Calculați c.

Numărul de grade de libertate este de trei, deoarece numai o constrângere este impusă pentru 4 valori ale lui n Sn = n (r =4 -1=3). Pentru trei grade de libertate și nivel de semnificație b=0,02 găsim din tabelul de distribuţie c valoarea critică c =9,84. Valoarea c =9,88 este inclusă în regiunea critică. Concluzie: ipoteza contrazice datele experimentale. Respingem ipoteza și probabilitatea ca să greșim este de 0,02.

Sarcina 3. monedă aruncată 50 o singura data. 32 a căzut stema. Cu ajutorul testului de bunăstare a potrivirii „ chi-pătrat” verificați dacă aceste date sunt în concordanță cu ipoteza că moneda era simetrică.

Soluţie. Emitem ipoteza că moneda era simetrică, adică probabilitatea ca stema să cadă este 1/2 . Din experiența noastră, stema a căzut 32 ori şi 18 odată ce o cifră a căzut Calculați valoarea c V .

Numărul de grade de libertate pentru c este r = 2–1=1; întrucât există doi termeni și o legătură este impusă pe n ν + v=50.

Pentru numărul de grade de libertate r=1și nivelul de semnificație, de exemplu, egal cu p=0,05 aflăm din tabelul de distribuţie c că P( c 3,84)=0,05 , adică regiunea valorilor critice c la nivelul de semnificație p=0,05 va fi un interval [ 3.84; ). Valoarea calculată c =3,92 cade în regiunea critică, ipoteza este respinsă. Probabilitatea ca să greșim este 0,05 .

Sarcina 4. Producătorul susține că numai în acest lot mare de produse 10% produse de calitate scăzută. Cinci produse au fost selectate la întâmplare și printre acestea au fost trei produse de calitate scăzută. Folosind lema Neyman-Pearson, construiți un criteriu și testați ipoteza conform căreia procentul produselor de calitate scăzută este într-adevăr egal cu 10 (p=0,1) față de alternativa că procentul de produse nede calitate scăzută este mai mare 10 (p=p>p). Probabilitatea erorii de tip I »0.01, adică include atât de multe puncte în regiunea critică încât probabilitatea de a respinge ipoteza testată, dacă este adevărată, este 0,01 . Această probabilitate este atribuită aproximativ pentru a nu recurge la randomizare, despre care elevii habar nu au. Dacă p=0,6, atunci care este probabilitatea unei erori de tip II?

Soluţie. Conform ipotezei p 0 \u003d 0,1 cu sens alternativ p>p . Conform lemei Neumann-Pearson, regiunea critică ar trebui să includă acele valori k, pentru care

= >C,

Unde CU este o constantă

,

k+ (5-k) ,

.

Deoarece , expresia din paranteză este nenegativă. De aceea

Aceasta înseamnă că regiunea critică ar trebui să includă pe cele ale valorilor {0,2,1,3,4,5} , care sunt mai mari decât unele , în funcție de nivelul de semnificație (de probabilitatea unei erori de primul fel). Pentru a determina în ipoteza că ipoteza este adevărată, calculăm probabilitățile

Dacă regiunea critică include valorile {3,4,5} , atunci probabilitatea unei erori de primul fel va fi egală cu

În condițiile problemei, s-a dovedit că dintre cele cinci au verificat trei produse defecte. Valoarea intră în regiunea critică. Respingem ipoteza în favoarea unei alternative, iar probabilitatea ca o facem în mod eronat este mai mică 0,01 .

Probabilitatea unei erori de tip II este probabilitatea de a accepta o ipoteză atunci când aceasta nu este adevărată. Ipoteza va fi acceptată la . Dacă probabilitatea de a fabrica un produs defect este de fapt egală cu , atunci probabilitatea de a accepta o ipoteză falsă este egală cu

Sarcina 5. Se știe că, odată cu amestecarea temeinică a aluatului, stafidele sunt distribuite în el aproximativ conform legii lui Poisson, adică. probabilitatea de a avea stafide într-o chiflă este de aproximativ , unde este numărul mediu de stafide per chiflă. Când coaceți chifle cu stafide, se bazează standardul 1000 chifle 9000 stafide. Există o suspiciune că s-au adăugat mai puține stafide în aluat decât este cerut de standard. Pentru verificare, se selectează o chiflă și se numără stafidele din ea. Construiți un criteriu de testare a cărui ipoteză este împotriva alternativei. Probabilitatea unei erori de tip I este considerată a fi de aproximativ 0,02.

Soluţie. Pentru a testa ipoteza: față de alternativa din lema Neyman-Pearson, regiunea critică ar trebui să includă acele valori pentru care

unde este o constantă.

Atunci n 1 H 1, întrucât valabilitatea sa înseamnă eficacitatea aplicării noii tehnologii).

Valoarea reală a criteriului statistic

.

Sub ipoteza concurentă H 1 valoarea critică a statisticii se găsește din condiția , i.e. , Unde t cr \u003d t 0,95 \u003d 1,96.

Din moment ce valoarea reală observată t=4,00 peste valoarea critică t cr(pentru oricare dintre ipotezele concurente luate), apoi ipoteza H 0 este respinsă, adică la nivelul de semnificație de 5%, se poate concluziona că noua tehnologie face posibilă creșterea producției medii a lucrătorilor.

Sarcina 2. Au fost efectuate două prelevări ale culturii de grâu: cu recoltare la timp și recoltare cu oarecare întârziere. În primul caz, la observarea a 8 parcele, randamentul mediu al probei a fost de 16,2 c/ha, iar abaterea standard a fost de 3,2 c/ha; în al doilea caz, la observarea a 9 parcele, aceleaşi caracteristici au fost egale cu 13,9 c/ha, respectiv 2,1 c/ha. La un nivel de semnificație de α=0,05, aflați efectul recoltării la timp asupra randamentului mediu.

Soluţie. Ipoteza de testat, de ex. valorile medii ale randamentului pentru recoltarea la timp și cu o oarecare întârziere sunt egale. Ca ipoteză alternativă, luăm ipoteza , a cărei adoptare înseamnă un impact semnificativ asupra randamentului termenilor de recoltare.

Valoarea reală observată a statisticii testului

.

Valoarea critică a statisticilor pentru o regiune unilaterală este determinată de numărul de grade de libertate l=n 1 +n 2 -2=9+8-2= =15 din condiția θ( t,l)=1–2 0,05=0,9, de unde conform tabelului t-distribuții (Anexa 6) găsim, t cr=1,75. Deoarece , apoi ipoteza H 0 admis. Aceasta înseamnă că datele disponibile ale eșantionului la nivelul de semnificație de 5% nu ne permit să presupunem că o anumită întârziere a timpului de recoltare are un impact semnificativ asupra randamentului. Subliniem încă o dată că aceasta nu înseamnă fidelitatea necondiționată a ipotezei H 0. Este posibil ca doar o dimensiune mică a eșantionului să fi făcut posibilă acceptarea acestei ipoteze, iar odată cu creșterea dimensiunilor eșantionului (numărul de locuri selectate), ipoteza H 0 vor fi respinse.

Sarcina 3. Următoarele date sunt disponibile privind randamentul grâului pe 8 parcele experimentale de aceeași dimensiune (c/ha): 26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Există motive să credem că valoarea productivității a treia parcelă X *=35,9 înregistrat incorect. Este această valoare anormală (outlier) la nivelul de semnificație de 5%?

Soluţie. Excluzând valoarea X *=35,9, găsim pentru observațiile rămase și . Valoarea reală observată mai mare decât tabelar, de unde și valoarea X *=35,9 este anormal și trebuie aruncat.

Sarcina 4. Bucșele sunt prelucrate pe două strunguri. Au fost prelevate două probe: din bucșe realizate la prima mașină n 1=15 bucăți, la a doua mașină - n 2=18 buc. Pe baza acestor eșantioane, au fost calculate variațiile eșantionului (pentru prima mașină) și (pentru a doua mașină). Presupunând că dimensiunile bucșelor respectă legea distribuției normale, la nivelul de semnificație α=0,05, aflați dacă se poate considera că mașinile au precizie diferită.

Soluţie. Avem o ipoteză nulă, adică dispersiile de mărime ale bucșelor prelucrate pe fiecare mașină sunt egale. Luați ca ipoteză concurentă (varianța este mai mare pentru prima mașină).

.

Conform tabelului P.

Soluţie. Ipoteza de testat . Să luăm ipoteza ca alternativă. Deoarece varianța generală σ 2 este necunoscută, folosim t- Criteriul elevului. Statistica testului este . Valoarea critică a statisticilor t cr=1,83.

Din moment ce | t|>t cr(2.25>1.83), apoi ipoteza H 0 este respinsă, adică la nivelul de semnificație de 5%, predicția făcută ar trebui respinsă.

Sarcina 6. Pentru distribuţia empirică

În unele cazuri, cercetătorul nu știe dinainte după ce lege sunt distribuite valorile observate ale trăsăturii studiate. Dar poate avea motive destul de întemeiate să presupună că distribuția este supusă uneia sau alteia legi, de exemplu, normală sau uniformă. În acest caz, sunt prezentate ipotezele statistice principale și alternative de următoarea formă:

H 0: distribuția caracteristicii observate este supusă legii distribuției A,

H 1: distribuția caracteristicii observate diferă de A;

unde ca A poate actiona una sau alta lege de distributie: normala, uniforma, exponentiala etc.

Testarea ipotezei cu privire la legea de distribuție propusă se realizează folosind așa-numitele criterii de bunăstare a potrivirii. Există mai multe criterii de acceptare. Cel mai universal dintre ele este criteriul lui Pearson, deoarece este aplicabil oricărui tip de distribuție.

- Criteriul lui Pearson

De obicei, frecvențele empirice și teoretice diferă. Este discrepanța întâmplătoare? Criteriul Pearson răspunde la această întrebare, însă, ca orice criteriu statistic, nu dovedește validitatea ipotezei în sens strict matematic, ci doar stabilește acordul sau dezacordul acesteia cu datele observaționale la un anumit nivel de semnificație.

Deci, să se obțină distribuția statistică a valorilor caracteristicilor din eșantionul de volum, unde sunt valorile caracteristicilor observate, sunt frecvențele corespunzătoare:

Esența criteriului Pearson este de a calcula criteriul conform următoarei formule:

unde este numărul de cifre ale valorilor observate și sunt frecvențele teoretice ale valorilor corespunzătoare.

Este clar că, cu cât diferența este mai mică, cu atât distribuția empirică este mai apropiată de cea empirică, prin urmare, cu cât valoarea criteriului este mai mică, cu atât se poate susține mai fiabil că distribuțiile empirice și teoretice sunt supuse aceleiași legi.

Algoritmul criteriului Pearson

Algoritmul criteriului Pearson este simplu și constă din următorii pași:

Deci, singura acțiune non-trivială din acest algoritm este determinarea frecvențelor teoretice. Ele, desigur, depind de legea distribuției, prin urmare - pentru diferite legi sunt definite diferit.

Avantajul criteriului Pearson este universalitatea acestuia: poate fi folosit pentru a testa ipoteze despre diverse legi de distribuție.

1. Testarea ipotezei unei distribuții normale.

Să se obțină o probă de o dimensiune suficient de mare P cu o mulțime de valori de variante diferite. Pentru comoditatea procesării sale, împărțim intervalul de la cea mai mică la cea mai mare dintre valorile variantei prin s părți egale și vom presupune că valorile opțiunilor care se încadrează în fiecare interval sunt aproximativ egale cu numărul care specifică mijlocul intervalului. După ce am numărat numărul de opțiuni care au intrat în fiecare interval, vom face așa-numitul eșantion grupat:

Opțiuni……….. X 1 X 2 … x s

frecvențe…………. P 1 P 2 … n s ,

Unde x i sunt valorile punctelor medii ale intervalelor și n i este numărul de opțiuni incluse în i al-lea interval (frecvențe empirice).

Pe baza datelor obținute, este posibil să se calculeze media eșantionului și abaterea standard a eșantionului σ B. Să verificăm ipoteza că populația generală este distribuită conform legii normale cu parametri M(X) = , D(X) = . Apoi puteți găsi numărul de numere din eșantionul de volum P, care ar trebui să fie în fiecare interval sub această ipoteză (adică frecvențe teoretice). Pentru a face acest lucru, folosind tabelul de valori al funcției Laplace, găsim probabilitatea de a lovi i- al-lea interval:

,

Unde un iȘi b i- granițe i- al-lea interval. Înmulțind probabilitățile rezultate cu dimensiunea eșantionului n, găsim frecvențele teoretice: p i = n p i.Scopul nostru este să comparăm frecvențele empirice și teoretice, care, desigur, diferă între ele, și să aflăm dacă aceste diferențe sunt nesemnificative, nu infirmă ipoteza distribuției normale a variabilei aleatoare studiate, sau sunt așa. mare că contrazic această ipoteză. Pentru aceasta, se folosește un criteriu sub forma unei variabile aleatoare

. (20.1)

Sensul ei este evident: se însumează părțile, care sunt pătratele abaterilor frecvențelor empirice de la cele teoretice de la frecvențele teoretice corespunzătoare. Se poate dovedi că, indiferent de legea distribuției reale a populației generale, legea distribuției variabilei aleatoare (20.1) la tinde spre legea distribuției (vezi prelegerea 12) cu numărul de grade de libertate. k = s - 1 – r, Unde r este numărul de parametri ai distribuției estimate estimați din datele eșantionului. Distribuția normală este caracterizată de doi parametri, deci k = s - 3. Pentru criteriul selectat se construiește o regiune critică de dreapta, determinată de condiție

(20.2)

Unde α - nivelul de semnificație. Prin urmare, regiunea critică este dată de inegalitate iar zona de acceptare a ipotezei este .

Deci, pentru a testa ipoteza nulă H 0: populația este distribuită în mod normal - trebuie să calculați valoarea observată a criteriului din eșantion:

, (20.1`)

și conform tabelului punctelor critice ale distribuției χ 2 găsiți punctul critic folosind valorile cunoscute ale lui α și k = s - 3. Dacă - se acceptă ipoteza nulă, dacă se respinge.

2. Testarea ipotezei distribuţiei uniforme.

Când se utilizează testul Pearson pentru a testa ipoteza unei distribuții uniforme a populației generale cu o densitate de probabilitate presupusă

este necesar, după calcularea valorii din eșantionul disponibil, estimarea parametrilor AȘi b dupa formulele:

Unde A*Și b*- estimări AȘi b. Într-adevăr, pentru o distribuție uniformă M(X) = , , de unde puteți obține un sistem de determinare A*Și b*: , a cărui soluție sunt expresiile (20.3).

Apoi, presupunând că , puteți găsi frecvențele teoretice folosind formulele

Aici s este numărul de intervale în care este împărțit eșantionul.

Valoarea observată a criteriului Pearson se calculează prin formula (20.1`), iar valoarea critică se calculează din tabel, ținând cont de faptul că numărul de grade de libertate k = s - 3. După aceea, limitele regiunii critice se determină în același mod ca și pentru testarea ipotezei unei distribuții normale.

3. Testarea ipotezei despre distribuția exponențială.

În acest caz, împărțind eșantionul existent în intervale de lungime egală, considerăm o secvență de opțiuni echidistantă între ele (presupunem că toate opțiunile care se încadrează în i--lea interval, ia o valoare care coincide cu mijlocul său) și frecvențele corespunzătoare n i(numărul de opțiuni eșantion incluse în i– al-lea interval). Calculăm din aceste date și luăm ca estimare a parametrului λ valoare . Apoi frecvențele teoretice sunt calculate prin formula

Apoi, se compară valorile observate și critice ale criteriului Pearson, ținând cont de faptul că numărul de grade de libertate k = s - 2.

Criteriul lui Pearson pentru testarea ipotezei despre forma legii de distribuție a unei variabile aleatoare. Testarea ipotezelor despre distribuțiile normale, exponențiale și uniforme prin criteriul Pearson. criteriul lui Kolmogorov. Metodă aproximativă de verificare a normalității distribuției, asociată cu estimări ale coeficienților de asimetrie și curtoză.

În prelegerea anterioară au fost luate în considerare ipoteze în care se presupunea că legea de distribuție a populației generale este cunoscută. Acum să testăm ipotezele despre legea propusă a distribuției necunoscute, adică vom testa ipoteza nulă că populația este distribuită după o lege cunoscută. De obicei, testele statistice pentru testarea unor astfel de ipoteze se numesc teste de bunătate.

Avantajul criteriului Pearson este universalitatea acestuia: poate fi folosit pentru a testa ipoteze despre diverse legi de distribuție.

1. Testarea ipotezei unei distribuții normale.

Să se obțină o probă de o dimensiune suficient de mare P cu o mulțime de opțiuni de semnificații diferite. Pentru confortul procesării sale, împărțim intervalul de la cea mai mică la cea mai mare dintre valorile variantei la s părți egale și vom presupune că valorile lui vari

furnicile care se încadrează în fiecare interval sunt aproximativ egale cu numărul care specifică mijlocul intervalului. După ce am numărat numărul de opțiuni care au intrat în fiecare interval, vom face așa-numitul eșantion grupat:

Opțiuni X 1 X 2 x s

frecvente P 1 P 2 n s ,

Unde x i sunt valorile punctelor medii ale intervalelor și n i- numărul de opțiuni incluse în i al-lea interval (frecvențe empirice).

Pe baza datelor obținute, este posibil să se calculeze media eșantionului și abaterea standard a eșantionului σ B. Să verificăm ipoteza că populația generală este distribuită conform legii normale cu parametri M(X) = , D(X) = . Apoi puteți găsi numărul de numere din eșantionul de volum P, care ar trebui să fie în fiecare interval sub această ipoteză (adică frecvențe teoretice). Pentru a face acest lucru, folosind tabelul de valori al funcției Laplace, găsim probabilitatea de a lovi i- al-lea interval:

Unde un iȘi b i- granițe i- al-lea interval. Înmulțind probabilitățile rezultate cu dimensiunea eșantionului n, găsim frecvențele teoretice: p i \u003d n? p i. Scopul nostru este să comparăm frecvențele empirice și teoretice, care, desigur, diferă unele de altele și să aflăm dacă aceste diferențe sunt nesemnificative, nu infirmă ipoteza distribuției normale a variabilei aleatoare studiate sau sunt atât de mari. că contrazic această ipoteză. Pentru aceasta, se folosește un criteriu sub forma unei variabile aleatoare

Sensul ei este evident: se însumează părțile, care sunt pătratele abaterilor frecvențelor empirice de la cele teoretice de la frecvențele teoretice corespunzătoare. Se poate dovedi că, indiferent de legea distribuției reale a populației generale, legea distribuției variabilei aleatoare (20.1) la tinde spre legea distribuției (vezi prelegerea 12) cu numărul de grade de libertate. k = s- 1 - r, Unde r- numărul de parametri ai distribuției estimate, estimați din datele eșantionului. Distribuția normală este caracterizată de doi parametri, deci k = s- 3. Pentru criteriul selectat se construiește o regiune critică de dreapta, determinată de condiție

Unde α - nivelul de semnificație. Prin urmare, regiunea critică este dată de inegalitate, iar regiunea de acceptare a ipotezei este .

Deci, pentru a testa ipoteza nulă H 0: populația este distribuită în mod normal - trebuie să calculați valoarea observată a criteriului din eșantion:

și conform tabelului punctelor critice ale distribuției χ 2 găsiți punctul critic folosind valorile cunoscute ale lui α și k = s- 3. Dacă - se acceptă ipoteza nulă, dacă se respinge.

2. Testarea ipotezei distribuţiei uniforme.

Când se utilizează criteriul Pearson pentru a testa ipoteza unei distribuții uniforme a populației generale cu densitatea de probabilitate așteptată

este necesar, după calcularea valorii din eșantionul disponibil, estimarea parametrilor AȘi b dupa formulele:

Unde A*Și b*- estimări AȘi b. Într-adevăr, pentru o distribuție uniformă M(X) = , , din care se poate obține un sistem de determinare A*Și b*: , a cărui soluție sunt expresiile (20.3).

Apoi, presupunând că , putem găsi frecvențele teoretice folosind formulele

Aici s este numărul de intervale în care este împărțit eșantionul.

Valoarea observată a criteriului Pearson se calculează prin formula (20.1`), iar valoarea critică se calculează din tabel, ținând cont de faptul că numărul de grade de libertate k = s- 3. După aceea, limitele regiunii critice se determină în același mod ca și pentru testarea ipotezei unei distribuții normale.

3. Testarea ipotezei despre distribuția exponențială.

În acest caz, împărțind eșantionul existent în intervale de lungime egală, considerăm o secvență de opțiuni echidistantă între ele (presupunem că toate opțiunile care se încadrează în i--lea interval, ia o valoare care coincide cu mijlocul său) și frecvențele corespunzătoare n i(numărul de opțiuni eșantion incluse în i--lea interval). Calculăm din aceste date și luăm ca estimare a parametrului λ valoare . Apoi frecvențele teoretice sunt calculate prin formula

Apoi, se compară valorile observate și critice ale criteriului Pearson, ținând cont de faptul că numărul de grade de libertate k = s- 2.

Testul \(\chi^2\) („chi-pătrat”, de asemenea „testul de bunătate a potrivirii lui Pearson”) are o aplicație extrem de largă în statistică. În termeni generali, putem spune că este folosit pentru a testa ipoteza nulă despre supunerea unei variabile aleatoare observate față de o anumită lege de distribuție teoretică (pentru mai multe detalii, vezi, de exemplu,). Formularea specifică a ipotezei testate va varia de la caz la caz.

În această postare, voi descrie cum funcționează testul \(\chi^2\) folosind un exemplu (ipotetic) din imunologie. Imaginați-vă că am efectuat un experiment pentru a determina eficiența suprimării dezvoltării unei boli microbiene atunci când anticorpii corespunzători sunt introduși în organism. În total, 111 șoareci au fost implicați în experiment, pe care i-am împărțit în două grupuri, inclusiv 57 și, respectiv, 54 de animale. Primul grup de șoareci a fost injectat cu bacterii patogene, urmat de introducerea serului sanguin care conține anticorpi împotriva acestor bacterii. Animalele din al doilea grup au servit drept martori - au primit doar injecții bacteriene. După un timp de incubație, s-a dovedit că 38 de șoareci au murit și 73 au supraviețuit. Dintre morți, 13 aparțineau primului grup, iar 25 aparțineau celui de-al doilea (control). Ipoteza nulă testată în acest experiment poate fi formulată astfel: administrarea de ser cu anticorpi nu are efect asupra supraviețuirii șoarecilor. Cu alte cuvinte, susținem că diferențele observate în supraviețuirea șoarecilor (77,2% în primul grup față de 53,7% în al doilea grup) sunt complet aleatorii și nu sunt asociate cu acțiunea anticorpilor.

Datele obținute în experiment pot fi prezentate sub forma unui tabel:

Tabelele ca acesta se numesc tabele de contingență. În acest exemplu, tabelul are o dimensiune de 2x2: există două clase de obiecte („Bacterii + ser” și „Numai bacterii”), care sunt examinate în funcție de două criterii („Mort” și „Supraviețuit”). Acesta este cel mai simplu caz al unui tabel de contingență: desigur, atât numărul de clase studiate, cât și numărul de caracteristici pot fi mai mari.

Pentru a testa ipoteza nulă formulată mai sus, trebuie să știm care ar fi situația dacă anticorpii nu ar avea cu adevărat niciun efect asupra supraviețuirii șoarecilor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculezi frecvențele așteptate pentru celulele corespunzătoare din tabelul de contingență. Cum să o facă? Un total de 38 de șoareci au murit în experiment, ceea ce reprezintă 34,2% din numărul total de animale implicate. Dacă introducerea de anticorpi nu afectează supraviețuirea șoarecilor, același procent de mortalitate ar trebui să fie observat la ambele loturi experimentale și anume 34,2%. Calculând cât este 34,2% din 57 și 54, obținem 19,5 și 18,5. Acestea sunt ratele de mortalitate așteptate în grupurile noastre experimentale. Ratele de supraviețuire așteptate sunt calculate într-un mod similar: deoarece 73 de șoareci au supraviețuit în total, sau 65,8% din numărul lor total, ratele de supraviețuire așteptate sunt 37,5 și 35,5. Să facem un nou tabel de contingență, acum cu frecvențele așteptate:

După cum puteți vedea, frecvențele așteptate sunt destul de diferite de cele observate, adică. administrarea de anticorpi pare să aibă un efect asupra supraviețuirii șoarecilor infectați cu agentul patogen. Putem cuantifica această impresie folosind testul de bunăstare a potrivirii lui Pearson \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

\[\chi^2 = (13 – 19,5)^2/19,5 + (44 – 37,5)^2/37,5 + (25 – 18,5)^2/18,5 + (29 – 35,5)^2/35,5 = \]

Este \(\chi^2\) suficient de mare pentru a respinge ipoteza nulă? Pentru a răspunde la această întrebare, este necesar să găsim valoarea critică corespunzătoare a criteriului. Numărul de grade de libertate pentru \(\chi^2\) este calculat ca \(df = (R - 1)(C - 1)\), unde \(R\) și \(C\) sunt numărul de rânduri și coloane în conjugarea tabelului. În cazul nostru \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Cunoscând numărul de grade de libertate, acum putem afla cu ușurință valoarea critică \(\chi^2\) folosind funcția R standard qchisq() :

Astfel, pentru un grad de libertate, valoarea criteriului \(\chi^2\) depășește 3,841 doar în 5% din cazuri. Valoarea pe care am obținut-o, 6,79, depășește semnificativ această valoare critică, ceea ce ne dă dreptul de a respinge ipoteza nulă că nu există nicio relație între administrarea de anticorpi și supraviețuirea șoarecilor infectați. Respingând această ipoteză, riscăm să greșim cu o probabilitate mai mică de 5%.

Trebuie remarcat faptul că formula de mai sus pentru criteriul \(\chi^2\) oferă valori oarecum supraestimate atunci când se lucrează cu tabele de contingență de dimensiunea 2x2. Motivul este că distribuția criteriului \(\chi^2\) în sine este continuă, în timp ce frecvențele caracteristicilor binare („a murit” / „a supraviețuit”) sunt discrete prin definiție. În acest sens, la calcularea criteriului, se obișnuiește să se introducă așa-numitul. corectarea continuitatii, sau amendamentul Yates :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0,5)^2)(f_e).\]

Pearson „Testul chi-pătrat cu Yates” date de corecție a continuității: șoareci X-pătrat = 5,7923, df = 1, valoare p = 0,0161