В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: кръстосано произведение на векториИ смесено произведение на вектори (незабавна връзка за тези, които имат нужда). Нищо, понякога се случва, че за пълно щастие, освен точково произведение на вектори, необходимо е още и още. Такава е векторната зависимост. Човек може да остане с впечатлението, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това е грешно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва за огрев, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-труден от същия скаларно произведение, дори типични задачище бъде по-малко. Основното нещо в аналитичната геометрия, както мнозина ще видят или вече са видели, е ДА НЕ СЕ ГРЕШАТ ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно, опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа

Какво ще ви направи щастливи? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори с три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма нужда да жонглираме, тъй като ще обмислим само космически вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече по-лесно!

В тази операция, по същия начин, както при скаларното произведение, два вектора. Нека бъдат нетленни букви.

Самото действие означенопо следния начин: . Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам кръстосаното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.

И то веднага въпрос: ако в точково произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Ясна разлика, на първо място, в РЕЗУЛТАТА:

Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:

Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Затворен клуб. Всъщност оттам идва и името на операцията. В различна образователна литература обозначенията също могат да варират, ще използвам буквата.

Дефиниция на кръстосано произведение

Първо ще има определение със снимка, след това коментари.

Определение: кръстосано произведение неколинеарнивектори, взети в този ред, се нарича ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на успоредника, изграден върху тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така, че основата да има правилна ориентация:

Анализираме определението по кости, има много интересни неща!

Така че можем да подчертаем следните важни точки:

1) Изходни вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не е колинеарен. Ще бъде подходящо да разгледаме случая на колинеарни вектори малко по-късно.

2) Взети вектори в строг ред: – "a" се умножава по "be", а не "бъде" към "а". Резултат от векторно умножениее ВЕКТОР , който е означен в синьо. Ако векторите се умножат по обратен ред, тогава получаваме вектор с еднаква дължина и противоположна посока (червен цвят). Тоест равенството .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и, следователно, пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩТА на успоредника, изграден върху векторите. На фигурата този успоредник е оцветен в черно.

Забележка : чертежът е схематичен и, разбира се, номиналната дължина на напречния продукт не е равна на площта на паралелограма.

Спомняме си една от геометричните формули: площта на паралелограма е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на гореизложеното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторно произведение е валидна:

Подчертавам, че във формулата говорим за ДЪЛЖИНАТА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е такъв, че в проблемите на аналитичната геометрия площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Получаваме втората важна формула. Диагоналът на успоредника (червена пунктирана линия) го разделя на два равни триъгълника. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери по формулата:

4) Не по-малко от важен факте, че векторът е ортогонален на векторите, т.е. . Разбира се, противоположно насоченият вектор (червена стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторът е насочен така, че базаТо има точноориентация. В урок за преход към нова основаГоворил съм подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем каква е ориентацията на пространството. Ще ти обясня на пръсти дясна ръка . Мислено комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстнатиснете в дланта си. Като резултат палец - векторният продукт ще изглежда нагоре. Това е дясно ориентираната основа (тя е на фигурата). Сега разменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места в резултат на това палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може би имате въпрос: каква основа има лява ориентация? "Присвояване" на същите пръсти лява ръкавектори и вземете лявата основа и лявата пространствена ориентация (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „извиват” или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо пресилено или абстрактно - например най-обикновеното огледало променя ориентацията на пространството и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава като цяло няма да е възможно да го комбинирате с „оригинала“. Между другото, донесете три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)

... колко е хубаво, че вече знаете за това дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои преподаватели за промяната на ориентацията са ужасни =)

Векторно произведение на колинеарни вектори

Дефиницията е разработена в детайли, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такива, както казват математиците, изродениуспоредник е нула. Същото следва и от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, ако , тогава И . Моля, обърнете внимание, че самото кръстосано произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че също е равно на нула.

Специален случай е векторното произведение на вектор и себе си:

Използвайки кръстосаното произведение, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.

За решаване на практически примери може да е необходимо тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.

Е, нека запалим огън:

Пример 1

а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако

б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако

Решение: Не, това не е правописна грешка, умишлено направих първоначалните данни в елементите на условието същите. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!

а) Според условието се изисква да се намери дължинавектор (векторен продукт). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Тъй като беше зададен въпрос за дължината, тогава в отговора посочваме измерението - единици.

б) Според условието се изисква да се намери квадратуспоредник, построен върху вектори. Площта на този успоредник е числено равна на дължината на напречния продукт:

Отговор:

Моля, имайте предвид, че в отговора за векторното произведение изобщо не се говори, за което бяхме попитани площ на фигурата, съответно размерът е квадратни единици.

Винаги гледаме КАКВО се изисква да се намери от условието и въз основа на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но сред преподавателите има достатъчно буквалисти и задачата с добри шансове ще бъде върната за преработка. Въпреки че това не е особено напрегната заядка - ако отговорът е грешен, тогава се създава впечатлението, че човекът не разбира прости неща и / или не е разбрал същността на задачата. Този момент винаги трябва да се държи под контрол, решавайки всяка задача по висша математика, а и по други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип можеше да се залепи допълнително към разтвора, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначението на едно и също нещо.

Популярен пример за решение „направи си сам“:

Пример 2

Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Формулата за намиране на площта на триъгълник чрез векторния продукт е дадена в коментарите към дефиницията. Решение и отговор в края на урока.

На практика задачата наистина е много често срещана, триъгълниците като цяло могат да бъдат измъчвани.

За да решим други проблеми, имаме нужда от:

Свойства на кръстосаното произведение на вектори

Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:

1) В други източници на информация този елемент обикновено не се отличава в свойствата, но е много важен от практическа гледна точка. Така че нека бъде.

2) - имотът също е обсъден по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.

3) - комбинация или асоциативензакони за векторни продукти. Константите лесно се изваждат извън границите на векторното произведение. Наистина, какво правят те там?

4) - разпределение или разпространениезакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скоби.

Като демонстрация разгледайте кратък пример:

Пример 3

Намерете дали

Решение:По условие отново се изисква да се намери дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра:

(1) Съгласно асоциативните закони изваждаме константите извън границите на векторното произведение.

(2) Изваждаме константата от модула, докато модулът „изяжда“ знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Това, което следва, е ясно.

Отговор:

Време е да хвърлим дърва в огъня:

Пример 4

Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Решение: Намерете площта на триъгълник, като използвате формулата . Проблемът е, че самите вектори "ce" и "te" са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери № 3 и 4 от урока. Точково произведение на вектори. Нека го разделим на три стъпки за по-голяма яснота:

1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност, изразете вектора чрез вектора. Все още няма дума за дължина!

(1) Заменяме изрази на вектори .

(2) Използвайки законите на разпределението, отворете скобите според правилото за умножение на полиноми.

(3) Използвайки асоциативните закони, изваждаме всички константи извън векторните продукти. С малко опит действия 2 и 3 могат да се извършват едновременно.

(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради приятното свойство . Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторното произведение:

(5) Представяме подобни условия.

В резултат на това векторът се оказа изразен чрез вектор, което беше необходимо да се постигне:

2) На втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на Пример 3:

3) Намерете площта на необходимия триъгълник:

Стъпки 2-3 от решението могат да бъдат подредени в един ред.

Отговор:

Разглежданият проблем е доста често срещан при контролни работиа, ето пример за решение „направи си сам“:

Пример 5

Намерете дали

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)

Напречно произведение на вектори в координати

, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:

Формулата е наистина проста: записваме координатните вектори в горния ред на детерминантата, „опаковаме“ координатите на векторите във втория и третия ред и поставяме в строг ред- първо координатите на вектора "ve", след това координатите на вектора "double-ve". Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава линиите също трябва да бъдат разменени:

Пример 10

Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б)

Решение: Тестът се основава на едно от твърденията в този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е нула (нулев вектор): .

а) Намерете векторното произведение:

Така че векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторното произведение:

Отговор: а) не е колинеарен, б)

Тук може би е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.

Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, при които се използва смесеното произведение на вектори. Всъщност всичко ще се основава на дефиницията, геометричното значение и няколко работещи формули.

Смесеното произведение на вектори е произведение на три вектора:

Така се наредиха като влак и чакат, няма търпение да ги изчислят.

Първо отново дефиницията и снимката:

Определение: Смесен продукт некомпланарнивектори, взети в този ред, е наречен обем на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, оборудвани със знак "+", ако основата е дясна, и знак "-", ако основата е лява.

Да направим чертежа. Невидимите за нас линии са начертани с пунктирана линия:

Нека се потопим в определението:

2) Взети вектори в определен ред, тоест пермутацията на векторите в продукта, както можете да се досетите, не остава без последствия.

3) Преди да коментирам геометричното значение, ще отбележа очевидния факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен, използвах за обозначаване на смесен продукт чрез и резултата от изчисленията с буквата "pe".

А-приори смесеният продукт е обемът на паралелепипеда, построен върху вектори (фигурата е начертана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на дадения паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Нека не се занимаваме отново с концепцията за ориентацията на основата и пространството. Смисълът на последната част е, че към силата на звука може да се добави знак минус. С прости думи, смесеното произведение може да бъде отрицателно: .

Формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори, следва директно от определението.

В тази статия ще се спрем на понятието кръстосано произведение на два вектора. Ще дадем необходимите дефиниции, ще запишем формула за намиране на координатите на векторен продукт, ще изброим и ще обосновем неговите свойства. След това ще се спрем на геометричния смисъл на кръстосаното произведение на два вектора и ще разгледаме решенията на различни типични примери.

Навигация в страницата.

Дефиниция на векторно произведение.

Преди да дадем определение на кръстосано произведение, нека разгледаме ориентацията на подредена тройка вектори в триизмерното пространство.

Нека отложим вектори от една точка. В зависимост от посоката на вектора тройката може да бъде дясна или лява. Нека погледнем от края на вектора как най-краткият завой от вектора към . Ако най-краткото въртене е обратно на часовниковата стрелка, тогава се извиква тройката от вектори точно, в противен случай - наляво.

Сега нека вземем два неколинеарни вектора и . Отделете вектори и от точка А. Нека построим някакъв вектор, който е перпендикулярен на и и в същото време. Очевидно, когато конструираме вектор, можем да направим две неща, като му дадем една или обратна посока (вижте илюстрацията).

В зависимост от посоката на вектора подредената тройка вектори може да бъде дясна или лява.

Така се доближихме до определението за векторно произведение. Дадено е за два вектора, дадени в правоъгълна координатна систематриизмерно пространство.

Определение.

Векторно произведение на два вектораи , дадено в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, се нарича вектор, такъв че

Кръстосаното произведение на вектори и се означава като .

Координати на векторен продукт.

Сега даваме втората дефиниция на векторно произведение, което ни позволява да намерим неговите координати от координатите на дадените вектори и.

Определение.

В правоъгълна координатна система на тримерното пространство кръстосано произведение на два вектора И е вектор , където са координатни вектори.

Това определение ни дава кръстосаното произведение в координатна форма.

Удобно е векторният продукт да се представи под формата на детерминанта квадратна матрицаот трети ред, чийто първи ред е orts , вторият ред съдържа координатите на вектора , а третият ред съдържа координатите на вектора в дадена правоъгълна координатна система:

Ако разширим този детерминант с елементите на първия ред, тогава получаваме равенство от дефиницията на векторния продукт в координати (ако е необходимо, вижте статията):

Трябва да се отбележи, че координатната форма на кръстосаното произведение е напълно в съответствие с определението, дадено в първия параграф на тази статия. Освен това тези две дефиниции на кръстосано произведение са еквивалентни. Доказателството за този факт може да се намери в книгата, посочена в края на статията.

Векторни свойства на продукта.

Тъй като векторното произведение в координати може да бъде представено като детерминанта на матрицата, следното може лесно да бъде обосновано на базата векторни свойства на продукта:

Като пример, нека докажем свойството антикомутативност на векторен продукт.

А-приори И . Знаем, че стойността на детерминантата на матрица се обръща, когато два реда се разменят, така че, , което доказва свойството антикомутативност на векторния продукт.

Векторен продукт - примери и решения.

Основно има три вида задачи.

В задачите от първия тип са дадени дължините на два вектора и ъгълът между тях и се изисква да се намери дължината на напречното произведение. В този случай се използва формулата .

Пример.

Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори и ако е известна .

Решение.

От дефиницията знаем, че дължината на напречното произведение на вектори и е равна на произведението на дължините на векторите и умножено по синуса на ъгъла между тях, следователно, .

Отговор:

.

Задачите от втория тип са свързани с координати на вектори, в които чрез координатите на дадените вектори се търси векторното произведение, неговата дължина или нещо друго. И .

Тук има много различни опции. Например не координатите на векторите и , а техните разширения в координатни вектори от формата и , или вектори и могат да бъдат зададени чрез координатите на техните начални и крайни точки.

Нека разгледаме типични примери.

Пример.

В правоъгълна координатна система са дадени два вектора . Намерете тяхното векторно произведение.

Решение.

Съгласно втората дефиниция кръстосаното произведение на два вектора в координати се записва като:

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме записали векторното произведение през детерминантата

Отговор:

.

Пример.

Намерете дължината на напречното произведение на вектори и , където са ортите на правоъгълната декартова координатна система.

Решение.

Първо, намерете координатите на векторния продукт в дадена правоъгълна координатна система.

Тъй като векторите и имат координати и съответно (ако е необходимо, вижте статията векторни координати в правоъгълни координати), тогава по второто определение на векторното произведение, което имаме

Тоест, векторният продукт има координати в дадената координатна система.

Намираме дължината на векторен продукт като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати (получихме тази формула за дължината на вектор в раздела намиране на дължината на вектор):

Отговор:

.

Пример.

Координатите на три точки са дадени в правоъгълна декартова координатна система. Намерете някакъв вектор, който е перпендикулярен на и в същото време.

Решение.

Векторите и имат координати и съответно (вижте статията намиране на координатите на вектора чрез координатите на точките). Ако намерим кръстосаното произведение на вектори и , тогава по дефиниция това е вектор, перпендикулярен както на, така и на, тоест това е решението на нашия проблем. Нека го намерим

Отговор:

е един от перпендикулярните вектори.

В задачи от трети тип се проверява умението за използване на свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагане на свойствата се прилагат съответните формули.

Пример.

Векторите и са перпендикулярни и техните дължини са съответно 3 и 4. Намерете дължината на векторното произведение .

Решение.

Чрез свойството на разпределимост на векторното произведение можем да запишем

Посредством асоциативно свойствоизваждаме числовите коефициенти за знака на векторни продукти в последния израз:

Векторни продукти и са равни на нула, тъй като И , Тогава .

Тъй като векторното произведение е антикомутативно, тогава .

И така, използвайки свойствата на векторното произведение, стигнахме до равенството .

По условие векторите и са перпендикулярни, т.е. ъгълът между тях е равен на . Тоест имаме всички данни, за да намерим необходимата дължина

Отговор:

.

Геометричният смисъл на векторното произведение.

По дефиниция дължината на кръстосаното произведение на векторите е . И от курса по геометрия гимназиязнаем, че площта на триъгълника е половината от произведението на дължините на двете страни на триъгълника по синуса на ъгъла между тях. Следователно дължината на кръстосаното произведение е равна на удвоената площ на триъгълник със страни на векторите и , ако те са отложени от една точка. С други думи, дължината на напречното произведение на вектори и е равна на площта на успоредник със страни и и ъгъл между тях, равен на . Това е геометричното значение на векторното произведение.

Тест №1

Вектори. Елементи на висшата алгебра

1-20. Дължините на векторите и и са известни; е ъгълът между тези вектори.

Изчислете: 1) и, 2) .3) Намерете площта на триъгълник, изграден върху векторите и.

Направете рисунка.

Решение. Използвайки дефиницията на точковия продукт на векторите:

И свойствата на скаларното произведение: ,

1) намерете скаларния квадрат на вектора:

тоест тогава .

Като спорим по подобен начин, получаваме

тоест тогава .

По дефиниция на векторен продукт: ,

като се има предвид факта, че

Площта на триъгълник, изграден върху вектори и е равна на

21-40. Известни са координатите на три върха А, Б, Гуспоредник ABCD. С помощта на векторна алгебра имате нужда от:

А(3;0;-7), б(2;4;6), д(-7;-5;1)

Решение.

Известно е, че диагоналите на успоредник в точката на пресичане са разделени наполовина. Следователно координатите на точката д- пресечни точки на диагоналите - намерете като координати средата на отсечката BD. Означавайки ги с х д ,г д , z дразбираме това

Получаваме .

Познаване на координатите на точката д- диагонални средни точки BDи координатите на единия му край А(3;0;-7), чрез формулите определяме желаните координати на върха СЪСуспоредник:

Така че върха.

2) За да намерим проекцията на вектор върху вектор, намираме координатите на тези вектори: ,

по същия начин. Проекцията на вектор върху вектор , намираме по формулата:

3) Ъгълът между диагоналите на успоредника се намира като ъгъл между векторите

И по свойството на скаларното произведение:

Тогава

4) Площта на паралелограма се намира като модул на векторния продукт:

5) Обемът на пирамидата се намира като една шеста от модула на смесеното произведение на векторите , където O(0;0;0), тогава

След това желания обем (кубични единици)

41-60. Матрични данни:

V C -1 +3A T

Обозначения:

Първо, намираме обратната матрица C.

За да направим това, намираме неговата детерминанта:

Детерминантата е различна от нула, следователно матрицата е неособена и за нея можете да намерите обратната матрица C -1

Нека намерим алгебрични допълнения по формулата , където е минорът на елемента :

Тогава , .

61–80. Решете системата линейни уравнения:

метод на Крамер; 2. Матричен метод.

Решение.

а) Метод на Крамер

Нека намерим детерминантата на системата

Тъй като системата има уникално решение.

Намерете детерминантите и , като замените първата, втората и третата колона в матрицата на коефициентите съответно с колона от свободни членове.

Според формулите на Крамер:

б)матричен метод (с помощта на обратната матрица).

Записваме тази система в матрична форма и я решаваме с помощта на обратната матрица.

Позволявам Ае матрицата на коефициентите за неизвестни; хе колонната матрица на неизвестните х, г, zИ зе колонна матрица на безплатни членове:

Лявата страна на система (1) може да бъде записана като произведение на матрици , а дясната страна като матрица з. Следователно имаме матричното уравнение

Тъй като матричната детерминанта Ае различна от нула (точка "а"), тогава матрицата Аима обратна матрица. Умножавайки двете части на равенството (2) отляво по матрицата , получаваме

От къде д – матрица на идентичността, a , тогава

Нека имаме неособена матрица A:

Тогава обратната матрица се намира по формулата:

Където А ij- алгебрично допълнение на елемент а ijв детерминанта на матрицата А, което е произведение от (-1) i+j и минор (детерминанта) n-1ред, получен чрез изтриване i-толинии и j-тиколони в детерминантата на матрица A:

От тук получаваме обратната матрица:

Колона X: X=A -1 H

81–100. Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Решение. Записваме системата под формата на разширена матрица:

Извършваме елементарни трансформации с низове.

От 2-ри ред изваждаме първия ред, умножен по 2. От ред 3 изваждаме първия ред, умножен по 4. От ред 4 изваждаме първия ред, получаваме матрицата:

След това получаваме нула в първата колона на следващите редове, за това изваждаме третия ред от втория ред. От третия ред изваждаме втория ред, умножен по 2. От четвъртия ред изваждаме втория ред, умножен по 3. В резултат на това получаваме матрица от формата:

Извадете третия от четвъртия ред.

Разменете предпоследния и последния ред:

Последната матрица е еквивалентна на системата от уравнения:

От последното уравнение на системата намираме .

Като заместим в предпоследното уравнение, получаваме .

От второто уравнение на системата следва, че

От първото уравнение намираме x:

Отговор:

Изпит No2

Аналитична геометрия

1-20. Дадени са координатите на върховете на триъгълника ABC.Намирам:

1) дължина на страната АIN;

2) странични уравнения ABИ слънцеи техните склонове;

3) ъгъл INв радиани до два знака след десетичната запетая;

4) уравнение на височината CDи неговата дължина

5) уравнение на медианата AE

височина CD;

ДА СЕуспоредно на страната AB,

7) направете чертеж.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Решение.

Прилагайки (1), намираме дължината на страната AB:

2) странични уравнения ABИ слънцеи техните наклони:

Уравнение на права линияминаваща през точките и има формата

Замествайки в (2) координатите на точките АИ IN, получаваме страничното уравнение AB:

(AB).

(пр.н.е).

3) ъгъл INв радиани до два знака след десетичната запетая.

Известно е, че тангенсът на ъгъла между две прави линии, чиито коефициенти на наклона са съответно равни и се изчислява по формулата

Желан ъгъл INобразувани от преки ABИ слънце, чиито ъглови коефициенти се намират: ; . Прилагайки (3), получаваме

; , или

4) уравнение на височината CDи неговата дължина.

Разстояние от точка C до линия AB:

5) уравнение на медианата AEи координатите на точката K на пресечната точка на тази медиана с

височина CD.

средна страна BC:

Тогава уравнението AE:

Решаваме системата от уравнения:

6) уравнение на права линия, минаваща през точка ДА СЕуспоредно на страната AB:

Тъй като желаната линия е успоредна на страната AB, после нея наклонще бъде равен на наклона на правата линия AB. Заместване в (4) на координатите на намерената точка ДА СЕи ъглов коефициент, получаваме

; (KF).

Площта на успоредник е 12 квадратни метра. единици, два от върховете му са точки A(-1;3)И B(-2;4).Намерете други два върха на този успоредник, ако е известно, че пресечната точка на неговите диагонали лежи на оста x. Направете рисунка.

Решение. Нека пресечната точка на диагоналите има координати.

Тогава е очевидно, че

следователно координатите на векторите .

Площта на успоредник се намира по формулата

Тогава координатите на другите два върха са .

В задачи 51-60 координатите на точките А и Б. Задължително:

Съставете канонично уравнениехипербола, минаваща през дадени точки А и Бако фокусите на хиперболата са разположени на оста x;

Намерете полуоси, фокуси, ексцентричност и уравнения на асимптоти на тази хипербола;

Намерете всички точки на пресичане на хипербола с окръжност с център в началото, ако тази окръжност минава през фокусите на хиперболата;

Построете хипербола, нейните асимптоти и окръжност.

A(6;-2), B(-8;12).

Решение. Записва се уравнението на търсената хипербола в канонична форма

Където ае реалната полуос на хиперболата, б-въображаема ос. Заместване на координатите на точките АИ INв това уравнение намираме тези полуоси:

- уравнението на хиперболата: .

Полуоси a=4,

фокусно разстояние Фокуси (-8.0) и (8.0)

Ексцентричност

Ациптоти:

Ако окръжността минава през началото, нейното уравнение

Замествайки един от фокусите, намираме и уравнението на кръга

Намерете пресечните точки на хиперболата и окръжността:

Изграждане на чертеж:

В задачи 61-80 начертайте функцията в полярната координатна система по точки, давайки  стойности през интервала  /8 (0   2). Намерете уравнението на правата в правоъгълна декартова координатна система (положителната полуос на абсцисата съвпада с полярната ос, а полюсът съвпада с началото).

Решение.Нека изградим линия по точки, като предварително попълнихме таблицата със стойности и φ.

Номер	φ ,	φ, градуси			Номер	φ , радвам се	степени
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 заключаваме, че това уравнение дефинира елипса: Дадени точки а, IN , C, D . Изисква се да намерите: 1. Уравнение на равнината (Q), преминаване през точки А, Б, В дв самолета (Q); 2. Уравнение на права линия (аз)преминаване през точки INи D; 3. Ъгъл между равнина (Q)и директно (аз); 4. Уравнение на равнината (R),преминаващ през точка Аперпендикулярна на правата (аз); 5. Ъгъл между равнините (R)И (Q) ; 6. Уравнение на права линия (T),преминаващ през точка Апо посока на неговия радиус вектор; 7. Ъгъл между прави (аз)И (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),д(6;4;0) 1. Уравнение на равнината (Q), преминаване през точки А, Б, Ви проверете дали точката лежи дв равнината се определя по формулата Намерете : 1) . 2) Квадратуспоредник, построена НаИ. 3) Обемът на паралелепипеда, построена На вектори, И. контрол работапо тази тема" Елементитеория на линейните пространства... Указания за провеждане на тестове за задочно обучение за квалификация 080100. 62 в направление Насоки Паралелепипедът и обемът на пирамидата, построена На вектори, И. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛ ВЪРШИ РАБОТАРаздел I. Линеен алгебра. 1 – 10. Дана...