Dintre toate variabilele aleatoare, este cel mai ușor să jucați (simulați) o variabilă distribuită uniform. Să vedem cum se face.

Să luăm un dispozitiv, la ieșirea căruia cifrele 0 sau 1 pot apărea cu probabilitate; apariția unuia sau altui număr ar trebui să fie aleatorie. Un astfel de dispozitiv poate fi o monedă aruncată, zaruri(par - 0, impar - 1) sau un generator special bazat pe numărarea numărului de dezintegrari radioactive sau explozii de zgomot radio într-un anumit timp (par sau impar).

Să scriem y ca o fracție binară și să înlocuim cifrele succesive cu numere generate de generator: de exemplu, . Deoarece prima cifră este la fel de probabil să fie 0 sau 1, acest număr este la fel de probabil să se afle în jumătatea stângă sau dreaptă a segmentului. Deoarece 0 și 1 sunt, de asemenea, la fel de probabil în a doua cifră, numărul se află în fiecare jumătate a acestor jumătăți cu probabilitate egală și așa mai departe. Prin urmare, o fracție binară cu cifre aleatorii ia cu adevărat orice valoare pe segmentul cu probabilitate egală

Strict vorbind, doar un număr finit de biți k poate fi redat. Prin urmare, distribuția nu va fi complet necesară; așteptarea matematică va fi mai mică de 1/2 din valoare (pentru că valoarea este posibilă, dar valoarea este imposibilă). Pentru ca acest factor să nu afecteze, trebuie luate numere cu mai multe cifre; Adevărat, în metoda testării statistice, acuratețea răspunsului nu depășește de obicei 0,1% -103, iar condiția dă ca pe computerele moderne să fie supraîmplinit cu o marjă mare.

numere pseudoaleatoare. Generatoarele reale de numere aleatoare nu sunt lipsite de erori sistematice: asimetria monedei, deriva zero etc. Prin urmare, calitatea numerelor pe care le produc este verificată prin teste speciale. Cel mai simplu test este de a calcula pentru fiecare cifră frecvența de apariție a zero; dacă frecvența este semnificativ diferită de 1/2, atunci există o eroare sistematică, iar dacă este prea aproape de 1/2, atunci numerele nu sunt aleatorii - există un model. Teste mai complexe sunt calculul coeficienților de corelație ai numerelor consecutive

sau grupuri de cifre dintr-un număr; acești coeficienți ar trebui să fie aproape de zero.

Dacă vreo succesiune de numere satisface aceste teste, atunci poate fi folosită în calcule după metoda testelor statistice, fără a fi interesat de originea ei.

Au fost dezvoltați algoritmi pentru construirea unor astfel de secvențe; simbolic sunt scrise prin formule recurente

Astfel de numere sunt numite pseudo-aleatoare și sunt calculate pe computer. Acest lucru este de obicei mai convenabil decât utilizarea generatoarelor speciale. Dar fiecare algoritm are propria sa limită asupra numărului de membri ai secvenței care pot fi utilizați în calcule; cu un număr mai mare de termeni, caracterul aleatoriu al numerelor se pierde, de exemplu, se găsește periodicitatea.

Primul algoritm pentru obținerea numerelor pseudoaleatoare a fost propus de Neumann. Să luăm un număr din cifre (zecimală pentru certitudine) și să-l pătram. Lăsăm numerele din mijloc lângă pătrat, renunțând pe ultimul și (sau) pe primul. Pătratăm din nou numărul rezultat și așa mai departe. Valorile se obțin prin înmulțirea acestor numere cu De exemplu, să setăm și să alegem numărul inițial 46; atunci primim

Dar distribuția numerelor Neumann nu este suficient de uniformă (predomină valorile, ceea ce se vede clar în exemplul de mai sus), iar acum sunt rareori folosite.

Cel mai des folosit acum este un algoritm simplu și bun legat de selectarea părții fracționale a produsului

unde A este o constantă foarte mare (paranteza reprezintă partea fracționară a numărului). Calitatea numerelor pseudoaleatoare depinde în mare măsură de alegerea valorii A: acest număr în notație binară trebuie să aibă o valoare suficient de „aleatoare”, deși ultima sa cifră ar trebui luată ca una. Valoarea are un efect redus asupra calității secvenței, dar s-a remarcat că unele valori nu au succes.

Cu ajutorul experimentelor și analizei teoretice, au fost investigate și recomandate următoarele valori: pentru BESM-4; pentru BESM-6. Pentru unele computere americane, aceste numere sunt recomandate și sunt legate de numărul de cifre din mantisă și de ordinea numărului, deci sunt diferite pentru fiecare tip de computer.

Observația 1. În principiu, formule ca (54) pot da secvențe bune foarte lungi dacă sunt scrise într-o formă nerecursivă și toate înmulțirile sunt efectuate fără rotunjire. Rotunjirea normală pe un computer degradează calitatea numerelor pseudoaleatoare, dar cu toate acestea, membrii secvenței sunt de obicei potriviți.

Observația 2. Calitatea secvenței se îmbunătățește dacă sunt introduse mici perturbații aleatorii în algoritmul (54); de exemplu, după normalizarea unui număr, este util să trimiteți ordinea binară a numărului la ultimele cifre binare ale mantisei sale

Strict vorbind, regularitatea numerelor pseudoaleatoare ar trebui să fie imperceptibilă în raport cu aplicația particulară necesară. Prin urmare, în probleme simple sau bine formulate, este posibil să se utilizeze secvențe de nu foarte calitate bună, dar acest lucru necesită verificări speciale.

Distribuție arbitrară. Pentru a reda o variabilă aleatoare cu distribuție neuniformă, puteți folosi formula (52). Joacă y și determină din egalitate

Dacă integrala este luată în forma sa finală și formula este simplă, atunci acesta este cel mai convenabil mod. Pentru unele distribuții importante - Gauss, Poisson - integralele corespunzătoare nu sunt luate și s-au dezvoltat modalități speciale de interpretare.

INTRODUCERE

Se obișnuiește să se numească un sistem un set de elemente între care există conexiuni de orice natură și are o funcție (scop) pe care elementele sale constitutive nu o au. Sistemele informaționale, de regulă, sunt sisteme complexe distribuite geografic, cu un număr mare de elemente constitutive care au o structură extinsă de rețea.

Dezvoltare modele matematice, permițând evaluarea indicatorilor de performanță sisteme de informare, este o sarcină complexă și care necesită timp. Pentru a determina caracteristicile unor astfel de sisteme, se poate aplica metoda modelare prin simulare cu prelucrarea ulterioară a rezultatelor experimentului.

Modelarea prin simulare este unul dintre subiectele centrale în studiul disciplinelor „Sisteme de modelare” și „ Modelare matematică„Subiectul modelării prin simulare este studiul proceselor și sistemelor complexe, de obicei supuse influenței unor factori aleatori, prin efectuarea de experimente cu modelele lor de simulare.

Esența metodei este simplă - „viața” sistemului este simulată cu repetarea repetată a testelor. În acest caz, influențele externe care se schimbă aleatoriu asupra sistemului sunt modelate și înregistrate. Pentru fiecare situație, indicatorii de sistem sunt calculați conform ecuațiilor modelului. Metodele moderne existente de statistică matematică fac posibil să se răspundă la întrebarea - este posibil și cu ce încredere să se utilizeze datele de simulare. Dacă acești indicatori de încredere ne sunt suficienți, putem folosi modelul pentru a studia acest sistem.

Putem vorbi despre universalitatea modelării simulării, deoarece este utilizată pentru a rezolva probleme teoretice și practice de analiză a sistemelor mari, inclusiv problemele de evaluare a opțiunilor pentru structura unui sistem, evaluarea eficienței diverșilor algoritmi de control al sistemului și evaluarea impactul modificării diferiților parametri ai sistemului asupra comportamentului acestuia. Modelarea prin simulare poate fi folosită și ca bază pentru sinteza sistemelor mari, atunci când este necesară crearea unui sistem cu caracteristici date sub anumite restricții și care ar fi optim conform criteriilor selectate.

Simularea este una dintre cele mai multe mijloace eficiente cercetarea și proiectarea sistemelor complexe și adesea singura metodă implementată practic pentru studierea procesului de funcționare a acestora.

Scopul lucrării de curs este de a studia de către studenți metodele de simulare și metodele de prelucrare a datelor statistice pe un computer folosind aplicații software. Iată câteva subiecte posibile lucrări de termen, permițându-vă să explorați sisteme complexe bazate pe modele de simulare.

· Modelare prin simulare în probleme de tăiere unidimensională sau plană. Compararea planului de tăiere cu planul optim obținut prin metode de programare liniară întregi.

· Modele de transport si variantele acestora. Compararea planului de transport obtinut prin metoda simularii cu planul optim obtinut prin metoda potentialului.

· Aplicarea metodei simulării la rezolvarea problemelor de optimizare pe grafice.

· Determinarea volumelor de producție ca sarcină de optimizare multicriterială. Folosind metoda de simulare pentru a găsi mulțimea accesibilă și mulțimea Pareto.

· Metoda modelării simulării în sarcini de programare. Obțineți sfaturi despre cum să creați un program rațional.

· Studiul caracteristicilor sistemelor informatice si ale canalelor de comunicatie ca sisteme de asteptare prin simulare.

· Construirea modelelor de simulare la organizarea interogărilor în baze de date.

· Aplicarea metodei de simulare pentru rezolvarea problemei managementului stocurilor cu cerere constantă, variabilă și aleatorie.

· Investigarea funcționării atelierului de tocat prin modelare prin simulare.

SARCINA PENTRU LUCRARE DE CURS

Sistem tehnic S este format din trei elemente, a căror schemă de conectare este prezentată în Fig.1. Timpii timpului de funcționare X 1 , X 2 , X 3 elemente ale sistemului sunt variabile aleatoare continue cu legi cunoscute ale distribuției probabilităților. Mediul extern E afectează funcționarea sistemului sub forma unei variabile aleatoare V cu o distribuție de probabilitate discretă cunoscută.

Este necesar să se evalueze fiabilitatea sistemului S prin simulare pe calculator cu prelucrarea ulterioară a rezultatelor experimentale. Mai jos este secvența lucrărilor.

1. Dezvoltarea algoritmilor pentru redarea variabilelor aleatoare X 1 , X 2 , X 3 și V folosind generatoare de numere aleatoare conținute în pachete matematice, precum Microsoft Excel sau StatGraphics.

2. Determinarea timpului de funcționare a sistemului Y în funcție de elementele de funcționare X 1 , X 2 , X 3 pe baza diagramei bloc a calculului de fiabilitate.

3. Determinarea timpului de funcționare a sistemului ținând cont de influență Mediul extern conform formulei Z=Y/(1+0,1V).

4. Construirea unui algoritm de modelare care simulează funcționarea sistemului S și ia în considerare posibilitatea defecțiunii elementelor și efectele aleatorii ale mediului extern E. Implementarea algoritmului obținut pe un computer și crearea unui fișier cu valorile ​​de variabile aleatoare X 1 , X 2 , X 3 , V, Y și Z. Număr Luați 100 de experimente pentru experimentul cu mașină.

5. Prelucrarea statistică a rezultatelor obţinute. În acest scop, este necesar

Împărțiți datele pentru variabila aleatoare Z în 10 grupuri și formați o serie statistică care conține limitele și punctele medii ale intervalelor parțiale, frecvențele corespunzătoare, frecvențele relative, frecvențele cumulate și frecvențele relative cumulate;

Pentru valoarea Z, construiți un poligon și cumulați frecvența, construiți o histogramă bazată pe densitățile relative de frecvență;

Pentru valorile X 1 , X 2 , X 3 , V să se stabilească conformitatea acestora cu legile de distribuție date, folosind criteriul c 2 ;

Pentru o variabilă aleatoare Z luați în considerare trei distribuție continuă(uniform, normal, gamma), reprezentați pe o histogramă pentru Z densitatea acestor distribuții;

Utilizând criteriul c 2, verificați validitatea ipotezei despre corespondența datelor statistice cu distribuțiile selectate, nivelul de semnificație în selectarea unei distribuții adecvate este luat egal cu 0,05.

6. Notați funcția de densitate de distribuție a timpului de funcționare Z al sistemului, determinați așteptarea matematică, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare Z. Determinați principalele caracteristici ale fiabilității sistemului: timpul mediu până la eșec T 1 și probabilitatea de funcționare fără defecțiuni P(t) în timpul t. Aflați probabilitatea ca sistemul să nu eșueze în timpul T 1 .

Opțiunile de sarcini sunt oferite din Tabelul 1 în mod individual fiecărui student. Denumirile variabilelor aleatoare sunt cuprinse în textul din paragrafele 2 și 3. Diagramele structurale pentru calcularea fiabilității în conformitate cu numerele lor sunt prezentate în Fig.1.

tabelul 1

Opțiuni de sarcină

Opțiune	x1	x2	X 3	V	Numărul schemei
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0,1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	P(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp(0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	P(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp(0,03)	Exp(0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	P(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp(0,04)	G(0,9)
	E(2;0,1)	E(2;0,1)	LN(1;2)	P (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp(0,08)	Exp(0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	P(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp(0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	P(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp(0,02)	Exp(0,02)	LN(3,2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	P(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp(0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	P(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp(0,06)	Exp(0,06)	LN(2;1,6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	P(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp(0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	P(2,9)

În Fig. 1, există trei tipuri de conectare a elementelor: serie, paralelă (rezervă permanentă) și redundanță de înlocuire.

Timpul până la defectarea unui sistem format din elemente conectate în serie este egal cu cel mai mic timp până la defectarea elementelor. Timpul până la defectare al unui sistem cu rezerva pornită permanent este egal cu cel mai mare timp până la defectarea elementelor. Timpul până la defectarea unui sistem cu rezervă de înlocuire este egal cu suma timpilor până la defectarea elementelor.

Schema 1. Schema 2.

Schema 3. Schema 4.

Schema 5. Schema 6.
Schema 7. Schema 8.

Să fie necesar să se joace o variabilă aleatoare continuă X, adică. obțineți succesiunea valorilor sale posibile (i=1, 2, ..., n), cunoscând funcția de distribuție F(x).

Teorema. Dacă este un număr aleatoriu, atunci sens posibil a variabilei aleatoare continue X care se joacă cu o funcție de distribuție dată F (x), corespunzătoare lui , este rădăcina ecuației .

Regula 1 Pentru a găsi o posibilă valoare, o variabilă aleatoare continuă X, cunoscându-i funcția de distribuție F (x), este necesar să se aleagă un număr aleator , să echivaleze funcția de distribuție a acestuia și să se rezolve ecuația rezultată .

Observație 1. Dacă nu este posibil să rezolvați această ecuație în mod explicit, atunci recurgeți la metode grafice sau numerice.

Exemplul 1. Redați 3 valori posibile ale unei variabile aleatoare continue X distribuite uniform în intervalul (2, 10).

Soluție: Să scriem funcția de distribuție a valorii X, distribuită uniform în intervalul (a, b): .

Prin condiție, a=2, b=10, prin urmare, .

Folosind regula 1, scriem o ecuație pentru a găsi valori posibile ale lui , pentru care echivalăm funcția de distribuție cu un număr aleatoriu:

De aici .

Să alegem 3 numere aleatorii, de exemplu, , , . Înlocuiți aceste numere în ecuație, rezolvată în raport cu ; ca rezultat, obținem valorile posibile corespunzătoare ale lui X: ; ; .

Exemplul 2. O variabilă aleatoare continuă X este distribuită după o lege exponențială dată de funcția de distribuție (parametrul este cunoscut) (x > 0). Este necesar să găsiți o formulă explicită pentru interpretarea valorilor posibile ale lui X.

Rezolvare: Folosind regula, scrieți ecuația .

Să rezolvăm această ecuație pentru : , sau .

Numărul aleatoriu este în intervalul (0, 1); deci și numărul este aleatoriu și aparține intervalului (0,1). Cu alte cuvinte, R și 1-R sunt distribuite egal. Prin urmare, pentru a-l găsi, puteți folosi o formulă mai simplă.

Observația 2. Se știe că .

În special, .

Rezultă că, dacă densitatea de probabilitate este cunoscută, atunci pentru a juca X, în loc de ecuații, putem rezolva ecuația în raport cu .

Regula 2 Pentru a găsi valoarea posibilă a unei variabile aleatoare continue X, cunoscând densitatea de probabilitate a acesteia, trebuie să alegeți un număr aleator și să rezolvați o ecuație sau o ecuație în raport cu , unde a este cea mai mică valoare finită posibilă a lui X.

Exemplul 3. Având în vedere densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X în intervalul ; în afara acestui interval. Este necesar să găsiți o formulă explicită pentru interpretarea valorilor posibile ale lui X.

Rezolvare: Să scriem o ecuație în conformitate cu regula 2.

După integrarea şi rezolvarea rezultatului ecuație pătratică relativ , în sfârșit obținem .

18.7 Jocul aproximativ al unei variabile aleatoare normale

Reamintim mai întâi că, dacă o variabilă aleatoare R este distribuită uniform în intervalul (0, 1), atunci așteptarea ei matematică și, respectiv, varianța sunt egale: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Să compunem suma a n variabile independente, uniform distribuite în intervalul (0, 1) : .

Pentru a normaliza această sumă, găsim mai întâi așteptarea și varianța ei matematică.

Se știe că așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare sunt egale cu suma așteptărilor matematice ale termenilor. Suma conține n termeni, așteptarea matematică a fiecăruia dintre care, datorită M(R)=1/2, este 1/2; prin urmare, așteptarea sumei

Se știe că varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor termenilor. Suma conține n termeni independenți, varianța fiecăruia, datorită D(R)=1/12, este egală cu 1/12; de unde varianţa sumei

De aici deviația standard a sumei

Normalizăm suma luată în considerare, pentru care scădem așteptările matematice și împărțim rezultatul la abaterea standard: .

În virtutea teoremei limitei centrale de la , distribuția acestei variabile aleatoare normalizate tinde spre normal cu parametrii a=0 și . Pentru n finit, distribuția este aproximativ normală. În special, pentru n=12 obținem o aproximare destul de bună și ușor de calculat.

Estimările sunt satisfăcătoare: aproape de zero, puțin diferit de unul.

Lista surselor utilizate

1. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - M.: Liceu, 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistici matematice. - M .: Liceu, 2001.

3. Gmurman V.E. Ghid de rezolvare a problemelor de teoria probabilităților și statistică matematică. - M .: Liceu, 2001.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - M.: FORUM: INFRA-M, 2003.

5. Agapov G.I. Cartea cu probleme despre teoria probabilității. - M .: Liceu, 1994.

6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. – M.: INFRA-M, 2001.

7. Wentzel E.S. Teoria probabilității. - M .: Liceu, 2001.

Notați SW distribuit uniform în intervalul (0, 1) cu R, iar valorile sale posibile (numere aleatoare) cu r j .

Să împărțim intervalul)