Повърхноств геометрията се нарича граница, разделяща геометрично тяло (цилиндър, конус, топка и др.) от космоса . На чертежите (диаграмите) се изобразяват само точки и линии (прави или криви). Следователно повърхността може да бъде изобразена само когато е проектирана върху линия или набор от линии.

Повърхността може да се уточни с помощта на модел (последък на обувка, манекен и др.), с помощта на уравнение, кинематично - като следа от линия, движеща се в пространството и т.н. В дескриптивната геометрия е възприет кинематичен метод за формиране на повърхността. Може да се каже, че повърхност – това е непрекъснат набор от последователни позиции на права или крива линия, движеща се в пространството . Линия, която образува повърхност, докато се движи, се нарича образуваща .

2.4.1. Дефиниране на повърхност с помощта на детерминанта. За да се зададе повърхнина е достатъчно да се зададе образуващата на повърхнината и да се определи законът, по който тя се движи в пространството. Законите за движение на генераторите могат да бъдат определени по различни начини:

1) Образуващата се движи като пресича някаква неподвижна права, която се нарича ръководство .

2) Образуващата се движи чрез пресичане на две или три водещи линии.

3) Образуващата се движи успоредно на себе си или успоредно на някаква равнина, която се нарича равнина на успоредност и т.н.

Образуващата, заедно с геометричните фигури, които определят нейното движение, както и закона за нейното движение, съставляват детерминант повърхности. Можем да кажем, че детерминантата на повърхността е набор от независими параметри, които еднозначно определят повърхността.

Детерминантата се състои от две части:

1) геометрична част - фигури (точки, линии, повърхности) подвижни и неподвижни, с помощта на които се оформя повърхност.

2) Алгоритмична част - правилото за движение (закона за движение) на генератора по отношение на фиксираните фигури на определителя.

В някои случаи образуващата може да се деформира по време на движението си, което също е посочено в алгоритмичната част на детерминантата. Основата за съставянето на детерминанта е анализът на метода на образуване на повърхността и нейните основни свойства. Всяка повърхност може да бъде определена от различни детерминанти.

Например, разгледайте детерминантата на произволна цилиндрична повърхност (фиг. 2.34). Детерминантният запис изглежда така:

Е(л, а) - цилиндрична повърхност

(геометрична част) (алгоритмична част)

Този запис е даден във връзка с чертежа. В нотацията на геометричната част с буквата Еповърхността се обозначава с буквата л- образуваща, буква А- ръководство. Формата и положението в пространството на образуващата и направляващата се определят от чертежа.

В записа на алгоритмичната част се дава името на повърхността. За повърхност с дадено име е добре известно какво е движението л, образувайки повърхност Е. Но също така е възможно да се запише подробно естеството на движението на генератора. В нашия случай генераторът лсе движи успоредно на себе си и пресича водача през цялото време А. Детерминантата напълно определя повърхността, тъй като с негова помощ е възможно да се конструират неговите проекции.

На фиг. 2.35 Апосочен е комплексен чертеж на детерминантата на цилиндрична повърхнина Е(л, а) и проекция А 2точки Апринадлежащи на повърхността. Необходимо е да се изгради хоризонтална проекция A 1точки А.

Познавайки алгоритмичната част на детерминанта, изпълняваме следните конструкции (фиг. 2.35, b):

1) Чрез А 2паралелен l 2начертайте и намерете челната проекция НА 2точки на пресичане с а 2(Етап 1). Стъпките са обозначени със стрелки.

2) Използване на връзката за прожектиране на а 1намирам В 1(етап 2).

3) През точка В 1тече паралелно l 1(етап 3).

4) Ние надграждаме използването на комуникационната линия A 1(етап 4).

2.4.2. Повърхностна телена рамка. Ако изградим определен брой генератори според метода, описан в детерминантния алгоритъм, тогава получаваме кадър или нето повърхности (фиг. 2.36).

Показано на фиг. 2.36 Арамката се нарича еднопараметърна, т.к той се състои от линии, принадлежащи към едно и също семейство. Това е дискретна рамка, която се състои от краен брой редове.

Човек може също да си представи непрекъсната рамка от генератори. Непрекъсната телена рамка е набор от линии, които запълват повърхността, така че само една линия на телената рамка минава през всяка точка от повърхността.

На една и съща повърхност, в зависимост от детерминантата, могат да се представят други рамки. Ако в детерминантата на цилиндрична повърхност образуващата и направляващата са разменени и приемаме, че кривата Аще бъде образуваща, която се движи успоредно на себе си и пресича водача през цялото време л, тогава ще се получи друг еднопараметърен кадър (фиг. 2.36, b).

Ако на повърхността са изградени две рамки, тогава ще се получи двупараметърна рамка (фиг. 2.36, V). Две рамкови линии минават през всяка точка от повърхността, определена от двупараметърен скелет.

2.4.3. Задаване на повърхност, която няма детерминанта. Има неправилни повърхности, които включват манекен, капак на обувка, каросерии на автомобили, фюзелажи на самолети, корпуси на морски и речни кораби, релеф земната повърхности т.н. Такива повърхности се наричат графика и са дадени от отделна рамка. Най-често линиите на тази рамка са плоски криви, успоредни на всяка проекционна равнина. Ако равнините на линиите на рамката са успоредни на хоризонталната проекционна равнина, тогава такива линии се наричат ​​хоризонтални.

2.4.4. Контур на повърхността. Пресечната линия на проектиращата повърхнина, обхващаща дадената повърхнина, с проекционната равнина се нарича очертание на повърхнината. . На фиг. 2.37 показва проекцията на сферата Tдо самолета П 1. Набор от хоризонтално проектирани лъчи, допирателни към повърхността на сферата, образуват обвивка на хоризонтално проектирана цилиндрична повърхност Е. Пресечна линия ЕИ П 1представлява хоризонтално очертание на повърхността - кръг а 1.

Очертаната линия на повърхнина е линията, по която обгръщащата издадена повърхнина докосва дадената повърхнина. В нашия случай контурната линия ще бъде големият кръг на сферата А(екватор).

Изображенията на повърхностите, дадени от определителя, не винаги са визуални. Изображенията на повърхностите са по-визуални с помощта на скици. Очертанията на една повърхност почти винаги включват нейната детерминанта. Когато конструирате проекции на точка, лежаща върху повърхност, изобразена от скица, е необходимо първо да изберете проекциите на детерминанта и след това, като използвате алгоритъма на детерминанта, да конструирате проекциите на точката.

На фиг. 2.38 Аповърхността на наклонен елиптичен цилиндър е дадена с детерминанта, а на фиг. 2.38 bскица. Хоризонтален контур е линия, състояща се от сегменти от прави линии и криви. ; челното очертание е успоредник.

Образуващите на хоризонталното очертание и и образуващите на челното очертание и не съвпадат една с друга. От проекциите на есето може да се отдели геометричната част на детерминантата, която ще се състои от елипса и някаква образуваща, например.

2.4.5. Равнинни проекции. Една равнина може да се разглежда като специален случай на повърхност. Самолет Σ може да се образува поради движението на праволинейна образуваща луспоредна на себе си, докато образуващата пресича всички точки на насочващата права А(фиг. 2.39). Детерминантът на равнината в този случай има формата: Σ (А, л).

От геометрията е известно, че равнините са напълно детерминирани:

1) Три точки А, INИ СЪС, които не лежат на една права линия (фиг. 2.40, А).

2) Направо Аи точка Аизвън него (фиг. 2.40, b).

3) Две успоредни прави АИ b(фиг. 2.40, V).

4) Две пресичащи се линии АИ b(фиг. 2.40, Ж).

Задаване на равнина с пресичащи се прави АИ b(фиг. 2.40, Ж) може да се разглежда като универсален начин за дефиниране на равнина, тъй като всички останали могат да бъдат сведени до нея. Така например, ако равнината е дадена с три точки А, INИ СЪС(фиг. 2.40, А), след това като свържете точките Ас INИ INс СЪС, получаваме пресичащи се прави ABИ слънце.

2.4.6. Видове равнини според разположението им в пространството. Според местоположението спрямо проекционните равнини равнината може да бъде разделена на три типа:

1) самолет обща позиция - равнини, които не са успоредни и не са перпендикулярни на проекционните равнини;

2) самолет проектиране - равнини, перпендикулярни на произволна проекционна равнина;

3) самолет ниво - равнини, успоредни на една от проекционните равнини и перпендикулярни на другите две.

Помислете за някои от характеристиките на всеки от изброените видове самолети.

Самолети в обща позиция. На фиг. 2.40 са показани равнини с общо положение. Характерно за тези равнини е, че определящите ги елементи (точки, прави линии и др.) не се сливат в права линия на нито една проекция, т.е. не лежат на една права.

На фиг. 2.41 даден самолет Σ () и една проекция А 2точки Апринадлежащ на самолета Σ . Ще приемем, че А- ръководство, b- образуваща на равнината Σ . Имайки предвид, че всички генератори са успоредни един на друг и всички се пресичат с водача, ще изпълним следните конструкции:

1) През точка А 2нека извършим проекцията на образуващата м2║б 2и изградете точка К 2кръстовища м2с а 2(Етап 1).

2) На комуникационната линия и нататък а 1намирам К 1(етап 2).

3) Чрез К 1извършвам m 1║b 1(етап 3).

4) Използване на комуникационната линия на m 1намирам A 1(етап 4).

В тази конструкция генераторът m 1, лежащ в самолета Σ , е построен върху точка и известна посока. Въпреки това, когато се конструира точка, лежаща в равнина, може да се използва не само образуващата, лежаща в равнината. На фиг. 2.42 хоризонтална проекция на точка Аконструиран с помощта на произволна линия. По същото време са извършени следните строежи:

1) Чрез дадена проекция А 2начертайте произволна линия м2и като се има предвид това млежи в самолета Σ (), маркирайте точките на неговото пресичане К 2И М 2с а 2И б 2(Етап 1).

2) Сграда К 1И М 1На а 1И b 1използване на комуникационни линии (етап 2).

3) Свързване К 1И М 1и получи m 1(етап 3).

4) Включено m 1с помощта на комуникационна линия намираме A 1(етап 4).

очевидно, за да се построи точка в равнина, е необходимо да се начертае права в тази равнина и след това да се вземе точка от правата. При което Една права е в равнина, ако минава през две точки в равнината.

Проектиращи равнини.Има три типа проектиращи равнини:

1) Хоризонтална проекция , перпендикулярно П 1.

2) предна изпъкналост , перпендикулярно П 2.

3) Проектиране на профили , перпендикулярно П 3.

Когато изобразявате прожектиращи равнини, трябва да имате предвид, че проекцията със същото име на такава равнина винаги се изражда в права линия, както беше показано по-рано. Тази линия се нарича основна проекция или следващия проектираща равнина; тази проекция се нарича още изродени . За да се разграничи проектиращата равнина от правата линия, основната проекция на проектиращата равнина на чертежа често се изобразява с удебелен край.

На фиг. 2.43, Апоказва се визуално изображение на произволна хоризонтално проектирана равнина Σ (А║b) и неговата основна проекция Σ 1. Изчерпателен чертеж на тази равнина е показан на фиг. 2.43, b. Всички точки, лежащи в равнината, се проектират върху главната проекция на равнината.

Равнина на фронтална проекция T(с д) е показано на фиг. 2.44 А, профилно-проектираща равнина Ж (д f) - на фиг. 2.44 bи профилно-проектираща равнина Р (А ║ b) - на фиг. 2.44 V.

Поради проективното свойство цитиращите равнини могат да бъдат дефинирани чрез една от техните основни проекции (по-нататък изродена проекция). На фиг. 2.45 е зададена равнината на предната проекция Σ .

От стереометрията е известно, че равнините са перпендикулярни, ако една от тях минава през перпендикуляр на другата. Следователно във всяка проектираща равнина е възможно да се построи проектираща линия със същото име. На фиг. 2.43, bв самолета Σ (А║b) е построена хоризонтално проектираща се права линия с. На фиг. 2.44 Ав самолета T (с д) се построява фронтално издадена права линия f .

В самолети Ж (д f) (фиг. 2.44, b) И Р (А ║ b) (фиг. 2.44, V) има прави, перпендикулярни П 3. Следователно тези равнини са профилни. По този начин равнините, проектиращи профила, могат да бъдат определени само чрез проекции върху П 1И П 2.

Въпросът дали точка и права принадлежат на проектираща равнина се решава по-просто, отколкото в равнина в общо положение. Проекцията на точка или права винаги е в главната проекция на равнина, изродена в права. И така, на фиг. 2.46, Апоказани са точкови проекции А, а на фиг. 2.46 б -прав Апринадлежащи съответно на хоризонтално проектиращата се равнина Σ и предна проектираща равнина T.

Нивелирани равнини.Има три типа нивелирани равнини:

1)Хоризонтална равнина, паралел П 1и перпендикулярно П 2И П 3.

2)Фронтален равнина, паралел П 2и перпендикулярно П 1И П 3.

3)Профил равнина, паралел П 3и перпендикулярно П 1И П 2.

Ниво равнини могат да бъдат наречени двойно проектиране , тъй като всяка от тях е перпендикулярна на две проекционни равнини.

От свойството за проектиране следва, че равнините на нивото се проектират в линии, всяка върху две проекционни равнини. На фиг. 2.47 е визуално представяне на хоризонталната нивелирана равнина Σ . характерна особеностчертежи на равнини на ниво е успоредността на основната (дегенерирана) проекция на равнината на една от осите на чертежа. На фиг. 2.47 Σ ║ П 1И Σ П 2, Σ П 3. Нека докажем това Σ 2 ║ х 12.

Известно е, че Ако две успоредни равнини се пресекат от трета равнина, тогава се образуват успоредни прави. При пресичане П 2И П 1образува се ос х 12. При пресичане П 2с Σ се формира основната му проекция Σ 2. По същия начин се доказва, че Σ 3 ║ 3.

хоризонтална равнина Ж (А b) е показано на фиг. 2.48 А, челна равнина T (А ║ b) - на фиг. 2.48 b, профилна равнина Ω (∆ ABC) - на фиг. 2.48 V.

2.4.7. Примери за инцидентност . Разгледайте няколко задачи за взаимната принадлежност на точка и права линия.

1) През точка Аначертайте обща равнина Σ (А b), Където А ║ П 1И b ║ П 2(фиг. 2.49, А).

Решение:през точка А(A 1, А 2) извършваме хоризонтални проекции А ║ П 1и челни b ║ П 2. Възможни са и други варианти. Да, през точката Ачовек може да начертае хоризонтална или фронтална и да я пресече с линия в общо положение. Възможно е и чрез точката Аначертайте две прави линии в общо положение. В този случай обаче е необходимо да се провери липсата на профилно-прожектиращи линии в получената равнина, чието наличие показва получаването на профилно-проектираща равнина.

2) Сключете права линия А(а 1, а 2) с общо положение в хоризонтално проектиращата равнина Σ , като го зададе като основна проекция Σ 1 (фиг. 2.49, b).

Решение:изпълнете основната проекция Σ 1 съвпадаща с хоризонталната проекция а 1.

3) Постройте хоризонтална проекция на права линия bв общо положение пресичащи се с права линия Атака че и двете прави да принадлежат на хоризонтално проектираната равнина T(фиг. 2.49, V).

Решение:извършете фронтална проекция на права линия bтака че б 2не е било успоредно или перпендикулярно х 12, и хоризонталната проекция b 1съвпадна с а 1. Основна проекция Т 1самолет Tв този случай съвпада с хоризонталните проекции на пресичащите се линии АИ b.

4) Пресечете линията Апряка частна позиция дтака че двете линии да са затворени в хоризонтално проектирана равнина Ж(фиг. 2.49, Ж).

Решение: директен Апресичат хоризонтално стърчащата линия навсякъде д. Основна проекция G 1хоризонтално проектирана равнина Жсъвпада с хоризонталните проекции а 1И d1директен.

5) Сключете права линия Ав равнината на проектирането на профила Ψ (фиг. 2.50, А).

Решение:в най-простия случай пресичаме правата Апрофилно-проектираща линия b П 3. Две пресичащи се линии АИ bобразуват профилно-проектираща равнина Ψ , защото ако има перпендикуляр към друга равнина в една равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни една на друга.

6) Чрез точката Аначертайте хоризонтална проекционна равнина Σ (фиг.2.50, b).

Решение:през точка A 1произволни, но не перпендикулярни или успоредни х 12изпълнете основната проекция Σ 1самолет Σ.

7) Чрез точката INначертайте хоризонтална равнина T(фиг. 2.50, V).

Решение:през точка НА 2изпълнете основната проекция Т 2самолет Tпаралелен х 12.

2.4.8. Успоредност на права и равнина . Известно е, че една права е успоредна на равнина, ако е успоредна на която и да е права в тази равнина. Нека, например, през точката Ме необходимо да се направи директен добща позиция, успоредна на равнината, дадена като триъгълник - Σ (ABC) (фиг. 2.51).

Решение : в самолета Σ (ABC) чертаем произволна права линия в общо положение ЕД(E 1 D 1,E 2 D 2). По-нататък през точката М 1направете хоризонтална проекция d 1 ║ E 1 D 1и предна проекция d 2 ║E 2 D 2прав д.

Ако чрез точка ДА СЕтрябва да са хоризонтални bуспоредна на равнината Σ (ABC),тогава конструкциите трябва да се извършват в следната последователност:

1) Изграждаме фронтална проекция A 2 D 2хоризонтална ADуспоредна на оста х 12.

2) В проекционната връзка намираме хоризонталната проекция A 1 D 1.

3) Чрез точки К 1И К 2правят прогнози b 1 ║ A 1 D 1И b 2 ║ A 2 D 2желаната хоризонтала b. Трябва да се отбележи, че изобщо не е необходимо да се начертае хоризонтална линия през точка А, което препоръчваме на читателя да провери.

2.4.9. успоредни равнини.За да построим успоредни равнини, използваме знака за техния паралелизъм, известен от стереометрията: "Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от втората равнина."

Нека се изисква чрез точка ДА СЕ(фиг. 2.52) начертайте равнина Σ (А b) успоредна на равнината T (с д). За решаване на задача чрез точка ДА СЕизвършвам А ║ стака че а 1║ от 1И а 2║ от 2, И b ║ д, да се b 1 ║ d1И б 2 ║ d2.

На фиг. 2.53 проблемът се разглежда, когато е директен АИ bзатварят в двойка успоредни равнини. Условието на задачата е дадено на фиг. 2.53, А. За да го решим, вземаме прави линии АИ bпроизволни точки ДА СЕИ М(фиг. 2.53, b). По-нататък през точката ДА СЕначертайте права линия с ║ b, и през точката Мдиректен д ║ А. В резултат на това получаваме успоредни равнини Σ (А с) И T (b д), защото две пресичащи се прави АИ ссамолет Σ са съответно успоредни на две пресичащи се прави bИ дсамолет T.

2.4.10. Построяване на равнинни проекции при замяна на проекционни равнини.За да се изградят проекции на равнината при подмяна на проекционната равнина, равнината трябва да бъде определена от три точки. При конструирането всяка точка, която определя равнина, се трансформира подобно на разгледаното по-рано при замяна на проекционни равнини. На фиг. 2.54 показва трансформацията на равнината с произволна замяна на проекционната равнина П 2На P 4.

Най-сложното положение на равнината в пространството е общата равнина, по-простата е проектиращата равнина, а най-простата е равнината на нивото. При решаване на задачи равнината обикновено се поставя от по-сложна позиция към по-проста. Така поредица от равнинни трансформации има формата: обща равнина → проектираща равнина → равнина на ниво.

Нека направим първата трансформация. Нека е дадена равнина в общо положение Σ (ABC) (Фиг. 2.55) и трябва да се преобразува в предно проектиране. Проектиращата равнина винаги съдържа проектираща права. Всяка права линия може да се трансформира в проектираща чрез замяна на проекционните равнини: линия на общо положение - с помощта на две трансформации, линия на ниво - с помощта на една трансформация.

За да разрешим проблема, извършваме първата трансформация. За това:

1) В самолет Σ (ABC) изградете хоризонтал AE (A 2 E 2, A 1 E 1).

2) Поставяме AEдо изпъкналата позиция чрез подмяна П 2На P 4, и х 14 A 1 E 1.

3) Проектирайте триъгълника върху нова равнина P 4. В същото време в системата П 1–P 4триъгълник ABC- проектиране. Новата му фронтална проекция A 4 B 4 C 4представлява права линия.

Нека направим втората трансформация. В системата П 1–P 4(фиг. 2.53) Σ (ABC) е равнина с предна проекция и трябва да се преобразува в равнина на ниво. Всяка равнина на ниво е успоредна на една проекционна равнина и перпендикулярна на другите две. В такъв случай Σ (ABC) P 4. Следователно, ако заменим П 1На P 5, поставяне P 5 ║ Σ (ABC), след това в системата P 4–P 5самолет Σ (ABC) става равнинна равнина.

Да правим конструкции. За това:

1) Нека начертаем ос х 45 ║ Σ 4.

2) В системата P 4–P 5изграждане на проекции на точки A 5, НА 5И От 5. Проекция на триъгълник A 5 B 5 C 5представлява неговия естествен размер, тъй като самолетът Σ (ABC) ║ P 5. При трансформирането на обща равнина в хоризонтална позиция бяха извършени две последователни трансформации. Първо беше сменена една проекционна равнина, след това друга.

2.4.11. Класификация на повърхността.Ще класифицираме повърхностите според два критерия:

Във формата на генератора:

1) Равнините, полиедричните повърхности и линейчатите криви повърхности имат праволинейна образуваща.

2) Криволинейна образуваща, непроменлива и променлива, - всички други криви повърхности.

Според разгръщаемостта на повърхността към равнината:

1) Възможност за разгръщане.

2) Не може да се разгръща.

Разгръщането е такава изометрична деформация на повърхността, при която тя може да се комбинира с равнината.

Изометричната повърхностна деформация се нарича огъване. При огъване линейните сегменти, разположени на повърхността, не променят дължината си. Ако една повърхност може да бъде подравнена с равнина без бръчки или счупвания, тогава тя разгръщаем . Повечето повърхности не са съвместими с равнина без гънки и счупвания и се наричат неразгръщаем .

Развиваеми са полиедричните повърхнини и част от линейчатите - цилиндрични, конични и торс. За разгръщаемостта на самолета няма нужда да говорим - той може да се комбинира с всеки самолет.

Помислете за характеристиките на конструирането на изображения на определени видове повърхности.

2.4.12. Многостенни повърхнини и полиедри . Счита се за , Какво Полиедричната повърхност е повърхност, образувана от части (по отделения) пресичащи се равнини.

Повърхността на многостенния ъгъл е повърхност, чиито ръбове и лица се пресичат в една точка.(Горна част) . Ако пресечете повърхността на полиедрален ъгъл с равнина, тогава се образува геометрична фигура - пирамида.

Повърхността на полиедърния ъгъл може да се получи чрез преместване на образуваща, която винаги минава през върха на ъгъла и в същото време се плъзга по водещия многоъгълник.

Ако върхът на многостенен ъгъл се отведе до безкрайност, тогава краищата на повърхността стават успоредни и a призматична повърхност .

Ако ограничим призматичната повърхност до две успоредни плоски основи, тогава се образува геометрична фигура - призма .

Дефинаторът на многостенна повърхност включва водещ многоъгълник, връх за многостенен ъгъл и някакъв ръб за призматична повърхност.

На фиг. 2.56 показва повърхността на многостенен ъгъл Е (ABCD, С) в пространствено изображение с водещ четириъгълник ABCDи отгоре С. На фиг. 2.56 Адетерминантата на повърхността е дадена. На фиг. 2.56 bизгражда се повърхностна рамка.

+

На фиг. 2.57 Апоказана призматична повърхност Е (ABC, л) в пространствено изображение с водещ триъгълник ABCи генериране л; на фиг. 2.57 bе показана призма.

Детерминантата на пирамидата може да бъде нейната основа и връх. Детерминантата на призмата е нейната основа и един страничен ръб или един връх на другата основа.

Когато изобразяват полиедри, те се опитват да ги подредят така, че върху проекциите техните ръбове и лица да се проектират възможно най-далеч без изкривяване или с най-малко изкривяване.

От цялото разнообразие от полиедрични повърхности, като пример, помислете за последователността на конструиране само на правилни тристенни прави призми и пирамиди.

Права тристенна правилна призма.На фиг. 2.58 Апредвид графичната задача на призмата Е (ABC, ) по неговия детерминант. За да получите сложен чертеж на призма (фиг. 2.58, b), е необходимо да завършите два хоризонтално стърчащи ръба INИ СЪСи три хоризонтални ръба на горната основа и .

Нека анализираме елементите на страничната повърхност на призмата.

Страничните ребра са хоризонтално издадени прави линии. Ръбовете на основите са хоризонтали, от които ръбовете ACи - профилно-прожектиращи прави линии.

Страничните лица са хоризонтално изпъкнали равнини, от които лицето е фронталната равнина. Основите са хоризонтални равнини. При хоризонтална проекция двете основи и техните ръбове се проектират в пълен размер. На предната проекция страничните ръбове и задната лицева страна се проектират в пълен размер.

Разгледайте примери за инциденти. Нека проекцията К 2точки ДА СЕ. намирам К 1, като приемем, че точката лежи върху видимата страна на призмата (фиг. 2.58, b).

На предната проекция лицата и се виждат, лицето не се вижда. Затова смятаме, че точката ДА СЕлежи върху видимото лице и неговата хоризонтална проекция К 1пада върху изродената проекция на лицето (проектиращата следа на лицето).

Нека проекцията М 1точки М. намирам М 2, като приемем, че точката лежи върху видимата основа на призмата.

Допирателните равнини се използват широко при решаване на различни позиционни задачи върху повърхността.

1. Построяването на допирателни равнини към повърхности е в основата на теорията на сенките. При конструирането на сенки се изграждат допирателни равнини към повърхности или минаващи през точка, разположена на повърхността, или успоредни на дадена посока.

2. Допирателните равнини към повърхностите на конуса и цилиндъра, успоредни на дадена посока, се използват за определяне на линията на пресичане на тези тела с равнината на общото положение, най-близо и най-отдалечено от равнините на проекциите на точките на крива, без да конструира тези криви (вж. Bubennshchiv § 68).

3. Допирателните равнини се използват при конструирането на съседни еднолентови хиперболоиди на въртене при проектирането на хиперболични зъбни колела. При предавки с кръстосани валове. (виж Тамбури § 68)

4. Допирателните равнини се използват и при изграждането на очертанията на повърхности (очертания).

Нека разгледаме този проблем по-подробно.

Както знаете, контурът на повърхността (тялото) се получава като проекция на контурната линия върху задната проекционна равнина (например P 1) (виж фиг. 7.5). Спомнете си, че контурната линия е линията, по която множеството равнини P, перпендикулярни на равнината P 1, докосват даденото тяло T (фиг. 10.13). Обвивката на това семейство от допирателни равнини ще бъде някаква цилиндрична лъчева повърхност Ф, също перпендикулярна на П 1 .

Фигура 10.13

Контурната линия m разделя тялото на две части, едната от които се вижда на дадена равнинапроекции P 1 , а другата невидима. Във всяка точка на контурната линия двете повърхности - тялото и цилиндричният лъч - имат обща допирателна равнина P. Линията на пресичане m 1 на цилиндричната повърхност на лъча Ф с равнината P 1 и е контур на тялото. Ако приемем, че цилиндричната лъчева повърхност се състои от светлинни лъчи, докосващи непрозрачно тяло, тогава контурът на тялото е линия, която ограничава сянката на тялото в равнината P 1. Тази линия на проекционните равнини също се нарича линия на видимост.

Фигура 10.13 показва, че контурът на топката на равнината P 1 ще бъде проекцията на екватора m (m 1), който се проектира върху равнината P 2 под формата на права линия, успоредна на оста OX. Контурът на топката върху равнината P 2 ще бъде проекцията на нейния главен меридиан.

На фигура 10.14 ще има правоъгълник (главен меридиан). Очертанието върху равнината P 1 се определя от две допирателни лъчеви равнини, перпендикулярни на равнината P 1 . Тези равнини докосват цилиндъра по двете екстремни генератори AB и CD, чиито проекции в равнината P 2 съвпадат. Хоризонталните проекции A 1 B 1 и C 1 D 1 заедно с външните повърхности (проекциите на окръжностите на основите) определят контура на цилиндъра върху равнината P 1 .

Фигура 10.14

В общия случай, за да изградите очертание на тяло в равнината P 1, първо трябва да изградите проекция на контурната линия в равнината P 2, по която тялото е обвито от повърхност с цилиндричен лъч, и след това да го проектирате върху равнината P 1.

Изграждането на контурна линия е най-лесно да се реализира с помощта на вписани сфери.

Пример 8. Изградете върху хоризонтална проекция контур на конус, чиято ос i е успоредна на равнината P 2 и наклонена към равнината P 1. (Фиг. 10.15)

Решение. Не е трудно да се види, че контурът на конуса в равнината P 2, ограничен от главния меридиан m, напълно определя формата на повърхността на конуса.

Фигура 10.15

И за да изградим хоризонтално очертание от всяка точка C (C 2), лежаща на оста i, начертаваме сфера, докосваща конуса по окръжността k (k 2). Челната му проекция е права линия, перпендикулярна на оста (i 2), като коаксиални тела.

Прекарваме екватора q 2 през центъра на сферата и намираме точката A 2 нейната пресечна точка с окръжността k 2 . Свързвайки точките S 2 и A 2, получаваме контурната линия. Проектирайки точка A 2 върху хоризонталната проекция на екватора, получаваме две точки A 1, която заедно с върх S1и задайте хоризонталното очертание на контура n 1 . Имайте предвид, че фронталната проекция n 2 ​​на хоризонталния контур не съвпада с проекцията на оста i 2 .

Пример 9. Изграждане на хоризонтална проекция P 1 Скица на детайлите на въртене, чиято ос I е успоредна на равнината P 2 и наклонена към равнината П 1. Повърхността на частта се състои от конус на въртене (S, k) и тор, чиято образуваща е дъга от окръжност с радиус Рцентриран в точка ОТНОСНО. (фиг. 10.16)

Фигура 10.16

Решение:

1. Очертанията на фронталната проекция - това е основният меридиан - напълно задава формата на частта.

2. Очертанието на хоризонталната проекция е изградено от елипсата на горната основа, пространствената крива и очертанието на конуса.

3. Построяваме елипса по две оси – малка 1 1 2 1 и голяма 1 2 2 2 .

4. Изграждаме контура на конуса съгласно пример 8 (фиг. 10.15).

6. За да изградим контурна линия върху повърхността на тора, ние вписваме редица сфери в нея. Центровете на сферите C 2 лежат в точките на пресичане на оста на въртене i 2 с радиуса R, изтеглен от точката O 2 към меридиана. Сферите се допират до тора по успоредниците k 2 .

7. Равнините, допирателни към тора, също са допирателни към спомагателните сфери в точките A 2 на пресечната точка на екваторите q2сфери с успоредници k 2 .

8. Хоризонтални проекции A 1 от тези точки се определят в пресечната точка на комуникационните линии с хоризонталната проекция на екватора q1.

9. Редица точки се намират чрез подобни конструкции (например B 2). Наборът от точки образува контурна пространствена крива l 2 .

10. Хоризонталната проекция l 1 ще даде контура на тора.

11. И така, очертанието на детайла е съставна плоска крива от очертанията на контура n 1, торуса l 1 и елипсата.

Всяка повърхност на една от страните му може да бъде насочена към наблюдателя и тогава тази страна ще бъде видима. В противен случай страната на повърхността няма да се вижда от гледната точка. Възможно е да се види само част от страната на повърхността. В този случай върху повърхността може да се начертае линия, разделяща видимите и невидимите чисти повърхности. Линията на скица е линия върху повърхност, която разделя видимата част на повърхността или лицето от нейната невидима част.

Ориз. 9.5.1. Линейни проекции на повърхностна скица

Ориз. 9.5.2. Проекции на мрежа от многоъгълници и контурни линии

На фиг. 9.5.1 показва линиите на контура на повърхността. На фиг. 9.5.2 показва контурните линии заедно с повърхностната мрежа.

При пресичане на линията на контура нормалата на повърхността променя посоката си спрямо зрителната линия. В точките на контурната линия нормалата на повърхността е ортогонална на зрителната линия. В общия случай може да има няколко контурни линии близо до повърхността. Всяка линия от контура е пространствена крива. Тя е или затворена, или завършва в краищата на повърхността. За различни посоки на гледане има набор от контурни линии, следователно, когато повърхността се завърти, контурните линии трябва да бъдат изградени наново.

паралелни проекции.

За някои повърхности, например сфера, цилиндър, конус, контурните линии са изградени доста просто. Нека разгледаме общия случай на изграждане на линии на контура на повърхността.

Нека се изисква да се намерят контурните линии на повърхнината, описана от радиус вектора.Всяка точка от контурната линия за успоредна проекция върху равнината (9.2.1) трябва да удовлетворява уравнението

където е нормалата към повърхността, за която се изгражда линията на скицата. За повърхност, описана от радиус-вектора, нормалата също е функция на параметрите и . Скаларното уравнение (9.5.1) съдържа два необходими параметъра u, v. Ако зададете един от параметрите, тогава другият може да бъде намерен от уравнение (9.5.1), т.е. единият от параметрите е функция на другия. За равенство на параметрите те могат да бъдат представени като функции на някакъв общ параметър

Резултатът от решаването на уравнение (9.5.1) е двумерна линия

на повърхността Тази линия е очертанието на повърхността.

Ще конструираме линия на скица от подреден набор от точки, които удовлетворяват уравнение (9.5.1). Под точки имаме предвид двойка повърхностни параметри, които са координатите на двумерни точки на параметричната равнина. Имайки отделни точки от очертаната линия, разположени в техния ред и на определено разстояние една от друга, винаги е възможно да се намери всяка друга точка от линията. Например, за да намерим точка, лежаща между две дадени съседни точки на контурната линия, начертаваме равнина, перпендикулярна на сегмента, свързващ съседни точки, и намираме обща точка за повърхността и равнината, като решаваме три скаларни уравнения за пресичане заедно с уравнението ( 9.5.1). Позицията на равнината върху сегмента може да бъде зададена чрез параметъра линия. От крайните точки на сегмента се определя нулевото приближение за желаната точка. По този начин наборът от отделни двумерни точки на контурната линия на повърхността служи като нулево приближение на тази линия, чрез която един от числените методи винаги може да намери точното положение на точката. Алгоритъмът за изграждане на контурни линии на повърхността може да бъде разделен на два етапа.

На първия етап намираме поне една точка на всеки ред на скицата. За да направите това, вървейки по повърхността и изследвайки знака на скаларния продукт в съседни точки, намираме двойки точки на повърхността, в които знакът се променя. Вземайки като нулево приближение средните стойности на параметрите на тези точки, един от числените методи ще намери параметрите на точката на контурната линия. Нека, например, когато се движите от точка до точка, близка до нея, сменете знака. След това настройка с помощта на итеративния процес на метода на Нютон

или итеративен процес

намерете параметрите на една от точките на контурната линия. Производните на нормата се определят от формулите на Weingarten (1.7.26), (1.7.28). По този начин получаваме набор от точки за контурните линии. Точките от набора, получени на първия етап, не са свързани помежду си по никакъв начин и могат да принадлежат към различни контурни линии. Важно е само поне една точка да присъства от всяка контурна линия в комплекта.

На втория етап вземаме произволна точка от съществуващия набор и, движейки се от него с някаква стъпка, първо в едната посока, а след това в другата, намираме точка по точка желания набор от точки на очертаната линия. Посоката на движение дава вектора

където - частни производни на нормата - частни производни на радиус вектора на повърхността по отношение на параметрите .

Знакът пред члена съвпада със знака на скаларното произведение Стъпката на движение се изчислява в съответствие с кривините на повърхнините в текущата точка по формула (9.4.7) или по формула (9.4.8). Ако

тогава по формула (9.4.7) даваме увеличение на параметъра u и по формула (9.5.4) намираме съответстващия му параметър v на повърхността. В противен случай по формулата (9.4.8) ще дадем увеличение на параметъра и по формулата (9.5.5) ще намерим параметъра, съответстващ на него и повърхността. Ще завършим движението по кривата, когато достигнем ръба на една от повърхностите или когато линията се затвори (новата точка ще бъде на разстоянието на текущата стъпка от началната точка).

В процеса на движение ще проверим дали точките от набора, получен на първия етап, се намират близо до маршрута. За да направим това, по маршрута ще изчислим разстоянието от текущата точка на контурната крива до всяка точка от набора, получен на първия етап. Ако изчисленото разстояние до която и да е точка от набора е съизмеримо с текущата стъпка на движение, тогава тази точка ще бъде премахната от набора като по-ненужна. Така получаваме набор от отделни точки на един ред от есето. В този случай наборът от точки, получени на първия етап, няма да съдържа точки от тази линия. Ако в набора са останали повече точки, тогава дадената повърхност има поне още една контурна линия.

Ориз. 9.5.3. контурни линии на тялото

Ориз. 9.5.4. Тяло на въртене

Намираме множеството от неговите точки, като вземем произволна точка от множеството и повторим втория етап от построяването. Ще завършим изграждането на линии, когато в комплекта не остане нито една точка. Използвайки описания метод, ще изградим контурните линии на всички лица на модела.

Контурните линии на лицата са контурните линии на техните повърхности. Контурната линия на тялото ще бъде видима, ако не е покрита от лице, което е по-близо до гледната точка. На фиг. 9.5.3 показва контурната линия на тялото на въртене, показано на фиг. 9.5.4. Проекцията на контурната линия може да има прекъсвания и издатини, но самата контурна линия е гладка.

Точките на прекъсване в проекцията възникват там, където допирателната на очертанието е колинеарна на вектора

За да построим проекцията на контурната линия, ще изградим нейния многоъгълник, чиято проекция ще се приеме за проекция на контурната линия.

централни проекции.

Контурните линии в централните проекции удовлетворяват уравнението

(9.5.7)

където - нормална повърхност - радиус-вектор на точката на наблюдение. Контурната линия за централната проекция се различава от контурната линия за паралелната проекция, въпреки че алгоритмите за тяхното изграждане са сходни. Вместо постоянен вектор в (9.5.7) има вектор, чиято посока зависи от проектираната точка. Скичната линия за централната проекция също представлява определена крива на повърхността, описана от зависимостите (9.5.3), и е пространствена крива. Тази линия трябва да бъде проектирана върху равнината съгласно правилата за конструиране на централната проекция на пространствена линия.

На фиг. 9.5.5 показва паралелна проекция на контурните линии на тора, а на фиг. 9.5.6 за сравнение е показана централната проекция на контурните линии на тора. Както можете да видите, тези прогнози са различни.

Ориз. 9.5.5. Успоредна проекция на контурните линии на торуса

Ориз. 9.5.6. Централна проекция на контурните линии на торуса

Алгоритъмът за конструиране на контурни линии за централната проекция на повърхност, описана от радиус вектор, се различава от алгоритъма за конструиране на контурни линии за успоредна проекция на тази повърхност по това, че на първия етап ще търсим повърхностни точки, в които скаларното произведение сменя знака. За да се определят тези точки, вместо формули (9.5.4) и (9.5.5), трябва да се използват формулите

и формули

съответно. В противен случай алгоритъмът за конструиране на контурни линии за проекцията на централната повърхност не се различава от алгоритъма за конструиране на контурни линии за паралелна проекция.

На фиг. 354 е показан прав кръгъл конус, чиято ос е успоредна на квадрата. π 2 и наклонена към квадрата. π 1 Дадено е очертанието на неговата фронтална проекция: представлява равнобедрен триъгълник S"D"E.Трябва да се построи очертание на хоризонталната проекция.

Желаното очертание е съставено от част от елипса и две прави линии, допирателни към нея. Наистина, конусът в дадената му позиция се проектира върху квадрата. π 1 с помощта на повърхността на елиптичен цилиндър, чиито образуващи минават през точките от обиколката на основата на конуса, и с помощта на две равнини, допирателни към повърхността на конуса.

Елипса върху хоризонтална проекция може да бъде построена по двете й оси: малка D "E" и голяма, равна по размер на D "E" (диаметърът на обиколката на основата на конуса). Правите S "B" и S "F" се получават чрез изчертаване на допирателни към елипсата от точка S ". Конструкцията на тези линии се състои в намиране на проекциите на онези генератори на конуса, по които конусът и равнините, споменати по-горе влизат в контакт , За това сфера, вписана в конус Тъй като равнината, проектирана върху π 1, докосва едновременно конуса и сферата, възможно е да се начертае допирателна от точка S "към окръжността - проекцията на екватора на сфера - и вземете тази допирателна като проекция на желаната образуваща. Конструкцията може да започне, като се намери точка А "- фронталната проекция на една от точките на желаната генератора. Точка А" се получава в пресечната точка на фронталните проекции: 1) кръгът на контакт между конуса и сферата ( линия M "N") и 2) екватора на сферата (линия K "L"). Сега можете да намерите проекцията A "на хоризонталната проекция на екватора и през точките S" и A "начертайте линия - хоризонталната проекция на желаната генератора. Точка B също се определя на тази линия, чиято хоризонтална проекция (точка B") е допирната точка на правата с елипсата.

С изграждането на очертанията на проекциите на конуса на въртене срещаме, например, в този случай: като се имат предвид проекциите на върха на конуса (S", S "), посоката на неговата ос (SK), размерите на височината и диаметъра на основата; конструиране на проекции на конуса. На фиг. 355 това се прави с помощта на допълнителни проекционни равнини.

И така, за изграждане на фронтална проекция, кв. π 3 перпендикулярна на π 2 и успоредна на правата SK, която определя посоката на оста на конуса. Върху проекцията S""K"" е нанесена отсечката S""C"", равна на дадената височина на конуса. В точка C"" е начертан перпендикуляр на S""C"" и върху него е начертана отсечка C""B"", равна на радиуса на основата на конуса. Чрез точки C"" и B"" се получават точките C" и B" и така се получава малката полуос C"B" на елипсата-фронтална проекция на основата на конуса. Сегментът C"A", равен на C""B"" представлява голямата полуос на тази елипса. Имайки осите на елипсата, е възможно да я конструирате, както е показано на фиг. 147.

За построяване на хоризонтална проекция се въвежда проекционната равнина π 4, която е перпендикулярна на π 1 и успоредна на SK. Напредъкът на конструкцията е подобен на описания за предната проекция.

Как да изградим проекционни скици? На фиг. 356 показва различен от фиг. 354, методът за начертаване на допирателна към елипса - без сфера, вписана в конус.

Първо, с радиус, равен на малката полуос на елипсата, се изчертава дъга от нейния център (на фиг. 356 това е една четвърт от кръга). Определя се точка 2 на пресичането на тази дъга с окръжност с диаметър S"C". От точка 2 се прекарва права линия, успоредна на голямата ос на елипсата; това

линията пресича елипсата в точки K "1 и K 2. Сега остава да начертаем прави линии S "K" 1 и S "K" 2, те са допирателни към елипсата и са включени в очертанията на фронталната проекция на конуса.

На фиг. 357 показва въртящо се тяло с наклонена ос, успоредна на квадрата. π 2. Това тяло е ограничено от комбинирана повърхност, състояща се от два цилиндъра, повърхност на кръгъл пръстен и две равнини. Скицата на предната проекция на това тяло е основният му меридиан.

Очертанието на хоризонталната проекция на горната цилиндрична част на дадено тяло е изградено от елипса и две прави, допирателни към нея. Правата A"B" е хоризонтална проекция на образуващата на цилиндъра, по която равнината, проектираща се върху π 1, докосва повърхността на цилиндъра. Същото важи и за скицата на проекцията на долния цилиндър (на фиг. 357 тази скица не е показана изцяло).

Да преминем към по-трудната част от есето – междинната. Трябва да построим хоризонтална проекция на тази пространствена крива линия, в чиито точки минават проектиращите линии, допирателна към повърхността на кръговия пръстен и перпендикулярна на квадрата. пи 1. Фронталната проекция на всяка точка от такава крива се конструира по същия начин, както беше направено за точка А "на фиг. 354, като се използват вписани сфери. Хоризонталните проекции на точките се определят върху проекцията на екватора на съответната сфера , Например точка D 1 (D" 1, D" 1).

Точките K "1 и K" 2 се получават от точката K "1 (известна още като K" 2) на екватора на сферата с център O и тази точка K "1 (K" 2) се получава чрез начертаване на комуникационна линия допирателна към построената крива B "D" 1 C".

И така, кривата B"D" 1 K" 1 съдържа фронтални проекции на точки, чиито хоризонтални проекции B", D" 1, K" 1 са включени в контура на хоризонталната проекция на разглежданото тяло.

Въпроси към §§ 53-54

1. Какво се нарича равнина, допирателна към извита повърхност в дадена точка от тази повърхност?
2. Какво се нарича обикновена (или правилна) точка на повърхност?
3. Как да построим равнина, допирателна към крива повърхност в някаква точка от нея?
4. Каква е нормалната повърхност?
5. Как да построим равнина, допирателна към сферата в някаква точка на сферата?
6. Кога извитата повърхност се класифицира като изпъкнала?
7. Може ли равнина, допирателна към извита повърхност в която и да е точка от тази повърхност да пресече последната? Дайте пример за пресичане на две линии.
8. Как се използват сфери, вписани в повърхност на въртене, чиято ос е успоредна на квадрата? π 2 , за да построим очертание на проекцията на тази повърхност върху квадрата. π 1 спрямо която оста на повърхността на въртене е наклонена под остър ъгъл?
9. Как да начертая допирателна към елипса от точка, лежаща върху продължението на малката й ос?
10. В какъв случай очертанията на проекциите на цилиндъра на въртене и конуса на въртене ще бъдат абсолютно еднакви върху квадрата. π 1 и pl. p2?

Министерство на образованието на Руската федерация

Саратовски държавен технически университет

ПОВЪРХНОСТИ

Насоки за изпълнение на задача 2

за студенти по специалности
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Одобрено

редакционно-издателски съвет

Държава Саратов

технически университет

Саратов 2003г

ВЪВЕДЕНИЕ

В практиката на машиностроенето са широко разпространени детайли с цилиндрична, конична, сферична, торична и спирална повърхност. Техническите форми на продуктите често са комбинация от повърхности на въртене със съвпадащи, пресичащи се и пресичащи се оси. Когато правите чертежи на такива продукти, става необходимо да се изобразяват линии на пресичане на повърхности, наричани още преходни линии.

Обичаен начин за конструиране на пресечни линии е да се намерят точките на тази линия с помощта на някои спомагателни режещи равнини или повърхности, понякога наричани "медиатори".

В тези насоки се разглеждат общи и частни случаи на конструиране на линии на пресичане на две повърхности и методи за конструиране на завъртания на повърхности.

1. ОСНОВНИ РАЗПОРЕДБИ.

В дескриптивната геометрия повърхността се разглежда като набор от последователни позиции на линия, движеща се в пространството, наречена образуваща.

Ако една от повърхностните линии се вземе за ориентир ри се движат по него по определен закон образуващата л, получаваме семейство повърхностни генератори, които определят повърхността (фиг. 1).

За да се дефинира повърхност на чертеж, е въведена концепцията за детерминанта на повърхността.

Детерминантата е набор от условия, необходими и достатъчни за еднозначно дефиниране на повърхност.

Детерминантата се състои от геометрична част, съдържаща геометрични фигури и закона за образуване на повърхността. Например геометричната част на детерминанта на формата а(л,р)на фиг. 1 са образуващи ли ръководство р, чиято позиция е дадена на чертежа. Закон за образованието: директно л, движейки се в пространството, винаги се докосва роставайки успоредни на посоката С. Тези условия еднозначно определят цилиндрична повърхност. За всяка точка в пространството е възможно да се реши проблемът за принадлежност към нейната повърхност (АÎ а, вÏ а).

Геометрична част от детерминантата на конична повърхнина b(q,С)се състои от ръководство ри върхове С(фиг. 2). Законът за образуване на конична повърхност: образуваща права линия л р, винаги минава през върха С, образувайки непрекъснат набор от прави линии на коничната повърхност.

Повърхностите, получени чрез непрекъснато движение, се наричат ​​кинематични. Такива повърхности са точни, правилни, за разлика от неправилни или произволни.

Повърхностите, образувани от движението на права линия, се наричат ​​линейка, кривата линия се нарича нелинейна.

Според закона за движение на генератора се разграничават повърхности с транслационно движение на генератора, с въртеливо движение на генератора - повърхности на въртене, със спирално движение на генератора - спирални повърхности.

Повърхностите могат да бъдат дефинирани чрез телена рамка. Телената рамка е повърхност, която се определя от определен брой линии, принадлежащи на такава повърхност (фиг. 3).

Познавайки координатите на точките на пресичане на линиите, е възможно да се начертае чертеж на повърхността на телената рамка.

1.2. Повърхности на въртене.

Сред извитите повърхности са широко разпространени повърхностите на въртене. Повърхност на въртене е повърхност, получена чрез въртене на образуваща около фиксирана права линия - оста на повърхността.

Повърхността на въртене може да се образува чрез въртене на крива линия (сфера, тор, параболоид, елипсоид, хиперболоид и др.) И чрез въртене на права линия (цилиндър на въртене, конус на въртене, еднослоен хиперболоид на въртене).

От определението за повърхност на въртене следва, че геометричната част на детерминантата а(аз,л)повърхности на въртене атрябва да се състои от ос на въртене ази генериране л. Закон за образуване на повърхността, ротация лнаоколо азви позволява да изградите непрекъснат набор от последователни позиции на генератора на повърхността на въртене.

От многото линии, които могат да бъдат начертани върху повърхности на въртене, паралелите (екваторът) и меридианите (главният меридиан) заемат специално място. Използването на тези линии значително опростява решаването на позиционни проблеми. Нека да разгледаме тези редове.

Всяка точка от образуващата л(фиг. 4) описва около оста азокръжност, лежаща в равнина, перпендикулярна на оста на въртене. Тази окръжност може да бъде представена като линия на пресичане на повърхността с някаква равнина (б)перпендикулярно на оста на повърхността на въртене. Такива кръгове се наричат ​​паралели. (R). Най-големият от паралелите се нарича екватор, най-малкият - гърлото.

Ориз. 5 Фиг. 6

На фиг. 5 успоредни RAточки Аекватор, паралел RVточки Рповърхностно гърло.

Ако оста на повърхността азе перпендикулярна на равнината на проекциите, тогава паралелът се проектира върху тази равнина чрез кръг в истинската стойност (P1A), а на проекционната равнина, успоредна на оста - права линия (P2A)равен на диаметъра на паралела. В този случай решението на позиционните проблеми е опростено. Свързване на всяка точка от повърхността (напр СЪС) с паралел можете лесно да намерите позицията на проекциите на паралела и точка върху него. На фиг. 5 чрез проекция C2точки СЪСпринадлежащи на повърхността а, с помощта на паралел рупиинамерена хоризонтална проекция C1.

Равнината, минаваща през оста на въртене, се нарича меридионална. На фиг. 4 е плоско ж. Линията на пресичане на повърхността на въртене с меридионалната равнина се нарича меридиан на повърхността. Меридиан, разположен в равнина, успоредна на равнината на проекциите, се нарича главен меридиан ( m0на фиг. 4.5). В това положение меридианът се проектира върху равнината P2без изкривяване, но P1- права успоредна ос X12. За цилиндър и конус меридианите са прави линии.

Екватор R2(фиг. 6) и главните меридиани (м)разделят повърхността на видими и невидими части.

На фиг. 6 повърхностен екватор аполучена в резултат на разрез на повърхността с равнина d(P=a∩д), а главният меридиан е равнина g(m=a∩ж).

1.3. Контур на повърхността.

Проектиращата повърхнина, обхващаща дадената, пресича проекционната равнина по линия, наречена контур на проекцията на повърхнината. С други думи, контурът на повърхността е линия, която ограничава проекцията на фигура от останалата част от пространството за чертане. За да се конструира есе, е необходимо да се конструират екстремни генератори на гранични скици. Генераторите на очертанията лежат в равнина, успоредна на равнината на проекциите.

Всеки меридиан на повърхността на въртене може да се приеме за негова генераторна. Конструкцията на есето ще бъде опростена, ако вземем главния меридиан като генератор, тъй като главният меридиан е плоска крива (права линия), успоредна на равнината на проекцията и проектирана върху нея без изкривяване.

Пример 1. Цилиндър а а(аз,л). Изградете контур на повърхността (фиг. 7).

При това разположение на оста азхоризонталното очертание е кръг с радиус R(R=i1l1). Преминете през оста азмеридианна равнина b||P2. За да изградим фронтално очертание, намираме хоризонталните проекции на очертанията на генераторите, които лежат в равнината на главния меридиан (l1',l1”)и от тях определете фронталните проекции l2'И l2”.

Фронтална проекция на главния меридиан на генераторите на очертанията на цилиндъра l2'И l2”. Правоъгълникът е предният контур на повърхността.

Пример 2. Конус азададена от геометричната част на детерминантата а(аз,л). Изградете контур на повърхността (фиг. 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Извън позиция геометрични форми л, азна фиг. 9 показва, че дадената повърхност е еднослоен хиперболоид на въртене. Всяка точка от образуващата (A, B, Cи т.н. ) при въртене около ос азописва окръжност (успоредна). При аз ^ P1до самолета P1паралелите се проектират от окръжности с радиус, равен на истинската стойност на радиуса на паралела. Точка СЪСвърху образуващата лописва най-малкия паралел, паралелът на гърлото. Това е най-късото разстояние между оста на въртене и образуващата л. За намиране Rcначертайте перпендикуляр от азДа се l1. i1C1=Rcе радиусът на гърлото на повърхността.

Хоризонталната проекция на хиперболоида ще бъде три концентрични кръга.

Фронталното очертание на повърхността трябва да има очертанията на нейния главен меридиан.

Преминете през оста азглавна меридионална равнина bи построете хоризонталните проекции на успоредниците на точките А, Б, В. Паралелите се пресичат с равнина bв точки А′, В′, С′, принадлежащи на главния меридиан на повърхността. Непрекъснат набор от тези паралели образуват скелета на повърхността и точките на пресичане с равнината b- начален меридиан m0повърхности. Главният меридиан може да бъде конструиран като обход на пресечните точки на паралелите с равнината b. Фигурата показва конструкцията на точка СЪСИ д.

Пример 4. Постройте контур на наклонен цилиндър а(л,м). Образуваща на цилиндър л, движейки се по водача м, остава успореден на себе си. Контурът на повърхността е изграден на фиг. 10. Всяка точка от повърхността на цилиндъра се определя чрез начертаване на образуваща през него („свързване“ на точката с образуващата). На фиг. 10а според фронталната проекция на точката A2принадлежащ на повърхнината се намира нейната хоризонтална проекция A1.

1.4. Линейчати повърхности с равнина на успоредност.

Линейчати повърхности с равнина на успоредност се образуват чрез преместване на праволинейна образуваща по два водача. В този случай образуващата във всичките си позиции запазва паралелността на дадена равнина, наречена равнина на паралелност.

Геометрична част на определителя а(м,н,б)такава повърхност асъдържа две направляващи и равнина на успоредност. В зависимост от формата на направляващите тези повърхнини се делят на: цилиндроиди - и двете водещи криви; коноиди - един водач - права линия, един - крива; наклонена равнина - двата водача са прави.

Пример: изграждане на повърхностна телена рамка а(м,н,б)(фиг. 10b).

В този случай хоризонталната равнина на проекциите се приема като равнина на успоредност. Генерираща линия, отрязваща крива ми директно н, във всяко положение остава успореден на равнината P1.

Всяка равнина, успоредна на равнината на успоредност, пресича тези повърхности по права линия. Следователно, ако е необходимо да се построи някаква образуваща на повърхността, е необходимо да се изреже повърхността с равнина (напр. b) успоредно на равнината на паралелност, намерете точките на пресичане на водещите линии на повърхността с тази равнина (b∩n=1;b∩m=2;ориз. 10b) и начертайте права линия през тези точки.

За да конструирате коноида на фиг. 10b, можете да правите без помощни режещи равнини, тъй като челните проекции на генераторите трябва да са успоредни на оста X12. Плътността на линиите на рамката върху челната проекция се задава произволно. Изграждаме хоризонтални проекции на дадените генератори по линията на свързване, използвайки свойството за членство.

Ако трябва да намерите проекцията на точка А, дадено от проекцията A2, е необходимо да изрежете повърхността с равнина жпреминаващ през точката Аи успоредна на равнината на паралелизъм (на фиг. 10b g//P1), намерете образуващата като пресечна линия на равнината жс повърхност а(a∩g=3, 4),според челната проекция 32, 42 намерете хоризонтала 31, 41 и определете върху него A1.

1.5. Изграждане на точката на срещане на линията с повърхността.

Намерете срещата на кривата лс повърхност a(P,С).

Решение 1. Оградете кривата л(фиг. 11) в спомагателната проекционна повърхност b^P1. Проекция b1съвпада с проекцията l1. 2. Изграждаме линията на пресичане Аповърхности α с повърхност b', (αÇ b=e). Хоризонтална проекция на тази линия a1известно, съвпада b1. Планов изглед a1изграждане на фронтална проекция a2(Фиг. 1 Определяме желаната точка до пресечната точка на кривата лс повърхност a.. K=лÇ аима сборен пункт лИ а. От една страна лИ Апринадлежат bИ лÇ a=k. С друг АÌ а,следователно Да сеÌ α , това е Да сеима сборни точки лс повърхност α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Изграждане на линия на пресичане на повърхности.

При решаването на задачата за изграждане на линия на пресичане на една повърхност с друга се използва методът на сеченията - основният метод за решаване на позиционни проблеми. В този случай дадените повърхности се изрязват от спомагателни равнини или извити повърхности (например сфери).

Спомагателните режещи повърхности понякога се наричат ​​"медиатори".

1.5.1. Общ случай.

В общия случай, за да решите проблема с определянето на линията на пресичане на две повърхности, можете да посочите семейство генератори на една от повърхностите (фиг. 12), да намерите точката на среща на тези генератори с втората повърхност, като използвате алгоритъм за решаване на задачата от фиг. 11 и след това очертайте точките за среща.

Използвайки този метод за конструиране на пресечни линии на две криви повърхности, можем да използваме спомагателни равнини или криви повърхности като секущи "посредници".

Ако е възможно, трябва да изберете такива спомагателни повърхности, които при пресичане с дадените дават прости линии за изграждане на линии (прави или кръгове).

1.5.2. Осите на повърхностите на въртене съвпадат
(коаксиални повърхности).

На фиг. 13 повърхности аИ bзададени от обща ос ази главните меридиани m0m0'.

Главните меридиани се пресичат в точка A(B). Точка A(B)пресичане на меридиани по време на въртене около оста ще опише паралел Р, която ще принадлежи на двете повърхности, следователно ще бъде тяхната пресечна линия.

Така две коаксиални повърхности на въртене се пресичат по паралели, които описват точките на пресичане на техните меридиани. На фиг. 13 оси на повърхности са успоредни P2. В равнината на проекциите, на които осите на повърхностите са успоредни, линията на пресичане R2проектира се права линия, чието положение се определя от пресечните точки на главните меридиани АИ IN.

1.5.3. Метод на режеща равнина.

В случай, че осите на повърхностите на въртене са успоредни, най-простите конструкции се получават чрез използване на режещи равнини като посредници. В този случай помощните режещи равнини се избират така, че да пресичат двете повърхности в кръгове.

На фиг. 14 очертава проекциите на две повърхности на въртене α И b, брадвите им азИ йса успоредни. В този случай използването на режещи равнини, перпендикулярни на осите на повърхностите, дава просто решение на проблема. Получените пресечни линии на повърхностите ще бъдат паралели, чиито фронтални проекции са прави линии, равни на диаметъра на паралела, а хоризонталните проекции са кръгове в реален размер.

Когато конструирате точки на пресечни линии, първо трябва да намерите референтните и характерните точки. Референтни точки са тези, които лежат на главния меридиан (3) и екватора (4, 5). Намирането на тези точки не е свързано с допълнителни конструкции и се основава на използването на свойства на членство.

Дадено на фиг. 14 повърхности имат обща равнина на главния меридиан, техните оси ^ P1, основите лежат в равнината P1. Референтните точки на линията на пресичане са точка 3 от пресечната точка на главните меридиани и точки 4 и 5 от пресечната точка на паралелите на основите на повърхностите. Използвайки свойствата на принадлежност, чрез известните проекции 32, 41 и 51 намираме 31, 42 и 52.

Останалите пресечни точки се намират с помощта на спомагателни режещи равнини. Нека направим дисекция на повърхността α И bхоризонтална равнина ж. защото ж^ оси азИ й, след това повърхностите α И bпресичат равнината ж, паралелно РаИ Рb. И тъй като брадвите азИ й^P1, тогава тези паралели се проектират върху P1кръгове Ра, Рbв реален размер, но P2директен P2a, R2bравен на диаметъра на паралела.

Пресечните точки на паралели 1 и 2 са желаните. Наистина, от едната страна на паралела РаИ Рbпринадлежат на една и съща равнина жи се пресичат в точки 2 и 1. От друга страна, РаИ Рbпринадлежат различни повърхности α И b. Следователно точки 2 и 1 принадлежат едновременно на повърхнините АИ b, тоест те са точките на пресечната линия на повърхностите. Хоризонталните проекции 21 и 11 на тези точки са в пресечната точка P1a, P1b, и конструираме предните, използвайки свойството членство.

Повтаряйки посочения метод, получаваме необходимия брой точки. Секущите равнини са разпределени равномерно в интервала от точката на най-високо издигане на кривата 32 до основната фигура.

Броят на точките на пресечната линия, а оттам и режещите равнини, се определя от необходимата точност на графичните конструкции. Проекциите на пресечната линия се изграждат като контури на проекциите на нейните точки. На фиг. 14 линия в точки 4, 1, 3, 2, 5.

Разгледаният пример за решаване на проблеми се нарича метод за рязане на равнини.

1.5.4. Сферен метод.

Тази техника се използва, когато осите на повърхностите на въртене се пресичат. Тя се основава на показаната на фиг. 13 случай на пресичане на коаксиални повърхности.

На фиг. 15 показва конус и цилиндър с пресичащи се оси азИ й. Техните оси са успоредни на равнината P2. Равнината на главния меридиан е обща за двете повърхности.

) . Конструкцията е опростена поради факта, че равнината на главния меридиан е обща. Окръжностите, по които сферата пресича две повърхности едновременно ( Ра, Рб Пб") се проектира върху равнината P2под формата на прави линии ( R2a, R2b, P2б"), равни на диаметрите на паралелите.

В пресечната точка на тези кръгове се получават точки (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), общи за двете повърхности и следователно принадлежащи на линията на пресичане. Наистина паралели Ра, Рb, Pб", от една страна, принадлежат на една и съща повърхност - сферата и имат общи точки (5, 6, 7, 8), от друга - принадлежат на различни повърхности АИ b. Тоест, точки 5, 6, 7, 8 принадлежат на двете повърхности или линията на пресичане на повърхностите.

За да получите достатъчно точки за начертаване на желаната пресечна линия, се начертават няколко сфери.

Радиусът на най-голямата сфера ( Rmax) е равно на разстоянието от центъра O2до най-отдалечената точка на пресичане на очертаната генератриса (в този случай точки 32 и 42, Rmax= 0232=0242. В този случай двете линии на пресичане на повърхности със сфера ( РаИ Рb) се пресичат в точки 3 и 4 с по-голям радиус на сферата няма да има пресичане.

Радиусът на най-малката сфера ( Rmin) е равно на разстоянието от центъра 02 до най-отдалечената скица образуваща ( Rmin=02A2). В този случай сферата ще докосне конуса по окръжността, а цилиндърът ще се пресече два пъти и ще даде точки 5, 6, 7, 8. При по-малък радиус на сферата няма да има пресичане с конуса.

Сега остава да начертаете криви линии на пресичане на повърхности през точки 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2.

На фиг. 15, всички конструкции са направени върху една и съща проекция. Брой секущи сфери с радиуси, вариращи от Rmaxпреди Rmin, зависи от необходимата точност на конструкцията. Изграждането на хоризонтална проекция на пресечната линия се извършва по фронталните 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2, като се използва свойството за членство.

1.5.5. Прилагане на метода на сечещата равнина
в случаи на линейни повърхности с равнина на успоредност.

Две повърхности са дадени от геометричната част на детерминантата: а (л,и)И b(м,n, P1). Необходимо е да се изградят скици на повърхности и да се намери линията на тяхното пресичане (фиг. 16).

Решение: 1. Изграждаме контур на повърхността а, n от геометричната част на детерминантата се вижда, че повърхността а- сфера. Неговите хоризонтални и фронтални очертания са кръгове с радиус Р. 2. Изграждаме рамката на линейката. Тъй като равнината е успоредна P1, тогава челните проекции на генераторите са успоредни на оста X12. След като поставихме рамката на определена равнина от линии на предната проекция (четири линии на фиг. 16), изграждаме хоризонтални проекции на тези генератори. 3. За да построим линия на пресичане на повърхности, използваме секущи равнини като посредници. Позицията на секущите равнини трябва да бъде избрана така, че да пресичат дадените повърхности по линии, които са лесни за конструиране (прави или кръгове). Това условие се изпълнява от хоризонталните равнини. Хоризонталните равнини са успоредни на равнината на успоредност на коноида ( P1), така че те ще пресичат коноида по прави линии. Такива равнини пресичат сферата по паралели.

,а"сфера по паралел Ра. Фронтална проекция на паралела ( R2а) е права линия, равна на диаметъра на паралела, а хоризонталната проекция ( P1а) е кръг. На хоризонтална проекция в пресечната точка на паралела P1аи generatrix 1, 11 "се определя от проекцията на две точки от линията на пресичане на повърхността АИ b. Чрез хоризонтални проекции на точки A1И В 1изграждаме техните фронтални проекции. Повтаряйки операцията, получаваме поредица от точки на пресечната линия, чието очертание ще даде линията на пресичане.

Екваторът и началният меридиан на сферата разделят линията на видими и невидими части.

1.6 Изграждане на метли.

Развитата повърхност е фигура, получена чрез комбиниране на развитата повърхност с равнина.

Развиваемите повърхности са повърхности, които са подравнени с равнината без прекъсвания или гънки.

Развиваемите повърхности включват фасетирани повърхности, а криволинейните повърхности включват само цилиндрични, конусни и повърхности на торса.

Разработките се делят на точни (разработване на фасетни повърхнини), приблизителни (разработване на цилиндър, конус, торс) и условни (разработване на сфера и други неразвиващи се повърхнини).

1.6.1. Райбери за фасетни повърхности.

Разгънете пирамидата, дадена от проекциите на фиг.17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Методът на търкаляне е приложим, ако ръбовете на призмата са успоредни на равнината на проекциите и е известна истинската стойност на ръбовете на една от основите (фиг. 18).

Разточването на фигура представлява процеса на комбиниране на лицата на призма с равнина, в който истински изгледвсяко лице се получава чрез завъртане около ръба му.

Точките A, B, C по време на търкаляне се движат по дъги от окръжности, които са изобразени на равнината P2 като прави линии, перпендикулярни на проекциите на ръбовете на призмата. Върховете на изместване се изграждат по следния начин: от точка A2 с радиус R1=A1B1 (истинска дължина AB) правим прорез на правата B2B0, перпендикулярна на B2B2¢. От построената точка B0 с радиус R2=B1C1 се прави прорез по правата C2C0^C2C2¢. След това прорез от точка C0 с радиус R3=A1C1 по правата A2A0^A2A2¢. Получаваме точка A0. Точките A2B0C0A0 са свързани с прави линии. От точките A0B0C0 изчертаваме линии, успоредни на ръбовете (A2 A2¢), поставяме върху тях истинските стойности на страничните ръбове А2A¢, B2B¢, C2C¢. Свързваме точки A¢B¢C¢A¢ с отсечки.

1.6.2. Разработване на криви повърхности.

Теоретично е възможно да се получи точно развитие, т.е. развитие, което точно повтаря размерите на повърхността, която се развива. На практика, когато се правят чертежи, трябва да се примири с приблизително решение на проблема, като се приеме, че отделните елементи на повърхността са апроксимирани чрез равнинни сечения. При такива условия изпълнението на приблизителни разработки на цилиндър и конус се свежда до изграждане на разработки на вписани в тях (или описани) призми и пирамиди.

Фигура 19 показва пример за конусно изместване.

Вписваме многостранна пирамида в конуса. От точка S начертаваме дъга с радиус, равен на истинската стойност на генератора на конуса (S212) и оставяме настрани хорди 1121 върху дъгата; 2, заместващи дъги 1121;2

За да намерите която и да е точка от разработката, е необходимо да начертаете образуваща през дадена точка (A), да намерите мястото на тази образуваща върху разработката (2B=21B1), да определите истинската стойност на сегмента SA или AB и да поставите то върху образуващата върху развитието. Всяка линия на повърхността се състои от непрекъснат набор от точки. След като намерим необходимия брой точки на разработката, използвайки метода, описан за точка А, и като проследим тези точки, ще получим линия на разработката. При конструиране на разработки на наклонени цилиндрични повърхнини са приложими методите на нормалното сечение и търкалянето.

Всяка повърхност, която не се развива, може също да бъде апроксимирана от многостенна повърхност с произволна точност. Но развитието на такава повърхност няма да бъде непрекъсната плоска фигура, тъй като тези повърхности не се развиват без прекъсвания и гънки.

1.6.3. Построяване на равнина, допирателна
на повърхността в тази точка.

За да се построи допирателна равнина към повърхността в дадена точка (точка A на фиг. 20), е необходимо да се начертаят две произволни криви a и b на повърхността през точка A, след което в точка A да се построят две допирателни t и t¢ към кривите a и b. Допирателните ще определят позицията на допирателната равнина a към повърхността b.

Фигура 21 показва повърхност на въртене a. Изисква се да се начертае допирателна равнина в точка А, принадлежаща на a.

За да решим задачата през точка A, начертаваме паралел a и изграждаме допирателна t към него в точка A (t1;t2).

Нека вземем меридиана като втората крива, минаваща през точка А. Не е показано на фиг. 21. Решението ще се опрости, ако меридианът заедно с точка А се завърти около оста, докато съвпадне с главния меридиан. В този случай точка A ще заеме позиция A¢. След това начертайте допирателна t¢¢ към главния меридиан през точка A¢, докато се пресече с оста в точка B. Връщайки меридиана в предишното му положение, начертайте допирателна t¢ към този меридиан през точка A и фиксирана точка B на оста на въртене (t1¢;t2 ¢). Допирателните t и t¢ ще определят допирателната равнина.

Когато чертаете допирателна равнина към линейчата повърхност, една от допирателните, които определят допирателната равнина, може да се приеме за образуваща t на повърхността (фиг. 22). Като второ, може да се вземе допирателната t¢ към паралела (ако е цилиндър или конус) или допирателната към всяка крива, начертана през дадена точка на коноид, цилиндроид, наклонена равнина. Лесно е да се построи крива, като се разреже повърхността с проектираща равнина, минаваща през дадена точка.

2.1. Цел на работата:

Затвърдете програмния материал в разделите "Повърхнина" и "Развития" и придобийте умения за решаване на задачи за конструиране на есета, пресечни линии и разработки на повърхнини.

2.2. Упражнение:

Чертежът съдържа две пресичащи се повърхности. Повърхнините са дадени чрез координирани проекции на геометричната част на детерминантата.

Необходимо:

Използвайки координатите на геометричната част на детерминантата, нанесете проекциите на детерминантата върху чертежа, свържете необходимите точки, за да получите геометричните фигури на детерминантата;

Изграждане на есета дадени повърхностичрез проекции на геометричната част на определителя;

Изградете линия на пресичане на повърхности;

Изградете разработка на една от повърхностите с начертаване на пресечна линия (по указание на учителя);

Начертайте допирателна равнина към една от повърхнините в точката, посочена от учителя;

Направете оформление на пресичащи се повърхности.

Работата се извършва първо на милиметрова хартия А2, а след това на ватман във формат А2. Чертежът трябва да бъде изготвен в съответствие с GOST ESKD. Основният надпис е направен съгласно формуляр 1.

При изпълнение на работата се използват лекции, практически учебни материали и препоръчителна литература.

Вариантите на задачите са дадени в приложението.

2.3. Редът на задачата.

Ученикът получава версия на задачата, съответстваща на номера в списъка в дневника на групата, и работи върху задачата в продължение на четири седмици.

Седмица след получаване на заданието ученикът представя на учителя построенията на геометричната част на детерминантите и скици на дадените повърхнини, направени на милиметрова хартия А2.

Две седмици по-късно е представен чертеж, допълнен от изграждането на линията на пресичане на повърхностите и допирателната равнина.

През третата седмица работата върху милиметрова хартия А4 завършва с изграждането на разработка на една от повърхнините с начертаване върху нея линията на пресичане на повърхнините.

През четвъртата седмица се извършва оформление на пресичащи се повърхности.

Завършената работа се представя на учителя, водещ практическия урок. Според завършената конструкция върху милиметрова хартия се проверява усвояването на изучавания материал от ученика.

При решаване на позиционния проблем за изграждане на линия на пресичане на повърхности се използва методът на сечението. Като "посредници" изберете секущи равнини или сфери. Трябва да се обърне внимание на частните случаи, разгледани по-горе (методът на сечещите равнини и методът на сферите), които дават най-простото решение на проблема. Ако е необходимо, прибягвайте до комбинация от тези методи.

При извършване на повърхностно почистване е необходимо да се проучат конструкциите, извършени по метода на нормалното сечение и метода на валцуване, както и методите за конструиране на приблизителни и условни разчиствания и да се използва най-рационалният начин в работата.

Когато чертаете допирателна равнина към повърхност в дадена точка, достатъчно е да начертаете две криви линии върху повърхността, минаваща през точка, и да начертаете допирателни към тези линии в дадена точка, като помните, че допирателната към плоска крива линия е проектиран от допирателна към неговата проекция.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Геометрия на Виницки. Москва: Висше училище, 1975 г.

2. Геометрия на Гордън. Москва: Наука, 1975.

3. Повърхности. Методически указания. / Съставено, / Саратов, SGTU, 1990.

ОПЦИИ ЗА ЗАДАНИЕ

опция	Обозначаване на точки	Координати на точки	вербална информация
					1. Хиперболичен параболоид Водещи линии - AB и CD Равнина на успоредност - P2 2. Преден издаден цилиндър: Ос на въртене - I I¢ Генериране - MN
					Топ - С Основа - АВ 2. Пресечен конус: Долна основа - CF 3. Горна основа - DE
					Ос на въртене t ^ P1 Генериране - CD 2. Хиперболоид: Ос на въртене i ^ P1 Генератор - АВ
					1. Повърхност на въртене: Ос на въртене-KK¢ Генерираща - челна дъга (O - център на въртене OA - радиус) 2. Цилиндър: Ос на въртене-MM¢ Генератор - LL¢

					1. Цилиндър: Ос на въртене - I I¢ Генератор - EF 2. Пирамида: Върхове на пирамидата - A, B, C, D
					1. Хиперболичен параболоид Водещи релси AB, CD Равнина на успоредност. – P2 2. Полукълбо: Център - О Радиус - ОК
	A 1.5.6				1. Част от сферата (от R до R¢) Център - О Радиус - ИЛИ = ИЛИ¢ 2. Коноид: насочваща права - OA, BC - насочваща крива на проекция на която: върху P2- права линия, върху P1-дъга (център - O, радиус - OB).P1-равнина паралелизъм.
					1. Пирамида: Върхове - S, A, B, C. 2. Коноид: Водеща права - EF Водеща крива - RR¢, прогнози от които: на P2-дъга (O¢-център, O¢R =O¢R¢-радиус), на P1-дъга (O - център, OR \u003d OR¢- радиус), P1-равнина на паралелизъм.
	A 1.5.7				1. Цилиндър: Генериране - CD 2. Коноид: Водеща права линия - АВ Водещ кръг принадлежи на равнината P1. O - център, OE - радиус, P2 - равнина на успоредност.
					1. Торова повърхност: Генериращ кръг принадлежи на кв. P1. O - център, OS - радиус. 2. Правилна повърхност: Генератор - MM¢ Водач лък-KDM (O¢-център, O¢D-радиус)
					1. Хиперболоид: Ос на въртене - I I¢ Генериращи - АВ 2. Цилиндър: Генериране - НМ Водещ кръг фронтален (О-център, ON - радиус).
	A 1.5.8 B 1.5.9				1. Цилиндър: Генериране - CD Ос на въртене t ^ P1 2. Хиперболоид: Ос на въртене i ^ P1 Генериращи - АВ
	A 1.5.10				1. Цилиндър: Ос на въртене - I I¢ Генериращи - АВ Ос на въртене - TT¢ Генериращ кръг принадлежи на равнината P1 (O - център, OS - радиус)
	Около 1.5.11				1. Полукълбо: (O-център, OK-радиус) 2. Коноид: Водеща права - LM Водещ кръг принадлежи на кв. P1 (O - център, OK - радиус) P2 - равнина на успоредност

					1. Призма: ВВ¢ - ръбове. Ос на въртене - I I¢ Генериране на дъга от окръжност (Център - O2,
					1. Хиперболоид: Ос на въртене - I I¢ Генериращи - АВ Ос на въртене - ОС Базов радиус - OS
					1. Хиперболичен параболоид Ръководства - АВ и CD P1 - равнина на успоредност Ос на въртене - SI Генериране - SE
					1. Коноид: Водеща права - АВ Водещ кръг принадлежи на кв. P1 Център - O, радиус - OS P2 - равнина на успоредност 2. Полукълбо: Център - O, радиус - OS
					1. Цилиндър: Водещ кръг принадлежи на кв. P2 (Център - O, радиус - OA), Формиране - ОА Ос на въртене - CD Генериране - CB
					1. Призма: В¢- ребра Ос на въртене - EF Генериране – ЕД
					1. Коноид: Водеща права - АВ направляваща дъга, принадлежащ на P1- MN Център - O. Радиус - OM P2 - равнина на успоредност 2. Половин цилиндър: Генериране - CD
					1. Коноид: Водеща права - АВ направляваща дъга, собственост на П1- Ц.Д (център - O, радиус - OS) E2F2 - равнинни следи едновременност 2. Цилиндър: Ос на въртене - I I¢ Генериране - MN
					(Център - O, радиус - ИЛИ) Ос на въртене - VK Генериращи - АВ
					OS - ос на въртене, AS - образуваща Ос на въртене - CD Генериране - NE
					1. Полукълбо: Радиус - ОС 2. Хиперболоид: Ос на въртене - I I¢ Генериращи - АВ