Unul dintre sub-articolele subiectului „Ecuația unei drepte pe un plan” este problema compilării ecuațiilor parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Articolul de mai jos discută principiul compilării unor astfel de ecuații pentru anumite date cunoscute. Să arătăm cum să trecem de la ecuații parametrice la ecuații de altă formă; Să analizăm soluția problemelor tipice.

O anumită linie poate fi definită prin specificarea unui punct care aparține acelei linii și a unui vector de direcție pentru linie.

Să presupunem că ni se dă un sistem de coordonate dreptunghiular O x y . Și, de asemenea, este dată linia dreaptă a, indicând punctul M 1 care se află pe ea (x 1, y 1) și vectorul de direcție al dreptei date. a → = (a x , a y) . Oferim o descriere a liniei date a folosind ecuații.

Folosim un punct arbitrar M (x, y) și obținem un vector M1 M →; calculați coordonatele acestuia din coordonatele punctelor de început și de sfârșit: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Să descriem rezultatul: linia este dată de o mulțime de puncte M (x, y), trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector de direcție a → = (a x , a y) . Mulțimea specificată definește o linie dreaptă numai atunci când vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) sunt coliniari.

Există o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea vectorilor, care în acest caz pentru vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) se poate scrie ca un ecuaţie:

M 1 M → = λ · a → , unde λ este un număr real.

Definiția 1

Ecuația M 1 M → = λ · a → se numește ecuația vector-parametrică a dreptei.

În formă de coordonate, arată astfel:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ecuațiile sistemului rezultat x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ se numesc ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Esența numelui este următoarea: coordonatele tuturor punctelor unei linii drepte pot fi determinate prin ecuații parametrice pe un plan de forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ atunci când se repetă peste toate valorile reale. a parametrului λ

Conform celor de mai sus, ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe planul x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ determină o dreaptă care este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector ghid a → = (a x , a y) . Prin urmare, dacă sunt date coordonatele unui anumit punct al dreptei și coordonatele vectorului său de direcție, atunci este posibil să se noteze imediat ecuațiile parametrice ale dreptei date.

Exemplul 1

Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, dacă sunt date punctul M 1 (2, 3) care îi aparține și vectorul său de direcție. a → = (3 , 1) .

Soluţie

Pe baza datelor inițiale, obținem: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ecuațiile parametrice vor arăta astfel:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Să ilustrăm clar:

Răspuns: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

De remarcat: dacă vectorul a → = (a x , a y) servește ca vector de direcție al dreptei a, iar punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) aparțin acestei linii, atunci poate fi determinată prin stabilirea ecuațiilor parametrice de forma : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , precum și această opțiune: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

De exemplu, ni se dă un vector de direcție al unei linii drepte a → \u003d (2, - 1), precum și punctele M 1 (1, - 2) și M 2 (3, - 3) aparținând acestei linii. Atunci linia dreaptă se determină prin ecuații parametrice: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ sau x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

De asemenea, trebuie acordată atenție următorului fapt: dacă a → = (a x , a y) este vectorul de direcție al dreptei a , atunci oricare dintre vectori va fi și vectorul său de direcție μ a → = (μ a x , μ a y) , unde μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Astfel, o dreaptă a pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi definită prin ecuații parametrice: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pentru orice valoare diferită de zero a lui μ.

Să presupunem că linia a este dată de ecuațiile parametrice x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Apoi a → = (2 , - 5) - vectorul de direcție al acestei linii. Și, de asemenea, oricare dintre vectorii μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 va deveni vectorul de direcție pentru dreapta dată. Pentru claritate, considerăm un vector specific - 2 · a → = (- 4 , 10) , acesta corespunde valorii μ = - 2 . În acest caz, linia dreaptă dată poate fi determinată și de ecuațiile parametrice x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Tranziția de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe un plan la alte ecuații ale unei linii drepte date și invers

În rezolvarea unor probleme, utilizarea ecuațiilor parametrice nu este cea mai mare cea mai bună opțiune, atunci devine necesară traducerea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în ecuații ale unei linii drepte de altă formă. Să vedem cum se face.

Ecuațiile parametrice ale dreptei x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vor corespunde ecuației canonice a dreptei pe planul x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile parametrice în raport cu parametrul λ, echivalăm părțile drepte ale egalităților obținute și obținem ecuația canonică a dreptei date:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

În acest caz, nu ar trebui să fie jenant dacă un x sau un y va fi egal cu zero.

Exemplul 2

Este necesar să se efectueze trecerea de la ecuațiile parametrice ale dreptei x = 3 y = - 2 - 4 · λ la ecuația canonică.

Soluţie

Scriem ecuațiile parametrice date în următoarea formă: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Exprimăm parametrul λ în fiecare dintre ecuații: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Echivalăm părțile corecte ale sistemului de ecuații și obținem ecuația canonică necesară a unei linii drepte în plan:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Răspuns: x - 3 0 = y + 2 - 4

În cazul în care este necesar să se noteze ecuația dreptei de forma A x + B y + C = 0 , în timp ce sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei pe plan, este necesar mai întâi să se facă trecerea la ecuația canonică și apoi la ecuația generală a dreptei. Să scriem întreaga secvență de acțiuni:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 3

Este necesar să se noteze ecuația generală a unei drepte dacă sunt date ecuațiile parametrice care o definesc: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Soluţie

Mai întâi, să facem tranziția la ecuația canonică:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporția rezultată este identică cu egalitatea - 3 · (x + 1) = 2 · y. Să deschidem parantezele și să obținem ecuația generală a dreptei: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Răspuns: 3x + 2y + 3 = 0

Urmând logica acțiunilor de mai sus, pentru a obține ecuația unei linii drepte cu factor de pantă, ecuația unei drepte în segmente sau ecuația normală a unei drepte, este necesar să se obțină ecuația generală a unei drepte și din aceasta să se efectueze o tranziție ulterioară.

Acum luați în considerare acțiunea inversă: scrierea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte pentru o formă dată diferită a ecuațiilor acestei linii drepte.

Cea mai ușoară trecere: de la ecuația canonică la cele parametrice. Să fie dată ecuația canonică de forma: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Luăm fiecare dintre relațiile acestei egalități egale cu parametrul λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Să rezolvăm ecuațiile rezultate pentru variabilele x și y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Exemplul 4

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei dacă se cunoaște ecuația canonică a dreptei pe plan: x - 2 5 = y - 2 2

Soluţie

Să echivalăm părțile ecuației cunoscute cu parametrul λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Din egalitatea obținută obținem ecuațiile parametrice ale dreptei: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Răspuns: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Când este necesar să se facă o tranziție la ecuații parametrice dintr-o ecuație generală dată a unei linii drepte, o ecuație a unei linii drepte cu o pantă sau o ecuație a unei drepte în segmente, este necesar să se aducă ecuația inițială la canonic, apoi faceți tranziția la ecuații parametrice.

Exemplul 5

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei cu ecuația generală cunoscută a acestei drepte: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Soluţie

Transformăm ecuația generală dată într-o ecuație de forma canonică:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Echivalăm ambele părți ale egalității cu parametrul λ și obținem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Exemple și probleme cu ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan

Să luăm în considerare cele mai comune tipuri de probleme folosind ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

1. În problemele de primul tip sunt date coordonatele punctelor, indiferent dacă acestea aparțin sau nu unei drepte descrise prin ecuații parametrice.

Rezolvarea unor astfel de probleme se bazează pe următorul fapt: numerele (x, y) determinate din ecuațiile parametrice x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pentru o valoare reală λ sunt coordonatele unui punct aparținând dreptei, în care sunt descrise aceste ecuații parametrice.

Exemplul 6

Este necesar să se determine coordonatele unui punct care se află pe o dreaptă dată de ecuațiile parametrice x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pentru λ = 3 .

Soluţie

Înlocuim valoarea cunoscută λ = 3 în ecuațiile parametrice date și calculăm coordonatele dorite: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Răspuns: 1 1 2 , 5

Este posibilă și următoarea problemă: să fie dat un punct M 0 (x 0, y 0) pe plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular și este necesar să se determine dacă acest punct aparține dreptei descrise de ecuațiile parametrice x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Pentru a rezolva o astfel de problemă, este necesar să înlocuim coordonatele unui punct dat în ecuațiile parametrice cunoscute ale unei drepte. Dacă se determină că este posibilă o astfel de valoare a parametrului λ = λ 0, în care ambele ecuații parametrice vor fi adevărate, atunci punctul dat aparține dreptei date.

Exemplul 7

Sunt date punctele M 0 (4, - 2) și N 0 (- 2, 1). Este necesar să se determine dacă aparțin dreptei definite de ecuațiile parametrice x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Soluţie

Inlocuim coordonatele punctului M 0 (4, - 2) in ecuatiile parametrice date:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Concluzionăm că punctul M 0 aparține unei drepte date, deoarece corespunde valorii λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Este evident că nu există un astfel de parametru λ căruia să îi corespundă punctul N 0. Cu alte cuvinte, linia dată nu trece prin punctul N 0 (- 2 , 1) .

Răspuns: punctul M 0 aparține unei linii date; punctul N 0 nu aparține dreptei date.

1. În problemele de al doilea tip, se cere să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cel mai simplu exemplu al unei astfel de probleme (cu coordonatele cunoscute ale punctului liniei și ale vectorului de direcție) a fost considerat mai sus. Acum să ne uităm la exemple în care trebuie mai întâi să găsiți coordonatele vectorului de direcție și apoi să scrieți ecuațiile parametrice.

Exemplul 8

Este dat punctul M 1 1 2 , 2 3. Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei linii drepte care trece prin acest punct și o dreaptă paralelă x 2 \u003d y - 3 - 1.

Soluţie

În funcție de starea problemei, linia dreaptă, a cărei ecuație trebuie să o avansăm, este paralelă cu linia dreaptă x 2 \u003d y - 3 - 1. Apoi, ca vector de direcție al unei drepte care trece printr-un punct dat, se poate folosi vectorul de direcție al unei drepte x 2 = y - 3 - 1, pe care o scriem sub forma: a → = (2, - 1) . Acum sunt cunoscute toate datele necesare pentru a compune ecuațiile parametrice dorite:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Răspuns: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Exemplul 9

Este dat punctul M 1 (0, - 7). Este necesar să scrieți ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin acest punct perpendicular pe dreapta 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Soluţie

Ca vector de direcție al dreptei, a cărei ecuație trebuie să fie compusă, se poate lua vectorul normal al dreptei 3 x - 2 y - 5 = 0 . Coordonatele sale sunt (3 , - 2) . Scriem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. În problemele de al treilea tip, este necesară o tranziție de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte date la alte tipuri de ecuații care o determină. Am luat în considerare soluția unor astfel de exemple mai sus, vom mai oferi unul.

Exemplul 10

Dată o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, definită de ecuațiile parametrice x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Este necesar să găsiți coordonatele unui vector normal al acestei linii.

Soluţie

Pentru a determina coordonatele dorite ale vectorului normal, vom face tranziția de la ecuațiile parametrice la ecuația generală:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Coeficienții variabilelor x și y ne oferă coordonatele necesare ale vectorului normal. Astfel, vectorul normal al dreptei x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ are coordonatele 1 , 3 4 .

Răspuns: 1 , 3 4 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Linia dreaptă împreună cu punctul sunt elemente importante ale geometriei, cu ajutorul cărora se construiesc multe figuri în spațiu și în plan. Acest articol discută în detaliu parametrii și relația acestuia cu alte tipuri de ecuații pentru acest element geometric.

Linie dreaptă și ecuații pentru a o descrie

O linie dreaptă în geometrie este o colecție de puncte care conectează arbitrare două puncte din spațiu printr-un segment cu lungimea cea mai mică. Acest segment face parte dintr-o linie dreaptă. Orice alte curbe care leagă două puncte fixe în spațiu vor avea o lungime mare, deci nu sunt linii drepte.

Imaginea de mai sus prezintă două puncte negre. Linia albastră care le leagă este dreaptă, iar linia roșie este curbă. Evident, linia roșie dintre punctele negre este mai lungă decât cea albastră.

Există mai multe tipuri de ecuații ale unei linii drepte, cu ajutorul cărora puteți descrie o linie dreaptă în spațiu tridimensional sau în două dimensiuni. Mai jos sunt denumirile acestor ecuații:

• vector;
• parametrice;
• pe segmente;
• simetric sau canonic;
• tip general.

În acest articol, vom lua în considerare ecuația parametrică a unei linii drepte, dar o vom deriva din cea vectorială. De asemenea, vom arăta relația dintre ecuațiile parametrice și simetrice sau canonice.

ecuație vectorială

Este clar că toate tipurile de ecuații de mai sus pentru elementul geometric considerat sunt interconectate. Cu toate acestea, ecuația vectorială este de bază pentru toate acestea, deoarece rezultă direct din definiția unei linii drepte. Să luăm în considerare modul în care este introdus în geometrie.

Să presupunem că ni se dă un punct în spațiul P(x 0 ; y 0 ; z 0). Se știe că acest punct aparține dreptei. Câte linii pot fi trase prin el? Set infinit. Prin urmare, pentru a putea desena o singură linie dreaptă, este necesar să setați direcția acesteia din urmă. Direcția, după cum știți, este determinată de vector. Să-l notăm v¯(a; b; c), unde simbolurile dintre paranteze sunt coordonatele sale. Pentru fiecare punct Q(x; y; z), care se află pe dreapta luată în considerare, putem scrie egalitatea:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Aici simbolul α este un parametru care ia absolut orice valoare reală (înmulțirea unui vector cu un număr nu poate decât să-și schimbe modulul sau direcția în sens opus). Această egalitate se numește ecuație vectorială pentru o linie dreaptă în spațiul tridimensional. Schimbând parametrul α, obținem toate punctele (x; y; z) care formează această dreaptă.

Vectorul v¯(a; b; c) din ecuație se numește vector de direcție. O linie dreaptă nu are o direcție anume, iar lungimea ei este infinită. Aceste fapte înseamnă că orice vector obținut din v¯ prin înmulțirea cu un număr real va fi, de asemenea, un ghid pentru linie.

În ceea ce privește punctul P(x 0; y 0; z 0), în loc de acesta, un punct arbitrar poate fi înlocuit în ecuație, care se află pe o dreaptă, iar aceasta din urmă nu se va schimba.

Figura de mai sus prezintă o linie dreaptă (linie albastră) care este definită în spațiu printr-un vector de direcție (segment de linie roșie).

Nu este dificil să se obțină o egalitate similară pentru cazul bidimensional. Folosind un raționament similar, ajungem la expresia:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Vedem că este complet la fel cu cel precedent, sunt folosite doar două coordonate în loc de trei pentru a specifica puncte și vectori.

Ecuație parametrică

În primul rând, obținem o ecuație parametrică a unei linii drepte în spațiu. Mai sus, când s-a scris egalitatea vectorială, s-a menționat deja despre parametrul care este prezent în acesta. Pentru a obține o ecuație parametrică, este suficient să extindeți cea vectorială. Primim:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Mulțimea acestor trei egalități liniare, fiecare având o coordonată variabilă și un parametru α, este de obicei numită ecuația parametrică a unei linii drepte în spațiu. De fapt, nu am făcut nimic nou, ci pur și simplu am înregistrat în mod explicit sensul expresiei vectoriale corespunzătoare. Notăm un singur punct: numărul α, deși este arbitrar, este același pentru toate cele trei egalități. De exemplu, dacă α \u003d -1,5 pentru prima egalitate, atunci aceeași valoare ar trebui înlocuită în a doua și a treia egalitate atunci când se determină coordonatele punctului.

Ecuația parametrică a unei linii drepte pe un plan este similară cu cea pentru cazul spațial. Este scris ca:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b

Astfel, pentru a compune o ecuație parametrică a unei linii drepte, ar trebui să scrieți ecuația vectorială pentru aceasta într-o formă explicită.

Obținerea ecuației canonice

După cum sa menționat mai sus, toate ecuațiile care definesc o linie dreaptă în spațiu și pe un plan sunt obținute una din cealaltă. Să arătăm cum să obținem o linie dreaptă canonică dintr-o ecuație parametrică. Pentru cazul spațial avem:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Să exprimăm parametrul în fiecare egalitate:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Deoarece părțile din stânga sunt aceleași, atunci părțile din dreapta ale egalităților sunt, de asemenea, egale între ele:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Aceasta este ecuația canonică pentru o linie dreaptă în spațiu. Valoarea numitorului din fiecare expresie este coordonata corespunzătoare.Valorile din numărător care se scad din fiecare variabilă sunt coordonatele unui punct de pe acea dreaptă.

Ecuația corespunzătoare pentru cazul de pe plan ia forma:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Ecuația unei drepte prin 2 puncte

Se știe că două puncte fixe, atât în ​​plan, cât și în spațiu, definesc în mod unic o linie dreaptă. Să presupunem că sunt date următoarele două puncte din plan:

Cum se scrie ecuația unei linii drepte prin ele? Primul pas este definirea unui vector de direcție. Coordonatele sale sunt următoarele:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​​​- y 1)

Acum puteți scrie ecuația în oricare dintre cele trei forme care au fost discutate în paragrafele de mai sus. De exemplu, ecuația parametrică a unei linii drepte ia forma:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

În formă canonică, îl puteți rescrie astfel:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Se poate observa că ecuația canonică include coordonatele ambelor puncte, iar aceste puncte pot fi modificate la numărător. Deci, ultima ecuație poate fi rescrisă după cum urmează:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Toate expresiile scrise se numesc ecuații ale unei linii drepte prin 2 puncte.

Problema cu trei puncte

Sunt date coordonatele următoarelor trei puncte:

Este necesar să se determine dacă aceste puncte se află sau nu pe aceeași linie.

Această problemă ar trebui rezolvată după cum urmează: mai întâi, întocmește o ecuație a unei linii drepte pentru oricare două puncte, apoi înlocuiește coordonatele celui de-al treilea în ea și verifică dacă îndeplinesc egalitatea rezultată.

Compunem o ecuație în termeni de M și N în formă parametrică. Pentru aceasta aplicam formula obtinuta in paragraful de mai sus, pe care o generalizam la cazul tridimensional. Avem:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Acum să substituim coordonatele punctului K în aceste expresii și să găsim valoarea parametrului alfa care le corespunde. Primim:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Am aflat că toate cele trei egalități vor fi valabile dacă fiecare dintre ele ia o valoare diferită a parametrului α. Acest din urmă fapt contrazice condiția ecuației parametrice a unei linii drepte, în care α trebuie să fie egală pentru toate ecuațiile. Aceasta înseamnă că punctul K nu aparține dreptei MN, ceea ce înseamnă că toate cele trei puncte nu se află pe aceeași dreaptă.

Problema liniilor paralele

Având în vedere două ecuații de linii în forma parametrica. Acestea sunt prezentate mai jos:

x = -1 + 5 × α;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Este necesar să se determine dacă liniile sunt paralele. Cea mai ușoară modalitate de a determina paralelismul a două linii este utilizarea coordonatele vectorilor de direcție. Referindu-ne la formula generală a ecuației parametrice în spațiul bidimensional, obținem că vectorii de direcție ai fiecărei drepte vor avea coordonate:

Doi vectori sunt paraleli dacă unul dintre ei poate fi obținut prin înmulțirea celuilalt cu un anumit număr. Împărțim coordonatele vectorilor în perechi, obținem:

Înseamnă că:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Vectorii de direcție v 2 ¯ și v 1 ¯ sunt paraleli, ceea ce înseamnă că dreptele din enunțul problemei sunt și ele paralele.

Să verificăm dacă nu sunt aceeași linie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți coordonatele oricărui punct din ecuație cu altul. Luați punctul (-1; 3), înlocuiți-l în ecuație pentru a doua dreaptă:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Adică liniile sunt diferite.

Problema perpendicularității liniilor

Sunt date ecuațiile a două drepte:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Aceste drepte sunt perpendiculare?

Două drepte vor fi perpendiculare dacă produsul scalar al vectorilor lor de direcție este zero. Să scriem acești vectori:

Să găsim produsul lor scalar:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Astfel, am aflat că dreptele considerate sunt perpendiculare. Sunt prezentate în imaginea de mai sus.

Echivalarea în ecuațiile canonice ale dreptei fiecare dintre fracții la un parametru t:

Obținem ecuații care exprimă coordonatele curente ale fiecărui punct al dreptei prin parametru t.

astfel, ecuațiile parametrice ale dreptei au forma:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie două puncte M 1 (x1,y1,z1)și M2 (x2,y2,z2). Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date se obțin în același mod ca o ecuație similară pe un plan. Prin urmare, dăm imediat forma acestei ecuații.

O linie dreaptă la intersecția a două plane. Ecuația generală a unei drepte în spațiu.

Dacă luăm în considerare două plane neparalele, atunci intersecția lor va fi o linie dreaptă.

Dacă vectorii normali și necoliniare.

Mai jos, când luăm în considerare exemple, vom arăta o modalitate de a transforma astfel de ecuații drepte în ecuații canonice.

5.4 Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Un unghi între două linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Fie două drepte date de ecuațiile lor canonice.

Pentru unghiul dintre două drepte vom lua unghiul dintre vectorii de direcție.

Și

Condiția de perpendicularitate a două drepte se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor lor de direcție și , adică la egalitatea la zero a produsului scalar: sau sub formă de coordonate: .

Condiția de paralelism a două drepte se reduce la condiția de paralelism a vectorilor lor de direcție și

5.5 Aranjament reciproc drept și plan.

Să fie date ecuațiile dreptei:

si avioane. Unghiul dintre linie și plan va fi oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de linie și proiecția acesteia pe plan (Figura 5.5).

Figura 5.5

Dacă linia este perpendiculară pe plan, vectorul de direcție al dreptei și vectorul normal pe plan sunt coliniare. Astfel, condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția vectorilor coliniari

În cazul paralelismului unei drepte și unui plan, vectorii lor indicați mai sus sunt reciproc perpendiculari. Prin urmare, condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor; acestea. produsul lor punctual este zero sau sub formă de coordonate: .

Mai jos sunt exemple de rezolvare a problemelor legate de subiectul capitolului 5.

Exemplul 1:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A (1,2,4) perpendicular pe dreapta dată de ecuația:

Soluţie:

Să folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, luăm punctul A (1,2,4), prin care planul trece prin condiție.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei, cunoaștem vectorul paralel cu dreapta.

Datorită faptului că, prin condiție, linia este perpendiculară pe planul dorit, vectorul direcție poate fi luat ca vector normal al planului.

Astfel, obținem ecuația planului sub forma:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Exemplul 2:

Găsiți în avion 4x-7y+5z-20=0 un punct P pentru care OP face unghiuri egale cu axele de coordonate.

Soluţie:

Să facem un desen schematic. (Figura 5.6)

la

Figura 5.6

Punctul gol Р are coordonate. Deoarece vectorul formează aceleași unghiuri cu axele de coordonate, cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt egale între ele

Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt ușor de găsit.

Din egalitatea cosinusurilor direcției rezultă egalitatea:

x p \u003d y p \u003d z p

întrucât punctul P se află pe plan, înlocuirea coordonatelor acestui punct în ecuația planului îl transformă într-o identitate.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respectiv: y r=10; z p=10.

Astfel, punctul dorit P are coordonatele P (10; 10; 10)

Exemplul 3:

Date două puncte A (2, -1, -2) și B (8, -7,5). Aflați ecuația planului care trece prin punctul B, perpendicular pe segmentul AB.

Soluţie:

Pentru a rezolva problema, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, folosim punctul B (8, -7.5), iar ca vector perpendicular pe plan, vector. Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci obținem ecuația planului sub forma:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Exemplul 4:

Aflați ecuația unui plan paralel cu axa OY și care trece prin punctele K(1,-5,1) și M(3,2,-2).

Soluţie:

Deoarece planul este paralel cu axa OY, vom folosi ecuația incompletă a planului.

Ax+Cz+D=0

Datorită faptului că punctele K și M se află pe plan, obținem două condiții.

Să exprimăm din aceste condiții coeficienții A și C în termenii lui D.

Înlocuim coeficienții găsiți în ecuația incompletă a planului:

deoarece , atunci reducem D:

Exemplul 5:

Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Soluţie:

Să folosim ecuația unui plan care trece prin 3 puncte date.

înlocuind coordonatele punctele M, K, R ca primul, al doilea și al treilea obținem:

extinde determinantul de-a lungul primei linii.

Exemplul 6:

Aflați ecuația planului care trece prin punctele M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) și perpendicular pe plan 3x+5y-7z-21=0

Soluţie:

Să facem un desen schematic (Figura 5.7)

Figura 5.7

Notăm planul dat P 2 și planul dorit P 2. . Din ecuație avion datР 1 determinăm proiecțiile vectorului perpendicular pe planul Р 1.

Vectorul poate fi mutat în planul P 2 prin translație paralelă, deoarece, conform condiției problemei, planul P 2 este perpendicular pe planul P 1, ceea ce înseamnă că vectorul este paralel cu planul P 2 .

Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul Р 2:

acum avem doi vectori si situati in planul R 2 . În mod evident, vectorul este egal cu produsul vectorial al vectorilor și va fi perpendicular pe planul P2, deoarece este perpendicular și, prin urmare, vectorul său normal pe planul P2.

Vectorii și sunt dați de proiecțiile lor, prin urmare:

Apoi, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector. Ca punct, puteți lua oricare dintre punctele M 1 sau M 2, de exemplu M 1 (8, -3,1); Ca vector normal al planului Р 2 luăm .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Exemplul 7:

O linie dreaptă este definită de intersecția a două plane. Găsiți ecuațiile canonice ale dreptei.

Soluţie:

Avem o ecuație sub forma:

Trebuie să găsesc un punct x 0, y 0, z 0) prin care trece linia dreaptă și vectorul direcție.

Alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. De exemplu, z=1, atunci obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Astfel, am găsit un punct situat pe dreapta dorită (2,0,1).

Ca vector de direcție al dreptei dorite, luăm produsul încrucișat al vectorilor și , care sunt vectori normali deoarece , ceea ce înseamnă paralel cu linia dorită.

Astfel, vectorul direcție al dreptei are proiecții . Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu un vector dat:

Deci ecuația canonică dorită are forma:

Exemplul 8:

Aflați coordonatele punctului de intersecție al unei drepte si avionul 2x+3y+3z-8=0

Soluţie:

Să scriem ecuația dată a unei linii drepte într-o formă parametrică.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

fiecărui punct al dreptei îi corespunde o singură valoare a parametrului t. Pentru a găsi parametrul t corespunzând punctului de intersecție al dreptei și al planului, înlocuim expresia în ecuația planului x, y, z prin intermediul parametrului t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

apoi coordonatele punctului dorit

punctul de intersecție dorit are coordonatele (1;1;1).

Exemplul 9:

Aflați ecuația unui plan care trece prin drepte paralele.

Să facem un desen schematic (Figura 5.9)

Figura 5.9

Din ecuațiile date de drepte și determinăm proiecțiile vectorilor de direcție ai acestor drepte. Găsim proiecțiile vectorului situat în planul P și luăm punctele și din ecuațiile canonice ale dreptelor M 1 (1, -1,2) și M 2 (0,1, -2).

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Și , Acea

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția paralelismului a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Prin urmare, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare valoare parametru t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yȘi zși punct M se deplasează în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observația 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouȘi Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l poți să iei produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

UNGHI ÎNTRE DREPTURI

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem