Tematica aritmetică și medie geometrică este inclusă în programul de matematică pentru clasele 6-7. Deoarece paragraful este destul de ușor de înțeles, este trecut rapid, iar concluzia este an scolar elevii o uită. Dar cunoștințe în statistici de bază sunt necesare pentru promovarea examenului, precum și pentru examenele internaționale SAT. Și pentru viața de zi cu zi, gândirea analitică dezvoltată nu strică niciodată.

Cum se calculează media aritmetică și geometrică a numerelor

Să presupunem că există o serie de numere: 11, 4 și 3. Media aritmetică este suma tuturor numerelor împărțită la numărul de numere date. Adică, în cazul numerelor 11, 4, 3, răspunsul va fi 6. Cum se obține 6?

Rezolvare: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Numitorul trebuie să conțină un număr egal cu numărul de numere a căror medie se găsește. Suma este divizibilă cu 3, deoarece există trei termeni.

Acum trebuie să ne ocupăm de media geometrică. Să presupunem că există o serie de numere: 4, 2 și 8.

Media geometrică este produsul tuturor numerelor date, care se află sub o rădăcină cu un grad egal cu numărul numerelor date, adică în cazul numerelor 4, 2 și 8, răspunsul este 4. Iată cum s-a întâmplat. :

Rezolvare: ∛(4 × 2 × 8) = 4

În ambele opțiuni s-au obținut răspunsuri întregi, deoarece au fost luate ca exemplu numere speciale. Acesta nu este întotdeauna cazul. În cele mai multe cazuri, răspunsul trebuie să fie rotunjit sau lăsat la rădăcină. De exemplu, pentru numerele 11, 7 și 20, media aritmetică este ≈ 12,67, iar media geometrică este ∛1540. Iar pentru numerele 6 și 5, răspunsurile, respectiv, vor fi 5,5 și √30.

Se poate întâmpla ca media aritmetică să devină egală cu media geometrică?

Desigur că se poate. Dar numai în două cazuri. Dacă există o serie de numere formată numai din unu sau zero. De asemenea, este de remarcat faptul că răspunsul nu depinde de numărul lor.

Demonstrație cu unități: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (media aritmetică).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (media geometrică).

Demonstrație cu zerouri: (0 + 0) / 2=0 (media aritmetică).

√(0 × 0) = 0 (media geometrică).

Nu există altă opțiune și nu poate exista.

Cel mai comun tip de medie este media aritmetică.

medie aritmetică simplă

Media aritmetică simplă este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al unui anumit atribut din date este distribuit în mod egal între toate unitățile incluse în această populație. Astfel, producția medie anuală per muncitor este o astfel de valoare a volumului de producție care ar cădea asupra fiecărui angajat dacă întregul volum de producție ar fi distribuit în mod egal între toți angajații organizației. Valoarea medie aritmetică simplă se calculează cu formula:

medie aritmetică simplă- Egal cu raportul dintre suma valorilor individuale ale unei caracteristici și numărul de caracteristici în agregat

Exemplul 1 . O echipă de 6 muncitori primește 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mii de ruble pe lună.

Găsiți salariul mediu
Rezolvare: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mii de ruble.

Media ponderată aritmetică

Dacă volumul setului de date este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează o medie aritmetică ponderată. Așa se determină prețul mediu ponderat pe unitatea de producție: costul total de producție (suma produselor cantității sale și prețul unei unități de producție) se împarte la cantitatea totală de producție.

Reprezentăm acest lucru sub forma următoarei formule:

Media aritmetică ponderată- este egal cu raportul (suma produselor valorii atributului la frecvența de repetare a acestui atribut) cu (suma frecvențelor tuturor atributelor).Se folosește atunci când variantele populației studiate apar o inegală număr de ori.

Exemplul 2 . Găsiți salariul mediu lunar al lucrătorilor din magazine

Salariul mediu poate fi obținut prin împărțirea salariului total la numărul total muncitorii:

Răspuns: 3,35 mii de ruble.

Media aritmetică pentru o serie de intervale

Atunci când se calculează media aritmetică pentru o serie de variații de interval, media pentru fiecare interval este mai întâi determinată ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare și apoi media întregii serii. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de valoarea intervalelor adiacente acestora.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative.

Exemplul 3. Defini varsta medie elevii de seară.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția efectivă a unităților de populație în cadrul intervalului se apropie de uniformă.

Când se calculează medii, nu numai valorile absolute, ci și valorile relative (frecvența) pot fi folosite ca ponderi:

Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculul:

1. Produsul mediei și suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantei și frecvențelor, i.e.

2. Media aritmetică a sumei valorilor diferite este egală cu suma mediei aritmetice a acestor valori:

3. Suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale atributului de la medie este zero:

4. Suma abaterilor pătrate ale opțiunilor de la medie este mai mică decât suma abaterilor pătrate de la orice altă valoare arbitrară, i.e.

Care este media aritmetică

Media aritmetică a mai multor valori este raportul dintre suma acestor valori și numărul lor.

Media aritmetică a unei anumite serii de numere se numește suma tuturor acestor numere, împărțită la numărul de termeni. Astfel, media aritmetică este valoarea medie a seriei de numere.

Care este media aritmetică a mai multor numere? Și ele sunt egale cu suma acestor numere, care este împărțită la numărul de termeni din această sumă.

Cum se găsește media aritmetică

Nu este nimic dificil în calcularea sau găsirea mediei aritmetice a mai multor numere, este suficient să adunăm toate numerele prezentate și să împărțiți suma rezultată la numărul de termeni. Rezultatul obținut va fi media aritmetică a acestor numere.

Să luăm în considerare acest proces mai detaliat. Ce trebuie să facem pentru a calcula media aritmetică și a obține rezultatul final al acestui număr.

În primul rând, pentru a-l calcula, trebuie să determinați un set de numere sau numărul acestora. Acest set poate include numere mari și mici, iar numărul lor poate fi orice.

În al doilea rând, toate aceste numere trebuie să fie adunate și să obțină suma lor. Desigur, dacă numerele sunt simple și numărul lor este mic, atunci calculele se pot face prin scriere manuală. Și dacă setul de numere este impresionant, atunci este mai bine să folosiți un calculator sau o foaie de calcul.

Și, în al patrulea rând, cantitatea obținută din adunare trebuie împărțită la numărul de numere. Ca rezultat, obținem rezultatul, care va fi media aritmetică a acestei serii.

Pentru ce înseamnă aritmetica?

Media aritmetică poate fi utilă nu numai pentru rezolvarea exemplelor și problemelor din lecțiile de matematică, ci și în alte scopuri necesare în viața de zi cu zi a unei persoane. Astfel de obiective pot fi calculul mediei aritmetice pentru a calcula cheltuielile medii de finanțare pe lună, sau pentru a calcula timpul petrecut pe drum, de asemenea, pentru a afla prezența, productivitatea, viteza, productivitatea și multe altele.

Așa că, de exemplu, să încercăm să calculăm cât timp petreci cu naveta la școală. Mergând la școală sau întorcându-te acasă, petreci timp diferit pe drum de fiecare dată, pentru că atunci când ești grăbit, mergi mai repede și, prin urmare, drumul durează mai puțin. Dar, revenind acasă, poți merge încet, vorbind cu colegii de clasă, admirând natura și, prin urmare, va dura mai mult timp pentru drum.

Prin urmare, nu veți putea determina cu exactitate timpul petrecut pe drum, dar datorită mediei aritmetice, puteți afla aproximativ timpul petrecut pe drum.

Să presupunem că, în prima zi după weekend, ai petrecut cincisprezece minute pe drumul de acasă la școală, în a doua zi călătoria a durat douăzeci de minute, miercuri ai parcurs distanța în douăzeci și cinci de minute, în același timp pe care l-ai făcut. drumul tău joi, iar vineri nu te-ai grăbit și te-ai întors pentru o jumătate de oră.

Să găsim media aritmetică, adăugând timpul, pentru toate cele cinci zile. Asa de,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Acum împărțiți această sumă la numărul de zile

Prin această metodă, ați învățat că călătoria de acasă la școală durează aproximativ douăzeci și trei de minute din timpul dumneavoastră.

Teme pentru acasă

1. Folosind calcule simple, găsiți media aritmetică a prezenței elevilor la clasă pe săptămână.

2. Aflați media aritmetică:

3. Rezolvați problema:

În calculul valorii medii se pierde.

In medie sens setul de numere este egal cu suma numerelor S împărțită la numărul acestor numere. Adică se dovedește că in medie sens este egal cu: 19/4 = 4,75.

Notă

Dacă trebuie să găsiți media geometrică pentru doar două numere, atunci nu aveți nevoie de un calculator de inginerie: extrageți rădăcina gradului doi ( Rădăcină pătrată) din orice număr se poate face folosind cel mai comun calculator.

Sfaturi utile

Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică nu este atât de puternic influențată de abateri și fluctuații mari între valorile individuale din setul de indicatori studiat.

Surse:

• Calculator online care calculează media geometrică
• formula medie geometrică

In medie valoarea este una dintre caracteristicile unui set de numere. Reprezintă un număr care nu poate fi în afara intervalului definit de cele mai mari și mai mici valori din acest set de numere. In medie valoare aritmetică- cea mai utilizată varietate de medii.

Instruire

Adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți-le la numărul de termeni pentru a obține media aritmetică. În funcție de condițiile specifice ale calculului, uneori este mai ușor să împărțiți fiecare dintre numere la numărul de valori din set și să însumați rezultatul.

Utilizați, de exemplu, inclus în sistemul de operare Windows, dacă nu este posibil să calculați media aritmetică în minte. Îl puteți deschide folosind dialogul de lansare a programului. Pentru a face acest lucru, apăsați „tastele rapide” WIN + R sau faceți clic pe butonul „Start” și selectați comanda „Run” din meniul principal. Apoi tastați calc în câmpul de introducere și apăsați Enter sau faceți clic pe butonul OK. Același lucru se poate face prin meniul principal - deschideți-l, accesați secțiunea „Toate programele” și în secțiunea „Standard” și selectați linia „Calculator”.

Introduceți succesiv toate numerele din set apăsând tasta Plus după fiecare dintre ele (cu excepția ultimului) sau făcând clic pe butonul corespunzător din interfața calculatorului. De asemenea, puteți introduce numere atât de la tastatură, cât și făcând clic pe butoanele interfeței corespunzătoare.

Apăsați tasta bară oblică sau faceți clic pe aceasta în interfața calculatorului după ce ați introdus ultima valoare setată și imprimați numărul de numere din secvență. Apoi apăsați semnul egal și calculatorul va calcula și va afișa media aritmetică.

Puteți utiliza editorul de foi de calcul Microsoft Excel în același scop. În acest caz, porniți editorul și introduceți toate valorile secvenței de numere în celulele adiacente. Dacă după introducerea fiecărui număr apăsați Enter sau tasta săgeată în jos sau la dreapta, editorul însuși va muta focalizarea de intrare în celula adiacentă.

Faceți clic pe celula de lângă ultimul număr introdus, dacă nu doriți să vedeți doar media aritmetică. Extindeți meniul derulant sigma grecesc (Σ) al comenzilor de editare din fila Acasă. Selectați linia " In medie” iar editorul va introduce formula dorită pentru calcularea mediei aritmetice în celula selectată. Apăsați tasta Enter și valoarea va fi calculată.

Media aritmetică este una dintre măsurile de tendință centrală, utilizată pe scară largă în calcule matematice și statistice. Găsirea mediei aritmetice a mai multor valori este foarte simplă, dar fiecare sarcină are propriile sale nuanțe, pe care pur și simplu trebuie să le cunoaștem pentru a efectua calcule corecte.

Care este media aritmetică

Media aritmetică determină valoarea medie pentru întregul tablou original de numere. Cu alte cuvinte, dintr-un anumit set de numere, se selectează o valoare comună tuturor elementelor, a cărei comparație matematică cu toate elementele este aproximativ egală. Media aritmetică este utilizată în primul rând în pregătirea rapoartelor financiare și statistice sau pentru calcularea rezultatelor unor experimente similare.

Cum se găsește media aritmetică

Găsirea unei medii număr aritmetic pentru o matrice de numere, ar trebui să începeți prin a determina suma algebrică a acestor valori. De exemplu, dacă tabloul conține numerele 23, 43, 10, 74 și 34, atunci suma lor algebrică va fi 184. La scriere, media aritmetică este notă cu litera μ (mu) sau x (x cu o bară) . Apoi, suma algebrică trebuie împărțită la numărul de numere din tablou. În acest exemplu, au fost cinci numere, deci media aritmetică va fi 184/5 și va fi 36,8.

Caracteristicile lucrului cu numere negative

Dacă există numere negative în matrice, atunci media aritmetică este găsită folosind un algoritm similar. Există o diferență doar atunci când se calculează în mediul de programare sau dacă sarcina are termeni suplimentari. În aceste cazuri, găsirea mediei aritmetice a numerelor cu semne diferite se reduce la trei etape:

1. Aflarea mediei aritmetice comune prin metoda standard;
2. Aflarea mediei aritmetice a numerelor negative.
3. Calculul mediei aritmetice a numerelor pozitive.

Răspunsurile fiecăreia dintre acțiuni sunt scrise separate prin virgule.

Fracții naturale și zecimale

Dacă este prezentată o serie de numere zecimale, soluția apare după metoda de calcul a mediei aritmetice a numerelor întregi, dar rezultatul se reduce în funcție de cerințele problemei pentru acuratețea răspunsului.

Când lucrați cu fracții naturale, acestea ar trebui reduse la un numitor comun, care este înmulțit cu numărul de numere din matrice. Numătorul răspunsului va fi suma numărătorilor dați ai elementelor fracționale originale.

• Calculator de inginerie.

Instruire

Rețineți că în cazul general media geometrică a numerelor se găsește prin înmulțirea acestor numere și extragerea din ele a rădăcinii gradului care corespunde numărului de numere. De exemplu, dacă trebuie să găsiți media geometrică a cinci numere, atunci va trebui să extrageți rădăcina gradului din produs.

Pentru a afla media geometrică a două numere, folosiți regula de bază. Găsiți produsul lor și apoi extrageți rădăcina pătrată din acesta, deoarece numerele sunt două, ceea ce corespunde gradului rădăcinii. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 16 și 4, găsiți produsul lor 16 4=64. Din numărul rezultat, extrageți rădăcina pătrată √64=8. Aceasta va fi valoarea dorită. Vă rugăm să rețineți că media aritmetică a acestor două numere este mai mare și egală cu 10. Dacă rădăcina nu este luată complet, rotunjiți rezultatul la Ordin.

Pentru a găsi media geometrică a mai mult de două numere, utilizați și regula de bază. Pentru a face acest lucru, găsiți produsul tuturor numerelor pentru care doriți să aflați media geometrică. Din produsul rezultat, extrageți rădăcina gradului egală cu numărul de numere. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 2, 4 și 64, găsiți produsul lor. 2 4 64=512. Deoarece trebuie să găsiți rezultatul mediei geometrice a trei numere, extrageți rădăcina gradului al treilea din produs. Este dificil să faci asta verbal, așa că folosește un calculator de inginerie. Pentru a face acest lucru, are un buton „x ^ y”. Formați numărul 512, apăsați butonul „x^y”, apoi formați numărul 3 și apăsați butonul „1/x”, pentru a găsi valoarea 1/3, apăsați butonul „=". Obținem rezultatul ridicării lui 512 la puterea 1/3, care corespunde rădăcinii gradului al treilea. Obține 512^1/3=8. Aceasta este media geometrică a numerelor 2,4 și 64.

Folosind un calculator de inginerie, puteți găsi media geometrică într-un alt mod. Găsiți butonul jurnal de pe tastatură. După aceea, luați logaritmul pentru fiecare dintre numere, găsiți suma lor și împărțiți-o la numărul de numere. Din numărul rezultat, luați antilogaritmul. Aceasta va fi media geometrică a numerelor. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a acelorași numere 2, 4 și 64, faceți un set de operații pe calculator. Tastați numărul 2, apoi apăsați butonul log, apăsați butonul „+”, introduceți numărul 4 și apăsați din nou log și „+”, tastați 64, apăsați log și „=". Rezultatul va fi un număr egal cu suma logaritmilor zecimali ai numerelor 2, 4 și 64. Împărțiți numărul rezultat la 3, deoarece acesta este numărul de numere prin care se caută media geometrică. Din rezultat, luați antilogaritmul comutând cheia de înregistrare și folosiți aceeași cheie de jurnal. Rezultatul este cifra 8, aceasta este media geometrică dorită.

) și eșantion mean (eșantioane).

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Indicați setul de date X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei notă cu o bară orizontală deasupra variabilei (, pronunțată " X cu o liniuță").

  Litera greacă μ este folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații. Pentru o cantitate aleatoare , pentru care se determină valoarea medie, μ este probabilitate medie sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție de numere aleatoare cu o medie a probabilității μ, apoi pentru orice probă X i din această colecție μ = E( X i) este așteptarea matematică a acestui eșantion.

  În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) prin aceea că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este prezentat aleatoriu (din punct de vedere al teoriei probabilităților), atunci x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion (distribuția de probabilitate a mediei).

  Ambele cantități sunt calculate în același mod:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Exemple

  • Pentru trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Pentru patru numere, trebuie să le adunați și să împărțiți la 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2))+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Sau mai ușor 5+5=10, 10:2. Pentru că am adăugat 2 numere, ceea ce înseamnă că câte numere adunăm, împărțim la atât.

  Variabilă aleatoare continuă

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Câteva probleme de utilizare a mediei

  Lipsa robusteței

  Deși media aritmetică este adesea folosită ca medie sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că, pentru distribuțiile cu un coeficient mare de asimetrie, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine media centrală. tendinţă.

  Exemplul clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât sunt în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât veniturile majorității oamenilor să fie apropiate de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului mediu (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă conceptele de „medie” și „majoritate” sunt luate cu ușurință, atunci se poate concluziona greșit că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi un număr surprinzător de mare datorită lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci dintre cele șase valori sunt sub această medie.

  Interes compus

  Dacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să utilizați media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează rambursarea investițiilor în finanțe.

  De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să calculăm creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (−10% + 30%) / 2 = 10%; media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă, din care creșterea anuală este de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.

  Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30% dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10%, valorează 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul crește cu 30%, valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar din moment ce stocul a crescut doar cu 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă un rezultat final de 35,1 USD:

  [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică a 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  Dobânda compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% \u003d 117%, adică o creștere totală de 17% și dobânda compusă medie anuală 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\aproximativ 108,2\%), adică o creștere medie anuală de 8,2%.Acest număr este incorect din două motive.

  Valoarea medie pentru o variabilă ciclică, calculată conform formulei de mai sus, va fi deplasată artificial în raport cu media reală la mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca valoare medie se alege numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulo (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe un cerc între 359° și 360°==0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2 °).