Θεώρημα 1. (Σχετικά με τη γραμμική ανεξαρτησία των ορθογωνικών διανυσμάτων). Έστω Τότε το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Συνθέτουμε έναν γραμμικό συνδυασμό ∑λ i x i =0 και θεωρούμε το κλιμακωτό γινόμενο (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, αλλά ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Ορισμός 1. Διανυσματικό σύστημαή (e i ,e j)=δ ij - σύμβολο Kronecker, ονομάζεται ορθοκανονική (ONS).

Ορισμός 2. Για ένα αυθαίρετο στοιχείο x ενός αυθαίρετου απεριόριστου ευκλείδειου χώρου και ένα αυθαίρετο ορθοκανονικό σύστημα στοιχείων, η σειρά Fourier ενός στοιχείου x στο σύστημα ονομάζεται τυπικά σύνθετο άπειρο άθροισμα (σειρά) της μορφής , στο οποίο οι πραγματικοί αριθμοί λ i ονομάζονται συντελεστές Fourier του στοιχείου x του συστήματος , όπου λ i =(x,e i).

Ενα σχόλιο. (Όπως είναι φυσικό, τίθεται το ερώτημα για τη σύγκλιση αυτής της σειράς. Για να διερευνήσουμε αυτό το ζήτημα, διορθώνουμε έναν αυθαίρετο αριθμό n και ανακαλύπτουμε τι διακρίνει το nο μερικό άθροισμα της σειράς Fourier από οποιονδήποτε άλλο γραμμικό συνδυασμό των πρώτων n στοιχείων ενός ορθοκανονικού συστήματος.)

Θεώρημα 2. Για οποιονδήποτε σταθερό αριθμό n, μεταξύ όλων των αθροισμάτων της μορφής, η μικρότερη απόκλιση από το στοιχείο x στον κανόνα του δεδομένου Ευκλείδειου χώρου έχει το nο μερικό άθροισμα της σειράς Fourier του στοιχείου

Λαμβάνοντας υπόψη την ορθοκανονικότητα του συστήματος και τον ορισμό του συντελεστή Fourier, μπορούμε να γράψουμε

Το ελάχιστο αυτής της έκφρασης επιτυγχάνεται στο c i =λ i , αφού στην περίπτωση αυτή το πάντα μη αρνητικό πρώτο άθροισμα στη δεξιά πλευρά εξαφανίζεται και οι υπόλοιποι όροι δεν εξαρτώνται από το c i.

Παράδειγμα. Σκεφτείτε το τριγωνομετρικό σύστημα

στο διάστημα όλων των συναρτήσεων που μπορούν να ολοκληρωθούν από τον Riemann f(x) στο τμήμα [-π,π]. Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι αυτό είναι ένα ONS και, στη συνέχεια, η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) έχει τη μορφή όπου .

Ενα σχόλιο. (Η τριγωνομετρική σειρά Fourier συνήθως γράφεται ως Επειτα )

Ένα αυθαίρετο ONS σε έναν ευκλείδειο χώρο άπειρων διαστάσεων χωρίς πρόσθετες υποθέσεις, γενικά μιλώντας, δεν αποτελεί βάση αυτού του χώρου. Σε διαισθητικό επίπεδο, χωρίς να δίνουμε αυστηρούς ορισμούς, θα περιγράψουμε την ουσία του θέματος. Σε έναν αυθαίρετο ευκλείδειο χώρο άπειρων διαστάσεων E, θεωρήστε το ONS , όπου (e i ,e j)=δ ij είναι το σύμβολο Kronecker. Έστω M υποχώρος ενός Ευκλείδειου χώρου και k=M ⊥ ένας υποχώρος ορθογώνιος στο M έτσι ώστε ο Ευκλείδειος χώρος E=M+M ⊥ . Η προβολή ενός διανύσματος x∈E σε έναν υποχώρο M είναι ένα διάνυσμα ∈M, όπου

Θα αναζητήσουμε εκείνες τις τιμές των συντελεστών επέκτασης α k για τις οποίες η απόκλιση (τετράγωνο της απόκλισης) h 2 =||x-|| 2 θα είναι το ελάχιστο:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Είναι σαφές ότι αυτή η έκφραση θα λάβει την ελάχιστη τιμή για α k =0, που είναι ασήμαντο, και για α k =(x,ek). Τότε ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Επομένως λαμβάνουμε την ανισότητα Bessel ∑α k 2 ||x|| 2. Για ρ=0 ένα ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων (ONS) ονομάζεται πλήρες ορθοκανονικό σύστημα με την έννοια του Steklov (PONS).Από εδώ μπορούμε να λάβουμε την ισότητα Steklov - Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - το «Πυθαγόρειο θεώρημα» για πλήρεις, με την έννοια του Steklov, απεριόριστες διαστάσεις Ευκλείδειους χώρους. Τώρα θα ήταν απαραίτητο να αποδειχτεί ότι για να αναπαρασταθεί μοναδικά οποιοδήποτε διάνυσμα χώρου ως μια σειρά Fourier που συγκλίνει προς αυτό, είναι απαραίτητο και αρκετό να ικανοποιηθεί η ισότητα Steklov-Parseval. Το σύστημα των διανυσμάτων pic=""> μορφές ONB; το σύστημα των διανυσμάτων Σκεφτείτε το μερικό άθροισμα της σειράς Επειτα ως ουρά μιας συγκλίνουσας σειράς. Έτσι, το σύστημα των διανυσμάτων είναι το PONS και σχηματίζει το BSS.

Παράδειγμα.Τριγωνομετρικό σύστημα

στο διάστημα όλων των συναρτήσεων που μπορούν να ολοκληρωθούν από τον Riemann, η f(x) στο τμήμα [-π,π] είναι ένα PONS και σχηματίζει ένα ONB.

Ορισμός 1. Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν ένα από τα διανύσματα του συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων του συστήματος και γραμμικά ανεξάρτητο διαφορετικά.

Ορισμός 1'. Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχουν αριθμοί Με 1 , Με 2 , …, Με k , δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων με δεδομένους συντελεστές να είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα: = , διαφορετικά το σύστημα ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο.

Ας δείξουμε ότι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Ας ικανοποιηθεί ο ορισμός 1, δηλ. ένα από τα διανύσματα του συστήματος είναι ίσο με έναν γραμμικό συνδυασμό των υπολοίπων:

Ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων είναι ίσος με μηδενικό διάνυσμα και δεν είναι όλοι οι συντελεστές αυτού του συνδυασμού ίσοι με μηδέν, δηλ. Ισχύει ο ορισμός 1'.

Αφήστε τον ορισμό 1' να ικανοποιηθεί. Ο γραμμικός συνδυασμός του συστήματος των διανυσμάτων είναι , και δεν είναι όλοι οι συντελεστές του συνδυασμού ίσοι με μηδέν, για παράδειγμα, οι συντελεστές του διανύσματος .

Παρουσιάσαμε ένα από τα διανύσματα του συστήματος ως γραμμικό συνδυασμό των υπολοίπων, δηλ. πληρούται ο ορισμός 1.

Ορισμός 2. Το μοναδιαίο διάνυσμα, ή ort, ονομάζεται διάνυσμα n διαστάσεων, ποιό απ'όλα ΕγώΗ συντεταγμένη είναι ίση με ένα και οι υπόλοιπες είναι μηδέν.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Θεώρημα 1. Διάφορα διανύσματα μονάδων n-Ο διαστατικός χώρος είναι γραμμικά ανεξάρτητος.

Απόδειξη.Έστω ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων με αυθαίρετους συντελεστές ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν. Έχουμε μια αντίφαση.

Κάθε διάνυσμα n-διαστατικός χώρος ā (ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ..., ΕΝΑ n ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός μοναδιαίων διανυσμάτων με συντελεστές ίσους με τις συντεταγμένες του διανύσματος

Θεώρημα 2. Αν το σύστημα των διανυσμάτων περιέχει μηδενικό διάνυσμα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Απόδειξη.Έστω ένα σύστημα διανυσμάτων και ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν, για παράδειγμα = . Στη συνέχεια, με τα διανύσματα αυτού του συστήματος, είναι δυνατό να συντεθεί ένας γραμμικός συνδυασμός ίσος με το μηδενικό διάνυσμα και δεν θα είναι όλοι οι συντελεστές μηδέν:

Επομένως, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Θεώρημα 3. Εάν κάποιο υποσύστημα ενός συστήματος διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Απόδειξη.Δίνεται ένα σύστημα διανυσμάτων . Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο, δηλ. υπάρχουν αριθμοί Με 1 , Με 2 , …, Με r , δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, έτσι ώστε = .Επειτα

Αποδείχθηκε ότι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ολόκληρου του συστήματος είναι ίσος και δεν είναι όλοι οι συντελεστές αυτού του συνδυασμού ίσοι με μηδέν. Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Συνέπεια.Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε από τα υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

Απόδειξη.

Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. κάποιο υποσύστημα εξαρτάται γραμμικά. Από το θεώρημα προκύπτει ότι ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά. Έχουμε φτάσει σε μια αντίφαση.

Θεώρημα 4 (θεώρημα Steinitz).Αν καθένα από τα διανύσματα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και Μ>n, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Συνέπεια.Σε οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων n διαστάσεων, δεν μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από n γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.Κάθε n-το διάνυσμα διαστάσεων εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός n μονάδων διανυσμάτων. Επομένως, εάν το σύστημα περιέχει Μφορείς και Μ>n, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα, αυτό το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

3.3. Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Βάση.

Γραμμικός συνδυασμός διανυσματικά συστήματα

που ονομάζεται διάνυσμα

όπου a 1 , a 2 , ..., a n - αυθαίρετους αριθμούς.

Αν όλα ένα i = 0, τότε καλείται ο γραμμικός συνδυασμός ασήμαντος . Σε αυτή την περίπτωση, προφανώς

Ορισμός 5.

Αν για ένα σύστημα διανυσμάτων υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός (τουλάχιστον ένας a i ¹ 0) ίσο με το μηδενικό διάνυσμα: τότε ονομάζεται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά εξαρτώμενος. Εάν η ισότητα (1) είναι δυνατή μόνο εάν όλα ένα i =0, τότε καλείται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητος .

Θεώρημα 2 (Συνθήκες γραμμικής εξάρτησης).

Ορισμός 6.

Από το Θεώρημα 3 έπεται ότι αν δοθεί μια βάση στο χώρο, τότε προσθέτοντας ένα αυθαίρετο διάνυσμα σε αυτό, λαμβάνουμε ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα διανυσμάτων. Συμφωνώς προςΘεώρημα 2 (1) , ένα από αυτά (μπορεί να φανεί ότι το διάνυσμα ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων:

.

Ορισμός 7.

Αριθμοί που ονομάζεται συντεταγμένες διανύσματα στη βάση (σημειώνεται

Εάν τα διανύσματα θεωρούνται σε ένα επίπεδο, τότε η βάση θα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος μη συγγραμμικών διανυσμάτων

και οι συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση είναι ένα ζεύγος αριθμών:

Παρατήρηση 3. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για μια δεδομένη βάση, οι συντεταγμένες του διανύσματος προσδιορίζονται μοναδικά . Από αυτό, ειδικότερα, προκύπτει ότι αν τα διανύσματα είναι ίσα, τότε οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες και το αντίστροφο .

Έτσι, εάν μια βάση δίνεται στο χώρο, τότε μια διατεταγμένη τριάδα αριθμών (συντεταγμένες διανυσμάτων σε αυτή τη βάση) αντιστοιχεί σε κάθε διάνυσμα του χώρου και αντίστροφα: κάθε τριάδα αριθμών αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα.

Στο επίπεδο, δημιουργείται παρόμοια αντιστοιχία μεταξύ διανυσμάτων και ζευγών αριθμών.

Θεώρημα 4 (Γραμμικές πράξεις μέσω συντεταγμένων διανυσμάτων).

Αν σε κάποια βάση Και ένα είναι ένας αυθαίρετος αριθμός, τότε σε αυτή τη βάση

Με άλλα λόγια:

όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται με αυτόν τον αριθμό ;

όταν προστίθενται διανύσματα, προστίθενται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους .

Παράδειγμα 1 . Σε κάποια βάση, τα διανύσματαέχουν συντεταγμένες

Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν βάση και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση εάν είναι μη ομοεπίπεδα, επομένως (σύμφωνα μεΘεώρημα 3(2) ) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Εξ ορισμού 5 αυτό σημαίνει ότι η ισότητα

δυνατή μόνο ότανΧ = y = z = 0.

Οι έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων είναι πολύ σημαντικές στη μελέτη της διανυσματικής άλγεβρας, αφού σε αυτές βασίζονται οι έννοιες της διάστασης και της βάσης του χώρου. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε ορισμούς, θα εξετάσουμε τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας, θα αποκτήσουμε έναν αλγόριθμο για τη μελέτη ενός συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση και θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις των παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προσδιορισμός γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων.

Θεωρήστε ένα σύνολο διανυσμάτων p n διαστάσεων , συμβολίστε τα ως εξής. Να συνθέσετε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων και αυθαίρετων αριθμών (πραγματικό ή σύνθετο): . Με βάση τον ορισμό των πράξεων σε διανύσματα n διαστάσεων, καθώς και τις ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, μπορεί να υποστηριχθεί ότι ο καταγεγραμμένος γραμμικός συνδυασμός είναι κάποιο διάνυσμα n διαστάσεων, δηλαδή .

Καταλήξαμε λοιπόν στον ορισμό της γραμμικής εξάρτησης του συστήματος των διανυσμάτων.

Ορισμός.

Αν ένας γραμμικός συνδυασμός μπορεί να είναι μηδενικό διάνυσμα όταν βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς υπάρχει τουλάχιστον ένα άλλο από το μηδέν, τότε καλείται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά εξαρτώμενη.

Ορισμός.

Εάν ο γραμμικός συνδυασμός είναι μηδενικό διάνυσμα μόνο όταν όλοι οι αριθμοί είναι ίσα με μηδέν, τότε καλείται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητη.

Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας.

Με βάση αυτούς τους ορισμούς διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων.

Εάν προστεθούν πολλά διανύσματα σε ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα διανυσμάτων, τότε το προκύπτον σύστημα θα είναι γραμμικά εξαρτώμενο.

Απόδειξη.

Δεδομένου ότι το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, η ισότητα είναι δυνατή εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός αριθμός από τους αριθμούς . Αφήστε .

Ας προσθέσουμε περισσότερα διανύσματα στο αρχικό σύστημα διανυσμάτων , και παίρνουμε το σύστημα. Αφού και , τότε ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του συστήματος της μορφής

είναι μηδενικό διάνυσμα και . Επομένως, το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Εάν πολλά διανύσματα εξαιρεθούν από ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων, τότε το σύστημα που προκύπτει θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Απόδειξη.

Υποθέτουμε ότι το προκύπτον σύστημα εξαρτάται γραμμικά. Προσθέτοντας όλα τα απορριφθέντα διανύσματα σε αυτό το σύστημα διανυσμάτων, παίρνουμε το αρχικό σύστημα διανυσμάτων. Κατά συνθήκη, είναι γραμμικά ανεξάρτητο και λόγω της προηγούμενης ιδιότητας της γραμμικής εξάρτησης, πρέπει να είναι γραμμικά εξαρτώμενο. Φτάσαμε σε μια αντίφαση, επομένως η υπόθεση μας είναι λανθασμένη.

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα, τότε ένα τέτοιο σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Απόδειξη.

Έστω το διάνυσμα σε αυτό το σύστημα διανυσμάτων μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι το αρχικό σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Τότε η διανυσματική ισότητα είναι δυνατή μόνο όταν . Ωστόσο, αν πάρουμε οποιοδήποτε μη μηδενικό, τότε η ισότητα θα εξακολουθεί να ισχύει, αφού . Επομένως, η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη και το αρχικό σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα. Εάν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε κανένα από τα διανύσματα δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς τα άλλα.

Απόδειξη.

Ας αποδείξουμε πρώτα τον πρώτο ισχυρισμό.

Έστω το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά εξαρτώμενο, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός αριθμός και η ισότητα είναι αληθής. Αυτή η ισότητα μπορεί να επιλυθεί σε σχέση με , αφού , σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε

Κατά συνέπεια, το διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα υπόλοιπα διανύσματα του συστήματος, τα οποία έπρεπε να αποδειχθούν.

Τώρα αποδεικνύουμε τον δεύτερο ισχυρισμό.

Εφόσον το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, η ισότητα είναι δυνατή μόνο για .

Ας υποθέσουμε ότι κάποιο διάνυσμα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα. Έστω αυτό το διάνυσμα , τότε . Αυτή η ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως , στην αριστερή πλευρά του υπάρχει ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων του συστήματος και ο συντελεστής μπροστά από το διάνυσμα είναι μη μηδενικός, πράγμα που δείχνει μια γραμμική εξάρτηση του αρχικού συστήματος διανυσμάτων. Άρα έχουμε καταλήξει σε αντίφαση, που σημαίνει ότι η ιδιοκτησία αποδεικνύεται.

Μια σημαντική δήλωση προκύπτει από τις δύο τελευταίες ιδιότητες:
αν το σύστημα των διανυσμάτων περιέχει διανύσματα και , όπου είναι ένας αυθαίρετος αριθμός, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Μελέτη του συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Ας ορίσουμε το καθήκον: πρέπει να δημιουργήσουμε μια γραμμική εξάρτηση ή γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων.

Το λογικό ερώτημα είναι: «πώς να το λύσω;»

Κάτι χρήσιμο από πρακτική άποψη μπορεί να εξαχθεί από τους παραπάνω ορισμούς και ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων. Αυτοί οι ορισμοί και οι ιδιότητες μας επιτρέπουν να δημιουργήσουμε μια γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων στις ακόλουθες περιπτώσεις:

Τι γίνεται σε άλλες περιπτώσεις, που είναι η πλειοψηφία;

Ας ασχοληθούμε με αυτό.

Θυμηθείτε τη διατύπωση του θεωρήματος για την κατάταξη ενός πίνακα, που αναφέραμε στο άρθρο.

Θεώρημα.

Αφήνω r είναι η κατάταξη του πίνακα A της τάξης p επί n, . Έστω M η βασική ελάσσονα του πίνακα A . Όλες οι σειρές (όλες οι στήλες) του πίνακα Α που δεν συμμετέχουν στο σχηματισμό του ελάσσονος βάσης M εκφράζονται γραμμικά ως προς τις σειρές (στήλες) του πίνακα που δημιουργούν το βασικό ελάσσονα M .

Και τώρα ας εξηγήσουμε τη σύνδεση του θεωρήματος για την κατάταξη ενός πίνακα με τη μελέτη ενός συστήματος διανυσμάτων για μια γραμμική εξάρτηση.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα Α, οι σειρές του οποίου θα είναι τα διανύσματα του υπό μελέτη συστήματος:

Τι θα σημαίνει η γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων;

Από την τέταρτη ιδιότητα της γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων, γνωρίζουμε ότι κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς τα άλλα. Με άλλα λόγια, καμία γραμμή του πίνακα Α δεν θα εκφράζεται γραμμικά ως προς άλλες σειρές, επομένως, Η γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων θα είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη Rank(A)=p.

Τι θα σημαίνει η γραμμική εξάρτηση του συστήματος των διανυσμάτων;

Όλα είναι πολύ απλά: τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα Α θα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα υπόλοιπα, επομένως, Η γραμμική εξάρτηση του συστήματος των διανυσμάτων θα είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη Rank(A)

.

Έτσι, το πρόβλημα της μελέτης ενός συστήματος διανυσμάτων για μια γραμμική εξάρτηση μειώνεται στο πρόβλημα της εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα που αποτελείται από τα διανύσματα αυτού του συστήματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι για p>n το σύστημα των διανυσμάτων θα είναι γραμμικά εξαρτώμενο.

Σχόλιο: κατά τη μεταγλώττιση του πίνακα A, τα διανύσματα συστήματος μπορούν να ληφθούν όχι ως γραμμές, αλλά ως στήλες.

Αλγόριθμος μελέτης συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο με παραδείγματα.

Παραδείγματα μελέτης συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Παράδειγμα.

Δίνεται ένα σύστημα διανυσμάτων . Εξετάστε το για μια γραμμική σχέση.

Λύση.

Εφόσον το διάνυσμα c είναι μηδέν, το αρχικό σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά λόγω της τρίτης ιδιότητας.

Απάντηση:

Το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Παράδειγμα.

Εξετάστε το σύστημα των διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Λύση.

Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος c είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος πολλαπλασιαζόμενες επί 3, δηλαδή . Επομένως, το αρχικό σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Αφήνω μεγάλο είναι ο γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο R . Αφήνω A1, a2, ... , an (*) ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων από μεγάλο . Διάνυσμα ΣΕ = a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα (16) κάλεσε Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ( *), ή ας πούμε διάνυσμα ΣΕ εκφράζεται γραμμικά μέσω ενός συστήματος διανυσμάτων (*).

Ορισμός 14. Το σύστημα των διανυσμάτων (*) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη , εάν και μόνο εάν υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο συντελεστών a1, a2, … , τέτοιο ώστε a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0. Αν a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, τότε καλείται το σύστημα (*). γραμμικά ανεξάρτητη.

Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας.

10. Αν ένα σύστημα διανυσμάτων περιέχει μηδενικό διάνυσμα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Πράγματι, αν στο σύστημα (*) το διάνυσμα A1 = 0, Στη συνέχεια 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Αν ένα σύστημα διανυσμάτων περιέχει δύο αναλογικά διανύσματα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Αφήνω Α'1 = μεγάλο×a2. Στη συνέχεια 1× Α'1 –l× Α2 + 0× Α3 + … + 0× ΕΝΑ Ν= 0.

30. Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων (*) για n ³ 2 εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος.

Þ Έστω το (*) γραμμικά εξαρτημένο. Τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο συντελεστών a1, a2, … , τέτοιο ώστε a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0 . Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι a1 ¹ 0. Τότε υπάρχει Α1 = ×a2× Α2 + … + ×chan× ΕΝΑ Ν. Άρα, το διάνυσμα Α'1 είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων.

Ü Έστω ένα από τα διανύσματα (*) γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτό είναι το πρώτο διάνυσμα, δηλ. Α1 = Β2 Α2+ … + δις ΕΝΑ N, Επομένως (–1)× Α'1 + β2 Α2+ … + δις ΕΝΑ Ν= 0 , δηλαδή το (*) εξαρτάται γραμμικά.

Σχόλιο. Χρησιμοποιώντας την τελευταία ιδιότητα, μπορεί κανείς να ορίσει τη γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ενός άπειρου συστήματος διανυσμάτων.

Ορισμός 15. Διανυσματικό σύστημα A1, a2, ... , an , … (**) λέγεται γραμμικά εξαρτώμενο, Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι ένας γραμμικός συνδυασμός κάποιου πεπερασμένου αριθμού άλλων διανυσμάτων. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (**). γραμμικά ανεξάρτητη.

40. Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνο εάν κανένα από τα διανύσματά του δεν μπορεί να εκφραστεί γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματά του.

50. Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε από τα υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

60. Εάν κάποιο υποσύστημα ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται επίσης γραμμικά.

Έστω δύο συστήματα διανυσμάτων A1, a2, ... , an , … (16) και Β1, β2, … , vs, … (17). Εάν κάθε διάνυσμα του συστήματος (16) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ενός πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων του συστήματος (17), τότε λέμε ότι το σύστημα (17) εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (16).

Ορισμός 16. Τα δύο συστήματα διανυσμάτων ονομάζονται ισοδύναμος , αν το καθένα από αυτά εκφράζεται γραμμικά ως προς το άλλο.

Θεώρημα 9 (βασικό θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση).

Αφήστε και είναι δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων από μεγάλο . Εάν το πρώτο σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και εκφράζεται γραμμικά ως προς το δεύτερο, τότε Ν£ s.

Απόδειξη.Ας το προσποιηθούμε Ν> ΜΙΚΡΟ.Σύμφωνα με το θεώρημα

(21)

Εφόσον το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, η ισότητα (18) w X1=x2=…=xΝ=0.Ας αντικαταστήσουμε εδώ εκφράσεις διανυσμάτων: …+=0 (19). Ως εκ τούτου (20). Οι προϋποθέσεις (18), (19) και (20) είναι προφανώς ισοδύναμες. Αλλά (18) ικανοποιείται μόνο όταν X1=x2=…=xΝ=0.Ας βρούμε πότε ισχύει η ισότητα (20). Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε είναι προφανώς αληθές. Εξισώνοντάς τα με το μηδέν, παίρνουμε το σύστημα (21). Εφόσον αυτό το σύστημα έχει μηδέν, είναι

άρθρωση. Δεδομένου ότι ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των αγνώστων, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Επομένως, έχει ένα μη μηδενικό x10, x20, …, xN0. Για αυτές τις τιμές, η ισότητα (18) θα είναι αληθής, η οποία έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Άρα η υπόθεση μας είναι λάθος. Ως εκ τούτου, Ν£ s.

Συνέπεια.Αν δύο ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων είναι πεπερασμένα και γραμμικά ανεξάρτητα, τότε περιέχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Ορισμός 17. Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται Το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων γραμμικός χώρος μεγάλο , εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά προσθέτοντας σε αυτό οποιοδήποτε διάνυσμα από μεγάλο δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύστημα, γίνεται γραμμικά εξαρτώμενο.

Θεώρημα 10. Οποιαδήποτε δύο πεπερασμένα μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων από μεγάλο Περιέχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Απόδειξηπροκύπτει από το γεγονός ότι οποιαδήποτε δύο μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων είναι ισοδύναμα .

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων χώρου μεγάλο μπορεί να συμπληρωθεί στο μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων αυτού του χώρου.

Παραδείγματα:

1. Στο σύνολο όλων των συγγραμμικών γεωμετρικών διανυσμάτων, κάθε σύστημα που αποτελείται από ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο.

2. Στο σύνολο όλων των ομοεπίπεδων γεωμετρικών διανυσμάτων, οποιαδήποτε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα αποτελούν ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα.

3. Στο σύνολο όλων των πιθανών γεωμετρικών διανυσμάτων του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, οποιοδήποτε σύστημα τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων είναι το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο.

4. Στο σύνολο όλων των πολυωνύμων ο βαθμός είναι το πολύ ΝΜε πραγματικούς (σύνθετους) συντελεστές, σύστημα πολυωνύμων 1, x, x2, …, xnΕίναι μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο.

5. Στο σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς (σύνθετους) συντελεστές, παραδείγματα ενός μέγιστου γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος είναι

ΕΝΑ) 1, x, x2, … , xn, … ;

σι) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)Ν,…

6. Το σύνολο των πινάκων διάστασης Μ´ Νείναι γραμμικός χώρος(Έλεγξέ το). Ένα παράδειγμα μέγιστου γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος σε αυτόν τον χώρο είναι το σύστημα πινάκων Ε11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Ας δοθεί ένα σύστημα διανυσμάτων C1, c2, ... , βλ (*). Το υποσύστημα των διανυσμάτων από το (*) ονομάζεται Μέγιστη γραμμικά ανεξάρτητη ΥποσύστημαΣυστήματα ( *) , εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά όταν προστεθεί οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα αυτού του συστήματος, γίνεται γραμμικά εξαρτώμενο. Εάν το σύστημα (*) είναι πεπερασμένο, τότε οποιοδήποτε από τα μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα υποσυστήματα του περιέχει τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων. (Απόδειξη μόνος σου.) Ο αριθμός των διανυσμάτων στο μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος (*) ονομάζεται τάξη Αυτό το σύστημα. Προφανώς, ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων έχουν τις ίδιες τάξεις.