Ecuație de suprafață și ecuație de linii în spațiu. Suprafețe algebrice de ordinul întâi Plan ca suprafață algebrică de ordinul întâi

În secțiunile următoare, se stabilește că suprafețele de ordinul întâi sunt plane și numai plane și sunt luate în considerare diferite forme de scriere a ecuațiilor planelor.

198. Teorema 24. În coordonatele carteziene, fiecare plan este definit de o ecuație de gradul întâi.

Dovada. Presupunând că este dat un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene, considerăm un plan arbitrar a și demonstrăm că acest plan este determinat de o ecuație de gradul întâi. Luați în avion un punct M 0 (d: 0; y 0; z0); În plus, alegem orice vector (numai că nu este egal cu zero!), Perpendicular pe planul a. Vectorul selectat va fi notat cu litera p, proiecțiile sale pe axele de coordonate- literele A, B, C.

Fie M(x; y; z) un punct arbitrar. Se află pe planul a dacă și numai dacă vectorul MQM este perpendicular pe vectorul n. Cu alte cuvinte, punctul W situat pe planul a este caracterizat de condiția:

Obținem ecuația planului a dacă exprimăm această condiție în termeni de coordonatele x, y, z. În acest scop, notăm coordonatele vectorilor M 0M și th:

M 0M \u003d (x-x 0; y-y 0; z-z0), P \u003d (A; B; C).

Conform nr. 165 un semn de perpendicularitate a doi vectori este egalitatea cu zero a produsului lor scalar, adică suma produselor pe perechi a coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori. Deci M 0M J_ p dacă și numai dacă

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Aceasta este ecuația dorită a planului a, deoarece este satisfăcută de coordonatele x, y, z punctul M dacă și numai dacă M se află pe planul a (adică când lui j_").

Deschizând parantezele, prezentăm ecuația(1) ca

Ah + By + Cz + (- A x 0 - Wu 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Vedem că planul a este într-adevăr determinat de o ecuație de gradul întâi. Teorema a fost demonstrată.

199. Fiecare vector (nu este egal cu zero) perpendicular pe un plan este numit vector normal cu acesta. Folosind acest nume, putem spune că ecuația

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

este ecuația planului care trece prin punctul M 0 (x 0; y 0; z0) și având un vector normal n- (A; B; CU). Tip ecuație

Ax + Vy-\- Cz + D = 0

se numește ecuația generală a planului.

200. Teorema 25. În coordonatele carteziene, fiecare ecuație de gradul I definește un plan.

Dovada. Presupunând că este dat un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene, considerăm o ecuație arbitrară de gradul întâi

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Când spunem o ecuație „arbitrară”, ne referim la coeficienții A, B, C, D poate fi orice numere, dar, desigur, excluzând

caz de egalitate simultană la zero a tuturor celor trei coeficienți A, B, C. Trebuie să demonstrăm că ecuația(2) este ecuația unui plan.

Fie lg 0, y 0, r 0- orice soluție a ecuației(2), adică un triplu de numere care satisface această ecuație *). Înlocuirea numerelor pentru 0,z0 în loc de coordonatele curente din partea stângă a ecuației(2), obținem identitatea aritmetică

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Scădeți din ecuație(2) identitate (3). Vom obține ecuația

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

care, conform celei precedente, este ecuația planului care trece prin punctul M 0 (jc0; y 0; z0) și având un vector normal n - (A; B; C). Dar ecuația(2) este echivalentă cu ecuația(1), din moment ce ecuaţia(1) obtinut din ecuatie(2) prin scăderea termen cu termen a identității(3) și ecuația (2) la rândul său se obţine din ecuaţie(1) prin adăugarea termen cu termen a identității(3). Prin urmare, ecuația(2) este o ecuație în același plan.

Am demonstrat că o ecuație arbitrară de gradul I definește un plan; astfel se demonstrează teorema.

201. Suprafețele, care în „coordonatele carteziene sunt determinate de ecuații de gradul I, se numesc, după cum știm, suprafețe de ordinul întâi. Folosind această terminologie, putem exprima rezultatele stabilite astfel:

Fiecare plan este o suprafață de ordinul întâi; fiecare suprafață de ordinul întâi este un plan.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct afe(l; 1; 1) perpendicular pe vectorul i*=( 2; 2; 3}.

Decizie.Conform clauzei 199 ecuația necesară este

2(*- 1) +2 (y -1) +3 (g -1) \u003d 0,

2x + 2y + 3r - 7 = 0.

*) Ecuația (2), ca orice ecuație de gradul I cu trei necunoscute, are infinite de soluții. Pentru a găsi una dintre ele, trebuie să atribuiți valori numerice la două necunoscute, apoi să găsiți a treia necunoscută din ecuație.

202. Pentru a încheia această secțiune, demonstrăm următoarea propoziție: dacă două ecuații Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 și A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 determinați același plan, atunci coeficienții lor sunt proporționali.

Într-adevăr, în acest caz vectorii nx = (A 1; Bx \ și n 2 - (/ 42; B 2 ; Cr) sunt perpendiculare pe un plan, prin urmare, coliniare între ele. Dar apoi, conform paragrafului 154 numere Ab B 2, C 2 sunt proporționale cu numerele A1r B1rCx; notând factorul de proporționalitate cu p, avem: A 2-A 1c, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Fie M 0 (x 0; y 0 ; ^-orice punct al planului; coordonatele sale trebuie să satisfacă fiecare dintre aceste ecuații, deci Axx 0 + Vhu 0

Cxz0 = 0 și A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Înmulțim prima dintre aceste egalități cu p. si scade din a doua; primim D2-Djp = 0. In consecinta, Dx-Dx\i si

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1^

Astfel, afirmația noastră este dovedită.

1.7.1. Avion.

Se consideră un plan arbitrar P în bază carteziană și vectorul normal (perpendicular) pe acesta `n (A, B, C). Luați în acest plan un punct fix arbitrar M0(x0, y0, z0) și un punct curent M(x, y, z).

Evident ?`n = 0 (1,53)

(vezi (1.20) pentru j = p /2). Aceasta este ecuația planului în formă vectorială. Trecând la coordonate, obținem ecuația generală a planului

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Se poate demonstra că în coordonatele carteziene fiecare plan este definit de o ecuație de gradul întâi și invers, fiecare ecuație de gradul întâi definește un plan (adică un plan este o suprafață de ordinul întâi și o suprafață de ordinul întâi este un plan).

Luați în considerare câteva cazuri speciale de locație a planului dat de ecuația generală:

A \u003d 0 - paralel cu axa Ox; B \u003d 0 - paralel cu axa Oy; C \u003d 0 - paralel cu axa Oz. (Asemenea planuri perpendiculare pe unul dintre planurile de coordonate se numesc proiectare); D = 0 - trece prin origine; A = B = 0 - perpendicular pe axa Oz (paralel cu planul xOy); A = B = D = 0 - coincide cu planul xOy (z = 0). Toate celelalte cazuri sunt analizate în mod similar.

Daca D? 0, atunci, împărțind ambele părți ale (1.54) la -D, putem aduce ecuația planului la forma: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Relația (1.55) se numește ecuația unui plan în segmente; a, b, c sunt abscisele, ordonatele și aplicatele punctelor de intersecție ale planului cu axele Ox, Oy, Oz și |a|, |b|, |c| sunt lungimile segmentelor tăiate de plan pe axele corespunzătoare de la origine.

Înmulțirea ambelor părți ale (1.54) cu factorul de normalizare (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

unde cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm sunt cosinusurile direcției normalei la plan, p este distanța până la plan de la origine.

Să luăm în considerare principalele rapoarte utilizate în calcule. Unghiul dintre planele A1x + B1y + C1z + D1 = 0 și A2x + B2y + C2z + D2 = 0 poate fi ușor definit ca unghiul dintre normalele acestor plane `n1 (A1, B1, C1) și

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Din (1.57) se obține ușor condiția de perpendicularitate

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

și paralelism (1.59) avioane și normalele lor.

Distanța de la un punct arbitrar M0(x0, y0, z0) la planul (1.54)

este definit prin expresia: (1.60)

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) este cel mai convenabil scris folosind condiția de comparare (1.25) a vectorilor unde M(x, y, z) este punctul curent al avionului.

(1.61)

Prezentăm ecuația pentru un mănunchi de plane (adică,

Seturi de avioane care trec printr-o linie dreaptă) - este convenabil să-l folosești într-o serie de probleme.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Unde l Î R, iar între paranteze sunt ecuațiile oricăror două plane ale fasciculului.

Întrebări de control.

1) Cum se verifică dacă punctul dat se află pe suprafața dată de ecuația dată?

2) Care este caracteristica care deosebește ecuația unui plan dintr-un sistem de coordonate carteziene de ecuația altor suprafețe?

3) Cum este planul raportat la sistemul de coordonate, dacă ecuația acestuia nu conține: a) un termen liber; b) una dintre coordonate; c) două coordonate; d) una dintre coordonate și un termen liber; e) două coordonate și un termen liber?

1) Sunt date punctele М1(0,-1,3) și М2(1,3,5). Scrieți ecuația planului care trece prin punctul M1 și perpendicular pe vector Alege răspunsul corect:

A) ; b) .

2) Aflați unghiul dintre plane și . Alege răspunsul corect:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Drept. Avioane ale căror normale nu sunt coliniare sau se intersectează, definind în mod unic linia drept linia intersecției lor, care este scrisă după cum urmează:

Prin această linie se pot desena infinit de planuri (un creion de plane (1.62)), inclusiv cele care îl proiectează pe planurile de coordonate. Pentru a le obține ecuațiile, este suficient să transformăm (1.63), eliminând o necunoscută din fiecare ecuație și reducându-le, de exemplu, la forma (1.63`).

Să stabilim sarcina - să trasăm o linie dreaptă prin punctul M0 (x0, y0, z0) paralelă cu vectorul `S (l, m, n) (se numește ghid). Luați un punct arbitrar M(x, y, z) pe dreapta dorită. Vectori și trebuie să fie coliniare, de unde obținem ecuațiile canonice ale dreptei.

(1,64) sau (1.64`)

unde cosa, cosb, cosg sunt cosinusurile de direcție ale vectorului `S. Din (1.64) se obține ușor ecuația unei drepte care trece prin punctele date M1(x1, y1, z1) și M2(x2, y2, z2) (este paralelă). )

Sau (1.64``)

(Valorile fracțiilor din (1.64) sunt egale pentru fiecare punct al dreptei și pot fi notate cu t, unde t R. Acest lucru vă permite să introduceți ecuațiile parametrice ale dreptei

Fiecare valoare a parametrului t corespunde unui set de coordonate x, y, z ale unui punct de pe linie sau (în caz contrar) - valorile necunoscutelor care satisfac ecuațiile dreptei).

Folosind proprietățile deja cunoscute ale vectorilor și operațiile asupra acestora și ecuațiile canonice ale unei linii drepte, este ușor de obținut următoarele formule:

Unghiul dintre linii: (1.65)

Condiția de paralelism (1.66).

perpendicularitatea l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) drepte.

Unghiul dintre o linie și un plan (se obține ușor prin găsirea unghiului dintre linie și normala la plan, care se adună la p / 2 dorit)

(1.68)

Din (1.66) obținem condiția de paralelism Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

și perpendicularitatea (1,70) a unei drepte și a unui plan. Condiția necesară și suficientă pentru ca două drepte să fie în același plan poate fi obținută cu ușurință din condiția de comparație (1.25).

(1.71)

Întrebări de control.

1) Care sunt modalitățile de a stabili o linie dreaptă în spațiu?

1) Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctul A (4,3,0) și paralele cu vectorul Specificați răspunsul corect:

A) ; b) .

2) Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctele A(2,-1,3) și B(2,3,3). Indicați răspunsul corect.

A) ; b) .

3) Aflați punctul de intersecție al dreptei cu planul: , . Specificați răspunsul corect:

a) (6,4,5); b) (6, -4,5).

1.7.3. Suprafețe de ordinul doi. Dacă ecuație liniarăîntr-o bază carteziană tridimensională definește în mod unic un plan, oricare ecuație neliniară, care conține x, y, z descrie o altă suprafață. Dacă ecuația arată ca

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, apoi descrie o suprafață de ordinul doi (ecuația generală a suprafeței de ordinul doi). Prin alegerea sau transformarea coordonatelor carteziene, ecuația poate fi simplificată cât mai mult posibil, ducând la una dintre următoarele forme care descriu suprafața corespunzătoare.

1. Ecuațiile canonice ale cilindrilor de ordinul doi, ale căror generatoare sunt paralele cu axa Oz, și curbele de ordinul doi corespunzătoare situate în planul xOy servesc drept ghiduri:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

cilindri eliptici, hiperbolici și respectiv parabolici.

(Reamintim că o suprafață cilindrică se numește suprafață obținută prin deplasarea unei linii drepte, numită generatrice, paralelă cu ea însăși. Linia de intersecție a acestei suprafețe cu un plan perpendicular pe generatrice se numește ghid - determină forma de suprafata).

Prin analogie, se pot scrie ecuațiile acelorași suprafețe cilindrice cu generatoare paralele cu axa Oy și cu axa Ox. Ghidul poate fi definit ca linia de intersecție a suprafeței cilindrului și planul de coordonate corespunzător, i.e. sistem de ecuații de forma:

2. Ecuații ale unui con de ordinul doi cu un vârf la origine:

(1.75)

(axele conului sunt axele Oz, Oy și, respectiv, Ox)

3. Ecuația canonică a elipsoidului: (1,76);

Cazurile speciale sunt elipsoizii de revoluție, de exemplu - suprafata obtinuta prin rotirea elipsei în jurul axei Oz (Când

а > с elipsoidul este comprimat, pentru a x2 + y2+ z2 + = r2 este ecuația unei sfere de rază r centrată la origine).

4. Ecuația canonică a unui hiperboloid cu o singură foaie

(semnul „-” poate sta înaintea oricăruia dintre cei trei termeni din partea stângă - acest lucru schimbă doar poziția suprafeței în spațiu). Cazuri particulare sunt hiperboloizii de revoluție cu o singură foaie, de exemplu este suprafața obținută prin rotirea hiperbolei în jurul axei Oz (axa imaginară a hiperbolei).

5. Ecuația canonică a unui hiperboloid cu două foi

(semnul „-” poate fi plasat în fața oricăruia dintre cei trei termeni din partea stângă).

Cazuri particulare sunt hiperboloizii de revoluție cu două foi, de exemplu, o suprafață obținută prin rotirea unei hiperbole în jurul axei Oz (axa reală a hiperbolei).

6. Ecuația canonică a unui paraboloid eliptic

(p >0, q >0) (1,79)

7. Ecuația canonică a unui paraboloid hiperbolic

(p >0, q >0) (1,80)

(variabila z poate schimba locurile cu oricare dintre variabilele x și y - poziția suprafeței în spațiu se va schimba).

Rețineți că este ușor să vă faceți o idee despre caracteristicile (forma) acestor suprafețe luând în considerare secțiunile acestor suprafețe prin planuri perpendiculare pe axele de coordonate.

Întrebări de control.

1) Ce set de puncte din spațiu definește ecuația?

2) Care sunt ecuațiile canonice ale cilindrilor de ordinul doi; conuri de ordinul doi; elipsoid; hiperboloid cu o singură foaie; hiperboloid cu două foi; paraboloid eliptic; paraboloid hiperbolic?

1) Aflați centrul și raza sferei și indicați răspunsul corect:

a) C (1,5; -2,5; 2), ; b) С(1,5;2,5;2), ;

2) Determinați tipul de suprafață dat de ecuațiile: . Specificați răspunsul corect:

a) hiperboloid cu o singură foaie; paraboloid hiperbolic; paraboloid eliptic; con.

b) hiperboloid cu două foi; paraboloid hiperbolic; paraboloid eliptic; con.

Cursul 2. Planul ca suprafață de ordinul întâi. Ecuații plane și studiul lor. Linie dreaptă în spațiu aranjament reciproc linii drepte în spațiu, plan și linie dreaptă în spațiu. Linie pe un plan, ecuații ale unei drepte pe un plan, distanța de la un punct la o dreaptă pe un plan. Curbe de ordinul doi; derivarea ecuatiilor canonice, studiul ecuatiilor si construirea curbelor. Suprafețe de ordinul doi, studiul ecuațiilor canonice ale suprafețelor. Metoda secțiunii. 1

Elemente de geometrie analitică § 1. Plan. Avem OXYZ și o suprafață S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Definiția 1: o ecuație cu trei variabile se numește ecuație a unei suprafețe S în spațiu dacă această ecuație este îndeplinită de coordonatele fiecărei punct situat pe suprafata si nu dupa coordonate nici un punct situat pe ea. 2

Exemplu. Ecuația (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) definește o sferă centrată în punctul C(a, b, c) și raza R. M M( x , y, z) este un punct variabil M ϵ (S) |CM| = RC 3

Definiția 2: O suprafață S se numește suprafață de ordinul al n-lea dacă, într-un sistem de coordonate carteziene, este dată de o ecuație algebrică de gradul al n-lea F(x, y, z) = 0 (1) În exemplul ( S) - un cerc, o suprafață de ordinul doi. Dacă S este o suprafață de ordinul al n-lea, atunci F(x, y, z) este un polinom de gradul al n-lea față de (x, y, z) Să considerăm singura suprafață de ordinul I - planul. Să compunem ecuația planului care trece prin punctul M (x, y, z), cu vectorul normal 4

Fie M(x, y, z) un punct arbitrar (actual) al planului. M M 0 О α sau sub formă de coordonate: (2) Ecuația (2) - ecuația planului care trece prin punctul M cu vectorul normal dat. 5

D (*) (3) - ecuația completă a planului Ecuația incompletă a planului. Dacă în ecuația (3) mai mulți coeficienți (dar nu A, B, C în același timp) = 0, atunci ecuația se numește incompletă și planul α are singularități în locație. De exemplu, dacă D = 0, atunci α trece prin origine. 6

Distanța de la punctul M 1 la planul α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 se aplică punctului M 0 K 7

- distanța de la punctul M 1 la planul α Ecuația planului „în segmente” Să facem ecuația planului care decupează segmentele nenule pe axele de coordonate cu valorile C(0, 0, c) a, b, c. Să luăm B(0, b, 0) ca o ecuație pentru punctul A cu A(a, 0, 0) 8

- ecuația planului α „în segmente” - ecuația planului care trece prin punctul A, perpendicular pe vectorul normal 9

§ 2. Ecuaţia generală a unei drepte. O linie dreaptă în spațiu poate fi definită prin intersecția a 2 plane. (1) ecuația unei drepte Un sistem de forma (1) definește o dreaptă în spațiu dacă coeficienții A 1, B 1, C 1 sunt simultan disproporționați cu A 2, B 2, C 2. 10

Ecuații parametrice și canonice ale unei drepte - punct arbitrar punct M M 0 Ecuație parametrică t - parametrul 11

Eliminand t, obtinem: - ecuatia canonica Sistemul (3) determina miscarea unui punct material, rectiliniu si uniform din pozitia initiala M 0(x 0, y 0, z 0) cu viteza in directia vectorului. . 12

Unghiul dintre liniile din spațiu. Condiții de paralelism și perpendicularitate. Fie două drepte L 1, L 2 din spațiu date de ecuațiile lor canonice: Atunci problema determinării unghiului dintre aceste drepte se reduce la determinarea unghiului

vectorii lor de direcție: Folosind definiția produsului scalar și expresia în coordonatele produsului scalar specificat și lungimile vectorilor q 1 și q 2, obținem: 15

Condiția de paralelism a dreptelor l 1 și l 2 corespunde coliniarității lui q 1 și q 2, constă în proporționalitatea coordonatelor acestor vectori, adică are forma: Condiția de perpendicularitate rezultă din definiția scalarului. produs și egalitatea lui cu zero (la cos = 0) și are forma : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Unghiul dintre o dreaptă și un plan: condiții de paralelism și perpendicularitate a unei drepte și a unui plan Se consideră planul P, dat de ecuația generală: Ax + By + Cz + D = 0, iar dreapta L, dată de canonica ecuația: 17

Deoarece unghiul dintre dreapta L și planul P este complementar cu unghiul dintre vectorul de direcție al dreptei q = (l, m, n) și vectorul normal al planului n = (A, B, C), atunci din definiția produsului scalar q n = q n cos și a egalităților cos = sin (= 90 -), obținem: 18

Condiția de paralelism a dreptei L și a planului P (care include faptul că L aparține lui P) este echivalentă cu condiția de perpendicularitate a vectorilor q și n și se exprimă = 0 din produsul scalar al acestor vectori: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Condiția de perpendicularitate a dreptei L și a planului P este echivalentă cu condiția de paralelism a vectorilor n și q și se exprimă prin proporționalitatea coordonatelor acestor vectori: 19

Condiţii ca două drepte să aparţină aceluiaşi plan Două drepte din spaţiul L 1 şi L 2 se pot: 1) să se intersecteze; 2) să fie paralel; 3) se încrucișează. În primele două cazuri, dreptele L 1 și L 2 se află în același plan. Să stabilim condiția de apartenență la același plan a două drepte date prin ecuații canonice: 20

Evident, pentru ca cele două drepte indicate să aparțină aceluiași plan, este necesar și suficient ca trei vectori = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) și q 2 = (l 2, m 2, n 2), au fost coplanari, pentru care, la rândul lor, este necesar și suficient ca produsul mixt al acestor trei vectori = 0. 21

notând lucrări mixte a vectorilor indicați în coordonate, obținem condiția necesară și suficientă pentru apartenența a două drepte L 1 și L 2 la același plan: 22

Condiție pentru ca o dreaptă să aparțină unui plan Fie o dreaptă și un plan Ax + Vy + Cz + D = 0. Aceste condiții au forma: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 și Al + Bm + Cn = 0, dintre care primul înseamnă acel punct M 1 (x1, y1, z 1), prin care trece dreapta, aparține planului, iar al doilea este condiția de paralelism a dreptei și a planului. 23

Curbe de ordinul doi. § 1. Conceptul de ecuaţie a unei drepte pe un plan. Ecuația f (x, y) = 0 se numește ecuația dreptei L în sistemul de coordonate ales dacă este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe linie și nu de coordonatele oricărui punct care nu se află pe el. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Exemplu: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

O linie L se numește o linie de ordin n-a dacă, într-un sistem de coordonate carteziene, este dată de o ecuație algebrică de gradul n-lea în raport cu x și y. Cunoaștem singura dreaptă de ordinul 1 - o dreaptă: Ax + By + D = 0 Vom lua în considerare curbe de ordinul 2: elipsă, hiperbolă, parabolă. Ecuația generală a dreptelor de ordinul 2 este: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipse (E) Definiție. Elipsa - mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor cărora la două puncte fixe ale planului F 1 și F 2, numite focare, este o constantă și mai mare decât distanța dintre focare. Notăm constanta 2 a, distanța dintre focare 2 c. Să desenăm axa X prin focare, (a > c, a > 0, c > 0). axa Y prin punctele medii ale distanței focale. Fie M un punct arbitrar al elipsei, adică M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), unde r 1, r 2 sunt focale 27 de raze ale lui E.

Scriem (1) sub formă de coordonate: (2) Aceasta este ecuația unei elipse în sistemul de coordonate ales. Simplificand (2) se obtine: b 2 = a 2 - c 2 (3) este ecuatia canonica a elipsei. Se poate demonstra că (2) și (3) sunt echivalente: 28

Studiul formei unei elipse conform ecuației canonice 1) Elipsa este o curbă de ordinul 2 2) Simetria elipsei. întrucât x și y sunt incluse în (3) doar la puteri pare, atunci elipsa are 2 axe și 1 centru de simetrie, care în sistemul de coordonate ales coincid cu axele de coordonate alese și punctul O. 29

3) Locația elipsei Adică întregul E este situat în interiorul unui dreptunghi, ale cărui laturi sunt x = ± a și y = ± b. 4) Intersecția cu axele. A1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: vârfuri ale elipsei C OC: B 1(0; b); B2(0;-b); Datorită simetriei elipsei, vom lua în considerare comportamentul acesteia (↓) doar în primul trimestru. treizeci

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Rezolvând (3) în raport cu y, obținem: în primul cadran x > 0 și elipsa este în scădere."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hiperbola (G) Definiție: Г este mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe a căruia la 2 puncte fixe ale planului F 1 , F 2 este o valoare constantă și

Simplificarea (1): (2) este ecuația canonică a lui G. (1) și (2) sunt echivalente. Investigarea unei hiperbole conform ecuației canonice 1) Г-linia de ordinul 2 2) Г are două axe și un centru de simetrie, care în cazul nostru coincid cu axele de coordonate și originea. 3) Localizarea hiperbolei. 34

Hiperbola este situată în afara benzii dintre liniile x = a, x = -a. 4) Puncte de intersecție cu axele. OX: OY: nu are soluții A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – vârfuri reale ale lui Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - vârfuri imaginare Г 2 a - axa reală Г 2 b - axa imaginară Г 35

5) Asimptotele unei hiperbole. În virtutea simetriei lui Γ, să luăm în considerare partea sa în primul trimestru. Rezolvând (2) în raport cu y, obținem: ecuația Г în trimestrul I x ≥ 0 punctul corespunzător Γ, adică în primul trimestru Γ se află sub această dreaptă. Toate Г se află în interiorul unui unghi vertical cu laturile 36

6) Se poate arăta că în prima parte G crește 7) Planul de construire a lui G

Parabola (P) Se consideră d (directrice) și F (focalizare) pe un plan. Definiție. P - mulțimea tuturor punctelor planului echidistante de dreapta d și punctul F (focalizare) 39

d-directrix F-focus XOY punct M P apoi |MF| = |MN| (1) Ecuația P aleasă în sistemul de coordonate Simplificând (1) obținem y 2 = 2 px (2) – ecuația canonică P.

Cercetați P conform ecuației canonice x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cilindri. Suprafețe cilindrice cu generatoare paralele cu axele de coordonate Prin punctul x al dreptei L trasăm o dreaptă paralelă cu axa OZ. Suprafața formată de aceste linii se numește suprafață cilindrică sau cilindru (C). Orice linie paralelă cu axa OZ se numește generatrix. l - ghidarea suprafeței cilindrice a planului XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Fie M(x, y, z) un punct arbitrar pe suprafața cilindrică. O proiectăm pe L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, că este, coordonatele M satisfac (1) este evident că dacă M este C, atunci nu este proiectat în punctul M 0 ϵ L și, prin urmare, coordonatele lui M nu vor satisface ecuația (1), care definește C cu o generatrică paralelă cu axa OZ în spațiu. În mod similar, putem arăta că: Ф(x, z) = 0 în spațiul Ц || OY 43 (y, z) = 0 definește în spațiu Ц || BOU

Proiecția unei linii spațiale pe un plan de coordonate O linie în spațiu poate fi specificată parametric și prin intersecția suprafețelor. Una și aceeași linie poate fi dată de ∩ suprafețe diferite. Fie linia spațială L dată de ∩ a două suprafețe α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ecuația L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Să aflăm proiecția lui L pe planul XOY din ecuația (1) excluzând Z. Obținem ecuația: Z(x, y) = 0 – în spațiu aceasta este ecuația Ц cu generator || OZ și ghid L. 46

Proiecție: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Suprafețe de ordinul doi Elipsoid – ecuația canonică a suprafeței are forma: 1) Elipsoid – suprafață de ordinul doi. 2) X, Y, Z intră în ecuație doar la puteri pare => suprafața are 3 plane și 1 centru de simetrie, care în sistemul de coordonate selectat coincid cu planurile de coordonate și originea. 47

3) Localizarea elipsoidului Suprafața este închisă între || plane cu ecuațiile x = a, x = -a. În mod similar, adică întreaga suprafață este închisă într-un paralelipiped dreptunghiular. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Vom explora suprafața prin metoda secțiunilor - traversarea suprafeței prin planuri de coordonate || coordona. În secțiune vom obține linii, după forma cărora vom judeca forma suprafeței. 48

Intersectăm suprafața cu planul XOY. În secțiune obținem o linie. - elipsa a și b - semiaxele Similar cu planul YOZ - elipsa cu semiaxele b și c Plan || XOY Dacă h(0, c), atunci axele elipsei scad de la a și b la 0. 49

a = b = c - sferă Paraboloide a) Un paraboloid hiperbolic este o suprafață cu o ecuație canonică: 1) Suprafață de ordinul doi 2) Deoarece x, y intră în ecuație numai în puteri pare, suprafața are plane de simetrie care coincid cu a dat alegerea coordonatelor cu 50 de avioane XOZ, YOZ.

3) examinăm suprafața prin metoda șa secțiunii pl. XOZ În secțiune transversală, o parabolă simetrică față de axa OZ, ascendentă. mp YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY pentru h > 0 hiperbolă, cu semiaxa reală de-a lungul OX, pentru h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Hiperboloid cu două foi 1) suprafață de ordinul doi 2) are 3 plane și 1 centru de simetrie 3) amplasarea suprafeței x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Suprafața este formată din două părți situate în afara benzii dintre planele cu ecuațiile x = a, x = -a 4) studiem prin metoda secțiunilor (Independent!) 57

Con de ordinul doi Un con de ordinul doi este o suprafață a cărei ecuație canonică are forma: 1) o suprafață de ordinul doi 2) are 3 plane și 1 centru de simetrie 3) studiem metoda secțiunilor pl. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ de la 0 la ∞ sq. YOZ pereche de linii , trecând prin"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

Cu diferența că în loc de grafice „plate”, vom lua în considerare cele mai comune suprafețe spațiale și, de asemenea, vom învăța cum să le construim corect manual. Am căutat instrumente software pentru construirea de desene 3D de ceva timp și am găsit câteva aplicații bune, dar în ciuda ușurinței în utilizare, aceste programe nu rezolvă bine o problemă practică importantă. Faptul este că, în viitorul istoric previzibil, studenții vor fi încă înarmați cu o riglă cu un creion și, chiar și având un desen „mașină” de înaltă calitate, mulți nu îl vor putea transfera corect pe hârtie în carouri. Prin urmare, în manualul de instruire, se acordă o atenție deosebită tehnicii de construcție manuală, iar o parte semnificativă a ilustrațiilor de pe pagină este un produs realizat manual.

Prin ce este diferit acest material de referință de analogi?

Cu o experiență practică decentă, știu foarte bine ce suprafețe sunt cel mai des tratate în probleme reale de matematică superioară și sper că acest articol vă va ajuta să vă completați rapid bagajele cu cunoștințe relevante și abilități aplicate, care sunt 90-95% cazuri. ar trebui să fie suficient.

Ce ai nevoie pentru a putea acest moment?

Cele mai elementare:

În primul rând, trebuie să fii capabil construi corect sistem de coordonate carteziene spațiale (vezi începutul articolului Grafice și proprietăți ale funcțiilor) .

Ce vei câștiga după ce citești acest articol?

Sticlă După stăpânirea materialelor lecției, veți învăța cum să determinați rapid tipul de suprafață prin funcția și/sau ecuația sa, să vă imaginați cum este situată în spațiu și, desigur, să faceți desene. Este în regulă dacă nu ți se potrivește totul în cap de la prima lectură - poți oricând să revii la orice paragraf după cum este necesar mai târziu.

Informația este în puterea fiecăruia - pentru dezvoltarea ei nu aveți nevoie de nicio super-cunoaștere, talent artistic deosebit și viziune spațială.

ÎNCEPE!

În practică, suprafața spațială este de obicei dată funcţia a două variabile sau o ecuație a formei (constanta părții drepte este cel mai adesea egală cu zero sau unu). Prima denumire este mai tipică pentru analiza matematică, a doua - pentru geometrie analitică. Ecuația, în esență, este implicit dat funcție a 2 variabile, care în cazuri tipice pot fi ușor reduse la forma . Vă reamintesc de cel mai simplu exemplu c:

–ecuația plană drăguț.

este funcția plană în explicit .

Să începem cu el:

Ecuații de plan comun

Opțiuni tipice aranjarea planurilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt luate în considerare în detaliu chiar la începutul articolului Ecuația plană. Cu toate acestea, încă o dată ne vom opri asupra ecuațiilor care sunt de mare importanță pentru practică.

În primul rând, trebuie să recunoașteți pe deplin ecuațiile planurilor care sunt paralele cu planurile de coordonate. Fragmentele de plan sunt descrise în mod standard ca dreptunghiuri, care în ultimele două cazuri arată ca paralelograme. În mod implicit, puteți alege orice dimensiune (în limite rezonabile, desigur), în timp ce este de dorit ca punctul în care axa de coordonate „perforează” planul să fie centrul de simetrie:

Strict vorbind, axele de coordonate în unele locuri ar fi trebuit reprezentate cu o linie punctată, dar pentru a evita confuzia, vom neglija această nuanță.

– (desen din stanga) inegalitatea definește semispațiul cel mai îndepărtat de noi, excluzând planul însuși;

– (desen mediu) inegalitatea definește semi-spațiul drept, inclusiv planul;

– (desen dreapta) o inegalitate dublă specifică un „strat” situat între planuri , inclusiv ambele plane.

Pentru auto-antrenament:

Exemplul 1

Desenați un corp delimitat de planuri
Alcătuiți un sistem de inegalități care definesc corpul dat.

O veche cunoștință ar trebui să iasă de sub creionul tău cuboid. Nu uitați că marginile și fețele invizibile trebuie desenate cu o linie punctată. S-a terminat de desenat la sfârșitul lecției.

Vă rog, NU NEGLIJAȚI obiective de invatare, chiar dacă par prea simple. În caz contrar, se poate dovedi că l-au ratat o dată, l-au ratat de două ori și apoi au petrecut o oră șlefuind un desen tridimensional într-un exemplu real. În plus, munca mecanică va ajuta la învățarea materialului mult mai eficient și la dezvoltarea inteligenței! Nu întâmplător în grădiniţăȘi școală primară copiii sunt încărcați cu desen, modelaj, designeri și alte sarcini abilități motorii fine degete. Iertați-mă pentru digresiune, dar cele două caiete ale mele despre psihologia dezvoltării nu ar trebui să dispară =)

Vom numi condiționat următorul grup de planuri „proporții directe” - acestea sunt plane care trec prin axele de coordonate:

2) ecuația formei definește un plan care trece prin axă;

3) ecuația formei definește un plan care trece prin axă.

Deși semnul formal este evident (care variabilă lipsește în ecuație - planul trece prin acea axă), este întotdeauna util să înțelegem esența evenimentelor care au loc:

Exemplul 2

Construiește avionul

Care este cel mai bun mod de a construi? Propun următorul algoritm:

În primul rând, rescriem ecuația sub forma , din care se vede clar că „y” poate lua orice valorile. Fixăm valoarea , adică vom lua în considerare planul de coordonate . Ecuațiile stabilite linie spațială situată în planul de coordonate dat. Să desenăm această linie pe desen. Linia trece prin origine, așa că pentru a o construi, este suficient să găsiți un punct. Lăsa . Lăsați deoparte un punct și trageți o linie.

Acum revenim la ecuația plană. Din moment ce „y” ia orice valori, apoi linia dreaptă construită în plan este „replicată” continuu la stânga și la dreapta. Așa se formează planul nostru, trecând prin axă. Pentru a finaliza desenul, în stânga și în dreapta dreptei lăsăm deoparte două linii paralele și „închidem” paralelogramul simbolic cu segmente orizontale transversale:

Deoarece condiția nu impunea restricții suplimentare, fragmentul avionului putea fi reprezentat puțin mai mic sau puțin mai mare.

Încă o dată, repetăm sensul inegalității liniare spațiale folosind exemplul. Cum se determină semi-spațiul pe care îl definește? Să luăm un punct nedeținută plan, de exemplu, un punct din semi-spațiul cel mai apropiat de noi și înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea:

Primit inegalitatea corectă, ceea ce înseamnă că inegalitatea definește semi-spațiul inferior (în raport cu planul ), în timp ce planul în sine nu este inclus în soluție.

Exemplul 3

Construiește avioane
A) ;
b) .

Acestea sunt sarcini pentru autoconstrucție, în caz de dificultate, folosiți raționament similar. Scurte instrucțiuni și desene la sfârșitul lecției.

În practică, planurile paralele cu axa sunt deosebit de comune. Un caz special, când avionul trece prin axă, a fost doar în paragraful „b”, iar acum vom analiza o problemă mai generală:

Exemplul 4

Construiește avionul

Soluţie: variabila „z” nu participă în mod explicit în ecuație, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu axa aplicată. Să folosim aceeași tehnică ca în exemplele anterioare.

Să rescriem ecuația plană sub forma din care este clar că „Z” poate lua orice valorile. Să o reparăm și în planul „nativ” să desenăm linia dreaptă obișnuită „plată”. Pentru a-l construi, este convenabil să luați puncte de referință.

Din moment ce „Z” ia Toate valori, apoi linia dreaptă construită se „multipește” continuu în sus și în jos, formând astfel planul dorit . Întocmește cu atenție un paralelogram de dimensiune rezonabilă:

Gata.

Ecuația unui plan în segmente

Cel mai important soi aplicat. Dacă Toate cote ecuația generală a planului diferit de zero, atunci poate fi reprezentat ca , Care e numit ecuație plană în segmente. Evident, planul intersectează axele de coordonate în punctele , iar marele avantaj al unei astfel de ecuații este ușurința desenului:

Exemplul 5

Construiește avionul

Soluţie: mai întâi, compunem ecuația planului în segmente. Aruncă termenul liber la dreapta și împarte ambele părți la 12:

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar și toate lucrurile se întâmplă în spațiu! Examinăm suprafața propusă prin aceeași metodă care a fost folosită recent pentru avioane. Rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” ia orice valorile. Fixăm și construim o elipsă în plan. Din moment ce „Z” ia Toate valori, atunci elipsa construită este continuu „replicată” în sus și în jos. Este ușor de înțeles că suprafața fără sfârşit:

Această suprafață se numește cilindru eliptic. Se numește o elipsă (la orice înălțime). ghid cilindru, iar liniile paralele care trec prin fiecare punct al elipsei se numesc generatoare cilindru (care îl formează literalmente). axa este axa de simetrie suprafață (dar nu o parte din ea!).

Coordonatele oricărui punct aparținând unei suprafețe date în mod necesar satisface ecuația .

Spațial inegalitatea definește „interiorul” „țevii” infinite, inclusiv suprafața cilindrică însăși și, în consecință, inegalitatea opusă definește setul de puncte din afara cilindrului.

În problemele practice, cel mai popular caz este când ghid cilindrul este cerc:

Exemplul 8

Construiți suprafața dată de ecuație

Este imposibil să descrii o „țeavă” fără sfârșit, prin urmare arta se limitează, de regulă, la „tăiere”.

În primul rând, este convenabil să construiți un cerc cu rază în plan și apoi încă câteva cercuri deasupra și dedesubt. Cercurile rezultate ( ghiduri cilindru) bine conectat prin patru linii drepte paralele ( generatoare cilindru):

Nu uitați să folosiți linii punctate pentru liniile invizibile.

Coordonatele oricărui punct aparținând unui cilindru dat satisfac ecuația . Coordonatele oricărui punct situat strict în interiorul „țevii” satisfac inegalitatea , și inegalitatea definește un set de puncte ale părții exterioare. Pentru o mai bună înțelegere, vă recomand să luați în considerare câteva puncte specifice din spațiu și să vedeți singur.

Exemplul 9

Construiți o suprafață și găsiți proiecția acesteia pe un plan

Rescriem ecuația sub forma din care rezultă că „x” ia orice valorile. Să reparăm și să desenăm în avion cerc– centrat la origine, raza unitară. Deoarece „x” ia continuu Toate valori, atunci cercul construit generează un cilindru circular cu o axă de simetrie. Desenați un alt cerc ghid cilindru) și conectați-le cu atenție cu linii drepte ( generatoare cilindru). În unele locuri, s-au dovedit suprapuneri, dar ce să faci, o astfel de pantă:

De data aceasta m-am limitat la o bucată de cilindru din gol și acest lucru nu este întâmplător. În practică, este adesea necesar să se înfățișeze doar un mic fragment al suprafeței.

Aici, apropo, s-au dovedit 6 generatrice - două linii drepte suplimentare „închid” suprafața din colțurile din stânga sus și din dreapta jos.

Acum să ne ocupăm de proiecția cilindrului pe plan. Mulți cititori înțeleg ce este o proiecție, dar, cu toate acestea, să petrecem încă cinci minute de educație fizică. Vă rugăm să vă ridicați și să înclinați capul deasupra desenului, astfel încât vârful axei să pară perpendicular pe frunte. Cum arată cilindrul din acest unghi este proiecția lui pe plan. Dar pare a fi o bandă nesfârșită, închisă între linii drepte, inclusiv liniile drepte în sine. Această proiecție este exact domeniu funcții („jgheab” superior al cilindrului), („jgheab” inferior).

Apropo, să clarificăm situația cu proiecții pe alte planuri de coordonate. Lasă razele soarelui să strălucească pe cilindru din partea vârfului și de-a lungul axei. Umbra (proiecția) unui cilindru pe un plan este o bandă infinită similară - o parte a planului delimitată de linii drepte (-oricare), inclusiv liniile drepte în sine.

Dar proiecția în avion este oarecum diferită. Dacă priviți cilindrul din vârful axei, atunci acesta este proiectat într-un cerc cu raza unitară cu care am început construcția.

Exemplul 10

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planuri de coordonate

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Dacă condiția nu este foarte clară, pătrați ambele părți și analizați rezultatul; aflați exact ce parte a cilindrului specifică funcția. Utilizați tehnica de construcție care a fost folosită în mod repetat mai sus. Rezolvare scurtă, desen și comentarii la sfârșitul lecției.

Suprafețele eliptice și alte suprafețe cilindrice pot fi compensate în raport cu axele de coordonate, de exemplu:

(pe temeiurile familiare ale unui articol despre Liniile de ordinul 2) - un cilindru de rază unitară cu o linie de simetrie care trece printr-un punct paralel cu axa. Cu toate acestea, în practică, astfel de cilindri se întâlnesc destul de rar și este absolut de necrezut să întâlniți o suprafață cilindrică „oblică” în raport cu axele de coordonate.

Cilindri parabolici

Așa cum sugerează și numele, ghid un astfel de cilindru este parabolă.

Exemplul 11

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planurile de coordonate.

Nu am putut rezista acestui exemplu =)

Soluţie: Urmăm drumul bătut. Să rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” poate lua orice valoare. Să fixăm şi să construim o parabolă obişnuită pe plan , după ce am marcat în prealabil punctele de referinţă triviale . Din moment ce „Z” ia Toate valori, atunci parabola construită este „replicată” continuu în sus și în jos până la infinit. Lăsăm deoparte aceeași parabolă, să zicem, la o înălțime (în plan) și le conectăm cu grijă cu linii paralele ( generatoare ale cilindrului):

reamintesc tehnica utila: dacă inițial nu există încredere în calitatea desenului, atunci este mai bine să desenați mai întâi liniile subțiri și subțiri cu un creion. Apoi evaluăm calitatea schiței, aflăm zonele în care suprafața este ascunsă de ochii noștri și abia apoi aplicăm presiune pe stylus.

Proiecții.

1) Proiecția unui cilindru pe un plan este o parabolă. Trebuie remarcat faptul că în acest caz este imposibil să vorbim despre domenii ale unei funcţii a două variabile- din motivul ca ecuatia cilindrului nu este reductibila la forma functionala .

2) Proiecția cilindrului pe plan este un semiplan, inclusiv axa

3) Și, în sfârșit, proiecția cilindrului pe plan este întregul plan.

Exemplul 12

Construiți cilindri parabolici:

a) , ne restrângem la un fragment de suprafață în semi-spațiul apropiat;

b) între ele

În caz de dificultăți, nu ne grăbim și argumentăm prin analogie cu exemplele anterioare, din fericire, tehnologia a fost bine elaborată. Nu este esențial dacă suprafețele se dovedesc a fi puțin stângace - este important să afișați corect imaginea fundamentală. Eu însumi nu mă deranjez în mod deosebit cu frumusețea liniilor, dacă obțin un desen tolerabil „C grade”, de obicei nu îl refac. În soluția de probă, apropo, a fost folosită încă o tehnică pentru a îmbunătăți calitatea desenului ;-)

Cilindri hiperbolici

ghiduri astfel de cilindri sunt hiperbole. Acest tip de suprafață, conform observațiilor mele, este mult mai rar decât tipurile anterioare, așa că mă voi limita la un singur desen schematic al unui cilindru hiperbolic:

Principiul raționamentului aici este exact același - cel obișnuit hiperbola școlară din plan se „înmulțește” continuu în sus și în jos până la infinit.

Cilindrii considerați aparțin așa-numitelor suprafete de ordinul 2, iar acum vom continua să facem cunoștință cu alți reprezentanți ai acestui grup:

Elipsoid. Sferă și minge

Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate dreptunghiular are forma , unde sunt numere pozitive ( arbori de osie elipsoid), care în cazul general diferit. Se numește elipsoid suprafaţă, și corp delimitată de această suprafață. Corpul, după cum mulți au ghicit, este dat de inegalitate iar coordonatele oricărui punct interior (precum și orice punct de suprafață) satisfac în mod necesar această inegalitate. Proiectarea este simetrică în raport cu axele de coordonate și planurile de coordonate:

Originea termenului „elipsoid” este, de asemenea, evidentă: dacă suprafața este „tăiată” de planuri de coordonate, atunci în secțiuni vor exista trei diferite (în cazul general)

Suprafaţă

Suprafața definită de o ecuație dintr-un sistem de coordonate dat este locul punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația dată F(x; y; z) = 0.

linie în spațiu

Dacă ecuațiile F(x; y; z) = 0 și Ф (x; y; z) = 0 definesc o suprafață, atunci linia L (x; y; z) = 0 poate fi definită ca locul punctelor comune. la ambele suprafețe (linia de intersecție a suprafețelor)

Plan ca suprafață de ordinul întâi

Există cel puțin trei definiții ale unui avion:

1) Un plan este o suprafață care complet fiecare linie care leagă oricare două dintre punctele sale.

2) Un plan este un set de puncte din spațiu echidistant de două puncte date.

Și acum despre una dintre formele ecuației planului.

În primul rând, din vremea școlii se știe; „Orice trei puncte care nu coincid și nu se află pe o singură linie dreaptă definesc un plan și doar unul.” Nu întâmplător un scaun cu trei picioare este absolut stabil (adică „nu se leagăn”), iar un scaun cu două sau mai mult de trei picioare nu este stabil („roci”). În al doilea rând, vectorul normal la plan îl orientează în spațiu (vezi Fig.31)

Lăsați planul dorit p să treacă prin punctul M 0 perpendicular pe vector, atunci

În primul rând, vectorul este rezultatul produsului încrucișat al vectorului M 0 M 2 și al vectorului M 0 M 1

În al doilea rând, vectorul este perpendicular atât pe vectorul M 0 M 2 cât și pe vectorul M 1 M 2. De unde, de unde condiţiile de ortogonalitate vectorială obţinem că produsul scalar pe vectorul M 0 M 2 (sau pe vectorul M 0 M 1) este egal cu zero. Dacă punctul M 2 are coordonate (x; y; z), atunci produsul scalar al vectorului și vectorul M 0 M 2 trebuie să fie egal cu zero. Ținând cont de faptul că vectorul M 0 M 2 este definit ca

înţelegem asta

Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe un vector dat

Exemplul 30 (obținerea ecuației plane)

Aflați ecuația planului care trece prin punctul M 0 (1; 1; 1) perpendicular pe vector

Soluţie

În cazul nostru

A=1, B=1 şi C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

prin urmare, ecuația planului are forma

Sau, în sfârșit,

Răspuns

Planul dorit este determinat de ecuație

Ecuația generală a planului

În general, orice ecuație a formei

A x + B y + C z + D = 0

definește un plan (unde A, B și C sunt coordonatele vectorului normal față de plan). Această formă a ecuației planului se numește „ecuația generală a planului”.

Ecuații plane incomplete

Fie planul dat de ecuația lui generală

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) dacă D = 0, atunci (*) definește un plan care trece prin origine;

2) dacă A \u003d 0, atunci B y + C z + D \u003d 0 și avem un plan, paralel cu axa Ox(deoarece);

3) dacă B \u003d 0, atunci A x + C z + D \u003d 0 și avem un plan, paralel cu axa Oy(deoarece);

4) dacă C = 0, atunci A x + B y + D = 0 și avem un plan, paralel cu axa Oz(deoarece);

5) A = 0; B \u003d 0, apoi C z + D \u003d 0 și avem un plan paralel cu planul Oxy;

6) A = 0; C \u003d 0, apoi B y + D \u003d 0 și avem un plan paralel cu planul Oxz;

7) B = 0; C = 0, atunci A x + D = 0 și avem un plan paralel cu planul Oyz;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, atunci C z \u003d 0 este planul Oxy;

9) A = 0, C = 0, D = 0, atunci B y = 0 este planul Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, atunci A z = 0 este planul Oyz.

Exact cum a fost înainte cu ecuația generală a unei drepte pe un plan, din ecuație generală se pot obţine şi alte forme ale ecuaţiei planului. Una dintre aceste forme este ecuația unui plan în segmente.

Din ecuația generală a planului

A x + B y + C z + D = 0

Rezultă ecuația planului în segmente