Definiție

Spațiul de probabilitate este un triplu (uneori înconjurat de paranteze unghiulare : ), unde

Remarci

Spații de probabilitate finite

Un exemplu simplu și folosit în mod obișnuit de spațiu de probabilitate este un spațiu finit. Fie o mulțime finită care conține elemente.

Ca sigma-algebră, este convenabil să luăm familia de submulțimi. Este adesea desemnat simbolic. Este ușor să arăți asta numărul total membrii acestei familii, adică numărul de evenimente aleatoare distincte este doar egal cu , ceea ce explică notația.

Probabilitatea, în general, poate fi definită în mod arbitrar. Adesea, însă, nu există niciun motiv să credem că un rezultat elementar este în vreun fel preferabil altuia. Apoi mod natural introduceți probabilitatea este:

,

unde , și - numărul de rezultate elementare aparținând .

În special, probabilitatea oricărui eveniment elementar:

Exemplu

Luați în considerare un experiment cu o aruncare echilibrată a monedelor. Ar fi firesc să luăm două evenimente: pierderea stemei () și pierderea cozilor (), adică, atunci probabilitatea poate fi calculată după cum urmează:

Astfel, se definește un triplu - un spațiu probabilistic în cadrul căruia pot fi luate în considerare diverse sarcini.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Spațiul probabilității” în alte dicționare:

Un câmp de probabilități, o colecție a unei mulțimi nevide, o clasă de submulțimi ale mulțimii Q, care este un câmp Borel (adică, închis în raport cu operațiile teoretice de mulțimi efectuate într-un număr numărabil) și distribuție (probabilistă . .. ... Enciclopedie matematică

Spațiul este un concept utilizat (direct sau ca parte a unor termeni complecși) în limbajele naturale, precum și în secțiuni de cunoștințe precum filozofie, matematică, fizică etc. La nivelul percepției cotidiene, spațiul este intuitiv... .. Wikipedia

Spațiul este un concept folosit (direct sau în fraze) în vorbirea de zi cu zi, precum și în diferite secțiuni ale cunoștințelor. Spațiul la nivelul percepției cotidiene Matematică Spațiul tridimensional Spațiul afin al lui Banach ... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Spațiu. În matematică, cuvântul „spațiu” este folosit într-un set mare de termeni complecși. În linii mari, spațiul este un set cu o structură suplimentară. În funcție de ...... Wikipedia

Spațiul evenimentelor elementare este ansamblul tuturor rezultatelor diferite ale unui experiment aleatoriu. Un element al acestui set se numește eveniment sau rezultat elementar. Spațiul evenimentelor elementare se numește discret dacă numărul său este ... ... Wikipedia

DISTRIBUȚIA PROBABILITĂȚII (DISTRȚIȚIA PROBABILITĂȚII)- unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților (vezi) și statisticii matematice (vezi). Cu abordarea modernă ca matematică. modelul fenomenului aleator studiat, se ia spațiul de probabilitate corespunzător (F 1, S, P), unde Q ... ... Enciclopedia sociologică rusă

Ansamblul tuturor evenimentelor elementare asociate cu un experiment și orice rezultat necompunebil al experimentului este reprezentat de unul și doar un punct al VP (punct de eșantion). V. p. este o mulțime abstractă, pe algebră ...... Enciclopedie matematică

În analiza funcțională și disciplinele conexe, aceasta este o proprietate fundamentală a spațiilor. Cuprins 1 Formulare 2 Dovada ... Wikipedia

Aceasta este inegalitatea triunghiulară pentru spațiile funcțiilor cu un grad integrabil. Cuprins 1 Formulare 2 Dovada ... Wikipedia

Inegalitatea lui Hölder în analiza funcțională și disciplinele conexe este o proprietate fundamentală a spațiilor Lp. Cuprins 1 Formulare 2 Cazuri speciale 2.1 Nu este egal... Wikipedia

Cărți

• Teoria probabilității. Spațiul de probabilitate. Probabilitate condiționată, Tatiana Saburova. In acest ghid de studiu este dată rezumat material teoretic la prima parte a cursului „Teoria probabilității”, sunt analizate soluții un numar mare sarcini tipice, sunt date ...

Pentru o descriere completă a mecanismului experimentului aleatoriu studiat, nu este suficient să precizăm doar spațiul evenimentelor elementare. Evident, pe lângă enumerarea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului aleatoriu studiat, trebuie să știm și cât de des pot apărea anumite evenimente elementare într-o serie lungă de astfel de experimente. Într-adevăr, revenind, să zicem, la exemplele 4.1-4.7, este ușor de imaginat că în cadrul fiecăruia dintre spațiile de evenimente elementare descrise în acestea, se poate lua în considerare un set nenumărat de experimente aleatorii care diferă semnificativ în mecanismul lor.

Deci, în exemplele 4.1-4.3, vom avea frecvențe relative semnificativ diferite ale acelorași rezultate elementare dacă folosim momente și zaruri diferite (simetrice, cu un centru de greutate ușor deplasat, cu un centru de greutate puternic deplasat etc.) În Exemplele 4.4-4.7, frecvența de apariție a produselor defecte, natura contaminării loturilor controlate cu produse defecte și frecvența de apariție a unui anumit număr de defecțiuni ale mașinilor de linie automată vor depinde de nivelul echipamentului tehnologic al producției. în studiu: cu același spațiu de evenimente elementare, frecvența de apariție a rezultatelor elementare „bune” va fi mai mare în producție cu un nivel superior de tehnologie.

Pentru a construi (în cazul discret) o teorie matematică completă și completă a unui experiment aleatoriu - teoria probabilității, pe lângă conceptele inițiale deja introduse ale unui experiment aleatoriu, un rezultat elementar și un eveniment aleatoriu, este necesar să stocați pe încă o ipoteză inițială (axiomă), postulând existența probabilităților evenimentelor elementare (satisfăcând o anumită normalizare) și determinând probabilitatea oricărui eveniment aleatoriu.

Axiomă.

Fiecare element al spațiului evenimentelor elementare corespunde unei caracteristici numerice nenegative a șanselor de apariție a acestuia, numită probabilitatea unui eveniment și

(prin urmare, în special, rezultă că pentru toți).

Determinarea probabilității unui eveniment.

Probabilitatea oricărui eveniment A este definită ca suma probabilităților tuturor evenimentelor elementare care alcătuiesc evenimentul A, adică dacă folosim simbolismul pentru a desemna „probabilitatea evenimentului A”, atunci

De aici și din (4.2) rezultă direct că întotdeauna și probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, iar probabilitatea unui eveniment imposibil este egală cu zero.

Toate celelalte concepte și reguli de acțiune cu probabilități și evenimente vor fi deja derivate din cele patru definiții inițiale introduse mai sus (un experiment aleatoriu, un rezultat elementar, un eveniment aleator și probabilitatea acestuia) și o axiomă.

Astfel, pentru o descriere exhaustivă a mecanismului experimentului aleatoriu studiat (în cazul discret), este necesar să se specifice un set finit sau numărabil al tuturor rezultatelor elementare posibile și să se atribuie fiecărui rezultat elementar unele nenegative (care nu depășesc una) caracteristică numerică interpretată ca probabilitate de apariție a rezultatului, iar corespondența stabilită a tipului trebuie să satisfacă cerința de normalizare (4.2).

Spațiul probabilistic este tocmai conceptul care formalizează o asemenea descriere a mecanismului unui experiment aleatoriu. Specificarea unui spațiu de probabilitate înseamnă specificarea spațiului evenimentelor elementare Q și definirea în el a corespondenței de mai sus de tip

Evident, se poate da o corespondență de tipul (4.4). căi diferite: folosind tabele, grafice, formule analitice și, în final, algoritmic.

Cum se construiește un spațiu de probabilitate corespunzător complexului real de condiții studiate? De regulă, nu există dificultăți în completarea cu conținut specific a conceptelor unui experiment aleatoriu, un eveniment elementar, spațiul evenimentelor elementare și, în cazul discret, orice eveniment aleator descompunebil. Dar nu este atât de ușor să determinați probabilitățile evenimentelor elementare individuale din condițiile specifice ale problemei care se rezolvă! În acest scop, se utilizează una dintre următoarele trei abordări.

Abordarea a priori a calculării probabilităților constă într-o analiză teoretică, speculativă a condițiilor specifice unui anumit experiment aleator dat (înainte de experimentul în sine). Într-o serie de situații, această analiză pre-experimentală face posibilă fundamentarea teoretică a metodei de determinare a probabilităților dorite.

De exemplu, este posibil ca spațiul tuturor rezultatelor elementare posibile să fie format dintr-un număr finit de N elemente, iar condițiile pentru producerea experimentului aleator studiat să fie astfel încât probabilitățile fiecăruia dintre aceste N rezultate elementare par să fie egal cu noi (aceasta este situația în care ne aflăm când aruncăm o monedă simetrică, aruncăm dreapta zaruri, scoaterea accidentală a unei cărți de joc dintr-un pachet bine amestecat etc.). În virtutea axiomei (4.2), probabilitatea fiecărui eveniment elementar este egală cu MN în acest caz. Acest lucru vă permite să obțineți o rețetă simplă pentru calcularea probabilității oricărui eveniment: dacă evenimentul A conține evenimente elementare NA, atunci în conformitate cu definiția (4.3)

Sensul formulei (4.3) este că probabilitatea unui eveniment într-o anumită clasă de situații poate fi definită ca raportul dintre numărul de rezultate favorabile (adică, rezultatele elementare incluse în acest eveniment) și numărul tuturor rezultatelor posibile ( așa-numita definiție clasică a probabilității). În interpretarea modernă, formula (4.3) nu este o definiție a probabilității: este aplicabilă numai în cazul particular când toate rezultatele elementare sunt la fel de probabile.

Abordarea a posteriori-frecvență a calculării probabilităților se bazează în esență pe definiția probabilității adoptată de așa-numitul concept de frecvență al probabilității (pentru mai multe detalii despre acest concept, vezi, de exemplu, ). În conformitate cu acest concept, probabilitatea este definită ca limita a frecvenței relative de apariție a unui rezultat în procesul de creștere nelimitată a numărului total de experimente aleatorii, de exemplu.

(4.5)

unde este numărul de experimente aleatorii (din numărul total de experimente aleatorii efectuate) în care se înregistrează apariția unui eveniment elementar.În consecință, pentru o determinare practică (aproximativă) a probabilităților se propune să se ia frecvențele relative. a apariţiei unui eveniment într-o serie suficient de lungă de experimente aleatorii

O astfel de metodă de calculare a probabilităților nu contrazice conceptul modern (axiomatic) al teoriei probabilităților, deoarece aceasta din urmă este construită în așa fel încât analogul empiric (sau selectiv) al probabilității existente în mod obiectiv a oricărui eveniment A este frecvența relativă a acest eveniment într-o serie de studii independente. Definițiile probabilităților se dovedesc a fi diferite în aceste două concepte: în conformitate cu conceptul de frecvență, probabilitatea nu este un obiectiv, existent înainte de experiență, proprietate a fenomenului studiat, ci apare doar în legătură cu un experiment sau cu o observație; aceasta conduce la un amestec de caracteristici probabilistice teoretice (adevărate, datorită complexului real de condiții pentru „existența” fenomenului studiat) și analogii lor empiric (selectivi). După cum scrie G. Cramer, „definiția specificată a probabilității poate fi comparată, de exemplu, cu definiția unui punct geometric ca limită a petelor de cretă de dimensiune infinit descrescătoare, dar geometria axiomatică modernă nu introduce o astfel de definiție” () . Nu ne vom opri aici asupra defectelor matematice ale conceptului de frecvență al probabilității. Remarcăm doar dificultățile fundamentale în implementarea metodei de calcul pentru obținerea valorilor aproximative folosind frecvențe relative. În primul rând, păstrarea condițiilor unui experiment aleatoriu (adică păstrarea condițiilor ansamblului statistic), în care ipoteza tendinței frecvențelor relative de a se grupa în jurul unei valori constante, este valabilă, nu poate fi menținută la infinit și cu mare precizie. Prin urmare, pentru a estima probabilitățile folosind frecvențe relative, nu are sens să luăm serii prea lungi (adică, prea mari) și, prin urmare, apropo, trecerea exactă la limita (4.5) nu poate avea un sens real.

În al doilea rând, în situațiile în care avem un număr suficient de mare de rezultate elementare posibile (și ele pot forma o mulțime infinită și chiar, așa cum s-a menționat deja în § 4.1, un continuum), chiar și într-o serie arbitrar lungă de experimente aleatorii, vom să avem posibile rezultate care nu s-au materializat niciodată în cursul experimentului nostru; da pentru restul rezultate posibile valorile aproximative ale probabilităților obținute cu ajutorul frecvențelor relative vor fi extrem de nesigure în aceste condiții.

Abordarea a posteriori-model pentru stabilirea probabilităților care corespund în mod specific complexului real de condiții studiate este poate cea mai comună și mai convenabilă în practică în prezent. Logica din spatele acestei abordări este următoarea. Pe de o parte, în cadrul abordării a priori, adică în cadrul unei analize teoretice, speculative a variantelor posibile ale specificului complexelor reale ipotetice de condiții, un set de spații de probabilitate model (binom, Poisson, normal). , exponențial etc.) a fost dezvoltat și studiat, vezi § 6.1). Pe de altă parte, cercetătorul are rezultatele unui număr limitat de experimente aleatorii. Mai departe, cu ajutorul tehnicilor matematice și statistice speciale (bazate pe metodele de estimare statistică a parametrilor necunoscuți și de testare statistică a ipotezelor, vezi capitolele 8 și 9), cercetătorul, așa cum spune, „se potrivește” modelelor ipotetice ale spațiilor de probabilitate. la rezultatele observației pe care le are (care reflectă specificul realității reale studiate) și lasă pentru utilizare ulterioară doar acel model sau acele modele care nu contrazic aceste rezultate și într-un fel le corespund cel mai bine.

Descriem acum regulile de bază de acțiune cu probabilitățile evenimentelor, care sunt consecințe ale definițiilor și axiomelor de mai sus.

Probabilitatea sumei evenimentelor (teorema adunării probabilităților).

Formulăm și dovedim regula de calcul a probabilității sumei a două evenimente.

Pentru a face acest lucru, împărțim fiecare dintre seturile de evenimente elementare care alcătuiesc evenimentele în două părți:

unde unește toate evenimentele elementare ω care sunt incluse în dar nu sunt incluse în constă din toate acele evenimente elementare care sunt incluse simultan în și Folosind definiția (4.3) și definiția produsului evenimentelor, avem:

În același timp, în conformitate cu definiția sumei evenimentelor și cu (4.3), avem

Din (4.6), (4.7) și (4.8) obținem formula de adunare a probabilităților (pentru două evenimente):

Formula (4.9) pentru adăugarea probabilităților poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de termeni (vezi, de exemplu, ):

unde „adunările” sunt calculate sub forma unei sume de probabilități din forma

în plus, însumarea din partea dreaptă se realizează evident cu condiția ca toate să fie diferite, a .

În cazul particular în care sistemul de interes pentru noi constă numai din evenimente incompatibile, toate produsele formei vor fi evenimente goale (sau imposibile) și, în consecință, formula (4.9) dă

Probabilitatea produsului de evenimente (teorema înmulțirii probabilităților). Probabilitate condițională.

Să luăm în considerare situațiile în care o condiție prestabilită sau fixarea unui eveniment care a avut deja loc exclude din lista posibilelor unele dintre evenimentele elementare ale spațiului de probabilitate analizat. Deci, atunci când analizăm un set de N produse produse în masă care conțin produse de clasa I, - a doua, - a treia și - a patra, luăm în considerare un spațiu de probabilități cu rezultate elementare și, respectiv, probabilitățile acestora - (aici înseamnă evenimentul că un produs în mod aleatoriu extrase din colecție s-a dovedit a fi o varietate). Să presupunem că condițiile pentru sortarea produselor sunt de așa natură încât, la un moment dat, produsele de clasa întâi sunt separate de populația generală și toate concluziile probabilistice, în special, calculul probabilităților diferitelor evenimente) trebuie să construim în raport cu un populație trunchiată constând numai din produse de clasa a II-a, a III-a și a IV-a . În astfel de cazuri, se obișnuiește să se vorbească despre probabilități condiționate, adică probabilități calculate cu condiția ca un eveniment să fi avut deja loc. În acest caz, un astfel de eveniment realizat este un eveniment, adică un eveniment constând în orice produs extras aleatoriu este fie de clasa a doua, fie a treia sau a patra. Prin urmare, dacă suntem interesați să calculăm probabilitatea condiționată a evenimentului A (presupunând că evenimentul B a avut deja loc), care constă, de exemplu, în faptul că un produs extras aleatoriu va fi de clasa a doua sau a treia, atunci, evident, această probabilitate condiționată (o notăm) poate fi definită prin următoarea relație:

După cum este ușor de înțeles din acest exemplu, calculul probabilităților condiționate este, în esență, o tranziție la alta, trunchiată de o anumită condiție B, spațiul evenimentelor elementare, când raportul dintre probabilitățile evenimentelor elementare din trunchiul spațiul rămâne același ca în original (mai larg), dar toate sunt normalizate (împărțite la ) pentru a satisface cerințele de normalizare (4.2) și în noul spațiu de probabilitate. Desigur, nu se poate introduce terminologie cu probabilități condiționate, ci pur și simplu folosiți aparatul probabilităților obișnuite („necondiționate”) în noul spațiu. Înregistrarea în ceea ce privește probabilitățile spațiului „vechi” este utilă în cazurile în care, în condițiile unei anumite probleme, trebuie întotdeauna să ne amintim existența spațiului original, mai larg, al evenimentelor elementare.

Obținem formula probabilității condiționate în cazul general. Fie B un eveniment (nevid) considerat a fi avut deja („condiție”), iar A un eveniment a cărui probabilitate condiționată P(A|B) trebuie calculată. Noul spațiu (trunchiat) al evenimentelor elementare este format numai din evenimente elementare care intră în B și, în consecință, probabilitățile acestora (cu condiția de normalizare (4.2)) sunt determinate de relațiile

Prin definiție, probabilitatea P(A|B) este probabilitatea evenimentului A în spațiul de probabilitate „trunchiat” și, prin urmare, în conformitate cu (4.3) și (4.10)

sau, care este la fel,

Formulele echivalente (4.11) și (4.11") sunt de obicei numite formula probabilității condiționate și, respectiv, regula înmulțirii probabilităților.

Subliniem încă o dată că luarea în considerare a probabilităților condiționate ale diferitelor evenimente în aceeași condiție B este echivalentă cu luarea în considerare a probabilităților obișnuite într-un spațiu diferit (tăiat) al evenimentelor elementare prin recalcularea probabilităților corespunzătoare ale evenimentelor elementare conform formulei (4.10) . Prin urmare, toate teoremele și regulile generale pentru tratarea probabilităților rămân valabile pentru probabilitățile condiționate, dacă aceste probabilități condiționate sunt luate în aceeași condiție.

Independenta evenimentelor. Două evenimente A și B sunt numite independente dacă

Pentru a clarifica naturalețea unei astfel de definiții, revenim. Să trecem la teorema înmulțirii probabilităților (4.11) și să vedem în ce situații rezultă (4.12) din aceasta. Evident, acest lucru se poate întâmpla atunci când probabilitatea condiționată este egală cu probabilitatea necondiționată corespunzătoare, adică, aproximativ vorbind, atunci când cunoașterea faptului că a avut loc un eveniment nu afectează evaluarea șanselor de apariție a evenimentului A.

Extinderea definiției independenței la un sistem de mai mult de două evenimente este după cum urmează. Evenimentele sunt numite independent reciproc dacă pentru orice pereche, triple, cvadruple etc. dintre evenimentele selectate din acest set de evenimente, sunt valabile următoarele reguli de multiplicare:

Evident, prima linie implică

(numărul de combinații de k în două) ecuații, în a doua - și așa mai departe.În total, așadar, (4.13) combină condițiile. În același timp, condițiile primei linii sunt suficiente pentru a asigura independența pe perechi a acestor evenimente. Și deși independența perechilor și reciprocă a unui sistem de evenimente, strict vorbind, nu sunt același lucru, diferența lor este de interes mai degrabă teoretic decât practic: aparent, nu există exemple practic importante de evenimente independente în perechi care să nu fie reciproc independente.

Spațiul de probabilitate este model matematic experiment aleator (experiment) în axiomatica lui A. N. Kolmogorov. Spațiul de probabilitate conține toate informațiile despre proprietățile unui experiment aleator, necesare analizei sale matematice prin intermediul teoriei probabilităților. Orice sarcină a teoriei probabilității este rezolvată în cadrul unui spațiu de probabilitate, complet dat inițial. Problemele în care spațiul de probabilitate nu este complet specificat, iar informațiile lipsă ar trebui obținute din rezultatele observațiilor, aparțin domeniului statisticii matematice.

Definiție

Spațiul de probabilitate este un triplu unde:

Rețineți că ultima proprietate a aditivității sigma a unei măsuri este echivalentă (cu condiția ca toate celelalte proprietăți, inclusiv aditivitatea finită) să fie echivalente cu oricare dintre următoarele proprietăți măsura continuitatea:

Exemple de spații de probabilitate utilizate în mod obișnuit

Spații de probabilitate discrete

Dacă setul de rezultate elementare este finit sau numărabil: , atunci spațiul de probabilitate corespunzător se numește discret. În cazul spațiilor de probabilitate discrete, evenimentele sunt de obicei considerate a fi toate submulțimile posibile. În acest caz, pentru a seta probabilitatea, este necesar și suficient să se atribuie un număr fiecărui rezultat elementar, astfel încât suma lor să fie egală cu 1. Atunci probabilitatea oricărui eveniment este dată după cum urmează:

Un caz special important al unui astfel de spațiu este mod clasic de stabilire a probabilităţilor când numărul de rezultate elementare este finit și toate au aceeași probabilitate. Atunci probabilitatea oricărui eveniment este definită ca raportul dintre puterea acestuia (adică numărul de rezultate elementare, favorabil eveniment dat) la numărul total de rezultate elementare:

.

Cu toate acestea, trebuie reținut întotdeauna că pentru a aplica Pe aici, este necesar să ne asigurăm că rezultatele elementare sunt într-adevăr la fel de probabile. Aceasta trebuie fie formulată ca o condiție inițială, fie acest fapt trebuie să fie strict dedus din condițiile inițiale disponibile.

Spații de probabilitate pe linie

Spațiile de probabilitate de pe linia () apar în mod natural în studiul variabilelor aleatoare. În acest caz, în cazul general, nu mai este posibil să se considere nicio submulțime a dreptei ca evenimente, deoarece pe o clasă atât de largă este de obicei imposibil să se stabilească o măsură de probabilitate care să satisfacă axiomele necesare. O algebră sigma de eveniment universal suficientă pentru a lucra este algebra sigma a seturilor Borel: cea mai mică algebră sigma care conține toate seturile deschise. O definiție echivalentă este cea mai mică algebră sigma care conține toate intervalele. O modalitate universală de a specifica o măsură de probabilitate pe o anumită sigma-algebră este prin funcția de distribuție a unei variabile aleatoare.

Spații de probabilitate într-un spațiu finit-dimensional

Spațiile de probabilitate cu multe rezultate elementare apar în mod natural în studiul vectorilor aleatori. Sigma-algebra universală a evenimentelor este, de asemenea, sigma-algebra Borel generată de toate mulțimile deschise. În principiu, acest caz diferă puțin de cazul unei singure linii drepte.

Ca disciplină matematică strictă.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Spațiul de probabilitate este un triplu (uneori încadrat între paranteze unghiulare: ⟨ , ⟩ (\displaystyle \langle ,\rangle )), Unde

  Remarci

  Spații de probabilitate finite

  Un exemplu simplu și folosit în mod obișnuit de spațiu de probabilitate este un spațiu finit. Fie o mulțime finită care conține | Ω | = n (\displaystyle \vert \Omega \vert =n) elemente.

  Ca sigma-algebră, este convenabil să luăm familia de submulțimi Ω (\displaystyle \Omega ). Este adesea simbolizat 2 Ω (\displaystyle 2^(\Omega )). Este ușor de arătat că numărul total de membri ai acestei familii, adică numărul de evenimente aleatoare diferite, este exact egal cu 2 | Ω | (\displaystyle 2^(\vert \Omega \vert )), care explică denumirea.

  Probabilitatea, în general, poate fi definită în mod arbitrar; cu toate acestea, în modelele discrete, adesea nu există niciun motiv să credem că un rezultat elementar este mai bun decât altul. Într-un astfel de caz, modalitatea naturală de a introduce o probabilitate este:

  P (A) = n A n (\displaystyle \mathbb (P) (A)=(\frac (n_(A))(n))),

  Unde A ⊂ Ω (\displaystyle A\subset \Omega ), Și | A | = n A (\displaystyle \vert A\vert = n_(A))- numărul de rezultate elementare care îi aparţin A (\displaystyle A). În special, probabilitatea oricărui eveniment elementar:

  P (( ω )) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . (\displaystyle \mathbb (P) (\(\omega \))=(\frac (1)(n)),\;\forall \omega \in \Omega.)

  Exemplu

  Luați în considerare un experiment cu o aruncare echilibrată a monedelor. Ar fi firesc să luăm două evenimente: pierderea stemei ( Γ (\displaystyle \Gamma )) și cozi ( P (\displaystyle \mathrm (P) )), acesta este Ω = ( Γ , P ) . (\displaystyle \Omega =\(\Gamma,\mathrm (P) \).) Apoi A = ( ( Γ ) , ( P ) , ( Γ , P ) , ∅ ) , (\displaystyle (\mathfrak (A))=\(\(\Gamma\),\(\mathrm (P)\), \(\Gamma ,\mathrm (P) \),\varnothing \),) iar probabilitatea poate fi calculată după cum urmează:

  P (( Γ )) = 1 2 , P (( P )) = 1 2 , P (( Γ , P )) = 1 , P (∅) = 0. (\displaystyle \mathbb (P) (\(\ Gamma \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\mathrm (P) \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\Gamma ,\mathrm (P) \))=1,\;\mathbb (P) (\varnothing)=0.)

  Astfel triplul este definit (Ω, A, P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))- spatiu probabilistic in cadrul caruia pot fi luate in considerare diverse sarcini.