Казахме, че е дефинирана алгебрична крива от втори ред алгебрично уравнениевтора степен спрямо хИ при. IN общ изгледтакова уравнение се записва като

А х 2 + Б ху+ C при 2+D х+ Е г+ F = 0, (6)

където A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (т.е. числата A, B, C не изчезват едновременно). Условия А х 2 , V ху, СЪС при 2 се наричат ​​старши членове на уравнението, числото

Наречен дискриминантатова уравнение. Уравнение (6) се нарича общо уравнениекрива от втори ред.

За разгледаните по-рано криви имаме:

елипса: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

кръг х 2 + при 2 = А 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - А 2, d = 1>0;

Хипербола: Þ A = , B = 0, C = - , D = E = 0, F = -1,

d = - .< 0.

парабола: при 2 = 2pxÞ A \u003d B \u003d 0, C = 1, D \u003d -2 Р, E = F = 0, d = 0,

х 2 = 2RUÞ A \u003d 1B \u003d C \u003d D = 0, E = -2 Р, F = 0, d = 0.

Кривите, дадени от уравнение (6), се наричат централенкриви, ако d¹0. Ако d> 0, тогава кривата елипсовиднатип ако d<0, то кривая хиперболиченТип. Криви, за които d = 0 са криви параболиченТип.

Доказано е, че линията от втори ред в всякаквиДекартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от втори ред. Само в една система уравнението има сложна форма (например (6)), а в другата е по-просто, например (5). Следователно е удобно да се разглежда такава координатна система, в която изследваната крива е написана от най-простото (например канонично) уравнение. Преходът от една координатна система, в която кривата е дадена от уравнение от вида (6), към друга, където нейното уравнение има по-прост вид, се нарича координатна трансформация.

Помислете за основните видове координатни трансформации.

аз Трансферна трансформациякоординатни оси (със запазване на посоката). Нека точката M в първоначалната координатна система XOU има координати ( х, прих¢, при¢). От чертежа се вижда, че координатите на точка M в различни системи са свързани с отношения

(7), или (8).

Формули (7) и (8) се наричат ​​формули за координатна трансформация.

II. Завъртане на трансформациятакоординатни оси по ъгъл a. Ако в първоначалната координатна система XOU точката M има координати ( х, при), а в новата координатна система XO¢Y има координати ( х¢, при¢). Тогава връзката между тези координати се изразява с формулите

, (9)

или

Използвайки трансформацията на координатите, уравнение (6) може да се сведе до едно от следните канониченуравнения.

1) - елипса,

2) - хипербола,

3) при 2 = 2px, х 2 = 2RU- парабола

4) А 2 х 2 – b 2 г 2 \u003d 0 - двойка пресичащи се линии (фиг. а)

5) г 2 – а 2 \u003d 0 - двойка успоредни линии (фиг. b)

6) х 2 –а 2 \u003d 0 - двойка успоредни линии (фиг. c)

7) г 2 = 0 - съвпадащи линии (ос OX)

8) x 2 = 0 - съвпадащи линии (OS ос)

9) а 2 х 2 + b 2 г 2 = 0 - точка (0, 0)

10) въображаема елипса

11) y 2 + а 2 = 0– двойка въображаеми линии

12) x 2 + а 2 = 0 чифт въображаеми линии.

Всяко от тези уравнения е линейно уравнение от втори ред. Правите, определени от уравнения 4 - 12, се наричат изроденикриви от втори ред.

Нека разгледаме примери за преобразуване на общото уравнение на крива в канонична форма.

1) 9х 2 + 4при 2 – 54х + 8при+ 49 = 0 Þ (9 х 2 – 54х) + (4при 2 + 8при) + 49 = 0 z

9(х 2 – 6х+ 9) + 4(при 2 + 2при+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( х –3) 2 + 4(при+ 1) = 36, z

.

Да сложим х¢ = х – 3, при¢ = при+ 1, получаваме канонично уравнениеелипса . Равенство х¢ = х – 3, при¢ = при+ 1 определя транслационната трансформация на координатната система към точката (3, –1). След като изградите старата и новата координатна система, е лесно да начертаете тази елипса.

2) 3при 2 +4х– 12при+8 = 0. Нека трансформираме:

(3при 2 – 12при)+ 4 х+8 = 0

3(при 2 – 4при+4) – 12 + 4 х +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(х –1) = 0

(при – 2) 2 = – (х – 1) .

Да сложим х¢ = х – 1, при¢ = при– 2, получаваме уравнението на параболата при¢2 = - х¢. Избраната замяна съответства на пренасяне на координатната система в точка О¢(1,2).

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много прави, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, БИ СЪСВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Чрез + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A \u003d 3 и B \u003d -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C

заместваме в получения израз координатите на дадената точка А. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желано уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оА b- координатата на пресечната точка на линията с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделяне на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата,

А φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

Ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, паднал от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките МИ М 1:

(1)

Координати х 1И 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Ако PDCS се въведе в равнината, тогава всяко уравнение от първа степен по отношение на текущите координати и

, (5)

Където И едновременно не е равно на нула, определя права линия.

Обратното твърдение също е вярно: в PDSC всяка права линия може да бъде дадена чрез уравнение от първа степен от вида (5).

Извиква се уравнение от вида (5). общото уравнение на права линия .

Частни случаи на уравнение (5) са дадени в следващата таблица.

	Стойността на коефициентите	Уравнение на права линия	Позиция на линията
			Линията минава през началото
			Права линия, успоредна на оста
			Права линия, успоредна на оста
			Правата линия съвпада с оста
			Правата линия съвпада с оста

Уравнение на права с наклон и начална ордината.

При glom наклон право към оста
наречен най-малък ъгъл
, на която трябва да завъртите абсцисната ос обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с тази права линия (фиг. 6). Посоката на всяка права линия се характеризира с нейната фактор на наклона , която се определя като тангенс на наклона
тази права линия, т.е.

.

Единственото изключение е права линия, перпендикулярна на оста
, който няма наклон.

Уравнението на права линия с наклон и пресичане на оста
в точка, чиято ордината е (начална ордината) , се записва като

.

Уравнение на права линия в отсечки

Уравнение на права линия в отсечки се нарича уравнение от вида

, (6)

Където И
съответно дължините на сегментите, отсечени от права линия по координатните оси, взети с определени знаци.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. пакет от прави линии

Уравнение на права, минаваща през дадена точка
и с наклон се записва във формата

. (7)

Куп прави линии е набор от прави в равнина, минаващи през една и съща точка
център на лъча. Ако координатите на центъра на лъча са известни, тогава уравнение (8) може да се разглежда като уравнение на лъча, тъй като всяка права линия на лъча може да бъде получена от уравнение (8) със съответната стойност на наклона (изключение прави права линия, която е успоредна на оста
нейното уравнение
).

Ако са известни общите уравнения на две прави, принадлежащи на молива
и (генератори на пакета), тогава уравнението на всяка права линия от този пакет може да бъде написано във формата

Уравнение на права, минаваща през две точки

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки
И
, има формата

.

Ако точките
И
дефинирайте права, успоредна на оста

или брадви

, тогава уравнението на такава права линия е написано съответно във формата

или
.

Взаимно разположение на две прави линии. Ъгъл между линиите. Паралелно състояние. Перпендикулярно състояние

Взаимно разположение на две прави, дадени с общи уравнения

И ,

представени в следващата таблица.

Под ъгъл между две прави разбира се един от съседните ъгли, образувани при тяхното пресичане. Остър ъгъл между прави линии
м
, се определя по формулата

.

Имайте предвид, че ако поне една от тези линии е успоредна на оста
, тогава формула (11) няма смисъл, така че ще използваме общите уравнения на правите

И .

формула (11) приема формата

.

Паралелно условие:

или
.

Перпендикулярно състояние:

или
.

Нормално уравнение на права линия. Разстоянието на точка от права. Симетрални уравнения

Нормално уравнение на права линия има формата

Където
дължината на перпендикуляра (нормална), паднал от началото до правата линия,
ъгълът на наклона на този перпендикуляр към оста
. Да се ​​даде общото уравнение на права линия
нормална форма и двете части на равенството (12) трябва да се умножат по нормализиращ фактор
, взети с обратен знак на свободния член .

Разстояние точки
от прав намерете по формули

. (9)

Уравнение на ъглополовящи на ъгли между прави линии
И :

.

Задача 16.Дейна направо
. Напишете уравнение за права, минаваща през точка
успоредна на тази права.

Решение.По условието за успоредни прави
. За да решим задачата, ще използваме уравнението на права линия, минаваща през дадена точка
в тази посока (8):

.

Намерете наклона на тази права линия. За да направите това, от общото уравнение на правата (5) преминаваме към уравнението с коефициента на наклона (6) (изразяваме през ):

следователно
.

Проблем 17. Намерете точка
, симетричен на точката
, относително прав
.

Решение.Да се ​​намери точка, симетрична на точка относително прав (фиг.7) е необходимо:

1) по-ниско от точката директно перпендикулярен,

2) намерете основата на този перпендикуляр
точка ,

3) върху продължението на перпендикуляра, заделете сегмент
.

И така, нека напишем уравнението на права линия, минаваща през точка перпендикулярна на тази линия. За да направим това, използваме уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока (8):

.

Заменете координатите на точката
:

. (11)

Намираме ъгловия коефициент от условието за перпендикулярност на линиите:

.

Наклон на дадена линия

,

следователно наклонът на перпендикулярната линия

.

Заместете го в уравнение (11):

След това нека намерим точка
пресечната точка на дадена права и нейната перпендикулярна права. Тъй като точката принадлежи на двете прави, тогава координатите му удовлетворяват техните уравнения. Това означава, че за да се намерят координатите на пресечната точка, е необходимо да се реши система от уравнения, съставена от уравненията на тези линии:

Системно решение
,
, т.е.
.

Точка е средата на сегмента
, след това от формули (4):

,
,

намерете координатите на точка
:

Така желаната точка
.

Проблем 18.Съставете уравнение на права, която минава през точка
и отрязва триъгълник с площ, равна на 150 квадратни единици от координатния ъгъл. (фиг.8).

Решение. За да решим проблема, ще използваме уравнението на права линия „в сегменти“ (7):

. (12)

Тъй като точката
лежи на желаната линия, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравнението на тази линия:

.

Площта на триъгълник, отрязан от права линия от координатния ъгъл, се изчислява по формулата:

(модулът е написан, защото И може да е отрицателна).

Така получихме система за намиране на параметрите И :

Тази система е еквивалентна на две системи:

Решение на първата система
,
И
,
.

Решение на втората система
,
И
,
.

Заместваме намерените стойности в уравнение (12):

,
,
,
.

Записваме общите уравнения на тези редове:

,
,
,
.

Проблем 19. Изчислете разстоянието между успоредни прави
И
.

Решение.Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на произволна точка от едната права до втората права.

Да изберем по права линия точка
произволно, следователно можете да зададете една координата, т.е
, Тогава
.

Сега нека намерим разстоянието на точката направо по формула (10):

.

Така разстоянието между дадените успоредни прави е равно.

Задача 20.Намерете уравнението на правата, минаваща през пресечната точка на правите
И
(не намиране на пресечната точка) и

Решение. 1) Нека напишем уравнението на молив от прави с известни генератори (9):

Тогава желаната права линия има уравнението

Необходимо е да се намерят такива стойности
И , за които линията на лъча минава през точката
, т.е. неговите координати трябва да отговарят на уравнение (13):

Намерен заместител
в уравнение (13) и след опростяване получаваме желаната права линия:

.

.

Нека използваме условието за успоредни прави:
. Нека намерим коефициентите на наклона на линиите И . Ние имаме това
,
.

следователно

Заместете намерената стойност
в уравнение (13) и опростяване, получаваме уравнението на желаната линия
.

Задачи за самостоятелно решаване.

Задача 21.Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките
И
: 1) с наклон; 2) общ; 3) "на сегменти".

Задача 22.Напишете уравнение за права, която минава през точка и форми с оста
ъгъл
, ако 1)
,
; 2)
,
.

Задача 23.Напишете уравненията за страните на ромб с диагонали 10 cm и 6 cm, като вземете по-големия диагонал за ос
, и по-малката
на ос
.

Задача 24.Равностранен триъгълник
със страна, равна на 2 единици, се намира, както е показано на Фигура 9. съставете уравненията на неговите страни.

Задача 25. Чрез точката
начертайте права линия, която отрязва равни сегменти върху положителните полуоси на координатите.

Задача 26. Намерете площта на триъгълник, който пресича права линия от координатния ъгъл:

1)
; 2)
.

Задача 27.Напишете уравнението на права, минаваща през точка и отрязване на триъгълник от координатния ъгъл с площ, равна на , Ако

1)
,
кв. единици; 2)
,
кв. единици

Задача 28.Дадени са върховете на триъгълник
. Намерете уравнението на средната линия, успоредна на страната
, Ако

Общото уравнение на крива от втори ред в равнина е:

брадва 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ей + Е = 0, (39)

Където А 2 + б 2 + ° С 2 0, (А, б, ° С, д, д, Е) Р. Той определя всички възможни конични сечения, произволно разположени на равнината.

От коефициентите на уравнение (39) съставяме две детерминанти:

Наречен дискриминант на уравнението(39) и - дискриминант на водещите членове на уравнението.При 0 уравнение (39) определя: > 0 - елипса;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

От общото уравнение (39) може да се премине към каноничното уравнение, ако линейните и напречните членове се елиминират чрез преминаване към нова системакоординати, съвпадащи с осите на симетрия на фигурата. Нека заменим в (39) хНа х + аИ гНа г + b, Където а, bнякои константи. Нека запишем получените коефициенти за хИ ги ги приравнете на 0

(аа + bb + д)х = 0, (Cb + Ба + д)г = 0. (41)

В резултат на това уравнение (39) ще приеме формата:

А(х) 2 + 2б(х)(г) + ° С(г) 2 + Е = 0, (42)

където коефициентите А, б, ° Сне са се променили, но Е= / . Решението на системата от уравнения (41) ще определи координатите на центъра на симетрия на фигурата:

Ако б= 0, тогава а = -д/А, b = -д/° Си е удобно да се елиминират линейните членове в (39) чрез метода на редукция до пълен квадрат:

брадва 2 + 2Dx = А(х 2 + 2xD/А + (д/А) 2 - (д/А) 2) = А(х + д/А) 2 - д 2 /А.

В уравнение (42) нека завъртим координатите под ъгъл a (38). Записваме получения коефициент в кръстосания член хги го приравнете на 0

xy = 0. (44)

Условието (44) определя необходимия ъгъл на завъртане на координатните оси, докато те съвпаднат с осите на симетрия на фигурата и приема формата:

Уравнение (42) приема формата:

А+X2+ ° С + Y 2 + Е = 0 (46)

от което е лесно да се премине към каноничното уравнение на кривата:

Коефициенти А + , ° С+ , при условие (45), могат да бъдат представени като корени на спомагателно квадратно уравнение:

T 2 - (А + ° С)T + = 0. (48)

В резултат на това се определя позицията и посоката на осите на симетрия на фигурата, нейните полуоси:

и може да се конструира геометрично.

В случай = 0 имаме парабола. Ако неговата ос на симетрия е успоредна на ос о, тогава уравнението става:

ако не, тогава във формата:

където изразите в скоби, приравнени на 0, определят линиите на новите координатни оси: , .

Решаване на типични проблеми

Пример 15Дайте уравнение 2 х 2 + 3г 2 - 4х + 6г- 7 = 0 към каноничната форма и построяване на крива.

Решение. б= 0, = -72 0, = 6 > 0 елипса.

Нека извършим редукция до пълен квадрат:

2(х - 1) 2 + 3(г + 1) 2 - 12 = 0.

Координати на центъра на симетрия (1; -1), линейна трансформация х = х - 1, Y = г+ 1 привежда уравнението в канонична форма.

Пример 16Дайте уравнение 2 xy = а 2 към каноничната форма и построяване на крива.

Решение. б = 1, = а 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Центърът на координатната система се намира в центъра на симетрия на кривата, тъй като в уравнението няма линейни членове. Нека завъртим осите под ъгъл a. По формула (45) имаме tg2a = б/(А - ° С) = , т.е. а = 45°. Коефициенти на каноничното уравнение (46) А + , ° С+ се определят от уравнение (48): T 2 = 1 или T 1,2 = 1 А + = 1, ° С+ = -1, т.е.
х 2 - Y 2 = а 2 или . И така, уравнение 2 ху = А 2 описва хипербола с център на симетрия в (0; 0). Осите на симетрия са разположени по ъглополовящите на координатните ъгли, асимптотите са координатните оси, полуосите на хиперболата са А.y - 9 =0;

9х 2 + г 2 - 18х + 2y + 1 = 0;

2х 2 + 4х + г - 2 = 0;

3х 2 - 6х - г + 2 = 0;

-х 2 + 4г 2 - 8х - 9г + 16 = 0;

4х 2 + 8х - г - 5 = 0;

9х 2 - г 2 + 18х + 2г - 1 = 0;

9х 2 - 4г 2 + 36х + 16г - 16 = 0.

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за построяване на общото уравнение на права линия, ако са известни две точки от тази права линия или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права линия. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси. Помислете за уравнение от първа степен или линейно уравнение:

Axe+By+C=0,

(1)

Където А, Б, Вса някои константи и поне един от елементите АИ бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение в равнината определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система върху равнина всяка права линия може да бъде дадена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система в равнината определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че линията Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение и за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л. Избираме координатна система, така че оста волподравнени с линията Л, и оста Ойбеше перпендикулярно на него. След това уравнението на правата Лще приеме следната форма:

y=0.

(2)

Всички точки на права Лще отговарят на линейното уравнение (2) и всички точки извън тази права линия няма да удовлетворяват уравнението (2). Първата част на теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите АИ бразличен от нула. Намерете геометричното място на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите АИ бе различно от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например, когато А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото геометрично място от точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

брадва 0 +от 0 +° С=0.

(3)

Нека извадим идентичността (3) от (1):

А(х−х 0)+б(г−г 0)=0.

(4)

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) дефинира някаква права.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенството (4) следва, че векторът с компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) е ортогонален на вектора нс координати ( А, Б}.

Помислете за някаква линия Лпреминаващ през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярна на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х,y) принадлежи на линията Л. След това векторът с координати x−x 0 , y−y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни е равно на нула). Обратно, ако точката М(х,y) не лежи на права Л, след това вектора с координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонален на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) определят една и съща линия, нормалните вектори н 1 ={А 1 ,б 1) и н 2 ={А 2 ,б 2) са колинеарни. Тъй като векторите н 1 ≠0, н 2 ≠ 0, тогава има число λ , Какво н 2 =н 1 λ . Следователно имаме: А 2 =А 1 λ , б 2 =б 1 λ . Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ . Очевидно е, че съвпадащите прави имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножавайки уравнение (5) по λ и като извадим уравнение (6) от него, получаваме:

Тъй като първите две равенства от изразите (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2=0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ . Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) дефинира уравнението на права линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата и точката, принадлежаща на тази права, са известни, тогава общото уравнение на правата може да бъде конструирано с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права минава през точка М=(4,−1) и има нормален вектор н=(3, 5). Съставете общото уравнение на права линия.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, б=5. За да изградим общото уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Вектор, успореден на линия Ли следователно е перпендикулярна на нормалния вектор на правата Л. Нека построим нормален вектор Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни е равно на нула. Можем да напишем, например, н={1,−3}.

За да съставим общото уравнение на права линия, използваме формула (4). Нека заместим в (4) координатите на точката М 1 (можем също да вземем координатите на точката М 2) и нормалния вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата линия дадено от уравнението(9) минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на права линия. вектор р={−б, А) е насочващият вектор на правата (12).

Вижте обратна трансформация.

Пример 3. Права линия в равнина се представя със следното общо уравнение:

Преместете втория член надясно и разделете двете страни на уравнението на 2 5.