Pagina 1

Subspațiul, baza și dimensiunea acestuia.

Lăsa L este spațiul liniar peste câmp P Și A este un subset al L. Dacă A el însuşi constituie un spaţiu liniar peste câmp P pentru aceleași operațiuni ca L, Acea A numit subspațiu al spațiului L.

Conform definiţiei unui spaţiu liniar, astfel încât A a fost un subspațiu pentru a verifica fezabilitatea A operatii:

1) :
;

2)
:
;

si verificati ca operatiunile in A supuse opt axiome. Totuși, acestea din urmă vor fi redundante (datorită faptului că aceste axiome sunt valabile în L), adică. următoarele

Teorema. Fie L un spațiu liniar peste un câmp P și
. O mulțime A este un subspațiu al lui L dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:

1. :
;

2.
:
.

Afirmație. Dacă L – n-spaţiu liniar dimensional şi A subspațiul său, atunci A este, de asemenea, un spațiu liniar de dimensiuni finite și dimensiunea lui nu depășește n.

P exemplu 1. Este mulțimea S a tuturor vectorilor planului, fiecare dintre care se află pe una dintre axele de coordonate 0x sau 0y, un subspațiu al spațiului vectorilor de segment V 2?

Soluţie: Lăsa
,
Și
,
. Apoi
. Prin urmare, S nu este un subspațiu .

Exemplul 2 V 2 set de segmente vectoriale ale planului S toți vectorii plani al căror început și sfârșit se află pe o dreaptă dată l acest avion?

Soluţie.

E vector sli
înmulțiți cu un număr real k, atunci obținem un vector
, aparţinând tot lui S. Dacă Și sunt doi vectori din S, atunci
(după regula adunării vectorilor pe linie dreaptă). Prin urmare, S este un subspațiu .

Exemplul 3 Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 o multime de A toți vectorii planului ale căror capete se află pe dreapta dată l, (presupunem că originea oricărui vector coincide cu originea)?

R soluţie.

În cazul în care direct l nu trece prin origine A subspațiul liniar al spațiului V 2 nu este, pentru că
.

În cazul în care direct l trece prin origine, prin mulţime A este un subspațiu liniar al spațiului V 2 , deoarece
iar la înmulțirea oricărui vector
la un număr real α în afara câmpului R primim
. Astfel, cerințele de spațiu liniar pentru mulțime A efectuat.

Exemplul 4 Să fie dat un sistem de vectori
din spațiul liniar L peste câmp P. Demonstrați că mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile
cu coeficienți
din P este un subspațiu L(acesta este un subspațiu A se numește subspațiul generat de sistemul de vectori
sau înveliș liniar acest sistem de vectori, și se notează după cum urmează:
sau
).

Soluţie. Într-adevăr, din moment ce , apoi pentru orice elemente X, yA avem:
,
, Unde
,
. Apoi

Deoarece
, Acea
, De aceea
.

Să verificăm fezabilitatea celei de-a doua condiții a teoremei. Dacă X este orice vector din AȘi t- orice număr de la P, Acea . Deoarece
Și
,
, Acea
,
, De aceea
. Astfel, conform teoremei, mulțimea A este un subspațiu al unui spațiu liniar L.

Pentru spațiile liniare cu dimensiuni finite, este adevărat și invers.

Teorema. Orice subspațiu A spațiu liniar L peste câmp este intervalul liniar al unui sistem de vectori.

La rezolvarea problemei găsirii bazei și dimensiunii învelișului liniar, se folosește următoarea teoremă.

Teorema. Baza de înveliș liniar
coincide cu baza sistemului de vectori
. Dimensiunea carcasei liniare
coincide cu rangul sistemului de vectori
.

Exemplul 4 Găsiți baza și dimensiunea unui subspațiu
spațiu liniar R 3 [ X] , Dacă
,
,
,
.

Soluţie. Se știe că vectorii și rândurile lor de coordonate (coloanele) au aceleași proprietăți (în ceea ce privește dependență liniară). Facem o matrice A=
din coloanele de coordonate ale vectorilor
în bază
.

Aflați rangul unei matrice A.

. M 3 =
.
.

Prin urmare, rangul r(A)= 3. Deci, rangul sistemului de vectori
este egală cu 3. Prin urmare, dimensiunea subspațiului S este egală cu 3, iar baza sa constă din trei vectori
(pentru că la minorul de bază
sunt incluse doar coordonatele acestor vectori)., . Acest sistem de vectori este liniar independent. Într-adevăr, să .

ȘI
.

Se poate verifica că sistemul
dependent liniar pentru orice vector X din H. Aceasta demonstrează că
sistem maxim liniar independent de vectori subspațiali H, adică
- baza in Hși dim H=n 2 .

Pagina 1

O submulțime a unui spațiu liniar formează un subspațiu dacă este închis sub adunare vectorială și înmulțire cu scalari.

EXEMPLU 6.1. Un subspațiu dintr-un plan formează o mulțime de vectori ale căror capete se află: a) în primul cadran; b) pe o linie dreaptă care trece prin origine? (Originile vectorului se află la origine)

Soluţie.

a) nu, deoarece mulțimea nu este închisă la înmulțirea cu un scalar: atunci când este înmulțită cu un număr negativ, sfârșitul vectorului cade în al treilea trimestru.

b) da, deoarece la adunarea vectorilor și la înmulțirea lor cu orice număr, capetele lor rămân pe aceeași linie dreaptă.

EXERCIȚIUL 6.1. Următoarele submulțimi ale spațiilor liniare corespunzătoare formează un subspațiu:

a) un set de vectori plani ale căror capete se află în primul sau al treilea cadran;

b) o mulţime de vectori plani ale căror capete se află pe o dreaptă care nu trece prin origine;

c) un set de drepte de coordonate ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) mulţime de drepte de coordonate ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) mulţime de drepte de coordonate ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 = x 2 2 ).

Dimensiunea unui spațiu liniar L este numărul dim L de vectori incluși în oricare dintre bazele sale.

Dimensiunea sumei și intersecția subspațiilor sunt legate prin relație

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

EXEMPLU 6.2. Găsiți baza și dimensiunea sumei și intersecției subspațiilor acoperite de următoarele sisteme de vectori:

Soluție Fiecare dintre sistemele de vectori care generează subspațiile U și V este liniar independent și, prin urmare, este baza subspațiului corespunzător. Să construim o matrice din coordonatele acestor vectori, aranjandu-i în coloane și separând un sistem de altul cu o linie. Să aducem matricea rezultată într-o formă în trepte.

~ ~ ~ .

Baza U + V este formată din vectorii , , , care corespund elementelor conducătoare din matricea treptei. Prin urmare dim (U + V) = 3. Atunci

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Intersecția subspațiilor formează un set de vectori care satisfac ecuația (stă în partea stângă și în dreapta acestei ecuații). Baza intersecției se obține folosind sistemul fundamental de soluții al sistemului ecuatii lineare corespunzătoare acestei ecuaţii vectoriale. Matricea acestui sistem a fost deja redusă la o formă în trepte. Pe baza acesteia, concluzionăm că y 2 este o variabilă liberă și setăm y 2 = c. Atunci 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. iar intersecția subspațiilor formează un set de vectori de forma = c(3, 6, 3, 4). Prin urmare, baza UÇV formează vectorul (3, 6, 3, 4).

Remarci. 1. Dacă continuăm să rezolvăm sistemul, găsind valorile variabilelor x, atunci obținem x 2 \u003d c, x 1 \u003d c, iar în partea stângă a ecuației vectoriale obținem un vector egal cu cel obtinut mai sus.

2. Folosind această metodă, se poate obține baza sumei, indiferent dacă sistemele generatoare de vectori sunt liniar independente. Dar baza intersecției va fi obținută corect numai dacă cel puțin sistemul care generează al doilea subspațiu este liniar independent.

3. Dacă se constată că dimensiunea intersecției este 0, atunci intersecția nu are nicio bază și nu este nevoie să o căutați.

EXERCIȚIUL 6.2. Găsiți baza și dimensiunea sumei și intersecției subspațiilor acoperite de următoarele sisteme de vectori:

A)

b)

Spațiul euclidian

Spațiul euclidian este un spațiu liniar peste un câmp R, în care este definită înmulțirea scalară, care atribuie fiecărei perechi de vectori , un scalar , și sunt îndeplinite următoarele condiții:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹ z > 0.

Produsul punctual standard este calculat folosind formulele

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n .

Vectorii și se numesc ortogonali, se scriu ^ dacă produsul lor scalar este egal cu 0.

Un sistem de vectori se numește ortogonal dacă vectorii din el sunt ortogonali pe perechi.

Sistemul ortogonal de vectori este liniar independent.

Procesul de ortogonalizare a sistemului de vectori , … , constă în trecerea la un sistem ortogonal echivalent , … , , realizată prin formulele:

, unde , k = 2, … , n.

EXEMPLU 7.1. Ortogonalizarea unui sistem de vectori

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Rezolvare.Avem = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

EXERCIȚIUL 7.1. Ortogonalizarea sistemelor de vectori:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

EXEMPLU 7.2. Complementați sistemul de vectori = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), până la o bază de spațiu ortogonal.

Soluție Sistemul original este ortogonal, deci problema are sens. Deoarece vectorii sunt dați în spațiu cu patru dimensiuni, este necesar să găsiți încă doi vectori. Al treilea vector = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) este determinat din condițiile = 0, = 0. Aceste condiții dau un sistem de ecuații, a cărui matrice este formată din rândurile de coordonate ale vectorilor și . Rezolvam sistemul:

~ ~ .

Variabilelor libere x 3 și x 4 li se poate da orice set de valori, altele decât zero. Presupunem, de exemplu, x 3 = 0, x 4 = 1. Atunci x 2 = 0, x 1 = 1 și = (1, 0, 0, 1).

În mod similar, găsim = (y 1, y 2, y 3, y 4). Pentru a face acest lucru, adăugăm un nou rând de coordonate la matricea de pași obținută mai sus și o reducem la o formă de pas:

~ ~ .

Pentru o variabilă liberă y 3 setăm y 3 = 1. Atunci y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 și = (0, 1, 1, 0).

Norma unui vector spațial euclidian este un număr real nenegativ.

Un vector se numește normalizat dacă norma lui este 1.

Pentru a normaliza un vector, acesta trebuie împărțit la norma sa.

Un sistem ortogonal de vectori normalizați se numește ortonormal.

EXERCIȚIUL 7.2. Completați sistemul de vectori la o bază ortonormală a spațiului:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Afișări liniare

Fie U și V spații liniare peste un câmp F. O mapare f: U ® V se numește liniară dacă și .

EXEMPLU 8.1. Sunt transformări liniare ale spațiului tridimensional:

a) f (x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 - x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Soluţie.

a) Avem f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 - lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 - x 3 , 0) =

L f(x 1 , x 2 , x 3).

Prin urmare, transformarea este liniară.

b) Avem f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3) ).

Prin urmare, transformarea nu este liniară.

Imaginea unei mapări liniare f: U ® V este mulțimea de imagini ale vectorilor din U, adică.

Im (f) = (f() ï Î U). + … + un m1

EXERCIȚIUL 8.1. Găsiți rangul, defectul, bazele imaginii și nucleele mapării liniare f date de matrice:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

P Și A este un subset al L. Dacă A el însuşi constituie un spaţiu liniar peste câmp P pentru aceleași operațiuni ca L, Acea A numit subspațiu al spațiului L.

Conform definiţiei unui spaţiu liniar, astfel încât A a fost un subspațiu pentru a verifica fezabilitatea A operatii:

1) :
;

2)
:
;

si verificati ca operatiunile in A supuse opt axiome. Totuși, acestea din urmă vor fi redundante (datorită faptului că aceste axiome sunt valabile în L), adică. următoarele

Teorema. Fie L un spațiu liniar peste un câmp P și
. O mulțime A este un subspațiu al lui L dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:

Afirmație. Dacă L – n-spaţiu liniar dimensional şi A subspațiul său, atunci A este, de asemenea, un spațiu liniar de dimensiuni finite și dimensiunea lui nu depășește n.

P exemplu 1. Este subspațiul spațiului vectorilor de segment V 2 mulțimea S a tuturor vectorilor planului, fiecare dintre care se află pe una dintre axele de coordonate 0x sau 0y?

Soluţie: Lăsa
,
Și
,
. Apoi
. Prin urmare, S nu este un subspațiu .

Exemplul 2 Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 set de segmente vectoriale ale planului S toți vectorii plani al căror început și sfârșit se află pe o dreaptă dată l acest avion?

Soluţie.

E vector sli
înmulțiți cu un număr real k, atunci obținem un vector
, aparţinând tot lui S. Dacă Și sunt doi vectori din S, atunci
(după regula adunării vectorilor pe linie dreaptă). Prin urmare, S este un subspațiu .

Exemplul 3 Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 o multime de A toți vectorii planului ale căror capete se află pe dreapta dată l, (presupunem că originea oricărui vector coincide cu originea)?

R soluţie.

În cazul în care direct l nu trece prin origine A subspațiul liniar al spațiului V 2 nu este, pentru că
.

În cazul în care direct l trece prin origine, prin mulţime A este un subspațiu liniar al spațiului V 2 , deoarece
iar la înmulțirea oricărui vector
la un număr real α în afara câmpului R primim
. Astfel, cerințele de spațiu liniar pentru mulțime A efectuat.

Exemplul 4 Să fie dat un sistem de vectori
din spațiul liniar L peste câmp P. Demonstrați că mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile
cu coeficienți
din P este un subspațiu L(acesta este un subspațiu A se numeşte subspaţiu generat de un sistem de vectori sau înveliș liniar acest sistem de vectori, și se notează după cum urmează:
sau
).

Soluţie. Într-adevăr, din moment ce , apoi pentru orice elemente X, yA avem:
,
, Unde
,
. Apoi

De atunci
, De aceea
.

Să verificăm fezabilitatea celei de-a doua condiții a teoremei. Dacă X este orice vector din AȘi t- orice număr de la P, Acea . Deoarece
Și
,, Acea
, , De aceea
. Astfel, conform teoremei, mulțimea A este un subspațiu al unui spațiu liniar L.

Pentru spațiile liniare cu dimensiuni finite, este adevărat și invers.

Teorema. Orice subspațiu A spațiu liniar L peste câmp este intervalul liniar al unui sistem de vectori.

La rezolvarea problemei găsirii bazei și dimensiunii învelișului liniar, se folosește următoarea teoremă.

Teorema. Baza de înveliș liniar
coincide cu baza sistemului de vectori . Dimensiunea intervalului liniar coincide cu rangul sistemului de vectori.

Exemplul 4 Găsiți baza și dimensiunea unui subspațiu
spațiu liniar R 3 [ X] , Dacă
,
,
,
.

Soluţie. Se știe că vectorii și rândurile lor de coordonate (coloanele) au aceleași proprietăți (în ceea ce privește dependența liniară). Facem o matrice A=
din coloanele de coordonate ale vectorilor
în bază
.

Aflați rangul unei matrice A.

. M 3 =
.
.

Prin urmare, rangul r(A)= 3. Deci, rangul sistemului de vectori este 3. Prin urmare, dimensiunea subspațiului S este 3, iar baza sa constă din trei vectori
(pentru că la minorul de bază
sunt incluse doar coordonatele acestor vectori).

Exemplul 5 Demonstrează că setul H vectori spațiali aritmetici
, ale căror prima și ultima coordonată sunt 0, constituie un subspațiu liniar. Găsiți-i baza și dimensiunea.

Soluţie. Lăsa
.

Apoi , și . Prin urmare,
pentru orice . Dacă
,
, Acea . Astfel, conform teoremei subspațiului liniar, mulțimea H este un subspațiu liniar al spațiului . Să găsim baza H. Luați în considerare următorii vectori din H:
,
, . Acest sistem de vectori este liniar independent. Într-adevăr, să .

1. Lasă subspațiul L = L(A 1 , A 2 , …, a m) , acesta este L este învelișul liniar al sistemului A 1 , A 2 , …, a m; vectori A 1 , A 2 , …, a m este sistemul generatorilor acestui subspațiu. Apoi baza L este baza sistemului de vectori A 1 , A 2 , …, a m, adică baza sistemului de generatoare. Dimensiune L este egal cu rangul sistemului de generatoare.

2. Lasă subspațiul L este suma subspațiilor L 1 și L 2. Sistemul de generare a subspațiilor poate fi obținut prin combinarea sistemelor de generare a subspațiilor, după care se află baza sumei. Dimensiunea sumei se află prin următoarea formulă:

dim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim(L 1 Z L 2).

3. Fie suma subspațiilor L 1 și L 2 linie dreaptă, adică L = L 1 Å L 2. în care L 1 Z L 2 = {O) Și dim(L 1 Z L 2) = 0. Baza sumei directe este egală cu unirea bazelor sumelor. Dimensiunea sumei directe este egală cu suma dimensiunilor termenilor.

4. Să dăm un exemplu important de subspațiu și o varietate liniară.

Luați în considerare un sistem omogen m ecuații liniare cu n necunoscut. O mulțime de soluții M 0 al acestui sistem este o submulțime a mulțimii R nși este închisă sub adunarea vectorilor și înmulțirea lor cu un număr real. Aceasta înseamnă că acesta este un set M 0 - subspațiu al spațiului R n. Baza subspațiului este setul fundamental de soluții al sistemului omogen, dimensiunea subspațiului este egală cu numărul de vectori din setul fundamental de soluții al sistemului.

O multime de M soluții comune de sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este, de asemenea, un subset al mulțimii R nși este egală cu suma mulțimii M 0 și vector A, Unde A este o soluție specială a sistemului original și a setului M 0 este mulțimea de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare care însoțește acest sistem (diferă de sistemul original doar în termeni liberi),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Asta înseamnă că mulți M este o varietate liniară a spațiului R n cu vector de deplasare Ași direcție M 0 .

Exemplul 8.6. Aflați baza și dimensiunea unui subspațiu dat de un sistem omogen de ecuații liniare:

Soluţie. Să găsim soluția generală a acestui sistem și setul său fundamental de soluții: Cu 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Cu 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Cu 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Baza subspațială este formată din vectori Cu 1 , Cu 2 , Cu 3, dimensiunea sa este trei.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Algebră liniară

Kostroma Universitate de stat numele n și nekrasov ..

Dacă aveți nevoie material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

tweet

Toate subiectele din această secțiune:

BBK 22.174ya73-5
M350 Tipărit prin hotărâre a consiliului editorial și editorial al KSU. N. A. Nekrasova Referent A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013

Unire (sau sumă)
Definiție 1.9.Uniunea mulțimilor A și B este mulțimea A È B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin deși

Intersecție (sau produs)
Definiția 1.10. Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea A Ç B, care constă din acele și numai acele elemente aparținând aceluiași

Diferență
Definiție 1.11 Diferența mulțimilor A și B este mulțimea A B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin mulțimii A

produs cartezian (sau produs direct)
Definiția 1.14. O pereche ordonată (sau pereche) (a, b) sunt două elemente a, b luate într-o anumită ordine. Perechi (a1

Proprietățile operațiilor de set
Proprietățile operațiilor de unire, intersecție și complement sunt uneori numite legile algebrei mulțimilor. Să enumerăm principalele proprietăți ale operațiilor pe mulțimi. Fie un set universal U

Metoda inducției matematice
Metoda inducției matematice este folosită pentru a demonstra afirmațiile în care este implicat parametrul natural n. Metoda inducției matematice - metoda de demonstrare a matematicii

Numere complexe
Conceptul de număr este una dintre principalele realizări ale culturii umane. Mai întâi au apărut numerele naturale N = (1, 2, 3, …, n, …), apoi numerele întregi Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rațional Q

Interpretarea geometrică a numerelor complexe
Se știe că numerele negative au fost introduse în legătură cu rezolvarea ecuațiilor liniare cu o variabilă. În probleme specifice, un răspuns negativ a fost interpretat ca valoarea cantității direcționate (

Forma trigonometrică a unui număr complex
Un vector poate fi specificat nu numai prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ci și prin lungime și

Operații pe numere complexe în formă trigonometrică
Este mai convenabil să efectuați adunarea și scăderea numerelor complexe în formă algebrică și înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică. 1. Înmulțiri Fie două k

Exponentiatie
Dacă z = r(cosj + i×sinj), atunci zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), unde n Î

Forma exponențială a unui număr complex
Din analiza matematică se știe că e = , e este un număr irațional. Eile

Conceptul de relație
Definiție 2.1. O relație n-ară (sau n-ară) P pe mulțimile A1, A2, …, An este orice submulțime

Proprietățile relațiilor binare
Fie dată relația binară P pe o mulțime nevidă A, adică P Í A2. Definiție 2.9 Relația binară P pe o mulțime

Relația de echivalență
Definiția 2.15. O relație binară pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Raport echivalent

Funcții
Definiția 2.20 O relație binară ƒ н A ´ B se numește funcție de la mulțimea A la mulțimea B dacă pentru orice x

Concepte generale
Definiție 3.1. O matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri și n coloane. Numerele m și n se numesc ordine (sau

Adăugarea de matrici de același tip
Puteți adăuga doar matrici de același tip. Definiția 3.12. Suma a două matrice A = (aij) și B = (bij), unde i = 1,

Proprietăți de adăugare a matricei
1) comutativitate: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) asociativitate:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Înmulțirea unei matrice cu un număr
Definiția 3.13. Produsul matricei A = (aij) și numărul real k este matricea C = (сij) pentru care

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
1) „A: 1 × A = A; 2) „ α, β Î R, „ A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Înmulțirea matricei
Definim inmultirea a doua matrici; Pentru a face acest lucru, trebuie să introducem câteva concepte suplimentare. Definiția 3.14. Matricele A și B se numesc consistente

Proprietățile înmulțirii matriceale
1) Înmulțirea prin matrice nu este comutativă: A×B ≠ B×A. Demonstra proprietate dată posibil cu exemple. Exemplul 3.6. A)

Transpunerea matricei
Definiția 3.16. Matricea Аt, obtinuta din data prin inlocuirea fiecaruia dintre randurile sale cu o coloana cu acelasi numar, se numeste transpusa matricei date A

Determinanți ai matricelor de ordinul doi și trei
Fiecărei matrice pătrate A de ordinul n i se atribuie un număr, care se numește determinantul acestei matrici. Denumire: D, |A|, det A,

Definiție 4.6.
1. Pentru n = 1, matricea A este formată dintr-un număr: |A| = a11. 2. Fie cunoscut determinantul pentru o matrice de ordin (n – 1). 3. Definiți

Proprietăți de calificare
Pentru a calcula determinanții de ordine mai mari de 3 se folosesc proprietățile determinanților și teorema lui Laplace. Teorema 4.1 (Laplace). Determinant al unei matrice pătrate

Calculul practic al determinanților
O modalitate de a calcula determinanții unei ordine de peste trei este să o extindeți într-o coloană sau rând. Exemplul 4.4 Calculați determinantul D =

Conceptul de rang de matrice
Fie A o matrice m ´ n. Alegem în mod arbitrar k rânduri și k coloane în această matrice, unde 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Găsirea rangului unei matrice prin metoda limitării minorilor
Una dintre metodele de găsire a rangului unei matrice este enumerarea minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei. Esența metodei este următoarea. Dacă există cel puțin un element

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare
Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice. Definiție 5.4. Următoarele transformări se numesc transformări matriceale elementare: 1. înmulțiți

Conceptul de matrice inversă și cum să o găsiți
Fie dată o matrice pătrată A. Definiţia 5.7. Matricea A–1 se numește inversul matricei A dacă A×A–1

Algoritm pentru găsirea matricei inverse
Luați în considerare una dintre modalitățile de a găsi inversul unei matrice date cu ajutorul adunărilor algebrice. Fie dată o matrice pătrată A. 1. Aflați determinantul matricei |A|. UE

Găsirea matricei inverse folosind transformări elementare
Luați în considerare o altă modalitate de a găsi matricea inversă folosind transformări elementare. Să formulăm conceptele și teoremele necesare. Definiție 5.11 Numele matricei B

Metoda Cramer
Să considerăm un sistem de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, adică m = n și sistemul arată astfel:

Metoda matricei inverse
Metoda matricei inverse este aplicabilă sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale nu este egal cu zero. Sistem de notație matriceală

metoda Gauss
Pentru a descrie această metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare, sunt necesare câteva concepte noi. Definiție 6.7. 0× ecuația

Descrierea metodei Gauss
Metoda Gauss - metoda eliminării succesive a necunoscutelor - constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original este redus la un sistem echivalent de trepte sau t.

Studiul unui sistem de ecuații liniare
A investiga un sistem de ecuații liniare înseamnă, fără a rezolva sistemul, să răspunzi la întrebarea: este sistemul consistent sau nu și, dacă da, câte soluții are? Răspunde la asta în

Sisteme omogene de ecuații liniare
Definiție 6.11 Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă termenii săi liberi sunt egali cu zero. Sistem omogen de m ecuații liniare

Proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare
1. Dacă vectorul а = (a1, a2, …, an) este o soluție a unui sistem omogen, atunci vectorul k×а = (k×a1, k&t

Ansamblu fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare
Fie M0 mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare. Definiţia 6.12.Vectorii c1, c2, ..., c

Dependența liniară și independența unui sistem de vectori
Fie a1, a2, …, am un set de m bucăți de vectori n-dimensionali, care este denumit în mod obișnuit sistem de vectori, și k1

Proprietăți ale unei dependențe liniare a unui sistem de vectori
1) Sistemul de vectori care conțin vectorul zero este dependent liniar. 2) Un sistem de vectori este dependent liniar dacă oricare dintre subsistemele sale este dependent liniar. Consecinţă. Dacă da

Sistem vectorial unitar
Definiția 7.13. Un sistem de vectori unitari în spațiul Rn este un sistem de vectori e1, e2, …, en

Două teoreme de dependență liniară
Teorema 7.1. Dacă un sistem mai mare de vectori este exprimat liniar în termeni de unul mai mic, atunci sistemul mai mare este dependent liniar. Să formulăm această teoremă mai detaliat: fie a1

Baza și rangul unui sistem de vectori
Fie S un sistem de vectori în spațiul Rn; poate fi fie finit, fie infinit. S" este un subsistem al sistemului S, S" Ì S. Să dăm două

Rangul sistemului vectorial
Să dăm două definiții echivalente ale rangului unui sistem de vectori. Definiția 7.16. Rangul unui sistem de vectori este numărul de vectori din orice bază a acestui sistem.

Constatarea practică a rangului și bazei unui sistem de vectori
Din sistemul de vectori dat, compunem o matrice prin aranjarea vectorilor ca șiruri ale acestei matrice. Aducem matricea într-o formă în trepte folosind transformări elementare peste rândurile acestei matrice. La

Definirea unui spațiu vectorial peste un câmp arbitrar
Fie P un câmp arbitrar. Exemple de câmpuri cunoscute de noi sunt domeniul numerelor raționale, reale, complexe. Definiție 8.1. Mulțimea V este numită

Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale
1) o este un vector zero (element), definit în mod unic într-un spațiu vectorial arbitrar peste câmp. 2) Pentru orice vector a О V, există un unic

Subspații. Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L Ì V (L este o submulțime a lui V). Definiție 8.2. Submulțimea L a vectorului pro

Intersecția și suma subspațiilor
Fie V un spațiu vectorial peste un câmp P, L1 și L2 fiind subspațiile acestuia. Definiție 8.3. Subintersectie

Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L un subspațiu și fie a un vector arbitrar din spațiul V. Definiția 8.6.Prin o varietate liniară

Spații vectoriale cu dimensiuni finite
Definiția 8.7 Un spațiu vectorial V se numește n-dimensional dacă conține un sistem liniar independent de vectori constând din n vectori și pentru

Baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite
V este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul P, S este un sistem de vectori (finiți sau infiniti). Definiția 8.10. Baza sistemului S

Coordonatele vectoriale relativ la baza dată
Se consideră un spațiu vectorial V de dimensiune finită de dimensiune n, vectorii e1, e2, …, ro formează baza acestuia. Lasă a fi prod

Coordonate vectoriale în diferite baze
Fie V un spațiu vectorial n-dimensional în care sunt date două baze: e1, e2, ..., en este vechea bază, e "1, e

Spații vectoriale euclidiene
Dat un spațiu vectorial V peste câmpul numerelor reale. Acest spațiu poate fi fie un spațiu vectorial de dimensiune finită de dimensiunea n, fie de dimensiune infinită.

Punctează produsul în coordonate
Într-un spațiu vectorial euclidian n-dimensional V, este dată o bază e1, e2, …, en. Vectorii x și y descompuși în vectori

Concepte metrice
În spațiile vectoriale euclidiene, se poate trece de la produsul scalar introdus la conceptele de norma unui vector și unghiul dintre vectori. Definiția 8.16. Norma (

Proprietăți de normă
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, deoarece ||la|| =

Baza ortonormală a unui spațiu vectorial euclidian
Definiția 8.21. O bază a unui spațiu vectorial euclidian se numește ortogonală dacă vectorii bazei sunt ortogonali pe perechi, adică dacă a1, a

Procesul de ortogonalizare
Teorema 8.12. Fiecare spațiu euclidian n-dimensional are o bază ortonormală. Dovada. Fie a1, a2

Produs punctat în bază ortonormală
Este dată o bază ortonormală e1, e2, …, en a spațiului euclidian V. Deoarece (ei, ej) = 0 pentru i

Complement subspațial ortogonal
V este un spațiu vectorial euclidian, L este subspațiul său. Definiția 8.23. Se spune că un vector a este ortogonal unui subspațiu L dacă vectorul

Relația dintre coordonatele unui vector și coordonatele imaginii acestuia
Un operator liniar j este dat în spațiul V, iar matricea sa M(j) se găsește în anumite baze e1, e2, …, en. Să fie aceasta baza

Matrici similare
Să considerăm mulţimea Pn´n de matrice pătrate de ordin n cu elemente dintr-un câmp arbitrar P. Introducem pe această mulţime relativul

Proprietățile relației de similitudine a matricei
1. Reflexivitate. Orice matrice este similară cu ea însăși, adică A ~ A. 2. Simetrie. Dacă matricea A este similară cu B, atunci B este similară cu A, adică.

Proprietăți ale vectorilor proprii
1. Fiecare vector propriu aparține unei singure valori proprii. Dovada. Fie x un vector propriu cu două valori proprii

Polinom caracteristic al unei matrice
Dată o matrice A Î Pn´n (sau A Î Rn´n). Defini

Condiții în care o matrice este similară cu o matrice diagonală
Fie A o matrice pătrată. Putem presupune că aceasta este matricea unui operator liniar dat într-o anumită bază. Se știe că într-o altă bază matricea operatorului liniar

Iordan forma normală
Definiția 10.5. O celulă Jordan de ordinul k legată de numărul l0 este o matrice de ordinul k, 1 ≤ k ≤ n,

Reducerea unei matrice la forma Jordan (normală).
Teorema 10.3. Forma normală Jordan este definită în mod unic pentru o matrice până la ordinea în care celulele Jordan sunt situate pe diagonala principală. etc

Forme biliniare
Definiție 11.1. O formă biliniară este o funcție (mapping) f: V ´ V ® R (sau C), unde V este un vector arbitrar n

Proprietățile formelor biliniare
Orice formă biliniară poate fi reprezentată ca o sumă de forme simetrice simetrice. Cu baza aleasă e1, e2, …, en în vector

Transformarea unei matrice de formă biliniară la trecerea la o nouă bază. Rangul formei biliniare
Fie două baze e = (e1, e2, …, en) și f = (f1, f2,

Forme cuadratice
Fie A(x, y) o formă biliniară simetrică definită pe un spațiu vectorial V. Definiția 11.6.Printr-o formă pătratică

Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică
Având o formă pătratică (2) A(x, x) = , unde x = (x1

Legea inerției formelor pătratice
Se stabilește că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(x

Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie definită de semn
Afirmația 11.1. Pentru ca forma pătratică A(x, x) dată în spațiul vectorial n-dimensional V să fie definită de semn, este necesar

O condiție necesară și suficientă pentru formele cuadratice cvasi-schimbătoare
Afirmația 11.3. Pentru ca forma pătratică A(x, x) definită în spațiul vectorial n-dimensional V să fie cvasi-alternantă (adică,

Criteriul lui Sylvester pentru definirea semnului unei forme pătratice
Fie forma A(x, x) în baza e = (e1, e2, …, en) să fie definită de matricea A(e) = (aij)

Concluzie
Algebra liniară este o parte obligatorie a oricărui program avansat de matematică. Orice altă secțiune presupune prezența cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților stabilite în timpul predării acestei discipline.

Lista bibliografică
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Algebră liniară cu elemente geometrie analitică. - M .: Editura Școlii Superioare de Științe Economice, 2007. Beklemishev D.V. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară.

Algebră liniară
Ajutor didactic Editor și corector G. D. Neganova Compoziție computerizată de T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Când am analizat conceptele unui vector n-dimensional și am introdus operații pe vectori, am aflat că mulțimea tuturor vectorilor n-dimensional generează un spațiu liniar. În acest articol, vom vorbi despre cele mai importante concepte conexe - despre dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Considerăm, de asemenea, teorema despre expansiunea unui vector arbitrar în termeni de bază și conexiunea dintre diferite baze ale unui spațiu n-dimensional. Să analizăm în detaliu soluțiile exemplelor tipice.

Navigare în pagină.

Conceptul de dimensiune și bază a spațiului vectorial.

Conceptele de dimensiune și bază ale unui spațiu vectorial sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, așa că vă recomandăm, dacă este necesar, să faceți referire la articolul dependență liniară a unui sistem de vectori, proprietăți de dependență liniară și independență.

Definiție.

Dimensiunea spațiului vectorial se numește numărul egal cu numărul maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.

Definiție.

Baza spațiului vectorial este o mulțime ordonată de vectori liniar independenți ai acestui spațiu, al căror număr este egal cu dimensiunea spațiului.

Prezentăm câteva argumente pe baza acestor definiții.

Se consideră spațiul vectorilor n -dimensionali.

Să arătăm că dimensiunea acestui spațiu este egală cu n .

Să luăm un sistem de n vectori unitari de forma

Să luăm acești vectori drept rânduri ale matricei A. În acest caz, matricea A va fi o matrice de identitate n cu n. Rangul acestei matrice este n (dacă este necesar, consultați articolul). Prin urmare, sistemul de vectori este liniar independent și niciun vector nu poate fi adăugat la acest sistem fără a-i încălca independența liniară. Deoarece numărul de vectori din sistem este egal cu n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari stau la baza acestui spatiu.

Din ultima afirmație și definiția bazei, putem concluziona că orice sistem de vectori n-dimensionali al cărui număr de vectori este mai mic decât n nu este o bază.

Acum să schimbăm primul și al doilea vector al sistemului . Este ușor de demonstrat că sistemul de vectori rezultat este, de asemenea, o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional. Să compunem o matrice, luând-o drept vectori rânduri ai acestui sistem. Această matrice poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primul și al doilea rând, deci rangul său va fi n . Astfel, un sistem de n vectori este liniar independentă și este o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional.

Dacă schimbăm alți vectori ai sistemului , obținem o altă bază.

Dacă luăm un sistem liniar independent de vectori neunitari, atunci acesta este și baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin urmare, un spațiu vectorial de dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de n vectori n-dimensionali.

Dacă vorbim despre un spațiu vectorial bidimensional (adică despre un plan), atunci baza lui este oricare doi vectori necoliniari. Baza unui spațiu tridimensional este oricare trei vectori necoplanari.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt vectorii baza unui spațiu vectorial 3D?

Soluţie.

Să examinăm acest sistem de vectori pentru o dependență liniară. Pentru a face acest lucru, vom compune o matrice, ale cărei rânduri vor fi coordonatele vectorilor și vom găsi rangul acesteia:


Astfel, vectorii a , b și c sunt liniar independenți și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, ei stau la baza acestui spațiu.

Răspuns:

Da, ei sunt.

Exemplu.

Poate un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial?

Soluţie.

Acest sistem de vectori este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori tridimensionali liniar independenți este trei. Prin urmare, acest sistem de vectori nu poate fi o bază a unui spațiu vectorial tridimensional (deși un subsistem al sistemului original de vectori este o bază).

Răspuns:

Nu el nu poate.

Exemplu.

Asigurați-vă că vectorii

poate fi o bază a unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Soluţie.

Să facem o matrice, luând-o ca rânduri ale vectorilor originali:

Sa gasim:

Astfel, sistemul de vectori a, b, c, d este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, a, b, c, d sunt baza acestuia.

Răspuns:

Vectorii originali sunt într-adevăr baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Exemplu.

Sunt vectorii baza unui spațiu vectorial cu 4 dimensiuni?

Soluţie.

Chiar dacă sistemul original de vectori este liniar independent, numărul de vectori din el nu este suficient pentru a fi baza unui spațiu cu patru dimensiuni (baza unui astfel de spațiu este formată din 4 vectori).

Răspuns:

Nu, nu este.

Descompunerea unui vector în termenii unei baze de spațiu vectorial.

Fie vectori arbitrari sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Dacă le adăugăm un vector n-dimensional x, atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar. Din proprietățile dependenței liniare, știm că cel puțin un vector al unui sistem dependent liniar este exprimat liniar în termenii celorlalți. Cu alte cuvinte, cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar este extins în ceea ce privește restul vectorilor.

Ajungem astfel la o teoremă foarte importantă.

Teorema.

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional este descompus în mod unic în termeni de bază.

Dovada.

Lăsa - baza spatiului vectorial n -dimensional. Să adăugăm un vector n-dimensional x acestor vectori. Atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar și vectorul x poate fi exprimat liniar în termeni de vectori : , unde sunt câteva numere. Deci am obținut expansiunea vectorului x în termeni de bază. Rămâne de demonstrat că această descompunere este unică.

Să presupunem că există o altă descompunere, unde - unele numere. Scădeți din părțile din stânga și din dreapta ultimei egalități, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ale egalității:

Deoarece sistemul de vectori de bază este liniar independentă, atunci, prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea rezultată este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt egali cu zero. Prin urmare, , care demonstrează unicitatea expansiunii vectorului în ceea ce privește baza.

Definiție.

Coeficienții se numesc coordonatele vectorului x din bază .

După ce ne-am familiarizat cu teorema expansiunii unui vector în termeni de bază, începem să înțelegem esența expresiei „ni se dă un vector n-dimensional. ". Această expresie înseamnă că luăm în considerare un vector x al unui spațiu vectorial n-dimensional ale cărui coordonate sunt date într-o anumită bază. În același timp, înțelegem că același vector x dintr-o altă bază a spațiului vectorial n-dimensional va avea coordonate diferite de .

Luați în considerare următoarea problemă.

Fie, într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional, ni se dă un sistem de n vectori liniar independenți

și vector . Apoi vectorii sunt, de asemenea, o bază a acestui spațiu vectorial.

Trebuie să găsim coordonatele vectorului x în bază . Să notăm aceste coordonate ca .

Vector x în bază are o idee. Scriem această egalitate sub formă de coordonate:

Această egalitate este echivalentă cu un sistem de n liniar ecuații algebrice cu n variabile necunoscute :

Matricea principală a acestui sistem are forma

Să-l notăm ca A. Coloanele matricei A sunt vectori ai unui sistem de vectori liniar independent , deci rangul acestei matrice este n , prin urmare determinantul său este diferit de zero. Acest fapt indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin orice metodă, de exemplu, sau .

Deci coordonatele dorite vor fi găsite vector x în bază .

Să analizăm teoria cu exemple.

Exemplu.

În anumite baze ale spațiului vectorial tridimensional, vectorii

Asigurați-vă că sistemul vectorial este, de asemenea, o bază a acestui spațiu și găsiți coordonatele vectorului x în această bază.

Soluţie.

Pentru ca un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial tridimensional, acesta trebuie să fie liniar independent. Să aflăm determinând rangul matricei A , ale cărei rânduri sunt vectori . Găsim rangul prin metoda Gauss


prin urmare, Rank(A) = 3 , care arată independența liniară a sistemului de vectori .

Deci vectorii sunt baza. Fie vectorul x să aibă coordonate în această bază. Apoi, așa cum am arătat mai sus, relația dintre coordonatele acestui vector este dată de sistemul de ecuații

Substituind în el valorile cunoscute din condiție, obținem

Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:

Astfel, vectorul x din bază are coordonate .

Răspuns:

Exemplu.

Într-o anumită bază spațiului vectorial cu patru dimensiuni i se dă un sistem de vectori liniar independent

Se știe că . Găsiți coordonatele vectorului x în bază .

Soluţie.

Deoarece sistemul de vectori este liniar independent prin presupunere, atunci este o bază a unui spațiu cu patru dimensiuni. Apoi egalitatea înseamnă că vectorul x din bază are coordonate. Notați coordonatele vectorului x în bază Cum .

Sistemul de ecuații care definește relația dintre coordonatele vectorului x în baze Și are forma

Înlocuim valorile cunoscute în el și găsim coordonatele dorite:

Răspuns:

.

Comunicarea între baze.

Să fie date două sisteme liniar independente de vectori pe baza unui spațiu vectorial n-dimensional

Și

adică sunt şi bazele acestui spaţiu.

Dacă - coordonate vectoriale în bază , apoi relația de coordonate Și este dat de un sistem de ecuații liniare (am vorbit despre asta în paragraful anterior):

, care în formă matriceală poate fi scrisă ca

În mod similar, pentru un vector, putem scrie

Egalitățile matricei anterioare pot fi combinate într-una singură, care definește în esență relația vectorilor a două baze diferite.

În mod similar, putem exprima toți vectorii de bază prin baza :

Definiție.

Matrice numit matricea de tranziție de la bază la baza , apoi egalitatea

Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații din dreapta cu

primim

Să găsim matricea de tranziție, în timp ce nu ne vom opri asupra găsirii matricei inverse și înmulțirii matricelor (vezi, dacă este necesar, articolele și):

Rămâne de aflat relația dintre coordonatele vectorului x în bazele date.

Fie ca vectorul x să aibă coordonate în bază, atunci

iar în bază vectorul x are coordonatele , atunci

Deoarece părțile din stânga ultimelor două egalități sunt aceleași, putem echivala părțile din dreapta:

Dacă înmulțim ambele părți din dreapta cu

atunci primim


Pe cealaltă parte

(găsi matrice inversă pe cont propriu).
Ultimele două egalități ne oferă relația dorită a coordonatelor vectorului x în baze și .

Răspuns:

Matricea de tranziție de la bază la bază are forma
;
coordonatele vectorului x în baze și sunt legate prin relații

sau
.

Am luat în considerare conceptele de dimensiune și baza unui spațiu vectorial, am învățat cum să descompunem un vector în funcție de o bază și am descoperit o legătură între diferite baze ale unui spațiu n-dimensional de vectori printr-o matrice de tranziție.