За да бъде начертана една равнина през всякакви три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една права линия.

Разгледайте точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в обща декартова координатна система.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи в същата равнина като точките M 1 , M 2 , M 3 , векторите трябва да са копланарни.

(
) = 0

По този начин,

Уравнение на равнина, минаваща през три точки:

Уравнение на равнина спрямо две точки и вектор, колинеарен на равнината.

Нека точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) и векторът
.

Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през дадените точки M 1 и M 2 и произволна точка M (x, y, z), успоредна на вектора .

Вектори
и вектор
трябва да е копланарна, т.е.

(
) = 0

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина по отношение на една точка и два вектора,

колинеарна равнина.

Нека са дадени два вектора
И
, колинеарни равнини. Тогава за произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, векторите
трябва да е копланарна.

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина чрез точка и нормален вектор .

Теорема. Ако в пространството е дадена точка M 0 (Х 0 , г 0 , z 0 ), тогава уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 перпендикулярно на нормалния вектор (А, б, ° С) изглежда като:

А(х – х 0 ) + б(г – г 0 ) + ° С(z – z 0 ) = 0.

Доказателство. За произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, съставяме вектор . защото вектор - нормалният вектор, тогава той е перпендикулярен на равнината и следователно е перпендикулярен на вектора
. След това скаларното произведение

= 0

Така получаваме уравнението на равнината

Теоремата е доказана.

Уравнение на равнина в отсечки.

Ако в общото уравнение Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, разделете двете части на (-D)

,

заместване
, получаваме уравнението на равнината в сегменти:

Числата a, b, c са пресечните точки на равнината съответно с осите x, y, z.

Уравнение на равнината във векторна форма.

Където

- радиус-вектор на текущата точка M(x, y, z),

Единичен вектор, който има посоката на перпендикуляра, пуснат към равнината от началото.

,  и  са ъглите, образувани от този вектор с осите x, y, z.

p е дължината на този перпендикуляр.

В координати това уравнение има формата:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Разстоянието от точка до равнина.

Разстоянието от произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до равнината Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 е:

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P (4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Така че A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, използвайте формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнина, минаваща през две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) е перпендикулярна на равнината 3x + 2y - z + 5 = 0.

Нормален вектор към равнината 3x + 2y - z + 5 = 0
успоредна на желаната равнина.

Получаваме:

Пример.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките A(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярна на равнината х + при + 2z – 3 = 0.

Желаното уравнение на равнината има формата: A х+ Б г+C z+ D = 0, нормалният вектор към тази равнина (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава

И така, нормалният вектор (11, -7, -2). защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на тази равнина, т.е. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11 х - 7г – 2z – 21 = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P(4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Намиране на координатите на нормалния вектор
= (4, -3, 12). Търсеното уравнение на равнината има формата: 4 х – 3г + 12z+ D = 0. За да намерим коефициента D, заместваме координатите на точката Р в уравнението:

16 + 9 + 144 + D = 0

Като цяло получаваме желаното уравнение: 4 х – 3г + 12z – 169 = 0

Пример.Дадени са координатите на върховете на пирамидата A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Намерете дължината на ръба A 1 A 2 .

Намерете ъгъла между ръбовете A 1 A 2 и A 1 A 4.

Намерете ъгъла между ръба A 1 A 4 и лицето A 1 A 2 A 3 .

Първо, намерете нормалния вектор към лицето A 1 A 2 A 3 как векторен продуктвектори
И
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Намерете ъгъла между нормалния вектор и вектора
.

-4 – 4 = -8.

Желаният ъгъл  между вектора и равнината ще бъде равен на  = 90 0 - .

Намерете лицето на лицето A 1 A 2 A 3 .

Намерете обема на пирамидата.

Намерете уравнението на равнината А 1 А 2 А 3 .

Използваме формулата за уравнението на равнина, минаваща през три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Когато използвате компютърната версия на „ Курс по висша математика” можете да стартирате програма, която ще реши горния пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.

Щракнете двукратно върху иконата, за да стартирате програмата:

В прозореца на програмата, който се отваря, въведете координатите на върховете на пирамидата и натиснете Enter. Така всички точки за решение могат да бъдат получени една по една.

Забележка: За да стартирате програмата, трябва да имате инсталиран Maple ( Waterloo Maple Inc.) на вашия компютър, всяка версия, започваща с MapleV Release 4.

Да разгледаме равнина Q в пространството.Нейната позиция е напълно определена чрез определяне на вектор N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q. Векторът N, перпендикулярен на равнината Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава

Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).

За всяко положение на точката M в равнината Q, векторът MXM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Нека напишем скаларното произведение по отношение на проекции. Тъй като , и вектор , тогава

и следователно

Показахме, че координатите на всяка точка от равнината Q удовлетворяват уравнение (4). Лесно се вижда, че координатите на точки, които не лежат на равнината Q, не отговарят на това уравнение (в последния случай, ). Следователно получихме търсеното уравнение на равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадената точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати

И така, ние показахме, че всяка равнина съответства на уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.

Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.

Решение. Тук . Въз основа на формула (4) получаваме

или, след опростяване,

Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича група от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на сноп от равнини.

Пример 2. Напишете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).

Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точка

Ако всички числа A, B, C и D са различни от нула, тогава общото уравнение на равнината се нарича пълен. В противен случай се нарича общото уравнение на равнината непълна.

Нека разгледаме всички възможни общи непълни уравнения на равнината в правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство.

Нека D = 0, тогава имаме общо непълно уравнение на равнината от формата . Тази равнина в правоъгълната координатна система Oxyz минава през началото. Наистина, когато заместваме координатите на точката в полученото непълно уравнение на равнината, стигаме до тъждеството .

За , или , или имаме общи непълни уравнения на равнините , или , или съответно. Тези уравнения определят равнини, които са успоредни съответно на координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz (вижте статията Условие за паралелизъм за равнини) и минаващи през точките и съответно. При. Тъй като точката принадлежи на равнината по условие, то координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. Така желаното уравнение има формата .

Представяме втория начин за решаване на този проблем.

Тъй като равнината, чието общо уравнение трябва да съставим, е успоредна на равнината Oyz , то за неин нормален вектор можем да приемем нормалния вектор на равнината Oyz . Нормалният вектор на координатната равнина Oyz е координатният вектор . Сега знаем нормалния вектор на равнината и точката на равнината, следователно можем да напишем нейното общо уравнение (решихме подобен проблем в предишния параграф на тази статия):
, то нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на равнината. Следователно равенството където намираме. Сега можем да напишем желаното общо уравнение на равнината, то има формата .

Отговор:

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИТЕ

Нека разгледаме две равнини α 1 и α 2, дадени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини имаме предвид един от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двустенни ъгли или . Ето защо . защото И , Че

.

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори и са успоредни, и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга тогава и само ако коефициентите при съответните координати са пропорционални:

или

Условие за перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни тогава и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или .

По този начин, .

Примери.

ДИРЕКТНО В ПРОСТРАНСТВОТО.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТНО.

ПАРАМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТ

Позицията на права линия в пространството се определя напълно чрез определяне на която и да е от нейните фиксирани точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Вектор, успореден на права линия, се нарича насочваневекторът на тази линия.

Така че нека направо лминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), лежащ на права линия, успоредна на вектора .

Да разгледаме произволна точка M(x,y,z)на права линия. От фигурата се вижда, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число T, какво , къде е множителят Tможе да приеме произволна цифрова стойност в зависимост от позицията на точката Мна права линия. Фактор Tсе нарича параметър. Означаване на радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Той показва, че стойността на всеки параметър Tсъответства на радиус вектора на някаква точка Млежащ на права линия.

Записваме това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на прави линии.

При промяна на параметъра Tпромяна на координатите х, гИ zи точка Мсе движи по права линия.

КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТНО

Позволявам М 1 (х 1 , г 1 , z 1) - точка, лежаща на права линия л, И е неговият вектор на посоката. Отново вземете произволна точка на права линия M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите и са колинеарни, така че съответните им координати трябва да бъдат пропорционални, следователно

– канониченуравнения на прави линии.

Забележка 1.Обърнете внимание, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните уравнения чрез елиминиране на параметъра T. Наистина, от параметричните уравнения, които получаваме или .

Пример.Напишете уравнението на права линия по параметричен начин.

Обозначете , следователно х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Забележка 2.Нека линията е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на правата е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на правата приемат формата

Елиминиране на параметъра от уравненията T, получаваме уравненията на правата във формата

Но и в този случай се съгласяваме да напишем официално каноничните уравнения на правата във формата . Така, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

По същия начин, каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите волИ Ойили успоредна ос Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ ПРАВА ЛИНИЯ КАТО ПРЕСЪЧВАЩА ЛИНИЯ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството минава безкраен брой равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно уравненията на всеки две такива равнини, разглеждани заедно, са уравненията на тази права.

Като цяло, всеки две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят линията им на пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете права линия, дадена с уравнения

За да се построи права, е достатъчно да се намерят произволни две нейни точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на правата с координатните равнини. Например точката на пресичане с равнината xOyполучаваме от уравненията на права линия, като приемем z= 0:

Решавайки тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме пресечната точка на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 върху правата и вектора на посоката на правата.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, имайте предвид, че този вектор трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора И . Следователно за вектора на посоката на правата линия лможете да вземете кръстосаното произведение на нормалните вектори:

.

Пример.Дайте общите уравнения на правата линия към каноничната форма.

Намерете точка на права линия. За да направите това, избираме произволно една от координатите, например г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи правата, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВИТЕ

ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени две прави линии:

Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , то според формулата за косинус на ъгъла между векторите получаваме

Тази статия дава представа как да напишете уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в триизмерното пространство, перпендикулярно на дадена права. Нека анализираме горния алгоритъм, като използваме примера за решаване на типични проблеми.

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в пространството перпендикулярно на дадена права

Нека в него е дадено тримерно пространство и правоъгълна координатна система O x y z. Дадени са също точката M 1 (x 1, y 1, z 1), правата a и равнината α, минаваща през точката M 1 перпендикулярно на правата a. Необходимо е да се запише уравнението на равнината α.

Преди да пристъпим към решаването на тази задача, нека си припомним геометричната теорема от програмата за 10 - 11 клас, която гласи:

Определение 1

Една равнина минава през дадена точка в триизмерното пространство и е перпендикулярна на дадена права.

Сега помислете как да намерите уравнението на тази единична равнина, минаваща през началната точка и перпендикулярна на дадената права.

Възможно е да се напише общото уравнение на равнина, ако са известни координатите на точка, принадлежаща на тази равнина, както и координатите на нормалния вектор на равнината.

По условието на задачата са ни дадени координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината α. Ако определим координатите на нормалния вектор на равнината α, тогава ще можем да напишем желаното уравнение.

Нормалният вектор на равнината α, тъй като е различен от нула и лежи на правата a, перпендикулярна на равнината α, ще бъде всеки насочващ вектор на правата a. И така, задачата за намиране на координатите на нормалния вектор на равнината α се трансформира в задачата за определяне на координатите на насочващия вектор на правата a .

Определянето на координатите на насочващия вектор на правата линия a може да се извърши по различни методи: зависи от варианта на задаване на правата линия a в началните условия. Например, ако правата a в условието на задачата е дадена с канонични уравнения от вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрични уравненияТип:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

тогава насочващият вектор на правата ще има координати a x, a y и a z. В случай, че правата линия a е представена от две точки M 2 (x 2, y 2, z 2) и M 3 (x 3, y 3, z 3), тогава координатите на вектора на посоката ще бъдат определени като (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Определение 2

Алгоритъм за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права:

Определете координатите на насочващия вектор на правата a: a → = (a x, a y, a z) ;

Координатите на нормалния вектор на равнината α определяме като координатите на насочващия вектор на правата a:

n → = (A , B , C) , където A = a x, B = a y, C = a z;

Пишем уравнението на равнината, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и имаща нормален вектор n→=(A, B, C) във формата A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Това ще бъде необходимото уравнение на равнина, която минава през дадена точка в пространството и е перпендикулярна на дадена права.

Полученото общо уравнение на равнината: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 дава възможност да се получи уравнението на равнината в сегменти или нормалното уравнение на равнината.

Нека решим някои примери, използвайки алгоритъма, получен по-горе.

Пример 1

Дадена е точка M 1 (3, - 4, 5), през която минава равнината, като тази равнина е перпендикулярна на координатната права O z.

Решение

насочващият вектор на координатната линия O z ще бъде координатният вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следователно нормалният вектор на равнината има координати (0 , 0 , 1) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през дадена точка M 1 (3, - 4, 5), чийто нормален вектор има координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Отговор: z - 5 = 0 .

Помислете за друг начин за решаване на този проблем:

Пример 2

Равнина, която е перпендикулярна на правата O z, ще бъде дадена чрез непълно общо уравнение на равнината от вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Нека да определим стойностите на C и D: тези, за които равнината минава през дадена точка. Заместете координатите на тази точка в уравнението C z + D = 0 , получаваме: C · 5 + D = 0 . Тези. числа, C и D са свързани с - D C = 5 . Като вземем C \u003d 1, получаваме D \u003d - 5.

Заместете тези стойности в уравнението C z + D = 0 и получете необходимото уравнение за равнина, перпендикулярна на правата O z и минаваща през точката M 1 (3, - 4, 5) .

Ще изглежда така: z - 5 = 0.

Отговор: z - 5 = 0 .

Пример 3

Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото и перпендикулярна на правата x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Въз основа на условията на задачата може да се твърди, че водещият вектор на дадена права линия може да се приеме като нормален вектор n → на дадена равнина. Така: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка O (0, 0, 0) и имаща нормален вектор n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Получихме търсеното уравнение за равнината, минаваща през началото, перпендикулярно на дадената права.

Отговор:- 3x - 7y + 2z = 0

Пример 4

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z в триизмерно пространство, тя съдържа две точки A (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Равнината α минава перпендикулярно на правата AB през точката A. Необходимо е да се състави уравнението на равнината α в сегменти.

Решение

Равнината α е перпендикулярна на правата A B, тогава векторът A B → ще бъде нормалният вектор на равнината α. Координатите на този вектор се определят като разликата между съответните координати на точки B (3, - 2, 4) и A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общо уравнениеравнина ще бъде написана в следната форма:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Сега съставяме желаното уравнение на равнината в сегментите:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Отговор:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Трябва също да се отбележи, че има задачи, чието изискване е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени равнини. Най-общо решението на този проблем е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, тъй като две пресичащи се равнини определят права линия.

Пример 5

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в която е точка M 1 (2, 0, - 5) . Дадени са и уравненията на две равнини 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z - 1 = 0, които се пресичат по правата a . Необходимо е да се състави уравнение за равнина, минаваща през точка M 1, перпендикулярна на правата a.

Решение

Да определим координатите на насочващия вектор на правата a . Той е перпендикулярен както на нормалния вектор n 1 → (3, 2, 0) на равнината n → (1, 0, 2), така и на нормалния вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 на равнината x + 2 z - 1 = 0.

Тогава насочващият вектор α → права линия a вземаме векторния продукт на векторите n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Така векторът n → = (4, - 6, - 2) ще бъде нормалният вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Пишем желаното уравнение на равнината:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter