Teorema 1. (Despre independența liniară a vectorilor ortogonali). Fie Atunci sistemul de vectori să fie liniar independent.

Compunem o combinație liniară ∑λ i x i =0 și considerăm produsul scalar (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, dar ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definiția 1. Sistem vectorialsau (e i ,e j)=δ ij - simbolul Kronecker, se numește ortonormal (ONS).

Definiția 2. Pentru un element arbitrar x dintr-un spațiu euclidian cu dimensiuni infinite arbitrare și un sistem ortonormal arbitrar de elemente, seria Fourier a unui element x din sistem se numește o sumă (seria) infinită compusă formal de forma , în care numerele reale λ i se numesc coeficienți Fourier ai elementului x din sistem , unde λ i =(x,e i).

Un comentariu. (Desigur, se pune întrebarea despre convergența acestei serii. Pentru a investiga această problemă, fixăm un număr arbitrar n și aflăm ce diferențiază a n-a sumă parțială a seriei Fourier de orice altă combinație liniară a primelor n elemente ale unui sistem ortonormal.)

Teorema 2. Pentru orice număr fix n, dintre toate sumele formei, cea mai mică abatere de la elementul x din norma spațiului euclidian dat are a n-a sumă parțială a seriei Fourier a elementului

Luând în considerare ortonormalitatea sistemului și definiția coeficientului Fourier, putem scrie

Minimul acestei expresii este atins la c i =λ i , deoarece în acest caz prima sumă întotdeauna nenegativă din partea dreaptă dispare, iar termenii rămași nu depind de c i.

Exemplu. Luați în considerare sistemul trigonometric

în spațiul tuturor funcțiilor integrabile Riemann f(x) pe segmentul [-π,π]. Este ușor de verificat că acesta este un ONS, iar apoi seria Fourier a funcției f(x) are forma unde .

Un comentariu. (Seria trigonometrică Fourier este de obicei scrisă ca Apoi )

Un ONS arbitrar într-un spațiu euclidian infinit fără ipoteze suplimentare, în general, nu este o bază a acestui spațiu. La nivel intuitiv, fără a da definiții stricte, vom descrie esența problemei. Într-un spațiu euclidian arbitrar cu dimensiuni infinite E, luați în considerare ONS , unde (e i ,e j)=δ ij este simbolul Kronecker. Fie M un subspațiu al unui spațiu euclidian și k=M ⊥ un subspațiu ortogonal cu M astfel încât spațiul euclidian E=M+M ⊥ . Proiecția unui vector x∈E pe un subspațiu M este un vector ∈M, unde

Vom căuta acele valori ale coeficienților de expansiune α k pentru care discrepanța (pătratul discrepanței) h 2 =||x-|| 2 va fi minimul:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Este clar că această expresie va lua valoarea minimă pentru α k =0, care este banal, și pentru α k =(x,ek). Atunci ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Astfel obținem inegalitatea Bessel ∑α k 2 ||x|| 2. Pentru ρ=0 un sistem ortonormal de vectori (ONS) se numește sistem ortonormal complet în sensul lui Steklov (PONS). De aici putem obține egalitatea Steklov - Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - „Teorema lui Pitagora” pentru spații euclidiene cu dimensiuni infinite complete, în sensul lui Steklov. Acum ar fi necesar să se demonstreze că, pentru ca orice vector spațial să fie reprezentat în mod unic ca o serie Fourier care converge către acesta, este necesar și suficient ca egalitatea Steklov-Parseval să fie satisfăcută. Sistemul de vectori pic=""> ONB formează sistemul de vectori Considerați pentru suma parțială a seriei Apoi ca coada unei serii convergente. Astfel, sistemul de vectori este PONS și formează BSS.

Exemplu. Sistem trigonometric

în spațiul tuturor funcțiilor integrabile Riemann f(x) pe segmentul [-π,π] este un PONS și formează un ONB.

Definiția 1. Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți vectori ai sistemului și, în caz contrar, independent liniar.

Definiția 1´. Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există numere Cu 1 , Cu 2 , …, Cu k , nu toate egale cu zero, astfel încât combinația liniară de vectori cu coeficienți dați este egală cu vectorul zero: = , altfel sistemul se numește liniar independent.

Să arătăm că aceste definiții sunt echivalente.

Fie satisfăcută Definiția 1, adică unul dintre vectorii sistemului este egal cu o combinație liniară a restului:

O combinație liniară a unui sistem de vectori este egală cu un vector zero și nu toți coeficienții acestei combinații sunt egali cu zero, adică. definiția 1’ este valabilă.

Fie satisfăcută Definiția 1´. Combinația liniară a sistemului de vectori este , și nu toți coeficienții combinației sunt egali cu zero, de exemplu, coeficienții vectorului .

Am prezentat unul dintre vectorii sistemului ca o combinație liniară a celorlalți, i.e. definiția 1 este îndeplinită.

Definiția 2. Se numește vectorul unitar sau ort vector n-dimensional, care i A-lea coordonată este egală cu unu, iar restul sunt zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Diversi vectori unitari n-spaţiile dimensionale sunt liniar independente.

Dovada. Fie combinația liniară a acestor vectori cu coeficienți arbitrari să fie egală cu vectorul zero.

Din această egalitate rezultă că toți coeficienții sunt egali cu zero. Avem o contradicție.

Fiecare vector n-spațiul dimensional ā (A 1 , A 2 , ..., A n ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori unitari cu coeficienți egali cu coordonatele vectorului

Teorema 2. Dacă sistemul de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Dovada. Fie dat un sistem de vectori și unul dintre vectori să fie zero, de exemplu = . Apoi, cu vectorii acestui sistem, este posibil să se compună o combinație liniară egală cu vectorul zero și nu toți coeficienții vor fi zero:

Prin urmare, sistemul este dependent liniar.

Teorema 3. Dacă un subsistem al unui sistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Dovada. Dat un sistem de vectori . Să presupunem că sistemul este dependent liniar, adică. sunt numere Cu 1 , Cu 2 , …, Cu r , nu toate egale cu zero, astfel încât = . Apoi

S-a dovedit că combinația liniară a vectorilor întregului sistem este egală și nu toți coeficienții acestei combinații sunt egali cu zero. Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Consecinţă. Dacă un sistem de vectori este independent liniar, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, independent liniar.

Dovada.

Să presupunem contrariul, adică un anumit subsistem este dependent liniar. Din teoremă rezultă că întregul sistem este dependent liniar. Am ajuns la o contradicție.

Teorema 4 (teorema lui Steinitz). Dacă fiecare dintre vectori este o combinație liniară a vectorilor și m>n, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Consecinţă.În orice sistem de vectori n -dimensionali, nu pot exista mai mult de n vectori liniar independenți.

Dovada. Fiecare n vectorul -dimensional este exprimat ca o combinație liniară de n vectori unitari. Prin urmare, dacă sistemul conține m vectori şi m>n, apoi, după teoremă, acest sistem este dependent liniar.

3.3. Independența liniară a vectorilor. Bază.

Liniar combinaţie sisteme vectoriale

numit vector

unde a 1 , a 2 , ..., a n - numere arbitrare.

Dacă tot un i = 0, atunci se numește combinația liniară banal . În acest caz, evident

Definiția 5.

Dacă pentru un sistem de vectori există o combinație liniară non-trivială (cel puțin una a i ¹ 0) egal cu vectorul zero: atunci se numeste sistemul de vectori liniar dependent. Dacă egalitatea (1) este posibilă numai dacă toate un i =0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent .

Teorema 2 (Condiții de dependență liniară).

Definiția 6.

Din teorema 3 rezultă că, dacă o bază este dată în spațiu, apoi adăugându-i un vector arbitrar, obținem un sistem de vectori dependent liniar. În conformitate cu Teorema 2 (1) , unul dintre ele (se poate arăta că vectorul ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a restului:

.

Definiția 7.

Numerele numit coordonate vectori în bază (notat

Dacă vectorii sunt considerați pe un plan, atunci baza va fi o pereche ordonată de vectori necoliniari

iar coordonatele vectorului din această bază sunt o pereche de numere:

Observația 3. Se poate arăta că pentru o bază dată, coordonatele vectorului sunt determinate în mod unic . Din aceasta, în special, rezultă că dacă vectorii sunt egali, atunci coordonatele lor corespunzătoare sunt egale și invers .

Astfel, dacă o bază este dată în spațiu, atunci fiecărui vector al spațiului îi corespunde un triplu ordonat de numere (coordonate vectoriale în această bază) și invers: fiecărui triplu de numere îi corespunde un vector.

Pe plan se stabilește o corespondență similară între vectori și perechi de numere.

Teorema 4 (Operații liniare prin coordonatele vectorilor).

Dacă într-o anumită bază Și A este un număr arbitrar, atunci în această bază

Cu alte cuvinte:

când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr ;

când se adaugă vectori, se adaugă coordonatele corespunzătoare .

Exemplul 1 . În anumite baze, vectoriiau coordonate

Arătați că vectorii formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Vectorii formează o bază dacă nu sunt coplanari, prin urmare (conform Teorema 3(2) ) sunt liniar independente.

Prin definiție 5 aceasta înseamnă că egalitatea

posibil doar atunci cândX = y = z = 0.

Conceptele de dependență liniară și independență a unui sistem de vectori sunt foarte importante în studiul algebrei vectoriale, deoarece conceptele de dimensiune și bază spațială se bazează pe ele. În acest articol, vom da definiții, vom lua în considerare proprietățile dependenței și independenței liniare, vom obține un algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru dependența liniară și vom analiza în detaliu soluțiile exemplelor.

Navigare în pagină.

Determinarea dependenței liniare și a independenței liniare a unui sistem de vectori.

Considerați o mulțime de vectori p n-dimensionali, notați-i după cum urmează. Compuneți o combinație liniară a acestor vectori și numere arbitrare (real sau complex): . Pe baza definiției operațiilor pe vectori n-dimensionali, precum și a proprietăților operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, se poate susține că combinația liniară înregistrată este un vector n-dimensional, adică .

Deci am ajuns la definirea dependenței liniare a sistemului de vectori.

Definiție.

Dacă o combinație liniară poate fi un vector zero atunci când este printre numere există cel puțin unul decât zero, atunci se numește sistemul de vectori dependent liniar.

Definiție.

Dacă combinația liniară este un vector nul numai când toate numerele sunt egale cu zero, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

Pe baza acestor definiții, formulăm și dovedim proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale unui sistem de vectori.

Dacă se adaugă mai mulți vectori la un sistem de vectori dependent liniar, atunci sistemul rezultat va fi dependent liniar.

Dovada.

Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, egalitatea este posibilă dacă există cel puțin un număr diferit de zero din numere. . Lăsa .

Să adăugăm mai mulți vectori la sistemul original de vectori și obținem sistemul. Deoarece și , atunci combinația liniară de vectori ai acestui sistem de formă

este un vector nul și . Prin urmare, sistemul de vectori rezultat este dependent liniar.

Dacă mai mulți vectori sunt excluși dintr-un sistem de vectori liniar independent, atunci sistemul rezultat va fi liniar independent.

Dovada.

Presupunem că sistemul rezultat este dependent liniar. Adăugând toți vectorii aruncați la acest sistem de vectori, obținem sistemul original de vectori. Prin condiție, este liniar independent și, datorită proprietății anterioare a dependenței liniare, trebuie să fie liniar dependent. Am ajuns la o contradicție, prin urmare presupunerea noastră este greșită.

Dacă un sistem de vectori are cel puțin un vector zero, atunci un astfel de sistem este dependent liniar.

Dovada.

Fie vectorul din acest sistem de vectori zero. Să presupunem că sistemul original de vectori este liniar independent. Atunci egalitatea vectorială este posibilă numai când . Cu toate acestea, dacă luăm orice diferit de zero, atunci egalitatea va fi încă valabilă, deoarece . Prin urmare, presupunerea noastră este greșită, iar sistemul original de vectori este dependent liniar.

Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectorii săi este exprimat liniar în termenii celorlalți. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, atunci niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat în termenii celorlalți.

Dovada.

Să demonstrăm mai întâi prima afirmație.

Fie ca sistemul de vectori să fie dependent liniar, atunci există cel puțin un număr diferit de zero și egalitatea este adevărată. Această egalitate poate fi rezolvată cu privire la , deoarece , în acest caz, avem

În consecință, vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori rămași ai sistemului, ceea ce urma să fie demonstrat.

Acum demonstrăm a doua afirmație.

Deoarece sistemul de vectori este liniar independent, egalitatea este posibilă numai pentru .

Să presupunem că un vector al sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți. Fie acest vector , atunci . Această egalitate poate fi rescrisă ca , pe partea stângă există o combinație liniară a vectorilor sistemului, iar coeficientul din fața vectorului este diferit de zero, ceea ce indică o dependență liniară a sistemului original de vectori. Deci am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că proprietatea este dovedită.

Din ultimele două proprietăți rezultă o afirmație importantă:
dacă sistemul de vectori conține vectori și , unde este un număr arbitrar, atunci este dependent liniar.

Studiul sistemului de vectori pentru dependența liniară.

Să stabilim sarcina: trebuie să stabilim o dependență liniară sau o independență liniară a sistemului de vectori.

Întrebarea logică este: „cum se rezolvă?”

Ceva util din punct de vedere practic poate fi derivat din definițiile și proprietățile de mai sus ale dependenței și independenței liniare a unui sistem de vectori. Aceste definiții și proprietăți ne permit să stabilim o dependență liniară a unui sistem de vectori în următoarele cazuri:

Dar în alte cazuri, care sunt majoritatea?

Să ne ocupăm de asta.

Reamintim formularea teoremei asupra rangului unei matrice, pe care am citat-o ​​în articol.

Teorema.

Lăsa r este rangul matricei A de ordinul p cu n , . Fie M minorul de bază al matricei A . Toate rândurile (toate coloanele) ale matricei A care nu participă la formarea bazei minore M sunt exprimate liniar în termenii rândurilor (coloanelor) matricei care generează baza minorului M .

Și acum să explicăm legătura dintre teorema privind rangul unei matrice cu studiul unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.

Să facem o matrice A, ale cărei rânduri vor fi vectorii sistemului studiat:

Ce va însemna independența liniară a sistemului de vectori?

Din a patra proprietate a independenței liniare a unui sistem de vectori, știm că niciunul dintre vectorii sistemului nu poate fi exprimat în termenii celorlalți. Cu alte cuvinte, niciun rând al matricei A nu va fi exprimat liniar în termenii altor rânduri, prin urmare, independența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)=p.

Ce va însemna dependența liniară a sistemului de vectori?

Totul este foarte simplu: cel puțin un rând al matricei A va fi exprimat liniar în ceea ce privește restul, prin urmare, dependența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)

.

Deci, problema studierii unui sistem de vectori pentru o dependență liniară se reduce la problema găsirii rangului unei matrice compuse din vectorii acestui sistem.

Trebuie remarcat că pentru p>n sistemul de vectori va fi liniar dependent.

cometariu: la compilarea matricei A, vectorii de sistem pot fi luați nu ca rânduri, ci ca coloane.

Algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.

Să analizăm algoritmul cu exemple.

Exemple de studiere a unui sistem de vectori pentru dependență liniară.

Exemplu.

Dat un sistem de vectori . Examinează-l pentru o relație liniară.

Soluţie.

Deoarece vectorul c este zero, sistemul original de vectori este dependent liniar datorită celei de-a treia proprietăți.

Răspuns:

Sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplu.

Examinați sistemul de vectori pentru dependența liniară.

Soluţie.

Nu este greu de observat că coordonatele vectorului c sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului înmulțite cu 3, adică . Prin urmare, sistemul original de vectori este dependent liniar.

Lăsa L este spațiul liniar peste câmp R . Lăsa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) se numește dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lăsa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Atunci există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× A N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld A N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld A N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de bază a dependenței liniare).

Lasă și sunt două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

(21)

Deoarece sistemul este liniar independent, egalitatea (18) w X1=x2=…=xN=0. Să înlocuim aici expresii ale vectorilor: …+=0 (19). Prin urmare (20). Condițiile (18), (19) și (20) sunt în mod evident echivalente. Dar (18) este satisfăcută numai atunci când X1=x2=…=xN=0. Să aflăm când egalitatea (20) este adevărată. Dacă toți coeficienții săi sunt egali cu zero, atunci este în mod evident adevărat. Echivalându-le cu zero, obținem sistemul (21). Deoarece acest sistem are zero, acesta

comun. Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul maxim liniar independent de vectori spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este spațiu liniar(verifică). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Dovada de unul singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.