În acest articol, vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom da definiții termenilor, vom însoți informațiile cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea luării în considerare a figurilor spațiale, sunt folosite desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan- un desen al unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

proiecție- procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau proiecția ortogonală: în geometrie, este utilizat în principal. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie ei spun pur și simplu „proiectarea unei figuri” și înseamnă prin aceasta construcția unei proiecții prin metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate prevedea altfel.

Remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este, de fapt, proiecția tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Amintiți-vă că cel mai adesea în geometrie, vorbind despre proiecția pe un plan, înseamnă utilizarea proiecției perpendiculare.

Vom realiza construcții care ne vor permite să obținem definiția proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional și în el - un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă printr-un punct dat M 1 A perpendicular pe planul dat α. Punctul de intersecție al dreptei a și planul α va fi notat cu H 1 , prin construcție va servi drept bază a perpendicularei coborâte din punctul M 1 în planul α .

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza perpendicularei coborâtă dintr-un punct dat într-un plan dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Fie în spațiu tridimensional dat: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z, planul α, punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) . Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția de mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiției, H 1 este punctul de intersecție al planului dat α și a dreptei a prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Acestea. coordonatele proiecției punctului M 1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și a planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan, este necesar:

Obțineți ecuația planului α (în cazul în care nu este setat). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația dreptei a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul α (studiați subiectul ecuației dreptei care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul α de care avem nevoie.

Să luăm în considerare teoria pe exemple practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Soluţie

După cum putem vedea, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compune.

Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece dreapta a este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul de direcție al dreptei a este vector normal planul 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0. Prin urmare, a → = (2 , - 3 , 1) – vector de direcție al dreptei a .

Acum compunem ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele dorite, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În acest scop, trecem de la ecuații canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să facem un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și rezolvați-l folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele dorite ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5) .

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Punctele А (0 , 0 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional; În (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Soluţie

În primul rând, scriem ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Să scriem ecuațiile parametrice ale dreptei a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 are un vector normal cu coordonatele (1, - 2, 2), adică vector a → = (1 , - 2 , 2) – vector de direcție al dreptei a .

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x - 2 y + 2 z - 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, găsim valorile variabilelor x, y și z la λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonatele (- 2, 0, 3) .

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat la problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planurile de coordonate și planurile care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y , O x z și O y z. Coordonatele de proiecție ale acestui punct pe aceste plane vor fi respectiv: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) și (0 , y 1 , z 1) . Luați în considerare și planurile paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Iar proiecțiile punctului dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 și - D A , y 1 , z 1 .

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1 , 0 , 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z . Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor arăta astfel:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Aflați coordonatele punctului de intersecție a acestei drepte și a planului dat. Mai întâi înlocuim în ecuație A x + D = 0 egalități: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 și obținem: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Apoi calculăm coordonatele dorite folosind ecuațiile parametrice ale dreptei pentru λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - D A , y 1 , z 1 .

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0 .

Soluţie

Planului de coordonate O x y va corespunde unui incomplet ecuație generală planul z = 0 . Proiecția punctului M 1 pe planul z \u003d 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0) .

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2 . Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol este răspunsul la două întrebări: „Ce este” și „Cum să găsești coordonatele proiecției unui punct pe un plan"? În primul rând, sunt oferite informațiile necesare despre proiecție și tipurile acesteia. În continuare, este dată definiția proiecției unui punct pe un plan și este dată o ilustrare grafică. După aceea, s-a obținut o metodă de găsire a coordonatelor proiecției unui punct pe un plan. În concluzie, sunt analizate soluții de exemple în care se calculează coordonatele proiecției unui punct dat pe un plan dat.

Navigare în pagină.

Proiecție, tipuri de proiecție - informații necesare.

Când studiați figurile spațiale, este convenabil să folosiți imaginile lor în desen. Desenul unei figuri spațiale este un așa-numit proiecție această cifră către avion. Procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan are loc după anumite reguli. Deci procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan, împreună cu un set de reguli prin care se realizează acest proces, se numește proiecție figuri pe acest plan. Se numește planul în care este construită imaginea planul de proiecție.

În funcție de regulile prin care se realizează proiecția, există centralȘi proiecție paralelă. Nu vom intra în detalii, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.

În geometrie, se folosește în principal un caz special de proiecție paralelă - proiecție perpendiculară, care se mai numește ortogonală. În numele acestui tip de proiecție, adjectivul „perpendicular” este adesea omis. Adică, când în geometrie se vorbește despre proiecția unei figuri pe un plan, de obicei înseamnă că această proiecție a fost obținută folosind proiecția perpendiculară (dacă, desigur, nu se specifică altfel).

Trebuie remarcat faptul că proiecția unei figuri pe un plan este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri pe planul de proiecție. Cu alte cuvinte, pentru a obține proiecția unei anumite figuri, este necesar să se poată găsi proiecțiile punctelor acestei figuri pe plan. Următorul paragraf al articolului arată doar cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan.

Proiecția unui punct pe un plan - definiție și ilustrare.

Subliniem încă o dată că vom vorbi despre proiecția perpendiculară a unui punct pe un plan.

Să facem construcții care ne vor ajuta să definim proiecția unui punct pe un plan.

Fie în spațiul tridimensional ni se dă un punct M 1 și un plan. Să trasăm o dreaptă a prin punctul M 1, perpendiculară pe plan. Dacă punctul M1 nu se află în plan, atunci notăm punctul de intersecție al dreptei a și planul ca H1. Astfel, prin construcție, punctul H 1 este baza perpendicularei căzute din punctul M 1 în plan.

Definiție.

Proiecția punctului M 1 pe un plan este punctul M 1 însuși, dacă , sau punctul H 1, dacă .

Această definiție proiecția unui punct pe un plan este echivalentă cu următoarea definiție.

Definiție.

Proiectia unui punct pe un plan- acesta este fie punctul însuși, dacă se află într-un plan dat, fie baza perpendicularei coborâte din acest punct într-un plan dat.

În desenul de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe plan; punctul M2 se află în plan, prin urmare M2 este proiecția punctului M2 însuși pe plan.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan - exemple de rezolvare.

Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional, un punct si avionul. Să ne punem sarcina: să determinăm coordonatele proiecției punctului M 1 pe plan.

Rezolvarea problemei rezultă logic din definirea proiecției unui punct pe un plan.

Notați proiecția punctului M 1 pe plan ca H 1 . Prin definiție, proiecția unui punct pe un plan, H 1 este punctul de intersecție al unui plan dat și o dreaptă a care trece prin punctul M 1 perpendicular pe plan. Astfel, coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe plan sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și a planului.

Prin urmare, pentru a găsi coordonatele de proiecție ale unui punct in avion ai nevoie de:

Să luăm în considerare exemple.

Exemplu.

Găsiți coordonatele de proiecție ale unui punct spre avion .

Soluţie.

În starea problemei, ni se oferă o ecuație generală a planului formei , deci nu trebuie compilat.

Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, obținem coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece dreapta a este perpendiculară pe planul dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului . Acesta este, - vector de direcție al dreptei a . Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punct și are un vector de direcție :
.

Pentru a obține coordonatele necesare proiecției unui punct pe un plan, rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avionul . Pentru a face acest lucru, din ecuațiile canonice ale dreptei, trecem la ecuațiile a două plane care se intersectează, compunem un sistem de ecuații și găsiți-i soluția. Folosim:

Deci proiecția punctului spre avion are coordonate.

Răspuns:

Exemplu.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional, puncte și . Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul ABC.

Soluţie.

Să scriem mai întâi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

Dar să ne uităm la o abordare alternativă.

Să obținem ecuațiile parametrice ale dreptei a , care trece prin punct și perpendicular pe planul ABC. Vectorul normal al planului are coordonate, deci vectorul este vectorul de direcție al dreptei a . Acum putem scrie ecuațiile parametrice ale unei drepte în spațiu, deoarece știm coordonatele unui punct pe o dreaptă ( ) și coordonatele vectorului său de direcție ( ):

Rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei și avioane. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:
.

Acum prin ecuații parametrice calculați valorile variabilelor x, y și z la:
.

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul ABC are coordonate.

Răspuns:

În concluzie, să discutăm despre găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe planurile de coordonate și planuri paralele cu planurile de coordonate.

proiecții punctuale la planurile de coordonate Oxy , Oxz și Oyz sunt punctele cu coordonate și în mod corespunzător. Și proiecțiile punctului în avion şi , care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy , Oxz și respectiv Oyz, sunt puncte cu coordonate Și .

Să arătăm cum au fost obținute aceste rezultate.

De exemplu, să găsim proiecția unui punct în avion (alte cazuri sunt similare cu acesta).

Acest plan este paralel cu planul de coordonate Oyz și este vectorul său normal. Vectorul este vectorul direcție al dreptei perpendiculare pe planul Oyz. Atunci ecuațiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat au forma .

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Pentru a face acest lucru, mai întâi înlocuim în ecuația de egalitate: , și proiecția punctului

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Obiective:

• Studierea regulilor de construire a proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect și citirea desenelor.
• Dezvoltați gândirea spațială, capacitatea de a analiza forma geometrică a unui obiect.
• Să cultive harnicia, capacitatea de a coopera atunci când se lucrează în grup, interesul pentru subiect.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I STAGE. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE.

ETAPA II. FORMAREA CUNOAȘTERII, ABILITĂȚII ȘI ABILITĂȚII.

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂȚII. REFLECȚIE (DISPOARE)

ETAPA III. MUNCA INDIVIDUALA.

I STAGE. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE

1) Profesor: Verifică-ți la locul de muncă Este totul la locul lui? Sunt toți gata să plece?

A RESPIRAT AdinC, ȚINE RESPIRAȚIA PE EVACUARE, A EXHARAT.

Determinați-vă starea de spirit la începutul lecției conform schemei (o astfel de schemă este pe masă pentru toată lumea)

ITI UREZ NOROC.

2)Profesor: Munca practica pe această temă " Projections of Vertices, Edges, Faces” a arătat că există tipi care greșesc atunci când proiectează. Ei devin confuzi care dintre cele două puncte care se potrivesc din desen este vârful vizibil și care este cel invizibil; când muchia este paralelă cu planul și când este perpendiculară. Același lucru cu marginile.

Pentru a evita repetarea greșelilor, finalizați sarcinile necesare folosind cardul de consultanță și corectați greșelile în munca practică (de mână). Și pe măsură ce lucrați, amintiți-vă:

„TOAȚI POATE FACE GREȘELI, RĂMĂ LA GRESEA LUI – NUMAI NEBUNII”.

Iar cei care au stăpânit bine subiectul vor lucra în grupuri cu sarcini creative (vezi. Anexa 1 ).

ETAPA II. FORMAREA CUNOAȘTERII, ABILITĂȚII ȘI ABILITĂȚII

1)Profesor:În producție, există multe piese care sunt atașate între ele într-un anumit fel.
De exemplu:
Capacul desktopului este atașat la stâlpii verticali. Fiți atenți la masa la care vă aflați, cum și cu ce sunt atașate capacul și rafturile unul de celălalt?

Răspuns: Bolt.

Profesor: Ce este necesar pentru un șurub?

Răspuns: Gaură.

Profesor:Într-adevăr. Și pentru a face o gaură, trebuie să cunoașteți locația acesteia pe produs. La realizarea unei mese, tâmplarul nu poate contacta clientul de fiecare dată. Deci, care este necesitatea de a oferi un dulgher?

Răspuns: Desen.

Profesor: Desen!? Cum numim desen?

Răspuns: Un desen este o imagine a unui obiect prin proiecții dreptunghiulare într-o conexiune de proiecție. Conform desenului, puteți reprezenta forma geometrică și designul produsului.

Profesor: Am finalizat proiecțiile dreptunghiulare și apoi? Vom putea determina locația găurilor dintr-o proiecție? Ce altceva trebuie să știm? Ce să înveți?

Răspuns: Construiți puncte. Găsiți proiecții ale acestor puncte în toate vederile.

Profesor: Bine făcut! Acesta este scopul lecției noastre și subiectul: Construirea proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect. Scrieți subiectul lecției în caiet.
Tu și cu mine știm că orice punct sau segment de pe imaginea unui obiect este o proiecție a unui vârf, muchie, față, de exemplu. fiecare vedere este o imagine nu dintr-o parte (vedere cap., vedere de sus, vedere din stânga), ci întregul obiect.
Pentru a găsi corect proiecțiile punctelor individuale situate pe fețe, trebuie mai întâi să găsiți proiecțiile acestei fețe și apoi să utilizați liniile de legătură pentru a găsi proiecțiile punctelor.

(Ne uităm la desenul de pe tablă, lucrăm într-un caiet unde se fac acasă 3 proiecții ale aceleiași piese).

- A deschis un caiet cu un desen finalizat (O explicație a construcției punctelor pe suprafața unui obiect cu întrebări principale pe tablă, iar elevii o fixează într-un caiet.)

Profesor: Luați în considerare un punct ÎN. Cu ce ​​plan este fata cu acest punct paralel?

Răspuns: Fața este paralelă cu planul frontal.

Profesor: Stabilim proiecția unui punct b' în proiecție frontală. Trage în jos din punct b' linie verticală de comunicare cu proiecția orizontală. Unde va fi proiecția orizontală a punctului? ÎN?

Răspuns: La intersecția cu proiecția orizontală a feței care a fost proiectată în margine. Și se află în partea de jos a proiecției (vizualizării).

Profesor: Proiecția profilului punctului b'' unde va fi amplasat? Cum îl vom găsi?

Răspuns: La intersecția liniei orizontale de comunicație de la b' cu o margine verticală în dreapta. Această margine este proiecția feței cu un punct ÎN.

CEI DORĂ SĂ CONSTRUIEȘTE URMĂTOAREA PROIECȚIE A PUNCTULUI SUNT CHEMATĂ ÎN CONSILIU.

Profesor: Proiecții punctuale A sunt amplasate și folosind linii de comunicație. Care plan este paralel cu muchia cu un punct A?

Răspuns: Fața este paralelă cu planul profilului. Am stabilit un punct pe proiecția profilului A'' .

Profesor: Pe ce proiectie este proiectata fata in margine?

Răspuns: Pe față și pe orizontală. Să desenăm o linie orizontală de conectare la intersecția cu o margine verticală din stânga pe proiecția frontală, obținem un punct A' .

Profesor: Cum să găsiți proiecția unui punct A pe o proiecție orizontală? La urma urmei, linii de comunicare din proiecția punctelor A' Și A'' nu intersectați proiecția feței (marginea) pe proiecția orizontală din stânga. Ce ne poate ajuta?

Răspuns: Puteți utiliza o linie dreaptă constantă (determină poziția vederii din stânga) de la A'' trageți o linie verticală de comunicare până când aceasta se intersectează cu o linie dreaptă constantă. Din punctul de intersecție se trasează o linie orizontală de comunicare, până când se intersectează cu o margine verticală din stânga. (Aceasta este fața cu punctul A) și denotă proiecția cu un punct A .

2) Profesor: Toată lumea are pe masă un card de sarcini, cu o hârtie de calc atașată. Luați în considerare desenul, încercați acum pe cont propriu, fără a redesena proiecțiile, pentru a găsi proiecțiile date ale punctelor pe desen.

– Găsiți în manual p. 76 fig. 93. Testează-te. Cine a performat corect - scor "5" "; o greșeală - "4"; doi - "3".

(Notele sunt stabilite chiar de elevi în foaia de autocontrol).

- Colectați carduri pentru testare.

3)Lucru de grup: Timp limitat: 4 min. + 2 min. verificări. (Sunt combinate două birouri cu studenți, iar un lider este selectat în cadrul grupului).

Pentru fiecare grup, sarcinile sunt distribuite pe 3 niveluri. Elevii aleg sarcinile pe niveluri, (după cum doresc). Rezolvarea problemelor privind construcția punctelor. Discutați construcția sub supravegherea liderului. Apoi răspunsul corect este afișat pe tablă cu ajutorul unui codoscop. Toată lumea verifică dacă punctele sunt proiectate corect. Cu ajutorul liderului de grup, notele sunt date pe teme și în fișe de autocontrol (vezi. Anexa 2 Și Anexa 3 ).

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂŢII. REFLECŢIE

„Poza faraonului”- stai pe marginea unui scaun, indrepta spatele, indoaie bratele la coate, incruciseaza picioarele si pune-te pe degetele de la picioare. Inspirați, strângeți toți mușchii corpului în timp ce țineți respirația, expirați. Faceți de 2-3 ori. Închideți bine ochii, spre stele, deschideți. Marcați-vă starea de spirit.

ETAPA III. PARTEA PRACTICĂ. (sarcini individuale)

Există carduri de sarcini din care să alegeți cu diferite niveluri. Elevii își aleg singur opțiunea. Găsiți proiecțiile punctelor de pe suprafața unui obiect. Lucrările sunt predate și evaluate pentru următoarea lecție. (Cm. Anexa 4 , Anexa 5 , Anexa 6 ).

ETAPA IV. FINAL

1) Temă pentru acasă. (Instrucțiune). Efectuat pe niveluri:

B - înțelegere, pe „3”. Exercițiul 1 fig. 94a p. 77 - conform temei din manual: completați proiecțiile lipsă de puncte pe aceste proiecții.

B - cerere, pe „4”. Exercițiul 1 Fig. 94 a, b. completați proiecțiile lipsă și marcați vârfurile pe imaginea vizuală din 94a și 94b.

A - analiză, pe „5”. (Dificultate crescută.) Ex. 4 fig.97 - construiți proiecțiile lipsă de puncte și desemnați-le cu litere. Nu există nicio imagine vizuală.

2)Analiza reflexivă.

1. Determinați starea de spirit la sfârșitul lecției, marcați-o pe foaia de autocontrol cu ​​orice semn.
2. Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
3. Ce formă de muncă este cea mai eficientă pentru tine: grup, individual și ți-ai dori să fie repetată în lecția următoare?
4. Colectați liste de verificare.

3)„Profesor greșit”

Profesor: Ați învățat cum să construiți proiecții de vârfuri, muchii, fețe și puncte pe suprafața unui obiect, urmând toate regulile de construcție. Dar aici vi s-a dat un desen, unde sunt erori. Acum încearcă-te ca profesor. Găsiți singur greșelile, dacă găsiți toate cele 8–6 greșeli, atunci scorul este „5”, respectiv; 5–4 erori - „4”, 3 erori - „3”.

Raspunsuri:

Poziția unui punct în spațiu poate fi specificată prin cele două proiecții ortogonale ale sale, de exemplu, orizontală și frontală, frontală și de profil. Combinația oricăror două proiecții ortogonale vă permite să aflați valoarea tuturor coordonatelor unui punct, să construiți o a treia proiecție, să determinați octantul în care se află. Să luăm în considerare câteva sarcini tipice din cursul geometriei descriptive.

Conform desenului complex dat al punctelor A și B, este necesar:

Să determinăm mai întâi coordonatele punctului A, care pot fi scrise sub forma A (x, y, z). Proiecția orizontală a punctului A este punctul A ", având coordonatele x, y. Desenați din punctul A" perpendiculare pe axele x, y și găsiți, respectiv, A x, A y. Coordonata x pentru punctul A este egală cu lungimea segmentului A x O cu semn plus, deoarece A x se află în zonă valori pozitive axa x. Luând în considerare scara desenului, găsim x \u003d 10. Coordonata y este egală cu lungimea segmentului A y O cu semnul minus, deoarece t. A y se află în regiunea valorilor negative ale axei y . Având în vedere scara desenului, y = -30. Proiecția frontală a punctului A - punctul A"" are coordonatele x și z. Să lăsăm perpendiculara de la A"" la axa z și să găsim A z . Coordonata z a punctului A este egală cu lungimea segmentului A z O cu semnul minus, deoarece A z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Având în vedere scara desenului, z = -10. Astfel, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10).

Coordonatele punctului B pot fi scrise ca B (x, y, z). Luați în considerare proiecția orizontală a punctului B - punctul B. „Deoarece se află pe axa x, atunci B x \u003d B” și coordonatele B y \u003d 0. Abscisa x a punctului B este egală cu lungimea segmentului B x O cu semnul plus. Ținând cont de scara desenului, x = 30. Proiecția frontală a punctului B - punctul B˝ are coordonatele x, z. Desenați o perpendiculară de la B"" pe axa z, găsind astfel B z . Aplicația z a punctului B este egală cu lungimea segmentului B z O cu semnul minus, deoarece B z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului, determinăm valoarea z = -20. Deci coordonatele B sunt (30, 0, -20). Toate construcțiile necesare sunt prezentate în figura de mai jos.

Construirea proiecțiilor punctelor

Punctele A și B din planul P 3 au următoarele coordonate: A""" (y, z); B""" (y, z). În acest caz, A"" și A""" se află pe aceeași perpendiculară pe axa z, deoarece au o coordonată z comună. În același mod, B"" și B""" se află pe o perpendiculară comună la axa z. Pentru a găsi proiecția profilului lui t. A, lăsăm deoparte de-a lungul axei y valoarea coordonatei corespunzătoare găsite mai devreme. În figură, acest lucru se face folosind un arc de cerc cu raza A y O. După aceea, desenăm o perpendiculară de la A y la intersecția cu perpendiculara restabilită din punctul A "" la axa z. Punctul de intersecție al acestor două perpendiculare determină poziția lui A""".

Punctul B""" se află pe axa z, deoarece ordonata y a acestui punct este egală cu zero. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului B în această problemă, este necesar doar să desenați o perpendiculară de la B"" la axa z. Punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa z este B """.

Determinarea poziției punctelor în spațiu

Vizualizarea aspectului spațial, compus din planurile de proiecție P 1, P 2 și P 3, locația octanților, precum și ordinea transformării aspectului în diagrame, puteți determina direct că t. A este situat în III octant, iar t. B se află în planul P 2 .

O altă opțiune pentru rezolvarea acestei probleme este metoda excepțiilor. De exemplu, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10). Abscisa pozitivă x face posibilă aprecierea că punctul este situat în primii patru octanți. O ordonată y negativă indică faptul că punctul se află în al doilea sau al treilea octant. În cele din urmă, aplicația negativă a lui z indică faptul că punctul A se află în al treilea octant. Raționamentul dat este ilustrat clar de următorul tabel.

Octanți	Semne de coordonate
	X	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Coordonatele punctului B (30, 0, -20). Deoarece ordonata lui t. B este egală cu zero, acest punct este situat în planul de proiecție П 2 . Abscisa pozitivă și aplicatul negativ al punctului B indică faptul că acesta este situat la granița octanților trei și patru.

Construirea unei imagini vizuale a punctelor din sistemul de planuri P 1, P 2, P 3

Folosind proiecția izometrică frontală, am construit un aspect spațial al celui de-al treilea octant. Este un triedru dreptunghiular, ale cărui fețe sunt planele P 1, P 2, P 3, iar unghiul (-y0x) este de 45 º. În acest sistem, segmentele de-a lungul axelor x, y, z vor fi reprezentate în dimensiune completă, fără distorsiuni.

Construcția unei imagini vizuale a punctului A (10, -30, -10) va începe cu proiecția sa orizontală A ". După ce lăsăm deoparte coordonatele corespunzătoare de-a lungul abscisei și ordonatelor, găsim punctele A x și A y. intersecția perpendicularelor restaurate din A x și respectiv A y pe axele x și y determină poziția punctului A”. Punând de la A" paralel cu axa z spre valorile sale negative segmentul AA", a cărui lungime este egală cu 10, găsim poziția punctului A.

O imagine vizuală a punctului B (30, 0, -20) este construită într-un mod similar - în planul P 2, coordonatele corespunzătoare trebuie trasate de-a lungul axelor x și z. Intersecția perpendicularelor reconstruite din B x și B z va determina poziția punctului B.

Pentru a construi imagini cu un număr de detalii, este necesar să puteți găsi proiecțiile punctelor individuale. De exemplu, este dificil să se deseneze o vedere de sus a piesei prezentate în Fig. 139 fără a construi proiecții orizontale ale punctelor A, B, C, D, E, F etc.

Problema găsirii proiecțiilor punctelor de către unul dat pe suprafața obiectului se rezolvă astfel. În primul rând, se găsesc proiecțiile suprafeței pe care se află punctul. Apoi, trasând o linie de legătură la proiecție, unde suprafața este reprezentată printr-o linie, se găsește a doua proiecție a punctului. A treia proiecție se află la intersecția liniilor de comunicație.

Luați în considerare un exemplu.

Sunt date trei proiecții ale piesei (Fig. 140, a). Este dată proiecția orizontală a a punctului A aflat pe suprafața vizibilă. Trebuie să găsim celelalte proiecții ale acestui punct.

În primul rând, trebuie să desenați o linie auxiliară. Dacă sunt date două vederi, atunci locul liniei auxiliare în desen este ales în mod arbitrar, în dreapta vederii de sus, astfel încât vederea din stânga să fie la distanța necesară față de vederea principală (Fig. 141).

Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 142, a), atunci locul liniei auxiliare nu poate fi ales în mod arbitrar; trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, continuați intersecție reciprocă proiecțiile orizontale și de profil ale axei de simetrie și prin punctul rezultat k (Fig. 142, b) trageți un segment de dreaptă la un unghi de 45 °, care va fi o linie dreaptă auxiliară.

Dacă nu există axe de simetrie, se continuă până la intersecția în punctul k 1 orizontal și proiecțiile de profil ale oricărei fețe proiectate sub formă de segmente de linie dreaptă (Fig. 142, b).

După ce au tras o linie dreaptă auxiliară, încep să construiască proiecțiile punctului (vezi Fig. 140, b).

Proiecțiile frontale a" și de profil a" ale punctului A trebuie să fie situate pe proiecțiile corespunzătoare ale suprafeței căreia îi aparține punctul A. Aceste proiecții se găsesc. Pe fig. 140, b sunt evidențiate color. Desenați linii de comunicare așa cum este indicat de săgeți. La intersecțiile liniilor de comunicație cu proiecțiile suprafeței se găsesc proiecțiile dorite a" și a".

Construcția proiecțiilor punctelor B, C, D este prezentată în fig. 140, în linii de comunicație cu săgeți. Proiectiile date ale punctelor sunt colorate. Liniile de comunicare sunt trasate la proiecția pe care suprafața este reprezentată ca o linie, și nu ca o figură. Prin urmare, se găsește mai întâi proiecția frontală din punctul C. Proiecția profilului din punctul C este determinată de intersecția liniilor de comunicație.

Dacă suprafața nu este reprezentată de o linie pe nicio proiecție, atunci trebuie utilizat un plan auxiliar pentru a construi proiecțiile punctelor. De exemplu, este dată o proiecție frontală d a punctului A, situată pe suprafața unui con (Fig. 143, a). Se trasează un plan auxiliar printr-un punct paralel cu baza, care va intersecta conul într-un cerc; proiecția sa frontală este un segment de linie dreaptă, iar proiecția sa orizontală este un cerc cu diametrul egal cu lungimea acestui segment (Fig. 143, b). Prin trasarea unei linii de comunicație către acest cerc din punctul a, se obține o proiecție orizontală a punctului A.

Proiecția de profil a" a punctului A se găsește în mod obișnuit la intersecția liniilor de comunicație.

În același mod, se pot găsi proiecțiile unui punct situat, de exemplu, pe suprafața unei piramide sau a unei bile. Când o piramidă este intersectată de un plan paralel cu baza și care trece printr-un punct dat, se formează o figură asemănătoare bazei. Proiecțiile punctului dat se află pe proiecțiile acestei figuri.

Răspunde la întrebările

1. În ce unghi este trasată linia auxiliară?

2. Unde este trasată linia auxiliară dacă se oferă vederi frontale și de sus, dar trebuie să construiți o vedere din stânga?

3. Cum se determină locul liniei auxiliare în prezența a trei tipuri?

4. Care este metoda de construire a proiecțiilor unui punct după unul dat, dacă una dintre suprafețele obiectului este reprezentată printr-o dreaptă?

5. Pentru ce corpuri geometrice și în ce cazuri se găsesc proiecțiile unui punct date pe suprafața lor folosind un plan auxiliar?

Atribuții la § 20

Exercițiul 68

Scrie la registrul de lucru, care proiecții ale punctelor indicate prin cifre în vederi corespund punctelor indicate cu litere în imaginea vizuală din exemplul indicat ție de profesor (Fig. 144, a-d).

Exercițiul 69

Pe fig. 145, literele a-b indicat printr-o singură proiecție a unora dintre vârfuri. Găsiți în exemplul dat de profesor, proiecțiile rămase ale acestor vârfuri și desemnați-le cu litere. Construiți într-unul dintre exemple proiecțiile lipsă ale punctelor date pe marginile obiectului (Fig. 145, d și e). Evidențiați cu culoare proiecțiile marginilor pe care sunt situate punctele Finalizați sarcina pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului.Nu este nevoie să redesenați Fig. 145.

Exercițiul 70

Găsiți proiecțiile lipsă ale punctelor date de o proiecție pe suprafețele vizibile ale obiectului (Fig. 146). Etichetați-le cu litere. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. O imagine vizuală vă va ajuta să rezolvați problema. Sarcina poate fi finalizată atât într-un caiet de lucru, cât și pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului. În acest din urmă caz, redesenați Fig. 146 nu este necesar.

Exercițiul 71

În exemplul dat de profesor, desenați trei tipuri (Fig. 147). Construiți proiecțiile lipsă ale punctelor date pe suprafețele vizibile ale obiectului. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. Etichetați toate proiecțiile punctului. Pentru a construi proiecții de puncte, utilizați o linie dreaptă auxiliară. Faceți un desen tehnic și marcați pe el punctele date.