Ако линиите са успоредни, тогава техните проекции със същото име са успоредни.

Ако правите линии се пресичат, тогава техните проекции със същото име пресичат сеедна с друга в точки, които са проекции на пресечната точка на тези линии.

Пресичане на прави линии не се пресичатИ не успореднопомежду си, въпреки че техните проекции могат да се пресичат или да са успоредни.

Пресечните точки на тези проекции не лежат на една и съща комуникационна линия. една точка 1 vсъпоставете две точки 1 нИ 1" н. Тези точки лежат на един и същи перпендикуляр на равнината V(Фиг.2.9а, б, в).

Ориз. 2.9. Взаимно разположение на сегментите върху графиката:

А) паралелен б) пресичащи се; в) пресичане

2.3.1. Конкурентни точки

Точките, лежащи на същия перпендикуляр на равнината на проекцията, се наричат състезаващ сеспрямо тази равнина (фиг. 2.10а, б).

Конкуриращите се точки определят видимостта на геометричните изображения на диаграмата. Видима на дадена проекция винаги ще бъде една от конкуриращите се точки, която лежи по-нататъкдалеч от тази проекционна равнина, следователно по-близо до зрителя. точки АИ INса фронтално конкурентни. В равнината на предната проекция ще се види точка А, защото по-далеч е от самолета Vи по-близо до наблюдателя. точки АИ СЪСса хоризонтално конкурентни. Точка ще бъде видима и върху хоризонталната проекционна равнина А, защото извън самолета е зпо-далеч от точката СЪС.

Ориз. 2.10. Конкурентни точки: а) в диметрия; б) на диаграмата

2.4. Проекции на равнинен ъгъл

Две пресичащи се прави образуват плосък ъгъл.

Ако ъгълът е разположен в равнина, успоредна на равнината на проекциите, тогава той се проектира върху нея в пълен размер.

По принцип плосък ъгъл, чиито страни не са успоредни на проекционната равнина, се проектира върху тази равнина с изкривяване.

2.4.1. Теорема за проекция на прав ъгъл

За да може прав ъгъл да се проектира правоъгълно във формата прав ъгъл, е необходимо и достатъчно поне едната му страна да е успоредна на проекционната равнина, а второто е не е перпендикулярна на тази равнина(Фиг.2.11а, б).

Ориз. 2.11. Проекции на прав ъгъл върху парцела:

А) върху равнината на предната проекция; б) върху хоризонталната проекционна равнина

Доказателство: Нека имаме прав ъгъл в пространството ВИЕ.Проектирайте го върху самолет зортогонално. Да приемем, че страната ABдадения ъгъл е успореден на равнината з. Тогава имаме:  ВИЕ= 90˚; AB || з; АА н з. Нека докажем, че  IN н А н СЪС н= 90º (фиг.2.12).  А н AB= 90°, защото фигура АА н BB н- правоъгълник. Следователно, права линия ABперпендикулярна на проектиращата равнина Qкато перпендикуляр на две прави от тази равнина ( ABAC; ABАА н). Ето защо ABQ, Но А н IN н || ABот тук и А н IN н Q, което означава, че  IN н А н СЪС н= 90º.

Фигура 2.12 Проекция под прав ъгъл

Задача: Определете разстоянието от точката Аотпред (фиг.2.13).

Решение. Правият ъгъл между желания перпендикуляр и предната част слънцепроектирани в пълен размер върху равнина V. Естествен размер на перпендикуляра АКможе да се намери с помощта на метода на правоъгълния триъгълник.

Ориз. 2.13. Определяне на разстоянието от точка А до предната част BC

ВРЪЗКА НА ПРАВАТА.

Ъгълът между две прави, условията за успоредност и перпендикулярност на две прави, пресечната точка на правите, разстоянието от дадена точка до дадена права.

Под ъгъл между прави линии в равнина се разбира по-малкият (остър) от два съседни ъгъла, образувани от тези прави линии.

Ако линиите l 1 и l 2 са дадени с уравнения с фактори на наклона y \u003d k 1 x + b 1 и y \u003d k 2 x + b 2, тогава ъгълът φ между тях се изчислява по формулата

Условието за успоредност на правите l 1 и l 2 има формата

и условието за тяхната перпендикулярност

k 1 = - (или k 1 k 2 = - 1)

Ако линиите l 1 и l 2 са дадени от общите уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0,

тогава стойността φ на ъгъла между тях се изчислява по формулата

tg φ=

техните ъглови паралелности

(или A 1 B 2 -A 2 B 1 \u003d 0)

Условието за тяхната перпендикулярност

A 1 A 2 + B 1 B 2 \u003d 0

За да се намерят общи точки на прави l 1 и l 2, е необходимо да се реши системата

уравнения

A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, y \u003d k 1 x + b 1

или

A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, y \u003d k 2 x + b 2

при което:

Ако
, тогава има една точка на пресичане на линиите;

Ако
- правите l 1 и l 2 нямат обща точка, т.е. успоредни;

Ако
-правите имат безкраен брой точки, т.е. съвпадат

Разстоянието d от точката M 0 (x 0; y 0) до правата линия Ax + Vy + C \u003d 0 е дължината на перпендикуляра, спуснат от тази точка до правата линия.

Разстоянието d се определя по формулата

d=

Разстояние от точка M 0 (x 0; y 0) до правата x cos + y грях - p=0 се изчислява по формулата

d=

ПРИМЕР: намерете ъгъла между линиите:

1) y=2x-3 и y=
;

2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;

3) y=
и 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 и y=5x-2;

=arctg
);

Задачи за практически упражнения:

1. Намерете ъгъла между линиите:

1) y=0,5x-3 и y=2x-2;

2) 2x-3y-7=0 и 2x-y+5=0;

3) y=x+6 и 3x-2y-8=0;

4) y= 7x -1 и y=7x+1;

1) 3x+5y-9=0 и 10x-6y+4=0

2) 2x+5y-2=0 и x+y+4=0;

3) 2y=x-1 и 4y-2x+2=0;

4) x+8=0 и 2x-3=0;

5)
=1 и y=x+2;

6) x+y=0 и x-y=0

7) y+3=0 и 2x+y-1=0;

8) y=3-6x и 12x+2y-5=0;

9) 2x+3y=8 и x-y-3=0

10) x-y-1=0 и x+y+2=0

3. На какви стойности следните двойки прави са: а) успоредни; б) са перпендикулярни.

1) 2x-3y+4=0 и x-6y+7=0;

2) x-4y+1=0 и -2x+y+2=0;

3) 4x+y-6=0 и 3x+ у-2=0;

4) x- y+5=0 и 2x+3y+3=0;

4. През точката на пресичане на линиите 3x-2y + 5 \u003d 0; x+2y-9=0 е начертана права линия, успоредна на правата линия 2x+y+6=0. Напишете неговото уравнение.

5. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A (-1; 2):

а) успоредна на правата линия y \u003d 2x-7;

б) перпендикулярна на правата x+3y-2=0.

6. Намерете дължината на височината на VD в триъгълник с върхове A (4; -3); B (-2; 6) и C (5; 4).

7. Дадени са уравненията на страните на триъгълника: x+3y-3=0, 3x-11y-29=0 и 3x-y+11=0.

Намерете върховете на този триъгълник.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Намерете остър ъгъл между линиите:

1) y \u003d 3x и y \u003d - x

2) 2x-3y+6=0 и 3x-y-3=0

4) 3x+4y-12=0 и 15x-8y-45=0

2. Разгледайте относителната позиция на следните двойки линии:

1) 2x-3y+4=0 и 10x+3y-6=0

2) 3x-4y+12=0 и 4x+3y-6=0

3) 25x+20y-8=0 и 5x+4y+4=0

4) 4x+5y-8=0 и 3x-2y+4=0

5) y=3x+4 и y=-3x+2

3. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка B (2;-3)

а) успоредна на правата линия, свързваща точките M 1 (-4; 0) и M 2 (2; 2);

б) перпендикулярна на правата x-y=0.

4. Напишете уравнение на права линия, съдържаща височината на VD в триъгълник с върхове

A (-3; 2), B (5; -2), C (0; 4)

5. Намерете площта на триъгълника, образуван от правите 2x+y+4=0, x+7y-11=0 и 3x-5y-7=0.

6. През пресечната точка на линиите 3x + 2y-4 \u003d 0 и x-5y + 8 \u003d 0 се изчертават линии, едната от които минава през началото на координатите, а другата е успоредна на Ox ос. Напишете техните уравнения.

7. Даден е четириъгълник ABCD с върхове A (3; 5); В (6;6); C (5; 3); D (1; 1). Намирам:

а) координати на пресечната точка на диагоналите;

б) ъгълът между диагоналите .

8. Дадени са върховете на триъгълника A (2; -2), B (3; 5), C (6; 1). Намирам:

1) дължините на страните AC и BC;

2) уравнения на прави, на които лежат страните BC и AC;

3) уравнението на правата линия, върху която лежи височината, изтеглена от B;

4) дължината на тази височина;

5) уравнението на права линия, върху която лежи медианата, изтеглена от точка А;

6) дължината на тази медиана;

7) уравнението на права линия, върху която лежи ъглополовящата на ъгъл С;

8) центърът на тежестта на триъгълника;

9) площ на триъгълник;

10) ъгъл С;

Отговори на задачи за самостоятелно решаване:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1) Паралелен;

2) Перпендикулярен; 3) Паралелен; 4) пресичат се; 5) пресичат се;

3. а) x-3y-11=0; б) x + y + 1 = 0; 4. 3x+2y-11=0; 5. 13; 6. 7x-y=0 и 17y-28=0; 7. а)(4;4);

б); 8. 1) -5;5 2) 4x+3y-27=0,3x-4y-14=0; 3) 4x+3y-27=0; 4) 5; 5) 2x-y-6=0; 6) ; 7) x+7y-13=0; 8) (;); 9); 10)

Ако начертаем успоредни прави AB и C през дадено дравнини, перпендикулярни на хоризонталната равнина на проекциите, тогава тези две равнини ще бъдат успоредни и при пресичането им с равнината H ще се получат две взаимно успоредни прави А"б" И ° С"д", които са ортогонални проекции на данните на прави линии AB и CDвърху хоризонталната равнина на проекциите (фиг. 25).

По подобен начин могат да се получат ортогонални проекции на дадени прави върху фронталната равнина V.

В комплексния чертеж проекциите на едноименните успоредни прави са успоредни: А"б"° С"д" И А""б""° С""д"" (фиг. 25).

пресичащи се линии

Взаимно пресичащите се линии имат обща точка, например отсечки ABИ CDпресичат се в точка ДА СЕ. Проекциите на пресичащите се прави се пресичат и техните пресечни точки ( К" И К"") лежат на една и съща комуникационна линия - перпендикулярна на оста х(фиг. 26).

Кръстосани линии

Това са прави, които не са успоредни и не се пресичат. На сложния чертеж проекциите на пресичащи се линии (прави линии ABИ CD) могат да се пресичат, но пресечните точки ( 1 ,2 И 3 ,4 ) лежат на различни комуникационни линии (фиг. 27). Пресечните точки на едноименните проекции на коси линии съответстват в пространството на две точки: в един случай - 1 И 2 , а в другия 3 И 4 разположени на прави линии. На чертежа пресечната точка на хоризонталните проекции на линиите съответства на две фронтални проекции на точки 1 "" И 2 "". Аналогично - с точки 3 И 4 .

Прави линии и организация на пространството

Прави линии - прости, но много
изразителен елемент:
линия разделя равнината на
отделно
части;
-линията помага за обединяването
състав
в едно цяло;
линия, повече от
правоъгълник
влияе на ритъма
композиции.

Фронтални и дълбоки композиции от линии
и правоъгълници

дори с най-простите средства
може да постигне емоционално
изображения

Редът не е „отслабнал
правоъгълник", и независим
приложена линия на изобразителен елемент
изразителност на цялата композиция. IN
работи там, където линията е точно през (от край до край
лист), тя изглежда издържа
изобразително действие извън обхвата и
прави композицията отворена, отворена
и по-интересно.
тънък, дълъг и
изрязват се прави линии
по владетел

работещ
по-горе
техен
композиции,
търсете разлики в размера на плановете,
защото създава изобразителен
полифония, интонационно богатство и,
съответно по-голяма изразителност
композиции.

ЗАДАЧИ
Прави линии - елемент на равнинна организация
композиции.
1. Разположение и взаимно пресичане на 3-4 прави линии
различни дебелини постигат хармонична артикулация
интервали (използвайте линии през).
2. Създайте композиция с 2-3 правоъгълника и 3-4 прави линии
линии, които по своята подредба свързват елементи в
единно композиционно цяло. Създайте: а) челен
състав; б) дълбока композиция.
3. От произволен брой елементи направете интересен
състав.
Ритмично подреждане на елементите върху равнината, постигане
емоционално-фигуративно впечатление (например „полет“, стесняване, „забавяне“ и др.).
Задачите могат да се изпълняват на компютър.

За две прави линии в пространството са възможни четири случая:

Правите линии съвпадат;

Правите са успоредни (но не еднакви);

Линиите се пресичат;

Правите се пресичат, т.е. нямат общи точки и не са успоредни.

Помислете за два начина за описание на линии: канонични уравнения и общи уравнения. Нека линиите L 1 и L 2 са дадени от каноничните уравнения:

L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6,9)

За всяка права линия от нейните канонични уравнения ние веднага определяме точка върху нея M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ∈ L 2 и координатите на насочващите вектори s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) за L 1 , s 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) за L 2 .

Ако линиите съвпадат или са успоредни, тогава техните насочващи вектори s 1 и s 2 са колинеарни, което е еквивалентно на равенството на съотношенията на координатите на тези вектори:

l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (6.10)

Ако линиите съвпадат, тогава векторите на посоката също са колинеарни с вектора M 1 M 2 :

(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

Това двойно равенство също означава, че точката M 2 принадлежи на правата L 1 . Следователно условието за съвпадение на правите е едновременното изпълнение на равенствата (6.10) и (6.11).

Ако линиите се пресичат или пресичат, тогава техните насочващи вектори са неколинеарни, т.е. условие (6.10) е нарушено. Пресичащите се прави лежат в една и съща равнина и следователно вектори s1, s2 и M1M2 са компланарендетерминанта от трети редсъставен от техните координати (вижте 3.2):

Условието (6.12) е изпълнено в три случая от четири, тъй като при Δ ≠ 0 правите не принадлежат на една и съща равнина и следователно се пресичат.

Нека обединим всички условия:

Взаимното разположение на линиите се характеризира с броя на решенията за системата (6.13). Ако линиите съвпадат, тогава системата има безкрайно много решения. Ако линиите се пресичат, тогава тази система има уникално решение. Няма директни решения в случай на успоредни или пресичащи се директни решения. Последните два случая могат да бъдат разделени чрез намиране на векторите на посоката на линиите. За да направите това, достатъчно е да изчислите две вектор работи n 1 × n 2 и n 3 × n 4, където n i = (A i ; B i ; C i ), i = 1, 2, 3.4. Ако получените вектори са колинеарни, тогава дадените прави са успоредни. Иначе се кръстосват.

Пример 6.4.

Насочващият вектор s 1 на правата L 1 се намира от канонични уравнениятози ред: s 1 = (1; 3; -2). Векторът на посоката s 2 на правата линия L 2 се изчислява с помощта на векторен продукт нормални векториравнини, пресечната точка на които е:

Тъй като s 1 \u003d -s 2, тогава линиите са успоредни или съвпадат. Нека разберем коя от тези ситуации се реализира за дадени линии. За да направим това, заместваме координатите на точката M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общи уравнениядиректен L 2 . За първия от тях получаваме 1 = 0. Следователно точката M 0 не принадлежи на правата L 2 и разглежданите прави са успоредни.

Ъгъл между линиите. Ъгълът между две прави може да се намери с помощта на вектори на посокатадиректен. Острият ъгъл между линиите е равен на ъгъла между техните насочващи вектори (фиг. 6.5) или е допълнителен към него, ако ъгълът между насочващите вектори е тъп. По този начин, ако за линиите L 1 и L 2 техните насочващи вектори s x и s 2 са известни, тогава острият ъгъл φ между тези линии се определя чрез скаларния продукт:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, нека s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Използване на формули (2.9) и (2.14) за изчисляване дължина на вектораи скаларното произведение в координати, получаваме