Κυματική εξίσωσηείναι μια εξίσωση που εκφράζει την εξάρτηση της μετατόπισης ενός ταλαντούμενου σωματιδίου που συμμετέχει σε μια κυματική διαδικασία από τη συντεταγμένη της θέσης και του χρόνου ισορροπίας του:

Αυτή η συνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική τόσο ως προς το χρόνο όσο και ως προς τις συντεταγμένες. Επιπλέον, σημεία που βρίσκονται σε απόσταση μεγάλο το ένα από το άλλο, ταλαντώνονται με τον ίδιο τρόπο.

Ας βρούμε τον τύπο της συνάρτησης Χ στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος.

Ας εξετάσουμε ένα επίπεδο αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα σε ένα μέσο που δεν απορροφά ενέργεια. Σε αυτή την περίπτωση, οι επιφάνειες των κυμάτων θα είναι κάθετες στον άξονα. Όλες οι ποσότητες που χαρακτηρίζουν την ταλαντωτική κίνηση των σωματιδίων του μέσου εξαρτώνται μόνο από το χρόνο και τις συντεταγμένες. Η μετατόπιση θα εξαρτηθεί μόνο από και: . Έστω η ταλάντωση ενός σημείου με συντεταγμένη (η πηγή της ταλάντωσης) από τη συνάρτηση. Εργο: βρείτε τον τύπο δόνησης των σημείων στο επίπεδο που αντιστοιχεί σε μια αυθαίρετη τιμή. Για να ταξιδέψετε από ένα αεροπλάνο σε αυτό το αεροπλάνο, ένα κύμα απαιτεί χρόνο. Κατά συνέπεια, οι ταλαντώσεις των σωματιδίων που βρίσκονται στο επίπεδο θα υστερούν σε φάση κατά ένα χρόνο από τις ταλαντώσεις των σωματιδίων στο επίπεδο. Τότε η εξίσωση των ταλαντώσεων των σωματιδίων στο επίπεδο θα έχει τη μορφή:

Ως αποτέλεσμα, λάβαμε την εξίσωση ενός επίπεδου κύματος που διαδίδεται προς την αύξουσα κατεύθυνση:

. (3)

Σε αυτή την εξίσωση, είναι το πλάτος του κύματος. – κυκλική συχνότητα. – αρχική φάση, η οποία καθορίζεται από την επιλογή του σημείου αναφοράς και . – φάση επίπεδου κύματος.

Έστω η κυματική φάση μια σταθερή τιμή (καθορίζουμε την τιμή της φάσης στην εξίσωση κύματος):

Ας μειώσουμε αυτήν την έκφραση και ας διαφοροποιήσουμε. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

ή .

Έτσι, η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος στην εξίσωση του επιπέδου κύματος δεν είναι τίποτα άλλο από την ταχύτητα διάδοσης μιας σταθερής φάσης του κύματος. Αυτή η ταχύτητα ονομάζεται ταχύτητα φάσης .

Για ένα ημιτονοειδές κύμα, η ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας είναι ίση με την ταχύτητα φάσης. Αλλά ένα ημιτονοειδές κύμα δεν μεταφέρει καμία πληροφορία, και οποιοδήποτε σήμα είναι ένα διαμορφωμένο κύμα, δηλ. όχι ημιτονοειδές (όχι αρμονικό). Κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα φάσης είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. Δεν υπάρχει παράδοξο εδώ, γιατί... η ταχύτητα της κίνησης της φάσης δεν είναι η ταχύτητα μετάδοσης (διάδοσης) της ενέργειας. Η ενέργεια και η μάζα δεν μπορούν να κινηθούν με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός ντο .

Συνήθως η εξίσωση του επιπέδου κύματος δίνεται σε μια σχετικά συμμετρική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε την τιμή , η οποία ονομάζεται αριθμός κύματος . Ας μετατρέψουμε την έκφραση για τον αριθμό κύματος. Ας το γράψουμε στη φόρμα (). Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στην εξίσωση του επιπέδου κύματος:

Τελικά παίρνουμε

Αυτή είναι η εξίσωση ενός επίπεδου κύματος που διαδίδεται στην αύξουσα κατεύθυνση. Η αντίθετη κατεύθυνση διάδοσης του κύματος θα χαρακτηρίζεται από μια εξίσωση στην οποία το πρόσημο μπροστά από τον όρο θα αλλάξει.

Είναι βολικό να γράψετε την εξίσωση επίπεδου κύματος με την ακόλουθη μορφή.

Συνήθως ένα σημάδι Σχετικά με παραλείπονται, υπονοώντας ότι λαμβάνεται μόνο το πραγματικό μέρος της αντίστοιχης έκφρασης. Επιπλέον, εισάγεται ένας μιγαδικός αριθμός.

Αυτός ο αριθμός ονομάζεται μιγαδικό πλάτος. Ο συντελεστής αυτού του αριθμού δίνει το πλάτος και το όρισμα δίνει την αρχική φάση του κύματος.

Έτσι, η εξίσωση ενός επίπεδου συνεχούς κύματος μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή.

Όλα όσα συζητήθηκαν παραπάνω σχετίζονται με ένα μέσο όπου δεν υπήρχε εξασθένηση κυμάτων. Στην περίπτωση της εξασθένησης του κύματος, σύμφωνα με το νόμο του Μπουγκέρ (Pierre Bouguer, Γάλλος επιστήμονας (1698 - 1758)), το πλάτος του κύματος θα μειώνεται καθώς διαδίδεται. Τότε η εξίσωση του επιπέδου κύματος θα έχει την ακόλουθη μορφή.

ένα– συντελεστής εξασθένησης κύματος. Α 0 – πλάτος ταλαντώσεων σε σημείο με συντεταγμένες . Αυτό είναι το αντίστροφο της απόστασης στην οποία το πλάτος του κύματος μειώνεται κατά μι μια φορά.

Ας βρούμε την εξίσωση ενός σφαιρικού κύματος. Θα θεωρήσουμε ότι η πηγή των ταλαντώσεων είναι σημειακή. Αυτό είναι δυνατό αν περιοριστούμε στο να θεωρήσουμε το κύμα σε απόσταση πολύ μεγαλύτερη από το μέγεθος της πηγής. Ένα κύμα από μια τέτοια πηγή σε ένα ισότροπο και ομοιογενές μέσο θα είναι σφαιρικός . Τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια κύματος της ακτίνας θα ταλαντώνονται με τη φάση

Το πλάτος των ταλαντώσεων σε αυτή την περίπτωση, ακόμη και αν η ενέργεια του κύματος δεν απορροφηθεί από το μέσο, ​​δεν θα παραμείνει σταθερό. Μειώνεται με την απόσταση από την πηγή σύμφωνα με το νόμο. Επομένως, η εξίσωση σφαιρικού κύματος έχει τη μορφή:

ή

Λόγω των παραδοχών που έγιναν, η εξίσωση ισχύει μόνο για , που υπερβαίνει σημαντικά το μέγεθος της πηγής κύματος. Η εξίσωση (6) δεν ισχύει για μικρές τιμές, γιατί το πλάτος θα έτεινε στο άπειρο, και αυτό είναι παράλογο.

Με την παρουσία εξασθένησης στο μέσο, ​​η εξίσωση ενός σφαιρικού κύματος θα γραφεί ως εξής.

Ταχύτητα ομάδας

Ένα αυστηρά μονοχρωματικό κύμα είναι μια άπειρη ακολουθία «καμπώνων» και «κοιλάδων» στο χρόνο και στο χώρο.

Η ταχύτητα φάσης αυτού του κύματος ή (2)

Είναι αδύνατο να μεταδοθεί ένα σήμα χρησιμοποιώντας ένα τέτοιο κύμα, επειδή σε οποιοδήποτε σημείο του κύματος όλες οι «καμπούρες» είναι ίδιες. Το σήμα πρέπει να είναι διαφορετικό. Να είναι σημάδι (σημάδι) στο κύμα. Αλλά τότε το κύμα δεν θα είναι πλέον αρμονικό και δεν θα περιγράφεται από την εξίσωση (1). Ένα σήμα (παλμός) μπορεί να αναπαρασταθεί σύμφωνα με το θεώρημα του Fourier ως υπέρθεση αρμονικών κυμάτων με συχνότητες που περιέχονται σε ένα ορισμένο διάστημα Dw . Υπέρθεση κυμάτων που διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους σε συχνότητα,

που ονομάζεται κυματικό πακέτο ή ομάδα κυμάτων .

Η έκφραση για μια ομάδα κυμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής.

(3)

Εικόνισμα w τονίζει ότι αυτές οι ποσότητες εξαρτώνται από τη συχνότητα.

Αυτό το κυματικό πακέτο μπορεί να είναι ένα άθροισμα κυμάτων με ελαφρώς διαφορετικές συχνότητες. Όπου συμπίπτουν οι φάσεις των κυμάτων, παρατηρείται αύξηση του πλάτους και όπου οι φάσεις είναι αντίθετες, παρατηρείται απόσβεση του πλάτους (το αποτέλεσμα της παρεμβολής). Αυτή η εικόνα φαίνεται στο σχήμα. Για να θεωρηθεί μια υπέρθεση κυμάτων ομάδα κυμάτων, πρέπει να πληρούται η ακόλουθη προϋπόθεση: Dw<< w 0 .

Σε ένα μέσο μη διασποράς, όλα τα επίπεδα κύματα που σχηματίζουν ένα κυματικό πακέτο διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα φάσης v . Η διασπορά είναι η εξάρτηση της ταχύτητας φάσης ενός ημιτονοειδούς κύματος σε ένα μέσο από τη συχνότητα. Θα εξετάσουμε το φαινόμενο της διασποράς αργότερα στην ενότητα «Οπτική Κυμάτων». Ελλείψει διασποράς, η ταχύτητα κίνησης του κυματοειδούς πακέτου συμπίπτει με την ταχύτητα φάσης v . Σε ένα μέσο διασποράς, κάθε κύμα διασκορπίζεται με τη δική του ταχύτητα. Επομένως, το πακέτο κυμάτων εξαπλώνεται με την πάροδο του χρόνου και το πλάτος του αυξάνεται.

Εάν η διασπορά είναι μικρή, τότε το πακέτο κυμάτων δεν εξαπλώνεται πολύ γρήγορα. Επομένως, μια ορισμένη ταχύτητα μπορεί να αποδοθεί στην κίνηση ολόκληρου του πακέτου U .

Η ταχύτητα με την οποία κινείται το κέντρο του πακέτου κύματος (το σημείο με το μέγιστο πλάτος) ονομάζεται ομαδική ταχύτητα.

Σε περιβάλλον διασποράς v¹U . Μαζί με την κίνηση του ίδιου του κυματοειδούς πακέτου, κινούνται και οι «καμπούρες» μέσα στο ίδιο το πακέτο. Οι «καμπούρες» κινούνται στο διάστημα με ταχύτητα v , και το πακέτο στο σύνολό του με ταχύτητα U .

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την κίνηση ενός πακέτου κυμάτων χρησιμοποιώντας το παράδειγμα υπέρθεσης δύο κυμάτων με το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες w (διαφορετικά μήκη κύματος μεγάλο ).

Ας γράψουμε τις εξισώσεις δύο κυμάτων. Για απλότητα, ας υποθέσουμε τις αρχικές φάσεις j 0 = 0.

Εδώ

Αφήνω Dw<< w , αντίστοιχα Dk<< k .

Ας αθροίσουμε τις δονήσεις και ας πραγματοποιήσουμε μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό τύπο για το άθροισμα των συνημιτόνων:

Στο πρώτο συνημίτονο θα παραμελήσουμε Dwt Και Dkx , οι οποίες είναι πολύ μικρότερες από άλλες ποσότητες. Ας το λάβουμε υπόψη cos(–a) = cosa . Θα το γράψουμε επιτέλους.

(4)

Ο πολλαπλασιαστής σε αγκύλες αλλάζει με το χρόνο και συντεταγμένες πολύ πιο αργά από τον δεύτερο πολλαπλασιαστή. Συνεπώς, η έκφραση (4) μπορεί να θεωρηθεί ως εξίσωση ενός επίπεδου κύματος με πλάτος που περιγράφεται από τον πρώτο παράγοντα. Γραφικά, το κύμα που περιγράφεται από την έκφραση (4) παρουσιάζεται στο σχήμα που φαίνεται παραπάνω.

Το προκύπτον πλάτος προκύπτει ως αποτέλεσμα της προσθήκης κυμάτων, επομένως, θα παρατηρηθούν μέγιστα και ελάχιστα του πλάτους.

Το μέγιστο πλάτος θα καθοριστεί από την ακόλουθη συνθήκη.

(5)

Μ = 0, 1, 2…

xmax– συντεταγμένη του μέγιστου πλάτους.

Το συνημίτονο παίρνει τη μέγιστη τιμή του modulo Π .

Κάθε ένα από αυτά τα μέγιστα μπορεί να θεωρηθεί ως το κέντρο της αντίστοιχης ομάδας κυμάτων.

Επίλυση (5) σχετικά xmax θα το πάρουμε.

Αφού η ταχύτητα φάσης είναι ονομάζεται ομαδική ταχύτητα. Το μέγιστο πλάτος του πακέτου κυμάτων κινείται με αυτή την ταχύτητα. Στο όριο, η έκφραση για την ομαδική ταχύτητα θα έχει την ακόλουθη μορφή.

(6)

Αυτή η έκφραση ισχύει για το κέντρο μιας ομάδας αυθαίρετου αριθμού κυμάτων.

Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν ληφθούν με ακρίβεια υπόψη όλοι οι όροι της επέκτασης (για έναν αυθαίρετο αριθμό κυμάτων), η έκφραση για το πλάτος λαμβάνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ότι το πακέτο κυμάτων εξαπλώνεται με την πάροδο του χρόνου.
Η έκφραση για την ομαδική ταχύτητα μπορεί να δοθεί διαφορετική μορφή.

Ελλείψει διακύμανσης

Η μέγιστη ένταση εμφανίζεται στο κέντρο της ομάδας κυμάτων. Επομένως, η ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας είναι ίση με την ταχύτητα της ομάδας.

Η έννοια της ομαδικής ταχύτητας εφαρμόζεται μόνο υπό την προϋπόθεση ότι η απορρόφηση κύματος στο μέσο είναι χαμηλή. Με σημαντική εξασθένηση κύματος, η έννοια της ομαδικής ταχύτητας χάνει το νόημά της. Αυτή η περίπτωση παρατηρείται στην περιοχή της ανώμαλης διασποράς. Θα το εξετάσουμε στην ενότητα "Οπτικά Κυμάτων".

Πριν εξετάσουμε την κυματική διαδικασία, ας δώσουμε έναν ορισμό της ταλαντωτικής κίνησης. Δισταγμός - Αυτή είναι μια διαδικασία που επαναλαμβάνεται περιοδικά. Τα παραδείγματα ταλαντωτικών κινήσεων είναι πολύ διαφορετικά: η αλλαγή των εποχών, οι δονήσεις της καρδιάς, η αναπνοή, η φόρτιση στις πλάκες ενός πυκνωτή και άλλα.

Η εξίσωση ταλάντωσης σε γενική μορφή γράφεται ως

Οπου - πλάτος ταλαντώσεων,
- κυκλική συχνότητα, - χρόνος, - αρχική φάση. Συχνά η αρχική φάση μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν.

Από την ταλαντωτική κίνηση μπορούμε να προχωρήσουμε στην εξέταση της κυματικής κίνησης. Κύμα είναι η διαδικασία διάδοσης των δονήσεων στο χώρο στο χρόνο. Εφόσον οι ταλαντώσεις διαδίδονται στο χώρο με την πάροδο του χρόνου, η κυματική εξίσωση πρέπει να λαμβάνει υπόψη και τις χωρικές συντεταγμένες και τον χρόνο. Η κυματική εξίσωση έχει τη μορφή

όπου A 0 – πλάτος,  – συχνότητα, t – χρόνος,  – αριθμός κύματος, z – συντεταγμένη.

Η φυσική φύση των κυμάτων είναι πολύ διαφορετική. Είναι γνωστά ηχητικά, ηλεκτρομαγνητικά, βαρυτικά και ακουστικά κύματα.

Ανάλογα με τον τύπο της δόνησης, όλα τα κύματα μπορούν να ταξινομηθούν σε διαμήκη και εγκάρσια. Διαμήκη κύματα - πρόκειται για κύματα στα οποία τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος (Εικ. 3.1α). Ένα παράδειγμα διαμήκους κύματος είναι ένα ηχητικό κύμα.

Εγκάρσια κύματα - πρόκειται για κύματα στα οποία τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται σε εγκάρσια κατεύθυνση σε σχέση με την κατεύθυνση διάδοσης (Εικ. 3.1β).

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα ταξινομούνται ως εγκάρσια κύματα. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα το πεδίο ταλαντώνεται, και δεν συμβαίνει ταλάντωση των σωματιδίων του μέσου. Αν ένα κύμα με μία συχνότητα  διαδίδεται στο χώρο, τότε τέτοιο κύμα που ονομάζεται μονόχρωμος .

Για να περιγραφεί η διάδοση των διεργασιών κυμάτων, εισάγονται τα ακόλουθα χαρακτηριστικά. Το όρισμα συνημίτονου (βλ. τύπο (3.2)), δηλ. έκφραση
, που ονομάζεται φάση κύματος .

Σχηματικά, η διάδοση του κύματος κατά μήκος μιας συντεταγμένης φαίνεται στο Σχήμα. 3.2, σε αυτήν την περίπτωση, η διάδοση γίνεται κατά μήκος του άξονα z.

Περίοδος – χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης. Η περίοδος ορίζεται με το γράμμα Τ και μετράται σε δευτερόλεπτα (s). Το αντίστροφο της περιόδου λέγεται γραμμική συχνότητα και ορίζεται φά, μετρημένο σε Hertz (=Hz). Η γραμμική συχνότητα σχετίζεται με την κυκλική συχνότητα. Η σχέση εκφράζεται με τον τύπο

(3.3)

Αν καθορίσουμε το χρόνο t, τότε από το Σχ. 3.2 είναι σαφές ότι υπάρχουν σημεία, για παράδειγμα Α και Β, που δονούνται εξίσου, δηλ. σε φάση (σε φάση). Η απόσταση μεταξύ των πλησιέστερων δύο σημείων που ταλαντώνονται σε φάση ονομάζεται μήκος κύματος . Το μήκος κύματος ορίζεται ως  και μετράται σε μέτρα (m).

Ο αριθμός κύματος  και το μήκος κύματος  σχετίζονται μεταξύ τους με τον τύπο

(3.4)

Ο αριθμός κύματος  ονομάζεται αλλιώς σταθερά φάσης ή σταθερά διάδοσης. Από τον τύπο (3.4) είναι σαφές ότι η σταθερά διάδοσης μετριέται σε ( ). Η φυσική έννοια είναι ότι δείχνει πόσα ακτίνια αλλάζει η φάση του κύματος όταν περνάει ένα μέτρο διαδρομής.

Για να περιγραφεί η κυματική διαδικασία, εισάγεται η έννοια του μετώπου κύματος. Μέτωπο κυμάτων – αυτή είναι η γεωμετρική θέση των φανταστικών σημείων της επιφάνειας στα οποία έχει φτάσει η διέγερση. Ένα μέτωπο κύματος ονομάζεται επίσης μέτωπο κύματος.

Η εξίσωση που περιγράφει το μέτωπο κύματος ενός επίπεδου κύματος μπορεί να ληφθεί από την εξίσωση (3.2) στη μορφή

(3.5)

Ο τύπος (3.5) είναι η εξίσωση μετώπου κύματος ενός επίπεδου κύματος. Η εξίσωση (3.4) δείχνει ότι τα μέτωπα κυμάτων είναι άπειρα επίπεδα που κινούνται στο χώρο κάθετα στον άξονα z.

Η ταχύτητα κίνησης του μετώπου φάσης ονομάζεται ταχύτητα φάσης . Η ταχύτητα φάσης συμβολίζεται με V f και προσδιορίζεται από τον τύπο

(3.6)

Αρχικά, η εξίσωση (3.2) περιέχει μια φάση με δύο πρόσημα – αρνητικό και θετικό. Αρνητικό πρόσημο, δηλ.
, δείχνει ότι το μέτωπο κύματος διαδίδεται κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης διάδοσης του άξονα z. Ένα τέτοιο κύμα ονομάζεται ταξίδι ή πτώση.

Ένα θετικό πρόσημο της κυματικής φάσης δείχνει κίνηση του μετώπου κύματος προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. αντίθετα από την κατεύθυνση του άξονα z. Ένα τέτοιο κύμα ονομάζεται ανακλώμενο.

Σε αυτό που ακολουθεί θα εξετάσουμε τα ταξιδιωτικά κύματα.

Εάν ένα κύμα διαδίδεται σε πραγματικό περιβάλλον, τότε λόγω των απωλειών θερμότητας που συμβαίνουν, αναπόφευκτα εμφανίζεται μείωση του πλάτους. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Αφήστε το κύμα να διαδοθεί κατά μήκος του άξονα z και η αρχική τιμή του πλάτους του κύματος αντιστοιχεί στο 100%, δηλ. A 0 = 100. Ας πούμε ότι όταν περνάτε ένα μέτρο διαδρομής, το πλάτος του κύματος μειώνεται κατά 10%. Τότε θα έχουμε τις ακόλουθες τιμές πλάτη κυμάτων

Το γενικό μοτίβο των αλλαγών του πλάτους έχει τη μορφή

Η εκθετική συνάρτηση έχει αυτές τις ιδιότητες. Γραφικά η διαδικασία μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή του Σχ. 3.3.

Γενικά, γράφουμε τη σχέση αναλογικότητας ως

, (3.7)

όπου  είναι η σταθερά εξασθένησης του κύματος.

Η σταθερά φάσης  και η σταθερά απόσβεσης  μπορούν να συνδυαστούν εισάγοντας μια μιγαδική σταθερά διάδοσης , δηλ.

, (3.8)

όπου  είναι η σταθερά φάσης,  η σταθερά εξασθένησης του κύματος.

Ανάλογα με τον τύπο του μετώπου κύματος, διακρίνονται τα επίπεδα, τα σφαιρικά και τα κυλινδρικά κύματα.

Αεροπλάνο κύμα είναι ένα κύμα που έχει μέτωπο επίπεδο κύματος. Σε ένα επίπεδο κύμα μπορεί επίσης να δοθεί ο ακόλουθος ορισμός. Ένα κύμα ονομάζεται επίπεδο ομοιογενές εάν το διανυσματικό πεδίο Και σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου είναι κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης και δεν αλλάζουν σε φάση και πλάτος.

Εξίσωση επίπεδων κυμάτων

Εάν η πηγή που δημιουργεί το κύμα είναι μια σημειακή πηγή, τότε το μέτωπο κύματος που διαδίδεται σε έναν απεριόριστο ομοιογενή χώρο είναι μια σφαίρα. Σφαιρικό κύμα είναι ένα κύμα που έχει σφαιρικό κυματικό μέτωπο. Η σφαιρική κυματική εξίσωση έχει τη μορφή

, (3.10)

όπου r είναι το διάνυσμα ακτίνας που αντλείται από την αρχή, που συμπίπτει με τη θέση της σημειακής πηγής, σε ένα συγκεκριμένο σημείο στο χώρο που βρίσκεται σε απόσταση r.

Τα κύματα μπορούν να διεγερθούν από μια ατελείωτη σειρά πηγών που βρίσκονται κατά μήκος του άξονα z. Σε αυτή την περίπτωση, ένα τέτοιο νήμα θα δημιουργήσει κύματα, το μέτωπο φάσης των οποίων είναι μια κυλινδρική επιφάνεια.

Κυλινδρικό κύμα είναι ένα κύμα που έχει μέτωπο φάσης με τη μορφή κυλινδρικής επιφάνειας. Η εξίσωση ενός κυλινδρικού κύματος είναι

, (3.11)

Οι τύποι (3.2), (3.10, 3.11) υποδεικνύουν μια διαφορετική εξάρτηση του πλάτους από την απόσταση μεταξύ της πηγής κύματος και του συγκεκριμένου σημείου στο χώρο στο οποίο έφτασε το κύμα.

Εξισώσεις Helmholtz

Ο Maxwell έλαβε ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα στην ηλεκτροδυναμική, αποδεικνύοντας ότι η διάδοση ηλεκτρομαγνητικών διεργασιών στο χώρο με την πάροδο του χρόνου συμβαίνει με τη μορφή κύματος. Ας εξετάσουμε την απόδειξη αυτής της πρότασης, δηλ. Ας αποδείξουμε την κυματική φύση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Ας γράψουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική μορφή ως

(3.12)

Ας πάρουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (3.12) και ας εφαρμόσουμε τη λειτουργία του ρότορα σε αυτό στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Ας υποδηλώσουμε
, που αντιπροσωπεύει τη σταθερά διάδοσης. Ετσι

(3.14)

Από την άλλη, με βάση τη γνωστή ταυτότητα στη διανυσματική ανάλυση, μπορούμε να γράψουμε

, (3.15)

Οπου
είναι ο τελεστής Laplace, ο οποίος στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εκφράζεται με την ταυτότητα

(3.16)

Λαμβάνοντας υπόψη το νόμο του Gauss, δηλ.
, η εξίσωση (3.15) θα γραφτεί με απλούστερη μορφή

, ή

(3.17)

Ομοίως, χρησιμοποιώντας τη συμμετρία των εξισώσεων του Maxwell, μπορούμε να λάβουμε μια εξίσωση για το διάνυσμα , δηλ.

(3.18)

Οι εξισώσεις της μορφής (3.17, 3.18) ονομάζονται εξισώσεις Helmholtz. Στα μαθηματικά έχει αποδειχθεί ότι εάν οποιαδήποτε διαδικασία περιγράφεται με τη μορφή εξισώσεων Helmholtz, αυτό σημαίνει ότι η διαδικασία είναι μια κυματική διαδικασία. Στην περίπτωσή μας, συμπεραίνουμε: τα χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία οδηγούν αναπόφευκτα στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο διάστημα.

Σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση Helmholtz (3.17) γράφεται ως

Οπου ,,- μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αντίστοιχων αξόνων συντεταγμένων

,

,

.(3.20)

Ιδιότητες των επίπεδων κυμάτων κατά τη διάδοση σε μη απορροφητικά μέσα

Αφήστε ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα να διαδοθεί κατά μήκος του άξονα z, τότε η διάδοση του κύματος περιγράφεται από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων

(3.21)

Οπου Και - σύνθετα πλάτη πεδίου,

(3.22)

Η λύση στο σύστημα (3.21) έχει τη μορφή

(3.23)

Αν το κύμα διαδίδεται μόνο προς μία κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα z, και το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα x, τότε είναι σκόπιμο να γράψετε τη λύση στο σύστημα των εξισώσεων με τη μορφή

(3.24)

Οπου Και - μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αξόνων x, y.

Εάν δεν υπάρχουν απώλειες στο μέσο, ​​π.χ. περιβαλλοντικές παράμετροι  a και  a, και
είναι πραγματικές ποσότητες.

Ας απαριθμήσουμε τις ιδιότητες των επίπεδων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Για το μέσο εισάγεται η έννοια της κυματικής αντίστασης του μέσου

(3.25)

Οπου ,
- τιμές πλάτους εντάσεων πεδίου. Η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση για ένα μέσο χωρίς απώλειες είναι επίσης μια πραγματική τιμή.

Για τον αέρα, η αντίσταση κυμάτων είναι

(3.26)

Από την εξίσωση (3.24) είναι σαφές ότι το μαγνητικό και το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκονται σε φάση. Το πεδίο επίπεδου κύματος είναι ένα κινούμενο κύμα, το οποίο γράφεται στη μορφή

(3.27)

Στο Σχ. 3.4 διανύσματα πεδίου Και αλλαγή φάσης, όπως προκύπτει από τον τύπο (3.27).

Το διάνυσμα Poynting ανά πάσα στιγμή συμπίπτει με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος

(3.28)

Ο διανυσματικός συντελεστής Poynting καθορίζει την πυκνότητα ροής ισχύος και μετράται σε
.

Η μέση πυκνότητα ροής ισχύος καθορίζεται από

(3.29)

, (3.30)

Οπου
- αποτελεσματικές τιμές ισχύος πεδίου.

Η ενέργεια πεδίου που περιέχεται σε μια μονάδα όγκου ονομάζεται ενεργειακή πυκνότητα. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, δηλ. είναι μεταβλητό. Η τιμή της ενεργειακής πυκνότητας σε μια δεδομένη στιγμή ονομάζεται στιγμιαία ενεργειακή πυκνότητα. Για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά συστατικά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, οι στιγμιαίες πυκνότητες ενέργειας είναι αντίστοιχα ίσες

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
, από τις σχέσεις (3.31) και (3.32) είναι σαφές ότι
.

Η συνολική πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας δίνεται από

(3.33)

Η ταχύτητα φάσης διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος καθορίζεται από τον τύπο

(3.34)

Καθορίζεται το μήκος κύματος

(3.35)

Οπου - μήκος κύματος στο κενό (αέρας), s - ταχύτητα φωτός στον αέρα,  - σχετική διηλεκτρική σταθερά,  - σχετική μαγνητική διαπερατότητα, φά– γραμμική συχνότητα,  – κυκλική συχνότητα, V f – ταχύτητα φάσης,  – σταθερά διάδοσης.

Η ταχύτητα κίνησης της ενέργειας (ταχύτητα ομάδας) μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο

(3.36)

Οπου - Διάνυσμα Poynting, - ενεργειακή πυκνότητα.

Αν ζωγραφίζεις και σύμφωνα με τους τύπους (3.28), (3.33), λαμβάνουμε

(3.37)

Έτσι, παίρνουμε

(3.38)

Όταν ένα ηλεκτρομαγνητικό μονοχρωματικό κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο χωρίς απώλειες, οι ταχύτητες φάσης και ομάδας είναι ίσες.

Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της ταχύτητας φάσης και ομάδας που εκφράζεται με τον τύπο

(3.39)

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε φθοροπλαστικό με παραμέτρους  =2, =1. Ας αντιστοιχεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου

(3.40)

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος σε ένα τέτοιο μέσο θα είναι ίση με

Η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του φθοριοπλαστικού αντιστοιχεί στην τιμή

Ωμ (3,42)

Οι τιμές πλάτους της έντασης του μαγνητικού πεδίου παίρνουν τις τιμές

, (3.43)

Η πυκνότητα της ενεργειακής ροής είναι, κατά συνέπεια, ίση με

Μήκος κύματος σε συχνότητα
έχει το νόημα

(3.45)

Θεώρημα Umov–Poynting

Ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο χαρακτηρίζεται από τη δική του ενέργεια πεδίου και η συνολική ενέργεια καθορίζεται από το άθροισμα των ενεργειών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Αφήστε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο να καταλάβει έναν κλειστό όγκο V, τότε μπορούμε να γράψουμε

(3.46)

Η ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, καταρχήν, δεν μπορεί να παραμείνει σταθερή τιμή. Τίθεται το ερώτημα: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν την αλλαγή της ενέργειας; Έχει διαπιστωθεί ότι η μεταβολή της ενέργειας μέσα σε έναν κλειστό όγκο επηρεάζεται από τους ακόλουθους παράγοντες:

μέρος της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μπορεί να μετατραπεί σε άλλους τύπους ενέργειας, για παράδειγμα, μηχανική.

μέσα σε έναν κλειστό όγκο, μπορούν να δράσουν εξωτερικές δυνάμεις, οι οποίες μπορούν να αυξήσουν ή να μειώσουν την ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που περιέχεται στον υπό εξέταση όγκο.

Ο υπό εξέταση κλειστός όγκος V μπορεί να ανταλλάξει ενέργεια με τα γύρω σώματα μέσω της διαδικασίας της ενεργειακής ακτινοβολίας.

Η ένταση της ακτινοβολίας χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα Poynting . Ο όγκος V έχει κλειστή επιφάνεια S. Η μεταβολή της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μπορεί να θεωρηθεί ως η ροή του διανύσματος Poynting μέσω της κλειστής επιφάνειας S (Εικ. 3.5), δηλ.
, και είναι δυνατές επιλογές
>0 ,
<0 ,
=0 . Σημειώστε ότι το κανονικό τραβιέται στην επιφάνεια
, είναι πάντα εξωτερικό.

Να σας το υπενθυμίσουμε
, Οπου
είναι στιγμιαίες τιμές έντασης πεδίου.

Μετάβαση από επιφανειακό ολοκλήρωμα
στο ολοκλήρωμα πάνω από τον όγκο V πραγματοποιείται με βάση το θεώρημα Ostrogradsky-Gauss.

Γνωρίζοντας ότι

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στον τύπο (3.47). Μετά τον μετασχηματισμό, λαμβάνουμε μια έκφραση με τη μορφή:

Από τον τύπο (3.48) είναι σαφές ότι η αριστερή πλευρά εκφράζεται με ένα άθροισμα που αποτελείται από τρεις όρους, καθένα από τα οποία θα εξετάσουμε χωριστά.

Ορος
εκφράζει στιγμιαία απώλεια ισχύος , που προκαλούνται από ρεύματα αγωγιμότητας στον υπό εξέταση κλειστό όγκο. Με άλλα λόγια, ο όρος εκφράζει τις απώλειες θερμικής ενέργειας του πεδίου που περικλείεται σε έναν κλειστό όγκο.

Δεύτερη περίοδος
εκφράζει το έργο των εξωτερικών δυνάμεων που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου, δηλ. δύναμη εξωτερικών δυνάμεων. Για τέτοια ισχύ οι πιθανές τιμές είναι
>0,
<0.

Αν
>0, εκείνοι. προστίθεται ενέργεια στον όγκο V, τότε οι εξωτερικές δυνάμεις μπορούν να θεωρηθούν ως γεννήτρια. Αν
<0 , δηλ. στον όγκο V υπάρχει μείωση της ενέργειας, τότε οι εξωτερικές δυνάμεις παίζουν το ρόλο του φορτίου.

Ο τελευταίος όρος για ένα γραμμικό μέσο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

(3.49)

Ο τύπος (3.49) εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που περιέχεται στον όγκο V.

Αφού εξεταστούν όλοι οι όροι, ο τύπος (3.48) μπορεί να γραφτεί ως:

Ο τύπος (3.50) εκφράζει το θεώρημα του Poynting. Το θεώρημα του Poynting εκφράζει την ισορροπία ενέργειας μέσα σε μια αυθαίρετη περιοχή στην οποία υπάρχει ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Καθυστερημένες δυνατότητες

Οι εξισώσεις του Maxwell σε μιγαδική μορφή, όπως είναι γνωστό, έχουν τη μορφή:

(3.51)

Αφήστε να υπάρχουν εξωτερικά ρεύματα σε ένα ομοιογενές μέσο. Ας προσπαθήσουμε να μετασχηματίσουμε τις εξισώσεις του Maxwell για ένα τέτοιο μέσο και να λάβουμε μια απλούστερη εξίσωση που περιγράφει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε ένα τέτοιο μέσο.

Ας πάρουμε την εξίσωση
.Γνωρίζοντας ότι τα χαρακτηριστικά Και διασυνδεδεμένες
, τότε μπορούμε να γράψουμε
Ας λάβουμε υπόψη ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίου μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας διανυσματικό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό , που εισάγεται από τη σχέση
, Επειτα

(3.52)

Ας πάρουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος Maxwell (3.51) και κάνουμε τους μετασχηματισμούς:

(3.53)

Ο τύπος (3.53) εκφράζει τη δεύτερη εξίσωση του Maxwell ως προς το διανυσματικό δυναμικό . Ο τύπος (3.53) μπορεί να γραφτεί ως

(3.54)

Στην ηλεκτροστατική, όπως είναι γνωστό, ισχύει η εξής σχέση:

(3.55)

Οπου -διάνυσμα ισχύος πεδίου,
- κλιμακωτό ηλεκτροστατικό δυναμικό. Το σύμβολο μείον υποδηλώνει ότι το διάνυσμα κατευθύνεται από ένα σημείο υψηλότερου δυναμικού σε ένα σημείο χαμηλότερου δυναμικού.

Η έκφραση σε αγκύλες (3.54), κατ' αναλογία με τον τύπο (3.55), μπορεί να γραφεί με τη μορφή

(3.56)

Οπου
- κλιμακωτό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό.

Ας πάρουμε την πρώτη εξίσωση του Maxwell και ας τη γράψουμε χρησιμοποιώντας ηλεκτροδυναμικά δυναμικά

Στη διανυσματική άλγεβρα έχει αποδειχθεί η ακόλουθη ταυτότητα:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (3.58), μπορούμε να αναπαραστήσουμε την πρώτη εξίσωση του Maxwell, γραμμένη στη μορφή (3.57), ως

Ας δώσουμε παρόμοια

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με έναν παράγοντα (-1):

μπορεί να καθοριστεί με αυθαίρετο τρόπο, οπότε μπορούμε να το υποθέσουμε

Η έκφραση (3.60) ονομάζεται Μετρητής Lorentz .

Αν w=0 , τότε παίρνουμε Βαθμονόμηση Coulomb
=0.

Λαμβάνοντας υπόψη τους μετρητές, μπορεί να γραφεί η εξίσωση (3.59).

(3.61)

Η εξίσωση (3.61) εκφράζει ανομοιογενής κυματική εξίσωση για το διανυσματικό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό.

Με παρόμοιο τρόπο, με βάση την τρίτη εξίσωση του Maxwell
, μπορούμε να λάβουμε μια μη ομογενή εξίσωση για κλιμακωτό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό όπως και:

(3.62)

Οι προκύπτουσες ανομοιογενείς εξισώσεις για ηλεκτροδυναμικά δυναμικά έχουν τις δικές τους λύσεις

, (3.63)

Οπου Μ– αυθαίρετο σημείο Μ, - ογκομετρική πυκνότητα φορτίου, γ – σταθερά διάδοσης, r

(3.64)

Οπου V– όγκος που καταλαμβάνεται από εξωτερικά ρεύματα, r– τρέχουσα απόσταση από κάθε στοιχείο του όγκου της πηγής έως το σημείο M.

Η λύση για το διανυσματικό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό (3.63), (3.64) ονομάζεται Ολοκληρωμένο Kirchhoff για καθυστερημένα δυναμικά .

Παράγοντας
μπορεί να εκφραστεί λαμβάνοντας υπόψη
όπως και

Αυτός ο παράγοντας αντιστοιχεί στην πεπερασμένη ταχύτητα διάδοσης του κύματος από την πηγή, και
Επειδή η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι μια πεπερασμένη τιμή, τότε η επίδραση της πηγής που δημιουργεί τα κύματα φτάνει σε ένα αυθαίρετο σημείο M με χρονική καθυστέρηση. Η τιμή του χρόνου καθυστέρησης καθορίζεται από:
Στο Σχ. Το 3.6 δείχνει μια σημειακή πηγή U, που εκπέμπει σφαιρικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα v στον περιβάλλοντα ομοιογενή χώρο, καθώς και ένα αυθαίρετο σημείο Μ που βρίσκεται σε απόσταση r, που φτάνει το κύμα.

Σε μια χρονική στιγμή tδιανυσματικό δυναμικό
στο σημείο Μ είναι συνάρτηση των ρευμάτων που ρέουν στην πηγή Uσε παλαιότερο χρόνο
Με άλλα λόγια,
εξαρτάται από τα ρεύματα πηγής που διέρρευσαν σε αυτό σε παλαιότερη στιγμή

Από τον τύπο (3.64) είναι σαφές ότι το διανυσματικό ηλεκτροδυναμικό δυναμικό είναι παράλληλο (συνκατευθυντικό) με την πυκνότητα ρεύματος των εξωτερικών δυνάμεων. το πλάτος του μειώνεται σύμφωνα με το νόμο. σε μεγάλες αποστάσεις σε σύγκριση με το μέγεθος του πομπού, το κύμα έχει σφαιρικό κυματικό μέτωπο.

Θεωρώντας
και την πρώτη εξίσωση του Maxwell, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να προσδιοριστεί:

Οι σχέσεις που προκύπτουν καθορίζουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο χώρο που δημιουργείται από μια δεδομένη κατανομή εξωτερικών ρευμάτων

Διάδοση επίπεδων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε μέσα υψηλής αγωγιμότητας

Ας εξετάσουμε τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ένα αγώγιμο μέσο. Τέτοια μέσα ονομάζονται επίσης μεταλλικά μέσα. Ένα πραγματικό μέσο είναι αγώγιμο εάν η πυκνότητα των ρευμάτων αγωγιμότητας υπερβαίνει σημαντικά την πυκνότητα των ρευμάτων μετατόπισης, δηλ.
Και
, και
, ή

(3.66)

Ο τύπος (3.66) εκφράζει την συνθήκη υπό την οποία ένα πραγματικό μέσο μπορεί να θεωρηθεί αγώγιμο. Με άλλα λόγια, το φανταστικό μέρος της μιγαδικής διηλεκτρικής σταθεράς πρέπει να υπερβαίνει το πραγματικό μέρος. Ο τύπος (3.66) δείχνει επίσης την εξάρτηση στη συχνότητα, και όσο χαμηλότερη είναι η συχνότητα, τόσο πιο έντονες είναι οι ιδιότητες του αγωγού στο μέσο. Ας δούμε αυτήν την κατάσταση με ένα παράδειγμα.

Ναι σε συχνότητα φά = 1 MHz = 10 6 Hz ξηρό έδαφος έχει παραμέτρους =4, =0,01 ,. Ας συγκριθούμε μεταξύ μας Και , δηλ.
. Από τις λαμβανόμενες τιμές είναι σαφές ότι 1,610 -19 >> 3,5610 -11, επομένως το ξηρό έδαφος πρέπει να θεωρείται αγώγιμο όταν διαδίδεται ένα κύμα με συχνότητα 1 MHz.

Για ένα πραγματικό μέσο, ​​γράφουμε τη μιγαδική διηλεκτρική σταθερά

(3.67)

επειδή στην περίπτωσή μας
, τότε για αγωγικό μέσο μπορούμε να γράψουμε

, (3.68)

όπου  είναι ειδική αγωγιμότητα,  είναι η κυκλική συχνότητα.

Η σταθερά διάδοσης , όπως είναι γνωστό, προσδιορίζεται από τις εξισώσεις Helmholtz

Έτσι, παίρνουμε έναν τύπο για τη σταθερά διάδοσης

(3.69)

Είναι γνωστό ότι

(3.70)

Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα (3.49), ο τύπος (3.50) μπορεί να γραφτεί στη φόρμα

(3.71)

Η σταθερά διάδοσης εκφράζεται ως

(3.72)

Η σύγκριση των πραγματικών και φανταστικών μερών στους τύπους (3.71), (3.72) οδηγεί σε ισότητα των τιμών της σταθεράς φάσης  και της σταθεράς απόσβεσης , δηλ.

(3.73)

Από τον τύπο (3.73) γράφουμε το μήκος κύματος που αποκτά το πεδίο κατά τη διάδοση σε ένα καλά αγώγιμο μέσο

(3.74)

Οπου - μήκος κύματος σε μέταλλο.

Από τον προκύπτοντα τύπο (3.74) είναι σαφές ότι το μήκος του ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο μέταλλο μειώνεται σημαντικά σε σύγκριση με το μήκος κύματος στο διάστημα.

Ειπώθηκε παραπάνω ότι το πλάτος ενός κύματος όταν διαδίδεται σε ένα μέσο με απώλειες μειώνεται σύμφωνα με το νόμο
. Για να χαρακτηριστεί η διαδικασία διάδοσης κύματος σε ένα αγώγιμο μέσο, ​​εισάγεται η έννοια βάθος επιφανειακής στρώσης ή βάθος διείσδυσης .

Βάθος επιφανειακής στρώσης - αυτή είναι η απόσταση d στην οποία το πλάτος του επιφανειακού κύματος μειώνεται κατά συντελεστή e σε σύγκριση με το αρχικό του επίπεδο.

(3.75)

Οπου - μήκος κύματος σε μέταλλο.

Το βάθος του επιφανειακού στρώματος μπορεί επίσης να προσδιοριστεί από τον τύπο

, (3.76)

όπου  είναι η κυκλική συχνότητα,  a η απόλυτη μαγνητική διαπερατότητα του μέσου,  η ειδική αγωγιμότητα του μέσου.

Από τον τύπο (3.76) είναι σαφές ότι με την αύξηση της συχνότητας και της ειδικής αγωγιμότητας, το βάθος του επιφανειακού στρώματος μειώνεται.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Χαλκός αγωγιμότητας
στη συχνότητα φά = 10 GHz ( = 3cm) έχει βάθος επιφανειακής στρώσης d =
. Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε ένα σημαντικό συμπέρασμα για την πρακτική: η εφαρμογή ενός στρώματος μιας πολύ αγώγιμης ουσίας σε μια μη αγώγιμη επίστρωση θα καταστήσει δυνατή την παραγωγή στοιχείων συσκευής με χαμηλές απώλειες θερμότητας.

Ανάκλαση και διάθλαση ενός επίπεδου κύματος στη διεπιφάνεια

Όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στο διάστημα, το οποίο αποτελείται από περιοχές με διαφορετικές τιμές παραμέτρων
και η διεπαφή με τη μορφή ενός επιπέδου, προκύπτουν ανακλώμενα και διαθλαστικά κύματα. Οι εντάσεις αυτών των κυμάτων καθορίζονται μέσω των συντελεστών ανάκλασης και διάθλασης.

Συντελεστής ανάκλασης κύματος είναι ο λόγος των μιγαδικών τιμών των εντάσεων του ηλεκτρικού πεδίου των ανακλώμενων προς τα προσπίπτοντα κύματα στη διεπαφή και καθορίζεται από τον τύπο:

(3.77)

Ποσοστό επιτυχίας κυματιστά στο δεύτερο μέσο από το πρώτο ονομάζεται ο λόγος των μιγαδικών τιμών των εντάσεων του ηλεκτρικού πεδίου του διαθλασμένου στην πτώση κυμάτων και καθορίζεται από τον τύπο

(3.78)

Εάν το διάνυσμα Poynting του προσπίπτοντος κύματος είναι κάθετο στη διεπαφή, τότε

(3.79)

όπου Z 1 ,Z 2 – χαρακτηριστική αντίσταση για τα αντίστοιχα μέσα.

Η χαρακτηριστική αντίσταση καθορίζεται από τον τύπο:

Οπου
(3.80)

.

Με λοξή πρόσπτωση, η κατεύθυνση διάδοσης του κύματος σε σχέση με τη διεπαφή καθορίζεται από τη γωνία πρόσπτωσης. Γωνία πρόσπτωσης – η γωνία μεταξύ της κανονικής προς την επιφάνεια και της κατεύθυνσης διάδοσης της δέσμης.

Επίπεδο πρόσπτωσης είναι το επίπεδο που περιέχει την προσπίπτουσα ακτίνα και την κανονική που έχει αποκατασταθεί στο σημείο πρόσπτωσης.

Από τις οριακές συνθήκες προκύπτει ότι οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλαση που σχετίζεται με το νόμο του Snell:

(3.81)

όπου n 1, n 2 είναι οι δείκτες διάθλασης των αντίστοιχων μέσων.

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα χαρακτηρίζονται από πόλωση. Υπάρχουν ελλειπτικές, κυκλικές και γραμμικές πολώσεις. Στη γραμμική πόλωση διακρίνεται η οριζόντια και η κάθετη πόλωση.

Οριζόντια πόλωση – πόλωση στην οποία το διάνυσμα ταλαντώνεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης.

Αφήστε ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα με οριζόντια πόλωση να πέσει στη διεπαφή μεταξύ δύο μέσων όπως φαίνεται στο Σχήμα. 3.7. Το διάνυσμα Poynting του προσπίπτοντος κύματος υποδεικνύεται με . Επειδή το κύμα έχει οριζόντια πόλωση, δηλ. το διάνυσμα έντασης ηλεκτρικού πεδίου ταλαντώνεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης, τότε ορίζεται και στο Σχ. Το 3.7 παρουσιάζεται ως κύκλος με σταυρό (που κατευθύνεται μακριά από εμάς). Κατά συνέπεια, το διάνυσμα έντασης μαγνητικού πεδίου βρίσκεται στο επίπεδο πρόσπτωσης του κύματος και ορίζεται . Διανύσματα ,,σχηματίζουν μια δεξιά τριάδα διανυσμάτων.

Για ένα ανακλώμενο κύμα, τα αντίστοιχα διανύσματα πεδίου είναι εξοπλισμένα με τον δείκτη "neg" ενώ για ένα διαθλασμένο κύμα, ο δείκτης είναι "pr".

Με την οριζόντια (κάθετη) πόλωση, οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης προσδιορίζονται ως εξής (Εικ. 3.7).

Στη διεπαφή μεταξύ δύο μέσων πληρούνται οι οριακές συνθήκες, δηλ.

Στην περίπτωσή μας, πρέπει να εντοπίσουμε εφαπτομενικές προβολές διανυσμάτων, δηλ. μπορεί να καταγραφεί

Οι γραμμές έντασης του μαγνητικού πεδίου για τα προσπίπτοντα, τα ανακλώμενα και τα διαθλούμενα κύματα κατευθύνονται κάθετα στο επίπεδο πρόσπτωσης. Γι' αυτό πρέπει να γράψουμε

Με βάση αυτό, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα που βασίζεται σε οριακές συνθήκες

Είναι επίσης γνωστό ότι οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αλληλοσυνδέονται μέσω της χαρακτηριστικής σύνθετης αντίστασης του μέσου Ζ

Τότε η δεύτερη εξίσωση του συστήματος μπορεί να γραφτεί ως

Έτσι, το σύστημα των εξισώσεων πήρε τη μορφή

Ας διαιρέσουμε και τις δύο εξισώσεις αυτού του συστήματος με το πλάτος του προσπίπτοντος κύματος
και, λαμβάνοντας υπόψη τους ορισμούς του δείκτη διάθλασης (3.77) και της μετάδοσης (3.78), μπορούμε να γράψουμε το σύστημα στη μορφή

Το σύστημα έχει δύο λύσεις και δύο άγνωστες ποσότητες. Ένα τέτοιο σύστημα είναι γνωστό ότι είναι επιλύσιμο.

Κάθετη πόλωση – πόλωση στην οποία το διάνυσμα ταλαντώνεται στο επίπεδο πρόσπτωσης.

Με την κατακόρυφη (παράλληλη) πόλωση, οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης εκφράζονται ως εξής (Εικ. 3.8).

Για την κατακόρυφη πόλωση, γράφεται ένα παρόμοιο σύστημα εξισώσεων όπως για την οριζόντια πόλωση, αλλά λαμβάνοντας υπόψη την κατεύθυνση των διανυσμάτων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

Ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων μπορεί ομοίως να αναχθεί στη μορφή

Η λύση στο σύστημα είναι οι εκφράσεις για τους συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης

Όταν τα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με παράλληλη πόλωση προσπίπτουν στη διεπαφή μεταξύ δύο μέσων, ο συντελεστής ανάκλασης μπορεί να γίνει μηδέν. Η γωνία πρόσπτωσης στην οποία το προσπίπτον κύμα διεισδύει εντελώς, χωρίς ανάκλαση, από το ένα μέσο στο άλλο ονομάζεται γωνία Brewster και συμβολίζεται ως
.

(3.84)

(3.85)

Τονίζουμε ότι η γωνία Brewster όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε ένα μη μαγνητικό διηλεκτρικό μπορεί να υπάρχει μόνο με παράλληλη πόλωση.

Εάν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε αυθαίρετη γωνία στη διεπαφή μεταξύ δύο μέσων με απώλειες, τότε τα ανακλώμενα και διαθλούμενα κύματα θα πρέπει να θεωρούνται ανομοιογενή, καθώς το επίπεδο ίσων πλατών πρέπει να συμπίπτει με τη διεπαφή. Για τα πραγματικά μέταλλα, η γωνία μεταξύ του μετώπου της φάσης και του επιπέδου ίσων πλάτων είναι μικρή, επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι η γωνία διάθλασης είναι 0.

Κατά προσέγγιση οριακές συνθήκες Shchukin-Leontovich

Αυτές οι οριακές συνθήκες ισχύουν όταν ένα από τα μέσα είναι καλός αγωγός. Ας υποθέσουμε ότι ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει από τον αέρα υπό γωνία  σε μια επίπεδη διεπιφάνεια με ένα καλά αγώγιμο μέσο, ​​το οποίο περιγράφεται από τον σύνθετο δείκτη διάθλασης

(3.86)

Από τον ορισμό της έννοιας του καλοδιαγωγικού μέσου προκύπτει ότι
. Εφαρμόζοντας το νόμο του Snell, μπορεί να σημειωθεί ότι η γωνία διάθλασης  θα είναι πολύ μικρή. Από αυτό μπορούμε να υποθέσουμε ότι το διαθλασμένο κύμα εισέρχεται στο καλά αγώγιμο μέσο σχεδόν κατά μήκος της κανονικής κατεύθυνσης σε οποιαδήποτε τιμή της γωνίας πρόσπτωσης.

Χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες Leontovich, πρέπει να γνωρίζετε την εφαπτομένη συνιστώσα του μαγνητικού διανύσματος . Συνήθως θεωρείται περίπου ότι αυτή η τιμή συμπίπτει με μια παρόμοια συνιστώσα που υπολογίζεται για την επιφάνεια ενός ιδανικού αγωγού. Το σφάλμα που προκύπτει από μια τέτοια προσέγγιση θα είναι πολύ μικρό, καθώς ο συντελεστής ανάκλασης από την επιφάνεια των μετάλλων είναι, κατά κανόνα, κοντά στο μηδέν.

Εκπομπή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στον ελεύθερο χώρο

Ας μάθουμε ποιες είναι οι συνθήκες για την ακτινοβολία ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας στον ελεύθερο χώρο. Για να γίνει αυτό, θεωρήστε έναν σημειακό μονοχρωματικό εκπομπό ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, ο οποίος τοποθετείται στην αρχή ενός σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων. Όπως είναι γνωστό, ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων δίνεται από το (r, Θ, φ), όπου r είναι το διάνυσμα ακτίνας που αντλείται από την αρχή του συστήματος μέχρι το σημείο παρατήρησης. Θ – μεσημβρινή γωνία, μετρούμενη από τον άξονα Z (ζενίθιο) έως το διάνυσμα ακτίνας που σύρεται στο σημείο M. φ – αζιμουθιακή γωνία, μετρούμενη από τον άξονα Χ έως την προβολή του διανύσματος ακτίνας από την αρχή στο σημείο M′ (M′ είναι η προβολή του σημείου M στο επίπεδο XOY). (Εικ.3.9).

Ένας πομπός σημείου βρίσκεται σε ένα ομοιογενές μέσο με τις παραμέτρους

Ένας πομπός σημείου εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα προς όλες τις κατευθύνσεις και οποιοδήποτε στοιχείο του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου υπακούει στην εξίσωση Helmholtz, εκτός από το σημείο r=0 . Μπορούμε να εισαγάγουμε μια σύνθετη βαθμωτή συνάρτηση Ψ, η οποία νοείται ως οποιαδήποτε αυθαίρετη συνιστώσα πεδίου. Τότε η εξίσωση Helmholtz για τη συνάρτηση Ψ έχει τη μορφή:

(3.87)

Οπου
- αριθμός κύματος (σταθερά διάδοσης).

(3.88)

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση Ψ έχει σφαιρική συμμετρία, τότε η εξίσωση Helmholtz μπορεί να γραφτεί ως:

(3.89)

Η εξίσωση (3.89) μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

(3.90)

Οι εξισώσεις (3.89) και (3.90) είναι πανομοιότυπες μεταξύ τους. Η εξίσωση (3.90) είναι γνωστή στη φυσική ως εξίσωση ταλάντωσης. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις, οι οποίες, αν τα πλάτη είναι ίσα, έχουν τη μορφή:

(3.91)

(3.92)

Όπως φαίνεται από τα (3.91), (3.92), η λύση της εξίσωσης διαφέρει μόνο σε πρόσημα. Εξάλλου, υποδεικνύει ένα εισερχόμενο κύμα από την πηγή, δηλ. το κύμα διαδίδεται από την πηγή στο άπειρο. Δεύτερο κύμα δείχνει ότι το κύμα έρχεται στην πηγή από το άπειρο. Φυσικά, μια και η ίδια πηγή δεν μπορεί να δημιουργήσει δύο κύματα ταυτόχρονα: να ταξιδεύει και να προέρχεται από το άπειρο. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι το κύμα δεν υπάρχει φυσικά.

Το εν λόγω παράδειγμα είναι αρκετά απλό. Αλλά στην περίπτωση της εκπομπής ενέργειας από ένα σύστημα πηγών, η επιλογή της σωστής λύσης είναι πολύ δύσκολη. Απαιτείται λοιπόν μια αναλυτική έκφραση που αποτελεί κριτήριο επιλογής της σωστής λύσης. Χρειαζόμαστε ένα γενικό κριτήριο σε αναλυτική μορφή που μας επιτρέπει να επιλέξουμε μια σαφή φυσικά καθορισμένη λύση.

Με άλλα λόγια, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο που να διακρίνει μια συνάρτηση που εκφράζει ένα κινούμενο κύμα από μια πηγή στο άπειρο από μια συνάρτηση που περιγράφει ένα κύμα που προέρχεται από το άπειρο σε μια πηγή ακτινοβολίας.

Αυτό το πρόβλημα επιλύθηκε από τον A. Sommerfeld. Έδειξε ότι για ένα κινούμενο κύμα που περιγράφεται από τη συνάρτηση , ισχύει η ακόλουθη σχέση:

(3.93)

Αυτός ο τύπος ονομάζεται κατάσταση ακτινοβολίας ή Κατάσταση Sommerfeld .

Ας εξετάσουμε έναν στοιχειώδη ηλεκτρικό πομπό με τη μορφή διπόλου. Ένα ηλεκτρικό δίπολο είναι ένα κοντό κομμάτι σύρματος μεγάλοσε σύγκριση με το μήκος κύματος  ( μεγάλο<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия μεγάλο<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι η αλλαγή στο ηλεκτρικό πεδίο στον χώρο που περιβάλλει το σύρμα είναι κυματικής φύσης. Για λόγους σαφήνειας, ας εξετάσουμε ένα εξαιρετικά απλοποιημένο μοντέλο της διαδικασίας σχηματισμού και αλλαγής της ηλεκτρικής συνιστώσας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που εκπέμπει το σύρμα. Στο Σχ. Το σχήμα 3.11 δείχνει ένα μοντέλο της διαδικασίας ακτινοβολίας του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε χρονικό διάστημα ίσο με μία περίοδο

Όπως είναι γνωστό, το ηλεκτρικό ρεύμα προκαλείται από την κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων, δηλαδή

ή

Στο μέλλον, θα εξετάσουμε μόνο την αλλαγή στη θέση των θετικών και αρνητικών φορτίων στο σύρμα. Η γραμμή ηλεκτρικού πεδίου ξεκινά με θετικό φορτίο και τελειώνει με αρνητικό φορτίο. Στο Σχ. 3.11 η γραμμή τροφοδοσίας εμφανίζεται με διακεκομμένη γραμμή. Αξίζει να θυμηθούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται σε ολόκληρο τον χώρο που περιβάλλει τον αγωγό, αν και στο Σχ. Το σχήμα 3.11 δείχνει μια γραμμή ρεύματος.

Για να ρέει εναλλασσόμενο ρεύμα μέσα από έναν αγωγό, απαιτείται πηγή εναλλασσόμενου emf. Μια τέτοια πηγή περιλαμβάνεται στη μέση του σύρματος. Η κατάσταση της διαδικασίας εκπομπής ηλεκτρικού πεδίου εμφανίζεται με αριθμούς από το 1 έως το 13. Κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο που σχετίζεται με την κατάσταση της διεργασίας. Η ροπή t=1 αντιστοιχεί στην αρχή της διαδικασίας, δηλ. EMF = 0. Τη στιγμή t=2 εμφανίζεται ένα εναλλασσόμενο EMF, το οποίο προκαλεί την κίνηση των φορτίων, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.11. με την εμφάνιση κινούμενων φορτίων στο σύρμα, δημιουργείται ένα ηλεκτρικό πεδίο στο διάστημα. με την πάροδο του χρόνου (t = 3÷5) τα φορτία μετακινούνται στα άκρα του αγωγού και η γραμμή ισχύος καλύπτει όλο και μεγαλύτερο μέρος του χώρου. η γραμμή δύναμης διαστέλλεται με την ταχύτητα του φωτός σε διεύθυνση κάθετη στο σύρμα. Τη χρονική στιγμή t = 6 – 8, το emf, έχοντας περάσει από τη μέγιστη τιμή, μειώνεται. Τα φορτία κινούνται προς τη μέση του καλωδίου.

Τη χρονική στιγμή t = 9, η μισή περίοδος της αλλαγής EMF τελειώνει και μειώνεται στο μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, οι χρεώσεις συγχωνεύονται και αλληλοαντισταθμίζονται. Δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο σε αυτή την περίπτωση. Η γραμμή ισχύος του ακτινοβολούμενου ηλεκτρικού πεδίου κλείνει και συνεχίζει να απομακρύνεται από το καλώδιο.

Ακολουθεί ο δεύτερος μισός κύκλος της αλλαγής του EMF, οι διαδικασίες επαναλαμβάνονται λαμβάνοντας υπόψη την αλλαγή της πολικότητας. Στο Σχ. Το σχήμα 3.11 σε στιγμές t = 10÷13 δείχνει μια εικόνα της διαδικασίας λαμβάνοντας υπόψη τη γραμμή έντασης ηλεκτρικού πεδίου.

Εξετάσαμε τη διαδικασία σχηματισμού κλειστών γραμμών δύναμης ενός ηλεκτρικού πεδίου δίνης. Αλλά αξίζει να θυμόμαστε ότι η εκπομπή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι μια ενιαία διαδικασία. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι άρρηκτα αλληλένδετα συστατικά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Η διαδικασία ακτινοβολίας που φαίνεται στο Σχ. Το 3.11 είναι παρόμοιο με την ακτινοβολία ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου από έναν συμμετρικό ηλεκτρικό δονητή και χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία ραδιοεπικοινωνιών. Πρέπει να θυμόμαστε ότι το επίπεδο ταλάντωσης του διανύσματος έντασης ηλεκτρικού πεδίου είναι αμοιβαία κάθετο στο επίπεδο ταλάντωσης του διανύσματος έντασης του μαγνητικού πεδίου .

Η εκπομπή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων οφείλεται σε μια μεταβλητή διαδικασία. Επομένως, στον τύπο για το φορτίο μπορούμε να βάλουμε τη σταθερά C = 0. Για τη μιγαδική τιμή της χρέωσης μπορεί να γραφτεί.

(3.94)

Κατ' αναλογία με την ηλεκτροστατική, μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια της ροπής ενός ηλεκτρικού διπόλου με εναλλασσόμενο ρεύμα

(3.95)

Από τον τύπο (3.95) προκύπτει ότι τα διανύσματα της ροπής του ηλεκτρικού διπόλου και του κατευθυνόμενου κομματιού σύρματος είναι συνκατευθυντικά.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι πραγματικές κεραίες έχουν μήκη καλωδίων συνήθως συγκρίσιμα με το μήκος κύματος. Για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας τέτοιων κεραιών, το καλώδιο συνήθως χωρίζεται διανοητικά σε ξεχωριστά μικρά τμήματα, καθένα από τα οποία θεωρείται ως ένα στοιχειώδες ηλεκτρικό δίπολο. το προκύπτον πεδίο κεραίας βρίσκεται αθροίζοντας τα εκπεμπόμενα διανυσματικά πεδία που δημιουργούνται από τα μεμονωμένα δίπολα.

Μηχανικά κύματα- η διαδικασία διάδοσης των μηχανικών δονήσεων σε ένα μέσο (υγρό, στερεό, αέριο) Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι τα μηχανικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια και σχήμα, αλλά δεν μεταφέρουν μάζα. Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικόενός κύματος είναι η ταχύτητα διάδοσής του. Τα κύματα οποιασδήποτε φύσης δεν διαδίδονται στο διάστημα αμέσως· η ταχύτητά τους είναι πεπερασμένη.

Σύμφωνα με τη γεωμετρία διακρίνουν: σφαιρικό (χωρικό), μονοδιάστατο (επίπεδο), σπειροειδή κύματα.

Το κύμα ονομάζεται επίπεδο, αν οι επιφάνειες κύματος του είναι επίπεδα παράλληλα μεταξύ τους, κάθετα στην ταχύτητα φάσης του κύματος (Εικ. 1.3). Κατά συνέπεια, οι ακτίνες ενός επίπεδου κύματος είναι παράλληλες γραμμές.

Εξίσωση επίπεδου κύματος::

Επιλογές :

Περίοδος ταλάντωσης T είναι η χρονική περίοδος μετά την οποία η κατάσταση του συστήματος παίρνει τις ίδιες τιμές: u(t + T) = u(t).

Συχνότητα ταλάντωσης n είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτο, το αντίστροφο της περιόδου: n = 1/T. Μετριέται σε Hertz (Hz) και έχει τη μονάδα s–1. Ένα εκκρεμές που ταλαντεύεται μία φορά το δευτερόλεπτο ταλαντώνεται με συχνότητα 1 Hz.

Φάση ταλάντωσης j– μια τιμή που δείχνει πόσο μεγάλο μέρος της ταλάντωσης έχει περάσει από την αρχή της διαδικασίας. Μετριέται σε γωνιακές μονάδες - μοίρες ή ακτίνια.

Πλάτος ταλάντωσης Α– η μέγιστη τιμή που παίρνει το ταλαντευόμενο σύστημα, το «εύρος» της ταλάντωσης.

4.Φαινόμενο Ντόπλερ- μια αλλαγή στη συχνότητα και το μήκος των κυμάτων που γίνονται αντιληπτά από τον παρατηρητή (δέκτης κύματος) λόγω της σχετικής κίνησης της πηγής κύματος και του παρατηρητή. Ας φανταστούμεότι ο παρατηρητής πλησιάζει μια ακίνητη πηγή κυμάτων με μια ορισμένη ταχύτητα. Ταυτόχρονα, συναντά περισσότερα κύματα στο ίδιο χρονικό διάστημα παρά σε περίπτωση απουσίας κίνησης. Αυτό σημαίνει ότι η αντιληπτή συχνότητα είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα του κύματος που εκπέμπεται από την πηγή. Άρα το μήκος κύματος, η συχνότητα και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος σχετίζονται μεταξύ τους με τη σχέση V = /, - μήκος κύματος.

Περίθλαση- το φαινόμενο της κάμψης γύρω από εμπόδια, τα οποία είναι συγκρίσιμα σε μέγεθος με το μήκος κύματος.

Παρέμβαση-ένα φαινόμενο στο οποίο, ως αποτέλεσμα της υπέρθεσης συνεκτικών κυμάτων, εμφανίζεται είτε αύξηση είτε μείωση των ταλαντώσεων.

Η εμπειρία του ΓιουνγκΤο πρώτο πείραμα παρεμβολής που εξηγήθηκε με βάση την κυματική θεωρία του φωτός ήταν το πείραμα του Young (1802). Στο πείραμα του Young, το φως από μια πηγή, η οποία χρησίμευε ως μια στενή σχισμή S, έπεσε σε μια οθόνη με δύο κοντινές σχισμές S1 και S2. Περνώντας από κάθε μία από τις σχισμές, η δέσμη φωτός διευρύνθηκε λόγω της περίθλασης, επομένως, στη λευκή οθόνη E, οι δέσμες φωτός που περνούσαν από τις σχισμές S1 και S2 επικαλύπτονταν. Στην περιοχή όπου οι δέσμες φωτός επικαλύπτονταν, παρατηρήθηκε ένα μοτίβο παρεμβολής με τη μορφή εναλλασσόμενων φωτεινών και σκούρων λωρίδων.

2.Ήχος - το μηχανικό διαμήκη κύμα, το οποίο διαδίδεται σε ελαστικά μέσα, έχει συχνότητα από 16 Hz έως 20 kHz. Υπάρχουν διάφοροι τύποι ήχων:

1. απλός τόνος - μια καθαρά αρμονική δόνηση που εκπέμπεται από ένα πιρούνι συντονισμού (ένα μεταλλικό όργανο που παράγει έναν ήχο όταν χτυπηθεί):

2. σύνθετος τόνος - όχι ημιτονοειδής, αλλά περιοδική ταλάντωση (που εκπέμπεται από διάφορα μουσικά όργανα).

Σύμφωνα με το θεώρημα του Fourier, μια τέτοια σύνθετη ταλάντωση μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σύνολο αρμονικών συνιστωσών με διαφορετικές συχνότητες. Η χαμηλότερη συχνότητα ονομάζεται θεμελιώδης τόνος και οι πολλαπλές συχνότητες ονομάζονται υπερτόνοι. Ένα σύνολο συχνοτήτων που υποδεικνύουν τη σχετική τους ένταση (πυκνότητα ροής ενέργειας κυμάτων) ονομάζεται ακουστικό φάσμα. Το φάσμα ενός σύνθετου τόνου είναι γραμμικό.

3. θόρυβος - ήχος που προκύπτει από την προσθήκη πολλών ασυνεπών πηγών. Φάσμα - συνεχές (στερεό):

4. ηχητική έκρηξη - βραχυπρόθεσμη ηχητική επίδραση Παράδειγμα: παλαμάκια, έκρηξη.

Εμπέδηση κύματος-ο λόγος της ηχητικής πίεσης σε ένα επίπεδο κύμα προς την ταχύτητα δόνησης των σωματιδίων του μέσου. Χαρακτηρίζει τον βαθμό ακαμψίας του μέσου (δηλαδή, την ικανότητα του μέσου να αντιστέκεται στο σχηματισμό παραμορφώσεων) σε ένα κινούμενο κύμα. Εκφράζεται με τον τύπο:

P/V=p/c, P-ηχητική πίεση, p-πυκνότητα, c-ταχύτητα ήχου, V-volume.

3 - χαρακτηριστικά ανεξάρτητα από τις ιδιότητες του δέκτη:

Ένταση (ηχητική ισχύς) είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από ένα ηχητικό κύμα ανά μονάδα χρόνου μέσω μιας μονάδας επιφάνειας εγκατεστημένης κάθετα στο ηχητικό κύμα.

Θεμελιώδης συχνότητα.

Φάσμα ήχου - ο αριθμός των αποχρώσεων.

Σε συχνότητες κάτω από 17 και πάνω από 20.000 Hz, οι διακυμάνσεις της πίεσης δεν γίνονται πλέον αντιληπτές από το ανθρώπινο αυτί. Τα διαμήκη μηχανικά κύματα με συχνότητα μικρότερη από 17 Hz ονομάζονται υπέρηχοι. Τα διαμήκη μηχανικά κύματα με συχνότητα άνω των 20.000 Hz ονομάζονται υπέρηχοι.

5. UZ- μηχανικό κύμα με συχνότητα μεγαλύτερη από 20 kHz. Ο υπέρηχος είναι μια εναλλαγή συμπύκνωσης και αραίωσης του μέσου. Σε κάθε περιβάλλον, η ταχύτητα διάδοσης των υπερήχων είναι η ίδια . Ιδιορρυθμία- στενότητα της δέσμης, η οποία σας επιτρέπει να επηρεάζετε αντικείμενα τοπικά. Σε ανομοιογενή μέσα με μικρά εγκλείσματα σωματιδίων, εμφανίζεται το φαινόμενο της περίθλασης (κάμψη γύρω από εμπόδια). Η διείσδυση του υπερήχου σε άλλο μέσο χαρακτηρίζεται από τον συντελεστή διείσδυσης() =L /L όπου τα μήκη του υπερήχου μετά και πριν από τη διείσδυση στο μέσο.

Η επίδραση του υπερήχου στον ιστό του σώματος είναι μηχανική, θερμική και χημική. Εφαρμογή στην ιατρικήχωρίζεται σε 2 τομείς: τη μέθοδο έρευνας και διάγνωσης, και τη μέθοδο δράσης. 1) ηχοεγκεφαλογραφία- ανίχνευση όγκων και εγκεφαλικού οιδήματος ; καρδιογραφία- μέτρηση της καρδιάς σε δυναμική. 2) Φυσιοθεραπεία με υπερήχους-μηχανικές και θερμικές επιδράσεις στον ιστό. κατά τη διάρκεια εργασιών όπως το «υπερηχητικό νυστέρι»

6. Ιδανικό υγρό -ένα φανταστικό ασυμπίεστο ρευστό χωρίς ιξώδες και θερμική αγωγιμότητα. Ένα ιδανικό ρευστό δεν έχει εσωτερική τριβή, είναι συνεχές και δεν έχει δομή.

Εξίσωση συνέχειας -V 1 ΕΝΑ 1 = V 2 ΕΝΑ 2 Ο ογκομετρικός ρυθμός ροής σε οποιονδήποτε σωλήνα ροής που περιορίζεται από παρακείμενες γραμμές ροής πρέπει να είναι ο ίδιος ανά πάσα στιγμή σε όλες τις διατομές του

εξίσωση Bernoulli - R v 2 / 2 + Rαγ + Rgh= const, σε περίπτωση σταθερής ροής, η συνολική πίεση είναι ίδια σε όλες τις διατομές του σωλήνα ρεύματος. R v 2 / 2 + Rαγ= const – για οριζόντια οικόπεδα.

7Στατική ροή- μια ροή της οποίας η ταχύτητα σε οποιαδήποτε θέση του ρευστού δεν αλλάζει ποτέ.

Στρωτή ροή- μια διατεταγμένη ροή υγρού ή αερίου, στην οποία το υγρό (αέριο) κινείται σε στρώματα παράλληλα με την κατεύθυνση ροής.

Τυρβώδης ροή- μια μορφή ροής υγρού ή αερίου κατά την οποία τα στοιχεία τους εκτελούν άτακτες, ασταθείς κινήσεις κατά μήκος σύνθετων τροχιών, γεγονός που οδηγεί σε έντονη ανάμειξη μεταξύ στρωμάτων κινούμενου υγρού ή αερίου.

Γραμμές– ευθείες των οποίων οι εφαπτομένες συμπίπτουν σε όλα τα σημεία με την κατεύθυνση της ταχύτητας σε αυτά τα σημεία. Σε μια σταθερή ροή, οι γραμμές ροής δεν αλλάζουν με το χρόνο.

Ιξώδες -εσωτερική τριβή, η ιδιότητα των ρευστών σωμάτων (υγρά και αερίων) να αντιστέκονται στην κίνηση ενός μέρους σε σχέση με ένα άλλο

εξίσωση του Νεύτωνα: F = (dv/dx)Sη.

Συντελεστής ιξώδους- Συντελεστής αναλογικότητας ανάλογα με τον τύπο υγρού ή αερίου. Ένας αριθμός που χρησιμοποιείται για τον ποσοτικό χαρακτηρισμό της ιδιότητας του ιξώδους. Συντελεστής εσωτερικής τριβής.

Μη νευτώνειο υγρόονομάζεται ρευστό στο οποίο το ιξώδες του εξαρτάται από τη βαθμίδα της ταχύτητας, η ροή της οποίας υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα. (Πολυμερή, άμυλο, υγρό σαπούνι αίμα)

Νευτώνεια -Εάν σε ένα κινούμενο ρευστό το ιξώδες του εξαρτάται μόνο από τη φύση και τη θερμοκρασία του και δεν εξαρτάται από τη διαβάθμιση της ταχύτητας. (Νερό και ντίζελ)

.Αριθμός Reynolds- που χαρακτηρίζει τη σχέση μεταξύ αδρανειακών δυνάμεων και ιξωδών δυνάμεων: Re = rdv/m, όπου r είναι η πυκνότητα, m είναι ο δυναμικός συντελεστής ιξώδους ενός υγρού ή αερίου, v είναι η ταχύτητα ροής. Στο R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Η ροή του Rekр μπορεί να γίνει ταραχώδης.

Συντελεστής κινηματικού ιξώδους- ο λόγος του δυναμικού ιξώδους ενός υγρού ή αερίου προς την πυκνότητά του.

9. Μέθοδος Stokes,Με βάση τη μέθοδο ΕΝΑΤο Stokes περιέχει τον τύπο για τη δύναμη αντίστασης που προκύπτει όταν μια μπάλα κινείται σε ένα παχύρρευστο ρευστό, που λαμβάνεται από τον Stokes: Fc = 6 π η V r. Για να μετρηθεί έμμεσα ο συντελεστής ιξώδους η, θα πρέπει να εξετάσουμε την ομοιόμορφη κίνηση μιας μπάλας σε ένα παχύρρευστο ρευστό και να εφαρμόσουμε την συνθήκη της ομοιόμορφης κίνησης: το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στην μπάλα είναι μηδέν.

Mg + F A + F με =0 (όλα είναι σε διανυσματική μορφή!!!)

Τώρα θα πρέπει να εκφράσουμε τη δύναμη της βαρύτητας (mg) και τη δύναμη του Αρχιμήδη (Fa) ως προς τις γνωστές ποσότητες. Εξισώνοντας τις τιμές mg = Fa+Fc λαμβάνουμε την έκφραση για το ιξώδες:

η = (2/9)*g*(ρ t - ρ l)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ t - ρ l)* r 2 * t / L. Η ακτίνα είναι απευθείας μετρημένη με μια μικρομετρική μπάλα r (κατά διάμετρο), L είναι η διαδρομή της μπάλας στο υγρό, t είναι ο χρόνος διαδρομής της διαδρομής L. Για τη μέτρηση του ιξώδους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Stokes, η διαδρομή L δεν λαμβάνεται από την επιφάνεια του υγρού , αλλά μεταξύ των σημείων 1 και 2. Αυτό προκαλείται από την ακόλουθη περίσταση. Κατά την εξαγωγή του τύπου εργασίας για τον συντελεστή ιξώδους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Stokes, χρησιμοποιήθηκε η συνθήκη της ομοιόμορφης κίνησης. Στην αρχή της κίνησης (η αρχική ταχύτητα της μπάλας είναι μηδέν), η δύναμη αντίστασης είναι επίσης μηδενική και η μπάλα έχει κάποια επιτάχυνση. Καθώς κερδίζετε ταχύτητα, η δύναμη αντίστασης αυξάνεται και η προκύπτουσα από τις τρεις δυνάμεις μειώνεται! Μόνο μετά από ένα ορισμένο σημάδι η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη (και μετά μόνο κατά προσέγγιση).

11.Η φόρμουλα του Poiseuille: Κατά τη σταθερή στρωτή κίνηση ενός ιξώδους ασυμπίεστου ρευστού μέσω ενός κυλινδρικού σωλήνα κυκλικής διατομής, ο δεύτερος ογκομετρικός ρυθμός ροής είναι ευθέως ανάλογος με την πτώση πίεσης ανά μονάδα μήκους του σωλήνα και την τέταρτη ισχύ της ακτίνας και αντιστρόφως ανάλογος με την συντελεστής ιξώδους του υγρού.

Κυματικές διεργασίες

Βασικές έννοιες και ορισμοί

Ας εξετάσουμε κάποιο ελαστικό μέσο - στερεό, υγρό ή αέριο. Εάν οι δονήσεις των σωματιδίων του διεγείρονται σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του μέσου, τότε λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, οι δονήσεις, που μεταδίδονται από το ένα σωματίδιο του μέσου στο άλλο, θα διαδοθούν μέσω του μέσου με μια ορισμένη ταχύτητα. Επεξεργάζομαι, διαδικασία διάδοση των δονήσεων στο διάστημα ονομάζεται κύμα .

Εάν τα σωματίδια σε ένα μέσο ταλαντώνονται προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος, τότε λέγεται γεωγραφικού μήκους Εάν οι ταλαντώσεις σωματιδίων συμβαίνουν σε επίπεδο κάθετο προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος, τότε το κύμα λέγεται εγκάρσιος . Τα εγκάρσια μηχανικά κύματα μπορούν να προκύψουν μόνο σε ένα μέσο με μη μηδενικό μέτρο διάτμησης. Επομένως, μπορούν να εξαπλωθούν σε υγρά και αέρια μέσα μόνο διαμήκη κύματα . Η διαφορά μεταξύ διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων φαίνεται πιο ξεκάθαρα στο παράδειγμα της διάδοσης των δονήσεων σε ένα ελατήριο - βλέπε σχήμα.

Για τον χαρακτηρισμό των εγκάρσιων κραδασμών, είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε τη θέση στο χώρο επίπεδο που διέρχεται από την κατεύθυνση της ταλάντωσης και τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος - επίπεδο πόλωσης .

Η περιοχή του χώρου στην οποία δονούνται όλα τα σωματίδια του μέσου ονομάζεται κυματικό πεδίο . Το όριο μεταξύ του πεδίου κύματος και του υπόλοιπου μέσου ονομάζεται μέτωπο κύματος . Με άλλα λόγια, μέτωπο κύματος - η γεωμετρική θέση των σημείων στα οποία έχουν φτάσει οι ταλαντώσεις σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Σε ένα ομοιογενές και ισότροπο μέσο, ​​η κατεύθυνση διάδοσης του κύματος είναι κάθετοςστο μέτωπο του κύματος.

Ενώ υπάρχει ένα κύμα στο μέσο, ​​τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους. Αφήστε αυτές τις ταλαντώσεις να είναι αρμονικές, και η περίοδος αυτών των ταλαντώσεων είναι Τ. Σωματίδια που χωρίζονται με απόσταση

κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος, ταλαντώνονται με τον ίδιο τρόπο, δηλ. σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή οι μετατοπίσεις τους είναι οι ίδιες. Η απόσταση ονομάζεται μήκος κύματος . Με άλλα λόγια, μήκος κύματος είναι η απόσταση που διανύει ένα κύμα σε μια περίοδο ταλάντωσης .

Η γεωμετρική θέση των σημείων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση ονομάζεται επιφάνεια κύματος . Ένα μέτωπο κύματος είναι μια ειδική περίπτωση μιας επιφάνειας κύματος. Μήκος κύματος – ελάχιστοτην απόσταση μεταξύ δύο επιφανειών κύματος στις οποίες τα σημεία δονούνται με τον ίδιο τρόπο, ή μπορούμε να το πούμε αυτό οι φάσεις των ταλαντώσεων τους διαφέρουν κατά .

Εάν οι επιφάνειες των κυμάτων είναι επίπεδες, τότε το κύμα ονομάζεται διαμέρισμα , και αν κατά σφαίρες, τότε σφαιρικός. Ένα επίπεδο κύμα διεγείρεται σε ένα συνεχές ομοιογενές και ισότροπο μέσο όταν ένα άπειρο επίπεδο ταλαντώνεται. Η διέγερση μιας σφαιρικής επιφάνειας μπορεί να αναπαρασταθεί ως αποτέλεσμα ακτινικών παλμών μιας σφαιρικής επιφάνειας, καθώς και ως αποτέλεσμα της δράσης σημειακή πηγή,οι διαστάσεις του οποίου μπορούν να αγνοηθούν σε σύγκριση με την απόσταση από το σημείο παρατήρησης. Δεδομένου ότι κάθε πραγματική πηγή έχει πεπερασμένες διαστάσεις, σε αρκετά μεγάλη απόσταση από αυτήν το κύμα θα είναι κοντά στο σφαιρικό. Ταυτόχρονα, το τμήμα της επιφάνειας κύματος ενός σφαιρικού κύματος, καθώς μειώνεται το μέγεθός του, πλησιάζει αυθαίρετα το τμήμα της επιφάνειας κύματος ενός επίπεδου κύματος.

Εξισώσεις επίπεδων και σφαιρικών κυμάτων

Κυματική εξίσωσηείναι μια έκφραση που καθορίζει τη μετατόπιση ενός ταλαντούμενου σημείου σε συνάρτηση με τις συντεταγμένες της θέσης ισορροπίας του σημείου και του χρόνου:

Αν η πηγή δεσμευτεί περιοδικόςταλαντώσεις, τότε η συνάρτηση (22.2) πρέπει να είναι περιοδική συνάρτηση και των συντεταγμένων και του χρόνου. Η περιοδικότητα στο χρόνο προκύπτει από το γεγονός ότι η συνάρτηση Περιγράφει περιοδικές ταλαντώσεις ενός σημείου με συντεταγμένες. περιοδικότητα σε συντεταγμένες - από το γεγονός ότι τα σημεία που βρίσκονται σε απόσταση κατά μήκος της κατεύθυνσης διάδοσης του κύματος ταλαντώνονται με τον ίδιο τρόπο

Ας περιοριστούμε στην εξέταση των αρμονικών κυμάτων, όταν σημεία στο μέσο εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις. Πρέπει να σημειωθεί ότι οποιαδήποτε μη αρμονική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως το αποτέλεσμα της υπέρθεσης αρμονικών κυμάτων. Επομένως, η εξέταση μόνο των αρμονικών κυμάτων δεν οδηγεί σε θεμελιώδη επιδείνωση της γενικότητας των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται.

Ας εξετάσουμε ένα επίπεδο κύμα. Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Ωσυνέπεσε με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τότε οι επιφάνειες των κυμάτων θα είναι κάθετες στον άξονα Ωκαι, εφόσον όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύματος δονούνται εξίσου, η μετατόπιση των σημείων του μέσου από τις θέσεις ισορροπίας θα εξαρτηθεί μόνο από x και t:

Αφήστε τις δονήσεις των σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο να έχουν τη μορφή:

(22.4)

Ταλαντώσεις σε επίπεδο που βρίσκεται σε απόσταση Χαπό την αρχή, χρονική υστέρηση από τις ταλαντώσεις στο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να καλύψει το κύμα την απόσταση Χ,και περιγράφονται από την εξίσωση

το οποίο είναι εξίσωση ενός επιπέδου κύματος που διαδίδεται προς την κατεύθυνση του άξονα Ox.

Κατά την εξαγωγή της εξίσωσης (22.5), υποθέσαμε ότι το πλάτος των ταλαντώσεων είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία. Στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος, αυτό ισχύει εάν η κυματική ενέργεια δεν απορροφάται από το μέσο.

Ας εξετάσουμε κάποια τιμή της φάσης στην εξίσωση (22.5):

(22.6)

Η εξίσωση (22.6) δίνει τη σχέση μεταξύ του χρόνου tκαι θέση - Χ, στο οποίο εφαρμόζεται αυτήν τη στιγμή η καθορισμένη τιμή φάσης. Έχοντας προσδιορίσει από την εξίσωση (22.6), βρίσκουμε την ταχύτητα με την οποία κινείται μια δεδομένη τιμή φάσης. Διαφοροποιώντας (22.6), παίρνουμε:

Όπου ακολουθεί (22.7)

Η κυματική εξίσωση είναι μια έκφραση που δίνει τη μετατόπιση ενός ταλαντούμενου σωματιδίου ως συνάρτηση των συντεταγμένων του x, y, z και του χρόνου t:

(εννοεί τις συντεταγμένες της θέσης ισορροπίας του σωματιδίου). Αυτή η συνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική τόσο ως προς το χρόνο t όσο και ως προς τις συντεταγμένες x, y, z. Η περιοδικότητα στο χρόνο προκύπτει από το γεγονός ότι περιγράφει τις ταλαντώσεις ενός σωματιδίου με συντεταγμένες x, y, z. Η περιοδικότητα στις συντεταγμένες προκύπτει από το γεγονός ότι σημεία που χωρίζονται μεταξύ τους με απόσταση K δονούνται με τον ίδιο τρόπο.

Ας βρούμε τη μορφή της συνάρτησης στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος, υποθέτοντας ότι οι ταλαντώσεις είναι αρμονικής φύσης. Για απλοποίηση, ας κατευθύνουμε τους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας να συμπίπτει με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τότε οι επιφάνειες κύματος θα είναι κάθετες στον άξονα και, καθώς όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύματος δονούνται εξίσου, η μετατόπιση θα εξαρτάται μόνο από Έστω οι ταλαντώσεις των σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο (Εικ. 94.1) έχουν τη μορφή

Ας βρούμε τον τύπο ταλάντωσης σημείων στο επίπεδο που αντιστοιχεί σε αυθαίρετη τιμή x. Για να ταξιδέψει από το επίπεδο x = 0 σε αυτό το επίπεδο, το κύμα απαιτεί χρόνο - την ταχύτητα διάδοσης του κύματος).

Κατά συνέπεια, οι ταλαντώσεις των σωματιδίων που βρίσκονται στο επίπεδο x θα υστερούν χρονικά από τις ταλαντώσεις των σωματιδίων στο επίπεδο, δηλαδή θα έχουν τη μορφή

Έτσι, η εξίσωση ενός επίπεδου κύματος (τόσο διαμήκους όσο και εγκάρσιου) που διαδίδεται στην κατεύθυνση του άξονα x είναι η εξής:

Η ποσότητα a αντιπροσωπεύει το πλάτος του κύματος. Η αρχική φάση του κύματος a καθορίζεται από την επιλογή των πηγών. Όταν εξετάζουμε ένα μεμονωμένο κύμα, οι απαρχές του χρόνου και οι συντεταγμένες επιλέγονται συνήθως έτσι ώστε το a να είναι ίσο με μηδέν. Όταν εξετάζουμε πολλά κύματα μαζί, συνήθως δεν είναι δυνατό να διασφαλιστεί ότι οι αρχικές φάσεις για όλα αυτά είναι ίσες με μηδέν.

Ας καθορίσουμε οποιαδήποτε τιμή της φάσης στην εξίσωση (94.2) βάζοντας

(94.3)

Αυτή η έκφραση ορίζει τη σχέση μεταξύ του χρόνου t και του τόπου x στον οποίο η φάση έχει μια σταθερή τιμή. Η τιμή που προκύπτει δίνει την ταχύτητα με την οποία κινείται μια δεδομένη τιμή φάσης. Διαφοροποιώντας την έκφραση (94.3), λαμβάνουμε

Έτσι, η ταχύτητα διάδοσης του κύματος v στην εξίσωση (94.2) είναι η ταχύτητα της κίνησης της φάσης, και επομένως ονομάζεται ταχύτητα φάσης.

Σύμφωνα με (94.4). Συνεπώς, η εξίσωση (94.2) περιγράφει ένα κύμα που διαδίδεται προς την κατεύθυνση της αύξησης του x. Ένα κύμα που διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση περιγράφεται από την εξίσωση

Πράγματι, εξισώνοντας τη φάση του κύματος (94,5) σε σταθερά και διαφοροποιώντας την προκύπτουσα ισότητα, καταλήγουμε στη σχέση

από το οποίο προκύπτει ότι το κύμα (94.5) διαδίδεται προς την κατεύθυνση φθίνουσας x.

Στην εξίσωση επίπεδου κύματος μπορεί να δοθεί μια μορφή που είναι συμμετρική ως προς τα x και t. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε την ποσότητα

που ονομάζεται αριθμός κύματος. Έχοντας μειώσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή της έκφρασης (94.6) στη συχνότητα v, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό κύματος στη μορφή

(βλ. τύπο (93.2)). Ανοίγοντας τις παρενθέσεις στο (94.2) και λαμβάνοντας υπόψη το (94.7), καταλήγουμε στην ακόλουθη εξίσωση για ένα επίπεδο κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x:

Η εξίσωση ενός κύματος που διαδίδεται προς την κατεύθυνση της μείωσης του x διαφέρει από το (94,8) μόνο στο πρόσημο του όρου

Κατά την εξαγωγή του τύπου (94.8), υποθέσαμε ότι το πλάτος των ταλαντώσεων δεν εξαρτάται από το x. Για ένα επίπεδο κύμα, αυτό παρατηρείται στην περίπτωση που η ενέργεια του κύματος δεν απορροφάται από το μέσο. Κατά τη διάδοση σε ένα μέσο απορρόφησης ενέργειας, η ένταση του κύματος μειώνεται σταδιακά με την απόσταση από την πηγή των ταλαντώσεων - παρατηρείται εξασθένηση του κύματος. Η εμπειρία δείχνει ότι σε ένα ομοιογενές μέσο μια τέτοια εξασθένηση συμβαίνει σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο: με μείωση του χρόνου του πλάτους των αποσβεσμένων ταλαντώσεων. βλέπε τύπο (58.7) του 1ου τόμου). Κατά συνέπεια, η εξίσωση του επιπέδου κύματος έχει την ακόλουθη μορφή:

Πλάτος σε σημεία του επιπέδου

Τώρα ας βρούμε την εξίσωση ενός σφαιρικού κύματος. Κάθε πραγματική πηγή κυμάτων έχει κάποια έκταση. Ωστόσο, εάν περιοριστούμε στην εξέταση κυμάτων σε αποστάσεις από την πηγή που υπερβαίνουν σημαντικά τις διαστάσεις της, τότε η πηγή μπορεί να θεωρηθεί σημειακή πηγή. Σε ένα ισότροπο και ομοιογενές μέσο, ​​το κύμα που δημιουργείται από μια σημειακή πηγή θα είναι σφαιρικό. Ας υποθέσουμε ότι η φάση των ταλαντώσεων της πηγής είναι ίση.Τότε τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια κύματος της ακτίνας θα ταλαντωθούν με τη φάση