В тази статия ще намерим отговори на въпроси как да създадем проекция на точка върху равнина и как да определим координатите на тази проекция. В теоретичната част ще разчитаме на понятието проекция. Ще дадем дефиниции на термини, ще придружим информацията с илюстрации. Нека затвърдим придобитите знания чрез решаване на примери.

Проекция, видове проекция

За удобство при разглеждането на пространствените фигури се използват чертежи, изобразяващи тези фигури.

Определение 1

Проекция на фигура върху равнина- рисунка на пространствена фигура.

Очевидно има редица правила, използвани за конструиране на проекция.

Определение 2

проекция- процесът на конструиране на чертеж на пространствена фигура в равнина с помощта на правила за конструиране.

Проекционна равнинае равнината, в която се изгражда изображението.

Използването на определени правила определя вида на проекцията: централенили паралелен.

Специален случай на паралелна проекция е перпендикулярната проекция или ортогоналната проекция: в геометрията се използва главно. Поради тази причина самото прилагателно „перпендикулярен“ често се пропуска в речта: в геометрията те просто казват „проекция на фигура“ и под това означават изграждането на проекция по метода на перпендикулярната проекция. В специални случаи, разбира се, може да се уговори друго.

Отбелязваме факта, че проекцията на фигура върху равнина всъщност е проекцията на всички точки на тази фигура. Следователно, за да можете да изучавате пространствена фигура в чертеж, е необходимо да придобиете основното умение за проектиране на точка върху равнина. За какво ще говорим по-долу.

Спомнете си, че най-често в геометрията, говорейки за проекция върху равнина, те означават използването на перпендикулярна проекция.

Ще направим конструкции, които ще ни позволят да получим дефиницията на проекцията на точка върху равнина.

Да предположим, че е дадено триизмерно пространство и в него - равнина α и точка M 1, която не принадлежи на равнината α. Начертайте права линия през дадена точка М 1 Аперпендикулярна на дадената равнина α. Пресечната точка на правата a и равнината α ще бъде означена като H 1 , по конструкция тя ще служи като основа на перпендикуляра, пуснат от точката M 1 към равнината α .

Ако е дадена точка M 2, принадлежаща на дадена равнина α, то M 2 ще служи като проекция на себе си върху равнината α.

Определение 3

е или самата точка (ако принадлежи на дадена равнина), или основата на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към дадена равнина.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина, примери

Нека в триизмерното пространство са дадени: правоъгълна координатна система O x y z, равнина α, точка M 1 (x 1, y 1, z 1) . Необходимо е да се намерят координатите на проекцията на точка M 1 върху дадена равнина.

Решението очевидно следва от горната дефиниция на проекцията на точка върху равнина.

Означаваме проекцията на точката M 1 върху равнината α като H 1 . Според дефиницията H 1 е пресечната точка на дадената равнина α и правата a през точката M 1 (перпендикулярна на равнината). Тези. координатите на проекцията на точката M 1, от която се нуждаем, са координатите на пресечната точка на правата a и равнината α.

По този начин, за да намерите координатите на проекцията на точка върху равнина, е необходимо:

Получете уравнението на равнината α (в случай, че не е зададено). Тук ще ви помогне статия за видовете уравнения на равнината;

Определете уравнението на правата a, минаваща през точка M 1 и перпендикулярна на равнината α (изучете темата за уравнението на правата линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина);

Намерете координатите на пресечната точка на правата a и равнината α (статия - намиране на координатите на пресечната точка на равнината и правата). Получените данни ще бъдат координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината α, от която се нуждаем.

Нека разгледаме теорията на практически примери.

Пример 1

Определете координатите на проекцията на точката M 1 (- 2, 4, 4) върху равнината 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Решение

Както виждаме, уравнението на равнината ни е дадено, т.е. няма нужда да го композирате.

Нека напишем каноничните уравнения на правата a, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на дадената равнина. За тези цели определяме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадената равнина, то насочващият вектор на правата a е такъв нормален векторравнина 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0. По този начин, a → = (2 , - 3 , 1) е насочващият вектор на правата a .

Сега съставяме каноничните уравнения на права линия в пространството, минаваща през точката M 1 (- 2, 4, 4) и имаща насочващ вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

За да намерите желаните координати, следващата стъпка е да определите координатите на пресечната точка на правата x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . За целта се движим от канонични уравнениякъм уравненията на две пресичащи се равнини:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 (y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Нека съставим система от уравнения:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И го решете с помощта на метода на Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Така желаните координати на дадена точка M 1 на дадена равнина α ще бъдат: (0, 1, 5) .

Отговор: (0 , 1 , 5) .

Пример 2

Точките А (0 , 0 , 2) са дадени в правоъгълна координатна система O x y z на тримерното пространство; В (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) и M 1 (-1, -2, 5). Необходимо е да се намерят координатите на проекцията M 1 върху равнината A B C

Решение

Първо, пишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Нека напишем параметричните уравнения на правата линия a, която ще премине през точката M 1 перпендикулярно на равнината A B C. Равнината x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 има нормален вектор с координати (1, - 2, 2), т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – насочващ вектор на правата a .

Сега, като имаме координатите на точката на линията M 1 и координатите на насочващия вектор на тази линия, записваме параметричните уравнения на линията в пространството:

След това определяме координатите на пресечната точка на равнината x - 2 y + 2 z - 4 = 0 и правата

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

За да направите това, заместваме в уравнението на равнината:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Сега, като използваме параметричните уравнения x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, намираме стойностите на променливите x, y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Така проекцията на точка M 1 върху равнината A B C ще има координати (- 2, 0, 3) .

Отговор: (- 2 , 0 , 3) .

Нека се спрем отделно на въпроса за намиране на координатите на проекцията на точка върху координатните равнини и равнините, които са успоредни на координатните равнини.

Нека са дадени точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и координатни равнини O x y , O x z и O y z. Координатите на проекцията на тази точка върху тези равнини ще бъдат съответно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Разгледайте и равнините, успоредни на дадените координатни равнини:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциите на дадената точка M 1 върху тези равнини ще бъдат точки с координати x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - DB B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .

Нека демонстрираме как е получен този резултат.

Като пример, нека дефинираме проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината A x + D = 0. Останалите случаи са подобни.

Дадената равнина е успоредна на координатната равнина O y z и i → = (1 , 0 , 0) е нейният нормален вектор. Същият вектор служи като насочващ вектор на правата, перпендикулярна на равнината O y z . Тогава параметричните уравнения на права линия, прекарана през точката M 1 и перпендикулярна на дадена равнина, ще изглеждат така:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Намерете координатите на пресечната точка на тази права и дадената равнина. Първо заместваме в уравнението A x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 и получаваме: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

След това изчисляваме желаните координати, като използваме параметричните уравнения на правата линия за λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Тоест проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината ще бъде точка с координати - D A , y 1 , z 1 .

Пример 2

Необходимо е да се определят координатите на проекцията на точката M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху координатната равнина O x y и върху равнината 2 y - 3 = 0 .

Решение

Координатната равнина O x y ще съответства на непълна общо уравнениеравнина z = 0 . Проекцията на точката M 1 върху равнината z \u003d 0 ще има координати (- 6, 0, 0) .

Уравнението на равнината 2 y - 3 = 0 може да бъде записано като y = 3 2 2 . Сега просто напишете координатите на проекцията на точката M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху равнината y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Отговор:(- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тази статия е отговорът на два въпроса: „Какво е“ и „Как да намеря координати на проекцията на точка върху равнина"? Първо се дава необходимата информация за проекцията и нейните видове. След това е дадена дефиницията на проекцията на точка върху равнина и е дадена графична илюстрация. След това беше получен метод за намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина. В заключение се анализират решения на примери, в които се изчисляват координатите на проекцията на дадена точка върху дадена равнина.

Навигация в страницата.

Проекция, видове проекция - необходима информация.

Когато изучавате пространствени фигури, е удобно да използвате техните изображения в чертежа. Рисунката на пространствена фигура е т.нар проекциятази фигура към самолета. Процесът на изграждане на изображение на пространствена фигура в равнина протича по определени правила. Така че процесът на конструиране на изображение на пространствена фигура в равнина, заедно с набор от правила, по които се извършва този процес, се нарича проекцияфигури на тази равнина. Равнината, в която е изградено изображението, се нарича проекционна равнина.

В зависимост от правилата, по които се извършва проекцията, има централенИ паралелна проекция. Няма да навлизаме в подробности, тъй като това е извън обхвата на тази статия.

В геометрията се използва главно специален случай на паралелна проекция - перпендикулярна проекция, което се нарича още ортогонален. В името на този тип проекция често се пропуска прилагателното "перпендикулярна". Тоест, когато в геометрията говорят за проекция на фигура върху равнина, те обикновено имат предвид, че тази проекция е получена с помощта на перпендикулярна проекция (освен ако, разбира се, не е посочено друго).

Трябва да се отбележи, че проекцията на фигура върху равнина е набор от проекции на всички точки на тази фигура върху проекционната равнина. С други думи, за да се получи проекцията на определена фигура, е необходимо да можете да намерите проекциите на точките на тази фигура върху равнина. Следващият параграф на статията просто показва как да намерите проекцията на точка върху равнина.

Проекция на точка върху равнина - определение и илюстрация.

Още веднъж подчертаваме, че ще говорим за перпендикулярна проекция на точка върху равнина.

Нека направим конструкции, които ще ни помогнат да определим проекцията на точка върху равнина.

Нека в тримерното пространство ни е дадена точка M 1 и равнина. Нека начертаем права a през точката M 1, перпендикулярна на равнината. Ако точката M1 не лежи в равнината, тогава пресечната точка на правата a и равнината означаваме H1. Така, по конструкция, точката H 1 е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M 1 към равнината.

Определение.

Проекция на точка M 1 върху равнинае самата точка M 1, ако , или точката H 1, ако .

Това определениепроекцията на точка върху равнина е еквивалентна на следната дефиниция.

Определение.

Проекция на точка върху равнина- това е или самата точка, ако лежи в дадена равнина, или основата на перпендикуляра, спуснат от тази точка към дадена равнина.

На чертежа по-долу точката H 1 е проекцията на точката M 1 върху равнината; точка M 2 лежи в равнината, следователно M 2 е проекцията на самата точка M 2 върху равнината.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина - решаване на примери.

Нека Oxyz бъде въведено в триизмерно пространство, точка и самолет. Нека си поставим задачата: да определим координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината.

Решението на задачата следва логично от дефиницията на проекцията на точка върху равнина.

Означим проекцията на точката M 1 върху равнината като H 1 . По дефиниция, проекцията на точка върху равнина, H 1 е пресечната точка на дадена равнина и права линия a, минаваща през точката M 1, перпендикулярна на равнината. По този начин желаните координати на проекцията на точка M 1 върху равнината са координатите на пресечната точка на правата a и равнината.

следователно за намиране на проекционните координати на точка в самолета имате нужда от:

Нека разгледаме примери.

Пример.

Намерете координатите на проекцията на точка до самолета .

Решение.

В условието на задачата ни е дадено общо уравнение на равнината на формата , така че не е необходимо да се компилира.

Нека напишем каноничните уравнения на правата a, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадената равнина. За да направим това, получаваме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадената равнина, векторът на посоката на правата a е нормалният вектор на равнината . Това е, - насочващ вектор на права a . Сега можем да напишем каноничните уравнения на права линия в пространството, която минава през точката и има вектор на посоката :
.

За да се получат необходимите координати на проекцията на точка върху равнина, остава да се определят координатите на пресечната точка на линията и самолет . За да направим това, от каноничните уравнения на правата линия преминаваме към уравненията на две пресичащи се равнини, съставяме система от уравнения и намери решението му. Ние използваме:

И така, проекцията на точката до самолета има координати.

Отговор:

Пример.

В правоъгълна координатна система Oxyz в тримерно пространство, точки и . Определете координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината ABC.

Решение.

Нека първо напишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

Но нека разгледаме алтернативен подход.

Нека да получим параметричните уравнения на правата a , която минава през точката и перпендикулярна на равнината ABC. Нормалният вектор на равнината има координати, следователно векторът е насочващият вектор на правата a . Сега можем да напишем параметричните уравнения на права линия в пространството, тъй като знаем координатите на точка на права линия ( ) и координатите на неговия насочващ вектор ( ):

Остава да се определят координатите на пресечната точка на линията и самолети. За да направите това, заместваме в уравнението на равнината:
.

Сега чрез параметрични уравнения изчисляване на стойностите на променливите x, y и z при:
.

Така проекцията на точка M 1 върху равнината ABC има координати.

Отговор:

В заключение, нека обсъдим намирането на координатите на проекцията на някаква точка върху координатните равнини и равнините, успоредни на координатните равнини.

точкови проекции към координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz са точките с координати и съответно. И проекциите на точката в самолета и , които са успоредни съответно на координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz, са точки с координати И .

Нека покажем как са получени тези резултати.

Например, нека намерим проекцията на точка в самолета (други случаи са подобни на този).

Тази равнина е успоредна на координатната равнина Oyz и е нейният нормален вектор. Векторът е векторът на посоката на правата, перпендикулярна на равнината Oyz. Тогава параметричните уравнения на правата, минаваща през точката M 1 перпендикулярно на дадената равнина, имат вида .

Намерете координатите на пресечната точка на правата и равнината. За да направите това, първо заместваме в уравнението на равенството: , и проекцията на точката

Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.

Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Цели:

• Изучаване на правилата за конструиране на проекции на точки върху повърхността на обект и четене на чертежи.
• Развийте пространствено мислене, способността да анализирате геометричната форма на обект.
• Да се ​​култивира трудолюбие, способност за сътрудничество при работа в групи, интерес към предмета.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I ЕТАП. МОТИВАЦИЯ НА УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ.

II ЕТАП. ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И УСЛОВИЯ.

ЗДРАВОСПАСИТЕЛНА ПАУЗА. ОТРАЖЕНИЕ (НАСТРОЕНИЕ)

ЕТАП III. ИНДИВИДУАЛНА РАБОТА.

I ЕТАП. МОТИВАЦИЯ НА УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ

1) Учител:Провери своя работно мястоВсичко ли е на мястото си? Всички готови ли са за път?

ВДИШАТЕ ДЪЛБОКО, ЗАДЪРЖЕТЕ ДЪХА ПРИ ИЗПУСКАНЕ, ИЗДИШАЙТЕ.

Определете настроението си в началото на урока според схемата (такава схема е на масата за всички)

ЖЕЛАЯ ВИ КЪСМЕТ.

2)Учител: Практическа работапо тази тема"Проекции на върхове, ръбове, лица” показа, че има хора, които правят грешки при проектирането. Те се объркват коя от двете съвпадащи точки на чертежа е видимият връх и коя е невидимият; когато ръбът е успореден на равнината и когато е перпендикулярен. Същото нещо и с ръбовете.

За да избегнете повтаряне на грешки, изпълнете необходимите задачи с помощта на консултантската карта и коригирайте грешките в практическата работа (на ръка). И докато работите, помнете:

“ВСЕКИ МОЖЕ ДА ПРАВИ ГРЕШКИ, ДА СИ ОСТАНЕ НА ГРЕШКАТА СИ – САМО ЛУДИТЕ”.

А тези, които са усвоили добре темата, ще работят в групи с творчески задачи (вж. Приложение 1 ).

II ЕТАП. ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И УСЛОВИЯ

1)Учител:В производството има много части, които са прикрепени една към друга по определен начин.
Например:
Капакът на работния плот е прикрепен към вертикалните стълбове. Обърнете внимание на масата, на която се намирате, как и с какво са закрепени един за друг капака и стелажите?

Отговор:Болт.

Учител:Какво е необходимо за един болт?

Отговор:Дупка.

Учител:Наистина ли. И за да направите дупка, трябва да знаете нейното местоположение върху продукта. Когато прави маса, дърводелецът не може да контактува всеки път с клиента. И така, каква е необходимостта от осигуряване на дърводелец?

Отговор:рисуване.

Учител:Рисуване!? Какво наричаме рисунка?

Отговор:Чертежът е изображение на обект чрез правоъгълни проекции в проекционна връзка. Според чертежа можете да представите геометричната форма и дизайна на продукта.

Учител:Имаме завършени правоъгълни проекции, а след това? Ще можем ли да определим местоположението на дупките от една проекция? Какво още трябва да знаем? Какво да науча?

Отговор:Изграждане на точки. Намерете проекции на тези точки във всички изгледи.

Учител:Много добре! Това е целта на нашия урок и темата: Построяване на проекции на точки върху повърхността на обект.Запишете темата на урока в тетрадката си.
Вие и аз знаем, че всяка точка или сегмент от изображението на обект е проекция на връх, ръб, лице, т.е. всеки изглед е изображение не от едната страна (гл. изглед, изглед отгоре, изглед отляво), а целият обект.
За да намерите правилно проекциите на отделни точки, лежащи върху лицата, първо трябва да намерите проекциите на това лице и след това да използвате линиите на свързване, за да намерите проекциите на точките.

(Разглеждаме чертежа на дъската, работим в тетрадка, където у дома са направени 3 проекции на една и съща част).

- Отворих тетрадка със завършен чертеж (Обяснение на конструкцията на точки върху повърхността на обект с водещи въпроси на дъската, а учениците го фиксират в тетрадка.)

Учител:Помислете за точка IN. На коя равнина е успоредна лицето с тази точка?

Отговор:Лицето е успоредно на фронталната равнина.

Учител:Задаваме проекцията на точка б' във фронтална проекция. Начертайте надолу от точката б' вертикална линия на комуникация с хоризонталната проекция. Къде ще бъде хоризонталната проекция на точката? IN?

Отговор:В пресечната точка с хоризонталната проекция на лицето, което беше проектирано в ръба. И е в долната част на проекцията (изглед).

Учител:Точкова профилна проекция б'' къде ще се намира? Как ще го намерим?

Отговор:При пресичането на хоризонталната комуникационна линия от б' с вертикален ръб отдясно. Този ръб е проекцията на лицето с точка IN.

ЖЕЛАЕЩИТЕ ДА КОНСТРЮИРАТ СЛЕДВАЩАТА ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКАТА СЕ ВИКАТ НА ДЪСКАТА.

Учител:Точкови проекции Асъщо се намират с помощта на комуникационни линии. Коя равнина е успоредна на ръба с точка А?

Отговор:Лицето е успоредно на профилната равнина. Поставяме точка върху проекцията на профила А'' .

Учител:На каква проекция е проектирано лицето в ръба?

Отговор:Отпред и хоризонтално. Нека начертаем хоризонтална свързваща линия до пресечната точка с вертикален ръб отляво на предната проекция, получаваме точка а' .

Учител:Как да намерим проекцията на точка Ана хоризонтална проекция? В крайна сметка, комуникационни линии от проекцията на точки а' И А'' не пресичайте проекцията на лицето (ръба) върху хоризонталната проекция вляво. Какво може да ни помогне?

Отговор:Можете да използвате постоянна права линия (тя определя позицията на изгледа вляво) от А'' начертайте вертикална линия на комуникация, докато се пресече с постоянна права линия. От пресечната точка се начертава хоризонтална комуникационна линия, докато се пресече с вертикален ръб отляво. (Това е лицето с точка А) и обозначава проекцията с точка А .

2) Учител:Всеки има карта със задача на масата, към която е прикрепен паус. Разгледайте чертежа, сега се опитайте сами, без да преначертавате проекциите, да намерите дадените проекции на точки на чертежа.

– Намерете в учебника с. 76 фиг. 93. Тествайте себе си. Който се представи правилно - оценка "5"; една грешка - ''4''; две - ''3''.

(Оценките се поставят от самите ученици в листа за самоконтрол).

- Събирайте карти за тестване.

3)Групова работа:Ограничено време: 4мин. + 2 мин. чекове. (Две бюра с ученици се комбинират и в групата се избира лидер).

За всяка група задачите са разпределени в 3 нива. Учениците избират задачи по нива, (по желание). Решете задачи за изграждане на точки. Обсъдете конструкцията под наблюдението на лидера. След това правилният отговор се показва на дъската с помощта на кодоскоп. Всеки проверява дали точките са проектирани правилно. С помощта на ръководителя на групата се дават оценки на задачите и листовете за самоконтрол (вж. Приложение 2 И Приложение 3 ).

ЗДРАВОСПАСИТЕЛНА ПАУЗА. ОТРАЖЕНИЕ

"Позата на фараона"- седнете на ръба на стола, изправете гърба си, огънете ръцете си в лактите, кръстосайте краката си и ги поставете на пръсти. Вдишайте, стегнете всички мускули на тялото, докато задържате дъха, издишайте. Направете 2-3 пъти. Затворете очите си силно, към звездите, отворете. Маркирайте настроението си.

ЕТАП III. ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ. (Индивидуални задачи)

Има карти със задачи за избор с различни нива. Учениците сами избират своя вариант. Намерете проекции на точки върху повърхността на обект. Работите се предават и оценяват за следващия урок. (См. Приложение 4 , Приложение 5 , Приложение 6 ).

ЕТАП IV. ФИНАЛ

1) Домашна работа. (Инструкция).Изпълнява се по нива:

B - разбиране, на "3". Упражнение 1 фиг. 94а стр. 77 - според заданието в учебника: допълнете липсващите проекции на точки върху тези проекции.

B - приложение, на "4". Упражнение 1 Фиг. 94 a, b. попълнете липсващите проекции и маркирайте върховете на визуалното изображение в 94a и 94b.

А - анализ, на "5". (Повишена трудност.)Пр. 4 фиг.97 - конструирайте липсващи проекции на точки и ги обозначете с букви. Няма визуален образ.

2)Рефлексивен анализ.

1. Определете настроението в края на урока, маркирайте го на листа за самоконтрол с произволен знак.
2. Какво ново научихте в урока днес?
3. Каква форма на работа е най-ефективна за вас: групова, индивидуална и бихте ли искали да се повтори в следващия урок?
4. Съберете контролни списъци.

3)"Грешен учител"

Учител:Научихте как да изграждате проекции на върхове, ръбове, лица и точки върху повърхността на обект, като спазвате всички правила за конструиране. Но тук ви беше даден чертеж, където има грешки. Сега се опитайте като учител. Намерете грешките сами, ако намерите всичките 8–6 грешки, тогава резултатът е съответно „5“; 5–4 грешки - "4", 3 грешки - "3".

Отговори:

Позицията на точка в пространството може да бъде определена чрез нейните две ортогонални проекции, например хоризонтална и фронтална, фронтална и профилна. Комбинацията от всякакви две ортогонални проекции ви позволява да разберете стойността на всички координати на точка, да изградите трета проекция, да определите октанта, в който се намира. Нека разгледаме някои типични задачи от курса по дескриптивна геометрия.

Съгласно дадения комплексен чертеж на точки А и Б е необходимо:

Нека първо определим координатите на точка А, които могат да бъдат записани във формата A (x, y, z). Хоризонталната проекция на точка A е точка A ", имаща координати x, y. Начертайте от точка A" перпендикуляри към осите x, y и намерете съответно A x, A y. Координатата x за точка A е равна на дължината на сегмента A x O със знак плюс, тъй като A x лежи в областта положителни стойностиос x. Като вземем предвид мащаба на чертежа, намираме x \u003d 10. Координатата y е равна на дължината на сегмента A y O със знак минус, тъй като т. A y лежи в областта на отрицателните стойности на оста y. Предвид мащаба на чертежа, y = -30. Фронталната проекция на точка А - точка А"" има координати x и z. Нека спуснем перпендикуляра от A"" към оста z и да намерим A z. Z-координатата на точка A е равна на дължината на сегмента A z O със знак минус, тъй като A z лежи в областта на отрицателните стойности на оста z. Предвид мащаба на чертежа, z = -10. Така координатите на точка А са (10, -30, -10).

Координатите на точка B могат да бъдат записани като B (x, y, z). Помислете за хоризонталната проекция на точка B - точка B. "Тъй като лежи на оста x, тогава B x \u003d B" и координатата B y \u003d 0. Абсцисата x на точка B е равна на дължината на сегмента B x O със знак плюс. Като се има предвид мащабът на чертежа, x = 30. Фронталната проекция на точка B - точка B˝ има координати x, z. Начертайте перпендикуляр от B"" към оста z, като по този начин намерите B z. Приложението z на точка B е равно на дължината на сегмента B z O със знак минус, тъй като B z лежи в областта на отрицателните стойности на оста z. Като вземем предвид мащаба на чертежа, определяме стойността z = -20. Така че B координатите са (30, 0, -20). Всички необходими конструкции са показани на фигурата по-долу.

Построяване на проекции на точки

Точките A и B в равнината P 3 имат следните координати: A""" (y, z); B""" (y, z). В този случай A"" и A""" лежат на един и същ перпендикуляр на оста z, тъй като имат обща z-координата. По същия начин B"" и B""" лежат на общ перпендикуляр на оста z. За да намерим профилната проекция на t.A, оставяме настрана по оста y стойността на съответната координата, намерена по-рано. На фигурата това се прави с помощта на дъга от окръжност с радиус A y O. След това начертаваме перпендикуляр от A y до пресечната точка с перпендикуляра, възстановен от точка A "" към оста z. Пресечната точка на тези два перпендикуляра определя позицията на A""".

Точка B""" лежи на оста z, тъй като y-ординатата на тази точка е равна на нула. За да се намери профилната проекция на точка B в тази задача, е необходимо само да се начертае перпендикуляр от B"" към оста z. Пресечната точка на този перпендикуляр с оста z е B""".

Определяне на положението на точките в пространството

Визуално си представяйки пространственото оформление, съставено от проекционните равнини P 1, P 2 и P 3, местоположението на октантите, както и реда на трансформиране на оформлението в диаграми, можете директно да определите, че t.A се намира в III октант, а t.B лежи в равнината P 2.

Друг вариант за решаване на този проблем е методът на изключенията. Например координатите на точка А са (10, -30, -10). Положителната абциса x позволява да се прецени, че точката се намира в първите четири октанта. Отрицателна y-ордината показва, че точката е във втория или третия октант. И накрая, отрицателното приложение на z показва, че точка А е в третия октант. Даденото разсъждение е ясно илюстрирано от следващата таблица.

Октанти	Координатни знаци
	х	г	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координати на точка B (30, 0, -20). Тъй като ординатата на t.B е равна на нула, тази точка се намира в проекционната равнина П 2 . Положителната абциса и отрицателната апликация на точка В показват, че тя се намира на границата на третия и четвъртия октант.

Изграждане на визуално изображение на точки в системата от равнини P 1, P 2, P 3

Използвайки фронталната изометрична проекция, изградихме пространствено оформление на трети октант. Това е правоъгълен тристен, чиито лица са равнините P 1, P 2, P 3, а ъгълът (-y0x) е 45 º. В тази система сегментите по осите x, y, z ще бъдат начертани в пълен размер без изкривяване.

Нека започнем да конструираме визуално изображение на точка A (10, -30, -10) с нейната хоризонтална проекция A ". След като оставим настрана съответните координати по абсцисата и ординатите, намираме точките A x и A y. Пресечната точка на перпендикулярите, възстановени от A x и A y, съответно към осите x и y, определя позицията на точка A". Поставяйки от A" успоредна на оста z към нейните отрицателни стойности сегмента AA", чиято дължина е равна на 10, намираме позицията на точка A.

Визуалното изображение на точка B (30, 0, -20) се изгражда по подобен начин - в равнината P 2 трябва да се нанесат съответните координати по осите x и z. Пресечната точка на перпендикулярите, реконструирани от B x и B z, ще определи позицията на точка B.

За да се конструират изображения на редица детайли, е необходимо да можете да намерите проекциите на отделни точки. Например, трудно е да се начертае изглед отгоре на частта, показана на фиг. 139 без изграждане на хоризонтални проекции на точки A, B, C, D, E, F и др.

Задачата за намиране на проекциите на точки по дадена върху повърхността на обекта се решава по следния начин. Първо се намират проекциите на повърхността, върху която се намира точката. След това чрез изчертаване на свързваща линия към проекцията, където повърхността е представена с линия, се намира втората проекция на точката. Третата проекция се намира на пресечната точка на комуникационните линии.

Помислете за пример.

Дадени са три проекции на частта (фиг. 140, а). Дадена е хоризонталната проекция a на точка A, лежаща върху видимата повърхност. Трябва да намерим другите проекции на тази точка.

На първо място, трябва да начертаете спомагателна линия. Ако са дадени два изгледа, тогава мястото на спомагателната линия в чертежа се избира произволно, вдясно от горния изглед, така че изгледът отляво да е на необходимото разстояние от основния изглед (фиг. 141).

Ако вече са изградени три изгледа (фиг. 142, а), тогава мястото на спомагателната линия не може да бъде избрано произволно; трябва да намерите точката, през която ще премине. За да направите това, просто продължете взаимно пресичанехоризонтални и профилни проекции на оста на симетрия и през получената точка k (фиг. 142, b) начертайте прав сегмент под ъгъл 45 °, който ще бъде спомагателна права линия.

Ако няма оси на симетрия, продължете до пресичането в точка k 1 хоризонтални и профилни проекции на всяко лице, проектирано под формата на прави сегменти (фиг. 142, b).

След като начертаят спомагателна права линия, те започват да изграждат проекциите на точката (виж фиг. 140, b).

Фронталната а" и профилната а" проекции на точка А трябва да бъдат разположени върху съответните проекции на повърхността, към която принадлежи точка А. Тези проекции се намират. На фиг. 140, b те са подчертани в цвят. Начертайте комуникационни линии, както е показано със стрелките. В пресечните точки на комуникационните линии с проекциите на повърхността се намират желаните проекции а" и а".

Конструкцията на проекции на точки B, C, D е показана на фиг. 140, в комуникационни линии със стрелки. Дадените проекции на точки са оцветени. Комуникационните линии се изчертават към проекцията, върху която повърхността е изобразена като линия, а не като фигура. Следователно първо се намира фронталната проекция от точка С. Профилната проекция от точка С се определя от пресичането на комуникационните линии.

Ако повърхността не е изобразена с линия на никоя проекция, тогава трябва да се използва спомагателна равнина за конструиране на проекциите на точки. Например, дадена е фронтална проекция d на точка А, лежаща върху повърхността на конус (фиг. 143, а). През точка, успоредна на основата, се изчертава спомагателна равнина, която ще пресича конуса в кръг; неговата фронтална проекция е сегмент от права линия, а хоризонталната му проекция е кръг с диаметър, равен на дължината на този сегмент (фиг. 143, b). Чрез начертаване на комуникационна линия към тази окръжност от точка а се получава хоризонтална проекция на точка А.

Профилната проекция а" на точка А се намира по обичайния начин в пресечната точка на комуникационните линии.

По същия начин могат да се намерят проекциите на точка, лежаща например върху повърхността на пирамида или топка. Когато една пирамида се пресече от равнина, успоредна на основата и минаваща през дадена точка, се образува фигура, подобна на основата. Проекциите на дадената точка лежат върху проекциите на тази фигура.

Отговори на въпросите

1. Под какъв ъгъл е начертана спомагателната линия?

2. Къде е начертана спомагателната линия, ако са дадени изглед отпред и отгоре, но трябва да изградите изглед отляво?

3. Как да определим мястото на спомагателната линия при наличие на три вида?

4. Какъв е методът за конструиране на проекции на точка според дадена, ако една от повърхностите на обекта е представена с линия?

5. За какви геометрични тела и в какви случаи проекциите на дадена точка върху повърхността им се намират с помощта на спомагателна равнина?

Задачи към § 20

Упражнение 68

Пиши на работна книга, кои проекции на точките, обозначени с цифри в изгледите, съответстват на точките, обозначени с букви във визуалното изображение в примера, посочен ви от учителя (фиг. 144, a-d).

Упражнение 69

На фиг. 145, а-б буквиобозначен само с една проекция на някои от върховете. Намерете в примера, даден ви от учителя, останалите проекции на тези върхове и ги обозначете с букви. Конструирайте в един от примерите липсващите проекции на точки, дадени на ръбовете на обекта (фиг. 145, d и e). Маркирайте с цвят проекциите на ръбовете, върху които са разположени точките.Решете задачата върху прозрачна хартия, като я наслагвате върху страницата на учебника.Не е необходимо да преначертавате Фиг.145.

Упражнение 70

Намерете липсващите проекции на точки, дадени от една проекция върху видимите повърхности на обекта (фиг. 146). Обозначете ги с букви. Маркирайте дадените проекции на точки с цвят. Визуалното изображение ще ви помогне да разрешите проблема. Задачата може да се изпълнява както в учебна тетрадка, така и на прозрачна хартия, като се наслагва върху страницата на учебника. В последния случай преначертайте Фиг. 146 не е необходимо.

Упражнение 71

В дадения ви от учителя пример нарисувайте три типа (фиг. 147). Построете липсващите проекции на дадените точки върху видимите повърхности на обекта. Маркирайте дадените проекции на точки с цвят. Обозначете всички точкови проекции. За да изградите проекции на точки, използвайте спомагателна права линия. Направете технически чертеж и отбележете дадените точки върху него.