Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod ușor de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 uşă
2. ai sunat la al 2-lea uşă
3. ai sunat la al 3-lea uşă

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. In spate 1 uşă
b. In spate al 2-lea uşă
V. In spate al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul Pot fi Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

A rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea ta a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a fost deschisă străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 uşă
2) Sună al 2-lea uşă

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Dreapta, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea să apară acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se schimbă, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Soluţie:

Luați în considerare toate opțiunile posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, suntem mulțumiți doar. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat în formular fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea unor evenimente pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un pix roșu) este de .

Astfel, probabilitatea de a desena NU un pix roșu este -.

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flipuri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență) (sau oricare alta) să cadă, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să scadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să scoatem (roșu SAU verde).

Acum este clar, adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

Instruire.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i așa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimi, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după prima carte extrasă, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). Total de valeți, dame, regi și ași în pachet inițial, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage „imaginea” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că a mai rămas deja o carte în pachet, din care există imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația în care ajungem de pe punte: „imagine” ȘI „imagine”, atunci trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După ce prima carte este extrasă, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel avem două opțiuni:
   1) Cu prima carte scoatem As, a doua - vale, dama sau rege
   2) Cu prima carte scoatem un vale, dama sau rege, a doua - un as. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum, sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca nuci!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Probabilitatea este notată printr-o literă latină (aparent, din cuvânt englezesc probabilitate – probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Arunci o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Cozi-vultur, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Amenda. Acum hai să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se pare că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

1. (Capul sus și capul sus) sau (cozile sus și coada sus): .
2. Care sunt optiunile? Și. Apoi:
   Rulate (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să triez opțiunile... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi, ... Dar nu trebuie! Să vorbim despre probabilitatea completă. Amintit? Care este probabilitatea ca vulturul nu va scădea niciodată? Este simplu: cozile zboară tot timpul, adică.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunarea.

Deveniți student la YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la tutorialul YouClever...

Seara a învăluit treptat maiestuosul castel din Zmiulan. Treptat, pe coridoare s-au aprins torțe, studenții s-au grăbit să meargă în camerele lor. Și acum, când coridoarele erau deja goale, un bărbat a ieșit de după colț: un costum negru scump stătea ideal pe silueta lui încordată, părul blond era pieptănat pe spate, ochii de culoarea fisticului priveau doar înainte cu o privire indiferentă. Norton Ognev, și el era, s-a apropiat de biroul Marelui Spirit Ostala. După ce a bătut și a primit permisiunea, bărbatul a intrat în cameră. - Deci, de ce ai venit, Norton? - însuși proprietarul castelului stătea cu spatele la tatăl Vasilisei, privind pe fereastră. Indiferența nu a dispărut de pe chipul lui Ognev, dar acesta s-a încordat în interior. „Domnule Astragor, trebuie să merg câteva zile la Cernovod”, se întoarse șeful Dragocievilor. - Din câte am înțeles, nu vei merge singur? - Norton Sr. dădu încet din cap: - Da, domnule Astragor. Dacă nu te superi, o să-mi iau fiica, Fasha și Zaharra cu mine. -Și de ce tu, Norton, iei nepoții mei cu tine? - cu un oarecare interes, şeful Dragotsiev se uită la Ognev. întrebă Vasilisa, - de parcă ar fi răspuns fără tragere de inimă Norton Sr. Astragoras se uită gânditor la flăcările din șemineu. Ognev a așteptat cu răbdare un răspuns... *** Noaptea a învăluit maiestuosul castel într-o pânză înstelată. O adiere ușoară foșnea frunzișul grădinii. Vasilisa se pregătea deja de culcare în Camera Verde. „Oh, de cât timp sunt aici...” a spus fata, uitându-se prin cameră. Nici nu-și amintea ultima dată când a fost aici, dar a văzut că totul era la locul lui. Deodată, un tip a zburat prin fereastra deschisă. Ogneva se uită surprinsă la oaspetele neașteptat. După ce ascunse aripile negre, cel cu părul negru îi zâmbi gazdei camerei: -Buna bufnițe! -M-ai speriat! - a exclamat fata, privind iritată la tip. „Oh, haide”, a chicotit oaspetele. Cred că mereu îți va fi frică de mine. -Nu fii prostuț! Îmi va fi frică de un tip atât de arogant ca tine, spuse Vasilisa iritată. - Apropo, Flash, de ce ai venit, mai ales atât de târziu? Nu poti dormi din nou? — Da, încuviinţă Dragotius din cap. - Am decis să aranjez un tur al Cernovodului pentru mine... Dar mersul singur nu este foarte distractiv și periculos. La urma urmei, într-un castel necunoscut, - Flash își fulgeră cu viclenie ochii. - Ai vrea să-ți fac un tur? Vasilisa se uită uluită la prietena ei. -De ce nu? Știi totul aici? Bruneta ridică o sprânceană întrebătoare. — Aproape, răspunse evaziv roșcata. - Ei bine, asta e bine, - Dragotsy se duse la uşă. Pompierul nu mai avea nimic de făcut decât să-l urmeze. Băieții au mers pe coridoarele întunecate, aprinzând lămpile ore întregi. Vasilisa i-a spus lui Fash ce își amintește în acest castel. O asculta cu atenție, uneori întrerupând sau pufnind răutăcios la cutare sau cutare propunere. Curând s-a săturat doar să meargă și să asculte vorbărie, iar el, amintindu-și ceva, a pus întrebarea: -Apropo, ce fel de turn este pe care l-am văzut când conduceam într-o trăsură? -Ce vrei să spui? întrebă Ogneva gânditoare. — Pare a fi occidental, a spus Dragotsy. „Ah, acesta”, și-a dat seama imediat femeia cu părul roșu. - O spunem singuratică, au fost odată prizonieri. Să aruncăm o privire acolo, da? Excitarea fulgeră în ochii albaștri ca de gheață ai brunetei. „Ei bine, nu știu...” a spus Vasilisa, nesigură. - Ți-e frică? Dragotius chicoti. Așa cum se aștepta Flash, au reușit s-o ia slab: fata fetei s-a aprins, iar ea a strâns pumnii: -Hai, - iar Vasilisa a condus-o pe bruneta destul de zâmbitoare spre acest turn. După ce au deschis ușa fără obstacole, băieții au intrat în cameră. Ușa s-a închis repede. Flash s-a dus la fereastra deschisă și a sărit pe pervaz, inspirând mirosul revigorant al mării: - O, ei bine... - apoi se întoarse către roșcată. - Hai, stai jos, - și lovește-l cu palma pe locul de lângă el. Fata s-a așezat imediat lângă el. Lună plină strălucea în înălţimi, iar dedesubtul mării se agita. Val după val se rostogoli, izbindu-se de stânci. „Ce lună strălucitoare”, Vasilisa ridică din nou privirea spre cer. -Am un cântec despre lună. Compun de mult timp, - spuse deodată Flash. - Deci poți cânta? - s-a uitat surprins Dragotia roscata. Dădu din cap în tăcere. - Ce, nu mă crezi? - bruneta s-a apropiat de chipul lui Ognevoy, privind în ochii interlocutorului cu un rânjet. Am observat că obrajii ei au devenit roz, iar zâmbetul ei a devenit mai larg. „Nu, este doar...” Vasilisa, roșind, se bâlbâi, îndepărtând privirea de la ochii ei albaștri înghețați, care reflectau lumina lunii. - Pur și simplu nu a fost posibil să-ți confirmi cuvintele, - se uită din nou în acei ochi. Flash a început să se aplece încet spre roșcată. Ea a mers spre el. Între fețele lor rămân doar câțiva milimetri. Ogneva simțea deja o adiere ușoară de expirații pe buze. Buzele lor aproape s-au atins și... -Oh, ce dulce! - Vasilisa s-a desprins imediat de Dragotius și a roșit și mai rău decât înainte. Blițul s-a întors. Înainte să-i apară ochii limpezi... -Zakharra?! exclamară surprinși doi porumbei. -Ce faci aici? Brunetul s-a uitat la sora lui supărat. Da, te-am văzut zburând undeva, am decis să aflu. Am ieșit, mă uit, te plimbi, vorbești. Principalul lucru este că nu mă observi. Ei bine, te-am urmărit și am plecat, - am așezat totul în coadă. - Conectarea sângelui nativ... - mormăi Flash, coborî de pe pervaz și se duse în camera lui. Vasilisa a urmat exemplul. Zakharra s-a strecurat instantaneu pe coridorul din spatele Ognevei și s-a întors, de asemenea, în camera ei...

Pentru a construi un arbore de probabilitate, în primul rând, trebuie să desenați arborele în sine, apoi să notați toate informațiile cunoscute pentru această problemă în figură și, în cele din urmă, să utilizați regulile de bază pentru a calcula numerele lipsă și a completa arborele.

1. Probabilitățile sunt indicate la fiecare dintre punctele finale și încercuite. La fiecare nivel al arborelui, suma acestor probabilități trebuie să fie egală cu 1 (sau 100%). Deci, de exemplu, în fig. 6.5.1 Suma probabilităților la primul nivel este 0,20 + 0,80 = 1,00 și la al doilea nivel - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Această regulă ajută la umplerea unui cerc gol într-o coloană dacă sunt cunoscute valorile tuturor celorlalte probabilități ale acestui nivel.

Orez. 6.5.1

2. Probabilitățile condiționate sunt indicate lângă fiecare dintre ramuri (cu excepția,
eventual ramuri de primul nivel). Pentru fiecare dintre grupurile de ramuri care ies dintr-un punct, suma acestor probabilități este, de asemenea, egală cu 1 (sau 100%).
De exemplu, în fig. 6.5.1 pentru primul grup de ramuri obținem 0,15 + 0,85 =
1,00 iar pentru a doua grupă - 0,70 + 0,30 = 1,00. Această regulă permite
calculați o valoare necunoscută a probabilității condiționate într-un grup de ramuri care emană dintr-un punct.

3. Probabilitatea încercuită la începutul ramului înmulțită cu condiționalul
probabilitatea de lângă această ramură dă probabilitatea scrisă într-un cerc în
capătul ramului. De exemplu, în fig. 6.5.1 pentru ramura superioară care duce la dreapta
avem 0,20 x 0,15 = 0,03, pentru următoarea ramură - 0,20 x 0,85 = 0,17; relații similare sunt valabile pentru celelalte două ramuri. Această regulă poate fi folosită pentru a calcula o singură valoare necunoscută
probabilităţi de trei corespunzătoare unei ramuri.

4. Valoarea probabilității scrise într-un cerc este egală cu suma probabilităților încercuite la capetele tuturor ramurilor care ies din acest cerc
La dreapta. Deci, de exemplu, pentru Fig. 6.5.1 ieși din cerc cu o valoare de 0,20
două ramuri, la capetele cărora sunt încercuite probabilități, a căror sumă este egală cu această valoare: 0,03 + 0,17 = 0,20. Această regulă vă permite să găsiți o valoare necunoscută a probabilității într-un grup,
inclusiv această probabilitate și toate probabilitățile la capetele ramurilor copacului,
ieșind din cercul corespunzător.

Folosind aceste reguli, este posibil, cunoscând toate valorile de probabilitate, cu excepția uneia, pentru o ramură sau la un anumit nivel, să găsim această valoare necunoscută.

37. Ce eșantion se numește reprezentativ? Cum poate fi prelevat un eșantion reprezentativ?

Reprezentativitatea este capacitatea eșantionului de a reprezenta populația studiată. Cu cât componența eșantionului reprezintă mai precis populația pe problemele studiate, cu atât este mai mare reprezentativitatea acesteia.

Un eșantion reprezentativ este unul dintre conceptele cheie ale analizei datelor. Un eșantion reprezentativ este un eșantion dintr-o populație cu o distribuție F(X) reprezentând principalele trăsături ale populaţiei generale. De exemplu, dacă într-un oraș există 100.000 de oameni, dintre care jumătate sunt bărbați și jumătate sunt femei, atunci un eșantion de 1.000 de persoane dintre care 10 sunt bărbați și 990 sunt femei cu siguranță nu va fi reprezentativ. Un sondaj de opinie publică construit pe baza lui va conține, desigur, o părtinire în estimări și va duce la rezultate falsificate.

O condiție necesară pentru construirea unui eșantion reprezentativ este o probabilitate egală de a include fiecare element al populației generale în acesta.

Funcția de distribuție a eșantionului (empiric) oferă, cu o dimensiune mare a eșantionului, o idee destul de bună a funcției de distribuție F(X) din populația generală inițială.

Principiul de bază care stă la baza unei astfel de proceduri este principiul randomizării, aleatorii. Se spune că un eșantion este aleatoriu (uneori vom spune aleatoriu simplu sau aleatoriu pur) dacă sunt îndeplinite două condiții. În primul rând, eșantionul trebuie conceput în așa fel încât orice persoană sau obiect din cadrul populației să aibă șanse egale de a fi selectat pentru analiză. În al doilea rând, eșantionul trebuie proiectat astfel încât orice combinație de n articole (unde n este pur și simplu numărul de articole, sau cazuri, din eșantion) să aibă șanse egale de a fi selectată pentru analiză.

Atunci când se examinează populații care sunt prea mari pentru a rula o loterie adevărată, sunt adesea folosite eșantioane simple aleatorii. A scrie numele a câteva sute de mii de obiecte, a le pune într-o tobă și a selecta câteva mii nu este încă o muncă ușoară. În astfel de cazuri, se utilizează o metodă diferită, dar la fel de fiabilă. Fiecărui obiect din colecție i se atribuie un număr. Secvența numerelor din astfel de tabele este de obicei dată de un program de calculator numit generator de numere aleatoare, care, în esență, plasează un numar mare de numerele, le extrage aleatoriu și le imprimă în ordinea în care au fost primite. Cu alte cuvinte, are loc același proces care este caracteristic loteriei, dar computerul, folosind numere mai degrabă decât nume, face o alegere universală. Această alegere poate fi folosită prin simpla atribuire a unui număr fiecăruia dintre obiectele noastre.

Tabelul cu numere aleatorii ca o jucărie, poate fi folosit de mai mulți căi diferite, și în fiecare caz trebuie luate trei Hotărâri. În primul rând, este necesar să decidem câte cifre vom folosi, în al doilea rând, este necesar să dezvoltăm o regulă de decizie pentru utilizarea lor; în al treilea rând, trebuie să alegeți punctul de plecare și metoda de trecere prin tabel.

Odată făcut acest lucru, trebuie să dezvoltăm o regulă care leagă numerele din tabel cu numerele obiectelor noastre. Există două posibilități aici. Cel mai simplu mod (deși nu neapărat cel mai corect) este să folosim doar acele numere care se încadrează în numărul de numere atribuite obiectelor noastre. Deci, dacă avem o populație de 250 de caracteristici (și astfel folosim numere cu trei cifre) și decidem să începem din colțul din stânga sus al tabelului și să ne deplasăm în jos pe coloane, vom include numerele de caracteristici 100, 084 și 128 în eșantionul nostru, și să omitem numerele 375 și 990, care nu corespund obiectelor noastre. Acest proces va continua până când se va determina numărul de obiecte necesare pentru proba noastră.

O procedură mai consumatoare de timp, dar mai corectă din punct de vedere metodologic se bazează pe premisa că, pentru a păstra caracteristica aleatorie a tabelului, trebuie utilizat fiecare număr dintr-o anumită dimensiune (de exemplu, fiecare număr din trei cifre). Urmând această logică și ocupând din nou o colecție de 250 de obiecte, trebuie să împărțim regiunea numerelor de trei cifre de la 000 la 999 în 250 de intervale egale. Deoarece există 1000 de astfel de numere, împărțim 1000 la 250 și aflăm că fiecare parte conține patru numere. Deci numerele de tabel de la 000 la 003 vor corespunde obiectului 004 la 007 - obiectul 2 și așa mai departe. Acum, pentru a determina ce număr de obiect corespunde numărului din tabel, ar trebui să împărțiți numărul din trei cifre din tabel și să rotunjiți la cel mai apropiat număr întreg.

Și în sfârșit, trebuie să alegem în tabel punctul de plecare și metoda de trecere. Punctul de plecare poate fi colțul din stânga sus (ca în exemplul anterior), colțul din dreapta jos, marginea din stânga a celei de-a doua linii sau oriunde altundeva. Această alegere este complet arbitrară. Cu toate acestea, atunci când lucrăm cu masa, trebuie să acționăm sistematic. Am putea lua primele trei cifre ale fiecărei secvențe de cinci cifre, cele trei cifre din mijloc, ultimele trei cifre sau chiar prima, a doua și a patra cifră. (Din prima secvență de cinci cifre, aceste diverse proceduri produc numerele 100, 009, 097 și, respectiv, 109.) Am putea aplica aceste proceduri de la dreapta la stânga, obținând 790, 900, 001 și 791. Am putea merge de-a lungul rândurilor , luând în considerare fiecare cifră următoare pe rând și ignorând împărțirea în cinci (pentru primul rând se vor obține numerele 100, 973, 253, 376 și 520). Am putea trata doar fiecare al treilea grup de cifre (de exemplu, 10097, 99019, 04805, 99970). Există multe posibilități diferite și fiecare următoare nu este mai proastă decât cea anterioară. Totuși, odată ce am luat o decizie într-un fel sau altul, trebuie să o urmăm sistematic pentru a respecta cât mai mult aleatorietatea elementelor din tabel.

38. Ce interval numim interval de încredere?

Intervalul de încredere este abaterea admisibilă a valorilor observate de la valorile adevărate. Mărimea acestei ipoteze este determinată de cercetător, ținând cont de cerințele pentru acuratețea informațiilor. Dacă marja de eroare crește, dimensiunea eșantionului scade chiar dacă nivelul de încredere rămâne la 95%.

Intervalul de încredere arată în ce interval vor fi situate rezultatele observațiilor eșantionului (sondajelor). Dacă efectuăm 100 de anchete identice în eșantioane identice dintr-o singură populație (de exemplu, 100 de eșantioane a câte 1000 de persoane fiecare într-un oraș cu o populație de 5 milioane), atunci la un nivel de încredere de 95%, 95 din 100 de rezultate se vor încadra în intervalul de încredere (de exemplu, de la 28% la 32% cu o valoare reală de 30%).

De exemplu, numărul real al locuitorilor orașului care fumează este de 30%. Dacă selectăm 1000 de persoane de 100 de ori la rând și în aceste mostre punem întrebarea „fumați?”, în 95 din aceste 100 de eșantioane la un interval de încredere de 2%, valoarea va fi de la 28% la 32%.

39 Ce se numește nivelul de încredere (nivel de încredere)?

Nivelul de încredere reflectă cantitatea de date necesare evaluatorului pentru a afirma că programul examinat are efectul scontat. Științele sociale folosesc în mod tradițional nivelul de încredere de 95%. Cu toate acestea, pentru majoritatea programelor comunitare, 95% este exagerat. Un nivel de încredere în intervalul 80-90% este suficient pentru o evaluare adecvată a programului. În acest fel, dimensiunea grupului reprezentativ poate fi redusă, reducând astfel costul evaluării.

Procesul de evaluare statistică testează ipoteza nulă că programul nu a avut efectul scontat. Dacă rezultatele obținute diferă semnificativ de ipotezele inițiale cu privire la corectitudinea ipotezei nule, atunci aceasta din urmă este respinsă.

40. Care dintre cele două intervale de încredere este mai mare: 99% cu două cozi sau 95% cu două cozi? Explica.

Intervalul de încredere de 99% pe două fețe este mai mare decât cel de 95%, deoarece în el se încadrează mai multe valori. Doc-in:

Folosind scorurile z, puteți estima mai precis intervalul de încredere și puteți determina forma generală a intervalului de încredere. Formularea exactă a intervalului de încredere pentru media eșantionului este următoarea:

Astfel, pentru un eșantion aleator de 25 de observații satisfăcător distributie normala, cu intervalul de încredere al mediei eșantionului are următoarea formă:

Astfel, puteți fi 95% sigur că valoarea se află în ±1,568 unități din media eșantionului. Folosind aceeași metodă, se poate determina că intervalul de încredere de 99% se află în ±2,0608 unități din media eșantionului

valoare Astfel, avem și deci , În mod similar, obținem limita inferioara, care este egal cu

Conform interpretării pe mai multe lumi a fizicii cuantice, trăim într-o rețea infinită de universuri alternative. Aceasta este o afirmație serioasă care are implicații științifice, filozofice și existențiale certe și extrem de grave. Să ne uităm la zece dintre ele.

Conform ipotezei creatorului mecanicii cuantice Hugh Everett, trăim în Univers, mai precis în multivers, în care se nasc și se ramifică în mod constant multe lumi succesive, fiecare având o versiune diferită a ta.

Fizicienii cuantici au folosit interpretarea mai multor lumi pentru a elimina neajunsurile urâte ale interpretării de la Copenhaga, și anume afirmația că un fenomen neobservabil poate exista în două stări. Adică, în loc să pretindă că este atât vie, cât și moartă, interpretarea multi-lume spune că pisica pur și simplu s-a „ramificat” în lumi diferite: într-unul este viu, în celălalt e mort.

La 60 de ani de la introducerea sa, interpretarea mai multor lumi rămâne destul de bună problema controversata. Într-un sondaj din 2013 în rândul fizicienilor cuantici, doar o cincime a indicat că ei au salutat interpretarea mai multor lumi (prin comparație, 42% dintre fizicieni aderă la interpretarea de la Copenhaga). Cu toate acestea, printre susținătorii multiversului se numără oameni de știință foarte eminenti din domeniul fizicii cuantice - David Deutsch, Scott Aaronson, Sean Carroll.

Indiferent de starea în care se află această teorie, este extrem de interesant să speculăm cu privire la implicațiile ei.

Trăim într-un multivers gigantic

Cosmologii consideră că lumea pe care o observăm este una ca un lucru firesc. Speculațiile despre un univers multiplu au fost considerate de multă vreme o erezie științifică, dar probabilitatea ca acest lucru să fie adevărat crește din ce în ce mai mult. Fizicieni și metafizicieni, cosmologi, antropologi, fanatici cuantici - toată lumea începe să se gândească la asta.

Principala afirmație a interpretării lumi multiple este că tot ceea ce există este alcătuit dintr-o suprapunere cuantică a unui număr inimaginabil de mare – sau infinit – de universuri. Dacă această interpretare este corectă, trebuie să existe un număr absolut uimitor de lumi alternative.

Întregitatea vieții tale este o iluzie

MMI încalcă și conceptul nostru de personalitate. Cu toții ne percepem viața ca pe o călătorie unică și integrală prin spațiu și timp. În realitate, suntem un set de evenimente în creștere exponențială care se ramifică din moment în moment. Drept urmare, trebuie să ne gândim nu ca o persoană, ci ca o fracțiune.

Motivul acestei iluzii este că experiențele multiple sunt imposibile, așa că rămânem cu știința că suntem o singură persoană. Dar asta nu înseamnă că experiența noastră cu realitatea este autentică sau reală. Trebuie să recunoaștem - prin MMI - că viețile noastre nu sunt exact ceea ce par.

Există multe versiuni ale dvs

Dacă MMI este corect, există (sau un număr infinit) de versiuni ale dvs., fiecare dintre ele percepând lumea ca o persoană separată și nu este conștientă de existența altor versiuni. În consecință, volumul total al căilor alternative de viață este extrem de mare. De la naștere, tu - sau ceea ce crezi că ești - te-ai ramificat în lumi diferite. Setul complet al tău este un sistem masiv de rădăcină care crește exponențial și fiecare rădăcină reprezintă viață nouă.

Deoarece MWI este despre schimbare constantă, dependență de probabilități, fiecare nouă instanță a ta trebuie să fie diferită, văzând lumea în care a avut loc un rezultat alternativ al evenimentelor din viața ta. Prin urmare, există lumi în care încă trăiești cu fostul tău, ai mai mult sau mai puțin succes, ai murit deja sau ai experimentat moartea celor dragi care trăiesc în lumea prezentă. Pot exista chiar și versiuni malefice ale voastre în care sunteți teroriști sau asasini. Posibilitățile sunt aproape nelimitate atâta timp cât elementele de bază ale fizicii nu sunt încălcate.

Mai ai liber arbitru?

Având în vedere că toate deciziile posibile vor fi luate de diferite versiuni ale dvs., este destul de dificil pentru MMI să explice problema liberului arbitru. Dacă toate alegerile au fost deja făcute în lumi alternative, atunci de ce să treci prin toate problemele, cântărind argumentele pro și contra, luând decizii? Soarta colectivă a alter ego-urilor tale este deja predeterminată, alegerea este făcută pentru tine.

Expertul MMI Michael Clive-Price subliniază că, deși toate deciziile au fost deja luate, unele sunt luate mai des decât altele. Cu alte cuvinte, fiecare ramură a deciziei are propria „greutate” care afectează legile obișnuite ale statisticii cuantice.

În plus, MMI ar însemna un anumit non-determinism al ființei, deși într-un mod non-intuitiv. Ori de câte ori ne punem întrebarea: „Aș fi putut să iau o altă decizie sau să acționez altfel?”, MMI răspunde că da, desigur. Și nu numai tu, ci și versiune alternativă ai putea si tu. Dar de ce ai ales această opțiune, ai obținut anumite rezultate, totul se reduce la efectul evenimentelor cuantice asupra obiectelor clasice - inclusiv reflexiile din capul tău.

Undeva în afară pot exista lumi extrem de ciudate

MMI duce neapărat la posibilități foarte ciudate. Din nou, toate punctele de ramificație sunt posibile exact atâta timp cât nu încalci legile fizicii. Este important să rețineți, totuși, că, având în vedere întreaga gamă de lumi posibile, este mai probabil să vă găsiți în cea mai posibilă și mai rațională dintre lumi, deoarece acestea apar cu frecvență înaltă.

Dar există și lumi în care se întâmplă lucruri extrem de ciudate. De exemplu, cineva aruncă o monedă de 1.000 de ori și, odată cu aceasta, apare o lume în care răsturnează capete de 1.000 de ori la rând.

Există și lumi în care cineva va ghici absolut toate previziunile meciurilor sportive. Lumi în care o persoană fără educație muzicală, care văd pianul pentru prima dată, va cânta al 3-lea Concert pentru pian al lui Rahmaninov, așa cum ar fi cântat maestrul însuși. Șansele, însă, la un astfel de eveniment sunt neglijabile și depășesc limitele probabilităților astronomice, deși, desigur, există printre opțiunile infinit posibile.

Cu toate acestea, acest punct este pe care scepticii îl consideră cel mai acut, reducând raționalitatea MMI la minimum.

Ești cumva nemuritor

Acest experiment de gândire se numește „sinucidere cuantică”. Imaginați-vă o situație în care o persoană joacă la ruleta rusă, în care jumătate din țeava unui revolver este plină cu gloanțe. Într-o astfel de suprapunere, fiecare rotire a tobei va reseta șansele de sinucidere a unei persoane la 50/50. Dar MMI ne spune că trebuie să existe o lume în care un bărbat nu se va împușca niciodată chiar și după 50 de învârtiri ale tobei. Deși șansele ca acest lucru să se întâmple sunt aproape de zero, trebuie să se întâmple undeva.

În mod curios, fizicianul Max Tegmark spune că acest experiment ar putea servi drept dovadă a MMI, doar că ar necesita moartea multor oameni înainte ca o persoană norocoasă să ajungă la linia de sosire.

O altă viziune asupra nemuririi cuantice susține că o versiune a noastră înșine trebuie să existe întotdeauna pentru a observa universul. Paul Halpern, autorul cărții Pisica lui Schrödinger, a spus astfel:

„Ce este supraviețuirea umană? Suntem cu toții o colecție de particule, stabilite de reguli cuantice nivelul cel mai profund. Dacă de fiecare dată când are loc o tranziție cuantică, corpurile și mințile noastre se divid, vor exista copii care experimentează toate rezultatele posibile, inclusiv cel care determină dacă trăim sau murim. Să presupunem că într-un caz, un anumit set de tranziții cuantice duce la o distribuție anormală a celulelor și provoacă o formă mortală de cancer. Pentru fiecare tranziție va exista întotdeauna o alternativă care nu duce la cancer. Se dovedește că întotdeauna vor exista filiale cu supraviețuitori. Adăugați la aceasta presupunerea că conștiința noastră va locui întotdeauna doar în copii vii și putem supraviețui oricărui număr de evenimente potențial periculoase asociate cu tranzițiile cuantice.

Comunicarea între lumi paralele poate fi posibilă

În 1995, fizicianul cuantic Rainer Plaga și-a propus să testeze experimental MMI, descriind procedura pentru schimbul „inter-lume” de informații și energie prin „cuplare slabă”.

Folosind echipament optic cuantic standard, un singur ion poate fi izolat din mediul său într-o capcană de ioni. O măsurătoare mecanică cuantică poate fi apoi făcută cu două rezultate separate pe alt sistem, creând astfel două lumi paralele. În funcție de rezultat, ionul va fi excitat doar într-una dintre aceste lumi paralele înainte ca ionul să decoereze în timpul interacțiunii. mediu inconjurator. Plaga susține că am putea detecta această excitație într-o altă lume paralelă, care ar oferi MMI dovezi - și ar oferi cale posibilă trimite un mesaj către o realitate paralelă.

Fără paradoxuri ale călătoriei în timp

Este simplu: prezența unor lumi alternative va însemna absența unei singure scale de timp pe care să poți naviga.

Dacă cineva călătorește înapoi în timp, ar însemna trecerea la paradigme temporale complet noi. În consecință, în MMI, paradoxurile precum întoarcerea în trecut și uciderea bunicului pur și simplu nu își găsesc un loc.

Totul s-a mai întâmplat și se va întâmpla din nou.

Cea mai interesantă consecință a unui număr infinit de lumi este că totul s-a întâmplat deja. Mai mult, se va întâmpla de un număr infinit de ori.

Pe baza materialelorIO9

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13, 31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (SUMA PUNCTELOR ESTE 2 SAU 3);

● E= (TOTALUL PUNCTELOR ESTE 10).

Descrie evenimentul: CU= (CIRCUIT ÎNCHIS) pentru fiecare caz.

Soluţie. Să introducem notația: eveniment A- contactul 1 este închis; eveniment ÎN- contactul 2 este închis; eveniment CU- circuitul este închis, lumina este aprinsă.

1. Pentru o conexiune în paralel, circuitul este închis când cel puțin unul dintre contacte este închis, deci C = A + B;

2. Pentru o conexiune în serie, circuitul este închis când ambele contacte sunt închise, deci C \u003d A B.

Sarcină. 1.1.4 Au fost realizate două circuite electrice:

Evenimentul A - circuitul este închis, evenimentul A i - eu- al-lea contact este închis. Pentru care dintre ele este raportul

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Soluţie. Pentru primul circuit, A = A1 (A2 A3 + A4 A5), deoarece suma evenimentelor corespunde unei conexiuni paralele și conexiune serială- realizarea de evenimente. Pentru cea de-a doua schemă A = A1 (A2+A3 A4 A5). Prin urmare, această relație este valabilă pentru a doua schemă.

Sarcină. 1.1.5 Simplificați expresia (A + B)(B + C)(C + A).

Soluţie. Să folosim proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire a evenimentelor.

(A+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Sarcină. 1.1.6Demonstrați că evenimentele A, AB și A+B formează un grup complet.

Soluţie. Când rezolvăm problema, vom folosi proprietățile operațiilor pe evenimente. În primul rând, arătăm că aceste evenimente sunt incompatibile între perechi.

Să arătăm acum că suma acestor evenimente dă spațiul evenimentelor elementare.

Sarcină. 1.1.7Folosind schema Euler–Venn, verificați regula de Morgan:

A) Evenimentul AB este umbrit.

B) Evenimentul A - hașura verticală; evenimentul B – hașura orizontală. Eveniment

(A+B) - zonă umbrită.

Dintr-o comparație a figurilor a) și c) rezultă:

Sarcină. 1.2.1În câte moduri pot fi așezate 8 persoane?

1. Într-un rând?

2. In spate masa rotunda?

Soluţie.

1. Numărul dorit de moduri este egal cu numărul de permutări din 8, adică.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Întrucât alegerea primei persoane la masa rotundă nu afectează alternanța elementelor, atunci oricine poate fi luat primul, iar cele rămase vor fi ordonate relativ la cel ales. Această acțiune poate fi efectuată în 8!/8 = 5040 moduri.

Sarcină. 1.2.2Cursul acoperă 5 subiecte. În câte moduri vă puteți face un program pentru sâmbătă dacă urmează să fie două cupluri diferite în acea zi?

Soluţie. Numărul dorit de moduri este numărul de plasări

De la 5 la 2, deoarece trebuie să țineți cont de ordinea perechilor:

Sarcină. 1.2.3Câte comisii de examinare, formate din 7 persoane, pot fi formate din 15 profesori?

Soluţie. Numărul dorit de comisioane (fără să țină cont de comandă) este numărul de combinații de la 15 la 7:

Sarcină. 1.2.4 Dintr-un coș care conține douăzeci de bile numerotate, se aleg 5 bile pentru noroc. Determinați numărul de elemente din spațiul evenimentelor elementare ale acestei experiențe dacă:

Bilele sunt selectate secvențial una după alta cu revenire după fiecare extracție;

Bilele se aleg una cate una fara sa se intoarca;

Se selectează 5 bile deodată.

Soluţie.

Numărul de moduri de extragere a primei mingi din coș este 20. Deoarece bila extrasă este returnată în coș, numărul de modalități de extragere a celei de-a doua mingi este de asemenea 20 și așa mai departe. Apoi, numărul de modalități de extragere a 5 bile în acest caz este 20 20 20 20 20 = 3200000.

Numărul de moduri de extragere a primei mingi din coș este 20. Deoarece mingea extrasă nu s-a întors în coș după extragere, numărul de modalități de extragere a celei de-a doua mingi a devenit 19 etc. Apoi numărul de moduri de extragere a 5 bile fără înlocuire este 20 19 18 17 16 = A52 0

Numărul de moduri de a extrage 5 bile din coș simultan este egal cu numărul de combinații de 20 cu 5:

Sarcină. 1.2.5 Două zaruri. Găsiți probabilitatea evenimentului A ca cel puțin un 1 să fie aruncat.

Soluţie. Pe fiecare zar poate cădea orice număr de puncte de la 1 la 6. Prin urmare, spațiul evenimentelor elementare conține 36 de rezultate la fel de posibile. Evenimentul A este favorizat de 11 rezultate: (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1.5), (5.1), (1.6), (6.1), deci

Sarcină. 1.2.6 Literele y, i, i, k, c, f, n sunt scrise pe cartonașe roșii, literele a, a, o, t, t, s, h sunt scrise pe cartonașe albastre După o amestecare amănunțită, ceea ce este mai probabil : de la prima dată din litere pentru a folosi cartonașele roșii pentru a face cuvântul „funcție” sau literele de pe cartonașele albastre pentru a face cuvântul „frecvență”?

Soluţie. Fie evenimentul A cuvântul „funcție” compus aleatoriu din 7 litere, evenimentul B - cuvântul „frecvență” compus aleatoriu din 7 litere. Deoarece sunt ordonate două seturi de 7 litere, numărul tuturor rezultatelor pentru evenimentele A și B este n = 7!. Evenimentul A este favorizat de un rezultat m = 1, deoarece toate literele de pe cartonașele roșii sunt diferite. Evenimentul B este favorizat de m = 2! · 2! rezultate, deoarece literele „a” și „t” apar de două ori. Atunci P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Sarcină. 1.2.7 La examen, studentului i se oferă 30 de bilete; Fiecare bilet are două întrebări. Din cele 60 de întrebări incluse în bilete, studentul știe doar 40. Aflați probabilitatea ca biletul luat de student să fie format din

1. din problemele cunoscute de el;

2. din întrebări necunoscute lui;

3. dintr-o întrebare cunoscută și una necunoscută.

Soluţie. Fie A evenimentul în care elevul cunoaște răspunsul la ambele întrebări; B - nu cunoaște răspunsul la ambele întrebări; C - știe răspunsul la o întrebare, nu știe răspunsul la alta. Alegerea a două întrebări din 60 se poate face în n = C260 = 60 2 59 = 1770 moduri.

1. Există m = C240 ​​​​= 40 2 39 = 780 de variante de întrebări cunoscute elevului. Atunci P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Alegerea a două întrebări necunoscute din 20 se poate face în m = C220 = 20 2 19 = 190 de moduri. În acest caz

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Există m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 de moduri de a alege un bilet cu o întrebare cunoscută și o întrebare necunoscută. Atunci P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Sarcină. 1.2.8Unele informații au fost trimise prin trei canale. Canalele funcționează independent unul de celălalt. Găsiți probabilitatea ca informația să atingă scopul

1. Doar pe un canal;

2. Cel puțin un canal.

Soluţie. Fie A un eveniment constând în faptul că informația ajunge la scop printr-un singur canal; B - cel puțin un canal. Experiența este transmiterea de informații prin trei canale. Rezultatul experienței - informația a atins scopul. Indică Ai - informația ajunge la țintă prin canalul i-lea. Spațiul evenimentelor elementare are forma:

Evenimentul B este favorizat de 7 rezultate: toate rezultatele cu excepția Atunci n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 38; P(B) = 7 8.

Sarcină. 1.2.9Un punct apare aleatoriu pe un segment de lungime unitară. Aflați probabilitatea ca distanța de la punct la capetele segmentului să fie mai mare de 1/8.

Soluţie. După condiția problemei, evenimentul dorit este satisfăcut de toate punctele care apar pe intervalul (a; b).

Deoarece lungimea sa este s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, iar lungimea întregului segment este S = 1, probabilitatea necesară este P = s/S = 3/14 = 0,75.

Sarcină. 1.2.10Într-un lot deNproduseKprodusele sunt defecte. Pentru control, sunt selectate m produse. Găsiți probabilitatea ca de la M Produse L Se dovedesc a fi defecte (evenimentul A).

Soluţie. Alegerea m produse din n se poate face în moduri, iar alegerea L defect din k defect - în moduri. După selecție L produsele defecte vor rămâne (m - L) potrivire, situată printre (n - k) produse. Atunci numărul de rezultate care favorizează evenimentul A este

Și probabilitatea dorită

Sarcină. 1.3.1BO urnă conține 30 de bile: 15 roșii, 10 albastre și 5 albe. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu să fie colorată.

Soluţie. Fie evenimentul A - se extrage o bila rosie, evenimentul B - se extrage o bila albastra. Apoi evenimente (A + B) - este extrasă o minge colorată. Avem P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Deoarece

Evenimentele A și B sunt incompatibile, atunci P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Sarcină. 1.3.2Probabilitatea ca să ningă (un eveniment A ), este egal cu 0.6, Și faptul că va ploua (eveniment B ), este egal cu 0.45. Găsiți probabilitatea de vreme rea dacă probabilitatea de ploaie și ninsoare (eveniment AB ) este egal cu 0.25.

Soluţie. Evenimentele A și B sunt comune, deci P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Sarcină. 1.3.3BPrima cutie conține 2 bile albe și 10 negre, a doua - 3 bile albe și 9 negre, iar a treia - 6 bile albe și 6 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Aflați probabilitatea ca toate bilele extrase să fie albe.

Soluţie. Evenimentul A - o minge albă este extrasă din prima casetă, B - din a doua casetă, C - din a treia. Atunci P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Evenimentul ABC - toate eliminate

Bilele sunt albe. Prin urmare, evenimentele A, B, C sunt independente

P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Sarcină. 1.3.4Bcircuit electric conectat în serie 5 Elemente care funcționează independent unele de altele. Probabilitatea eșecurilor primului, al doilea, al treilea, al patrulea, respectiv al cincilea elemente sunt 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Găsiți probabilitatea ca în circuit să nu existe curent (eveniment A ).

Soluţie. Deoarece elementele sunt conectate în serie, nu va exista curent în circuit dacă cel puțin un element cade. Evenimentul Ai(i =1...5) - va eșua eu- al-lea element. Evenimente

Sarcină. 1.3.5Circuitul este format din blocuri independente conectate într-un sistem cu o intrare și o ieșire.

Eșecul în timpul T a diferitelor elemente de circuit sunt evenimente independente cu următoarele probabilitățiP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Defectarea oricăruia dintre elemente duce la o întrerupere a semnalului în ramura circuitului în care se află acest element. Găsiți fiabilitatea sistemului.

Soluţie. Dacă evenimentul A - (SISTEMUL ESTE DE FIABILITATE), Ai - (i --a UNITATE FUNcționează DEFECT), atunci A = (A1 + A2)(A3 + A4). Evenimentele A1+A2, A3+A4 sunt independente, evenimentele A1 și A2, A3 și A4 sunt comune. După formulele de înmulțire și adunare a probabilităților

Sarcină. 1.3.6Muncitorul deservește 3 utilaje. Probabilitatea ca în decurs de o oră mașina să nu necesite atenția unui lucrător este de 0,9 pentru prima mașină, 0,8 pentru a doua și 0,7 pentru a treia.

Găsiți probabilitatea ca în decurs de o oră

1. A doua mașină va necesita atenție;

2. Două mașini vor necesita atenție;

3. Cel puțin două mașini vor avea nevoie de atenție.

Soluţie. Fie că Ai - a i-a mașină necesită atenția lucrătorului, - a i-a mașină nu va necesita atenția lucrătorului. Apoi

Spațiul evenimentelor elementare:

1. Evenimentul A - va necesita atenția celui de-al doilea aparat: Apoi

Întrucât evenimentele sunt incompatibile și independente. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Evenimentul B - două mașini vor necesita atenție:

3. Evenimentul C - cel puțin două asomări vor necesita atenție
cov:

Sarcină. 1.3.7Bmașină „Examinator” introdusă 50 întrebări. Studentul este oferit 5 Întrebări și un punct „excelent” se acordă dacă la toate întrebările se răspunde corect. Găsiți probabilitatea de a obține „excelent” dacă studentul s-a pregătit doar 40 întrebări.

Soluţie. A - (PRIMIT "EXCELENT"), Ai - (RĂSPUNS LA I --A ÎNTREBARE). Atunci A = A1A2A3A4A5, avem:

Sau, într-un alt mod - folosind formula clasică de probabilitate: ȘI

Sarcină. 1.3.8Probabilitățile în care se află piesa necesară asamblatoruluieu, II, III, IVcaseta, respectiv, sunt egale 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Găsiți probabilitatea ca colecționarul să fie nevoit să bifeze toate cele 4 casete (evenimentA).

Soluţie. Lasă Ai - (Piesa cerută de asamblator este în i-a caseta.) Apoi

Întrucât evenimentele sunt incompatibile și independente, atunci

Sarcină. 1.4.1 A fost examinat un grup de 10.000 de persoane cu vârsta peste 60 de ani. S-a dovedit că 4000 de oameni sunt fumători permanenți. 1800 de fumători au prezentat modificări grave la nivelul plămânilor. Dintre nefumători, 1500 de persoane au avut modificări la nivelul plămânilor. Care este probabilitatea ca o persoană examinată aleatoriu cu modificări pulmonare să fie fumătoare?

Soluţie. Să introducem ipotezele: H1 - cel examinat este fumător permanent, H2 - este nefumător. Apoi, după starea problemei

P(H1)= -------=0,4, P(H2)=---------=0,6

Notează cu A evenimentul că persoana examinată prezintă modificări la nivelul plămânilor. Apoi, după starea problemei

Prin formula (1.15) găsim

Probabilitatea dorită ca persoana examinată să fie fumător, conform formulei Bayes, este egală cu

Sarcină. 1.4.2Televizoarele din trei fabrici ies în vânzare: 30% din prima fabrică, 20% din a doua, 50% din a treia. Produsele primei fabrici conțin 20% televizoare cu un defect ascuns, al doilea - 10%, al treilea - 5%. Care este probabilitatea de a obține un televizor funcțional?

Soluţie. Să luăm în considerare următoarele evenimente: A - a fost achiziționat un televizor care poate fi reparat; ipotezele H1, H2, H3 - televizorul a intrat în vânzare din prima, a doua, respectiv a treia fabrică. Conform sarcinii

Prin formula (1.15) găsim

Sarcină. 1.4.3Sunt trei cutii identice. Prima are 20 de bile albe, a doua are 10 bile albe și 10 negre, iar a treia are 20 de bile negre. O bilă albă este extrasă dintr-o casetă aleasă aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie din a doua casetă.

Soluţie. Fie evenimentul A - se scoate o minge albă, ipotezele H1, H2, H3 - se scoate mingea din prima, a doua, respectiv a treia casetă. Din starea problemei găsim

Apoi
Prin formula (1.15) găsim

Prin formula (1.16) găsim

Sarcină. 1.4.4Un mesaj telegrafic constă din semnalele punct și liniuță. Proprietățile statistice ale interferenței sunt de așa natură încât sunt distorsionate în medie 2/5 Mesaje punct și 1/3 Mesaje cu liniuță. Se știe că printre semnalele transmise „punct” și „liniuță” apar în raport 5: 3. Determinați probabilitatea ca un semnal transmis să fie recepționat dacă:

A) se primește un semnal „punct”;

B)semnal liniuță primit.

Soluţie. Lăsați evenimentul A - semnalul „punct” este primit, iar evenimentul B - semnalul „liniuță” este primit.

Se pot formula două ipoteze: H1 - se transmite semnalul „punct”, H2 - se transmite semnalul „liniuță”. După condiția P(H1): P(H2) =5: 3. În plus, P(H1 ) + P(H2)= 1. Prin urmare P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Se știe că

Probabilități de eveniment AȘI B Găsim prin formula probabilității totale:

Probabilitățile dorite vor fi:

Sarcină. 1.4.5Din cele 10 canale radio, 6 canale sunt protejate de interferențe. Probabilitatea ca un canal sigur în timpTnu va eșua este 0,95, pentru un canal neprotejat - 0,8. Găsiți probabilitatea ca două canale selectate aleatoriu să nu eșueze în timpT, iar ambele canale nu sunt protejate de interferențe.

Soluţie. Lăsați evenimentul A - ambele canale nu vor eșua în timpul t, evenimentul A1- Canal securizat selectat A2- Este selectat un canal nesecurizat.

Să scriem spațiul evenimentelor elementare pentru experiment - (sunt selectate două canale):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Ipoteze:

H1 - ambele canale sunt protejate de interferențe;

H2 - primul canal selectat este protejat, al doilea canal selectat nu este protejat de interferențe;

H3 - primul canal selectat nu este protejat, al doilea canal selectat este protejat de interferențe;

H4 - ambele canale selectate nu sunt protejate de interferențe. Apoi

ȘI

Sarcină. 1.5.1Transmis prin canalul de comunicare 6 Mesaje. Fiecare dintre mesaje poate fi distorsionat de zgomot cu o probabilitate 0.2 Indiferent de ceilalți. Găsiți probabilitatea ca

1. 4 mesaje din 6 nu sunt distorsionate;

2. Cel puțin 3 din 6 au fost transmise distorsionate;

3. Cel puțin un mesaj din 6 este fals;

4. Nu mai mult de 2 din 6 nu sunt distorsionate;

5. Toate mesajele sunt transmise fără distorsiuni.

Soluţie. Deoarece probabilitatea de distorsiune este de 0,2, probabilitatea de a transmite un mesaj fără interferență este de 0,8.

1. Folosind formula Bernoulli (1.17), găsim probabilitatea
rata de transmisie de 4 din 6 mesaje fără interferențe:

2. cel puțin 3 din 6 sunt transmise distorsionate:

3. cel puțin un mesaj din 6 este deranjat:

4. cel puțin un mesaj din 6 este deranjat:

5. toate mesajele sunt transmise fără distorsiuni:

Sarcină. 1.5.2Probabilitatea ca ziua să fie senină vara este de 0,42; probabilitatea unei zile înnorate este de 0,36 și parțial noros este de 0,22. La câte zile din 59 se poate aștepta să fie senin și înnorat?

Soluţie. Se poate observa din starea problemei că este necesar să se caute numărul cel mai probabil de clare și zile înnorate.

Pentru zile senine P= 0.42, N= 59. Compunem inegalități (1,20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Lu≤ 25.2 → Lu= 25.

Pentru zilele înnorate P= 0.36, N= 59 și

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Prin urmare, 20,16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Astfel, cel mai probabil număr de zile senine Lu= 25, zile înnorate - M0 = 21. Apoi vara ne putem aștepta Lu+ M0 =46 zile senine și înnorate.

Sarcină. 1.5.3Sunt 110 studenți ai cursului la prelegerea despre teoria probabilităților. Găsiți probabilitatea ca

1. k elevi (k = 0,1,2) dintre cei prezenți s-au născut la 1 septembrie;

2. cel puţin un student al cursului s-a născut la 1 septembrie.

P=1/365 este foarte mic, deci folosim formula Poisson (1.22). Să găsim parametrul Poisson. Deoarece

N= 110, atunci λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Apoi prin formula Poisson

Sarcină. 1.5.4Probabilitatea ca o piesă să nu fie standard este 0.1. Câte detalii trebuie selectate astfel încât cu probabilitatea P = 0.964228 S-ar putea argumenta că frecvența relativă de apariție a pieselor nestandard se abate de la probabilitatea constantă p = 0.1 În termeni absoluti, nu mai mult de 0.01 ?

Soluţie.

Număr necesar N Găsim prin formula (1.25). Avem:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Înlocuiți datele din formula:

Unde găsim

Conform tabelului de valori ale funcției Φ( X) constatăm că

Sarcină. 1.5.5Probabilitatea de defectare în timpul T a unui condensator este de 0,2. Determinați probabilitatea ca în timp T din 100 condensatoare să se defecteze.

1. Exact 10 condensatoare;

2. Cel puțin 20 de condensatoare;

3. Mai puțin de 28 de condensatoare;

4. De la 14 la 26 de condensatoare.

Soluţie. Avem P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Exact 10 condensatoare.

Deoarece P Veliko, să folosim teorema locală de Moivre-Laplace:

Calcula

Din moment ce funcţia φ(x)- par, atunci φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (aflam din tabelul cu valorile functiei φ(x). Probabilitatea dorită

2. Cel puțin 20 de condensatoare;

Cerința ca cel puțin 20 din 100 de condensatoare să eșueze înseamnă că fie 20, fie 21, ... sau 100 vor eșua. T1 = 20, T 2=100. Apoi

Conform tabelului cu valorile funcției Φ(x) Să găsim Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Probabilitate necesară:

3. Mai puțin de 28 de condensatoare;

(aici s-a luat în considerare faptul că funcția Laplace Ф(x) este impară).

4. De la 14 la 26 de condensatoare. După condiție M1= 14, m2 = 26.
Calculați x 1,x2:

Sarcină. 1.5.6Probabilitatea de apariție a unui eveniment într-un experiment este egală cu 0,6. Care este probabilitatea ca acest eveniment să apară în majoritatea celor 60 de încercări?

Soluţie. Cantitate M Apariția unui eveniment într-o serie de teste este în interval. „În majoritatea experimentelor” înseamnă asta M Aparține intervalului Prin condiție N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Calculați x1 și x2:

Variabile aleatoare și distribuțiile lor

Sarcină. 2.1.1Există un tabel în care este afișat rândul de sus valori posibile variabilă aleatorie X , iar în partea de jos - probabilitățile lor.

Acest tabel poate fi o serie de distribuție? X ?

Răspuns: Da, deoarece p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Sarcină. 2.1.2Eliberată 500 bilete de loterie și 40 Biletele vor aduce proprietarilor lor un premiu pentru 10000 Freca., 20 Bilete - de 50000 Freca., 10 Bilete - de 100000 Freca., 5 Bilete - de 200000 Freca., 1 Bilet - 500000 Rub., restul - fără victorie. Găsiți legea de distribuție câștigătoare pentru proprietarul unui bilet.

Soluţie.

Valori posibile ale lui X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Probabilitățile acestor valori posibile sunt:

Legea de distribuție dorită:

Sarcină. 2.1.3trăgător, având 5 Cartușe, trage până la prima lovitură în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este 0.7. Construiți legea de distribuție a numărului de cartușe utilizate, găsiți funcția de distribuțieF(X) și trasați graficul său, găsiți P(2< x < 5).

Soluţie.

Spațiul evenimentelor elementare ale experienței

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Unde evenimentul (1) - a lovit ținta, evenimentul (0) - nu a lovit ținta. Rezultatele elementare corespund următoarelor valori ale valorii aleatorii a numărului de cartușe utilizate: 1, 2, 3, 4, 5. Deoarece rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cel precedent, probabilitățile de valori posibile sunt:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Legea de distribuție dorită:

Găsiți funcția de distribuție F(X), Folosind formula (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, F(x) = 1

Găsiți P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Sarcină. 2.1.4DanaF(X) a unei variabile aleatoare:

Scrieți seria de distribuție pentru X.

Soluţie.

Din proprietăți F(X) Rezultă că valorile posibile ale variabilei aleatoare X - Puncte de întrerupere a funcției F(X), Și probabilitățile corespunzătoare sunt salturi ale funcției F(X). Găsiți valorile posibile ale variabilei aleatoare X=(0,1,2,3,4).

Sarcină. 2.1.5Setați ce funcție

Este o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare.

Dacă răspunsul este da, găsiți probabilitatea ca corespunzătoare valoare aleatorie preia valori[-3,2].

Soluţie. Să reprezentăm grafic funcțiile F1(x) și F2(x):

Funcția F2(x) nu este o funcție de distribuție, deoarece nu este nedescrescătoare. Funcția F1(x) este

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, deoarece este nedescrescătoare și satisface condiția (2.3). Să găsim probabilitatea de a atinge intervalul:

Sarcină. 2.1.6Având în vedere densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X :

Găsi:

1. Coeficient C ;

2. funcția de distribuție F(x) ;

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în interval(1, 3).

Soluţie. Din condiția de normalizare (2.9) găsim

Prin urmare,

Prin formula (2.10) găsim:

Prin urmare,

Prin formula (2.4) găsim

Sarcină. 2.1.7Perioada de nefuncționare aleatorie a echipamentelor electronice în unele cazuri are o densitate de probabilitate

Unde M = lge = 0,4343...

Găsiți funcția de distribuție F(x) .

Soluţie. Prin formula (2.10) găsim

Unde

Sarcină. 2.2.1Este dată o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X :

Găsiți așteptările matematice, varianța, abaterea standard, M, D[-3X + 2].

Soluţie.

Conform formulei (2.12) găsim așteptarea matematică:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Folosind formula (2.19), găsim dispersia:

Sarcină. 2.2.2Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare continue X , a cărui funcție de distribuție

.

Soluţie. Găsiți densitatea de probabilitate:

Așteptările matematice se găsesc prin formula (2.13):

Găsim dispersia prin formula (2.19):

Să găsim mai întâi așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare:

Deviație standard

Sarcină. 2.2.3Xare un număr de distribuții:

Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoareY = EX .

Soluţie. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 0,2 + e0 0,3 + e1 0,4 + e2 0,1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Sarcină. 2.2.4Variabilă aleatorie discretă X Poate lua doar două valori X1 ȘI X2 , și X1< x2. Probabilitate cunoscută P1 = 0,2 Valoare posibilă X1 , valorea estimata M[X] = 3,8 Și dispersie D[X] = 0,16. Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare.

Soluţie. Deoarece variabila aleatoare X ia doar două valori x1 și x2, atunci probabilitatea p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

După starea problemei, avem:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Astfel, avem sistemul de ecuații:

Condiție x1

Sarcină. 2.2.5Variabila aleatoare X este supusă legii distribuției, al cărei grafic al densității are forma:

Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard.

Soluţie. Să găsim funcția de distribuție diferențială f(x). În afara intervalului (0, 3) f(x) = 0. Pe intervalul (0, 3) graficul densității este o dreaptă cu panta k = 2/9 care trece prin origine. Prin urmare,

Valorea estimata:

Aflați varianța și abaterea standard:

Sarcină. 2.2.6Găsiți așteptările și varianța matematică a sumei punctelor de pe patru zaruri dintr-o singură aruncare.

Soluţie. Să notăm A - numărul de puncte de pe un zar dintr-o aruncare, B - numărul de puncte de pe al doilea zar, C - pe al treilea zar, D - pe al patrulea zar. Pentru variabile aleatoare A, B, C, D, legea distribuției unu.

Atunci M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Sarcină. 2.3.1Probabilitatea ca o particulă emisă dintr-o sursă radioactivă să fie înregistrată de un contor este egală cu 0.0001. În perioada de observație, 30000 particule. Găsiți probabilitatea ca contorul să fi înregistrat:

1. Exact 3 particule;

2. Nici o particulă;

3. Cel puțin 10 particule.

Soluţie. După condiție P= 30000, P= 0,0001. Evenimentele constând în faptul că sunt înregistrate particule emise dintr-o sursă radioactivă sunt independente; număr P Grozav, dar probabilitatea P Mic, deci folosim distribuția Poisson: Să găsim λ: λ = n P = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Probabilități dorite:

Sarcină. 2.3.2Există 5% piese non-standard în lot. 5 articole au fost selectate aleatoriu. Scrieți legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de piese non-standard dintre cele cinci selectate; găsiți așteptările și varianța matematică.

Soluţie. Variabila aleatoare discretă X - numărul de părți nestandard - are o distribuție binomială și poate lua următoarele valori: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Probabilitate a unei piese nestandard într-un lot p = 5 /100 = 0,05. Să găsim probabilitățile acestor valori posibile:

Să scriem legea de distribuție dorită:

Să găsim caracteristicile numerice:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Sau D[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Sarcină. 2.3.3Timpul de detectare a țintei radar este distribuit conform legii exponențiale

Unde1/ λ = 10 Sec. - timpul mediu de detectare a țintei. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie găsită în timp5 Inainte de15 Sec. după începerea căutării.

Soluţie. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X În interval (5, 15) Să găsim prin formula (2.8):

La Primim

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Sarcină. 2.3.4Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu parametrii a = 0, σ = 20 Mm. Scrieți funcția de distribuție diferențialăF(X) și găsiți probabilitatea ca măsurarea să fi făcut o eroare în intervalul de la 5 Inainte de 10 Mm.

Soluţie. Să substituim valorile parametrilor a și σ în funcția de distribuție diferențială (2.35):

Folosind formula (2.42), găsim probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X În interval , i.e. A= 0, B= 0,1. Apoi funcția de distribuție diferențială F(x) Va arata ca