Определение

Вероятностно пространствое тройка (понякога оградена с ъглови скоби : ), където

Забележки

Крайни вероятностни пространства

Прост и често използван пример за вероятностно пространство е крайно пространство. Нека е краен набор, съдържащ елементи.

Като сигма-алгебра е удобно да се вземе семейството от подмножества. Често се обозначава символично. Лесно е да се покаже това общ бройчленове на това семейство, т.е. броят на отделните случайни събития е просто равен на , което обяснява нотацията.

Вероятността, най-общо казано, може да се дефинира произволно. Често обаче няма причина да се смята, че един елементарен резултат е по някакъв начин за предпочитане пред друг. Тогава естествен начинвъведете вероятността е:

,

където и - броят на елементарните резултати, принадлежащи на .

По-специално, вероятността от всяко елементарно събитие:

Пример

Помислете за експеримент с балансирано хвърляне на монета. Би било естествено да се вземат две събития: загуба на герб () и загуба на опашки (), т.е. Тогава вероятността може да се изчисли, както следва:

Така се дефинира тройка - вероятностно пространство, в рамките на което могат да се разглеждат различни задачи.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Вероятностно пространство" в други речници:

Поле от вероятности, колекция от непразно множество, клас от подмножества на множеството Q, което е поле на Борел (т.е. затворено по отношение на теоретико-множествените операции, извършвани в изброим брой) и разпределение (вероятностни . .. ... Математическа енциклопедия

Пространството е понятие, използвано (директно или като част от сложни термини) в естествените езици, както и в такива раздели на знанието като философия, математика, физика и др. На нивото на ежедневното възприятие пространството е интуитивно ... .. , Уикипедия

Пространството е понятие, използвано (директно или във фрази) в ежедневната реч, както и в различни раздели на знанието. Пространство на нивото на ежедневното възприятие Математика Триизмерно пространство Афинното пространство на Банах ... ... Wikipedia

Този термин има и други значения, вижте Космос. В математиката думата "пространство" се използва в голям набор от сложни термини. Грубо казано, пространството е набор с някаква допълнителна структура. В зависимост от ... ... Уикипедия

Пространството на елементарните събития е множеството от всички различни резултати от случаен експеримент. Елемент от това множество се нарича елементарно събитие или резултат. Пространството на елементарните събития се нарича дискретно, ако броят му е ... ... Wikipedia

ВЕРОЯТНОСТНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ (ВЕРОЯТНОСТНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ)- една от основните концепции на теорията на вероятностите (виж) и математическата статистика (виж). Със съвременния подход като математически. модел на изследваното случайно явление, се взема съответното вероятностно пространство (F 1, S, P), където Q ... ... Руска социологическа енциклопедия

Наборът от всички елементарни събития, свързани с някакъв експеримент, и всеки неразложим резултат от експеримента е представен от една и само една точка от VP (пробна точка). V. p. е абстрактно множество, по алгебра ... ... Математическа енциклопедия

Във функционалния анализ и свързаните с него дисциплини това е фундаментално свойство на пространствата. Съдържание 1 Формулировка 2 Доказателство ... Wikipedia

Това е неравенството на триъгълник за пространства от функции с интегрируема степен. Съдържание 1 Формулировка 2 Доказателство ... Wikipedia

Неравенството на Хьолдер във функционалния анализ и свързаните с него дисциплини е фундаментално свойство на Lp пространствата. Съдържание 1 Формулировка 2 Специални случаи 2.1 Не е равно ... Wikipedia

Книги

• Теория на вероятностите. Вероятностно пространство. Условна вероятност, Татяна Сабурова. В това учебно ръководствое даден резюметеоретичен материал по първа част на курса "Теория на вероятностите", анализират се решения Голям брой типични задачи, са дадени ...

За пълното описание на механизма на изучавания случаен експеримент не е достатъчно да се посочи само пространството на елементарните събития. Очевидно, заедно с изброяването на всички възможни резултати от произволния експеримент, който се изследва, ние също трябва да знаем колко често определени елементарни събития могат да се появят в дълга серия от такива експерименти. Наистина, връщайки се, да речем, към примери 4.1-4.7, лесно е да си представим, че в рамките на всяко от пространствата на елементарни събития, описани в тях, може да се разгледа безброй набор от случайни експерименти, които се различават значително по своя механизъм.

Така че в примери 4.1-4.3 ще имаме значително различни относителни честоти на едни и същи елементарни резултати, ако използваме различни моменти и зарове (симетрични, с леко изместен център на тежестта, със силно изместен център на тежестта и т.н.) в примери 4.4-4.7, честотата на поява на дефектни продукти, естеството на замърсяването на контролирани партиди с дефектни продукти и честотата на поява на определен брой повреди на автоматични машини ще зависи от нивото на технологично оборудване на производството в процес на изследване: при същото пространство от елементарни събития, честотата на поява на „добри“ елементарни резултати ще бъде по-висока при производство с по-високо ниво на технология.

За да се изгради (в дискретния случай) пълна и завършена математическа теория на случаен експеримент - теория на вероятността, в допълнение към вече въведените първоначални понятия за случаен експеримент, елементарен резултат и случайно събитие, е необходимо да се запасят въз основа на още едно първоначално предположение (аксиома), постулиращо съществуването на вероятности за елементарни събития (удовлетворяващи определена нормализация) и определяне на вероятността за всяко случайно събитие.

Аксиома.

Всеки елемент от пространството на елементарните събития съответства на някаква неотрицателна числена характеристика на шансовете за неговото възникване, наречена вероятност за събитие, и

(оттук, по-специално, следва, че за всички ).

Определяне на вероятността от събитие.

Вероятността за всяко събитие A се дефинира като сбор от вероятностите на всички елементарни събития, които съставят събитието A, т.е. ако използваме символиката, за да обозначим "вероятността за събитие A", тогава

От тук и от (4.2) пряко следва, че винаги и вероятността за определено събитие е равна на единица, а вероятността за невъзможно събитие е равна на нула.

Всички други понятия и правила за действие с вероятности и събития вече ще бъдат извлечени от четирите първоначални определения, въведени по-горе (случаен експеримент, елементарен резултат, случайно събитие и неговата вероятност) и една аксиома.

По този начин, за изчерпателно описание на механизма на изучавания случаен експеримент (в дискретния случай), е необходимо да се определи краен или изброим набор от всички възможни елементарни резултати и да се присвои на всеки елементарен резултат някои неотрицателни (не надвишаващи една) числена характеристика, интерпретирана като вероятността за възникване на резултата, и установеното съответствие на типа трябва да отговаря на изискването за нормализиране (4.2).

Вероятностното пространство е именно концепцията, която формализира такова описание на механизма на случаен експеримент. Задаването на вероятностно пространство означава задаване на пространството на елементарни събития Q и дефиниране в него на горното съответствие от типа

Очевидно може да се даде съответствие от тип (4.4). различни начини: използвайки таблици, графики, аналитични формули и накрая алгоритмично.

Как да конструираме вероятностно пространство, съответстващо на реалния комплекс от изследвани условия? По правило няма трудности при запълването с конкретно съдържание на понятията случаен експеримент, елементарно събитие, пространство на елементарни събития и в дискретния случай всяко разложимо случайно събитие. Но не е толкова лесно да се определят вероятностите за отделни елементарни събития от конкретните условия на решаваната задача! За тази цел се използва един от следните три подхода.

Априорният подход за изчисляване на вероятностите се крие в теоретичен, спекулативен анализ на специфичните условия на даден случаен експеримент (преди самия експеримент). В редица ситуации този предекспериментален анализ дава възможност теоретично да се обоснове методът за определяне на желаните вероятности.

Например, възможно е пространството на всички възможни елементарни изхода да се състои от краен брой N елементи и условията за производството на произволния експеримент, който се изследва, са такива, че вероятностите за всеки от тези N елементарни изхода изглеждат равни на нас (това е ситуацията, в която се намираме, когато хвърляме симетрична монета, хвърляйки правилната зарове, случайно изваждане на карта за игра от добре смесено тесте и др.). По силата на аксиома (4.2) вероятността за всяко елементарно събитие в този случай е равна на MN. Това ви позволява да получите проста рецепта за изчисляване на вероятността за всяко събитие: ако събитието A съдържа NA елементарни събития, тогава в съответствие с дефиниция (4.3)

Значението на формула (4.3) е, че вероятността за събитие в даден клас ситуации може да се определи като съотношението на броя на благоприятните резултати (т.е. елементарните резултати, включени в това събитие) към броя на всички възможни резултати ( така наречената класическа дефиниция на вероятността). В съвременната интерпретация формула (4.3) не е дефиниция на вероятността: тя е приложима само в частния случай, когато всички елементарни резултати са еднакво вероятни.

Апостериорно-честотният подход за изчисляване на вероятностите по същество се основава на определението за вероятност, възприето от така наречената честотна концепция за вероятност (за повече подробности относно тази концепция вижте, например, ). В съответствие с тази концепция вероятността се определя като границата на относителната честота на поява на резултат в процеса на неограничено нарастване на общия брой случайни експерименти, т.е.

(4.5)

където е броят на случайните експерименти (от общия брой извършени случайни експерименти), в които се регистрира настъпването на елементарно събитие.Съответно за практическо (приблизително) определяне на вероятностите се предлага да се вземат относителните честоти на възникване на събитие в достатъчно дълга поредица от случайни експерименти

Такъв метод за изчисляване на вероятностите не противоречи на съвременната (аксиоматична) концепция на теорията на вероятностите, тъй като последната е конструирана по такъв начин, че емпиричният (или селективен) аналог на обективно съществуващата вероятност за всяко събитие А е относителната честота на това събитие в поредица от независими изпитания. Дефинициите на вероятностите се оказват различни в тези две концепции: в съответствие с честотната концепция вероятността не е обективно, съществуващо преди опита, свойство на изследваното явление, а се появява само във връзка с експеримент или наблюдение; това води до смесване на теоретични (вярно, поради реалния комплекс от условия за "съществуването" на изследваното явление) вероятностни характеристики и техните емпирични (селективни) аналози. Както пише G. Cramer, „посочената дефиниция на вероятността може да се сравни, например, с дефиницията на геометрична точка като граница на тебеширени петна с безкрайно намаляващ размер, но съвременната аксиоматична геометрия не въвежда такова определение“ () . Тук няма да се спираме на математическите недостатъци на честотната концепция за вероятност. Отбелязваме само основните трудности при прилагането на изчислителния метод за получаване на приблизителни стойности с помощта на относителни честоти. Първо, запазването на условията на случаен експеримент (т.е. запазването на условията на статистическия ансамбъл), при което предположението за тенденцията на относителните честоти да се групират около постоянна стойност, е валидно, не може да се поддържа за неопределено време и с висока точност. Следователно, за да се оценят вероятностите с помощта на относителни честоти, няма смисъл да се вземат твърде дълги серии (т.е. твърде големи) и следователно, между другото, точното преминаване до границата (4.5) не може да има истинско значение.

Второ, в ситуации, в които имаме достатъчно голям брой възможни елементарни резултати (и те могат да формират безкраен и дори, както вече беше отбелязано в § 4.1, континуален набор), дори в произволно дълга поредица от случайни експерименти, ние ще да имаме възможни резултати, които никога не са се материализирали в хода на нашия експеримент; да за останалото възможни резултатиприблизителните стойности на вероятностите, получени с помощта на относителни честоти, ще бъдат изключително ненадеждни при тези условия.

Подходът на апостериорния модел за определяне на вероятности, които съответстват конкретно на реалния комплекс от условия, които се изучават, е може би най-разпространеният и най-удобният на практика в момента. Логиката зад този подход е следната. От една страна, в рамките на априорния подход, т.е. в рамките на теоретичен, спекулативен анализ на възможните варианти на спецификата на хипотетични реални комплекси от условия, набор от моделни вероятностни пространства (бином, Поасон, нормален , експоненциален и т.н.) е разработен и проучен, вижте § 6.1). От друга страна, изследователят разполага с резултатите от ограничен брой произволни експерименти. Освен това, с помощта на специални математически и статистически техники (базирани на методите за статистическа оценка на неизвестни параметри и статистическо тестване на хипотези, вижте глави 8 и 9), изследователят, така да се каже, "подхожда" на хипотетични модели на вероятностни пространства към резултатите от наблюденията, които има (отразяващи спецификата на изследваната реална реалност) и оставя за по-нататъшно използване само този модел или онези модели, които не противоречат на тези резултати и в известен смисъл най-добре им съответстват.

Сега описваме основните правила за действие с вероятностите за събития, които са следствия от горните определения и аксиоми.

Вероятността на сумата от събития (теорема за събиране на вероятности).

Ние формулираме и доказваме правилото за изчисляване на вероятността от сумата от две събития.

За да направим това, разделяме всеки от наборите от елементарни събития, които съставят събитията, на две части:

където обединява всички елементарни събития ω, които са включени, но не са включени в се състои от всички тези елементарни събития, които са едновременно включени в и Използвайки дефиницията (4.3) и дефиницията на продукта от събития, имаме:

В същото време, в съответствие с дефиницията на сумата от събития и с (4.3), имаме

От (4.6), (4.7) и (4.8) получаваме формулата за събиране на вероятности (за две събития):

Формула (4.9) за добавяне на вероятности може да се обобщи за случай на произволен брой термини (вижте например ):

където "допълненията" се изчисляват под формата на сума от вероятностите на формата

освен това, сумирането от дясната страна очевидно се извършва при условие, че всички са различни, a .

В конкретния случай, когато системата, която ни интересува, се състои само от несъвместими събития, всички продукти на формата ще бъдат празни (или невъзможни) събития и съответно формула (4.9) дава

Вероятност за произведение на събития (теорема за умножение на вероятности). Условна вероятност.

Нека разгледаме ситуации, когато предварително зададено условие или фиксирането на някакво събитие, което вече се е случило, изключва от списъка на възможните някои от елементарните събития на анализираното вероятностно пространство. Така че, когато анализираме набор от N масово произвеждани продукти, съдържащи продукти от първи, - втори, - трети и - четвърти клас, ние разглеждаме вероятностно пространство с елементарни резултати и техните вероятности - съответно (тук означава събитието, че продукт произволно извлечени от колекцията се оказаха разнообразие). Да предположим, че условията за сортиране на продуктите са такива, че на някакъв етап продуктите от първи клас са отделени от общата съвкупност и всички вероятностни заключения, по-специално изчисляването на вероятностите за различни събития), трябва да изградим във връзка с съкратена популация, състояща се само от продукти от втори, трети и четвърти клас. В такива случаи е обичайно да се говори за условни вероятности, т.е. вероятности, изчислени при условие, че дадено събитие вече се е случило. В този случай такова реализирано събитие е събитие, т.е. събитие, състоящо се във всеки произволно извлечен продукт, е или от втори, или от трети, или от четвърти клас. Следователно, ако се интересуваме от изчисляването на условната вероятност за събитие A (приемайки, че събитие B вече се е случило), което се състои, например, във факта, че произволно извлечен продукт ще бъде от втори или трети клас, тогава, очевидно тази условна вероятност (ние я обозначаваме) може да бъде определена чрез следната връзка:

Както е лесно да се разбере от този пример, изчисляването на условните вероятности е по същество преход към друго, съкратено от дадено условие B, пространството на елементарните събития, когато съотношението на вероятностите на елементарните събития в съкратеното пространството остава същото като в оригинала (по-широко), но всички те са нормализирани (разделени на), за да се удовлетвори изискването за нормализиране (4.2) и в новото вероятностно пространство. Разбира се, не може да се въведе терминология с условни вероятности, а просто да се използва апаратът на обикновените („безусловни“) вероятности в новото пространство. Записването от гледна точка на вероятностите на "старото" пространство е полезно в случаите, когато при условията на определен проблем трябва винаги да помним съществуването на оригиналното, по-широко пространство от елементарни събития.

Получаваме формулата за условна вероятност в общия случай. Нека B е събитие (непразно), считано за вече настъпило („условие“), а A е събитие, чиято условна вероятност P(A|B) трябва да бъде изчислена. Новото (скъсено) пространство от елементарни събития се състои само от елементарни събития, влизащи в B, и следователно техните вероятности (с условието за нормализиране (4.2)) се определят от отношенията

По дефиниция, вероятността P(A|B) е вероятността за събитие A в "пресеченото" вероятностно пространство и, следователно, в съответствие с (4.3) и (4.10)

или, което е същото,

Еквивалентните формули (4.11) и (4.11") обикновено се наричат ​​съответно формула за условна вероятност и правило за умножение на вероятностите.

Още веднъж подчертаваме, че разглеждането на условни вероятности за различни събития при едно и също условие B е еквивалентно на разглеждането на обикновени вероятности в различно (отсечено) пространство на елементарни събития чрез преизчисляване на съответните вероятности на елементарни събития съгласно формула (4.10) . Следователно всички общи теореми и правила за работа с вероятности остават валидни за условни вероятности, ако тези условни вероятности се приемат при едно и също условие.

Независимост на събитията. Две събития A и B се наричат ​​независими if

За да изясним естествеността на такова определение, се връщаме. Нека отидем на теоремата за умножение на вероятностите (4.11) и да видим в какви ситуации (4.12) следва от нея. Очевидно това може да бъде, когато условната вероятност е равна на съответната безусловна вероятност, т.е., грубо казано, когато знанието, че дадено събитие е настъпило, не влияе върху оценката на шансовете за настъпване на събитие А.

Разширяването на определението за независимост до система от повече от две събития е както следва. Събитията се наричат ​​взаимно независими, ако за всякакви двойки, тройки, четворки и т.н. от събития, избрани от този набор от събития, се прилагат следните правила за умножение:

Очевидно първият ред предполага

(броя на комбинациите от k в две) уравнения, във второто - и т. н. Общо следователно (4.13) комбинира условията. В същото време условията на първия ред са достатъчни, за да осигурят двойната независимост на тези събития. И въпреки че двойната и взаимната независимост на система от събития, строго погледнато, не са едно и също нещо, тяхната разлика е от теоретичен, а не практически интерес: очевидно няма практически важни примери за двойни независими събития, които да не са взаимно независими.

Вероятностното пространство е математически моделслучаен експеримент (експеримент) в аксиоматиката на А. Н. Колмогоров. Вероятностното пространство съдържа цялата информация за свойствата на случаен експеримент, необходима за неговия математически анализ с помощта на теорията на вероятностите. Всяка задача на теорията на вероятностите се решава в рамките на някакво вероятностно пространство, напълно дадено първоначално. Задачи, при които вероятностното пространство не е напълно определено и липсващата информация трябва да бъде получена от резултатите от наблюденията, принадлежат към областта на математическата статистика.

Определение

Вероятностно пространствое тройка, където:

Имайте предвид, че последното свойство на сигма-адитивност на мярка е еквивалентно (при условие, че всички други свойства, включително крайната адитивност) са еквивалентни на някое от следните свойства измерване на непрекъснатост:

Примери за често използвани вероятностни пространства

Дискретни вероятностни пространства

Ако наборът от елементарни резултати е краен или изброим: , тогава съответното вероятностно пространство се нарича отделен. В случай на дискретни вероятностни пространства събитията обикновено се считат за всички възможни подмножества. В този случай, за да се зададе вероятността, е необходимо и достатъчно да се присвои номер на всеки елементарен резултат, така че тяхната сума да е равна на 1. Тогава вероятността за всяко събитие се дава, както следва:

Важен частен случай на такова пространство е класически начин за задаване на вероятностикогато броят на елементарните резултати е краен и всички те имат еднаква вероятност. Тогава вероятността за всяко събитие се определя като съотношението на неговата сила (т.е. броят на елементарните резултати, благоприятендадено събитие) към общия брой елементарни резултати:

.

Винаги обаче трябва да се помни, че за да се приложи този метод, е необходимо да се уверим, че елементарните резултати са наистина еднакво вероятни. Това или трябва да бъде формулирано като начално условие, или този факт трябва да бъде строго изведен от наличните начални условия.

Вероятностни пространства на линията

Вероятностните пространства на линията () естествено възникват при изследването на случайни променливи. В този случай, в общия случай, вече не е възможно да се разглеждат подмножества от линията като събития, тъй като в такъв широк клас обикновено е невъзможно да се зададе вероятностна мярка, която да отговаря на необходимите аксиоми. Универсална сигма алгебра на събитията, достатъчна за работа, е сигма алгебрата на Борел: най-малката сигма алгебра, съдържаща всички отворени множества. Еквивалентна дефиниция е най-малката сигма алгебра, съдържаща всички интервали. Универсален начин за определяне на вероятностна мярка върху дадена сигма-алгебра е чрез функцията на разпределение на случайна променлива.

Вероятностни пространства в крайномерно пространство

Вероятностни пространства с много елементарни резултати естествено възникват при изучаването на случайни вектори. Универсалната сигма-алгебра на събитията също е сигма-алгебрата на Борел, генерирана от всички отворени множества. По същество този случай се различава малко от случая на една права линия.

Като строга математическа дисциплина.

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  Вероятностно пространствое тройка (понякога оградена в ъглови скоби: ⟨ , ⟩ (\displaystyle \langle ,\rangle )), Където

  Забележки

  Крайни вероятностни пространства

  Прост и често използван пример за вероятностно пространство е крайно пространство. Позволявам е краен набор, съдържащ | Ω | = n (\displaystyle \vert \Omega \vert =n)елементи.

  Като сигма-алгебра е удобно да се вземе семейството подмножества Ω (\displaystyle \Omega ). Често се символизира 2 Ω (\displaystyle 2^(\Omega )). Лесно е да се покаже, че общият брой на членовете на това семейство, тоест броят на различните случайни събития, е точно равен на 2 | Ω | (\displaystyle 2^(\vert \Omega \vert )), което обяснява обозначението.

  Вероятността, най-общо казано, може да бъде дефинирана произволно; въпреки това, в отделните модели често няма причина да се смята, че един елементарен резултат е по-добър от друг. В такъв случай естественият начин за въвеждане на вероятност е:

  P (A) = n A n (\displaystyle \mathbb (P) (A)=(\frac (n_(A))(n))),

  Където A ⊂ Ω (\displaystyle A\subset \Omega ), И | A | = n A (\displaystyle \vert A\vert =n_(A))- броя на елементарните резултати, принадлежащи на A (\displaystyle A). По-специално, вероятността от всяко елементарно събитие:

  P (( ω )) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . (\displaystyle \mathbb (P) (\(\omega \))=(\frac (1)(n)),\;\forall \omega \in \Omega .)

  Пример

  Помислете за експеримент с балансирано хвърляне на монета. Би било естествено да вземем две събития: загубата на герба ( Γ (\displaystyle \Gamma )) и опашки ( P (\displaystyle \mathrm (P) )), това е Ω = (Γ, P). (\displaystyle \Omega =\(\Gamma ,\mathrm (P) \).)Тогава A = ( ( Γ ) , ( P ) , ( Γ , P ) , ∅ ) , (\displaystyle (\mathfrak (A))=\(\(\Gamma \),\(\mathrm (P) \), \(\Gamma ,\mathrm (P) \),\varnothing \),)и вероятността може да се изчисли, както следва:

  P (( Γ )) = 1 2 , P (( P )) = 1 2 , P (( Γ , P )) = 1 , P (∅) = 0. (\displaystyle \mathbb (P) (\(\ Гама \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\mathrm (P) \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\Gamma ,\mathrm (P) \))=1,\;\mathbb (P) (\varnothing)=0.)

  Така се дефинира тройката (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))- вероятностно пространство, в рамките на което могат да се разглеждат различни задачи.