Prelegeri

Prelegeri 4-5. Mișcarea plană a unui corp rigid și mișcarea unei figuri plate în planul său. Ecuații de mișcare plană, număr de grade de libertate. Descompunerea mișcării în translație împreună cu polul și rotație în jurul axei care trece prin pol. Raportul dintre vitezele oricăror două puncte dintr-o figură plană. Centru de viteze instantanee - MCS; metode de a-l găsi. Determinarea vitezelor punctuale cu ajutorul MCS. Diferite căi determinarea vitezei unghiulare. Raportul dintre accelerațiile oricăror două puncte dintr-o figură plană. Conceptul de centru instantaneu de accelerație. Diferite moduri de a determina accelerația unghiulară. Exemplul OL4-5.14.

OL-1, cap. 3, §§ 3.1-3.9.

Prelegeri 6-7. Rotirea unui corp rigid în jurul unui punct fix. Numărul de grade de libertate. Unghiurile lui Euler. Ecuații de mișcare. Axa de rotație instantanee. Vectori ai vitezei unghiulare și ai accelerației unghiulare. Viteze ale punctelor corpului: formule Euler vectoriale și scalare. Formule Poisson. Accelerații ale punctelor corpului. Exemplul L5-19.4. Cazul general de mișcare a unui corp rigid liber. Descompunerea mișcării în translație împreună cu polul și rotațional în jurul polului. Ecuații de mișcare. Vitezele și accelerațiile punctelor corpului.

OL-1, cap. 4, cap. 5.

Prelegeri 8-9. Mișcarea complexă a unui punct, concepte și definiții de bază. Derivate totale și locale ale unui vector, formula lui Boer. Teorema adiției vitezei. Teorema de adunare a accelerațiilor este teorema Coriolis. Accelerația Coriolis, regula lui Jukovski. Cazuri speciale. Exemple: L4-7.9, 7.18. Mișcarea complexă a unui corp rigid. Adăugarea mișcărilor de translație, adăugarea rotațiilor în jurul axelor care se intersectează.

OL-1, cap. 6, cap. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

Elevii studiază în mod independent subiectul „Adăugarea de rotații în jurul axelor paralele, o pereche de rotații”.

OL-1, cap. 7, § 7.3.

Cursul 10 Conceptul de coordonate curbilinie. Determinarea vitezei și accelerației unui punct la precizarea mișcării acestuia în coordonate cilindrice și sferice.

OL-1, cap. 1, § 1.4.

Seminarii

Lecția 5. Determinarea vitezelor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării sale plane. Centru de viteze instantanee - MCS; metode de a-l găsi. Determinarea vitezelor punctuale folosind MCS, determinarea vitezei unghiulare a unui corp.

Camera: OL5-16.29, L4-5.6,5.7,5.14.

Acasă: OL4-5.8,5.15,5.20.

Lecția 6. Determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plate prin raportul dintre accelerațiile oricăror două dintre punctele sale și folosind centrul instantaneu al accelerațiilor. Diferite moduri de a determina accelerația unghiulară.

Sala: OL5-18.11, L4-5.26,5.30.

Acasă: OL4-5.21, 5.28.

Lecția 7

Auditorium: OL4-5.38, 5.37.

Acasă: OL4-5.39, 5.43.

Lecția 8 Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor corpurilor rigide în timpul mișcării plane în sisteme cu un grad de libertate.

Camera: OL4-5.40.

Acasă: OL4-5.41.

Lecția 9. Rezolvarea unor probleme precum DZ-2 „Cinematica mișcării plane a unui corp rigid”

Auditorium: Sarcini de tip DZ-2.

Case: DZ-2, MP 5-7.

Lecția 10. Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor pentru mișcări portabile și relative date.

Lecția 11. Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor dintr-o mișcare complexă cu o traiectorie cunoscută a mișcării sale absolute.

Auditorium: OL5-23.18, 23.27, 23.30, OL4-7.17.

Acasă: OL4-7,6 (7,3), 7,16 (7,13).

Lecția 12. Rezolvarea unor probleme precum DZ-3 „Mișcarea complexă a unui punct”

Public: OL4-7.34 (7.29). Probleme de tip DZ-3.

Case: DZ Nr 3, MP 8-10.

Modulul 3: Statica

Prelegeri

Cursul 11 Statică, concepte de bază și definiții. Axiomele staticii. Principalele tipuri de legături și reacțiile lor: suprafață netedă, articulație cilindrice, articulație sferică, rulment axial, filet flexibil, tijă articulată.

OL-1, cap. 8, §§ 8.1, 8.2.

Cursul 12 Sistem de forțe convergente, condiții de echilibru. Momente de forță algebrice și vectoriale relativ la un punct. Moment de forță în jurul axei. Relația dintre momentul de forță a vectorului în jurul unui punct cu momentul de forță în jurul unei axe care trece prin acest punct. Expresii analitice pentru momentele de forță în raport cu axele de coordonate. Câteva puteri. Teorema privind suma momentelor forțelor care alcătuiesc o pereche, relativ la orice punct sau axă. Momente vectoriale și algebrice ale unei perechi.

OL-1, cap. 8, §§ 8.3-8.5.

Cursul 13 Echivalența perechilor. Adăugarea de perechi. Condiția de echilibru pentru un sistem de perechi de forțe. Lema privind transferul paralel de forță. Teorema privind reducerea unui sistem arbitrar de forțe la o forță și o pereche de forțe este teorema principală a staticii.

OL-1, cap. 8, § 8.6.

Cursul 14 Vectorul principal și momentul principal al sistemului de forțe. Formule pentru calculul lor. Condiții pentru echilibrul unui sistem arbitrar de forțe. Cazuri particulare: un sistem de forțe paralele, un sistem plat de forțe - forma principală. Teorema lui Varignon asupra momentului forțelor rezultante, distribuite. Exemple: K5-4.26, K4-2.17. Dependenţa dintre momentele principale ale sistemului de forţe faţă de două centre de reducere.

OL-1, cap. 8, § 8.6, cap. 9, § 9.1.

Prelegeri 15-16. Invarianții sistemului de forță. Cazuri speciale de reducere. Echilibrul sistemului corpului. Forțe externe și interne. Proprietăți forțe interne. Sarcinile sunt definite static și nedeterminate static. Echilibrul unui corp pe o suprafață rugoasă. Frecare de alunecare. legile lui Coulomb. Unghi și con de frecare. Exemplul L5-5.29. Frecare de rulare. Coeficientul de frecare la rulare.

OL-1, cap. 9, § 9.2, cap. 10.

Cursul 17 Centrul unui sistem de forțe paralele. Formule pentru vectorul rază și coordonatele centrului sistemului de forțe paralele. Centrul de greutate al corpului: volum, suprafață, linii. Metode de găsire a centrului de greutate: metoda simetriei, metoda partiționării, metoda masei negative. Exemple.

OL-1, cap. unsprezece.

Seminarii

Lecția 13.

Public: OL5-2.19,2.29,4.17,4.25.

Acasă: L4-1.3, 1.5.

Lecția 14. Determinarea reacțiilor la echilibru a unui sistem plat de corpuri.

Auditorium: OL4-1.14,1.15,1.17.

Acasă: L4-1.12, 1.16, MP 11.14.

Lecția 15. Determinarea reacțiilor la echilibru a unui sistem spațial arbitrar de forțe.

Camera: OL4-1.26, L5-8.17, 8.19.

Acasă: OL4-1.24,1.25,1.29.

Lecția 16 Determinarea reacțiilor la echilibru a unui sistem spațial arbitrar de forțe. Rezolvarea unor probleme precum DZ-4.

Camera: OL5-8.26, L4-2.12,2.18,2.19.

Case: OL4-2.16, DZ Nr 4, MP 12-14.

Lecția 17. Determinarea forțelor la echilibru ținând cont de frecare.

Audiență: RL5-5.26,5.28, L4-1.39 (1.38).

Acasă: OL4-1.43(1.42), 1.46(1.45).

Modulul 4: Examen

Examenul se bazează pe modulele 1-4.

Auto-pregătire

· Dezvoltarea unui curs de prelegeri, manuale, mijloace didactice pe temele prelegerilor 1 - 17, seminarii 1 - 17

· A face temele nr. 1–4.

· Pregătirea pentru lucrare scrisă Nr. 1–4 și ortografia lor.

apartament(plan-paralel) numit. o mișcare în care toate punctele sale se mișcă paralel cu un plan fix. Ecuații de mișcare plană: x A \u003d f 1 (t), y A \u003d f 2 (t), j \u003d f 3 (t), punctul A numit. pol. Mișcarea plană a unui corp solid este compusă din mișcare de translație, în care toate punctele corpului se mișcă în același mod ca polul (A) și din mișcare de rotație în jurul acestui pol. Mișcarea de translație depinde de alegerea polului, în timp ce mărimea și direcția unghiului de rotație sunt independente.

mișcare plată Un corp rigid se numește o astfel de mișcare în care fiecare dintre punctele sale se mișcă întotdeauna în același plan.

Planurile în care punctele individuale ale corpului se mișcă sunt paralele între ele și paralele cu același plan fix. Mișcarea plană a unui corp rigid este adesea numită plan-paralel. Traiectoriile punctelor corpului într-o mișcare plană sunt curbe plane.

Mișcarea plană a unui corp rigid are mare importanțăîn tehnologie. Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este un caz special al mișcării unui corp rigid.

Când se studiază mișcarea plană, ca oricare alta, este necesar să se ia în considerare modalități de specificare a acestei mișcări, precum și metode de calculare a vitezelor și accelerațiilor punctelor corpului.

Dacă în corp este trasată o anumită dreaptă O 1 O 2, perpendiculară pe planurile în care se mișcă punctele, atunci toate punctele acestei linii se vor deplasa pe aceleași traiectorii cu aceleași viteze și accelerații; linia însăși își va păstra în mod natural orientarea în spațiu. Astfel, cu o mișcare plată a unui corp rigid, este suficient să se ia în considerare mișcarea uneia dintre secțiunile corpului.

Secțiunea unui corp rigid va fi numită figură plată. Poziția unei figuri pe planul său este complet determinată de poziția unui segment de dreaptă atașat rigid de această figură plană.

Ecuațiile mișcării plane a unui corp rigid

Pentru a seta poziția unei figuri plate pe plan în raport cu sistemul de coordonate situat în planul figurii, este suficient să setați poziția segmentului AB atașat figurii pe acest plan.

Poziția segmentului AB, în raport cu sistemul de coordonate, se determină prin specificarea coordonatelor unui punct al acestui segment și a direcției acestuia. De exemplu, coordonatele punctului A () și direcția dată de unghi.

Ecuațiile de mișcare ale unei figuri plate în raport cu sistemul de coordonate sunt: ​​.

Un corp rigid aflat într-o mișcare plană are trei grade de libertate.

numit ecuații ale mișcării plane a unui corp rigid .

Să trecem la studiul mișcării unui singur punct al unui corp rigid. Poziția oricărui punct M al unei figuri plate în raport cu un cadru de referință în mișcare , atașată acestei figuri în mișcare și situată în planul ei, se determină complet prin specificarea coordonaților x și y ale punctului M (Fig.6-3).

Există o relație între coordonatele punctului M în diferite sisteme de referință:

, (6-1)

unde este lungimea segmentului OM, este un unghi constant între OM și axă. Ținând cont de expresii și obținem

, (6-2)

Formulele (6-2) sunt ecuațiile de mișcare ale punctului M al unei figuri plate în raport cu coordonatele . Aceste formule vă permit să determinați coordonatele oricărui punct al unei figuri plate prin ecuații date mișcarea acestei figuri și coordonatele acestui punct în raport cu cadrul de referință în mișcare atașat figurii în mișcare.

Folosind notația matrice-vectorală, ecuațiile (6-2) pot fi scrise sub următoarea formă:

, (6-3)

unde A este matricea de rotație pe plan:

, , , .

Descompunerea mișcării plane în translație

Și mișcarea de rotație.

Teorema . Orice mișcare a unui corp rigid, inclusiv mișcarea unei figuri plate în planul său, poate fi descompusă în nenumărate moduri în două mișcări, dintre care una este portabilă, iar cealaltă relativă.

În special, mișcarea unei figuri plane în planul său în raport cu un sistem situat în același plan poate fi descompusă în mișcări de translație și relative, după cum urmează. Să luăm pentru mișcarea portabilă a figurii mișcarea acesteia împreună cu sistemul de coordonate în mișcare translațională, al cărui început este fixat de punctul O al figurii, luat drept pol. Atunci mișcarea relativă a figurii va fi în raport cu sistemul de coordonate în mișcare o rotație în jurul axei în mișcare, perpendicular pe figura plată și trecând prin polul selectat.

Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să arătăm că o figură plată în planul său dintr-o poziție în alta poate fi transferată prin două mișcări - mișcare de translație în planul figurii împreună cu un anumit pol și rotație în același plan în jurul acestui pol.

Luați în considerare oricare două poziții ale unei figuri plate 1 și 2. Selectați segmentul AB din figura luată în considerare. Transferul figurii din poziția 1 în poziția 2 poate fi considerată ca o suprapunere a două mișcări: de translație de la 1 la 1 „și de rotație de la 1” la 2 în jurul punctului A”, numit de obicei pol (Fig. 6-4a). Este semnificativ faptul că, ca pol, puteți alege orice punct care aparține figurii sau chiar se află în planul din afara figurii.În Fig. 6-4b, de exemplu, punctul B este selectat ca pol. rotația a rămas la fel!

Mișcarea plană (plan-paralelă) a unui corp rigid este o astfel de mișcare a unui corp în care toate punctele sale se mișcă în planuri paralele cu un plan fix.

Mișcarea plană a unui corp rigid poate fi descompusă în mișcare de translație a corpului împreună cu un anumit punct al corpului (polul) și rotație în jurul unei axe care trece prin pol perpendicular pe planul de mișcare.

Numărul de grade de libertate în mișcarea plană este de trei. Alegem punctul A al corpului - polul. Două coordonate vor stabili mișcarea polului, iar a treia - unghiul de rotație - rotația în jurul polului:

,
,
.

Ultimele expresii se numesc ecuațiile mișcării plane a unui corp rigid.

3.2. Vitezele punctelor corpului în timpul mișcării plane.

Centru de viteză instantaneu

Luați în considerare punctele AȘi ÎN un corp rigid într-o mișcare plană. Raza vector punct ÎN
,
, deoarece este distanța dintre două puncte dintr-un corp rigid. Să diferențiem ambele părți ale acestei egalități:
sau
. Pentru
aplicăm formula pentru derivata unui vector care are un modul constant:

- viteza punctului ÎN când corpul se rotește în jurul stâlpului A. Apoi,
sau
, Unde - vectorul vitezei unghiulare a corpului, este îndreptat de-a lungul axei care trece prin punct A perpendicular pe planul mișcării. modul – deoarece AB zace într-un avion şi perpendicular pe plan.

Centrul instantaneu de viteze al unui corp într-o mișcare plană este un punct al corpului sau un plan în mișcare legat rigid de corp, a cărui viteză este în acest moment timpul este zero.

Să arătăm că dacă la un moment dat viteza unghiulară a corpului
, atunci centrul de viteze instantaneu există. Luați în considerare o figură plană care se mișcă în planul desenului,
, viteza punctului A–. Desenați o perpendiculară pe A a accelera și pune un segment pe el
. Să arătăm asta R este centrul instantaneu al vitezelor, adică
.

Viteza punctului R
,
, adică
, prin urmare
, care înseamnă R este centrul de viteză instantaneu.

Să fie acum corpul să efectueze o mișcare plană și poziția centrului instantaneu de viteze este cunoscută R. Să determinăm mai întâi viteza punctului A:,
; viteza punctului ÎN:
; Apoi
. În consecință, vitezele punctelor corpului în timpul mișcării plane sunt legate de distanța lor față de centrul instantaneu al vitezelor.

Luați în considerare modalități de a găsi centrul instantaneu al vitezelor.

3.3. Accelerația punctelor corpului în timpul mișcării plane.

Centru de accelerare instantanee

Luați în considerare punctele AȘi ÎN un corp rigid într-o mișcare plană. Viteza punctului ÎN
. Să diferențiem ambele părți ale acestei egalități:
. Denota
,
,
- accelerația unghiulară,
- viteza punctului ÎN relativ la stâlp A,. Să introducem notația:
este accelerația tangențială (de rotație) a punctului ÎN, când corpul se rotește în jurul stâlpului A,este vectorul de accelerație unghiulară direcționat perpendicular pe planul de mișcare; este accelerația normală a punctului B când corpul se rotește în jurul stâlpului A. Având în vedere aceste notații, expresia pentru accelerație se scrie după cum urmează:
. Astfel, accelerația oricărui punct al corpului în timpul mișcării plane este egală cu suma geometrică a accelerației oricărui alt punct al corpului (polul) și accelerația punctului corpului în timpul rotației acestuia în jurul polului. Dacă desemnăm
, Acea
,
,
,
.

Centrul instantaneu de accelerație al unui corp într-o mișcare plană este un punct al unui corp sau un plan în mișcare legat rigid de corp, a cărui accelerație la un moment dat de timp este egală cu zero.

Să arătăm că dacă la un moment dat
Și
, atunci centrul de accelerație instantaneu există. Luați în considerare o figură plană care se mișcă în planul desenului,
,
accelerație punctuală A–
. Să desenăm la punct A fascicul în unghi
la accelerare
și pune un segment pe el
. Să arătăm asta Q este centrul instantaneu al accelerațiilor, adică
.

accelerație punctuală Q
,

,
,
,
, prin urmare
, care înseamnă Q este centrul instantaneu de accelerație. Apoi
,
,
.

Luați în considerare modalități de a determina accelerația unghiulară a unui corp într-o mișcare plană.

1. Dacă se cunoaşte unghiul de rotaţie
, Acea
.

2. Proiectarea unei ecuații vectoriale
pe o axă perpendiculară pe accelerația punctului ÎN(cu cunoscut , direcția și magnitudinea
, direcția vectorială
), obținem o ecuație din care determinăm
și apoi
.

Până acum, când studiem mișcarea unui punct (un punct separat, un punct al unui corp), am presupus întotdeauna că sistemul de coordonate Oxyz, raportat la care este considerată mișcarea, este nemișcat. Acum luați în considerare cazul în care sistemul de coordonate Oxyz se mișcă și el, astfel încât atât punctul M, cât și sistemul de coordonate Oxyz se mișcă - față de un alt sistem de coordonate care este staționar (Fig. 111). Acest caz, când mișcarea punctului M este considerată simultan în două sisteme de coordonate - în mișcare și fix, se numește mișcare complexă a punctului.

Mișcarea unui punct în raport cu un sistem de coordonate fix se numește mișcare absolută. Viteza și accelerația sa față de axele fixe se numesc, respectiv, viteză absolută și accelerație absolută.

Mișcarea unui punct în raport cu un sistem de coordonate în mișcare se numește mișcare relativă.

Viteza și accelerația unui punct în raport cu axele în mișcare se numesc viteză relativă (notată) și accelerație relativă. Index - de la cuvântul latin relativus (relativ).

Mișcarea unui sistem de coordonate în mișcare împreună cu punctele geometrice asociate invariabil cu acesta în raport cu un sistem de coordonate fix se numește mișcare de translație. Viteza portabilă și accelerația portabilă a punctului M sunt viteza și accelerația relativă la sistemul de coordonate fix al punctului M, asociate invariabil cu axele în mișcare, cu care punctul în mișcare M coincide la un moment dat.Indexul e este de la latinescul enteriner (a purta cu tine).

Conceptele de viteză de transfer și accelerație de transfer sunt mai subtile. Oferim următoarea explicație suplimentară. În procesul de mișcare relativă, punctul M se află în diferite locuri (puncte) ale sistemului de coordonate în mișcare.

Să desemnăm M acel punct al sistemului de coordonate în mișcare, cu care punctul în mișcare M coincide la momentul dat Punctul M se mișcă împreună cu sistemul de coordonate în mișcare față de sistemul staționar cu o oarecare viteză și accelerație. Aceste cantități servesc ca viteză portabilă și accelerație portabilă a punctului M:

Să mai facem două observații.

1. Axele de coordonate mobile și fixe, care apar în formularea problemei mișcării complexe, sunt necesare doar pentru generalitatea formulării problemei. În practică, rolul sistemelor de coordonate este îndeplinit de corpuri și obiecte specifice - în mișcare și staționare.

2. Mișcarea portabilă sau, ceea ce este la fel, mișcarea axelor mobile față de cele fixe, se reduce la una dintre mișcările unui corp rigid - de translație, rotație etc. Prin urmare, atunci când se calculează viteza de transfer și accelerația de transfer, ar trebui să se folosească regulile adecvate stabilite pentru diferite feluri mișcările corpului.

Vitezele și accelerațiile într-o mișcare complexă sunt legate prin dependențe matematice stricte - teorema de adunare a vitezei și teorema de adunare a accelerației.