Στις επόμενες ενότητες, διαπιστώνεται ότι οι επιφάνειες πρώτης τάξης είναι επίπεδα και μόνο επίπεδα, και εξετάζονται διάφορες μορφές γραφής των εξισώσεων των επιπέδων.

198. Θεώρημα 24. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, κάθε επίπεδο ορίζεται από μια εξίσωση πρώτου βαθμού.

Απόδειξη. Υποθέτοντας ότι δίνεται κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, θεωρούμε ένα αυθαίρετο επίπεδο α και αποδεικνύουμε ότι αυτό το επίπεδο προσδιορίζεται από μια εξίσωση πρώτου βαθμού. Επιβιβαστείτε στο αεροπλάνο σε κάποιο σημείο M 0 (d: 0; y 0; z0); Επιπλέον, επιλέγουμε οποιοδήποτε διάνυσμα (μόνο όχι ίσο με μηδέν!), Κάθετο στο επίπεδο α. Το επιλεγμένο διάνυσμα θα συμβολίζεται με το γράμμα p, τις προβολές του στους άξονες συντεταγμένων- γράμματα Α, Β, Γ.

Έστω M(x; y; z) ένα αυθαίρετο σημείο. Βρίσκεται στο επίπεδο a εάν και μόνο εάν το διάνυσμα MqM είναι κάθετο στο διάνυσμα n. Με άλλα λόγια, το σημείο W που βρίσκεται στο επίπεδο a χαρακτηρίζεται από την συνθήκη:

Λαμβάνουμε την εξίσωση του επιπέδου a αν εκφράσουμε αυτή τη συνθήκη ως προς τις συντεταγμένες x, y, z. Για το σκοπό αυτό, καταγράφουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων M 0M και ου:

M 0M \u003d (x-x 0; y-y 0; z-z0), P \u003d (A; B; C).

Σύμφωνα με το Νο 165 ένα σημάδι της καθετότητας δύο διανυσμάτων είναι η ισότητα προς το μηδέν του κλιμακωτού γινομένου τους, δηλαδή το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων. Έτσι ο Μ 0M J_ σ αν και μόνο αν

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Αυτή είναι η επιθυμητή εξίσωση του επιπέδου a, αφού ικανοποιείται από τις συντεταγμένες x, y, z το σημείο M αν και μόνο αν το M βρίσκεται στο επίπεδο a (δηλ. όταν lui j_").

Ανοίγοντας τις αγκύλες, παρουσιάζουμε την εξίσωση(1) ως

Ah + By + Cz + (- A x 0 - Wu 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Βλέπουμε ότι το επίπεδο α όντως καθορίζεται από μια εξίσωση πρώτου βαθμού. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

199. Κάθε (όχι ίσο με μηδέν) διάνυσμα κάθετο σε κάποιο επίπεδο ονομάζεται διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Χρησιμοποιώντας αυτό το όνομα, μπορούμε να πούμε ότι η εξίσωση

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

είναι η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (x 0; y 0; z0) και έχοντας ένα κανονικό διάνυσμα n- (Α; Β; ΜΕ). Εξίσωση τύπου

Ax + Vy-\- Cz + D = 0

ονομάζεται γενική εξίσωση του επιπέδου.

200. Θεώρημα 25. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού ορίζει ένα επίπεδο.

Απόδειξη. Υποθέτοντας ότι δίνεται κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, θεωρούμε μια αυθαίρετη εξίσωση πρώτου βαθμού

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Όταν λέμε μια «αυθαίρετη» εξίσωση, εννοούμε ότι οι συντελεστές A, B, C,ρε μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, αλλά, φυσικά, εξαιρούνται

περίπτωση ταυτόχρονης ισότητας στο μηδέν και των τριών συντελεστών Α, Β, Γ. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η εξίσωση(2) είναι η εξίσωση κάποιου επιπέδου.

Έστω lg 0, y 0, r 0- οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης(2), δηλ. ένα τριπλό αριθμών που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση *). Αντικατάσταση των αριθμών για 0,z0 αντί για τις τρέχουσες συντεταγμένες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης(2), παίρνουμε την αριθμητική ταυτότητα

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Αφαιρέστε από την εξίσωση(2) ταυτότητα (3). Θα πάρουμε την εξίσωση

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

η οποία, σύμφωνα με την προηγούμενη, είναι η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (jc0; y 0; z0) και έχει ένα κανονικό διάνυσμα n - (A; B; C). Αλλά η εξίσωση(2) ισοδυναμεί με την εξίσωση(1), από την εξίσωση(1) που προκύπτει από την εξίσωση(2) με αφαίρεση όρων προς όρο της ταυτότητας(3) και η εξίσωση (2) με τη σειρά του προκύπτει από την εξίσωση(1) με προσθήκη όρου προς όρο της ταυτότητας(3). Επομένως, η εξίσωση(2) είναι μια εξίσωση στο ίδιο επίπεδο.

Αποδείξαμε ότι μια αυθαίρετη εξίσωση πρώτου βαθμού ορίζει ένα επίπεδο. έτσι αποδεικνύεται το θεώρημα.

201. Οι επιφάνειες, οι οποίες στο «καρτεσιανές συντεταγμένες καθορίζονται από εξισώσεις πρώτου βαθμού, ονομάζονται, όπως γνωρίζουμε, επιφάνειες πρώτης τάξης. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ορολογία, μπορούμε να εκφράσουμε τα καθιερωμένα αποτελέσματα ως εξής:

Κάθε επίπεδο είναι μια επιφάνεια πρώτης τάξης. κάθε επιφάνεια πρώτης τάξης είναι ένα επίπεδο.

Παράδειγμα. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο afe(l; 1; 1) κάθετο στο διάνυσμα i*=( 2; 2; 3}.

Απόφαση Σύμφωνα με την ρήτρα 199 η απαιτούμενη εξίσωση είναι

2(*- 1) +2 (y -1) +3 (g -1) \u003d 0,

ή

2x + 2y + 3r - 7 = 0.

*) Εξίσωση (2), όπως κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού με τρεις αγνώστους, έχει άπειρες λύσεις. Για να βρείτε ένα από αυτά, πρέπει να αντιστοιχίσετε αριθμητικές τιμές σε δύο άγνωστα και στη συνέχεια να βρείτε τον τρίτο άγνωστο από την εξίσωση.

202. Για να ολοκληρώσουμε αυτήν την ενότητα, αποδεικνύουμε την ακόλουθη πρόταση: αν δύο εξισώσεις Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 και A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 προσδιορίστε το ίδιο επίπεδο, τότε οι συντελεστές τους είναι ανάλογοι.

Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση τα διανύσματα nx = (Α 1; Bx \ and n 2 - (/ 42; B 2 ; Τα Cr) είναι κάθετα σε ένα επίπεδο, επομένως, συγγραμμικά μεταξύ τους. Στη συνέχεια όμως, σύμφωνα με την παράγραφο 154 αριθμοί Ab B 2, C 2 είναι ανάλογες με τους αριθμούς A1r B1rCx. δηλώνοντας τον παράγοντα αναλογικότητας με p, έχουμε: Α 2-A 1c, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Έστω M 0 (x 0; y 0 ; ^-οποιοδήποτε σημείο του αεροπλάνου. οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν καθεμία από αυτές τις εξισώσεις, οπότε Axx 0 + Vhu 0

Cxz0 = 0 και A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη από αυτές τις ισότητες με p. και αφαιρώ από το δεύτερο? παίρνουμε D2-Djp = 0. Κατά συνέπεια, Dx-Dx\i και

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1^

Έτσι, ο ισχυρισμός μας αποδεικνύεται.

1.7.1. Επίπεδο.

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο επίπεδο P σε καρτεσιανή βάση και το κανονικό διάνυσμα (κάθετο) σε αυτό `n (A, B, C). Πάρτε σε αυτό το επίπεδο ένα αυθαίρετο σταθερό σημείο M0(x0, y0, z0) και ένα τρέχον σημείο M(x, y, z).

Προφανώς ?`n = 0 (1,53)

(βλ. (1.20) για j = p /2). Αυτή είναι η εξίσωση του επιπέδου σε διανυσματική μορφή. Περνώντας στις συντεταγμένες, παίρνουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Μπορεί να φανεί ότι στις καρτεσιανές συντεταγμένες κάθε επίπεδο ορίζεται από μια εξίσωση πρώτου βαθμού και αντιστρόφως κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού ορίζει ένα επίπεδο (δηλαδή ένα επίπεδο είναι μια επιφάνεια πρώτης τάξης και μια επιφάνεια πρώτης τάξης είναι ένα επίπεδο).

Εξετάστε μερικές ειδικές περιπτώσεις της θέσης του επιπέδου που δίνεται από τη γενική εξίσωση:

A \u003d 0 - παράλληλη με τον άξονα Ox. B \u003d 0 - παράλληλα με τον άξονα Oy. C \u003d 0 - παράλληλα με τον άξονα Oz. (Τέτοια επίπεδα κάθετα σε ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων ονομάζονται προεξέχοντα). D = 0 - διέρχεται από την αρχή. A = B = 0 - κάθετα στον άξονα Oz (παράλληλα με το επίπεδο xOy). A = B = D = 0 - συμπίπτει με το επίπεδο xOy (z = 0). Όλες οι άλλες περιπτώσεις αναλύονται παρόμοια.

Αν Δ; 0, τότε, διαιρώντας και τα δύο μέρη του (1,54) με -D, μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση του επιπέδου στη μορφή: (1,55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Η σχέση (1.55) ονομάζεται εξίσωση ενός επιπέδου σε τμήματα. α, β, γ είναι η τετμημένη, η τεταγμένη και η εφαρμογή των σημείων τομής του επιπέδου με τους άξονες Ox, Oy, Oz και |a|, |b|, |c| είναι τα μήκη των τμημάτων που κόβονται από το επίπεδο στους αντίστοιχους άξονες από την αρχή.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές του (1,54) με τον παράγοντα κανονικοποίησης (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

όπου cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης της κανονικής προς το επίπεδο, p είναι η απόσταση από το επίπεδο από την αρχή.

Ας εξετάσουμε τις κύριες αναλογίες που χρησιμοποιήθηκαν στους υπολογισμούς. Η γωνία μεταξύ των επιπέδων A1x + B1y + C1z + D1 = 0 και A2x + B2y + C2z + D2 = 0 μπορεί εύκολα να οριστεί ως η γωνία μεταξύ των κανονικών αυτών των επιπέδων `n1 (A1, B1, C1) και

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Από το (1,57) είναι εύκολο να ληφθεί η συνθήκη της καθετότητας

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

και παραλληλισμός (1.59) αεροπλάνα και τα κανονικά τους.

Απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M0(x0, y0, z0) στο επίπεδο (1,54)

ορίζεται από την έκφραση: (1.60)

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) γράφεται πιο εύκολα χρησιμοποιώντας τη συνθήκη συμπαραλληλότητας (1.25) των διανυσμάτων όπου M(x, y , z) είναι το τρέχον σημείο του επιπέδου.

(1.61)

Παρουσιάζουμε την εξίσωση για μια δέσμη επιπέδων (δηλ.

Σύνολα αεροπλάνων που διέρχονται από μια ευθεία γραμμή) - είναι βολικό να το χρησιμοποιήσετε σε πολλά προβλήματα.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Όπου l Î R, και σε παρένθεση είναι οι εξισώσεις οποιωνδήποτε δύο επιπέδων της δέσμης.

Ερωτήσεις ελέγχου.

1) Πώς να ελέγξετε ότι το δεδομένο σημείο βρίσκεται στην επιφάνεια που δίνεται από τη δεδομένη εξίσωση;

2) Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα που διακρίνει την εξίσωση ενός επιπέδου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από την εξίσωση άλλων επιφανειών;

3) Πώς είναι το επίπεδο σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων, αν η εξίσωσή του δεν περιέχει: α) ελεύθερο όρο; β) μία από τις συντεταγμένες. γ) δύο συντεταγμένες. δ) μία από τις συντεταγμένες και έναν ελεύθερο όρο. ε) δύο συντεταγμένες και ένας ελεύθερος όρος;

1) Δίνονται οι βαθμοί М1(0,-1,3) και М2(1,3,5). Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ1 και είναι κάθετο στο διάνυσμα Διάλεξε την σωστή απάντηση:

ΕΝΑ) ; β) .

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και . Διάλεξε την σωστή απάντηση:

α) 135ο, β) 45ο

1.7.2. Ευθεία. Αεροπλάνα των οποίων οι κανονικές δεν είναι συγγραμμικές ή τέμνονται, ορίζοντας μοναδικά τη γραμμή ως τη γραμμή τομής τους, η οποία γράφεται ως εξής:

Μέσω αυτής της γραμμής μπορεί κανείς να σχεδιάσει άπειρα πολλά επίπεδα (ένα μολύβι επιπέδων (1.62)), συμπεριλαμβανομένων εκείνων που το προβάλλουν στα επίπεδα συντεταγμένων. Για να ληφθούν οι εξισώσεις τους, αρκεί ο μετασχηματισμός (1.63), εξαλείφοντας έναν άγνωστο από κάθε εξίσωση και αναγωγή τους, για παράδειγμα, στη μορφή (1.63`).

Ας ορίσουμε την εργασία - να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από το σημείο M0 (x0, y0, z0) παράλληλο με το διάνυσμα `S (l, m, n) (λέγεται οδηγός). Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) στην επιθυμητή γραμμή. Διανύσματα και πρέπει να είναι συγγραμμική, από όπου λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

(1.64) ή (1.64`)

όπου cosa, cosb, cosg είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος `S. Από το (1.64) είναι εύκολο να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M1(x1, y1, z1) και M2(x2, y2, z2) (είναι παράλληλη )

Ή (1,64``)

(Οι τιμές των κλασμάτων στο (1.64) είναι ίσες για κάθε σημείο της ευθείας και μπορούν να συμβολίζονται με t, όπου t R. Αυτό σας επιτρέπει να εισάγετε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας

Κάθε τιμή της παραμέτρου t αντιστοιχεί σε ένα σύνολο συντεταγμένων x, y, z ενός σημείου στη γραμμή ή (αλλιώς) - τις τιμές των αγνώστων που ικανοποιούν τις εξισώσεις της γραμμής).

Χρησιμοποιώντας τις ήδη γνωστές ιδιότητες των διανυσμάτων και των πράξεων σε αυτά και τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, είναι εύκολο να ληφθούν οι ακόλουθοι τύποι:

Γωνία μεταξύ των γραμμών: (1.65)

Συνθήκη παραλληλισμού (1,66).

καθετότητα l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) ευθείες.

Γωνία μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου (αποκτάται εύκολα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ της ευθείας και της κανονικής προς το επίπεδο, η οποία αθροίζεται στο επιθυμητό p / 2)

(1.68)

Από το (1,66) προκύπτει η συνθήκη παραλληλισμού Al + Bm + Cn = 0 (1,69)

και καθετότητα (1,70) ευθείας και επιπέδου. Η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να βρίσκονται δύο γραμμές στο ίδιο επίπεδο μπορεί εύκολα να ληφθεί από τη συνθήκη συμπαραλληλότητας (1.25).

(1.71)

Ερωτήσεις ελέγχου.

1) Ποιοι είναι οι τρόποι για να ορίσετε μια ευθεία γραμμή στο διάστημα;

1) Γράψτε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (4,3,0) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα Προσδιορίστε τη σωστή απάντηση:

ΕΝΑ) ; σι) .

2) Να γράψετε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(2,-1,3) και Β(2,3,3). Υποδείξτε τη σωστή απάντηση.

ΕΝΑ) ; β) .

3) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο: , . Προσδιορίστε τη σωστή απάντηση:

α) (6,4,5); β) (6, -4,5).

1.7.3. Επιφάνειες δεύτερης τάξης. Αν γραμμική εξίσωσησε μια τρισδιάστατη καρτεσιανή βάση ορίζει μοναδικά ένα επίπεδο, οποιοδήποτε μη γραμμική εξίσωση, που περιέχει x, y, z περιγράφει κάποια άλλη επιφάνεια. Αν η εξίσωση μοιάζει

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, τότε περιγράφει μια επιφάνεια δεύτερης τάξης (γενική εξίσωση επιφάνειας δεύτερης τάξης). Επιλέγοντας ή μετασχηματίζοντας καρτεσιανές συντεταγμένες, η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο, οδηγώντας σε μία από τις ακόλουθες μορφές που περιγράφουν την αντίστοιχη επιφάνεια.

1. Οι κανονικές εξισώσεις κυλίνδρων δεύτερης τάξης, των οποίων οι γεννήτριες είναι παράλληλες με τον άξονα Oz, και οι αντίστοιχες καμπύλες δεύτερης τάξης που βρίσκονται στο επίπεδο xOy χρησιμεύουν ως οδηγοί:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

ελλειπτικοί, υπερβολικοί και παραβολικοί κύλινδροι, αντίστοιχα.

(Θυμηθείτε ότι μια κυλινδρική επιφάνεια ονομάζεται επιφάνεια που λαμβάνεται με κίνηση μιας ευθείας γραμμής, που ονομάζεται γεννήτρια, παράλληλη προς τον εαυτό της. Η γραμμή τομής αυτής της επιφάνειας με ένα επίπεδο κάθετο στη γεννήτρια ονομάζεται οδηγός - καθορίζει το σχήμα της επιφάνειας).

Κατ' αναλογία, μπορεί κανείς να γράψει τις εξισώσεις των ίδιων κυλινδρικών επιφανειών με γεννήτριες παράλληλες προς τον άξονα Oy και τον άξονα Ox. Ο οδηγός μπορεί να οριστεί ως η γραμμή τομής της επιφάνειας του κυλίνδρου και του αντίστοιχου επιπέδου συντεταγμένων, δηλ. σύστημα εξισώσεων της μορφής:

2. Εξισώσεις κώνου δεύτερης τάξης με κορυφή στην αρχή:

(1.75)

(οι άξονες του κώνου είναι οι άξονες Oz, Oy και Ox, αντίστοιχα)

3. Κανονική Εξίσωσηελλειψοειδές: (1,76);

Ειδικές περιπτώσεις είναι ελλειψοειδή της επανάστασης, για παράδειγμα - η επιφάνεια που προκύπτει με την περιστροφή της έλλειψης γύρω από τον άξονα Οζ (Πότε

а > с το ελλειψοειδές συμπιέζεται, για x2 + y2+ z2 + = r2 είναι η εξίσωση μιας σφαίρας ακτίνας r με κέντρο στην αρχή).

4. Κανονική εξίσωση μονόφυλλου υπερβολοειδούς

(το σύμβολο "-" μπορεί να σταθεί πριν από οποιονδήποτε από τους τρεις όρους στην αριστερή πλευρά - αυτό αλλάζει μόνο τη θέση της επιφάνειας στο χώρο). Συγκεκριμένες περιπτώσεις είναι για παράδειγμα υπερβολοειδή περιστροφής ενός φύλλου είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της υπερβολής γύρω από τον άξονα Oz (ο νοητός άξονας της υπερβολής).

5. Κανονική εξίσωση υπερβολοειδούς δύο φύλλων

(το σύμβολο «-» μπορεί να τοποθετηθεί μπροστά από οποιονδήποτε από τους τρεις όρους στην αριστερή πλευρά).

Ιδιαίτερες περιπτώσεις είναι υπερβολοειδή περιστροφής δύο φύλλων, για παράδειγμα, μια επιφάνεια που λαμβάνεται με περιστροφή μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα Oz (ο πραγματικός άξονας της υπερβολής).

6. Κανονική εξίσωση ελλειπτικού παραβολοειδούς

(p >0, q >0) (1,79)

7. Κανονική εξίσωση ενός υπερβολικού παραβολοειδούς

(p >0, q >0) (1,80)

(η μεταβλητή z μπορεί να αλλάξει θέσεις με οποιαδήποτε από τις μεταβλητές x και y - η θέση της επιφάνειας στο διάστημα θα αλλάξει).

Σημειώστε ότι είναι εύκολο να πάρετε μια ιδέα για τα χαρακτηριστικά (σχήμα) αυτών των επιφανειών εξετάζοντας τμήματα αυτών των επιφανειών κατά επίπεδα κάθετα στους άξονες συντεταγμένων.

Ερωτήσεις ελέγχου.

1) Ποιο σύνολο σημείων στον χώρο ορίζει την εξίσωση;

2) Ποιες είναι οι κανονικές εξισώσεις των κυλίνδρων δεύτερης τάξης; κώνοι δεύτερης τάξης. ελλειψοειδές? υπερβολοειδές ενός φύλλου. υπερβολοειδές δύο φύλλων. ελλειπτικό παραβολοειδές; υπερβολικό παραβολοειδές;

1) Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα της σφαίρας και υποδείξτε τη σωστή απάντηση:

α) C (1,5; -2,5; 2), ; β) С(1,5;2,5;2), ;

2) Προσδιορίστε τον τύπο της επιφάνειας που δίνεται από τις εξισώσεις: . Προσδιορίστε τη σωστή απάντηση:

α) υπερβολοειδές ενός φύλλου. υπερβολικό παραβολοειδές; ελλειπτικό παραβολοειδές; κώνος.

β) υπερβολοειδές δύο φύλλων. υπερβολικό παραβολοειδές; ελλειπτικό παραβολοειδές; κώνος.

Διάλεξη 2. Το επίπεδο ως επιφάνεια πρώτης τάξης. Επίπεδες εξισώσεις και η μελέτη τους. Ευθεία γραμμή στο διάστημα αμοιβαία διευθέτησηευθείες στο διάστημα, επίπεδο και ευθεία στο διάστημα. Γραμμή σε επίπεδο, εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο, απόσταση από σημείο σε ευθεία σε επίπεδο. Καμπύλες δεύτερης τάξης. εξαγωγή κανονικών εξισώσεων, μελέτη εξισώσεων και κατασκευή καμπυλών. Επιφάνειες δεύτερης τάξης, μελέτη κανονικών εξισώσεων επιφανειών. Μέθοδος τομής. 1

Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας § 1. Επίπεδο. Έχουμε OXYZ και κάποια επιφάνεια S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Ορισμός 1: μια εξίσωση με τρεις μεταβλητές ονομάζεται εξίσωση μιας επιφάνειας S στο χώρο αν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες κάθε σημείο που βρίσκεται στην επιφάνεια και όχι από τις συντεταγμένες κανένα σημείο που βρίσκεται πάνω του. 2

Παράδειγμα. Η εξίσωση (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) ορίζει μια σφαίρα με κέντρο στο σημείο C(a, b, c) και την ακτίνα R. M M( x , y, z) είναι ένα μεταβλητό σημείο M ϵ (S) |CM| = RC 3

Ορισμός 2: Μια επιφάνεια S ονομάζεται επιφάνεια της νης τάξης εάν, σε κάποιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, δίνεται από μια αλγεβρική εξίσωση nου βαθμού F(x, y, z) = 0 (1) Στο παράδειγμα ( S) - ένας κύκλος, μια επιφάνεια δεύτερης τάξης. Εάν το S είναι μια επιφάνεια της nης τάξης, τότε το F(x, y, z) είναι ένα πολυώνυμο n ου βαθμού σε σχέση με (x, y, z) Θεωρήστε τη μοναδική επιφάνεια της 1ης τάξης - το επίπεδο. Ας συνθέσουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M (x, y, z), με το κανονικό διάνυσμα 4

Έστω M(x, y, z) ένα αυθαίρετο (τρέχον) σημείο του επιπέδου. M M 0 О α ή σε μορφή συντεταγμένων: (2) Εξίσωση (2) - η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M με το δεδομένο κανονικό διάνυσμα. 5

D (*) (3) - πλήρης εξίσωση του επιπέδου Ημιτελής εξίσωση του επιπέδου. Αν στην εξίσωση (3) αρκετοί συντελεστές (αλλά όχι ταυτόχρονα Α, Β, Γ) = 0, τότε η εξίσωση λέγεται ελλιπής και το επίπεδο α έχει ιδιομορφίες στη θέση τους. Για παράδειγμα, αν D = 0, τότε το α διέρχεται από την αρχή. 6

Η απόσταση από το σημείο M 1 έως το επίπεδο α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 εφαρμόζεται στο σημείο M 0 K 7

- απόσταση από το σημείο M 1 έως το επίπεδο α Εξίσωση του επιπέδου "σε τμήματα" Ας κάνουμε την εξίσωση του επιπέδου που αποκόπτει μη μηδενικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων με τιμές C(0, 0, c) a, προ ΧΡΙΣΤΟΥ. Ας πάρουμε το B(0, b, 0) ως εξίσωση για το σημείο A με A(a, 0, 0) 8

- εξίσωση του επιπέδου α "σε τμήματα" - εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Α, κάθετο στο κανονικό διάνυσμα 9

§ 2. Γενική εξίσωση ευθείας. Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να οριστεί από την τομή 2 επιπέδων. (1) εξίσωση ευθείας γραμμής Ένα σύστημα της μορφής (1) ορίζει μια ευθεία γραμμή στο διάστημα εάν οι συντελεστές A 1, B 1, C 1 είναι ταυτόχρονα δυσανάλογοι προς A 2, B 2, C 2. 10

Παραμετρικές και κανονικές εξισώσεις ευθείας - αυθαίρετη γραμμή σημείου σημείο M M 0 Παραμετρική εξίσωση t - παράμετρος 11

Εξαιρώντας το t, παίρνουμε: - η κανονική εξίσωση Σύστημα (3) προσδιορίζει την κίνηση ενός υλικού σημείου, ευθύγραμμου και ομοιόμορφου από την αρχική θέση M 0(x 0, y 0, z 0) με ταχύτητα προς την κατεύθυνση του διανύσματος . 12

Γωνία μεταξύ των γραμμών στο διάστημα. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας. Έστω δύο ευθείες L 1, L 2 στο διάστημα που δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις: Τότε το πρόβλημα του προσδιορισμού της γωνίας μεταξύ αυτών των γραμμών ανάγεται στον προσδιορισμό της γωνίας

τα διανύσματα κατεύθυνσής τους: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου και την έκφραση στις συντεταγμένες του καθορισμένου βαθμωτό γινόμενο και τα μήκη των διανυσμάτων q 1 και q 2, βρίσκουμε: 15

Η συνθήκη παραλληλισμού των ευθειών l 1 και l 2 αντιστοιχεί στη συγγραμμικότητα των q 1 και q 2, συνίσταται στην αναλογικότητα των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή έχει τη μορφή: Η συνθήκη της καθετότητας προκύπτει από τον ορισμό του κλιμακωτή γινόμενο και την ισότητα του στο μηδέν (σε συν = 0) και έχει τη μορφή : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου: συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθείας και επιπέδου Θεωρούμε το επίπεδο P, που δίνεται από τη γενική εξίσωση: Ax + By + Cz + D = 0, και την ευθεία L, που δίνεται από την κανονική εξίσωση: 17

Εφόσον η γωνία μεταξύ της ευθείας L και του επιπέδου P είναι συμπληρωματική της γωνίας μεταξύ του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας q = (l, m, n) και του κανονικού διανύσματος του επιπέδου n = (A, B, C), τότε από τον ορισμό του κλιμακωτού γινομένου q n = q n cos και ισότητες cos = sin (= 90 -), παίρνουμε: 18

Η συνθήκη παραλληλισμού της ευθείας L και του επιπέδου P (που περιλαμβάνει το γεγονός ότι το L ανήκει στο P) είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων q και n και εκφράζεται = 0 του βαθμωτού γινόμενου αυτών των διανυσμάτων: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Η συνθήκη της καθετότητας της ευθείας L και του επιπέδου P είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη παραλληλισμού των διανυσμάτων n και q και εκφράζεται με την αναλογικότητα των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων: 19

Συνθήκες για να ανήκουν δύο ευθείες στο ίδιο επίπεδο Δύο ευθείες στο χώρο L 1 και L 2 μπορούν: 1) να τέμνονται. 2) να είναι παράλληλη. 3) διασταύρωση. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, οι ευθείες L 1 και L 2 βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ας καθορίσουμε την συνθήκη του να ανήκεις στο ίδιο επίπεδο δύο ευθειών που δίνονται από κανονικές εξισώσεις: 20

Προφανώς, για να ανήκουν οι δύο υποδεικνυόμενες γραμμές στο ίδιο επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό τρία διανύσματα = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1). q 1 = (l 1, m 1, n 1) και q 2 = (l 2, m 2, n 2), ήταν συνεπίπεδα, για τα οποία, με τη σειρά του, είναι απαραίτητο και επαρκές το μικτό γινόμενο αυτών των τριών διανυσμάτων = 0. 21

Σημειώνω μικτά έργααπό τα υποδεικνυόμενα διανύσματα σε συντεταγμένες, λαμβάνουμε την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για να ανήκουν δύο ευθείες L 1 και L 2 στο ίδιο επίπεδο: 22

Συνθήκη για να ανήκει μια ευθεία σε επίπεδο Έστω μια ευθεία και ένα επίπεδο Ax + Vy + Cz + D = 0. Αυτές οι συνθήκες έχουν τη μορφή: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 και Al + Bm + Cn = 0, το πρώτο εκ των οποίων σημαίνει ότι το σημείο M 1 (x1, y1, z 1), από το οποίο διέρχεται η ευθεία, ανήκει στο επίπεδο και το δεύτερο είναι η συνθήκη παραλληλισμού της ευθείας και του επιπέδου. 23

Καμπύλες δεύτερης τάξης. § 1. Η έννοια της εξίσωσης ευθείας σε επίπεδο. Η εξίσωση f (x, y) = 0 ονομάζεται εξίσωση της ευθείας L στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων εάν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην ευθεία και όχι από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτήν. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Παράδειγμα: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Μια ευθεία L ονομάζεται γραμμή ν-ης τάξης εάν, σε κάποιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, δίνεται από μια αλγεβρική εξίσωση του n-ου βαθμού ως προς τα x και y. Γνωρίζουμε τη μοναδική ευθεία 1ης τάξης - ευθεία: Ax + By + D = 0 Θα εξετάσουμε καμπύλες 2ης τάξης: έλλειψη, υπερβολή, παραβολή. Η γενική εξίσωση των γραμμών 2ης τάξης είναι: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Έλειψη (Ε) Ορισμός. Έλειψη - το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων των οποίων σε δύο σταθερά σημεία του επιπέδου F 1 και F 2, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερά και μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών. Συμβολίζουμε τη σταθερά 2 a, την απόσταση μεταξύ των εστιών 2 γ. Ας τραβήξουμε τον άξονα Χ μέσα από τις εστίες, (a > c, a > 0, c > 0). ο άξονας Υ μέσω των μεσαίων σημείων της εστιακής απόστασης. Έστω M ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης, δηλ. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), όπου r 1, r 2 είναι εστιακές 27 ακτίνες του E.

Γράφουμε (1) σε μορφή συντεταγμένων: (2) Αυτή είναι η εξίσωση μιας έλλειψης στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων. Απλοποιώντας το (2) παίρνουμε: b 2 = a 2 - c 2 (3) είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Μπορεί να φανεί ότι τα (2) και (3) είναι ισοδύναμα: 28

Μελέτη του σχήματος μιας έλλειψης σύμφωνα με την κανονική εξίσωση 1) Η έλλειψη είναι καμπύλη 2ης τάξης 2) Συμμετρία έλλειψης. αφού τα x και y περιλαμβάνονται στο (3) μόνο σε ζυγές δυνάμεις, τότε η έλλειψη έχει 2 άξονες και 1 κέντρο συμμετρίας, τα οποία στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων συμπίπτουν με τους επιλεγμένους άξονες συντεταγμένων και το σημείο Ο. 29

3) Η θέση της έλλειψης Δηλαδή ολόκληρο το Ε βρίσκεται μέσα σε ένα ορθογώνιο, οι πλευρές του οποίου είναι x = ± a και y = ± b. 4) Διασταύρωση με άξονες. Α 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: κορυφές της έλλειψης C OC: B 1(0; b); Β2(0; -b); Λόγω της συμμετρίας της έλλειψης, θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά της (↓) μόνο στο πρώτο τέταρτο. τριάντα

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Επίλυση (3) ως προς το y, παίρνουμε: στο πρώτο τεταρτημόριο x > 0 και το η έλλειψη μειώνεται."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Υπερβολή (G) Ορισμός: Г είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το μέτρο της διαφοράς αποστάσεων των οποίων σε 2 σταθερά σημεία του επιπέδου F 1 , F 2 είναι σταθερή τιμή και

Απλοποίηση (1): (2) είναι η κανονική εξίσωση του G. (1) και (2) είναι ισοδύναμα. Διερεύνηση υπερβολής σύμφωνα με την κανονική εξίσωση 1) Γ-γραμμή 2ης τάξης 2) Г έχει δύο άξονες και ένα κέντρο συμμετρίας, που στην περίπτωσή μας συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων και την αρχή. 3) Η θέση της υπερβολής. 34

Η υπερβολή βρίσκεται έξω από τη λωρίδα μεταξύ των ευθειών x = a, x = -a. 4) Σημεία τομής με άξονες. OX: OY: δεν έχει λύσεις A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – πραγματικές κορυφές του Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - φανταστικές κορυφές Г 2 a - πραγματικός άξονας Г 2 b - φανταστικός άξονας Г 35

5) Ασύμπτωτες υπερβολής. Λόγω της συμμετρίας του Γ, ας εξετάσουμε το μέρος του στο πρώτο τέταρτο. Επιλύοντας το (2) ως προς το y, παίρνουμε: η εξίσωση Г στο I τέταρτο x ≥ 0 αντίστοιχο σημείο Γ, δηλ. στο πρώτο τέταρτο Γ βρίσκεται κάτω από αυτή τη γραμμή. Όλα Г βρίσκονται σε κατακόρυφη γωνία με πλευρές 36

6) Μπορεί να φανεί ότι στο πρώτο μέρος το G αυξάνεται 7) Το σχέδιο για την κατασκευή του G

Παραβολή (P) Θεωρούμε d (directrix) και F (εστίαση) σε ένα επίπεδο. Ορισμός. P - το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από την ευθεία d και το σημείο F (εστίαση) 39

d-directrix F-εστίαση XOY σημείο M P μετά |MF| = |MN| (1) Επιλεγμένη εξίσωση P στο σύστημα συντεταγμένων Απλοποιώντας (1) παίρνουμε y 2 = 2 px (2) – την κανονική εξίσωση P.

Έρευνα P σύμφωνα με την κανονική εξίσωση x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Κύλινδροι. Κυλινδρικές επιφάνειες με γεννήτριες παράλληλες στους άξονες συντεταγμένων Μέσω του σημείου x της ευθείας L σχεδιάζουμε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα ΟΖ. Η επιφάνεια που σχηματίζεται από αυτές τις γραμμές ονομάζεται κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος (C). Οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OZ ονομάζεται γεννήτρια. l - οδηγός της κυλινδρικής επιφάνειας του επιπέδου XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Έστω M(x, y, z) ένα αυθαίρετο σημείο στην κυλινδρική επιφάνεια. Το προβάλλουμε στο L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, ότι είναι, οι συντεταγμένες M ικανοποιούν (1) είναι προφανές ότι αν το M είναι C, τότε δεν προβάλλεται στο σημείο M 0 ϵ L και, επομένως, οι συντεταγμένες του M δεν θα ικανοποιούν την εξίσωση (1), η οποία ορίζει το C με μια γεννήτρια παράλληλη προς τον άξονα OZ στο διάστημα. Ομοίως, μπορούμε να δείξουμε ότι: Ф(x, z) = 0 στο διάστημα Ц || OY 43 (y, z) = 0 ορίζει στο διάστημα Ц || ΒΟΔΙ

Προβολή χωρικής γραμμής σε επίπεδο συντεταγμένων Μια γραμμή στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί παραμετρικά και από την τομή των επιφανειών. Μια και η ίδια γραμμή μπορεί να δοθεί από ∩ διαφορετικές επιφάνειες. Έστω η ευθεία διαστήματος L που δίνεται από ∩ δύο επιφανειών α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 εξίσωση L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Ας βρούμε την προβολή του L στο επίπεδο XOY από την εξίσωση (1) εξαιρέσουμε το Z. Παίρνουμε την εξίσωση: Z(x, y) = 0 – στο διάστημα αυτή είναι η εξίσωση Ц με γεννήτρια || OZ και οδηγός L. 46

Προβολή: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Επιφάνειες δεύτερης τάξης Ελλειψοειδές – η κανονική εξίσωση της επιφάνειας έχει τη μορφή: 1) Ελλειψοειδές – επιφάνεια δεύτερης τάξης. 2) X, Y, Z εισάγετε την εξίσωση μόνο σε ζυγές δυνάμεις => η επιφάνεια έχει 3 επίπεδα και 1 κέντρο συμμετρίας, τα οποία στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων συμπίπτουν με τα επίπεδα συντεταγμένων και την αρχή. 47

3) Θέση του ελλειψοειδούς Η επιφάνεια περικλείεται μεταξύ || επίπεδα με τις εξισώσεις x = a, x = -a. Ομοίως, δηλ. ολόκληρη η επιφάνεια περικλείεται μέσα σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Θα εξερευνήσουμε την επιφάνεια με τη μέθοδο των τομών - διέλευση της επιφάνειας με επίπεδα συντεταγμένων || συντεταγμένη. Στην ενότητα θα πάρουμε γραμμές, από το σχήμα των οποίων θα κρίνουμε το σχήμα της επιφάνειας. 48

Τέμνουμε την επιφάνεια με το επίπεδο XOY. Στην ενότητα παίρνουμε μια γραμμή. - έλλειψη α και β - ημιάξονες Ομοίως με το επίπεδο YOZ - έλλειψη με ημιάξονες b και c Επίπεδο || XOY Αν h(0, c), τότε οι άξονες της έλλειψης μειώνονται από a και b σε 0. 49

a = b = c - σφαίρα Παραβολοειδή α) Ένα υπερβολικό παραβολοειδές είναι μια επιφάνεια με κανονική εξίσωση: 1) Επιφάνεια δεύτερης τάξης 2) Εφόσον τα x, y εισέρχονται στην εξίσωση μόνο σε ζυγές δυνάμεις, η επιφάνεια έχει επίπεδα συμμετρίας που συμπίπτουν με δίνεται επιλογή συντεταγμένων με 50 αεροπλάνα XOZ, YOZ.

3) εξετάζουμε την επιφάνεια με τη μέθοδο του τμήματος σέλα πλ. XOZ Σε διατομή, παραβολή συμμετρική προς τον άξονα OZ, ανοδική. πλ. ΓΙΟΖ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY για υπερβολή h > 0, με πραγματικό ημιάξονα κατά μήκος OX, για h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

β) Υπερβολοειδές δύο φύλλων 1) επιφάνεια δεύτερης τάξης 2) έχει 3 επίπεδα και 1 κέντρο συμμετρίας 3) θέση της επιφάνειας x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (α, β, γ > 0) Η επιφάνεια αποτελείται από δύο μέρη που βρίσκονται εκτός της λωρίδας μεταξύ των επιπέδων με τις εξισώσεις x = a, x = -a 4) μελετάμε με τη μέθοδο των τομών (Ανεξάρτητα!) 57

Κώνος δεύτερης τάξης Κώνος δεύτερης τάξης είναι μια επιφάνεια της οποίας η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή: 1) επιφάνεια δεύτερης τάξης 2) έχει 3 επίπεδα και 1 κέντρο συμμετρίας 3) μελετάμε τη μέθοδο των τομών πλ. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ από 0 έως ∞ τετρ. YOZ ζεύγος γραμμών , περνώντας από"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

Με τη διαφορά ότι αντί για «επίπεδα» γραφήματα, θα εξετάσουμε τις πιο κοινές χωρικές επιφάνειες, και επίσης θα μάθουμε πώς να τις κατασκευάζουμε σωστά με το χέρι. Αναζητώ εργαλεία λογισμικού για τη δημιουργία τρισδιάστατων σχεδίων εδώ και αρκετό καιρό και βρήκα μερικές καλές εφαρμογές, αλλά παρά την ευκολία χρήσης, αυτά τα προγράμματα δεν λύνουν καλά ένα σημαντικό πρακτικό ζήτημα. Το γεγονός είναι ότι στο ορατό ιστορικό μέλλον, οι μαθητές θα εξακολουθούν να είναι οπλισμένοι με έναν χάρακα με ένα μολύβι, και ακόμη και έχοντας ένα υψηλής ποιότητας σχέδιο "μηχανής", πολλοί δεν θα μπορούν να το μεταφέρουν σωστά σε καρό χαρτί. Επομένως, στο εκπαιδευτικό εγχειρίδιο δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην τεχνική της χειροκίνητης κατασκευής και ένα σημαντικό μέρος των εικονογραφήσεων στη σελίδα είναι ένα χειροποίητο προϊόν.

Σε τι διαφέρει αυτό το υλικό αναφοράς από τα ανάλογα;

Με αξιοπρεπή πρακτική εμπειρία, γνωρίζω πολύ καλά ποιες επιφάνειες αντιμετωπίζονται συχνότερα σε πραγματικά προβλήματα ανώτερων μαθηματικών και ελπίζω ότι αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει να αναπληρώσετε γρήγορα τις αποσκευές σας με σχετικές γνώσεις και εφαρμοσμένες δεξιότητες, που είναι 90-95% των περιπτώσεων θα πρέπει να επαρκεί.

Αυτό που χρειάζεται για να μπορείς αυτή τη στιγμή?

Το πιο στοιχειώδες:

Πρώτον, πρέπει να είστε σε θέση χτίστε σωστάχωρικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (δείτε την αρχή του άρθρου Γραφήματα και ιδιότητες συναρτήσεων) .

Τι θα κερδίσετε αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο;

Μπουκάλι Αφού καταλάβετε τα υλικά του μαθήματος, θα μάθετε πώς να προσδιορίζετε γρήγορα τον τύπο της επιφάνειας από τη λειτουργία ή/και την εξίσωσή της, να φανταστείτε πώς βρίσκεται στο χώρο και, φυσικά, να κάνετε σχέδια. Είναι εντάξει αν δεν χωρούν όλα στο μυαλό σας από την 1η ανάγνωση - μπορείτε πάντα να επιστρέψετε σε οποιαδήποτε παράγραφο, όπως χρειάζεται αργότερα.

Η πληροφορία είναι στη δύναμη του καθενός - για την ανάπτυξή της δεν χρειάζεται καμία υπερ-γνώση, ιδιαίτερο καλλιτεχνικό ταλέντο και χωρική όραση.

Αρχίζουν!

Στην πράξη συνήθως δίνεται η χωρική επιφάνεια συνάρτηση δύο μεταβλητώνή μια εξίσωση της μορφής (η σταθερά της δεξιάς πλευράς είναι τις περισσότερες φορές ίση με μηδέν ή ένα). Ο πρώτος προσδιορισμός είναι πιο τυπικός για μαθηματική ανάλυση, ο δεύτερος - για αναλυτική γεωμετρία. Η εξίσωση, στην ουσία, είναι σιωπηρά δοθείσυνάρτηση 2 μεταβλητών, οι οποίες σε τυπικές περιπτώσεις μπορούν εύκολα να μειωθούν στη μορφή . Σας υπενθυμίζω το απλούστερο παράδειγμα γ :

–επίπεδο εξίσωσηείδος.

είναι η συνάρτηση επιπέδου σε ρητά .

Ας ξεκινήσουμε με αυτό:

Κοινές εξισώσεις επιπέδου

Τυπικές επιλογέςΗ διάταξη των επιπέδων σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων εξετάζεται λεπτομερώς στην αρχή του άρθρου Επίπεδη εξίσωση. Παρόλα αυτά, για άλλη μια φορά θα σταθούμε σε εξισώσεις που έχουν μεγάλη σημασία για την πρακτική.

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να αναγνωρίσετε πλήρως τις εξισώσεις των επιπέδων που είναι παράλληλα με τα επίπεδα συντεταγμένων. Τα θραύσματα των επιπέδων απεικονίζονται τυπικά ως ορθογώνια, τα οποία στις δύο τελευταίες περιπτώσεις μοιάζουν με παραλληλόγραμμα. Από προεπιλογή, μπορείτε να επιλέξετε οποιεσδήποτε διαστάσεις (εντός λογικών ορίων, φυσικά), ενώ είναι επιθυμητό το σημείο στο οποίο ο άξονας συντεταγμένων "τρυπάει" το επίπεδο να είναι το κέντρο συμμετρίας:


Αυστηρά μιλώντας, οι άξονες συντεταγμένων σε ορισμένα σημεία θα έπρεπε να απεικονίζονται με διακεκομμένη γραμμή, αλλά για να αποφευχθεί η σύγχυση, θα παραμελήσουμε αυτήν την απόχρωση.

– (αριστερό σχέδιο)η ανισότητα ορίζει το μισό διάστημα που βρίσκεται πιο μακριά από εμάς, εξαιρουμένου του ίδιου του επιπέδου.

– (μεσαίο σχέδιο)η ανισότητα ορίζει το δεξιό μισό διάστημα, συμπεριλαμβανομένου του επιπέδου.

– (δεξιό σχέδιο)μια διπλή ανισότητα καθορίζει ένα "στρώμα" που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων , συμπεριλαμβανομένων και των δύο επιπέδων.

Για αυτοπροπόνηση:

Παράδειγμα 1

Σχεδιάστε ένα σώμα που οριοθετείται από επίπεδα
Να συνθέσετε ένα σύστημα ανισοτήτων που ορίζουν το δεδομένο σώμα.

Ένας παλιός γνώριμος πρέπει να βγει από κάτω από το μολύβι σας κυβοειδές. Μην ξεχνάτε ότι οι αόρατες άκρες και τα πρόσωπα πρέπει να σχεδιάζονται με μια διακεκομμένη γραμμή. Ολοκληρώθηκε η ζωγραφική στο τέλος του μαθήματος.

Σας παρακαλούμε, ΜΗΝ ΑΜΕΛΗΣΕΙΣ Στόχοι μάθησης, ακόμα κι αν φαίνονται πολύ απλά. Διαφορετικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι το έχασαν μία φορά, το έχασαν δύο και στη συνέχεια πέρασαν μια ώρα λειάνοντας ένα τρισδιάστατο σχέδιο σε κάποιο πραγματικό παράδειγμα. Επιπλέον, η μηχανική εργασία θα βοηθήσει στην εκμάθηση του υλικού πολύ πιο αποτελεσματικά και στην ανάπτυξη της νοημοσύνης! Δεν είναι τυχαίο ότι στο νηπιαγωγείοΚαι δημοτικό σχολείοΤα παιδιά είναι φορτωμένα με σχέδια, μοντελοποίηση, σχεδιαστές και άλλες εργασίες εξαιρετικές δεξιότητες στο να χειρίζεστε μηχανήδάχτυλα. Με συγχωρείτε για την παρέκκλιση, αλλά τα δύο τετράδια μου για την αναπτυξιακή ψυχολογία δεν πρέπει να εξαφανιστούν =)

Θα ονομάσουμε υπό όρους την ακόλουθη ομάδα επιπέδων "άμεσες αναλογίες" - αυτά είναι επίπεδα που διέρχονται από τους άξονες συντεταγμένων:

2) η εξίσωση της μορφής ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα.

3) η εξίσωση της μορφής ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα.

Αν και το επίσημο πρόσημο είναι εμφανές (ποια μεταβλητή λείπει από την εξίσωση - το επίπεδο διέρχεται από αυτόν τον άξονα), είναι πάντα χρήσιμο να κατανοήσουμε την ουσία των γεγονότων που λαμβάνουν χώρα:

Παράδειγμα 2

Κατασκευή αεροπλάνου

Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος κατασκευής; Προτείνω τον παρακάτω αλγόριθμο:

Αρχικά, ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή , από την οποία φαίνεται καθαρά ότι το "y" μπορεί να πάρει όποιοςαξίες. Καθορίζουμε την τιμή, δηλαδή θα εξετάσουμε το επίπεδο συντεταγμένων. Οι εξισώσεις που τέθηκαν χωρική γραμμήπου βρίσκεται στο δεδομένο επίπεδο συντεταγμένων. Ας τραβήξουμε αυτή τη γραμμή στο σχέδιο. Η γραμμή διέρχεται από την αρχή, οπότε για να την κατασκευάσουμε, αρκεί να βρούμε ένα σημείο. Αφήστε . Βάλτε στην άκρη ένα σημείο και τραβήξτε μια γραμμή.

Τώρα πίσω στην εξίσωση του επιπέδου. Αφού το «υ» παίρνει όποιοςτιμές, τότε η ευθεία γραμμή που κατασκευάζεται στο επίπεδο «αντιγράφεται» συνεχώς προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Έτσι σχηματίζεται το αεροπλάνο μας, περνώντας από τον άξονα. Για να ολοκληρώσουμε το σχέδιο, αριστερά και δεξιά της ευθείας παραμερίζουμε δύο παράλληλες γραμμές και «κλείνουμε» το συμβολικό παραλληλόγραμμο με εγκάρσια οριζόντια τμήματα:

Δεδομένου ότι η συνθήκη δεν επέβαλε πρόσθετους περιορισμούς, το θραύσμα του αεροπλάνου μπορούσε να απεικονιστεί ελαφρώς μικρότερο ή ελαφρώς μεγαλύτερο.

Για άλλη μια φορά, επαναλαμβάνουμε την έννοια της χωρικής γραμμικής ανισότητας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα. Πώς να προσδιορίσετε το μισό διάστημα που ορίζει; Ας πάρουμε ένα σημείο δεν ανήκειεπίπεδο, για παράδειγμα, ένα σημείο από το πλησιέστερο σε εμάς ημιδιάστημα και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα:

Ελήφθη σωστή ανισότητα, που σημαίνει ότι η ανισότητα ορίζει το χαμηλότερο (σε σχέση με το επίπεδο ) μισό διάστημα, ενώ το ίδιο το επίπεδο δεν περιλαμβάνεται στη λύση.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε αεροπλάνα
ΕΝΑ) ;
β) .

Αυτές είναι εργασίες για αυτοκατασκευή, σε περίπτωση δυσκολίας χρησιμοποιήστε παρόμοια συλλογιστική. Σύντομες οδηγίες και σχέδια στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, τα επίπεδα παράλληλα προς τον άξονα είναι ιδιαίτερα κοινά. Μια ειδική περίπτωση, όταν το αεροπλάνο διέρχεται από τον άξονα, ήταν ακριβώς στην παράγραφο "β" και τώρα θα αναλύσουμε ένα γενικότερο πρόβλημα:

Παράδειγμα 4

Κατασκευή αεροπλάνου

Λύση: η μεταβλητή "z" δεν συμμετέχει ρητά στην εξίσωση, πράγμα που σημαίνει ότι το επίπεδο είναι παράλληλο προς τον άξονα εφαρμογής. Ας χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική όπως στα προηγούμενα παραδείγματα.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση του επιπέδου στη μορφή από το οποίο είναι σαφές ότι το «Ζ» μπορεί να πάρει όποιοςαξίες. Ας το φτιάξουμε και στο «εγγενές» επίπεδο σχεδιάζουμε τη συνηθισμένη «επίπεδη» ευθεία. Για να το φτιάξετε, είναι βολικό να λαμβάνετε σημεία αναφοράς.

Αφού το «Ζ» παίρνει Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη ευθεία "πολλαπλασιάζεται" συνεχώς πάνω-κάτω, σχηματίζοντας έτσι το επιθυμητό επίπεδο . Σχεδιάστε προσεκτικά ένα παραλληλόγραμμο λογικού μεγέθους:

Ετοιμος.

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα

Η πιο σημαντική εφαρμοσμένη ποικιλία. Αν Ολαπιθανότητα γενική εξίσωση του αεροπλάνου διαφορετικό από το μηδέν, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως , η οποία ονομάζεται επίπεδο εξίσωση σε τμήματα. Προφανώς, το επίπεδο τέμνει τους άξονες συντεταγμένων σε σημεία , και το μεγάλο πλεονέκτημα μιας τέτοιας εξίσωσης είναι η ευκολία σχεδίασης:

Παράδειγμα 5

Κατασκευή αεροπλάνου

Λύση: πρώτα, συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα. Ρίξτε τον ελεύθερο όρο προς τα δεξιά και διαιρέστε και τα δύο μέρη με το 12:

Όχι, αυτό δεν είναι τυπογραφικό λάθος και όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο διάστημα! Εξετάζουμε την προτεινόμενη επιφάνεια με την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε πρόσφατα για αεροπλάνα. Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα , από το οποίο προκύπτει ότι το «Ζ» παίρνει όποιοςαξίες. Διορθώνουμε και κατασκευάζουμε μια έλλειψη στο επίπεδο. Αφού το «Ζ» παίρνει Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη έλλειψη «αντιγράφεται» συνεχώς πάνω-κάτω. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι η επιφάνεια ατελείωτες:

Αυτή η επιφάνεια ονομάζεται ελλειπτικός κύλινδρος. Μια έλλειψη (σε οποιοδήποτε ύψος) ονομάζεται οδηγόςκύλινδρος, και ονομάζονται παράλληλες γραμμές που διέρχονται από κάθε σημείο της έλλειψης δημιουργώνταςκύλινδρο (που κυριολεκτικά τον σχηματίζουν). άξονας είναι ΑΞΟΝΑΣ συμμετριαςεπιφάνεια (αλλά όχι μέρος της!).

Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε μια δεδομένη επιφάνεια ικανοποιούν απαραίτητα την εξίσωση .

Χωρικήη ανισότητα ορίζει το "μέσα" του άπειρου "σωλήνα", συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της κυλινδρικής επιφάνειας, και, κατά συνέπεια, η αντίθετη ανισότητα ορίζει το σύνολο των σημείων έξω από τον κύλινδρο.

Σε πρακτικά προβλήματα, η πιο δημοφιλής περίπτωση είναι όταν οδηγόςκύλινδρος είναι κύκλος:

Παράδειγμα 8

Κατασκευάστε την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση

Είναι αδύνατο να απεικονιστεί ένας ατελείωτος "σωλήνας", επομένως η τέχνη περιορίζεται, κατά κανόνα, στην "κοπή".

Πρώτα, είναι βολικό να χτίσετε έναν κύκλο ακτίνας στο επίπεδο και, στη συνέχεια, μερικούς ακόμη κύκλους πάνω και κάτω. Οι κύκλοι που προκύπτουν ( οδηγούςκύλινδρος) που συνδέονται τακτοποιημένα με τέσσερις παράλληλες ευθείες ( δημιουργώνταςκύλινδρος):

Μην ξεχάσετε να χρησιμοποιήσετε διακεκομμένες γραμμές για αόρατες γραμμές.

Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε έναν δεδομένο κύλινδρο ικανοποιούν την εξίσωση . Οι συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκεται αυστηρά μέσα στον «σωλήνα» ικανοποιούν την ανισότητα και η ανισότητα ορίζει ένα σύνολο σημείων του εξωτερικού τμήματος. Για καλύτερη κατανόηση, συνιστώ να εξετάσετε αρκετά συγκεκριμένα σημεία στο χώρο και να δείτε μόνοι σας.

Παράδειγμα 9

Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε την προβολή της σε ένα επίπεδο

Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα από το οποίο προκύπτει ότι το «x» παίρνει όποιοςαξίες. Ας φτιάξουμε και ας σχεδιάσουμε το επίπεδο κύκλος– με κέντρο στην αρχή, ακτίνα μονάδας. Αφού το "χ" παίρνει συνεχώς Ολατιμές, τότε ο κατασκευασμένος κύκλος δημιουργεί έναν κυκλικό κύλινδρο με άξονα συμμετρίας . Σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο οδηγόςκύλινδρο) και συνδέστε τα προσεκτικά με ευθείες γραμμές ( δημιουργώνταςκύλινδρος). Σε ορισμένα σημεία, αποδείχθηκαν επικαλύψεις, αλλά τι να κάνετε, μια τέτοια κλίση:

Αυτή τη φορά περιορίστηκα σε ένα κομμάτι του κυλίνδρου στο κενό και αυτό δεν είναι τυχαίο. Στην πράξη, είναι συχνά απαραίτητο να απεικονίζεται μόνο ένα μικρό κομμάτι της επιφάνειας.

Εδώ, παρεμπιπτόντως, αποδείχθηκαν 6 γενικές γραμμές - δύο πρόσθετες ευθείες γραμμές "κλείνουν" την επιφάνεια από την επάνω αριστερή και την κάτω δεξιά γωνία.

Τώρα ας ασχοληθούμε με την προβολή του κυλίνδρου στο επίπεδο. Πολλοί αναγνώστες καταλαβαίνουν τι είναι η προβολή, αλλά, ωστόσο, ας περάσουμε άλλα πέντε λεπτά φυσικής αγωγής. Παρακαλούμε σηκωθείτε και γείρετε το κεφάλι σας πάνω από το σχέδιο έτσι ώστε η άκρη του άξονα να φαίνεται κάθετη στο μέτωπό σας. Αυτό που μοιάζει ο κύλινδρος από αυτή τη γωνία είναι η προβολή του στο επίπεδο. Αλλά φαίνεται να είναι μια ατελείωτη λωρίδα, που περικλείεται ανάμεσα σε ευθείες γραμμές, συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των ευθειών. Αυτή η προβολή είναι ακριβώς τομέαλειτουργίες (άνω «αυλάκι» του κυλίνδρου), (κάτω «αυλάκι»).

Παρεμπιπτόντως, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με προβολές σε άλλα επίπεδα συντεταγμένων. Αφήστε τις ακτίνες του ήλιου να λάμπουν στον κύλινδρο από την πλευρά της άκρης και κατά μήκος του άξονα. Η σκιά (προβολή) ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο είναι μια παρόμοια άπειρη λωρίδα - ένα μέρος του επιπέδου που οριοθετείται από ευθείες γραμμές ( - οποιαδήποτε), συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των ευθειών.

Αλλά η προβολή στο αεροπλάνο είναι κάπως διαφορετική. Εάν κοιτάξετε τον κύλινδρο από την άκρη του άξονα, τότε προβάλλεται σε κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με το οποίο ξεκινήσαμε την κατασκευή.

Παράδειγμα 10

Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε τις προβολές της σε επίπεδα συντεταγμένων

Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Εάν η συνθήκη δεν είναι πολύ σαφής, τετραγωνίστε και τις δύο πλευρές και αναλύστε το αποτέλεσμα. μάθετε ποιο ακριβώς τμήμα του κυλίνδρου καθορίζει η συνάρτηση. Χρησιμοποιήστε την τεχνική κατασκευής που έχει χρησιμοποιηθεί επανειλημμένα παραπάνω. Σύντομη λύση, σχέδιο και σχόλια στο τέλος του μαθήματος.

Οι ελλειπτικές και άλλες κυλινδρικές επιφάνειες μπορούν να μετατοπιστούν σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα:

(με τους γνωστούς λόγους ενός άρθρου για Γραμμές 2ης παραγγελίας) - ένας κύλινδρος μοναδιαίας ακτίνας με γραμμή συμμετρίας που διέρχεται από σημείο παράλληλο προς τον άξονα. Ωστόσο, στην πράξη, τέτοιοι κύλινδροι συναντώνται αρκετά σπάνια και είναι απολύτως απίστευτο να συναντήσετε μια κυλινδρική επιφάνεια «λοξή» ως προς τους άξονες συντεταγμένων.

Παραβολικοί κύλινδροι

Όπως υποδηλώνει το όνομα, οδηγόςτέτοιος κύλινδρος είναι παραβολή.

Παράδειγμα 11

Κατασκευάστε μια επιφάνεια και βρείτε τις προβολές της στα επίπεδα συντεταγμένων.

Δεν μπορούσα να αντισταθώ σε αυτό το παράδειγμα =)

Λύση: Ακολουθούμε την πεπατημένη. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή , από την οποία προκύπτει ότι το "Z" μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Ας διορθώσουμε και κατασκευάσουμε μια συνηθισμένη παραβολή στο επίπεδο, έχοντας προηγουμένως επισημάνει τα ασήμαντα σημεία αναφοράς. Αφού το «Ζ» παίρνει Ολατιμές, τότε η κατασκευασμένη παραβολή «αντιγράφεται» συνεχώς πάνω-κάτω στο άπειρο. Αφήνουμε στην άκρη την ίδια παραβολή, ας πούμε, σε ύψος (στο επίπεδο) και τις συνδέουμε προσεκτικά με παράλληλες γραμμές ( γεννήτριες του κυλίνδρου):

υπενθυμίζω χρήσιμη τεχνική: εάν αρχικά δεν υπάρχει εμπιστοσύνη στην ποιότητα του σχεδίου, τότε είναι καλύτερα να σχεδιάσετε πρώτα τις γραμμές λεπτές και λεπτές με ένα μολύβι. Στη συνέχεια αξιολογούμε την ποιότητα του σκίτσου, ανακαλύπτουμε τις περιοχές όπου κρύβεται η επιφάνεια από τα μάτια μας και μόνο τότε ασκούμε πίεση στη γραφίδα.

Προβολές.

1) Η προβολή ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο είναι παραβολή. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση είναι αδύνατο να μιλήσουμε τομείς μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών- για το λόγο ότι η εξίσωση του κυλίνδρου δεν είναι αναγώγιμη στη λειτουργική μορφή .

2) Η προβολή του κυλίνδρου στο επίπεδο είναι ημιεπίπεδο, συμπεριλαμβανομένου του άξονα

3) Και, τέλος, η προβολή του κυλίνδρου πάνω στο επίπεδο είναι ολόκληρο το επίπεδο.

Παράδειγμα 12

Κατασκευάστε παραβολικούς κυλίνδρους:

α) , περιοριζόμαστε σε ένα κομμάτι της επιφάνειας στο σχεδόν μισό διάστημα.

β) ενδιάμεσα

Σε περίπτωση δυσκολιών, δεν βιαζόμαστε και διαφωνούμε κατ' αναλογία με τα προηγούμενα παραδείγματα, ευτυχώς, η τεχνολογία έχει επεξεργαστεί διεξοδικά. Δεν είναι κρίσιμο εάν οι επιφάνειες αποδειχθούν λίγο αδέξιες - είναι σημαντικό να εμφανίζεται σωστά η θεμελιώδης εικόνα. Εγώ ο ίδιος δεν ασχολούμαι ιδιαίτερα με την ομορφιά των γραμμών, αν έχω ένα ανεκτό σχέδιο "βαθμού C", συνήθως δεν το ξανακάνω. Στο διάλυμα του δείγματος, παρεμπιπτόντως, χρησιμοποιήθηκε μια ακόμη τεχνική για τη βελτίωση της ποιότητας του σχεδίου ;-)

Υπερβολικοί κύλινδροι

οδηγούςτέτοιοι κύλινδροι είναι υπερβολές. Αυτός ο τύπος επιφάνειας, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, είναι πολύ πιο σπάνιος από τους προηγούμενους τύπους, επομένως θα περιοριστώ σε ένα μόνο σχηματικό σχέδιο ενός υπερβολικού κυλίνδρου:

Η αρχή του συλλογισμού εδώ είναι ακριβώς η ίδια - η συνηθισμένη σχολική υπερβολήαπό το επίπεδο συνεχώς «πολλαπλασιάζεται» πάνω-κάτω στο άπειρο.

Οι θεωρούμενοι κύλινδροι ανήκουν στα λεγόμενα επιφάνειες 2ης τάξης, και τώρα θα συνεχίσουμε να εξοικειωνόμαστε με άλλους εκπροσώπους αυτής της ομάδας:

Ελλειψοειδές. Σφαίρα και μπάλα

Η κανονική εξίσωση ενός ελλειψοειδούς σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή , όπου είναι θετικοί αριθμοί ( άξονεςελλειψοειδές), το οποίο στη γενική περίπτωση διαφορετικός. Ένα ελλειψοειδές ονομάζεται επιφάνεια, και σώμαπου οριοθετείται από αυτή την επιφάνεια. Το σώμα, όπως πολλοί έχουν μαντέψει, δίνεται από την ανισότητα και οι συντεταγμένες οποιουδήποτε εσωτερικού σημείου (καθώς και κάθε σημείου επιφάνειας) ικανοποιούν αναγκαστικά αυτήν την ανισότητα. Ο σχεδιασμός είναι συμμετρικός ως προς τους άξονες συντεταγμένων και τα επίπεδα συντεταγμένων:

Η προέλευση του όρου "ελλειψοειδές" είναι επίσης προφανής: εάν η επιφάνεια "κόβεται" από επίπεδα συντεταγμένων, τότε στα τμήματα θα υπάρχουν τρία διαφορετικά (στη γενική περίπτωση)

Επιφάνεια

Η επιφάνεια που ορίζεται από κάποια εξίσωση σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων είναι ο τόπος των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση F(x; y; z) = 0.

γραμμή στο διάστημα

Εάν οι εξισώσεις F(x; y; z) = 0 και Ф (x; y; z) = 0 ορίζουν κάποια επιφάνεια, τότε η ευθεία L (x; y; z) = 0 μπορεί να οριστεί ως ο τόπος κοινών σημείων και στις δύο επιφάνειες (γραμμή τομής επιφανειών)

Επίπεδο ως επιφάνεια πρώτης τάξης

Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις ορισμοί του αεροπλάνου:

1) Επίπεδο είναι μια επιφάνεια που πλήρωςκάθε γραμμή που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία της.

2) Επίπεδο είναι ένα σύνολο σημείων στο χώρο σε ίση απόσταση από δύο δεδομένα.

Και τώρα για μια από τις μορφές της εξίσωσης του επιπέδου.

Πρώτον, από τα σχολικά χρόνια είναι γνωστό. "Οποιαδήποτε τρία σημεία που δεν συμπίπτουν και δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή ορίζουν ένα επίπεδο και μόνο ένα." Δεν είναι τυχαίο ότι μια καρέκλα με τρία πόδια είναι απολύτως σταθερή (δηλαδή «δεν ταλαντεύεται») και μια καρέκλα με δύο ή περισσότερα από τρία πόδια δεν είναι σταθερή («πέτρες»). Δεύτερον, το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο το προσανατολίζει στο διάστημα (βλ. Εικ. 31)

Αφήστε το επιθυμητό επίπεδο p να διέλθει από το σημείο M 0 κάθετο στο διάνυσμα, τότε

Πρώτον, το διάνυσμα είναι το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινόμενου του διανύσματος M 0 M 2 και του διανύσματος M 0 M 1

Δεύτερον, το διάνυσμα είναι κάθετο τόσο στο διάνυσμα M 0 M 2 όσο και στο διάνυσμα M 1 M 2. Από πού, από διανυσματικές συνθήκες ορθογωνικότηταςλαμβάνουμε ότι το βαθμωτό γινόμενο στο διάνυσμα M 0 M 2 (ή στο διάνυσμα M 0 M 1) είναι ίσο με μηδέν. Εάν το σημείο M 2 έχει συντεταγμένες (x; y; z), τότε το κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος και του διανύσματος M 0 M 2 πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το διάνυσμα M 0 M 2 ορίζεται ως

το καταλαβαίνουμε

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα

Παράδειγμα 30 (απόκτηση της εξίσωσης επιπέδου)

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M 0 (1; 1; 1) κάθετο στο διάνυσμα

Λύση

Στην περίπτωσή μας

Α=1, Β=1 και C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

επομένως, η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή

Ή, τέλος,

Απάντηση

Το επιθυμητό επίπεδο καθορίζεται από την εξίσωση

Γενική εξίσωση του αεροπλάνου

Γενικά, οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής

A x + B y + C z + D = 0

ορίζει ένα επίπεδο (όπου Α, Β και Γ είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος προς το επίπεδο). Αυτή η μορφή της εξίσωσης του επιπέδου ονομάζεται «γενική εξίσωση του επιπέδου».

Ημιτελείς εξισώσεις επιπέδου

Έστω το επίπεδο να δίνεται από τη γενική του εξίσωση

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) εάν D = 0, τότε το (*) ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή.

2) αν A \u003d 0, τότε B y + C z + D \u003d 0 και έχουμε ένα επίπεδο, παράλληλα με τον άξονα Ox(επειδή);

3) αν B \u003d 0, τότε A x + C z + D \u003d 0 και έχουμε ένα επίπεδο, παράλληλα με τον άξονα Oy(επειδή);

4) αν C = 0, τότε A x + B y + D = 0 και έχουμε ένα επίπεδο, παράλληλα με τον άξονα Οζ(επειδή);

5) A = 0; B \u003d 0, μετά C z + D \u003d 0 και έχουμε ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο Oxy.

6) A = 0; C \u003d 0, μετά B y + D \u003d 0 και έχουμε ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο Oxz.

7) Β = 0; C = 0, μετά A x + D = 0 και έχουμε ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο Oyz.

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, τότε C z \u003d 0 είναι το επίπεδο Oxy.

9) A = 0, C = 0, D = 0, τότε B y = 0 είναι το επίπεδο Oxz.

10) B = 0, C = 0, D = 0, τότε A z = 0 είναι το επίπεδο Oyz.

Όπως ήταν πριν με η γενική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο, άλλες μορφές της εξίσωσης επιπέδου μπορούν να ληφθούν από τη γενική εξίσωση. Μία από αυτές τις μορφές είναι η εξίσωση ενός επιπέδου σε τμήματα.

Από τη γενική εξίσωση του επιπέδου

A x + B y + C z + D = 0

Αποδεικνύεται η εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα

Η τελευταία έκφραση ονομάζεται "η εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα"

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα

όπου α, β και γ - ποσότητεςτμήματα που κόβονται από το αεροπλάνο στους άξονες Ox, Oy και Oz, αντίστοιχα.

Έστω δύο επίπεδα που δίνονται από τις γενικές τους εξισώσεις

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Δηλαδή, τα κανονικά διανύσματα έχουν συντεταγμένες

Για αεροπλάνο

Για αεροπλάνο

Και αφήστε τα επίπεδα να μην συμπίπτουν και να μην είναι παράλληλα (βλ. Εικ. 32)

Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων

Η γωνία μεταξύ των επιπέδων καθορίζεται από τη γωνία μεταξύ κανονικά διανύσματακαι πώς να βρείτε γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνξέρουμε ήδη:

αν c είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, τότε αυτή είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων p 1 και p 2

Από όπου δύο σημαντικές συνέπειες (προϋποθέσεις)

Η συνθήκη της καθετότητας δύο επιπέδων

Δύο επίπεδα είναι κάθετα με την προϋπόθεση ότι

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.