sistem mecanic se numeste un astfel de ansamblu de puncte sau corpuri materiale in care pozitia sau miscarea fiecarui punct sau corp depinde de pozitia si miscarea tuturor celorlalti. Deci, de exemplu, atunci când studiem mișcarea Pământului și a Lunii în raport cu Soarele, combinația dintre Pământ și Lună este un sistem mecanic format din două puncte materiale; atunci când un proiectil se sparge în fragmente, considerăm fragmentele ca fiind un sistem mecanic. Un sistem mecanic este orice mecanism sau mașină.

Dacă distanțele dintre punctele unui sistem mecanic nu se modifică atunci când sistemul este în mișcare sau în repaus, atunci un astfel de sistem mecanic se numește imuabil.

Conceptul de sistem mecanic neschimbător face posibilă studierea mișcării arbitrare a corpurilor rigide în dinamică. În acest caz, ca și în statică și cinematică, prin corp solid înțelegem un astfel de corp material, în care distanța dintre fiecare două puncte nu se modifică atunci când corpul se mișcă sau este în repaus. Orice corp solid poate fi împărțit mental într-un număr suficient de mare de părți suficient de mici, a căror totalitate poate fi considerată aproximativ ca un sistem mecanic. Întrucât un corp solid formează o extensie continuă, pentru a-și stabili proprietățile exacte (mai degrabă decât aproximative), este necesar să se facă o tranziție limită, o fragmentare limită a corpului, atunci când dimensiunile părților considerate ale corpului tind simultan. la zero.

Astfel, cunoașterea legilor mișcării sistemelor mecanice face posibilă studierea legilor mișcărilor arbitrare ale corpurilor solide.

Toate forțele care acționează asupra punctelor unui sistem mecanic sunt împărțite în forțe externe și interne.

Forțele externe în raport cu un sistem mecanic dat sunt forțe care acționează asupra punctelor acestui sistem din puncte materiale sau corpuri care nu sunt incluse în sistem. Denumiri: -forța exterioară aplicată punctului -lea; - vectorul principal al fortelor externe; - momentul principal al fortelor exterioare fata de pol.

Forțele interne sunt forțele cu care punctele materiale sau corpurile incluse într-un anumit sistem mecanic acționează asupra punctelor sau corpurilor aceluiași sistem. Cu alte cuvinte, forțele interne sunt forțe de interacțiune între puncte sau corpuri ale unui sistem mecanic dat. Denumiri: - forța internă aplicată punctului --lea; -vector cap forțe interne; - momentul principal al fortelor interne fata de pol.

3.2 Proprietăţile forţelor interne.

Prima proprietate.Vectorul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului mecanic este egal cu zero, adică.

. (3.1)

A doua proprietate.Momentul principal al tuturor forțelor interne ale unui sistem mecanic față de orice pol sau axă este zero, adică

, . (3.2)

Fig.17

Pentru a demonstra aceste proprietăți, observăm că, întrucât forțele interne sunt forțele de interacțiune a punctelor materiale incluse în sistem, atunci, conform celei de-a treia legi a lui Newton, oricare două puncte ale sistemului (Fig. 17) acționează unul asupra celuilalt cu forțe. şi egal în valoare absolută şi opus faţă de.

Astfel, pentru fiecare forță internă există o forță internă direct opusă și, în consecință, forțele interne formează un anumit set de forțe opuse pe perechi. Dar suma geometrică a două forțe opuse este zero, deci

.

După cum se arată în statică, suma geometrică a momentelor a două forțe opuse în jurul aceluiași pol este zero, deci

.

Un rezultat similar se obține la calcularea momentului principal în jurul axei

.

3.3 Ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic.

Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale ale căror mase sunt . Pentru fiecare punct, aplicăm ecuația de bază a dinamicii punctelor

, ,

, (3.3)

de este rezultanta forțelor externe aplicate în punctul --lea și este rezultanta forțelor interne.

sistem ecuatii diferentiale(3.3) se numește ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic sub formă vectorială.

Proiectând ecuațiile vectoriale (3.3) pe axe de coordonate carteziene dreptunghiulare, obținem Ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic sub formă de coordonate:

,

, (3.4)

,

.

Aceste ecuații sunt un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul doi. Prin urmare, pentru a găsi mișcarea unui sistem mecanic în funcție de forțe date și condiții inițiale pentru fiecare punct al acestui sistem, este necesar să se integreze un sistem de ecuații diferențiale. Integrarea sistemului de ecuații diferențiale (3.4), în general, implică dificultăți matematice semnificative, adesea de netrecut. Cu toate acestea, în mecanică teoretică au fost dezvoltate metode care fac posibilă ocolirea principalelor dificultăți care apar la utilizarea ecuațiilor diferențiale de mișcare ale unui sistem mecanic sub forma (3.3) sau (3.4). Acestea includ metode care oferă teoreme generale ale dinamicii unui sistem mecanic care stabilesc legile schimbării unor caracteristici totale (integrale) ale sistemului în ansamblu, și nu legile mișcării elementelor sale individuale. Acestea sunt așa-numitele măsuri ale mișcării - vectorul principal al impulsului; momentul principal al impulsului; energie kinetică. Cunoscând natura modificării acestor cantități, este posibil să ne formăm o idee parțială și uneori completă a mișcării unui sistem mecanic.

IV. TEOREME DE BAZĂ (GENERALE) ALE DINAMICII UNUI PUNCT ȘI A UNUI SISTEM

4.1 Teorema privind mișcarea centrului de masă.

4.1.1 Centrul de masă al sistemului mecanic.

Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale ale căror mase sunt .

masa sistemului mecanic, constând din puncte materiale, vom numi suma maselor punctelor sistemului:

Definiție. Centrul de masă al unui sistem mecanic este un punct geometric, al cărui vector rază este determinat de formula:

unde este vectorul rază al centrului de masă; -raza-vectori ai punctelor sistemului; -masele lor (Fig. 18).

; ; . (4.1")

Centrul de masă nu este un punct material, dar geometric. Este posibil să nu coincidă cu niciun punct material al sistemului mecanic. Într-un câmp de greutate uniform, centrul de masă coincide cu centrul de greutate. Acest lucru, însă, nu înseamnă că conceptele de centru de masă și centru de greutate sunt aceleași. Conceptul de centru de masă este aplicabil oricăror sisteme mecanice, iar conceptul de centru de greutate este aplicabil numai sistemelor mecanice care sunt sub acțiunea gravitației (adică, atracția față de Pământ). Deci, de exemplu, în mecanica cerească, când luăm în considerare problema mișcării a două corpuri, de exemplu, Pământul și Luna, se poate lua în considerare centrul de masă al acestui sistem, dar nu se poate lua în considerare centrul de greutate.

Astfel, conceptul de centru de masă este mai larg decât conceptul de centru de greutate.

4.1.2. Teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic.

Teorema. Centrul de masă al unui sistem mecanic se mișcă ca punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem și căruia i se aplică toate forțele externe care acționează asupra sistemului, adică

. (4.2)

Aici este principalul vector al forțelor externe.

Dovada. Luați în considerare un sistem mecanic, ale cărui puncte materiale se mișcă sub acțiunea forțelor externe și interne. este rezultanta forțelor externe aplicate în punctul --lea și este rezultanta forțelor interne. Conform (3.3), ecuația de mișcare a punctului --lea are forma

, .

Adăugând părțile stânga și dreaptă ale acestor ecuații, obținem

.

Deoarece vectorul principal al forțelor interne este egal cu zero (secțiunea 3.2, prima proprietate), atunci

.

Să transformăm partea stângă a acestei egalități. Din formula (4.1), care determină vectorul rază al centrului de masă, rezultă:

.

Peste tot mai jos, vom presupune că sunt luate în considerare numai sistemele mecanice de compoziție constantă, adică și . Să luăm derivata a doua în raport cu timpul din ambele părți ale acestei egalități

Deoarece , - accelerarea centrului de masă al sistemului, apoi, în sfârșit,

.

Proiectând ambele părți ale acestei egalități vectoriale pe axele de coordonate, obținem:

,

, (4.3)

,

unde , , sunt proiecţiile forţei ;

Proiectii ale vectorului principal al fortelor externe pe axele de coordonate.

Ecuații (4.3) - ecuații diferențiale de mișcare ale centrului de masă al unui sistem mecanic în proiecții pe axele de coordonate carteziene.

Ecuațiile (4.2) și (4.3) implică faptul că Este imposibil să se schimbe natura mișcării centrului de masă al unui sistem mecanic numai prin forțe interne. Forțele interne pot avea un efect indirect asupra mișcării centrului de masă numai prin forțe externe. De exemplu, într-o mașină, forțele interne dezvoltate de motor afectează mișcarea centrului de masă prin forțele de frecare dintre roți și drum.

4.1.3. Legile conservării mișcării centrului de masă

(corolare din teoremă).

Următoarele corolare pot fi obținute din teorema privind mișcarea centrului de masă.

Consecința 1.Dacă vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului este egal cu zero, atunci centrul său de masă este în repaus sau se mișcă în linie dreaptă și uniform.

Într-adevăr, dacă vectorul principal al forțelor externe , atunci din ecuația (4.2):

Dacă, în special, viteza de pornire centru de masă, atunci centrul de masă este în repaus. Dacă viteza inițială , atunci centrul de masă se mișcă în linie dreaptă și uniform.

Consecința 2.Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă fixă ​​este egală cu zero, atunci proiecția vitezei centrului de masă al sistemului mecanic pe această axă nu se modifică.

Acest corolar rezultă din ecuațiile (4.3). Să, de exemplu, atunci

,

de aici. Dacă în același timp în momentul inițial, atunci:

adică proiecția centrului de masă al sistemului mecanic pe axă în acest caz nu se va deplasa de-a lungul axei. Dacă , atunci proiecția centrului de masă pe axă se mișcă uniform.

4.2 Momentul unui punct și al unui sistem.

Teorema privind modificarea impulsului.

4.2.1. Cantitatea de mișcare a punctului și a sistemului.

Definiție. Momentul unui punct material este un vector egal cu produsul dintre masa punctului și viteza acestuia, adică

. (4.5)

Vector coliniar cu vectorul și direcționat tangențial la traiectoria punctului material (Fig. 19).

Elanul unui punct în fizică este adesea numit impulsul unui punct material.

Unitatea de măsură a impulsului este în SI-kg m/s sau N s.

Definiție. Momentul unui sistem mecanic se numește vector egal cu suma vectorială a numerelor de mișcări (vectorul principal al numerelor de mișcări) punctelor individuale incluse în sistem, adică

(4.6)

Proiectii ale momentului pe axele de coordonate carteziene dreptunghiulare:

Vector de impuls al sistemului spre deosebire de vectorul impuls, un punct nu are un punct de aplicare. Vectorul moment al unui punct este aplicat punctului în mișcare însuși și vectorului este un vector liber.

Lema de impuls. Momentul unui sistem mecanic este egal cu masa întregului sistem înmulțită cu viteza centrului său de masă, adică.

Dovada. Din formula (4.1), care determină vectorul rază al centrului de masă, rezultă:

.

Luați derivata în timp a ambelor părți

, sau .

De aici ajungem , ceea ce urma să fie dovedit.

Din formula (4.8) se poate observa că dacă corpul se mișcă în așa fel încât centrul său de masă rămâne staționar, atunci impulsul corpului este zero. De exemplu, impulsul unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă (Fig. 20),

, deoarece

Dacă mișcarea corpului este plan-paralelă, atunci cantitatea de mișcare nu va caracteriza partea de rotație a mișcării în jurul centrului de masă. De exemplu, pentru o roată care rulează (Fig. 21), indiferent de modul în care roata se rotește în jurul centrului de masă. Cantitatea de mișcare caracterizează doar partea de translație a mișcării împreună cu centrul de masă.

4.2.2. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic

în formă diferenţială.

Teorema.Derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este egală cu suma geometrică (vectorul principal) a forțelor externe care acționează asupra acestui sistem, i.e.

. (4.9)

Dovada. Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale ale căror mase sunt ; este rezultanta forțelor externe aplicate punctului i. În conformitate cu lema de impuls, formula (4.8):

Luați derivata în timp a ambelor părți ale acestei egalități

.

Partea dreaptă a acestei egalități din teorema privind mișcarea centrului este formula masei (4.2):

.

In cele din urma:

iar teorema este demonstrată .

În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene dreptunghiulare:

; ; , (4.10)

acesta este derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă de coordonate este egală cu suma proiecțiilor (proiecțiilor vectorului principal) tuturor forțelor externe ale sistemului pe aceeași axă.

4.2.3. Legile conservării impulsului

(corolare din teoremă)

Corolarul 1.Dacă vectorul principal al tuturor forțelor externe ale unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci impulsul sistemului este constant în mărime și direcție.

Într-adevăr, dacă , apoi din teorema schimbării impulsului, adică din egalitate (4.9), rezultă că

Consecința 2.Dacă proiecția vectorului principal al tuturor forțelor externe ale unui sistem mecanic pe o anumită axă fixă ​​este egală cu zero, atunci proiecția impulsului sistemului pe această axă rămâne constantă.

Fie proiecția vectorului principal al tuturor forțelor externe pe axă egală cu zero: . Apoi de la prima egalitate (4.10):

4.2.4. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic

în formă integrală.

Un impuls elementar de forță se numește mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță cu un interval de timp elementar

. (4.11)

Direcția impulsului elementar coincide cu direcția vectorului forță.

Impulsul de forță pe o perioadă finită de timp este egală cu o anumită integrală a impulsului elementar

. (4.12)

Dacă forța este constantă ca mărime și direcție (), atunci impulsul ei în timp este egal cu:

Proiectii ale impulsului de forta pe axele de coordonate:

Să demonstrăm teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală.

Teorema.Modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe ale sistemului în aceeași perioadă de timp, adică.

(4.14)

Dovada. Fie în momentul de timp cantitatea de mișcare a sistemului mecanic să fie , iar în momentul timpului - ; este impulsul forței externe care acționează asupra celui de-al treilea punct în timp.

Folosim teorema privind modificarea impulsului în formă diferenţială - egalitate (4.9):

.

Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cu și integrând în limitele de la la , obținem

, , .

Se demonstrează teorema privind modificarea momentului în formă integrală.

În proiecțiile pe axele de coordonate, conform (4.14):

,

, (4.15)

.

4.3. Teorema privind modificarea momentului cinetic.

4.3.1. Momentul cinetic al unui punct și al unui sistem.

În statică, conceptele de momente de forță relativ la pol și axă au fost introduse și utilizate pe scară largă. Deoarece impulsul unui punct material este un vector, este posibil să se determine momentele acestuia în raport cu polul și axa în același mod în care se determină momentele de forță.

Definiție. relativ la stâlp se numește momentul vectorului său de impuls relativ la același pol, adică.

. (4.16)

Momentul unghiular al unui punct material față de pol este un vector (Fig. 22) direcționat perpendicular pe planul care conține vectorul și polul în direcția din care vectorul este relativ la pol văzută rotirea în sens invers acelor de ceasornic. Modulul vectorial

egal cu produsul modulului și brațului - lungimea perpendicularei căzută de la stâlp la linia de acțiune a vectorului:

Momentul relativ la pol poate fi reprezentat ca produs vectorial: momentul cinetic al unui punct material relativ la pol este egal cu produsul vectorial al razei vectorului tras de la pol la punct de vectorul impuls:

(4.17)

Definiție. Momentul cinetic al unui punct material relativ axa se numește momentul vectorului său de impuls relativ la aceeași axă, adică.

. (4.18)

Momentul unghiular al unui punct material în jurul axei (Fig. 23) este egal cu produsul proiecției vectoriale pe planul perpendicular pe axă, luată cu semnul plus sau minus , pe umărul acestei proiecții:

unde umărul este lungimea perpendicularei coborâte din punct intersecția axelor cu planul pe linia de acțiune a proiecției , în timp ce , dacă, privind spre axă , puteți vedea proiecția despre punct sens invers acelor de ceasornic și altfel.

Unitatea de măsură a momentului unghiular este în SI-kg m 2 /s, sau N m s.

Definiție. Momentul unghiular sau momentul principal al impulsului unui sistem mecanic în raport cu un pol este un vector egal cu suma geometrică a momentului unghiular al tuturor punctelor materiale ale sistemului în raport cu acest pol:

. (4.19)

Definiție. Momentul unghiular sau momentul principal al impulsului unui sistem mecanic în raport cu o axă este suma algebrică a momentelor cinetice ale tuturor punctelor materiale ale sistemului în raport cu această axă:

. (4.20)

Momentele cinetice ale sistemului mecanic față de pol și axa care trece prin acest pol sunt legate prin aceeași dependență ca și momentele principale ale sistemului de forțe față de pol și axă:

-proiecția momentului cinetic al sistemului mecanic față de pol pe axă ,trecerea prin acest pol este egală cu momentul unghiular al sistemului în jurul acestei axe, adică

. (4.21)

4.3.2. Teoreme privind modificarea momentului cinetic al unui sistem mecanic.

Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale ale căror mase sunt . Să demonstrăm o teoremă privind modificarea momentului cinetic al unui sistem mecanic în raport cu polul.

Teorema.Derivata în timp a momentului unghiular al unui sistem mecanic în raport cu un pol fix este egală cu momentul principal al forțelor externe ale sistemului față de același pol, adică.

. (4.22)

Dovada. Alegem niște stâlp fix . Momentul unghiular al unui sistem mecanic în raport cu acest pol este, prin definiție, egalitate (4.19):

.

Să diferențiem această expresie în funcție de timp:

Luați în considerare partea dreaptă a acestei expresii. Calcularea derivatei produsului:

, (4.24)

Se ţine cont aici că . Vectori și au aceeași direcție, lor produs vectorial este egal cu zero, de unde prima sumă în egalitate (4.24).

Forțele exterioare sunt forțele care acționează asupra corpului din exterior. Sub influența forțelor externe, corpul fie începe să se miște dacă era în repaus, fie se schimbă viteza de mișcare sau direcția de mișcare. Forțele externe în cele mai multe cazuri sunt echilibrate de alte forțe și influența lor este imperceptibilă.

Forțele externe, care acționează asupra unui corp solid, provoacă modificări ale formei acestuia, cauzate de mișcarea particulelor.

Forțe externe:

- gravitatie - este forţa care acţionează asupra corpului în câmpul gravitaţional. Pe suprafața pământului, forța gravitațională este egală cu masa corpului. Dirijat întotdeauna vertical în jos, perpendicular pe orizont. Punctul de aplicare este centrul general de greutate al corpului.

-susține forța de reacție este forța care acționează asupra corpului din partea laterală a suportului atunci când i se aplică presiune.

-forța de frecare - aceasta este forta care apare la contactul dintre corpuri si atunci cand corpul se misca.

-forța de rezistență a mediului- forta care apare atunci cand un corp se misca intr-un mediu aerian sau acvatic.

-forta de inertie - forta rezultata din miscarea corpului cu acceleratie.

forțe interne sunt forțele care acționează între particule, aceste forțe rezistă schimbării formei.

Forțele interne sunt împărțite în activ și pasiv.

Forțele active includ forța de contracție a mușchilor scheletici.

Forța musculară este determinată de:

diametrul fiziologic,

Zona de origine și atașament,

Tipul de pârghie în care are loc mișcarea.

Cele pasive includ: forța de tracțiune elastică a țesuturilor moi, forța de rezistență a cartilajelor, oaselor, forța de coeziune moleculară a lichidului sinovial.

Conceptul de centru general de greutate al corpului și zona de sprijin. Sensul lor.

GCC este compus din centrele de greutate ale legăturilor individuale ale corpului și centrele de greutate parțiale.Un rol important în rezolvarea problemelor de mecanică a mișcării.Este unul dintre indicatorii fizicului.

Zona de suport- zona inchisa intre limitele exterioare ale piciorului drept si stang.Dimensiunea zonei de sprijin variaza de la pozitia corpului.

Tipuri de echilibru corporal. Gradul de stabilitate a corpului, definiția și semnificația acestuia.

Există trei tipuri: stabil (când BCT-ul corpului este deranjat, se ridică - atârnat pe bara transversală), instabil (BCT-ul scade), indiferent (BCT-ul este constant).

Gradul de stabilitate depinde de înălțimea BRC și de dimensiunea zonei de sprijin.Cu cât suprafața de sprijin este mai mare și cu cât CRC este mai mic, cu atât este mai mare gradul de stabilitate.

O expresie cantitativă este unghiul de stabilitate. Acesta este unghiul format de forța verticală a gravitației și tangenta trasă la marginea suportului.

Caracteristicile mișcărilor sportivului. Tipuri de mișcări. Exemple.

În mecanică, forțele externe față de un anumit sistem de puncte materiale (adică, un astfel de set de puncte materiale în care mișcarea fiecărui punct depinde de pozițiile sau mișcările tuturor celorlalte puncte) sunt acele forțe care reprezintă acțiunea asupra acestui sistem de alte corpuri (alte sisteme de puncte materiale), neincluse de noi în acest sistem. Forțele interne sunt forțe de interacțiune între punctele materiale individuale ale unui sistem dat. Împărțirea forțelor în externe și interne este complet condiționată: atunci când compoziția dată a sistemului se modifică, unele forțe care anterior erau externe pot deveni interne și invers. Deci, de exemplu, când luăm în considerare

mișcările unui sistem format din pământ și luna sa satelită, forțele de interacțiune dintre aceste corpuri vor fi forțe interne pentru acest sistem, iar forțele de atracție ale soarelui, ale altor planete, sateliții lor și toate stelele vor fi forțe externe. în raport cu acest sistem. Dar dacă schimbi compoziția sistemului și consideri mișcarea soarelui și a tuturor planetelor ca mișcarea unui sistem comun, atunci cea externă. forțele vor fi doar forțele de atracție exercitate de stele; cu toate acestea, forțele de interacțiune dintre planete, sateliții lor și soare devin forțe interne pentru acest sistem. În același mod, dacă în timpul mișcării unei locomotive cu abur evidențiază pistonul unui cilindru cu abur ca un sistem separat de puncte materiale care este supus luării în considerare, atunci presiunea aburului asupra pistonului în raport cu acesta va fi o forță externă, iar aceeași presiune a aburului va fi una dintre forțele interne dacă luăm în considerare mișcarea întregii locomotive în ansamblu; în acest caz, forțele exterioare în raport cu întreaga locomotivă, luate ca un singur sistem, vor fi: frecarea dintre șinele și roțile locomotivei, gravitația locomotivei, reacția șinelor și rezistența aerului; forțele interne vor fi toate forțele de interacțiune dintre părțile locomotivei, de exemplu. forțele de interacțiune între abur și pistonul cilindrului, între glisor și paralelele sale, între biela și știftul manivelei etc. După cum vedem, nu există în esență nicio diferență între forțele externe și interne, în timp ce diferența relativă între ele se determină numai în funcție de ce organisme le includem în sistemul luat în considerare și pe care le considerăm că nu fac parte din sistem. Totuși, diferența relativă indicată a forțelor are o importanță foarte semnificativă în studiul mișcării unui sistem dat; conform celei de-a treia legi a lui Newton (cu privire la egalitatea acțiunii și reacției), forțele interne de interacțiune dintre fiecare două puncte materiale ale sistemului sunt egale ca mărime și direcționate de-a lungul aceleiași drepte în direcții opuse; datorită acestui fapt, atunci când se rezolvă diverse întrebări despre mișcarea unui sistem de puncte materiale, este posibil să se excludă toate forțele interne din ecuațiile de mișcare ale sistemului și, prin urmare, să se facă posibil chiar studiul mișcării întregului sistem. Această metodă de excludere a forțelor de legare interne, în cele mai multe cazuri necunoscute, este esențială în derivarea diferitelor legi ale mecanicii sistemului.

Impact absolut elastic- o coliziune a două corpuri, în urma căreia nu rămân deformații în ambele corpuri care participă la ciocnire și întreaga energie cinetică a corpurilor înainte ca impactul după impact să se transforme din nou în energia cinetică inițială (rețineți că aceasta este o coliziune ideală). caz).

Pentru un impact absolut elastic sunt îndeplinite legea conservării energiei cinetice și legea conservării impulsului.

Să notăm vitezele bilelor cu mase m 1 și m 2 înainte de impact v 1Și v 2, după impact - prin v 1"Și v 2"(Fig. 1). Pentru un impact central direct, vectorii viteză ai bilelor înainte și după impact se află pe o linie dreaptă care trece prin centrele lor. Proiecțiile vectorilor viteză pe această linie sunt egale cu modulele vitezei. Vom lua în considerare direcțiile lor prin semne: vom corela pozitivul cu mișcarea spre dreapta, negativul - cu mișcarea spre stânga.

Fig.1

În aceste ipoteze, legile conservării au forma

(1)

(2)

După ce au făcut transformările corespunzătoare în expresiile (1) și (2), obținem

(3)

(4)

Rezolvând ecuațiile (3) și (5), găsim

(7)

Să ne uităm la câteva exemple.

1. Când v 2=0

(8)
(9)

Să analizăm expresiile (8) din (9) pentru două bile de mase diferite:

a) m 1 \u003d m 2. Dacă a doua minge atârna nemișcată înainte de impact ( v 2=0) (Fig. 2), apoi după impact prima minge se va opri ( v 1"=0), iar a doua se va mișca cu aceeași viteză și în aceeași direcție ca prima minge deplasată înainte de impact ( v 2"=v 1);

Fig.2

b) m 1 >m 2. Prima minge continuă să se miște în aceeași direcție ca înainte de impact, dar cu o viteză mai mică ( v 1"<v 1). Viteza celei de-a doua mingi după impact este mai mare decât viteza primei mingi după impact ( v 2">v 1") (Fig. 3);

Fig.3

c) m 1 v 2"<v 1(Fig. 4);

Fig.4

d) m 2 >>m 1 (de exemplu, ciocnirea unei mingi cu un perete). Ecuațiile (8) și (9) implică faptul că v 1"= -v 1; v 2"≈ 2m1 v 2"/m2.

2. Când m 1 =m 2 vor arăta expresiile (6) și (7). v 1"= v 2; v 2"= v 1; adică bile de masă egală, parcă, schimbă viteze.

Impact absolut inelastic- ciocnirea a două corpuri, în urma căreia corpurile sunt conectate, deplasându-se mai departe ca un singur întreg. Impactul absolut inelastic poate fi demonstrat folosind bile de plastilină (lut) care se deplasează una spre alta (Fig. 5).

Fig.5

Dacă masele bilelor sunt m 1 și m 2 , vitezele lor înainte de impact v 1Și v 2, apoi, folosind legea conservării impulsului

Unde v- viteza bilelor dupa impact. Apoi

(15.10)

În cazul bilelor care se deplasează una spre alta, ele împreună vor continua să se miște în direcția în care mingea s-a deplasat cu un impuls mare. Într-un caz particular, dacă masele bilelor sunt egale (m 1 \u003d m 2), atunci

Să determinăm cum se modifică energia cinetică a bilelor în timpul unui impact central absolut inelastic. Deoarece în procesul de ciocnire a bilelor între ele există forțe care depind de vitezele lor, și nu de deformațiile în sine, avem de-a face cu forțe disipative similare cu forțele de frecare, astfel încât legea conservării energiei mecanice în acest caz nu ar trebui să fi observat. Din cauza deformării, are loc o scădere a energiei cinetice, care este transformată în energie termică sau în alte forme de energie. Această scădere poate fi determinată de diferența de energie cinetică a corpurilor înainte și după impact:

Folosind (10), obținem

Dacă corpul lovit a fost inițial nemișcat (ν 2 =0), atunci

Când m 2 >> m 1 (masa corpului nemişcat este foarte mare), atunci ν <<v 1și practic toată energia cinetică a corpului este convertită în alte forme de energie la impact. Prin urmare, de exemplu, pentru a obține o deformare semnificativă, nicovala trebuie să fie mult mai masivă decât ciocanul. Dimpotrivă, la baterea cuielor în perete, masa ciocanului ar trebui să fie mult mai mare (m 1 >> m 2), atunci ν≈ν 1 și aproape toată energia este cheltuită pentru cea mai mare mișcare posibilă a cuiului, si nu pe deformarea reziduala a peretelui.

Un impact perfect inelastic este un exemplu de pierdere de energie mecanică din cauza forțelor disipative.

1. Munca de forta variabila.
Să considerăm un punct material care se mișcă sub acțiunea unei forțe P în linie dreaptă. Dacă forță care acționează este constantă și îndreptată de-a lungul unei linii drepte, iar deplasarea este egală cu s, atunci, după cum se știe din fizică, lucrul A acestei forțe este egal cu produsul Ps. Acum derivăm o formulă pentru calcularea muncii efectuate de o forță variabilă.

Fie ca un punct să se miște de-a lungul axei x sub acțiunea unei forțe a cărei proiecție pe axa x este o funcție a lui f pe x. Aici vom presupune că f este o funcție continuă. Sub acțiunea acestei forțe, punctul material s-a deplasat din punctul M (a) în punctul M (b) (Fig. 1, a). Să arătăm că în acest caz munca A se calculează prin formula

(1)

Să împărțim segmentul [a; b] în n segmente de aceeași lungime, acestea sunt segmentele [a; x 1 ], ,..., (Fig. 1.6). Lucrul forței pe întregul segment [a; b] este egală cu suma muncii acestei forţe asupra segmentelor obţinute. Deoarece f este o funcție continuă a lui x, pentru un segment suficient de mic [a; x 1] lucrul forței pe acest segment este aproximativ egal cu f (a) (x 1 -a) (neglijăm faptul că f se modifică pe segment). În mod similar, lucrul forței pe al doilea segment este aproximativ egal cu f (x 1) (x 2 - x 1), etc.; munca forței pe al n-a segment este aproximativ egală cu f (x n-1) (b - x n-1). În consecință, lucrul forței asupra întregului segment [a; b] este aproximativ egal cu:

iar acuratețea egalității aproximative este cu atât mai mare, cu atât segmentele în care se împarte segmentul [а; b] sunt mai scurte.Bineînțeles, această egalitate aproximativă se transformă într-una exactă, dacă presupunem că n→∞:

Deoarece A n ca n →∞ tinde către integrala funcției considerate de la a la b, se derivă formula (1).
2. Putere.

Puterea P este rata la care se lucrează

Aici v este viteza punctului material la care se aplică forța

Toate forțele care apar în mecanică sunt de obicei împărțite în conservatoare și neconservatoare.

Forța care acționează asupra unui punct material se numește conservatoare (potențială) dacă munca acestei forțe depinde doar de pozițiile inițiale și finale ale punctului. Munca unei forțe conservatoare nu depinde nici de tipul de traiectorie, nici de legea de mișcare a unui punct material de-a lungul traiectoriei (vezi Fig. 2): .

O schimbare a direcției de mișcare a unui punct de-a lungul unei mici secțiuni spre opus provoacă o schimbare a semnului lucrării elementare, prin urmare, . Prin urmare, munca unei forțe conservatoare de-a lungul unei traiectorii închise 1 A 2b 1 este zero: .

Punctele 1 și 2, precum și secțiuni ale unei traiectorii închise 1 A 2 și 2 b 1 poate fi ales complet arbitrar. Astfel, munca unei forțe conservatoare de-a lungul unei traiectorii închise arbitrare L a punctului de aplicare a acesteia este egală cu zero:

În această formulă, cercul de pe semnul integral arată că integrarea se realizează pe o traiectorie închisă. Adesea traiectorie închisă L numită buclă închisă L(Fig. 3). De obicei stabilite de direcția traversării conturului Lîn sensul acelor de ceasornic. Direcția vectorului elementar de deplasare coincide cu direcția traversării conturului L. În acest caz, formula (5) spune: circulaţia vectorului de-a lungul buclei închise L este egală cu zero.

Trebuie remarcat faptul că forțele de gravitație și elasticitatea sunt conservatoare, iar forțele de frecare sunt neconservative. Într-adevăr, deoarece forța de frecare este îndreptată în direcția opusă deplasării sau vitezei, lucrul forțelor de frecare de-a lungul unui traseu închis este întotdeauna negativ și, prin urmare, nu este egal cu zero.

Sistem disipativ(sau structura disipativă, din lat. disipare- „Risipez, distrug”) este un sistem deschis care funcționează departe de echilibrul termodinamic. Cu alte cuvinte, aceasta este o stare stabilă care apare într-un mediu neechilibrat în condiția disipării (disipării) energiei care vine din exterior. Uneori se mai numește și un sistem disipativ sistem deschis staționar sau sistem deschis neechilibrat.

Un sistem disipativ se caracterizează prin apariția spontană a unei structuri complexe, adesea haotice. Trăsătură distinctivă astfel de sisteme - neconservarea volumului în spațiul fazelor, adică neîndeplinirea teoremei Liouville.

Un exemplu simplu de astfel de sistem sunt celulele Benard. mai mult exemple dificile numite lasere, reacția Belousov-Zhabotinsky și viață biologică.

Termenul „structură disipativă” a fost introdus de Ilya Prigogine.

Studiile recente în domeniul „structurilor disipative” ne permit să concluzionam că procesul de „autoorganizare” are loc mult mai rapid în prezența „zgomotelor” externe și interne în sistem. Astfel, efectele de zgomot conduc la o accelerare a procesului de „autoorganizare”.

Energie kinetică

energia unui sistem mecanic, care depinde de viteza de deplasare a punctelor sale. K. e. T punctul material este măsurat cu jumătate din produsul masei m acest punct cu pătratul vitezei sale υ, adică T = 1/ 2 mυ 2 . K. e. sistem mecanic este egal cu suma aritmetică a lui K. e. toate punctele sale: T =Σ 1/2 m k υ 2 k . Expresia K. e. sistemele pot fi reprezentate și ca T = 1 / 2 Mυ c 2 + Tc, Unde M este masa întregului sistem, υ c este viteza centrului de masă, Tc - K. e. sistem în mișcarea sa în jurul centrului de masă. K. e. a unui corp rigid care se deplasează înainte se calculează în același mod ca și K. e. un punct care are o masă egală cu masa întregului corp. Formule pentru calcularea K. e. un corp care se rotește în jurul unei axe fixe, vezi art. Mișcarea de rotație.

Schimbați K. e. sistem atunci când este mutat dintr-o poziție (configurație) 1 în poziție 2 apare sub acțiunea forțelor externe și interne aplicate sistemului și este egală cu suma muncii . Această egalitate exprimă teorema privind schimbarea K. e., cu ajutorul căreia se rezolvă multe probleme de dinamică.

La viteze apropiate de viteza luminii, K. e. punct material

Unde m0 este masa punctului de repaus, Cu este viteza luminii în vid ( m 0 s 2 este energia punctului de repaus). La viteze mici ( υ<< c ) ultima relație intră în formula uzuală 1 / 2 mυ 2 .

Energie kinetică.

Energia cinetică - energia unui corp în mișcare. (Din cuvântul grecesc kinema - mișcare). Prin definiție, energia cinetică a unui corp în repaus într-un cadru de referință dat dispare.

Lasă corpul să se miște sub acțiune permanent forță în direcția forței.

Apoi: .

Deoarece mișcarea este uniform accelerată, atunci:

Prin urmare: .

- numită energie cinetică

Cu forta numită măsură a interacțiunii mecanice a corpurilor materiale.

Forta F- cantitatea vectoriala si actiunea acesteia asupra organismului este determinata de:

• modul sau valoare numerică forța (F);
• direcţie forțe (orthom e);
• punct de aplicare forță (punctul A).

Linia AB de-a lungul căreia este direcționată forța se numește linia de acțiune a forței.

Forța poate fi dată:

• într-un mod geometric, adică ca vector cu un modul cunoscut F și o direcție cunoscută determinată de vector e ;
• într-un mod analitic, adică proiecţiile sale F x , F y , F z pe axa sistemului de coordonate ales Oxyz .

Punctul de aplicare a forței A trebuie dat de coordonatele sale x, y, z.

Proiecțiile de forță sunt legate de modulul acesteia și cosinus de direcție(cosinusurile unghiurilor , , , care sunt formate de forța cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz) prin următoarele relații:

F=(F x 2 +F y 2 +F x 2) ; ex=cos=Fx/F; e y =cos =F y /F; e z =cos =F z /F;

Putere F, care actioneaza asupra unui corp absolut rigid, poate fi considerat aplicat in orice punct al liniei de actiune a fortei (un astfel de vector se numeste alunecare). Dacă o forță acționează asupra unui corp rigid deformabil, atunci punctul său de aplicare nu poate fi transferat, deoarece acest transfer modifică forțele interne din corp (un astfel de vector se numește atașat).

Unitatea de forță în sistemul SI de unități este newton (N); se foloseste si o unitate mai mare 1kN=1000N.

Corpurile materiale pot acționa unul asupra celuilalt prin contact direct sau la distanță. În funcție de aceasta, forțele pot fi împărțite în două categorii:

• superficial forțele aplicate pe suprafața corpului (de exemplu, forțele de presiune asupra corpului din mediul înconjurător);
• volumetric (masa) forțele aplicate unei anumite părți a volumului corpului (de exemplu, forțele gravitaționale).

Se numesc forțele de suprafață și forțele corpului distribuite forte. În unele cazuri, forțele pot fi considerate distribuite de-a lungul unei anumite curbe (de exemplu, forțele de greutate ale unei tije subțiri). Forțele distribuite se caracterizează prin lor intensitate (densitate), adică cantitatea totală de forță pe unitate de lungime, suprafață sau volum. Intensitatea poate fi constantă ( distribuite uniform forță) sau variabilă.

Dacă putem neglija dimensiunile mici ale ariei de acțiune a forțelor distribuite, atunci luăm în considerare concentrat o forță aplicată unui corp într-un punct (un concept condiționat, deoarece în practică este imposibil să se aplice o forță într-un punct al corpului).

Forțele aplicate corpului în cauză pot fi împărțite în externă și internă. Forțele externe sunt numite forțe care acționează asupra acestui corp din alte corpuri, iar interne sunt forțele cu care părți ale acestui corp interacționează între ele.

Dacă mișcarea unui corp dat în spațiu este limitată de alte corpuri, atunci se numește nu este gratis. Corpurile care restricționează mișcarea unui anumit corp sunt numite conexiuni.

Axioma conexiunilor: legăturile pot fi aruncate mental și corpul considerat liber dacă acțiunea conexiunilor asupra corpului este înlocuită cu forțele corespunzătoare, care se numesc reacții de legătură.

Reacțiile legăturilor prin natura lor diferă de toate celelalte forțe aplicate corpului, care nu sunt reacții, care sunt de obicei numite activ forte. Această diferență constă în faptul că reacția legăturii nu este complet determinată de legătura în sine. Mărimea sa, și uneori și direcția sa depind de forțele active care acționează asupra corpului dat, care sunt de obicei cunoscute dinainte și nu depind de alte forțe aplicate corpului. În plus, forțele active, care acționează asupra unui corp în repaus, îi pot comunica cutare sau cutare mișcare; reacțiile legăturilor nu posedă această proprietate, drept urmare sunt numite și pasiv forte.

4. Metoda secțiunilor. Factori de forță interni.
Pentru a determina și apoi a calcula forțele suplimentare în orice secțiune a grinzii, folosim metoda secțiunilor. Esența metodei secțiunilor este că grinda este tăiată mental în două părți și se ia în considerare echilibrul oricăreia dintre ele, care se află sub acțiunea tuturor forțelor externe și interne aplicate acestei părți. Fiind forțe interne pentru întregul corp, ele joacă rolul de forțe externe pentru partea selectată.

Fie corpul în echilibru sub acțiunea forțelor: (Figura 5.1, a). Să-l tăiem plat Sși aruncați partea dreaptă (Figura 5.1, b). Legea distribuției forțelor interne pe secțiune transversală, în cazul general, este necunoscută. Pentru a-l găsi în fiecare situație specifică, este necesar să cunoaștem modul în care corpul luat în considerare este deformat sub influența forțelor externe.

Astfel, metoda secțiunii face posibilă determinarea numai a sumei forțelor interne. Pe baza ipotezei unei structuri continue a materialului, putem presupune că forțele interne în toate punctele unei anumite secțiuni reprezintă o sarcină distribuită.

Aducem sistemul de forțe interne din centrul de greutate la vectorul principal și momentul principal (Figura 5.1, c). După proiectarea și pe axa de coordonate, vom obține o imagine generală a stării efort-deformare a secțiunii considerate a grinzii (Figura 5.1, d).

5. Tensiune axiala - compresie

Sub întindere (compresie)înțelegeți acest tip de încărcare, în care în secțiunile transversale ale tijei apar numai forțe longitudinale, iar alți factori de forță sunt egali cu zero.

Forța longitudinală- forță internă egală cu suma proiecțiilor tuturor forțelor externe, luate dintr-o parte a secțiunii, pe axa tijei. Să acceptăm următoarele regula semnului pentru forța longitudinală : forța longitudinală de tracțiune este pozitivă, forța de compresiune este negativă

Ca rezultat al acțiunii forțelor externe în organism, forțe interne.
Forta interioara- forțe de interacțiune între părți ale unui corp, care apar sub acțiunea forțelor externe.

Forțele interne sunt autoechilibrate, deci nu sunt vizibile și nu afectează echilibrul corpului. Forțele interne sunt determinate prin metoda secțiunii.

Sarcinile externe duc la următoarele tipuri de stări de efort-deformare:

torsiune

Pentru a calcula elementele structurale pentru rezistență, este necesar să se cunoască forțele elastice interne rezultate din aplicarea forțelor externe în diferite puncte și părți ale structurii.
Metodele pentru determinarea acestor forțe interne folosind știința rezistenței materialelor includ un astfel de truc precum metoda secțiunilor.

Metoda secțiunilor este că corpul este tăiat mental de un plan în două părți, dintre care oricare este aruncată și în loc de ea, se aplică forțe interne secțiunii părții rămase, care a acționat asupra ei înainte de tăierea laterală. a piesei aruncate. Partea stângă este considerată ca un corp independent, care se află în echilibru sub acțiunea forțelor externe și interne aplicate secțiunii (a treia lege a lui Newton - acțiunea este egală cu contraacțiunea).
La aplicarea acestei metode, este mai profitabil să aruncați acea parte a elementului structural (corpului) pentru care este mai ușor să compuneți o ecuație de echilibru. Astfel, devine posibil să se determine factorii de forță interni în secțiune, datorită cărora partea rămasă a corpului este în echilibru (o tehnică adesea folosită în Statică).

Aplicând condiții de echilibru părții rămase a corpului, este imposibil să găsim legea distribuției forțelor interne pe secțiune, dar este posibil să se determine echivalentele statice ale acestor forțe (factorii de forță rezultanți).
Deoarece obiectul principal de proiectare în rezistența materialelor este un fascicul, să luăm în considerare ce echivalente statice ale forțelor interne apar în secțiunea transversală a grinzii.

Tăiem grinda (Fig. 1) cu o secțiune transversală a-a și luăm în considerare echilibrul părții sale stângi.
Dacă forțele externe care acționează asupra grinzii se află în același plan, atunci în cazul general, echivalentul static al forțelor interne care acționează în secțiunea a-a va fi vectorul principal Fgl aplicat la centrul de greutate al secțiunii, iar momentul principal Mgl = Mi, echilibrând forțele externe ale sistemului plat aplicate părții rămase a grinzii.

Să descompunăm vectorul principal în componenta N, îndreptată de-a lungul axei barei, și componenta Q, perpendiculară pe această axă și situată în planul secțiunii. Aceste componente ale vectorului principal și ale momentului principal se numesc factori de forță interni care acționează în secțiunea fasciculului. Componenta N se numește forță longitudinală, componenta Q se numește forță transversală, perechea de forțe cu momentul Mi este momentul încovoietor.

Pentru a determina acești trei factori de forță interni, aplicăm ecuațiile de echilibru cunoscute din statică pentru partea rămasă a fasciculului:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (axa z este întotdeauna îndreptată de-a lungul axei fasciculului).

Dacă forțele externe care acționează asupra barei nu se află în același plan, adică reprezintă un sistem spațial de forțe, atunci, în cazul general, în secțiunea transversală a barei apar șase factori de forță interni (Fig. 2), pentru a determina în care bine-cunoscutele din Statică sunt folosite șase ecuații de echilibru a părții rămase a fasciculului:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ Mx = 0; Σ My = 0; Σ Mz = 0.

Acești factori de forță în cazul general poartă următoarele denumiri: N - forță longitudinală, Qx, Qy - forțe transversale, Mkr - cuplu, Mikh și Miu - momente încovoietoare.

Cu diferite deformații în secțiunea transversală a grinzii, apar diverși factori de forță.
Luați în considerare cazuri speciale:

1. În secțiune are loc doar o forță longitudinală N. Aceasta este o deformare la tracțiune (dacă N este îndreptat departe de secțiune) sau compresie (dacă N este îndreptat către secțiune).

2. În secțiune apare doar forța transversală Q. Aceasta este deformarea prin forfecare.

3. Doar cuplul Mkr apare în secțiune. Aceasta este o deformare de torsiune.

4. În secțiune apare doar momentul încovoietor Mi. Aceasta este o deformare pură la îndoire. Dacă un moment încovoietor Mi și o forță transversală Q apar simultan în secțiune, atunci îndoirea se numește transversală.

5. Dacă într-o secțiune apar simultan mai mulți factori de forță interni (de exemplu, un moment încovoietor și o forță longitudinală), atunci are loc o combinație de deformații de bază (rezistență complexă).

11) Ipoteze despre proprietățile materialelor și natura deformațiilor
Ipoteze despre proprietățile materialului:

1. Material omogen, adică proprietățile sale nu depind de dimensiunile volumului extras din corp. De fapt, nu există materiale omogene în natură. De exemplu, structura metalelor constă din multe cristale mici (granule) aranjate aleatoriu microscopic. Dimensiunile elementelor structurale calculate, de regulă, depășesc nemăsurat dimensiunile cristalelor, astfel încât ipoteza omogenității materialului este pe deplin aplicabilă aici.
2. Materialul este continuum si umple continuu intregul volum care i se ofera. Această ipoteză decurge direct din prima - despre omogenitatea materialului - și permite utilizarea analizei matematice.
3. Material izotrop, adică proprietățile fizice și mecanice sunt aceleași în toate direcțiile. Astfel, un element izolat dintr-un mediu continuu nu depinde de orientare față de sistemul de coordonate ales. Metalele datorită structurii lor cu granulație fină sunt considerate izotrope. Dar există multe materiale non-izotrope - anizotrope. Acestea includ lemn, țesături, placaj și multe materiale plastice. Cu toate acestea, în rezistența materialelor, sunt luate în considerare în principal materialele izotrope.
4. Materialul în anumite limite de încărcare corporală are elasticitate ideală, adică după îndepărtarea sarcinii, corpul își restabilește complet forma și dimensiunea inițială.

Ipoteze despre natura deformării elementelor structurale:

12) Clasificarea forțelor externe. Obiect real și schema de calcul
Forțele externe sunt forțele de interacțiune dintre elementul structural luat în considerare și corpurile asociate acestuia. Dacă sarcina este distribuită pe suprafața corpului sau a unei părți a acestuia, atunci o astfel de sarcină se numește distribuită.
În schema de proiectare, sarcina distribuită pe suprafață (Fig. 1.2) este adusă într-un plan care coincide cu axa longitudinală, rezultând o sarcină distribuită de-a lungul liniei. Măsura unei astfel de sarcini este intensitatea sa q - mărimea sarcinii pe unitatea de lungime. Dimensiune - N/m. Rezultanta sarcinii distribuite este numeric egală cu aria diagramei sale și se aplică în centrul de greutate.

Orez. 1.2

Pe lângă toro, există încărcături sub formă de moment concentrat (perechi de înghițituri). Există mai multe moduri de a descrie momentele (Figura 1.3).

Orez. 1.3

Atunci M este cuplul (Fig. 1.4).

Orez. 1.4

Așa este înfățișat un sipa venind spre noi.

Așa este înfățișată puterea care vine de la noi.
obiect real- elementul structural studiat, luând în considerare toate caracteristicile sale: geometrice, fizice, mecanice, etc.

Este practic imposibil să se calculeze un obiect real (ar fi necesar să se țină cont de influența prea multor caracteristici interconectate ale obiectului), deci este necesar să se treacă la unele schema de calcul(modele unui obiect real) bazate pe un anumit sistem de ipoteze care idealizează situația calculată.

Schema de proiectare- acesta este un obiect real, în care toate detaliile (trăsăturile) care nu au legătură cu calculul sunt aruncate, iar influența lor este înlocuită cu efecte de forță.

Scopul principal al rezistenței materialelor este de a crea metode (tehnici) simple și acceptabile practic pentru calcularea elementelor structurale tipice, cele mai comune. Necesitatea trecerii de la un obiect real la o schemă de proiectare (pentru a simplifica calculele) ne obligă să introducem schematizarea conceptelor.

Se pot distinge următoarele tipuri de schematizare:

schematizarea geometrică;schematizarea fizică;schematizarea puterii.

Schematizare geometrică (model de formă)

Pentru a schematiza forma obiectelor reale în rezistența materialelor, se folosesc următoarele tipuri principale de elemente: nucleu(grinda, fasciculul,

ax), farfurie(farfurie, coajă) și corp masiv.

Nucleu- un element structural in care doua dimensiuni sunt mici fata de a treia.

Sarcinile pentru calculul tijelor sunt în principal unidimensionale (liniare, adică soluția problemei depinde de o coordonată variabilă).

farfurie- un element structural in care o dimensiune (grosimea) este mica in comparatie cu celelalte doua.

O placă care este curbată înainte de încărcare se numește coajă.

Problemele de analiză a plăcilor sunt în mare parte bidimensionale (plate)

corp masiv- un element structural in care toate dimensiunile au aceeasi ordine.

Problemele pentru calcularea corpurilor masive sunt în principal tridimensionale (spațiale).

În rezistența materialelor, sunt luate în considerare în principal probleme unidimensionale de calcul a elementelor de bară ale structurilor. Rezolvarea unor probleme mai complexe bidimensionale și tridimensionale de calcul a plăcilor, învelișurilor și corpurilor masive este considerată de o disciplină numită „Teoria elasticității”, care se bazează pe un număr mai mic de ipoteze inițiale.

Schematizare fizică (model material)

Toate corpurile studiate sunt considerate a fi realizate (fabricate) din materiale dotate condiționat cu anumite proprietăți idealizate.

Materialul elementelor structurale va fi luat în considerare în continuare solid,

omogen,izotropȘi elastic liniar.

material solid- material care nu prezinta goluri, goluri, fisuri, pori, incluziuni etc.

Se crede că materialul umple în mod continuu (complet) întregul volum al elementului structural, în timp ce structura specifică a materialului (granul, cristalin, fibros, stratificat etc.) nu este luată în considerare.

Material omogen- un material, în fiecare punct al căruia proprietățile mecanice sunt aceleași și nu depind de mărimea volumului alocat.

material izotrop- un material ale cărui proprietăți sunt aceleași în toate direcțiile.

Astfel, proprietățile unui material izotrop nu depind de direcția cercetării, de exemplu, de direcția de aplicare a sarcinii în timpul încercărilor mecanice.

În caz contrar, materialul se numește anizotrop (lemn, fibră de sticlă, mică etc.).

material elastic- un material care are capacitatea de a restabili forma și dimensiunea inițială a corpului după îndepărtarea sarcinii externe.

Material elastic liniar- material supus legea lui Hooke.

legea lui Hooke: „Deplasările punctelor unui corp elastic (în limitele cunoscute de încărcare) sunt direct proporționale cu forțele care provoacă aceste deplasări.”

Schematizarea forței (model de încărcare)

Pentru formularea corectă a problemei în rezistența materialelor, este foarte important să se poată clasifica forțele (încărcările) externe care acționează asupra elementelor structurale.

Forțele exterioare- fortele de interactiune dintre elementul structural considerat si alte corpuri asociate acestuia.

Să introducem următoarea clasificare a forțelor externe în funcție de metoda de aplicare:

Sarcini concentrate– forțe și momente, a căror zonă de acțiune este mică în comparație cu dimensiunile obiectului (aplicate într-un punct).

Denumiri: F (R ), M (T ).

Unități: [ F]=H; [ M]=N m în SI sau [ F]=kg; [ M]=kg m în sistemul tehnic.

Sarcini distribuite- forte care actioneaza a) asupra non-

care lungime, b) pe o anumită zonă, c) în volum.

Desemnare q .

Unități de măsură: a) [ q]=H/m, kg/cm, kg/mm; b) [ q]=H/m2, kg/cm2, kg/mm2; V) [ q] \u003d H / m 3, kg / cm 3, kg / mm 3 etc.

Sarcinile externe se disting și prin natura schimbării în timp: Sarcini statice crește încet și ușor de la zero la valoarea sa finală și apoi rămâne neschimbată.

Sarcini dinamice sunt însoțite de accelerații atât ale corpului deformat, cât și ale corpurilor care interacționează cu acesta.

Sarcinile dinamice includ, de exemplu, forțele care acționează asupra corpurilor în mișcare accelerată, sarcinile de șoc etc.

Sarcini revariabile-forţe care se schimbă continuu şi periodic în timp.

Acum, după ce am introdus schematizarea considerată a conceptelor, putem trece la lucrul cu scheme de calcul, la analiza lor. În același timp, observăm că același obiect real poate avea mai multe scheme de design și multe obiecte reale diferite pot fi asociate cu aceeași schemă de proiectare. În special, atunci când se calculează o macara rulantă (a se vedea figura), cablul și coloana de susținere vor fi calculate conform schemei de proiectare a unei tije întinse sau comprimate, iar căruciorul și ghidajele - conform schemei unei grinzi cu două suporturi , etc. Aceasta implică o altă definiție a rezistenței materialelor.

Rezistența materialelor- o disciplină de inginerie care se ocupă cu analiza rezistenței (în sensul general) a celor mai tipice (care apar frecvent) scheme de proiectare adecvate pentru calcularea oricăror elemente ale oricăror structuri.

13) Forțe interne în tensiune și compresiune. Construirea diagramelor forțelor interne. Conceptul de secțiune periculoasă.
Tensiune și compresie

Întindere (compresie)- un tip simplu de rezistență, în care tija este încărcată cu forțe paralele cu axa longitudinală a tijei și aplicate pe centrul de greutate al secțiunii sale.

Să considerăm o tijă întinsă elastic prin forțele concentrate aplicate central P.

Înainte de a trece la studiul forțelor și tensiunilor interne care apar într-o tijă tensionată, să luăm în considerare câteva ipoteze legate de natura deformării unei astfel de tije și care au o importanță excepțională în rezistența materialelor.

Principiul Sfântului Venant: în secțiuni suficient de îndepărtate de locurile de aplicare a forțelor, distribuția tensiunilor și deformațiilor depinde puțin de metoda de aplicare a sarcinilor.

Principiul Saint-Venant face posibilă calcularea fără a lua în considerare deformațiile locale (locale) care apar în apropierea punctelor de aplicare a forțelor externe și diferă de deformațiile volumului principal al materialului, ceea ce în majoritatea cazurilor simplifică soluția de problema.

Ipoteza secțiunilor plate (ipoteza lui J. Bernoulli):secțiunile transversale ale tijei sunt plate și perpendiculare pe axa acesteia înainte de deformare rămân plate și perpendiculare pe axă, iar după deformare.

Disecând mental tija, determinăm forțele interne în tija întinsă:

a) o tijă încărcată cu forțe de tracțiune P și în echilibru este tăiată de o secțiune arbitrară;

b) aruncăm una dintre părțile tijei, iar efectul acesteia asupra celeilalte părți este compensat de forțele interne cu intensitate;

c) forța internă axială N, care apare în secțiunea tijei, determinăm prin compilarea ecuațiilor de echilibru pentru partea tăiată:

Prin proiectarea forței externe P, care acționează asupra părții tăiate a tijei, asupra altor axe (z și y), precum și prin alcătuirea ecuațiilor de momente relativ la axele de coordonate, este ușor să vă asigurați că forța axială N este singura forță internă care apare în secțiunea tijei (restul sunt identic egale cu zero).

Astfel, în timpul tensiunii (compresiei), din șase forțe interne în secțiunea transversală a tijei, apare doar una - forța longitudinală N.

Tensiunile normale care apar în secțiunea tijei sunt legate de forța axială N după cum urmează:

Sau . (2,2)

Având în vedere că, în conformitate cu ipoteza Bernoulli, tensiunile sunt distribuite uniform pe secțiunea transversală (adică = const), putem scrie:

Astfel, tensiunile normale de tracțiune (compresie) sunt definite ca

Grafice ale forțelor interne în tensiune-compresie

Tensiunea sau compresia este un tip de rezistență atât de simplu, în care forțele externe sunt aplicate de-a lungul axei longitudinale a fasciculului și numai forța normală apare în secțiunea sa transversală.

Luați în considerare schema de calcul a unui fascicul de secțiune transversală constantă cu o sarcină concentrată externă dată P și q distribuit, (Fig. 1).

a) schema de calcul, b) prima secțiune, partea stângă tăiată, c) a doua secțiune, partea stângă tăiată, d) a doua secțiune, partea dreaptă tăiată, e) diagrama forțelor normale

Fig.1. Trasarea forțelor normale:

Lăsa . În primul rând, definim reacția de sprijin R, dată fiind direcția sa de-a lungul axei X.

Grinda are 2 secțiuni 1 și 2.

În prima secțiune, tăiem mental grinda în 2 părți cu o secțiune normală și luăm în considerare echilibrul, să spunem partea stângă, introducând următoarea coordonată x 1, Fig.1 b:

În consecință, în prima secțiune, fasciculul suferă o comprimare cu o forță normală constantă.

Vom face același lucru cu a doua secțiune. Tăiați-l mental cu o secțiune de 2-2 și luați în considerare echilibrul părții stângi (Fig. 1 c). Să stabilim mai întâi limitele schimbării x 2:

Înlocuirea valorilor limită ale parametrului x 2, primim:

Astfel, în cadrul celei de-a doua secțiuni, fasciculul este întins și forța normală se modifică liniar.

Un rezultat similar se obține atunci când se ia în considerare partea de tăiere dreaptă (Fig. 1d):

Pe baza datelor obținute, se construiește o diagramă a forțelor normale sub forma unui grafic al distribuției forței normale de-a lungul lungimii barei (Fig. 1e). Este caracteristic că salturile în diagramă se datorează prezenței forțelor concentrate în secțiunile corespunzătoare RȘi R, care la rândul său poate servi drept regulă pentru corectitudinea construcțiilor efectuate.

Pentru a verifica rezistența la încovoiere, în funcție de sarcinile externe care acționează asupra grinzii, se construiesc grafice ale modificărilor forțelor interne de-a lungul lungimii acesteia și se determină secțiunile periculoase ale grinzii, pentru fiecare dintre acestea fiind necesar să se efectueze un test de rezistență. .

Cu un test de rezistență completă, vor exista cel puțin trei astfel de secțiuni (uneori coincid):

1. secţiune în care momentul încovoietor Mx- atinge valoarea maximă în valoare absolută, - pentru această secțiune este selectată secțiunea întregului fascicul;

2. secţiune în care forţa transversală Qy, atinge valoarea sa modulo maximă;

3. secţiune în care şi momentul încovoietor Mxși forța tăietoare Qy atinge valori suficient de mari în modul.

În fiecare dintre secțiunile periculoase, este necesar, având construite diagrame ale tensiunilor normale și tăietoare, să găsiți punctele periculoase ale secțiunii (se efectuează verificarea rezistenței pentru fiecare dintre ele), care vor fi, de asemenea, cel puțin trei:

1. punctul în care tensiunile normale ating valoarea maximă - adică punctul de pe suprafața exterioară a grinzii care este cel mai îndepărtat de axa neutră a secțiunii;

2. punctul în care eforturile de forfecare ating valoarea maximă - punct situat pe axa neutră a secțiunii;

punctul în care atât tensiunile normale, cât și eforturile de forfecare ating valori suficient de mari (această verificare are sens
pentru secțiuni precum un tee sau o grindă în I, unde lățimea își schimbă brusc valoarea).

14) Condiția de rezistență la torsiune. Conceptul de secțiune periculoasă
Condiția de rezistență la torsiune, ținând cont de notația adoptată, se formulează astfel: tensiunile de forfecare maxime care apar în secțiunea periculoasă a arborelui nu trebuie să depășească tensiunile admisibile și se scrie ca

unde se ia fie pe baza datelor experimentale, fie (în absența caracteristicilor experimentale necesare) conform teoriilor de rezistență corespunzătoare materialului. De exemplu, din teoriile de rezistență pentru materialele fragile aplicate la forfecare pură, urmează următoarele rezultate:

Din a doua teorie a puterii

Din teoria lui Mohr

Din teoriile de rezistență pentru materialele ductile la forfecare pură, obținem:

Conform celei de-a treia teorii a puterii

Conform celei de-a patra teorii a puterii

După cum rezultă din legea împerecherii tensiunilor tangenţiale, concomitent cu tensiunile tangenţiale care acţionează în planul secţiunii transversale a arborelui, în planurile longitudinale apar tensiuni tangenţiale. Sunt egale ca mărime cu tensiunile perechilor, dar au semnul opus. Astfel, toate elementele grinzii în timpul torsii sunt într-o stare de forfecare pură. Deoarece forfecarea pură este un caz special al unei stări de efort plană, în care , , , atunci când fețele elementului sunt rotite cu 45 0, în zone noi se găsesc doar tensiuni normale egale ca mărime (Fig. 5.8).

Luați în considerare tipurile posibile de distrugere a arborilor din diverse materiale în timpul torsii. Arborii din materiale plastice sunt cel mai adesea distruși de-a lungul unei secțiuni perpendiculare pe axa arborelui, sub influența tensiunilor tăietoare care acționează în această secțiune (Fig. 5.9, a). Arborii din materiale fragile sunt distruși de-a lungul suprafeței elicoidale înclinate față de axa arborelui la un unghi de 45 0, adică. în sensul de acţiune al tensiunilor maxime de întindere (Fig. 5.9, b). La arbori de lemn, primele fisuri apar de-a lungul generatoarelor cilindrului, deoarece lemnul rezistă slab la acțiunea tensiunilor de forfecare direcționate de-a lungul fibrelor (Fig. 5.9, c).

Fig.5.8 Fig.5.9

Astfel, natura distrugerii depinde de capacitatea materialului arborelui de a rezista efectelor tensiunilor normale și de forfecare. În conformitate cu aceasta, tensiunile de forfecare admisibile sunt luate egale cu - pentru materialele fragile și - pentru materialele ductile.

ÎN secțiunea periculoasă a arborelui la îndoire cu torsiune apar simultan cel mai mare cuplu () și momentul încovoietor rezultat.

15) Torsiunea. Stresul de torsiune. Graficul tensiunilor de forfecare.
torsiune numită deformare care apare atunci când asupra tijei acționează o pereche de forțe, situată într-un plan perpendicular pe axa acesteia (Fig. 5.1).

Se numesc bare de secțiune circulară sau inelară, care lucrează în torsiune arbori. La calcularea arborilor, puterea transmisă arborelui este de obicei cunoscută și trebuie determinată mărimea momentelor de răsucire exterioare. Momentele de torsiune exterioare, de regulă, sunt transferate pe arbore în locurile în care se potrivesc scripetele, roți dințate etc.

Lăsați arborele să se rotească cu o viteză constantă n rpm și transmite putere N Nm/s Viteza unghiulară de rotație a arborelui este egală cu (rad / sec), iar puterea transmisă este .

Momentul de răsucire este .

Dacă puterea este dată în kilowați, atunci valoarea cuplului este determinată de formulă

TENSIUNEA DE TORSIUNE.

Dacă la capetele arborelui se aplică momente de torsiune exterioare egale, dar direcționate în mod opus, atunci există doar tensiuni tangenţiale în toate secțiunile sale transversale, de exemplu. starea de efort în punctele tijei răsucite este o forfecare pură. În secțiunea transversală circulară a arborelui, deformațiile de forfecare și tensiunile de forfecare sunt egale cu zero în centru și sunt maxime la margine; în punctele intermediare sunt proporţionale cu distanţa de la centrul de greutate al secţiunii. Formula obișnuită pentru solicitarea maximă de forfecare la torsiune este: S = Tc/J, Unde T- moment de răsucire la un capăt, c este raza arborelui și J este momentul polar al secțiunii. Pentru un cerc J = relatii cu publicul 4/2. Această formulă este aplicabilă numai în cazul unei secțiuni transversale circulare. Formulele pentru arbori cu o secțiune transversală de altă formă sunt derivate prin rezolvarea problemelor corespunzătoare folosind metodele teoriei matematice a elasticității, în unele cazuri implicând metodele de analiză experimentală.

Orez. 2.9. Grafice ale tensiunilor de forfecare la torsiune

a) stadiu elastic; b) stadiul deformarii plastice;

c) stadiul de distrugere; 1 – zona elastica; 2 - zona de plastic