Interpolare liniară peste un tabel. Determinarea unei valori intermediare prin interpolare liniară. Interpolarea funcției multivariabile

EXERCIȚIU

pentru cursuri în disciplină

Metode automate de procesare a rezultatelor experimentului.

R&D: Dezvoltarea unui program pentru construirea unui grafic polinomial de interpolare.

Dezvoltați un program de reprezentare grafică folosind formula de interpolare a liniilor pe bucăți cu mai multe intervale.

Tabel de funcții:

X
y	0,23	0,56	0,15	0,1	0,27	0,2

INTRODUCERE

Sistemul de programare Turbo Pascal este o unitate a două, într-o anumită măsură, principii independente: un compilator din limbajul de programare Pascal și un shell de software instrumental care îmbunătățește eficiența creării de programe.

Mediul Turbo Pascal este primul lucru pe care îl întâlnește orice programator când începe munca practica programare.

Acest termen de hârtie este de a scrie în Turbo Pascal un program pentru trasarea unui grafic polinomial de interpolare.

PARTE PRINCIPALĂ

INTRODUCERE TEORETICĂ

problema de interpolare.

Fie un tabel de numere (xi , fi), i = 0, 1, ..., N ; x0< x1 < … < xN .

Definiție. Orice funcție f(x) astfel încât f(xi) = fi ; = 0, 1, ..., N se numește interpolare (interpolare) pentru tabel.

Problema interpolării este de a găsi (construi) o funcție de interpolare (adică una care acceptă valori date fi la nodurile de interpolare date xi) și aparține unei clase date de funcții. Desigur, problema interpolării poate avea sau nu o soluție (și nu singura), totul depinde de „clasa dată de funcții”. Este necesar să se afle condițiile în care ar fi formulată în mod specific problema de interpolare. O modalitate de interpolare este că funcția de interpolare este căutată ca o combinație liniară a unor funcții specifice. O astfel de interpolare se numește liniară.

Interpolare liniară.

Interpolarea formulei pentru n = 1, adică folosind funcția liniară , se numește liniar. Când se lucrează cu funcții polinomiale pe bucăți, se numesc abscisele datelor noduri, îmbinări sau puncte de pauză. Există diferențe tehnice între aceste nume, dar toți cei trei termeni sunt adesea folosiți interschimbabil. O funcție polinomială liniară pe bucăți L(x) este o funcție definită pentru tot x care are proprietatea că L(x) este o linie dreaptă între xi și x i +1 . Definiția admite că în intervalele dintre diferite perechi de noduri învecinate, L(x) poate coincide cu linii diferite. Dacă introducem notația , , atunci formula de interpolare liniară poate fi scrisă după cum urmează: (1)

Mărimea q se numește faza de interpolare, care variază de la 0 la 1 pe măsură ce x trece prin x 0 la x 1 .

Interpolare geometrică liniară înseamnă (fig. 1) înlocuirea graficului unei funcții pe un segment cu o coardă care leagă punctele (x 0, f 0), (x 1, f 1). Întrucât, conform formulei, avem și, prin urmare, , apoi estimarea erorii maxime de interpolare liniară pe segment în conformitate cu formula are forma , (2) unde .

Adesea, un tabel cu un număr mare de valori ale unei funcții f este stabilit cu un pas constant h al modificării argumentului. Apoi, pentru un x dat, sunt selectate două noduri cele mai apropiate de acesta. Nodul din stânga este luat ca x 0 și nodul din dreapta ca x 1 , iar interpolarea liniară este efectuată conform formulei (1). Eroarea de interpolare este estimată prin formula (2).

FORMULAREA PROBLEMEI

Elaborați un program pentru construirea unui grafic polinomial de interpolare folosind formula de interpolare liniară pe bucăți cu mai multe intervale.

Mulți dintre noi am întâlnit termeni de neînțeles în diferite științe. Sunt însă foarte puțini oameni cărora nu le este frică de cuvinte de neînțeles, ci dimpotrivă, se înveselesc și îi obligă să aprofundeze subiectul studiat. Astăzi vom vorbi despre un astfel de lucru precum interpolarea. Aceasta este o metodă de trasare a graficelor folosind puncte cunoscute, care permite prezicerea comportamentului acestuia pe anumite secțiuni ale curbei cu o cantitate minimă de informații despre funcție.

Înainte de a trece la esența definiției în sine și de a spune despre ea mai detaliat, să ne adâncim puțin în istorie.

Poveste

Interpolarea este cunoscută din cele mai vechi timpuri. Cu toate acestea, acest fenomen își datorează dezvoltarea mai multor dintre cei mai importanți matematicieni ai trecutului: Newton, Leibniz și Gregory. Ei au fost cei care au dezvoltat acest concept folosind metodele matematice mai avansate disponibile la acea vreme. Înainte de aceasta, interpolarea, desigur, a fost aplicată și utilizată în calcule, dar au făcut-o în moduri complet inexacte, necesitând un numar mare date pentru a construi un model mai mult sau mai puțin apropiat de realitate.

Astăzi, putem chiar alege care dintre metodele de interpolare este mai potrivită. Totul este tradus într-un limbaj informatic care poate prezice cu mare acuratețe comportamentul unei funcții într-o anumită zonă, limitată de puncte cunoscute.

Interpolarea este un concept destul de restrâns, așa că istoria sa nu este atât de bogată în fapte. În secțiunea următoare, vom înțelege ce este de fapt interpolarea și cum diferă de opusul său - extrapolarea.

Ce este interpolarea?

După cum am spus deja, acesta este denumirea generală pentru metodele care vă permit să reprezentați un grafic după puncte. La școală, acest lucru se face în principal prin compilarea unui tabel, identificarea punctelor pe un grafic și construirea aproximativă a liniilor care le conectează. Ultima acțiune se face pe baza unor considerații privind asemănarea funcției studiate cu altele, tipul de grafice despre care cunoaștem.

Cu toate acestea, există și alte moduri, mai complexe și precise, de a realiza sarcina de a trasa o diagramă punct cu punct. Deci, interpolarea este de fapt o „predicție” a comportamentului unei funcții într-o anumită zonă, limitată de puncte cunoscute.

Există un concept similar asociat cu aceeași zonă - extrapolarea. Este, de asemenea, o predicție a graficului unei funcții, dar dincolo de punctele cunoscute ale graficului. Cu această metodă, se face o predicție pe baza comportamentului unei funcții pe un interval cunoscut, iar apoi această funcție este aplicată și unui interval necunoscut. Această metodă este foarte convenabilă pentru aplicare practică și este utilizată în mod activ, de exemplu, în economie pentru a prezice suișuri și coborâșuri pe piață și pentru a prezice situația demografică din țară.

Dar ne-am abătut de la subiectul principal. În secțiunea următoare, vom înțelege ce este interpolarea și ce formule pot fi folosite pentru a efectua această operație.

Tipuri de interpolare

Cel mai simplu tip este interpolarea celui mai apropiat vecin. Cu această metodă, obținem o diagramă foarte aproximativă constând din dreptunghiuri. Dacă ați văzut cel puțin o dată o explicație a semnificației geometrice a integralei pe un grafic, atunci veți înțelege despre ce fel de formă grafică vorbim.

În plus, există și alte metode de interpolare. Cele mai cunoscute și populare sunt asociate cu polinoamele. Ele sunt mai precise și permit prezicerea comportamentului unei funcții cu un set destul de slab de valori. Prima metodă de interpolare pe care o vom analiza este interpolarea polinomială liniară. Aceasta este cea mai ușoară metodă din această categorie și cu siguranță fiecare dintre voi a folosit-o la școală. Esența sa constă în construcția de linii drepte între puncte cunoscute. După cum știți, o singură linie dreaptă trece prin două puncte ale planului, a cărei ecuație poate fi găsită pe baza coordonatele acestor puncte. După ce am construit aceste linii drepte, obținem un grafic rupt, care, cel puțin, reflectă valori aproximative funcţii şi in termeni generali se potrivește cu realitatea. Acesta este modul în care funcționează interpolarea liniară.

Tipuri complicate de interpolare

Există un mod de interpolare mai interesant, dar în același timp mai complex. A fost inventat de matematicianul francez Joseph Louis Lagrange. De aceea calculul interpolării prin această metodă poartă numele lui: interpolare prin metoda Lagrange. Trucul aici este următorul: dacă metoda descrisă în paragraful anterior folosește doar o funcție liniară pentru calcul, atunci expansiunea Lagrange implică și utilizarea polinoamelor de grade superioare. Dar nu este atât de ușor să găsiți formulele de interpolare în sine pentru diferite funcții. Și cu cât se cunosc mai multe puncte, cu atât formula de interpolare este mai precisă. Dar există și multe alte metode.

Există, de asemenea, o metodă de calcul mai perfectă și mai apropiată de realitate. Formula de interpolare utilizată în ea este o colecție de polinoame, aplicarea fiecăruia dintre ele depinde de secțiunea funcției. Această metodă se numește funcție spline. În plus, există și modalități de a face așa ceva, cum ar fi interpolarea funcțiilor a două variabile. Există doar două metode aici. Printre acestea se numără interpolarea biliniară sau dublă. Această metodă vă permite să construiți cu ușurință un grafic după puncte în spațiul tridimensional. Alte metode nu vor fi afectate. În general, interpolarea este o denumire universală pentru toate aceste metode de trasare a graficelor, dar varietatea modalităților în care poate fi efectuată această acțiune obligă să fie împărțite în grupuri în funcție de tipul de funcție care face obiectul acestei acțiuni. Adică, interpolarea, un exemplu din care am considerat mai sus, se referă la metode directe. Există și interpolare inversă, care diferă prin faptul că vă permite să calculați nu o funcție directă, ci inversă (adică x din y). Nu vom lua în considerare ultimele opțiuni, deoarece este destul de dificil și necesită o bază bună de cunoștințe matematice.

Să trecem la poate una dintre cele mai importante secțiuni. Din ea aflăm cum și unde se aplică în viață setul de metode despre care discutăm.

Aplicație

Matematica, după cum știți, este regina științelor. Prin urmare, chiar dacă la început nu vedeți rostul anumitor operațiuni, asta nu înseamnă că sunt inutile. De exemplu, se pare că interpolarea este un lucru inutil, cu ajutorul căruia se pot construi doar grafice, de care puțini oameni au nevoie acum. Cu toate acestea, în orice calcule din inginerie, fizică și multe alte științe (de exemplu, biologie), este extrem de important să se prezinte o imagine destul de completă a fenomenului, având în același timp un anumit set de valori. Valorile însele, împrăștiate pe grafic, nu oferă întotdeauna o idee clară a comportamentului funcției într-o anumită zonă, a valorilor derivatelor sale și a punctelor de intersecție cu axele. Și acest lucru este foarte important pentru multe domenii ale vieții noastre.

Și cum va fi de folos în viață?

Poate fi foarte greu să răspunzi la o astfel de întrebare. Dar răspunsul este simplu: în niciun caz. Aceste cunoștințe nu vă sunt de nici un folos. Dar dacă înțelegi acest material și metodele prin care se desfășoară aceste acțiuni, îți vei antrena logica, care va fi foarte utilă în viață. Principalul lucru nu este cunoștințele în sine, ci abilitățile pe care o persoană le dobândește în procesul de studiu. La urma urmei, nu degeaba există o vorbă: „Trăiește un secol – învață un secol”.

Concepte înrudite

Puteți înțelege singur cât de importantă a fost (și este încă) această zonă a matematicii, uitându-vă la varietatea de alte concepte asociate cu aceasta. Am vorbit deja despre extrapolare, dar există și o aproximare. Poate ai mai auzit acest cuvânt. În orice caz, am analizat și ce înseamnă în acest articol. Aproximarea, ca și interpolarea, sunt concepte legate de reprezentarea graficelor de funcții. Dar diferența dintre primul și al doilea este că este o construcție aproximativă a unui grafic bazat pe grafice similare cunoscute. Aceste două concepte sunt foarte asemănătoare între ele și cu atât este mai interesant să le studiezi pe fiecare dintre ele.

Concluzie

Matematica nu este o știință atât de dificilă pe cât pare la prima vedere. E destul de interesantă. Și în acest articol am încercat să îți dovedim acest lucru. Ne-am uitat la conceptele asociate cu trasarea graficelor, am învățat ce este interpolarea dublă și am analizat cu exemple unde este utilizată.

Pe care alte valori obținute ar putea cădea cu mare precizie. O astfel de sarcină se numește aproximare. Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

Există și o problemă apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unei funcții complexe cu o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, puteți încerca să calculați valoarea ei în mai multe puncte și să construiți, adică să interpolați, o funcție mai simplă din acestea. Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu vă permite să obțineți aceleași rezultate exacte pe care le-ar da funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul în simplitate și viteza de calcul poate depăși eroarea rezultată în rezultate.

De asemenea, ar trebui să menționăm un tip complet diferit de interpolare matematică, cunoscut sub numele de „interpolare operator”. Lucrările clasice despre interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz, care stau la baza multor alte lucrări.

Definiții

Luați în considerare un sistem de puncte necoincidente () dintr-o anumită zonă. Fie cunoscute valorile funcției numai în aceste puncte:

Problema interpolării este de a găsi o astfel de funcție dintr-o clasă dată de funcții care

Exemplu

1. Să presupunem că avem o funcție de tabel, ca cea descrisă mai jos, care, pentru mai multe valori, determină valorile corespunzătoare:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolarea ne ajută să aflăm ce valoare poate avea o astfel de funcție într-un alt punct decât cel specificat (de exemplu, când X = 2,5).

Până în prezent, sunt multe diferite căi interpolare. Alegerea celui mai potrivit algoritm depinde de răspunsurile la întrebări: cât de precisă este metoda aleasă, care este costul utilizării acesteia, cât de netedă este funcția de interpolare, câte puncte de date necesită etc.

2. Găsiți o valoare intermediară (prin interpolare liniară).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Metode de interpolare

Interpolarea celui mai apropiat vecin

Cea mai simplă metodă de interpolare este interpolarea celui mai apropiat vecin.

Interpolare prin polinoame

În practică, cel mai des este folosită interpolarea prin polinoame. Acest lucru se datorează în primul rând faptului că polinoamele sunt ușor de calculat, este ușor să le găsiți analitic derivatele, iar mulțimea de polinoame este densă în spațiul funcțiilor continue (teorema lui Weierstrass).

IMN-1 și IMN-2
Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
Schema lui Aitken

Interpolare inversă (calcularea x dat fiind y)

Interpolare inversă prin formula lui Newton

Interpolarea funcției cu mai multe variabile

Alte metode de interpolare

Fundația Wikimedia. 2010 .

Sinonime:

Vedeți ce este „Interpolare” în alte dicționare:

1) o modalitate de a determina, dintr-o serie de valori date ale oricărei expresii matematice, valorile sale intermediare; deci, de exemplu, în funcție de intervalul ghiulei la un unghi de elevație al axei canalului de tun de 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° etc., poate fi determinat folosind ... ... Dicţionar cuvinte străine Limba rusă

Inserare, interpolare, includere, căutare Dicţionar de sinonime ruse. interpolare vezi insert Dicţionar de sinonime ale limbii ruse. Ghid practic. M.: Limba rusă. Z. E. Alexandrova. 2… Dicţionar de sinonime

interpolare- Calculul valorilor intermediare între două puncte cunoscute. De exemplu: interpolare liniară liniară interpolare exponențială exponențială Procesul de ieșire a unei imagini color atunci când pixelii aparținând zonei dintre două culori ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

- (interpolare) Estimarea valorii unei valori necunoscute între două puncte dintr-o serie de valori cunoscute. De exemplu, cunoscând indicatorii populației țării, obținuți în timpul recensământului, efectuat la intervale de 10 ani, puteți ... ... Glosar de termeni de afaceri

Din latină de fapt „fals”. Acesta este numele dat corectărilor eronate sau inserărilor ulterioare în manuscrise făcute de cărturari sau cititori. Mai ales des, acest termen este folosit în critica manuscriselor scriitorilor antici. În aceste manuscrise... Enciclopedia literară

Găsirea valorilor intermediare ale unei anumite regularități (funcție) după un număr de valori cunoscute. În engleză: Interpolare Vezi și: Transformări de date Dicționar financiar Finam... Vocabular financiar

interpolare- si bine. interpolare f. lat. modificarea interpolației; alterare, deformare. 1. Un insert de origine ulterioară în care l. text care nu aparține originalului. ALS 1. Există multe interpolări făcute de cărturari în manuscrisele antice. Ush. 1934. 2 ... Dicționar istoric al galicismelor limbii ruse

INTERPOLARE- (interpolatio), completare de empirich. o serie de valori ale oricărei mărimi prin valorile intermediare lipsă. Interpolarea se poate face în trei moduri: matematic, grafic. si logic. Ele se bazează pe ipoteza generală că... Marea Enciclopedie Medicală

- (din latinescul interpolatio schimbare, alterare), căutarea valorilor intermediare ale unei mărimi în funcție de unele dintre valorile ei cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor funcției y = f(x) în punctele x situate între punctele x0 și xn, x0 ... Enciclopedia modernă

- (din lat. interpolatio change alteration), în matematică și statistică, căutarea valorilor intermediare ale unei mărimi în funcție de unele dintre valorile ei cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor funcției f (x) în punctele x situate între punctele xo x1 ... xn, conform ... ... Dicţionar enciclopedic mare

Programul de control pentru prelucrarea piesei este traiectoria mișcării centrului frezei. Traiectoria mișcării constă din secțiuni separate conectate între ele, liniar sau arc. Se numesc punctele care definesc traiectoria de sprijin. De fapt, programul de control este un set secvenţial de puncte de referinţă. GCP-urile se pot afla într-un plan; sunt folosite două coordonate pentru a le specifica ( două coordonate procesare) sau în spațiu ( volumetric tri-coordonate tratament).

În practică, pentru a muta unealta, sistemul CNC nu are nevoie doar de puncte de referință, are nevoie de o reprezentare mai detaliată. Pentru a calcula punctele intermediare și a emite comenzi pentru mișcarea de-a lungul axelor liniare, se utilizează un dispozitiv de calcul special - interpolator.

Interpolatorii sunt împărțiți în liniarȘi circular. Interpolatorul liniar este utilizat pentru a calcula mișcarea rectilinie a sculei. La intrare, interpolatorul primește informații despre coordonatele punctelor de referință, la ieșire, pentru fiecare coordonată, se formează o secvență de impulsuri necesare pentru elaborarea geometriei date. Interpolatorul liniar vă permite doar să lucrați rectilinie circulaţie. Cu toate acestea, asigurați-vă corect corespondența deplasării de-a lungul unei linii drepte date este destul de dificilă. Traiectoria finală a mișcării seamănă aproximativ cu o linie întreruptă (figura de mai jos).

În procesul de elaborare, interpolatorul direct controlează alternativ activarea unităților, apoi axa X, apoi prin axa Y(dacă linia se află în planul XY), trimițând numărul necesar de impulsuri către unitate. În figura de mai sus, pentru a elabora o linie dreaptă, un impuls este trimis către axa Y și două impulsuri către X. Sens d definește abaterea de la geometria dată. Deoarece rezoluția vă permite să setați un impuls pentru a trece 0.001 mm, atunci curba ruptă finală poate fi luată în considerare neted.

Astfel, interpolatorul liniar calculează numărul necesar de impulsuri de-a lungul uneia sau alteia axe și le trimite la unități.

Programare liniară

Pentru a utiliza interpolatorul liniar (pentru a programa mișcări liniare), utilizați funcția pregătitoare G01și indicați coordonatele punctului final al mișcării la o viteză dată.

G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, unde

X, Y, Z– adrese ale axelor liniare;

F- viteza de miscare;

De exemplu, pentru a programa o mișcare în linie dreaptă dintr-un punct A exact B cu viteza 1000 mm/min este necesar să se formeze următorul cadru în UE.

Acest termen are alte semnificații, vezi Interpolare. Despre funcție, vezi: Interpolant.

Interpolare, interpolare (din lat. interpolis - « netezit, reînnoit, reînnoit; convertit"") - în matematica computațională, o metodă de găsire a valorilor intermediare ale unei cantități dintr-un set discret existent de valori cunoscute. Termenul „interpolare” a fost folosit pentru prima dată de John Vallis în tratatul său The Arithmetic of the Infinite (1656).

În analiza funcțională, interpolarea operatorilor liniari este o secțiune care consideră spațiile Banach ca elemente ale unei anumite categorii.

Mulți dintre cei care se ocupă de calcule științifice și de inginerie trebuie adesea să lucreze cu seturi de valori obținute empiric sau prin eșantionare aleatorie. De regulă, pe baza acestor seturi, este necesar să se construiască o funcție pe care alte valori obținute să poată cădea cu mare precizie. O astfel de sarcină se numește aproximare. Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

De asemenea, ar trebui să menționăm un tip complet diferit de interpolare matematică, cunoscut sub numele de „interpolare operator”. Lucrările clasice privind interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz, care stau la baza multor alte lucrări.

Definiții

Luați în considerare un sistem de puncte non-coincidente x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) dintr-un domeniu D ( \displaystyle D) . Fie cunoscute valorile funcției f (\displaystyle f) numai în aceste puncte:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots, N.)

Problema interpolării este de a găsi o funcție F (\displaystyle F) dintr-o clasă dată de funcții astfel încât

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots, N.)

Punctele x i (\displaystyle x_(i)) sunt numite noduri de interpolare, iar totalitatea lor este grila de interpolare.
Perechile (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se numesc puncte de date sau puncte de bază.
Diferența dintre valorile „adiacente” Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - pasul grilei de interpolare. Poate fi atât variabilă, cât și constantă.
Funcția F (x) (\displaystyle F(x)) - functie de interpolare sau interpolant.

Exemplu

1. Să presupunem că avem o funcție de tabel ca cea de mai jos care, pentru valori multiple ale lui x (\displaystyle x), determină valorile corespunzătoare ale lui f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolarea ne ajută să știm ce valoare poate avea o astfel de funcție într-un alt punct decât punctele specificate (de exemplu, când X = 2,5).

Până în prezent, există multe metode diferite de interpolare. Alegerea celui mai potrivit algoritm depinde de răspunsurile la întrebări: cât de precisă este metoda aleasă, care este costul utilizării acesteia, cât de netedă este funcția de interpolare, câte puncte de date necesită etc.

2. Găsiți o valoare intermediară (prin interpolare liniară).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000)))(8000-6000)*(8000-600.-()(frac) 15,5))(1))=16,1993)

În limbaje de programare

Un exemplu de interpolare liniară pentru funcția y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Utilizatorul poate introduce un număr între 1 și 10.

Fortran

program interpol întreg i real x, y, xv, yv, yv2 dimensiunea x(10) dimensiunea y(10) apel prisv(x, i) apel func(x, y, i) scrie(*,*) "introduceți numărul: " citește(*,*) xv dacă ((xv >= 1).și.(xv xv)) atunci yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) se termină dacă se încheie subrutină

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolare X1 - X2 "); system("echo Enter număr: "); cin >> ob; system("echo De exemplu 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metode de interpolare

Interpolarea celui mai apropiat vecin

Cea mai simplă metodă de interpolare este interpolarea celui mai apropiat vecin.

Interpolare prin polinoame

Interpolare liniară
Formula de interpolare a lui Newton
Metoda diferențelor finite
IMN-1 și IMN-2
Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
Schema lui Aitken
funcția spline
spline cubică

Interpolare inversă (calcularea x dat fiind y)

polinomul Lagrange
Interpolare inversă prin formula lui Newton
Interpolare Gauss inversă

Interpolarea funcției multivariabile

Interpolare biliniară
Interpolare bicubică

Alte metode de interpolare

Interpolare rațională
Interpolare trigonometrică

Concepte înrudite

Extrapolare - metode de găsire a punctelor în afara unui interval dat (extensie de curbă)
Aproximare - metode de construire a curbelor aproximative

Interpolare inversă

pe clasa funcțiilor din spațiul C2 ale căror grafice trec prin punctele tabloului (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Soluţie. Dintre toate funcțiile care trec prin punctele de referință (xi, f(xi)) și aparțin spațiului menționat și anume spline cubică S(x) care satisface condițiile la limită S00(a) = S00(b) = 0 oferă un extrem (minimum) al funcționalului I(f).

Adesea în practică există o problemă de căutare a valorii date a funcției valorii argumentului. Această problemă este rezolvată prin metode de interpolare inversă. Dacă funcția dată este monotonă, atunci cea mai ușoară modalitate de a efectua interpolarea înapoi este înlocuirea funcției cu un argument și invers și apoi interpolarea. Dacă funcția dată nu este monotonă, atunci această tehnică nu poate fi utilizată. Apoi, fără a schimba rolurile funcției și ale argumentului, notăm cutare sau cutare formulă de interpolare; folosind valorile cunoscute ale argumentului și, presupunând că funcția este cunoscută, rezolvăm ecuația rezultată în raport cu argumentul.

Estimarea termenului rămas atunci când se utilizează primul truc va fi aceeași ca și în cazul interpolării directe, numai derivatele funcției directe trebuie înlocuite cu derivate ale funcție inversă. Să estimăm eroarea celei de-a doua metode. Dacă ni se dă o funcție f(x) și Ln (x) este polinomul de interpolare Lagrange construit pentru această funcție peste nodurile x0, x1, x2, . . . , xn, atunci

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Să presupunem că trebuie să găsim o valoare x¯ astfel încât f (¯x) = y¯ (este dat y¯). Vom rezolva ecuația Ln (x) = y¯ . Să obținem o valoare x¯. Înlocuind în ecuația anterioară, obținem:

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Aplicând formula Langrange, obținem
(x¯ − x¯) f0 (η) =


unde η este între x¯ și x¯. If este un interval care conține x¯ și x¯ și min

din ultima expresie rezulta:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

În acest caz, desigur, se presupune că am rezolvat exact ecuația Ln (x) = y¯.

Utilizarea interpolării pentru tabulare

Teoria interpolării are aplicații în compilarea tabelelor de funcții. După ce a primit o astfel de problemă, matematicianul trebuie să rezolve o serie de întrebări înainte de a începe calculele. Trebuie aleasă formula prin care vor fi efectuate calculele. Această formulă poate varia de la un site la altul. De obicei, formulele de calculare a valorilor funcției sunt greoaie și, prin urmare, sunt folosite pentru a obține niște valori de referință și apoi, prin subtabulare, îngroșează tabelul. Formula care oferă valorile de referință ale funcției trebuie să ofere acuratețea necesară a tabelelor, ținând cont de următoarea subtabulație. Dacă doriți să compilați tabele cu un pas constant, atunci trebuie mai întâi să determinați pasul acestuia.

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index

Cel mai adesea, tabelele de funcții sunt compilate astfel încât interpolarea liniară (adică interpolarea folosind primii doi termeni ai formulei Taylor) este posibilă. În acest caz, termenul rămas va arăta ca

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Aici ξ aparține intervalului dintre două valori tabelare adiacente ale argumentului în care se află x, iar t este între 0 și 1. Produsul t(t - 1) ia cel mai mare modulo

valoare la t = 12. Această valoare este egală cu 14. Asa de,

Trebuie amintit că lângă această eroare - eroarea metodei, în calculul practic al valorilor intermediare, va exista încă o eroare irecuperabilă și o eroare de rotunjire. După cum am văzut mai devreme, eroarea fatală în interpolarea liniară va fi egală cu eroarea valorilor tabulate ale funcției. Eroarea de rotunjire va depinde de mijloacele de calcul și de programul de calcul.

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index

Index de subiect

diferențele împărțite de ordinul doi, 8 de ordinul întâi, 8

spline, 15

noduri de interpolare, 4

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Cum se face interpolarea

Formula pentru interpolarea datelor tabelare

Folosit în pasul 2, când cantitatea de NXR (Q, t) din condiție este intermediar între 100 t și 300 t.

(Excepție: dacă Q este egal cu 100 sau 300 după condiție, atunci nu este necesară interpolarea).

y o- Cantitatea dumneavoastră inițială de NHR din afecțiune, în tone

(corespunde cu litera Q)

y 1 – mai puțin

(din tabelele 11-16, de obicei 100).

y 2 – Mai mult cea mai apropiată de valoarea dvs. a cantității de NCR, în tone

(din tabelele 11-16, de obicei 300).

X 1 y 1 (X 1 situat vizavi y 1 ), km.

X 2 - valoarea tabelară a adâncimii de propagare a unui nor de aer contaminat (G t), respectiv y 2 (X 2 situat vizavi y 2 ), km.

X 0 - valoarea dorita G T corespunzător y o(după formula).

Exemplu.

NCR - clor; Q = 120 t;

Tip de SVSP (grad de rezistență verticală a aerului) - inversare.

Găsi G T- valoarea tabelară a adâncimii de răspândire a norului de aer contaminat.

Analizăm tabelele 11-16 și găsim date care se potrivesc cu starea dumneavoastră (clor, inversare).

Masa potrivită 11.

Alegerea valorilor y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Important - luăm viteza vântului 1 m / s., luăm temperatura - 20 ° C.

Înlocuiți valorile selectate în formulă și găsiți X 0 .

Important - calculul este corect dacă X 0 va avea o valoare undeva între X 1 , X 2 .

1.4. Formula de interpolare Lagrange

Algoritmul propus de Lagrange pentru construirea interpolării

funcții conform tabelelor (1) prevede construirea polinomului de interpolare Ln(x) sub forma

În mod evident, îndeplinirea condițiilor (11) pentru (10) determină îndeplinirea condițiilor (2) ale enunțului problemei de interpolare.

Polinoamele li(x) se scriu astfel

Rețineți că niciun factor din numitorul formulei (14) nu este egal cu zero. După ce au calculat valorile constantelor ci, le puteți utiliza pentru a calcula valorile funcției interpolate în puncte date.

Formula polinomului de interpolare Lagrange (11), luând în considerare formulele (13) și (14), poate fi scrisă ca

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizarea calculelor manuale după formula Lagrange

Aplicarea directă a formulei Lagrange duce la un număr mare de calcule de același tip. Pentru tabele de dimensiuni mici, aceste calcule pot fi efectuate atât manual, cât și în mediul software.

În prima etapă, luăm în considerare algoritmul de calcule efectuate manual. În viitor, aceleași calcule ar trebui repetate în mediu

Microsoft Excel sau OpenOffice.org Calc.

Pe fig. 6 prezintă un exemplu de tabel sursă al unei funcții interpolate definite de patru noduri.

Fig.6. Tabel care conține datele inițiale pentru cele patru noduri ale funcției interpolate

În a treia coloană a tabelului, scriem valorile coeficienților qi calculati prin formulele (14). Mai jos este o înregistrare a acestor formule pentru n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Următorul pas în implementarea calculelor manuale este calculul valorilor li(x) (j=0,1,2,3), realizat prin formulele (13).

Să scriem aceste formule pentru versiunea tabelului pe care o luăm în considerare cu patru noduri:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Să calculăm valorile polinoamelor li(xj) (j=0,1,2,3) și să le scriem în celulele tabelului. Valorile funcției Ycalc(x), conform formulei (11), vor fi obținute ca urmare a însumării valorilor lui li(xj) în rânduri.

Formatul tabelului, care include coloane de valori calculate li(xj) și o coloană de valori Ycalc(x), este prezentat în Fig.8.

Orez. 8. Tabel cu rezultatele calculelor manuale efectuate prin formulele (16), (17) și (11) pentru toate valorile argumentului xi

După finalizarea formării tabelului prezentat în Fig. 8, prin formulele (17) și (11) este posibil să se calculeze valoarea funcției interpolate pentru orice valoare a argumentului X. De exemplu, pentru X=1 calculăm valorile li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Însumând valorile lui li(1) obținem valoarea Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementarea algoritmului de interpolare prin formule Lagrange în mediul programului Microsoft Excel

Implementarea algoritmului de interpolare începe, ca în calculele manuale, prin scrierea formulelor de calcul a coeficienților qi. 9 arată coloanele tabelului cu valorile date ale argumentului, funcției interpolate și coeficienții qi. În dreapta acestui tabel sunt formulele care sunt scrise în celulele coloanei C pentru a calcula valorile coeficienților qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: „=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))” Æ q1

c4: „=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))” Æ q2

vС5: „=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))” Æ q3

Orez. 9 Tabelul coeficienților qi și formulele de calcul

După introducerea formulei q0 în celula C2, aceasta este trasă prin celule de la C3 la C5. După aceea, formulele din aceste celule sunt corectate în conformitate cu (16) la forma prezentată în Fig. 9.

Ycalc(xi),

Implementând formulele (17), scriem formule pentru calcularea valorilor li(x) (i=0,1,2,3) în celulele coloanelor D, E, F și G. În celula D2 pentru a calcula valoarea l0(x0), scriem formula:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

obținem valorile l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Formatul de legătură $A2 vă permite să întindeți formula de-a lungul coloanelor E, F, G pentru a forma formule de calcul pentru calcularea li(x0) (i=1,2,3). Tragerea unei formule peste un rând nu modifică indexul coloanei argumentelor. Pentru a calcula li(x0) (i=1,2,3) după trasarea formulei l0(x0) este necesar să le corectăm după formulele (17).

În coloana H punem formulele Excel pentru însumarea li(x) conform formulei

(11) algoritm.

Pe fig. 10 prezintă un tabel implementat în mediul de program Microsoft Excel. Un semn al corectitudinii formulelor scrise în celulele tabelului și a operațiilor de calcul efectuate este matricea diagonală rezultată li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), repetând rezultatele prezentate în Fig. 8 și o coloană de valori care se potrivesc cu valorile funcției interpolate în nodurile tabelului original.

Orez. 10. Tabelul valorilor li(xj) (j=0,1,2,3) și Ycalc(xj)

Pentru a calcula valorile în unele puncte intermediare, este suficient

În celulele coloanei A, pornind de la celula A6, introduceți valorile argumentului X pentru care doriți să determinați valorile funcției interpolate. A evidentia

în ultima (a 5-a) linie a tabelului de celule de la l0(xn) la Ycalc(xn) și întindeți formulele scrise în celulele selectate până la linia care conține ultimul

valoarea dată a argumentului x.

Pe fig. 11 prezintă un tabel în care se calculează valoarea funcției în trei puncte: x=1, x=2 și x=3. O coloană suplimentară cu numere de rând ale tabelului de date sursă a fost introdusă în tabel.

Orez. 11. Calculul valorilor funcțiilor interpolate folosind formule Lagrange

Pentru o mai mare claritate în afișarea rezultatelor interpolării, vom construi un tabel care include o coloană de valori ale argumentului X ordonate crescător, o coloană de valori inițiale ale funcției Y(X) și o coloană.

Spuneți-mi cum să folosesc formula de interpolare și care în rezolvarea problemelor de termodinamică (ingineria termică)

Ivan Şestakovici

Cea mai simplă, dar adesea nu suficient de precisă interpolare este liniară. Când aveți deja două puncte cunoscute (X1 Y1) și (X2 Y2) și trebuie să găsiți valorile Y ale zilei unui X care se află între X1 și X2. Atunci formula este simplă.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Apropo, această formulă funcționează și pentru valorile X în afara intervalului X1..X2, dar aceasta se numește deja extropolare și, la o distanță semnificativă de acest interval, dă o eroare foarte mare.
Există multe alte covorașe. metode de interpolare - vă sfătuiesc să citiți manualul sau să scotociți prin internet.
Metoda de interpolare grafică nu este, de asemenea, exclusă - desenați manual un grafic prin puncte cunoscute și găsiți Y din grafic pentru X-ul necesar. ;)

Roman

Ai două sensuri. Și aproximativ dependența (liniară, pătratică, ..)
Graficul acestei funcții trece prin cele două puncte ale tale. Ai nevoie de o valoare undeva la mijloc. Ei bine, exprimă-te!
De exemplu. În tabel, la o temperatură de 22 de grade, presiunea vaporilor saturați este de 120.000 Pa, iar la 26.124.000 Pa. Apoi la o temperatură de 23 de grade 121000 Pa.

Interpolare (coordonate)

Există o grilă de coordonate pe hartă (imagine).
Are câteva puncte de referință cunoscute (n>3) cu două valorile x,y- coordonatele în pixeli și coordonatele în metri.
Este necesar să găsiți valori intermediare ale coordonatelor în metri, cunoscând coordonatele în pixeli.
Interpolarea liniară nu este potrivită - prea multă eroare în afara liniei.
Astfel: (Xc - coordonată în metri cu x, Xp - coordonată în pixeli cu x, Xc3 - valoarea dorită cu x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Cum să găsiți aceeași formulă pentru a găsi Xc și Yc, având în vedere nu două (ca aici), ci N puncte de referință cunoscute?

Joka fern lowd

Judecând după formulele scrise, coincid axele sistemelor de coordonate în pixeli și metri?
Adică, Xp -> Xc este interpolat independent și Yp -> Yc este interpolat independent. Dacă nu, atunci trebuie să utilizați interpolarea bidimensională Xp,Yp->Xc și Xp,Yp->Yc, ceea ce complică oarecum sarcina.
În plus, se presupune că coordonatele Xp și Xc sunt legate de o anumită dependență.
Dacă natura dependenței este cunoscută (sau se presupune, de exemplu, presupunem că Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), atunci este posibil să se obțină parametrii acestei dependențe (pentru data dată dependența a, b, c) folosind analiza de regresie (Metoda celor mai mici pătrate). În această metodă, dacă specificați o anumită dependență Xc(Xp), puteți obține o formulă pentru parametrii dependenței de datele de referință. Această metodă permite, în special, să se găsească și dependență liniară, care se potrivește cel mai bine acestui set de date.
Dezavantaj: În această metodă, coordonatele Xc obținute din datele punctelor de control Xp pot diferi de cele date. Ca de exemplu, linia dreaptă de aproximare trasată prin punctele experimentale nu trece exact prin aceste puncte în sine.
Dacă este necesară o potrivire exactă și natura dependenței este necunoscută, trebuie utilizate metode de interpolare. Cel mai simplu din punct de vedere matematic este polinomul de interpolare Lagrange, care trece exact prin punctele de referință. Cu toate acestea, din cauza gradului ridicat al acestui polinom cu un număr mare de puncte de control și a calității slabe a interpolării, este mai bine să nu-l utilizați. Avantajul este formula relativ simplă.
Este mai bine să utilizați interpolarea spline. Esența acestei metode este că în fiecare secțiune dintre două puncte învecinate, dependența studiată este interpolată printr-un polinom, iar condițiile de netezime sunt scrise la punctele de unire a două intervale. Avantajul acestei metode este calitatea interpolării. Dezavantaje - este aproape imposibil să derivați o formulă generală, trebuie să găsiți algoritmic coeficienții polinomului din fiecare secțiune. Un alt dezavantaj este dificultatea generalizării la interpolarea 2D.