Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή

Για να αξιολογήσετε μια έκφραση, πρέπει να εισαγάγετε μια συμβολοσειρά που θα αξιολογηθεί. Κατά την εισαγωγή αριθμών, το διαχωριστικό μεταξύ του ακέραιου και του κλασματικού μέρους είναι μια τελεία. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις. Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς είναι ο πολλαπλασιασμός (*), η διαίρεση (/), η πρόσθεση (+), η αφαίρεση (-), η εκτίμηση (^) και άλλες. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εκθετικές και αλγεβρικές μορφές για να γράψετε μιγαδικούς αριθμούς. Εισαγάγετε τη φανταστική μονάδα Εγώείναι δυνατό χωρίς το πρόσημο του πολλαπλασιασμού· σε άλλες περιπτώσεις, το πρόσημο του πολλαπλασιασμού απαιτείται, για παράδειγμα, μεταξύ παρενθέσεων ή μεταξύ ενός αριθμού και μιας σταθεράς. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σταθερές: ο αριθμός π εισάγεται ως pi, εκθέτης μι, οποιεσδήποτε εκφράσεις στην ένδειξη πρέπει να περιβάλλονται από παρενθέσεις.

Παράδειγμα γραμμής υπολογισμού: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), που αντιστοιχεί στην έκφραση \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Η αριθμομηχανή μπορεί να χρησιμοποιεί σταθερές, μαθηματικές συναρτήσεις, πρόσθετες πράξεις και πιο σύνθετες εκφράσεις· μπορείτε να εξοικειωθείτε με αυτές τις δυνατότητες στη σελίδα των γενικών κανόνων για τη χρήση αριθμομηχανών σε αυτόν τον ιστότοπο.

Ο ιστότοπος είναι υπό κατασκευή, ορισμένες σελίδες ενδέχεται να μην είναι διαθέσιμες.

Νέα

07.07.2016
Προστέθηκε μια αριθμομηχανή για την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων αλγεβρικές εξισώσεις: .

30.06.2016
Ο ιστότοπος έχει αποκριτικό σχεδιασμό, οι σελίδες εμφανίζονται επαρκώς τόσο σε μεγάλες οθόνες όσο και σε κινητές συσκευές.

Ανάδοχος

RGRONline.ru – άμεση λύση για ηλεκτρολογικές εργασίες στο διαδίκτυο.

Ας ξεκινήσουμε με το αγαπημένο μας τετράγωνο.

Παράδειγμα 9

Τετράγωνο μιγαδικού αριθμού

Εδώ μπορείτε να πάτε με δύο τρόπους, ο πρώτος τρόπος είναι να ξαναγράψετε τον βαθμό ως γινόμενο παραγόντων και να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων.

Η δεύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιήσετε τον γνωστό σχολικό τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό:

Για έναν μιγαδικό αριθμό είναι εύκολο να εξαγάγετε τον δικό σας συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

Ένας παρόμοιος τύπος μπορεί να προκύψει για το τετράγωνο της διαφοράς, καθώς και για τον κύβο του αθροίσματος και τον κύβο της διαφοράς. Αλλά αυτοί οι τύποι είναι πιο σχετικοί για σύνθετα προβλήματα ανάλυσης. Τι γίνεται αν χρειαστεί να αυξήσετε έναν μιγαδικό αριθμό, για παράδειγμα, στην 5η, 10η ή 100η δύναμη; Είναι σαφές ότι είναι σχεδόν αδύνατο να εκτελέσετε ένα τέτοιο τέχνασμα σε αλγεβρική μορφή· πράγματι, σκεφτείτε πώς θα λύσετε ένα παράδειγμα όπως;

Και εδώ η τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού έρχεται στη διάσωση και το λεγόμενο Η φόρμουλα του Moivre: Εάν ένας μιγαδικός αριθμός αναπαρίσταται σε τριγωνομετρική μορφή, τότε όταν αυξάνεται σε φυσική δύναμη, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

Είναι απλώς εξωφρενικό.

Παράδειγμα 10

Δεδομένου ενός μιγαδικού αριθμού, βρείτε.

Τι πρέπει να γίνει? Πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε αυτόν τον αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή. Οι προσεκτικοί αναγνώστες θα έχουν παρατηρήσει ότι στο Παράδειγμα 8 έχουμε ήδη κάνει αυτό:

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο του Moivre:

Ο Θεός φυλάξοι, δεν χρειάζεται να υπολογίζετε σε μια αριθμομηχανή, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις η γωνία πρέπει να απλοποιηθεί. Πώς να απλοποιήσετε; Μεταφορικά μιλώντας, πρέπει να απαλλαγείτε από περιττές στροφές. Μια περιστροφή είναι ακτίνιο ή 360 μοίρες. Ας μάθουμε πόσες στροφές έχουμε στο επιχείρημα. Για ευκολία, κάνουμε το κλάσμα σωστό:, μετά από το οποίο γίνεται ξεκάθαρα ορατό ότι μπορείτε να μειώσετε μια περιστροφή:. Ελπίζω όλοι να καταλάβουν ότι αυτή είναι η ίδια οπτική γωνία.

Έτσι, η τελική απάντηση θα γραφτεί ως εξής:

Μια ξεχωριστή παραλλαγή του προβλήματος της εκθέσεως είναι η εκτίμηση των καθαρά φανταστικών αριθμών.

Παράδειγμα 12

Ανεβάστε τους μιγαδικούς αριθμούς σε δυνάμεις

Και εδώ, όλα είναι απλά, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την περίφημη ισότητα.

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε άρτια ισχύ, τότε η τεχνική λύσης είναι η εξής:

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε περιττή ισχύ, τότε "τσιμπάμε" ένα "και", παίρνοντας άρτια ισχύ:

Εάν υπάρχει μείον (ή οποιοσδήποτε πραγματικός συντελεστής), τότε πρέπει πρώτα να διαχωριστεί:

Εξαγωγή ριζών από μιγαδικούς αριθμούς. Τετραγωνική εξίσωση με μιγαδικές ρίζες

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα; Αν μιλάμε για πραγματικούς αριθμούς, τότε είναι πραγματικά αδύνατο. Είναι δυνατή η εξαγωγή της ρίζας των μιγαδικών αριθμών! Ακριβέστερα, δύορίζα:

Είναι οι ρίζες που βρέθηκαν πραγματικά μια λύση στην εξίσωση; Ας ελέγξουμε:

Αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Συχνά χρησιμοποιείται μια συντομευμένη σημειογραφία· και οι δύο ρίζες γράφονται σε μία γραμμή κάτω από την "ίδια χτένα": .

Αυτές οι ρίζες λέγονται επίσης συζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν πώς να εξαγάγουν τετραγωνικές ρίζες από αρνητικούς αριθμούς: ,,, κ.λπ. Σε όλες τις περιπτώσεις αποδεικνύεται δύοσυζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Ας ξεκινήσουμε με το αγαπημένο μας τετράγωνο.

Παράδειγμα 9

Τετράγωνο μιγαδικού αριθμού

Εδώ μπορείτε να πάτε με δύο τρόπους, ο πρώτος τρόπος είναι να ξαναγράψετε τον βαθμό ως γινόμενο παραγόντων και να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων.

Η δεύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιήσετε τον γνωστό σχολικό τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό:

Για έναν μιγαδικό αριθμό είναι εύκολο να εξαγάγετε τον δικό σας συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

Ένας παρόμοιος τύπος μπορεί να προκύψει για το τετράγωνο της διαφοράς, καθώς και για τον κύβο του αθροίσματος και τον κύβο της διαφοράς. Αλλά αυτοί οι τύποι είναι πιο σχετικοί για σύνθετα προβλήματα ανάλυσης. Τι γίνεται αν χρειαστεί να αυξήσετε έναν μιγαδικό αριθμό, για παράδειγμα, στην 5η, 10η ή 100η δύναμη; Είναι σαφές ότι είναι σχεδόν αδύνατο να εκτελέσετε ένα τέτοιο τέχνασμα σε αλγεβρική μορφή· πράγματι, σκεφτείτε πώς θα λύσετε ένα παράδειγμα όπως;

Και εδώ η τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού έρχεται στη διάσωση και το λεγόμενο Η φόρμουλα του Moivre: Εάν ένας μιγαδικός αριθμός αναπαρίσταται σε τριγωνομετρική μορφή, τότε όταν αυξάνεται σε φυσική δύναμη, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

Είναι απλώς εξωφρενικό.

Παράδειγμα 10

Δεδομένου ενός μιγαδικού αριθμού, βρείτε.

Τι πρέπει να γίνει? Πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε αυτόν τον αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή. Οι προσεκτικοί αναγνώστες θα έχουν παρατηρήσει ότι στο Παράδειγμα 8 έχουμε ήδη κάνει αυτό:

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο του Moivre:

Ο Θεός φυλάξοι, δεν χρειάζεται να υπολογίζετε σε μια αριθμομηχανή, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις η γωνία πρέπει να απλοποιηθεί. Πώς να απλοποιήσετε; Μεταφορικά μιλώντας, πρέπει να απαλλαγείτε από περιττές στροφές. Μια περιστροφή είναι ακτίνιο ή 360 μοίρες. Ας μάθουμε πόσες στροφές έχουμε στο επιχείρημα. Για ευκολία, κάνουμε το κλάσμα σωστό:, μετά από το οποίο γίνεται ξεκάθαρα ορατό ότι μπορείτε να μειώσετε μια περιστροφή:. Ελπίζω όλοι να καταλάβουν ότι αυτή είναι η ίδια οπτική γωνία.

Έτσι, η τελική απάντηση θα γραφτεί ως εξής:

Μια ξεχωριστή παραλλαγή του προβλήματος της εκθέσεως είναι η εκτίμηση των καθαρά φανταστικών αριθμών.

Παράδειγμα 12

Ανεβάστε τους μιγαδικούς αριθμούς σε δυνάμεις

Και εδώ, όλα είναι απλά, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την περίφημη ισότητα.

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε άρτια ισχύ, τότε η τεχνική λύσης είναι η εξής:

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε περιττή ισχύ, τότε "τσιμπάμε" ένα "και", παίρνοντας άρτια ισχύ:

Εάν υπάρχει μείον (ή οποιοσδήποτε πραγματικός συντελεστής), τότε πρέπει πρώτα να διαχωριστεί:

Εξαγωγή ριζών από μιγαδικούς αριθμούς. Τετραγωνική εξίσωση με μιγαδικές ρίζες

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα; Αν μιλάμε για πραγματικούς αριθμούς, τότε είναι πραγματικά αδύνατο. Είναι δυνατή η εξαγωγή της ρίζας των μιγαδικών αριθμών! Ακριβέστερα, δύορίζα:

Είναι οι ρίζες που βρέθηκαν πραγματικά μια λύση στην εξίσωση; Ας ελέγξουμε:

Αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Συχνά χρησιμοποιείται μια συντομευμένη σημειογραφία· και οι δύο ρίζες γράφονται σε μία γραμμή κάτω από την "ίδια χτένα": .

Αυτές οι ρίζες λέγονται επίσης συζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν πώς να εξαγάγουν τετραγωνικές ρίζες από αρνητικούς αριθμούς: ,,, κ.λπ. Σε όλες τις περιπτώσεις αποδεικνύεται δύοσυζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Παράδειγμα 13

Λύστε δευτεροβάθμια εξίσωση

Ας υπολογίσουμε τη διάκριση:

Η διάκριση είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς. Αλλά η ρίζα μπορεί να εξαχθεί σε μιγαδικούς αριθμούς!

Χρησιμοποιώντας γνωστούς σχολικούς τύπους, παίρνουμε δύο ρίζες: – συζυγείς μιγαδικές ρίζες

Έτσι, η εξίσωση έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

Τώρα μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση!

Και γενικά, οποιαδήποτε εξίσωση με πολυώνυμο του «η» βαθμού έχει ίσες ρίζες, μερικές από τις οποίες μπορεί να είναι σύνθετες.

Ένα απλό παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 14

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης και συντελεστή του τετραγωνικού διωνύμου.

Η παραγοντοποίηση πραγματοποιείται και πάλι σύμφωνα με τον τυπικό σχολικό τύπο.