Adams a fost un astronom și matematician englez din secolul al XIX-lea, care a lucrat mult la mecanica cerească. Când studia traiectoriile planetelor, el a trebuit în mod constant să integreze numeric ecuațiile mișcării lor. Dorind să minimizeze volumul de calcul, Adams a dezvoltat una dintre cele mai economice metode pentru soluția numerică a ecuațiilor diferențiale, la care ne întoarcem acum.

Fie o soluție a unei ecuații diferențiale. Derivata acestei functii satisface egalitatea

Integrându-l între două puncte ale grilei, obținem relația

.

Nu putem folosi această relație direct pentru trecerea în procesul de rezolvare a problemei de la -al-lea punct de grilă către
-ops, pentru că funcția
nu stim. Pentru a face pasul următor, trebuie să înlocuim aproximativ această funcție cu o funcție care poate fi calculată. Să descriem cum se rezolvă această problemă prin metoda Adams.

Fie ca, in procesul de rezolvare numerica a problemei, aducem calculul la obiect . În urma calculelor, am aflat valorile cunoscute Și
,
. Luați un număr întreg fix
și construiți un polinom de interpolare
-gradul, acceptând la puncte ,
valorile

,
.

Poate fi scris folosind formula Lagrange

,

Unde
polinoame speciale de forma

despre care am discutat deja în al treilea capitol.

Ideea principală a metodei Adams este de a calcula
utilizați o formulă de tip, înlocuind aproximativ funcția din ea
la polinomul de interpolare
, întocmit conform rezultatelor calculelor anterioare. Aceasta duce la formula recursivă

,

.

Să luăm în considerare mai detaliat această schemă pentru rezolvarea numerică a problemei Cauchy în cazurile cele mai simple
Și
când dificultățile tehnice nu închid ideea transparentă a metodei. La
pentru a aproxima funcția
se folosește un polinom de grad zero, adică o constantă

.

În acest caz, formula intră în formula recurentă a metodei Euler

,

oferind precizie de prim ordin. Acest rezultat este banal în sine. L-am inclus doar pentru a arăta că pentru metoda Adams, precum și pentru metoda Runge-Kutta, punctul de plecare este schema Euler.

Să trecem la explorarea opțiunii
. În acest caz, pentru a aproxima funcția
se folosește un polinom de gradul I, construit pe valorile funcției în două puncte
Și
:

Înlocuindu-l în formulă și integrând, obținem

.

Observați următoarea caracteristică a formulei recurente. Pentru a calcula următoarea valoare a funcției grilă
trebuie să-i cunoașteți valorile la cele două puncte anterioare Și
. Astfel, formula începe să funcționeze abia din al doilea punct. Calculați pe ea este interzis. Această valoare a soluției problemei diferenței trebuie calculată printr-o altă metodă, de exemplu, metoda Runge-Kutta.

Formula recurentă poate fi scrisă ca o ecuație de diferență

.

Să calculăm pentru aceasta eroarea de aproximare a ecuației diferențiale

Să presupunem că funcția
are derivate secunde continue în regiunea de interes pentru noi, astfel încât soluția problemei
este de trei ori diferențiabil continuu. Să scriem expansiunile Taylor

Înlocuindu-le în formulă, obținem

.

De aici se poate scrie o estimare

,

Unde
este o constantă majorând derivata a treia a funcției
:

,
.

Vedem că ecuația diferențelor metodei Adams corespunde cazului
, aproximează ecuația diferențială cu al doilea ordin de precizie în raport cu . Ca și în cazul metodei Runge-Kutta, aceasta oferă un al doilea ordin de precizie pentru eroarea de soluție
în ipoteza că valoarea , care este calculat nestandard, este calculat cu al doilea ordin de precizie.

Procesul de construire a circuitelor mai precise poate fi continuat prin creștere
. La
se obţine o schemă de ordinul trei de precizie, cu
- al patrulea etc. Schema de ordinul al patrulea, ca și în metoda Runge-Kutta, este cea mai frecvent utilizată, așa că ne vom opri pe scurt asupra derivării și discutării acesteia.

Dacă scriem un polinom de interpolare de gradul trei
pe o grilă de patru puncte ,
,
,
și efectuați integrarea, atunci formula recursivă va lua forma:

Să dăm o altă formă de scriere a acestei formule în termenii așa-numitelor diferențe finite

Prima, a doua și a treia diferență corespund aproximativ primei, a doua și a treia derivate ale funcției
. Echivalența formulelor și este ușor de verificat direct. Formula este uneori mai convenabilă pentru organizarea procesului de calcul și controlul preciziei.

Particularitatea metodei Adams se manifestă în formulă chiar mai puternic decât în ​​formulă. Aici, pentru a calcula următoarea valoare
trebuie să cunoască sensul la cele patru puncte anterioare - ,
,
,
. Astfel, formula începe să funcționeze abia din punctul al patrulea. Calculați pe ea ,,este interzis. Aceste valori ale rezolvării problemei diferenței trebuie calculate printr-o altă metodă, de exemplu, metoda Runge-Kutta.

Să trecem la discutarea acurateței schemei. Dacă funcţia
are derivate a patra continue în raport cu argumentele sale în regiunea de interes pentru noi, astfel încât soluția problemei
de cinci ori diferențiabilă continuu, atunci ecuația diferenței aproximează ecuația diferențială cu al patrulea ordin de precizie în raport cu . Dovada acestei afirmații se realizează în același mod ca și pentru schema de ordinul doi, doar că acum trebuie reținuți mai mulți termeni în expansiunile de tip. Al patrulea ordin de precizie în aproximarea ecuației oferă al patrulea ordin de precizie pentru eroarea soluției
în ipoteza că valorile inițiale pentru metoda Adams ,,calculate cu aceeași precizie. Ele sunt calculate independent și este important ca etapa inițială a procesului de calcul să nu introducă o astfel de eroare care va distorsiona toate rezultatele ulterioare.

Sarcina 5.

Construiți o soluție la problema Cauchy, pe segment
pas cu pas
conform schemei lui Adams II iar al patrulea Ordin. Comparați rezultatele calculelor între ele, cu rezultatele calculelor conform schemei Runge-Kutta și cu soluția analitică a problemei.

Rezultatele calculului sunt afișate în coloanele a patra și a cincea din tabelul 2. În conformitate cu sarcina, trebuie să comparați a patra coloană cu a doua și a șasea, iar a cincea cu a treia și a șasea. Reamintim că a șasea coloană conține soluția analitică (53) a problemei luate în considerare, astfel încât compararea cu aceasta ne permite să judecăm acuratețea soluției aproximative folosind schema Runge-Kutta și schema Adams.

Calculul conform schemei Adams de ordinul doi de precizie începe cu , al patrulea - din . Sens în coloana a patra ,,în a cincea coloană au fost calculate conform schemei Runge-Kutta de ordinea corespunzătoare, astfel încât în ​​tabel sunt aceleași cu datele corespunzătoare ale coloanei a doua și a treia. Compararea rezultatelor calculelor efectuate prin două metode cu soluția analitică a problemei arată că acuratețea lor este aproximativ aceeași.

Să comparăm schemele de ordinul al patrulea de precizie în metoda Runge-Kutta și Adams din punctul de vedere al organizării procesului de calcul. Pentru a face un pas conform metodei Runge-Kutta, este necesar să se calculeze funcția
de patru ori, în timp ce în metoda Adams o singură dată. La cele trei puncte precedente, funcția
a fost deja calculat în pașii anteriori și nu este nevoie să îl calculați din nou. Acesta este principalul avantaj al metodei Adams, care a fost deosebit de apreciată în era pre-computer.

Am remarcat deja principalul dezavantaj al metodei Adams: atunci când o aplicăm, primii pași trebuie să fie făcuți folosind o altă metodă, de exemplu, folosind metoda Runge-Kutta, și numai după aceea puteți trece la calculul conform Schema lui Adams. Astfel, programul de rezolvare a problemei Cauchy prin metoda Adams ar trebui să includă ca element programul metodei Runge-Kutta de calcul al etapei inițiale a procesului de calcul.

Există o altă problemă cu această caracteristică a metodei Adams. Când se integrează numeric o ecuație diferențială, este adesea necesară schimbarea pasului . În metoda Runge-Kutta, acest lucru nu este dificil, deoarece fiecare pas se face independent de cel anterior. În metoda Adams, situația este diferită. Aici este necesar fie să programați inițial formule de calcul foarte complexe cu un pas variabil, fie după fiecare schimbare de pas, să recalculați primele trei puncte folosind metoda Runge-Kutta. Abia după aceea poți trece la contul standard folosind metoda Adams. Aceste neajunsuri duc la faptul că astăzi, în calculele computerizate, se preferă adesea metoda Runge-Kutta mai convenabilă.

metoda Adams

Să se găsească pentru problema Cauchy într-un fel (de exemplu, prin metoda Euler sau Runge-Kutta) trei valori consecutive ale funcției dorite

Să calculăm valorile, .

Metoda Adams vă permite să găsiți o soluție la problemă - o funcție - sub forma unui tabel de funcții. Continuarea tabelului rezultat de patru puncte se realizează conform formulei de extrapolare Adams:

Apoi rafinarea este efectuată conform formulei de interpolare Adams:

Metoda Adams poate fi extinsă cu ușurință la sisteme ecuatii diferentiale. Eroarea metodei Adams este de aceeași ordine ca și metoda Runge-Kutta.

Aplicarea ecuațiilor diferențiale cu un parametru mic pentru a rezolva transcendentale neliniare și ecuații algebrice

Să fie dată o funcție diferențiabilă continuu. Este necesar să se rezolve o ecuație neliniară sau transcendentală a formei

Ecuațiile întâlnite în practică nu pot fi rezolvate prin metode directe, prin urmare, pentru rezolvarea lor se folosesc metode iterative. Toate metodele iterative pentru rezolvarea ecuațiilor transcendentale și algebrice de forma (31) pot fi împărțite în două grupe:

scheme de soluții discrete.

scheme de soluții continue.

Schemele de soluții discrete au fost discutate mai sus. Rețineți că principalele dezavantaje ale metodelor de mai sus sunt:

dependență de condițiile inițiale sau de intervalul de găsire a rădăcinii;

rata de convergență relativ scăzută;

nu se spune nimic despre regulile de trecere de la rădăcină la rădăcină a ecuației (31) dacă sunt mai multe dintre ele.

Când se aplică scheme continue pentru a rezolva ecuația (31), procesul de găsire a rădăcinilor se realizează prin rezolvarea ecuației diferențiale ordinare corespunzătoare.

Fie definit și monoton la și să existe o derivată finită. Problema găsirii rădăcinilor ecuației (31), care este un analog continuu al metodei iterațiilor simple, poate fi considerată ca o limită în rezolvarea problemei Cauchy

dacă această limită există. Se notează prin soluția problemei Cauchy (33), - soluția dorită a ecuației (31). Atunci trebuie să existe o identitate. Introducând notația pentru abatere și scăzând din (33) ultima ecuație, avem

Expandând într-o serie Taylor în vecinătatea punctului cu păstrarea termenilor liniari și substituind expresia rezultată în (34), obținem o ecuație diferențială în abateri, a cărei soluție are forma

Vedem că condiția pentru convergența la rădăcină este cerința, deoarece în acest caz la, și, prin urmare. Presupunând că este monotonă la , ultima ecuație poate fi extinsă la întreaga regiune considerată mai sus. Astfel, condiția de aplicare a schemei continue a metodei iterațiilor simple (33) este

Schemele de soluție continuă au o rată de convergență mai mare și o precizie mai mare a soluției decât cele corespunzătoare. circuite discrete. Dar problema dependenței de condițiile inițiale și absența regulilor pentru trecerea de la rădăcină la rădăcină în cazul în care ecuația (31) are mai multe soluții rămâne deschisă.

După cum se poate observa din ecuația diferențială (33) și din ecuația (31), partea stângă a acesteia din urmă este înlocuită cu o derivată. Această înlocuire este o aproximare aproximativă a soluției problemei (33) la soluția problemei (31). Acest lucru implică nu numai o eroare mare în calcule, ci și o scădere a vitezei de calcul.

Să rescriem ecuația (31) sub forma

unde este un parametru mic, .

Trecerea de la problema (31) la problema (37) este justificată teoretic, deoarece curbele integrale, care sunt soluția ecuației cu un parametru mic (37), trec prin toate soluțiile ecuației (31). Problema găsirii rădăcinilor acestei ecuații printr-un analog continuu singular al metodei iterațiilor simple poate fi considerată ca limită pentru și a soluției problemei Cauchy a formei

dacă această limită există.

Efectuând un raționament similar cu cel de mai sus, obținem că soluția ecuației (37) la un punct va avea forma:

În acest caz, deoarece, condiția de convergență (36) rămâne aceeași.

Modificarea rezultată a schemelor clasice de soluție nu depinde de condițiile inițiale și are o precizie mai mare a soluției. Pentru a demonstra o rată de convergență mai rapidă, presupunem că aplicarea metodelor iterative nu dă niciodată o soluție exactă și introducem acuratețea soluției. Momentele de găsire a soluţiilor cu acurateţe prin metode clasice şi modificate vor fi notate cu şi. Folosind soluțiile (35) și (39), scriem inegalități de formă

Se vede din relaţiile că Comparând valorile obținute și, vedem că, i.e. rata de convergenţă în rezolvarea problemei prin metode modificate este de câteva ori mai mare decât prin metodele clasice.

În prezent, metodele Adams sunt una dintre metodele numerice promițătoare de integrare pentru rezolvarea problemei Cauchy. Se dovedește că atunci când se utilizează metodele numerice în mai multe etape ale lui Adams pentru rezolvarea problemei Cauchy până la ordinul al 12-lea, regiunea de stabilitate scade. Odată cu o creștere suplimentară a comenzii, regiunea de stabilitate, precum și acuratețea metodei, crește. În plus, cu aceeași acuratețe, metodele cu mai mulți pași necesită mai puțin calcul al părților din dreapta ecuațiilor diferențiale la un pas de integrare decât în ​​metodele Runge-Kutta. Avantajele metodelor Adams includ faptul că schimbă cu ușurință pasul de integrare și ordinea metodei.

În practică, două tipuri de metode Adams sunt utilizate pe scară largă - explicite și implicite. Metodele explicite sunt cunoscute ca metode Adams-Bashforth, metodele implicite sunt cunoscute ca metode Adams-Multon.

Luați în considerare aplicarea metodelor numerice pentru rezolvarea problemei Cauchy

La rezolvarea problemei (2.1) folosind metode într-un singur pas, valoarea lui yn+1 depinde doar de informațiile de la punctul anterior xn. Se poate presupune că puteți obține o precizie mai mare dacă utilizați informații despre mai multe puncte anterioare xn, xn-1 ... xn-k. Metodele în mai mulți pași se bazează pe această idee.

Cele mai multe dintre metodele cu mai multe etape apar pe baza următoarei abordări. Dacă substituim soluția exactă y (x) în ecuația (2.1) și integrăm ecuația pe segmentul , obținem:

Înlocuind funcția f (x, y (x)) din formula (2.2) cu polinomul de interpolare P (x), obținem o metodă aproximativă

Pentru a construi un polinom P (x), presupunem că yn, yn-1... yn-k sunt aproximări ale soluției în punctele xn, xn-1... xn-k. Presupunem că nodurile xi sunt uniform distanțate cu pasul h. Atunci fi=f (xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) sunt aproximări la f (x, y (x)) în punctele xn, xn-1... xn-k.

Pentru P (x) luăm un polinom de interpolare de gradul k care satisface condițiile

Dacă integrăm acest polinom în mod explicit, obținem următoarea metodă:

Când k=0, polinomul P (x) este o constantă egală cu fn, iar formula (2.4) se transformă în metoda obișnuită a lui Euler.

Pentru k=1, polinomul P (x) este o funcție liniară care trece prin punctele (xn-1, fn-1) și (xn, fn), adică.

Integrând acest polinom de la xn la xn+1, obținem o metodă în doi pași

care folosește informații în două puncte xn și xn+1.

Dacă k=2, atunci P(x) este un polinom pătratic care interpolează datele (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) și (xn, fn). Se poate arăta că metoda corespunzătoare are forma

Dacă k=3, atunci metoda corespunzătoare este determinată de formula

Pentru k=4 avem

Rețineți că metoda (2.7) este în trei pași, (2.8) în patru pași și (2.9) în cinci pași. Formulele (2.6) - (2.9) sunt cunoscute ca metode Adams-Bashforth. Metoda (2.6) are ordinul doi de precizie, de aceea se numește metoda Adams-Bashforth de ordinul doi. În mod similar, metodele (2.7), (2.8) și (2.9) sunt numite metode Adams-Bashforth de ordinul trei, al patrulea și, respectiv, al cincilea.

Continuând acest proces, folosind un număr tot mai mare de puncte anterioare, precum și un polinom de interpolare de grad mai mare, obținem metode Adams-Bashforth de un ordin arbitrar ridicat.

Metodele cu mai multe etape dau naștere la dificultăți care nu apar atunci când se utilizează metode cu un singur pas. Aceste dificultăți devin clare dacă, de exemplu, ne întoarcem la metodele Adams-Bashforth de ordinul al cincilea (2.9).

În problema (2.1), valoarea inițială y0 este setată, dar când n=0, pentru calculul conform formulei (2.9), sunt necesare informații în punctele x-1, x-2, x-3 , x-4, care este în mod natural absent. Calea obișnuită de ieșire din această situație este să folosiți o metodă într-un singur pas de aceeași ordine de precizie, cum ar fi metoda Runge-Kutta, până când sunt obținute suficiente valori pentru ca metoda cu mai mulți pași să funcționeze. Sau, puteți utiliza metoda cu un singur pas la primul pas, metoda în doi pași la al doilea și așa mai departe, până când sunt obținute toate valorile inițiale. Este esențial ca aceste valori de pornire să fie calculate cu același grad de precizie cu care va funcționa metoda finală. Deoarece metodele de pornire au un ordin mai mic de precizie, trebuie să numărați cu un pas mai mic la început și să utilizați mai multe puncte intermediare.

Derivarea metodelor (2. 6) - (2. 9) se bazează pe înlocuirea funcției f (x, y) cu un polinom de interpolare P (x). Se știe că există o teoremă care demonstrează existența și unicitatea polinomului de interpolare. Dacă nodurile x0, x1... xn sunt diferite, atunci pentru orice f0, f1... fn există un polinom unic P (x) de gradul de cel mult n astfel încât P (xi) =fi, i=0, 1,.. n.

Deși polinomul de interpolare este unic, există mai multe moduri de a reprezenta acest polinom. Polinoamele Lagrange sunt cel mai des folosite, dar se dovedesc a fi, de asemenea, incomode dacă un nod trebuie adăugat (sau îndepărtat) dintr-un set de date. În acest caz, există o altă reprezentare a polinomului de interpolare. Aceasta este reprezentarea lui Newton

Polinomul Pn+1 (x) poate fi scris ca

Reprezentarea polinomului de interpolare în forma (2.11) într-un număr de cazuri este deosebit de utilă pentru practică.

Metodele Adams-Bashforth folosesc valori deja cunoscute la punctele xn, xn-1... xn-k. Când construiți un polinom de interpolare, puteți utiliza și punctele xn, xn, xn-1... xn-k. Acest lucru dă naștere unei clase de metode implicite în m-step cunoscute sub numele de metode Adams-Multon.

Dacă k=0, atunci P (x) - funcție liniară trecând prin punctele (xn, fn) și (xn+1, fn+1) și metoda corespunzătoare

este metoda Adams-Multon de ordinul doi.

Pentru k=1, 2, 3 obținem metodele corespunzătoare

al treilea, al patrulea și al cincilea ordin de aproximare. Relațiile (2.12) - (2.15) conțin implicit valorile dorite yn+1, așa că pentru implementarea lor trebuie folosite metode iterative.

În practică, de obicei nu rezolvă direct ecuațiile (2. 12) - (2. 15), ci folosesc împreună formele explicite și implicite, ceea ce duce la metoda previziunii și corectării.

De exemplu, pentru metoda Adams de ordinul doi, folosind notația, unde r este numărul iterației, avem următoarea schemă de calcul pentru r = 1:

Acest proces se numește metoda PECE (P înseamnă aplicarea formulei predictive, C - aplicarea formulei corective, E - calculul funcției f). Puteți scurta procesul de calcul eliminând ultima formulă. Aceasta duce la așa-numita metodă PEC.

Luați în considerare a doua metodă de rezolvare a ecuațiilor (2. 12) - (2. 15). Formulele (2. 12) - (2. 15) pot fi rescrise ca

unde gn conține cantități cunoscute. Se demonstrează că dacă, unde L este constanta Lipschitz, atunci există o soluție unică a ecuației (2.17) care poate fi obținută folosind procesul iterativ

unde este arbitrar.

Iterațiile în expresia (2.18) continuă până când se ajunge la convergență. În acest caz, numărul de calcule ale funcției f variază de la un punct la altul și poate fi destul de mare.

Pe de altă parte, dacă valoarea lui h este redusă, atunci convergența poate fi realizată într-un număr fix de iterații. Această metodă se numește corecție la convergență.

La prima vedere, poate părea că metoda explicită cu mai mulți pași este cea mai simplă metodă din punct de vedere al calculului. Cu toate acestea, metodele explicite sunt rareori utilizate în practică. Metoda implicită Adams-Multon este mai precisă decât metoda explicită Adams-Bashforth. De exemplu, schema de calcul pentru metoda Adams-Multon de ordinul 5 este următoarea:

Metodele Adams până la ordinul al cincilea inclusiv pot fi utilizate pentru a rezolva ecuații diferențiale obișnuite care nu necesită un grad ridicat de precizie.

Ca și în cazul metodei Adams-Bashfort, atunci când se folosește metoda Adams-Multon problema importanta este problema alegerii raportului optim dintre pasul de integrare și ordinea metodei. Trebuie remarcat faptul că atunci când se creează algoritmi și programe eficienți, o creștere a ordinii metodei este mai de preferat decât o scădere a pasului de integrare.

Pentru a rezolva probleme mai complexe, este necesară aplicarea metodelor Adams de ordin superior. Tabelul 2.1 prezintă valorile coeficienților pentru metodele Adams. Prima linie specifică ordinea metodei; în al doilea - valorile coeficienților Ck pentru ordinul corespunzător k; în liniile ulterioare - perechi de coeficienți Bkj și Mkj pentru metodele Adams-Bashforth și, respectiv, Adams-Multon. Apoi, ținând cont de datele din Tabelul 2. 14, coeficienții din j în expresie

pentru metoda Adams-Bashfort de ordinul k se poate găsi din relația

iar pentru metoda Adams-Multon de ordinul k, folosind o formulă similară

Formulele pentru metodele Adams corective de predictor de la ordinul 6 până la al 14-lea sunt următoarele:

• 6 comanda:
• 7 comanda:
• 8 comanda:
• 9 comanda:
• 10 comanda:
• 11 comanda:
• 12 comanda:
• 13 comanda:
• 14 comanda:
• 15 comanda:
• 16 comanda:

Formulele prezentate mai sus sunt utilizate de preferință pentru aplicarea practică a rezolvării ecuațiilor diferențiale obișnuite sau a sistemelor de ecuații diferențiale de ordinul întâi cu un pas constant de integrare. Dacă în procesul de rezolvare a ecuației pasul de integrare este variabil, atunci pentru metodele Adams există trucuri speciale pentru adăugarea de noi date inițiale la schimbarea etapei de integrare.

În fața noastră este aceeași problemă Cauchy

f (1) (t)=F(t, f(t)), A£ t£ b, f(A)=f a.

În metode într-un singur pas, valoarea f(t k+1) a fost determinat doar de informațiile de la punctul anterior t k. Este posibil să îmbunătățiți acuratețea soluției prin utilizarea informațiilor din mai multe puncte anterioare, dacă sunt disponibile. Aceasta este ceea ce se face în metodele care se numesc în mai mulți pași. De la prima vedere asupra enunțului problemei, devine evident că în momentul lansării t=ta există o singură condiție inițială și dacă vom lucra cu două, trei sau patru puncte anterioare, atunci nu este clar cum să obținem a doua, cu excepția utilizării metodelor într-un singur pas. Asta fac ei; Un algoritm de soluție „complex” ar putea arăta astfel:

primul pas obține al doilea punct folosind metoda cu un singur pas, al doilea obține al treilea folosind metoda în doi pași, al treilea obține al patrulea folosind metoda în trei etape și așa mai departe, până când există suficiente puncte anterioare pentru metoda principală care trebuie utilizată.

O altă opțiune este ca întregul set de puncte de pornire să fie obținut folosind o metodă într-un singur pas, de exemplu, Runge-Kutta de ordinul al patrulea. Deoarece metodele cu mai multe etape sunt considerate a fi mai precise, un număr mai mare de puncte intermediare este de obicei utilizat pentru metoda de pornire într-un singur pas, adică. lucrați cu pași mai scurti.

Algoritmii cu mai mulți pași pot fi creați astfel. Dat fiind

f(t k +1)=f(t k)+ ,

se poate integra numeric partea dreaptă a ODE sub semnul integral. Dacă folosim metoda dreptunghiurilor (polinomul de interpolare pentru funcția integrabilă este o constantă), obținem metoda obișnuită Euler. Dacă folosim 2 puncte și un polinom de interpolare de ordinul întâi

p(X)= ,

apoi integrarea prin metoda trapezului din t k inainte de t k+1 va da următorul algoritm:

f(t k +1)=f(t k)+0.5h(3Fk-Fk -1).

În mod similar, pentru trei puncte vom avea un polinom de interpolare pătratică în date ( t k -2 , Fk -2), (t k -1 , Fk -1), (t k, Fk) și integrarea prin metoda Simpson va da algoritmul:

f(t k +1)=f(t k)+ (23Fk–16Fk -1 +5Fk -2).

Pentru 4 puncte, polinomul va fi cubic iar integrarea lui va da:

f(t k +1)=f(t k)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

În principiu, am putea continua așa cât ne place.

Algoritmii de mai sus sunt numiți metode Adams-Bashforth de ordinul doi, al treilea și al patrulea.

În mod formal, la construirea unui polinom de interpolare, în plus față de N puncte deja calculate de folosit și multe altele R viitor t k +1 , t k+2; în cel mai simplu caz, setul

t k +1 , t k, t k -1 ,…, t k -N .

Aceasta generează o clasă de așa-numitele metode Adams-Moulton. În versiunea în patru pași, funcționează pe date ( t k +1 , Fk +1), (t k, Fk), (t k -1 , Fk -1), (t k -2 , Fk-2) și algoritmul său:

f(t k +1)=f(t k)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

Este imposibil, desigur, să se calculeze folosind datele lipsă, așa că algoritmii Adams sunt combinați într-o secvență de algoritmi Adams-Bashforth și Adams-Moulton, obținând în același timp așa-numitele metode de prognoză și corecție. De exemplu, metoda de predicție și corecție de ordinul al patrulea arată astfel: în primul rând, prezicem folosind algoritmul Adams-Bashforth folosind punctele „trecute”.

f(t k +1)=f(t k)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

Apoi calculăm valoarea aproximativă a părții drepte a ecuației

Fk +1 =F(t k +1 , f(t k +1).

Și în sfârșit, corectăm f(t k+1) folosind propria sa valoare aproximativă

f(t k +1)=f(t k)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

Cele mai eficiente programe de calculator disponibile, care permit utilizatorului să modifice dimensiunea pașilor și ordinea metodelor, se bazează pe metodele Adams de ordin înalt (peste 10). Experiența de operare a acestor programe arată că diferențele în implementarea lor pot avea un impact mai semnificativ asupra acurateței decât diferențele în proprietățile interne ale metodelor în sine.