матрица е n (ако е необходимо, вижте статията). Следователно системата от вектори е линейно независима и нито един вектор не може да бъде добавен към тази система, без да се наруши нейната линейна независимост. Тъй като броят на векторите в системата тогава е равно на n размерността на пространството на n-мерните вектори е n, а единичните вектори са в основата на това пространство.

От последното твърдение и дефиницията на основата можем да заключим, че всяка система от n-мерни вектори, чийто брой вектори е по-малък от n, не е основа.

Сега нека разменим първия и втория вектор на системата . Лесно е да се покаже, че получената система от вектори също е основа на n-мерно векторно пространство. Нека съставим матрица, като я приемем за редове вектори на тази система. Тази матрица може да бъде получена от матрицата за идентичност чрез размяна на първия и втория ред, следователно нейният ранг ще бъде n. По този начин, система от n вектора е линейно независим и е основа на n-мерно векторно пространство.

Ако разменим други вектори на системата , получаваме друга основа.

Ако вземем линейно независима система от неединични вектори, тогава тя също е основата на n-мерно векторно пространство.

По този начин, векторно пространство с размерност n има толкова бази, колкото има линейно независими системи от n n-мерни вектори.

Ако говорим за двумерно векторно пространство (т.е. за равнина), тогава неговата основа са всеки два неколинеарни вектора. Основата на триизмерното пространство са всеки три некомпланарни вектора.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Векторите ли са основата на 3D векторно пространство?

Решение.

Нека разгледаме тази система от вектори за линейна зависимост. За да направим това, ще съставим матрица, чиито редове ще бъдат координатите на векторите и ще намерим нейния ранг:


Така векторите a , b и c са линейно независими и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно те са основата на това пространство.

Отговор:

Да те са.

Пример.

Може ли система от вектори да бъде основа на векторно пространство?

Решение.

Тази система от вектори е линейно зависима, тъй като максималният брой линейно независими триизмерни вектори е три. Следователно тази система от вектори не може да бъде основа на тримерно векторно пространство (въпреки че подсистема на оригиналната система от вектори е основа).

Отговор:

Не той не може.

Пример.

Уверете се, че векторите

може да бъде основа на четиримерно векторно пространство.

Решение.

Нека направим матрица, като я приемем като редове от оригиналните вектори:

Да намерим:

Така системата от вектори a, b, c, d е линейно независима и техният брой е равен на размерността на векторното пространство, следователно a, b, c, d са нейната основа.

Отговор:

Оригиналните вектори наистина са основата на четириизмерното пространство.

Пример.

Векторите формират ли основата на 4-измерно векторно пространство?

Решение.

Дори ако оригиналната система от вектори е линейно независима, броят на векторите в нея не е достатъчен, за да бъде основата на четиримерно пространство (основата на такова пространство се състои от 4 вектора).

Отговор:

Не, не става.

Декомпозиция на вектор по отношение на базис на векторно пространство.

Нека произволни вектори са в основата на n-мерно векторно пространство. Ако към тях добавим някакъв n-мерен вектор x, тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима. От свойствата на линейната зависимост знаем, че поне един вектор на линейно зависима система е линейно изразен по отношение на останалите. С други думи, поне един от векторите на линейно зависима система е разширен по отношение на останалите вектори.

Така стигаме до една много важна теорема.

Теорема.

Всеки вектор от n-мерно векторно пространство е уникално декомпозиран по отношение на базис.

Доказателство.

Позволявам - базис на n -мерно векторно пространство. Нека добавим n-мерен вектор x към тези вектори. Тогава получената система от вектори ще бъде линейно зависима и векторът x може да бъде линейно изразен чрез векторите : , къде са цифрите. Така че имаме разширението на вектора x по отношение на основата. Остава да се докаже, че това разлагане е уникално.

Да приемем, че има друго разлагане , където - някои числа. От лявата и дясната част на последното равенство извадете съответно лявата и дясната част на равенството:

Тъй като системата от базисни вектори е линейно независима, тогава по дефиницията за линейна независимост на система от вектори полученото равенство е възможно само когато всички коефициенти са равни на нула. Следователно, , което доказва уникалността на разширението на вектора по отношение на базиса.

Определение.

Коефициентите се наричат координати на вектора x в базиса .

След като се запознахме с теоремата за разширяването на вектор по отношение на базис, започваме да разбираме същността на израза „дан ни е n-мерен вектор ". Този израз означава, че разглеждаме вектор x от n-мерно векторно пространство, чиито координати са дадени в някакъв базис. В същото време разбираме, че същият вектор x в друга основа на n-мерното векторно пространство ще има координати, различни от .

Разгледайте следния проблем.

Нека в някакъв базис на n-мерно векторно пространство ни е дадена система от n линейно независими вектора

и вектор . След това векторите също са основа на това векторно пространство.

Нека трябва да намерим координатите на вектора x в основата . Нека означим тези координати като .

Вектор x в основата има идея. Записваме това равенство в координатна форма:

Това равенство е еквивалентно на система от n линейни алгебрични уравненияс n неизвестни променливи :

Основната матрица на тази система има формата

Нека го обозначим като А. Стълбовете на матрица A са вектори на линейно независима система от вектори , така че рангът на тази матрица е n, следователно нейният детерминант е различен от нула. Този факт показва, че системата от уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки метод, например или .

Така желаните координати ще бъдат намерени вектор x в основата .

Нека анализираме теорията с примери.

Пример.

В някаква основа на тримерното векторно пространство, векторите

Уверете се, че векторната система също е основа на това пространство и намерете координатите на вектора x в тази база.

Решение.

За да бъде една система от вектори основа на триизмерно векторно пространство, тя трябва да бъде линейно независима. Нека разберем, като определим ранга на матрицата A, чиито редове са вектори. Намираме ранга по метода на Гаус


следователно Rank(A) = 3, което показва линейната независимост на системата от вектори.

Така че векторите са основата. Нека векторът x има координати в тази основа. Тогава, както показахме по-горе, връзката на координатите на този вектор се дава от системата от уравнения

Замествайки в него стойностите, известни от условието, получаваме

Нека го решим по метода на Крамър:

Така векторът x в основата има координати .

Отговор:

Пример.

В някаква основа четиримерното векторно пространство получава линейно независима система от вектори

Известно е, че . Намерете координатите на вектора x в базиса .

Решение.

Тъй като системата от вектори е линейно независим по предположение, тогава той е основа на четириизмерно пространство. След това равенството означава, че векторът x в основата има координати. Означаваме координатите на вектора x в основата Как.

Системата от уравнения, която определя връзката на координатите на вектора x в основи И има формата

Заменяме известните стойности в него и намираме желаните координати:

Отговор:

.

Комуникация между базите.

Нека две линейно независими системи от вектори са дадени в някакъв базис на n-мерно векторно пространство

И

тоест те също са основи на това пространство.

Ако - векторни координати в базиса , тогава връзката на координатите И се дава от система от линейни уравнения (говорихме за това в предишния параграф):

, което в матрична форма може да бъде записано като

По подобен начин за вектор можем да напишем

Предишните матрични равенства могат да бъдат комбинирани в едно, което по същество определя връзката на векторите на две различни бази

По подобен начин можем да изразим всички базисни вектори през основата :

Определение.

Матрица Наречен преходна матрица от основата към основата , тогава равенството

Умножавайки двете страни на това уравнение отдясно по

получаваме

Нека намерим матрицата на прехода, докато няма да се спираме на намирането на обратната матрица и умножителните матрици (вижте, ако е необходимо, статии и):

Остава да открием връзката на координатите на вектора x в дадените бази.

Тогава нека векторът x има координати в основата

и в основата векторът x има координати , тогава

Тъй като левите части на последните две равенства са еднакви, можем да приравним десните части:

Ако умножим двете страни отдясно по

тогава получаваме


От друга страна

(намирам обратна матрицасамостоятелно).
Последните две равенства ни дават желаната връзка на координатите на вектора x в основите и .

Отговор:

Преходната матрица от основа към основа има формата
;
координатите на вектора x в основи и са свързани с отношенията

или
.

Разгледахме концепциите за измерение и базис на векторно пространство, научихме как да разлагаме вектор според базис и открихме връзка между различни бази на n-мерно пространство от вектори чрез преходна матрица.