механична системанарича се такъв набор от материални точки или тела, в който положението или движението на всяка точка или тяло зависи от положението и движението на всички останали. Така например, когато изучаваме движението на Земята и Луната спрямо Слънцето, комбинацията от Земята и Луната е механична система, състояща се от две материални точки; когато снарядът се разпадне на фрагменти, ние разглеждаме фрагментите като механична система. Механична система е всеки механизъм или машина.

Ако разстоянията между точките на механична система не се променят, когато системата е в движение или в покой, тогава такава механична система се нарича неизменен.

Концепцията за непроменлива механична система позволява да се изучава произволното движение на твърди тела в динамика. В този случай, както в статиката и кинематиката, под твърдо тяло разбираме такова материално тяло, при което разстоянието между всяка две точки не се променя при движение или покой на тялото. Всяко твърдо тяло може да бъде мислено разделено на достатъчно голям брой достатъчно малки части, чиято съвкупност може приблизително да се разглежда като механична система. Тъй като твърдото тяло образува непрекъснато разширение, за да се установят неговите точни (а не приблизителни) свойства, е необходимо да се направи граничен преход, гранична фрагментация на тялото, когато размерите на разглежданите части на тялото едновременно се стремят до нула.

По този начин познаването на законите на движение на механичните системи позволява да се изучават законите на произволни движения на твърди тела.

Всички сили, действащи върху точките на механичната система, се разделят на външни и вътрешни сили.

Външни сили по отношение на дадена механична система са сили, действащи върху точките на тази система от материални точки или тела, които не са включени в системата.Обозначения: -външна сила, приложена към -та точка; - основният вектор на външните сили; - основният момент на външните сили спрямо полюса.

Вътрешни сили са силите, с които материалните точки или тела, включени в дадена механична система, действат върху точки или тела от същата система.С други думи, вътрешните сили са сили на взаимодействие между точки или тела на дадена механична система. Обозначения: - вътрешна сила, приложена към -та точка; -вектор на главата вътрешни сили; - основният момент на вътрешните сили спрямо полюса.

3.2 Свойства на вътрешните сили.

Първи имот.Главният вектор на всички вътрешни сили на механичната система е равен на нула, т.е.

. (3.1)

Втори имот.Основният момент на всички вътрешни сили на механична система по отношение на всеки полюс или ос е нула, т.е.

, . (3.2)

Фиг.17

За да докажем тези свойства, отбелязваме, че тъй като вътрешните сили са силите на взаимодействие на материалните точки, включени в системата, тогава, съгласно третия закон на Нютон, всеки две точки от системата (фиг. 17) действат една върху друга със сили и равни по абсолютна стойност и противоположни на.

По този начин за всяка вътрешна сила има директно противоположна вътрешна сила и следователно вътрешните сили образуват определен набор от двойки противоположни сили. Но геометричната сума на две противоположни сили е нула, така че

.

Както е показано в статиката, геометричната сума на моментите на две противоположни сили около един и същи полюс е нула, така че

.

Подобен резултат се получава при изчисляване на главния момент около оста

.

3.3 Диференциални уравнения на движение на механична система.

Помислете за механична система, състояща се от материални точки, чиито маси са . За всяка точка прилагаме основното уравнение на динамиката на точката

, ,

, (3.3)

de е равностойната на външните сили, приложени към -тата точка, и е равностойната на вътрешните сили.

система диференциални уравнения(3.3) се нарича диференциални уравнения на движение на механична система във векторна форма.

Проектирайки векторни уравнения (3.3) върху правоъгълни декартови координатни оси, получаваме диференциални уравнения на движение на механична система в координатна форма:

,

, (3.4)

,

.

Тези уравнения са система от обикновени диференциални уравнения от втори ред. Следователно, за да се намери движението на механична система според дадени сили и начални условия за всяка точка от тази система, е необходимо да се интегрира система от диференциални уравнения. Интегрирането на системата от диференциални уравнения (3.4), най-общо казано, включва значителни, често непреодолими математически трудности. Въпреки това, в теоретична механикаса разработени методи, които позволяват да се заобиколят основните трудности, възникващи при използване на диференциалните уравнения на движение на механична система във формата (3.3) или (3.4). Те включват методи, които дават общи теореми за динамиката на механична система, които установяват законите за промяна на някои общи (интегрални) характеристики на системата като цяло, а не законите за движение на нейните отделни елементи. Това са така наречените мерки за движение - главният вектор на импулса; главен момент на импулса; кинетична енергия. Познавайки естеството на промяната в тези количества, е възможно да се формира частична, а понякога и пълна представа за движението на механична система.

IV. ОСНОВНИ (ОБЩИ) ТЕОРЕМИ ЗА ДИНАМИКАТА НА ТОЧКА И СИСТЕМА

4.1 Теоремата за движението на центъра на масата.

4.1.1 Център на масата на механичната система.

Помислете за механична система, състояща се от материални точки, чиито маси са .

Масата на механичната система,състояща се от материални точки, ще наричаме сумата от масите на точките на системата:

Определение.Центърът на масата на механична система е геометрична точка, чийто радиус вектор се определя по формулата:

където е радиус векторът на центъра на масата; -радиус-вектори на системни точки; -масите им (фиг. 18).

; ; . (4.1")

Центърът на масата не е материална точка, а геометричен. Може да не съвпада с никоя материална точка на механичната система. В еднородно гравитационно поле центърът на масата съвпада с центъра на тежестта. Това обаче не означава, че понятията център на масата и център на тежестта са еднакви. Концепцията за центъра на масата е приложима за всякакви механични системи, а концепцията за центъра на тежестта е приложима само за механични системи, които са под действието на гравитацията (т.е. привличане към Земята). Така, например, в небесната механика, когато се разглежда проблемът за движението на две тела, например Земята и Луната, може да се вземе предвид центърът на масата на тази система, но не може да се вземе предвид центърът на тежестта.

По този начин понятието център на масата е по-широко от понятието център на тежестта.

4.1.2. Теорема за движението на центъра на масата на механична система.

Теорема. Центърът на масата на механична система се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на цялата система и към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата, т.е.

. (4.2)

Тук е основният вектор на външните сили.

Доказателство. Да разгледаме механична система, чиито материални точки се движат под действието на външни и вътрешни сили. е равностойната на външните сили, приложени към -тата точка, и е равностойната на вътрешните сили. Съгласно (3.3) уравнението на движението на -тата точка има вида

, .

Събирайки лявата и дясната страна на тези уравнения, получаваме

.

Тъй като главният вектор на вътрешните сили е равен на нула (раздел 3.2, първо свойство), тогава

.

Нека трансформираме лявата страна на това равенство. От формула (4.1), която определя радиус вектора на центъра на масата, следва:

.

Навсякъде по-долу ще приемем, че се разглеждат само механични системи с постоянен състав, тоест и . Нека вземем втората производна по отношение на времето от двете страни на това равенство

защото , - ускорение на центъра на масата на системата, след това, накрая,

.

Проектирайки двете части на това векторно равенство върху координатните оси, получаваме:

,

, (4.3)

,

където , , са проекции на сила ;

Проекции на главния вектор на външните сили върху координатните оси.

Уравнения (4.3) - диференциални уравнения на движение на центъра на масата на механична система в проекции върху декартовите координатни оси.

Уравнения (4.2) и (4.3) предполагат, че Невъзможно е да се промени естеството на движението на центъра на масата на механична система само чрез вътрешни сили.Вътрешните сили могат да имат косвен ефект върху движението на центъра на масата само чрез външни сили. Например в автомобил вътрешните сили, развивани от двигателя, влияят върху движението на центъра на масата чрез силите на триене между колелата и пътя.

4.1.3. Закони за запазване на движението на центъра на масата

(следствия от теоремата).

Следните следствия могат да бъдат получени от теоремата за движението на центъра на масата.

Следствие 1.Ако главният вектор на външните сили, действащи върху системата, е равен на нула, тогава нейният център на масата е в покой или се движи праволинейно и равномерно.

Наистина, ако главният вектор на външните сили , тогава от уравнение (4.2):

Ако, по-специално, начална скоростцентър на масата, тогава центърът на масата е в покой. Ако началната скорост е , тогава центърът на масата се движи праволинейно и равномерно.

Следствие 2.Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е фиксирана ос е равна на нула, тогава проекцията на скоростта на центъра на масата на механичната система върху тази ос не се променя.

Това следствие следва от уравнения (4.3). Нека, например, тогава

,

оттук. Ако в същото време в началния момент, тогава:

т.е. проекцията на центъра на масата на механичната система върху оста в този случай няма да се движи по оста. Ако , тогава проекцията на центъра на масата върху оста се движи равномерно.

4.2 Инерцията на точка и система.

Теорема за промяната на импулса.

4.2.1. Количеството движение на точката и системата.

Определение.Импулсът на материална точка е вектор, равен на произведението на масата на точката и нейната скорост, т.е

. (4.5)

вектор колинеарна на вектора и насочена тангенциално към траекторията на материалната точка (фиг. 19).

Инерцията на точка във физиката често се нарича импулс на материална точка.

Единицата за импулс е в SI-kg m/s или N s.

Определение.Импулсът на механична система се нарича вектор, равен на векторната сума на числата на движенията (основният вектор на числата на движенията) на отделните точки, включени в системата, т.е.

(4.6)

Проекции на импулса върху правоъгълни декартови координатни оси:

Вектор на импулса на системата за разлика от вектора на импулса, точката няма точка на приложение. Векторът на импулса на точка се прилага към самата движеща се точка и към вектора е свободен вектор.

Лема за импулса.Импулсът на една механична система е равен на масата на цялата система, умножена по скоростта на нейния център на масата, т.е.

Доказателство. От формула (4.1), която определя радиус вектора на центъра на масата, следва:

.

Вземете производната по време на двете страни

, или .

От тук получаваме , което трябваше да се докаже.

От формула (4.8) се вижда, че ако тялото се движи по такъв начин, че неговият център на масата остава неподвижен, тогава импулсът на тялото е нула. Например импулсът на тяло, въртящо се около фиксирана ос, минаваща през неговия център на масата (фиг. 20),

, защото

Ако движението на тялото е плоскопаралелно, тогава количеството на движение няма да характеризира ротационната част на движението около центъра на масата. Например, за колело, което се търкаля (фиг. 21), независимо от това как колелото се върти около центъра на масата. Количеството на движението характеризира само постъпателната част на движението заедно с центъра на масата.

4.2.2. Теорема за промяната на импулса на механична система

в диференциална форма.

Теорема.Производната по време на импулса на механична система е равна на геометричната сума (главния вектор) на външните сили, действащи върху тази система, т.е.

. (4.9)

Доказателство. Помислете за механична система, състояща се от материални точки, чиито маси са ; е равностойната на външни сили, приложени към i-та точка. В съответствие с лемата за импулса формула (4.8):

Вземете производната по време на двете страни на това равенство

.

Дясната част на това равенство от теоремата за движението на центъра е масовата формула (4.2):

.

Накрая:

и теоремата е доказана .

В проекции върху правоъгълни декартови координатни оси:

; ; , (4.10)

това е производната по време на проекцията на импулса на механична система върху всяка координатна ос е равна на сумата от проекциите (проекциите на главния вектор) на всички външни сили на системата върху същата ос.

4.2.3. Закони за запазване на импулса

(следствия от теоремата)

Следствие 1.Ако главният вектор на всички външни сили на една механична система е равен на нула, тогава импулсът на системата е постоянен по големина и посока.

Наистина, ако , тогава от теоремата за промяна на импулса, т.е. от равенството (4.9), следва, че

Следствие 2.Ако проекцията на главния вектор на всички външни сили на механична система върху определена фиксирана ос е равна на нула, тогава проекцията на импулса на системата върху тази ос остава постоянна.

Нека проекцията на главния вектор на всички външни сили върху оста е равна на нула: . Тогава от първото равенство (4.10):

4.2.4. Теорема за промяната на импулса на механична система

в интегрална форма.

Елементарен импулс на силасе нарича векторна величина, равна на произведението на вектора на силата от елементарен интервал от време

. (4.11)

Посоката на елементарния импулс съвпада с посоката на вектора на силата.

Импулс на сила за краен период от времее равен на определен интеграл от елементарния импулс

. (4.12)

Ако силата е постоянна по величина и посока (), тогава нейният импулс във времето равно на:

Проекции на импулса на сила върху координатните оси:

Нека докажем теоремата за промяната на импулса на механична система в интегрална форма.

Теорема.Изменението на импулса на механичната система за определен период от време е равно на геометричната сума от импулсите на външните сили на системата за същия период от време, т.е.

(4.14)

Доказателство. Нека в момента количеството на движение на механичната система е , а в момента - ; е импулсът на външната сила, действаща в тия момент от времето.

Използваме теоремата за промяната на импулса в диференциална форма - равенство (4.9):

.

Умножавайки двете части на това равенство по и интегрирайки в границите от до , получаваме

, , .

Теоремата за промяната на импулса в интегрална форма е доказана.

В проекции върху координатните оси, съгласно (4.14):

,

, (4.15)

.

4.3. Теорема за промяната на кинетичния момент.

4.3.1. Кинетичен момент на точка и система.

В статиката бяха въведени и широко използвани понятията за моменти на сила спрямо полюса и оста. Тъй като импулсът на материалната точка е вектор, е възможно да се определят нейните моменти спрямо полюса и оста по същия начин, както се определят моментите на силата.

Определение. спрямо полюса се нарича моментът на неговия вектор на импулса спрямо същия полюс, т.е.

. (4.16)

Ъгловият импулс на материална точка спрямо полюса е вектор (фиг. 22), насочен перпендикулярно на равнината, съдържаща вектора и полюса в посоката, от която векторът е спрямо полюса вижда се въртене обратно на часовниковата стрелка. Векторен модул

равно на произведението на модула и рамото - дължината на перпендикуляра, спуснат от полюса към линията на действие на вектора:

Импулсът спрямо полюса може да бъде представен като векторно произведение: кинетичният момент на материална точка спрямо полюса е равен на векторното произведение на радиуса на вектора, начертан от полюса към точката от вектора на импулса:

(4.17)

Определение.Кинетичният момент на материална точкаотносително ос се нарича моментът на неговия вектор на импулса спрямо същата ос, т.е.

. (4.18)

Ъгловият импулс на материална точка около оста (фиг. 23) е равно на произведението на векторната проекция върху равнината, перпендикулярна на оста, взета със знак плюс или минус , на рамото на тази проекция:

където рамото е дължината на перпендикуляра, спуснат от точката пресичане на осите с равнината върху линията на действие на проекцията, докато , ако, гледайки към оста , можете да видите проекцията около точката обратно на часовниковата стрелка и в противен случай.

Единицата за ъглов момент е в SI-kg m 2 /s или N m s.

Определение.Ъгловият момент или главният момент на импулса на механична система спрямо полюс е вектор, равен на геометричната сума на ъгловия момент на всички материални точки на системата спрямо този полюс:

. (4.19)

Определение.Ъгловият момент или главният момент на импулса на механична система спрямо ос е алгебричната сума на кинетичните моменти на всички материални точки на системата спрямо тази ос:

. (4.20)

Кинетичните моменти на механичната система спрямо полюса и оста, минаваща през този полюс, са свързани със същата зависимост като основните моменти на системата от сили спрямо полюса и оста:

-проекция на кинетичния момент на механичната система спрямо полюса върху оста ,преминаващ през този полюс е равен на ъгловия момент на системата около тази ос, т.е.

. (4.21)

4.3.2. Теореми за изменението на кинетичния момент на механична система.

Помислете за механична система, състояща се от материални точки, чиито маси са . Нека докажем теорема за промяната на кинетичния момент на механична система спрямо полюса.

Теорема.Производната по време на ъгловия импулс на механична система по отношение на фиксиран полюс е равна на главния момент на външните сили на системата по отношение на същия полюс, т.е.

. (4.22)

Доказателство. Избираме някакъв фиксиран стълб . Ъгловият импулс на механична система спрямо този полюс по дефиниция е равенство (4.19):

.

Нека разграничим този израз по отношение на времето:

Помислете за дясната страна на този израз. Изчисляване на производната на продукта:

, (4.24)

Тук се има предвид, че. Вектори и имат една и съща посока, техните векторен продукте равно на нула, следователно първата сума в равенството (4.24).

Външни силиса силите, действащи на тялото отвън. Под въздействието на външни сили тялото или започва да се движи, ако е било в покой, или се променя скоростта на неговото движение или посоката на движение. Външните сили в повечето случаи се балансират от други сили и тяхното влияние е незабележимо.

Външните сили, действащи върху твърдото тяло, предизвикват промени във формата му, причинени от движението на частиците.

Външни сили:

- земно притегляне - е силата, която действа върху тялото в полето на гравитацията. На повърхността на земята силата на гравитацията е равна на масата на тялото. Насочен винаги вертикално надолу, перпендикулярно на хоризонта. Точката на приложение е общият център на тежестта на тялото.

-опорна сила за реакция е силата, действаща върху тялото от страната на опората, когато върху нея се прилага натиск.

-сила на триене - това е силата, която възниква при контакта между телата и при движението на тялото.

-съпротивителна сила на околната среда- силата, която възниква при движение на тялото във въздушна или водна среда.

-инерционна сила - силата, произтичаща от движението на тялото с ускорение.

вътрешни силиса силите, действащи между частиците, тези сили се съпротивляват на промяната във формата.

Вътрешните сили се делят на активни и пасивни.

Активните сили включват силата на свиване на скелетните мускули.

Мускулната сила се определя от:

физиологичен диаметър,

Област на произход и привързаност,

Типът лост, в който се извършва движението.

Пасивните включват: силата на еластичното сцепление на меките тъкани, силата на съпротивление на хрущяла, костите, силата на молекулярната кохезия на синовиалната течност.

Концепцията за общия център на тежестта на тялото и зоната на опора. Тяхното значение.

GCC се състои от центровете на тежестта на отделните звена на тялото и частичните центрове на тежестта.Важна роля при решаване на проблемите на механиката на движението.Той е един от показателите на физиката.

Поддържаща зона- зоната, затворена между външните граници на десния и левия крак.Размерът на опорната зона варира в зависимост от позицията на тялото.

Видове телесен баланс. Степента на стабилност на тялото, нейното определение и значение.

Има три вида: стабилен (при нарушение на БКТ на тялото се повдига - виси на напречната греда), нестабилен (БКТ намалява), безразличен (БКТ е постоянен).

Степента на стабилност зависи от височината на BRC и размера на опорната площ.Колкото по-голяма е опорната площ и колкото по-нисък е CRC, толкова по-висока е степента на стабилност.

Количествен израз е ъгълът на стабилност. Това е ъгълът, образуван от вертикалната сила на гравитацията и допирателната, начертана към ръба на опората.

Характеристики на движенията на спортиста. Видове движения. Примери.

В механиката външните сили по отношение на дадена система от материални точки (т.е. такъв набор от материални точки, в който движението на всяка точка зависи от позициите или движенията на всички други точки) са онези сили, които представляват действието върху тази система от други тела (други системи от материални точки), невключени от нас в тази система. Вътрешните сили са сили на взаимодействие между отделни материални точки на дадена система. Разделянето на силите на външни и вътрешни е напълно условно: при промяна на дадения състав на системата някои сили, които преди са били външни, могат да станат вътрешни и обратно. Така например при разглеждане

движенията на система, състояща се от земята и нейния спътник луна, силите на взаимодействие между тези тела ще бъдат вътрешни сили за тази система, а силите на привличане на слънцето, другите планети, техните спътници и всички звезди ще бъдат външни сили във връзка с тази система. Но ако промените състава на системата и разглеждате движението на слънцето и всички планети като движение на една обща система, тогава външното. силите ще бъдат само силите на привличане, упражнявани от звездите; въпреки това силите на взаимодействие между планетите, техните спътници и слънцето стават вътрешни сили за тази система. По същия начин, ако по време на движението на парен локомотив отделим буталото на парен цилиндър като отделна система от материални точки, която е предмет на нашето разглеждане, тогава налягането на парата върху буталото по отношение на него ще бъде външна сила и същото налягане на парата ще бъде една от вътрешните сили, ако разгледаме движението на целия локомотив като цяло; в този случай външните сили по отношение на целия локомотив, взет като една система, ще бъдат: триене между релсите и колелата на локомотива, гравитацията на локомотива, реакцията на релсите и съпротивлението на въздуха; вътрешни сили ще бъдат всички сили на взаимодействие между частите на локомотива, например. сили на взаимодействие между парата и буталото на цилиндъра, между плъзгача и неговите паралели, между свързващия прът и коляновия щифт и др. Както виждаме, по същество няма разлика между външни и вътрешни сили, докато относителната разлика между тях се определя само в зависимост от това дали кои органи включваме в разглежданата система и кои считаме, че не са част от системата. Въпреки това, посочената относителна разлика на силите е от много важно значение при изучаването на движението на дадена система; според третия закон на Нютон (за равенството на действието и реакцията), вътрешните сили на взаимодействие между всеки две материални точки на системата са равни по големина и насочени по една и съща права линия в противоположни посоки; благодарение на това, когато се решават различни въпроси относно движението на система от материални точки, е възможно да се изключат всички вътрешни сили от уравненията на движението на системата и по този начин да се направи възможно самото изследване на движението на цялата система. Този метод за изключване на вътрешни, в повечето случаи неизвестни, свързващи сили е от съществено значение при извеждането на различни закони на системната механика.

Абсолютно еластично въздействие- сблъсък на две тела, в резултат на което не остават деформации в двете участващи в сблъсъка тела и цялата кинетична енергия на телата преди удара след удара отново се превръща в първоначалната кинетична енергия (имайте предвид, че това е идеализирана случай).

При абсолютно еластичен удар са изпълнени законът за запазване на кинетичната енергия и законът за запазване на импулса.

Нека означим скоростите на топките с маси m 1 и m 2 преди удара v 1И v 2, след удар - през v 1 "И v 2 "(Фиг. 1). За директен централен удар векторите на скоростта на топките преди и след удара лежат на права линия, минаваща през техните центрове. Проекциите на векторите на скоростта върху тази права са равни на модулите на скоростта. Ще вземем предвид техните посоки по знаци: ще съотнесем положителното към движението надясно, отрицателното - към движението наляво.

Фиг. 1

При тези допускания законите за запазване имат формата

(1)

(2)

След като направихме съответните трансформации в изразите (1) и (2), получаваме

(3)

(4)

Решавайки уравнения (3) и (5), намираме

(7)

Нека да разгледаме няколко примера.

1. Кога v 2=0

(8)
(9)

Нека анализираме изразите (8) в (9) за две топки с различни маси:

а) m 1 \u003d m 2. Ако втората топка висеше неподвижно преди удара ( v 2=0) (фиг. 2), тогава след удара първата топка ще спре ( v 1 "=0), а втората ще се движи със същата скорост и в същата посока, както първата топка се е движила преди удара ( v 2 "=v 1);

Фиг.2

б) m 1 > m 2. Първата топка продължава да се движи в същата посока, както преди удара, но с по-бавна скорост ( v 1 "<v 1). Скоростта на втората топка след удара е по-голяма от скоростта на първата след удара ( v 2 ">v 1 ") (фиг. 3);

Фиг.3

в) m 1 v 2 "<v 1(фиг. 4);

Фиг.4

г) m 2 >>m 1 (например сблъсък на топка със стена). Уравнения (8) и (9) предполагат, че v 1 "= -v 1; v 2 "≈ 2m1 v 2 "/m2.

2. Когато m 1 =m 2 изразите (6) и (7) ще изглеждат така v 1 "= v 2; v 2 "= v 1; т.е. топки с еднаква маса, така да се каже, обменят скорости.

Абсолютно нееластично въздействие- сблъсък на две тела, в резултат на което телата са свързани, движейки се по-нататък като едно цяло. Абсолютно нееластичното въздействие може да се демонстрира с помощта на пластилинови (глинени) топки, движещи се една срещу друга (фиг. 5).

Фиг.5

Ако масите на топките са m 1 и m 2 , техните скорости преди удара v 1И v 2, след това, използвайки закона за запазване на импулса

Където v- скоростта на топките след удара. Тогава

(15.10)

В случай на топки, движещи се една към друга, те заедно ще продължат да се движат в посоката, в която топката се е движила с голям импулс. В конкретен случай, ако масите на топките са равни (m 1 \u003d m 2), тогава

Нека определим как се променя кинетичната енергия на топките по време на централен абсолютно нееластичен удар. Тъй като в процеса на сблъсък на топки между тях има сили, които зависят от техните скорости, а не от самите деформации, имаме работа с дисипативни сили, подобни на силите на триене, така че законът за запазване на механичната енергия в този случай не трябва да се наблюдават. Поради деформация има намаляване на кинетичната енергия, която се превръща в топлинна или други форми на енергия. Това намаление може да се определи от разликата в кинетичната енергия на телата преди и след удара:

Използвайки (10), получаваме

Ако удряното тяло първоначално е било неподвижно (ν 2 =0), то

Когато m 2 >> m 1 (масата на неподвижното тяло е много голяма), тогава ν <<v 1и практически цялата кинетична енергия на тялото се преобразува в други форми на енергия при удар. Ето защо, например, за да се получи значителна деформация, наковалнята трябва да бъде много по-масивна от чука. Напротив, при забиване на пирони в стената, масата на чука трябва да бъде много по-голяма (m 1 >> m 2), след това ν≈ν 1 и почти цялата енергия се изразходва за възможно най-голямото движение на пирона, а не върху остатъчната деформация на стената.

Напълно нееластичен удар е пример за загуба на механична енергия поради разсейващи сили.

1. Работа на променлива сила.
Да разгледаме материална точка, която се движи под действието на сила P по права линия. Ако действаща силае постоянна и насочена по права линия, а преместването е равно на s, тогава, както е известно от физиката, работата A на тази сила е равна на произведението Ps. Сега извеждаме формула за изчисляване на работата, извършена от променлива сила.

Нека точка се движи по оста x под действието на сила, чиято проекция върху оста x е функция на f върху x. Тук ще приемем, че f е непрекъсната функция. Под действието на тази сила материалната точка се премести от точка М (а) до точка М (б) (фиг. 1, а). Нека покажем, че в този случай работата A се изчислява по формулата

(1)

Нека разделим отсечката [a; b] на n отсечки с еднаква дължина Това са отсечките [a; x 1 ], ,..., (фиг. 1.6). Работата на силата върху целия сегмент [a; b] е равна на сумата от работата на тази сила върху получените отсечки. Тъй като f е непрекъсната функция на x, за достатъчно малък сегмент [a; x 1] работата на силата върху този сегмент е приблизително равна на f (a) (x 1 -a) (пренебрегваме факта, че f се променя върху сегмента). По същия начин, работата на силата върху втория сегмент е приблизително равна на f (x 1) (x 2 - x 1) и т.н.; работата на силата върху n-тия сегмент е приблизително равна на f (x n-1) (b - x n-1). Следователно работата на силата върху целия сегмент [a; b] е приблизително равно на:

и точността на приближеното равенство е толкова по-висока, колкото по-къси са отсечките, на които е разделена отсечката [а; b] Естествено това приближено равенство се превръща в точно, ако приемем, че n→∞:

Тъй като A n при n →∞ клони към интеграла на разглежданата функция от a към b, се получава формула (1).
2. Сила.

Мощност P е скоростта, с която се извършва работата

Тук v е скоростта на материалната точка, към която е приложена силата

Всички сили, възникващи в механиката, обикновено се разделят на консервативни и неконсервативни.

Силата, действаща върху материална точка, се нарича консервативна (потенциална), ако работата на тази сила зависи само от началното и крайното положение на точката. Работата на консервативната сила не зависи нито от вида на траекторията, нито от закона за движение на материална точка по траекторията (виж фиг. 2): .

Промяната в посоката на движение на точка по малък участък към обратната причинява промяна в знака на елементарната работа, следователно, . Следователно работата на консервативна сила по затворена траектория 1 а 2b 1 е нула: .

Точки 1 и 2, както и участъци от затворена траектория 1 а 2 и 2 b 1 може да се избира напълно произволно. По този начин работата на консервативна сила по произволна затворена траектория L на точката на нейното приложение е равна на нула:

В тази формула окръжността на интегралния знак показва, че интегрирането се извършва по затворена траектория. Често затворена траектория Лнаречен затворен цикъл Л(фиг. 3). Обикновено се задава от посоката на преминаване на контура Лпо посока на часовниковата стрелка. Посоката на елементарния вектор на преместване съвпада с посоката на обхождане на контура Л. В този случай формула (5) гласи: циркулацията на вектора по затворения контур L е равна на нула.

Трябва да се отбележи, че силите на гравитацията и еластичността са консервативни, а силите на триене са неконсервативни. В действителност, тъй като силата на триене е насочена в посока, обратна на изместването или скоростта, работата на силите на триене по затворен път винаги е отрицателна и следователно не е равна на нула.

Дисипативна система(или дисипативна структура, от лат. разсейване- „Разсейвам, унищожавам“) е отворена система, която работи далеч от термодинамичното равновесие. С други думи, това е стабилно състояние, което възниква в неравновесна среда при условие на разсейване (разсейване) на енергия, която идва отвън. Понякога се нарича и дисипативна система стационарна отворена системаили неравновесна отворена система.

Дисипативната система се характеризира със спонтанната поява на сложна, често хаотична структура. Отличителна чертатакива системи - незапазване на обема във фазовото пространство, тоест неизпълнение на теоремата на Лиувил.

Прост пример за такава система са клетките на Бенард. колкото повече трудни примеринаречени лазери, реакцията на Белоусов-Жаботински и биологичния живот.

Терминът "дисипативна структура" е въведен от Иля Пригожин.

Последните изследвания в областта на "дисипативните структури" ни позволяват да заключим, че процесът на "самоорганизация" протича много по-бързо при наличие на външни и вътрешни "шумове" в системата. По този начин шумовите ефекти водят до ускоряване на процеса на "самоорганизация".

Кинетична енергия

енергията на механична система, която зависи от скоростта на движение на нейните точки. К. е. Tматериалната точка се измерва с половината от произведението на масата мтази точка чрез квадрата на нейната скорост υ, т.е. Т = 1/ 2 mυ 2 . К. е. механична система е равна на аритметичната сума на K. e. всички негови точки: Т =Σ 1 / 2 m k υ 2 k .Израз K. e. системите също могат да бъдат представени като Т = 1 / 2 Mυ c 2 + Tc,Където Ме масата на цялата система, υ cе скоростта на центъра на масата, T c - К. е. система при движението й около центъра на масата. К. е. на твърдо тяло, движещо се напред, се изчислява по същия начин като K. e. точка, която има маса, равна на масата на цялото тяло. Формули за изчисляване на K. e. тяло, въртящо се около фиксирана ос, виж чл. Ротационно движение.

Промяна на K. e. система, когато се премести от позиция (конфигурация) 1 в позиция 2 възниква под действието на външни и вътрешни сили, приложени към системата и е равна на сумата от работата . Това равенство изразява теоремата за промяната на K. e., с помощта на която се решават много проблеми на динамиката.

При скорости, близки до скоростта на светлината, K. e. материална точка

Където m0е масата на точката на покой, се скоростта на светлината във вакуум ( m 0 s 2е енергията на точката на покой). При ниски скорости ( υ<< c ) последното отношение влиза в обичайната формула 1/2 mυ 2 .

Кинетична енергия.

Кинетична енергия - енергията на движещо се тяло. (От гръцката дума kinema - движение). По дефиниция кинетичната енергия на тяло в покой в ​​дадена референтна система е нула.

Оставете тялото да се движи под действието постояненсила по посока на силата.

Тогава: .

защото движението е равномерно ускорено, тогава:

Следователно: .

- наречена кинетична енергия

На силанаречена мярка за механичното взаимодействие на материалните тела.

Сила Е- векторното количество и неговото действие върху тялото се определя от:

• модулили числова стойностсила (F);
• посокасили (ортом д);
• точка на приложениесила (точка А).

Правата AB, по която е насочена силата, се нарича линия на действие на силата.

Силата може да бъде дадена:

• по геометричен начин, тоест като вектор с известен модул F и известна посока, определена от вектора д ;
• по аналитичен начин, тоест неговите проекции F x , F y , F z върху оста на избраната координатна система Oxyz .

Точката на прилагане на сила A трябва да бъде дадена от нейните координати x, y, z.

Проекциите на силата са свързани с нейния модул и насочващи косинуси(косинуси на ъглите , , , които се образуват от силата с координатните оси Ox, Oy, Oz) по следните съотношения:

F=(F x 2 +F y 2 +F x 2) ; ex=cos=Fx/F; e y =cos =F y /F; e z =cos =F z /F;

Сила Е, действаща върху абсолютно твърдо тяло, може да се счита за приложена към всяка точка от линията на действие на силата (такъв вектор се нарича плъзгане). Ако сила действа върху твърдо деформируемо тяло, тогава нейната точка на приложение не може да бъде прехвърлена, тъй като това прехвърляне променя вътрешните сили в тялото (такъв вектор се нарича приложен).

Единицата за сила в системата единици SI е нютон (N); използва се и по-голяма единица 1kN=1000N.

Материалните тела могат да действат едно на друго чрез пряк контакт или на разстояние. В зависимост от това силите могат да бъдат разделени на две категории:

• повърхностенсили, приложени върху повърхността на тялото (например сили на натиск върху тялото от околната среда);
• обемен (маса)сили, приложени към дадена част от обема на тялото (например гравитационни сили).

Повърхностните и телесните сили се наричат разпределенисили. В някои случаи силите могат да се считат за разпределени по определена крива (например силите на тежестта на тънък прът). Разпределените сили се характеризират със своите интензитет (плътност), тоест общото количество сила на единица дължина, площ или обем. Интензитетът може да бъде постоянен ( равномерно разпределенсила) или променлива.

Ако можем да пренебрегнем малките размери на зоната на действие на разпределените сили, тогава считаме фокусирансила, приложена към тялото в една точка (условно понятие, тъй като на практика е невъзможно да се приложи сила към една точка от тялото).

Силите, приложени към разглежданото тяло, могат да бъдат разделени на външни и вътрешни. Външни сили се наричат ​​сили, които действат върху това тяло от други тела, а вътрешни са силите, с които части от това тяло взаимодействат помежду си.

Ако движението на дадено тяло в пространството е ограничено от други тела, то се нарича не е безплатно. Телата, които ограничават движението на дадено тяло се наричат връзки.

Аксиома на връзките:връзките могат да бъдат мислено отхвърлени и тялото да се счита за свободно, ако действието на връзките върху тялото се замени със съответните сили, които се наричат реакции на свързване.

Реакциите на връзките по своето естество се различават от всички други сили, приложени към тялото, които не са реакции, които обикновено се наричат активенсили. Тази разлика се състои във факта, че реакцията на връзката не се определя напълно от самата връзка. Големината му, а понякога и посоката му, зависят от активните сили, действащи на даденото тяло, които обикновено са предварително известни и не зависят от други сили, приложени към тялото. Освен това активните сили, действащи върху тялото в покой, могат да му съобщят това или онова движение; реакциите на връзките не притежават това свойство, в резултат на което се наричат ​​още пасивенсили.

4. Метод на сеченията. Вътрешни силови фактори.
За да определим и след това изчислим допълнителните сили във всяко сечение на гредата, използваме метода на сеченията. Същността на метода на сеченията е, че гредата се разрязва мислено на две части и се разглежда балансът на всяка от тях, който е под действието на всички външни и вътрешни сили, приложени към тази част. Като вътрешни сили за цялото тяло, те играят ролята на външни сили за избраната част.

Нека тялото е в равновесие под действието на сили: (Фигура 5.1, а). Нека го изрежем плоско Си изхвърлете дясната страна (Фигура 5.1, b). Законът за разпределение на вътрешните сили по напречното сечение в общия случай е неизвестен. За да го намерите във всяка конкретна ситуация, е необходимо да знаете как се деформира разглежданото тяло под въздействието на външни сили.

По този начин методът на сечението позволява да се определи само сумата от вътрешни сили. Въз основа на хипотезата за непрекъсната структура на материала, можем да приемем, че вътрешните сили във всички точки на дадено сечение представляват разпределено натоварване.

Привеждаме системата от вътрешни сили в центъра на тежестта към главния вектор и главния момент (Фигура 5.1, c). След като проектираме и по координатната ос, ще получим обща картина на състоянието на напрежение и деформация на разглеждания участък на гредата (Фигура 5.1, d).

5. Аксиален опън - компресия

Под разтягане (компресия)разбирайте този вид натоварване, при което в напречните сечения на пръта възникват само надлъжни сили, а други силови фактори са равни на нула.

Надлъжна сила- вътрешна сила, равна на сумата от проекциите на всички външни сили, взети от едната страна на секцията, по оста на пръта. Нека приемем следното знак правило за надлъжна сила : надлъжната сила на опън е положителна, силата на натиск е отрицателна

В резултат на действието на външни сили в тялото, вътрешни сили.
вътрешна сила- сили на взаимодействие между частите на едно тяло, възникващи под действието на външни сили.

Вътрешните сили се самобалансират, така че не се виждат и не влияят на баланса на тялото. Вътрешните сили се определят по метода на сечението.

Външните натоварвания водят до следните видове напрегнато-деформирано състояние:

усукване

За да се изчисли якостта на структурните елементи, е необходимо да се знаят вътрешните еластични сили, произтичащи от прилагането на външни сили в различни точки и части на конструкцията.
Методите за определяне на тези вътрешни сили с помощта на науката за съпротивлението на материалите включват такъв трик като метода на сеченията.

Методът на сеченията е, че тялото се разрязва мислено от равнина на две части, всяка от които се изхвърля и вместо нея се прилагат вътрешни сили към сечението на останалата част, която е действала върху него преди разреза отстрани от изхвърлената част. Лявата част се разглежда като самостоятелно тяло, което се намира в равновесие под действието на външни и вътрешни сили, приложени към сечението (трети закон на Нютон - действието е равно на противодействието).
При прилагането на този метод е по-изгодно да се изхвърли тази част от структурния елемент (тяло), за която е по-лесно да се състави уравнение на равновесие. Така става възможно да се определят вътрешните силови фактори в участъка, благодарение на които останалата част от тялото е в баланс (техника, често използвана в статиката).

Прилагайки условия на равновесие към останалата част от тялото, е невъзможно да се намери законът за разпределение на вътрешните сили върху сечението, но е възможно да се определят статичните еквиваленти на тези сили (резултантните силови фактори).
Тъй като основният проектен обект в якостта на материалите е лъч, нека разгледаме какви статични еквиваленти на вътрешните сили се появяват в напречното сечение на гредата.

Изрязваме гредата (фиг. 1) с напречно сечение а-а и разглеждаме баланса на лявата й страна.
Ако външните сили, действащи върху гредата, лежат в една и съща равнина, тогава в общия случай статичният еквивалент на вътрешните сили, действащи в сечението a-a, ще бъде главният вектор Fgl, приложен в центъра на тежестта на сечението, и основен момент Mgl = Mi, уравновесяващ външните сили на плоската система, приложени към останалата част от гредата.

Нека разложим главния вектор на компонента N, насочена по оста на пръта, и компонента Q, перпендикулярна на тази ос и лежаща в равнината на сечението. Тези компоненти на главния вектор и главния момент се наричат ​​вътрешни силови фактори, действащи в сечението на гредата. Компонентът N се нарича надлъжна сила, компонентът Q се нарича напречна сила, двойката сили с момента Mi е огъващ момент.

За да определим тези три фактора на вътрешна сила, прилагаме уравненията за равновесие, известни от статиката за останалата част от гредата:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (оста z винаги е насочена по оста на лъча).

Ако външните сили, действащи върху пръта, не лежат в една и съща равнина, т.е. те представляват пространствена система от сили, тогава в общия случай в напречното сечение на пръта възникват шест вътрешни силови фактора (фиг. 2), за да се определи които са използвани добре познатите от статиката шест уравнения на равновесие на останалата част от гредата:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ Mx = 0; Σ My = 0; Σ Mz = 0.

Тези силови фактори в общия случай имат следните имена: N - надлъжна сила, Qx, Qy - напречни сили, Mkr - въртящ момент, Mikh и Miu - огъващи моменти.

При различни деформации в напречното сечение на гредата възникват различни силови фактори.
Помислете за специални случаи:

1. В сечението възниква само надлъжна сила N. Това е деформация на опън (ако N е насочена встрани от сечението) или натиск (ако N е насочена към сечението).

2. В сечението възниква само напречна сила Q. Това е срязваща деформация.

3. В секцията се появява само въртящ момент Mkr. Това е деформация на усукване.

4. В сечението се появява само огъващият момент Mi. Това е чиста деформация на огъване. Ако моментът на огъване Mi и напречната сила Q възникват едновременно в сечението, тогава огъването се нарича напречно.

5. Ако в едно сечение се появят няколко фактора на вътрешна сила (например огъващ момент и надлъжна сила), тогава се получава комбинация от основни деформации (комплексно съпротивление).

11) Допускания за свойствата на материалите и характера на деформациите
Предположения относно свойствата на материала:

1. Материал хомогенен, т.е. неговите свойства не зависят от размерите на обема, извлечен от тялото. Всъщност в природата няма хомогенни материали. Например структурата на металите се състои от много произволно подредени микроскопично малки кристали (зърна). Размерите на изчислените структурни елементи, като правило, неизмеримо надвишават размерите на кристалите, така че предположението за хомогенност на материала тук е напълно приложимо.
2. Материалът е континууми непрекъснато запълва целия предоставен му обем. Това предположение следва директно от първото - за хомогенността на материала - и позволява използването на математически анализ.
3. Материал изотропен, т.е. физическите и механичните свойства са еднакви във всички посоки. По този начин елемент, изолиран от непрекъсната среда, не зависи от ориентацията по отношение на избраната координатна система. Металите поради тяхната финозърнеста структура се считат за изотропни. Но има много неизотропни - анизотропни - материали. Те включват дърво, тъкани, шперплат и много пластмаси. Въпреки това, при съпротивлението на материалите се разглеждат главно изотропни материали.
4. Материалът в определени граници на натоварване на тялото има идеална еластичност, т.е. след премахване на натоварването тялото напълно възстановява първоначалната си форма и размер.

Предположения за естеството на деформацията на конструктивните елементи:

12) Класификация на външните сили. Реален обект и изчислителна схема
Външните сили са силите на взаимодействие между разглеждания структурен елемент и свързаните с него тела. Ако товарът е разпределен върху повърхността на тялото или част от него, тогава такъв товар се нарича разпределен.
В проектната схема натоварването, разпределено върху повърхността (фиг. 1.2), се довежда до равнина, съвпадаща с надлъжната ос, което води до натоварване, разпределено по линията. Мярката за такова натоварване е неговата интензивност q - големината на натоварването на единица дължина. Размер - N/m. Резултатът от разпределеното натоварване е числено равен на площта на неговата диаграма и се прилага в центъра на тежестта му.

Ориз. 1.2

В допълнение към торото има товари под формата на концентриран момент (двойки глътка). Има няколко начина за изобразяване на моменти (Фигура 1.3).

Ориз. 1.3

Тогава M е въртящият момент (фиг. 1.4).

Ориз. 1.4

Така е изобразен идващ към нас сипа.

Така се изобразява идващата от нас сила.
реален обект- изследваният структурен елемент, като се вземат предвид всичките му характеристики: геометрични, физически, механични и др.

На практика е невъзможно да се изчисли реален обект (би било необходимо да се вземе предвид влиянието на твърде много взаимосвързани характеристики на обекта), така че е необходимо да се премине към някои изчислителна схема(модели на реален обект) въз основа на определена система от хипотези, които идеализират изчислената ситуация.

Схема за проектиране- това е реален обект, в който всички детайли (характеристики), които не са свързани с изчислението, се изхвърлят и тяхното влияние се заменя със силови ефекти.

Основната цел на якостта на материалите е да се създадат практически приемливи, прости методи (техники) за изчисляване на типични, най-често срещаните структурни елементи. Необходимостта от преминаване от реален обект към проектна схема (за да се опростят изчисленията) ни принуждава да въведем схематизация на понятията.

Могат да се разграничат следните видове схематизация:

геометрична схематизация;физическа схематизация;схематизация на мощността.

Геометрична схематизация (модел на формата)

За схематизиране на формата на реални обекти в якостта на материалите се използват следните основни типове елементи: ядро(лъч, лъч,

вал), плоча(плоча, черупка) и масивно тяло.

Ядро- структурен елемент, в който две измерения са малки в сравнение с третото.

Задачите за изчисляване на пръти са предимно едномерни (линейни, т.е. решението на проблема зависи от една променлива координата).

плоча- конструктивен елемент, в който един размер (дебелина) е малък в сравнение с другите два.

Плоча, която е извита преди натоварването, се нарича черупка.

Проблемите с анализа на пластините са предимно двуизмерни (плоски)

масивно тяло- структурен елемент, в който всички размери имат еднакъв ред.

Задачите за изчисляване на масивни тела са предимно тримерни (пространствени).

В съпротивлението на материалите се разглеждат предимно едномерни задачи за изчисляване на прътови елементи на конструкции. Решаването на по-сложни двумерни и тримерни задачи за изчисляване на плочи, черупки и масивни тела се разглежда от дисциплина, наречена "Теория на еластичността", която се основава на по-малък брой първоначални хипотези.

Физическо схематизиране (материален модел)

Всички изследвани тела се считат за направени (направени) от материали, условно надарени с определени идеализирани свойства.

Материалът на конструктивните елементи ще бъде разгледан допълнително твърдо,

хомогенен,изотропенИ линеен ластик.

твърд материал- материал, който няма празнини, кухини, пукнатини, пори, включвания и др.

Смята се, че материалът непрекъснато (изцяло) запълва целия обем на структурния елемент, като не се взема предвид специфичната структура на материала (зърнеста, кристална, влакнеста, слоеста и др.).

Хомогенен материал- материал, във всяка точка на който механичните свойства са еднакви и не зависят от размера на разпределения обем.

изотропен материал- материал, чиито свойства са еднакви във всички посоки.

По този начин свойствата на изотропния материал не зависят от посоката на изследване, например от посоката на прилагане на натоварването по време на механични изпитвания.

В противен случай материалът се нарича анизотропен (дърво, фибростъкло, слюда и др.).

еластичен материал- материал, който има способността да възстановява първоначалната форма и размер на тялото след отстраняване на външното натоварване.

Линеен еластичен материал- предмет на материал Закон на Хук.

Закон на Хук: "Преместванията на точките на еластично тяло (в известни граници на натоварване) са право пропорционални на силите, които причиняват тези премествания."

Силова схема (модел на натоварване)

За правилното формулиране на проблема в якостта на материалите е много важно да можете да класифицирате външните сили (натоварвания), действащи върху конструктивните елементи.

Външни сили- силите на взаимодействие между разглеждания структурен елемент и други тела, свързани с него.

Нека въведем следната класификация на външните сили според метода на приложение:

Концентрирани натоварвания– сили и моменти, чиято площ на действие е малка в сравнение с размерите на обекта (приложени в точка).

Обозначения: Е (Р ), М (T ).

Единици: [ Е]=Н; [ М]=N m в SI или [ Е]=кг; [ М]=kg m в техническата система.

Разпределени товари- сили, действащи а) върху не-

която дължина, б) върху някаква площ, в) по обем.

Обозначаване р .

Мерни единици: а) [ р]=H/m, kg/cm, kg/mm; б) [ р]=H/m2, kg/cm2, kg/mm ​​​​2; V) [ р] \u003d H / m 3, kg / cm 3, kg / mm 3 и т.н.

Външните натоварвания също се отличават от естеството на промяната във времето: Статични натоварваниябавно и плавно нараства от нула до крайната си стойност и след това остава непроменена.

Динамични натоварванияса придружени от ускорения както на деформираното тяло, така и на взаимодействащите с него тела.

Динамичните натоварвания включват например сили, действащи върху ускорено движещи се тела, ударни натоварвания и др.

Повторно променливи натоварвания-сили, непрекъснато и периодично променящи се във времето.

Сега, след като въведохме разглежданата схематизация на понятията, можем да продължим към работа с изчислителни схеми, към техния анализ. В същото време отбелязваме, че един и същ реален обект може да има няколко дизайнерски схеми и много различни реални обекти могат да бъдат свързани с една и съща проектна схема. По-специално, при изчисляване на мостов кран (вижте фигурата), кабелът и опорната колона ще бъдат изчислени съгласно проектната схема на опъната или компресирана пръчка, а каретката и водачите - съгласно схемата на двуподпорна греда и т.н. Това предполага друга дефиниция на съпротивлението на материалите.

Якост на материалите- инженерна дисциплина, която се занимава с анализ на якостта (в общ смисъл) на най-типичните (често срещани) схеми за проектиране, подходящи за изчисляване на всякакви елементи на всякакви конструкции.

13) Вътрешни сили при опън и натиск. Построяване на диаграми на вътрешни сили. Концепцията за опасен участък.
Опън и компресия

Разтягане (компресия)- прост вид съпротивление, при което прътът се натоварва със сили, успоредни на надлъжната ос на пръта и приложени към центъра на тежестта на неговото сечение.

Помислете за прът, еластично опънат от централно приложени концентрирани сили P.

Преди да пристъпим към изследване на вътрешните сили и напрежения, възникващи в опънат прът, нека разгледаме някои хипотези, свързани с естеството на деформацията на такъв прът и които са от изключително значение за устойчивостта на материалите.

Принципът на Сен Венант: в участъци, достатъчно далеч от местата на прилагане на силите, разпределението на напреженията и деформациите зависи малко от метода на прилагане на товарите.

Принципът на Saint-Venant позволява да се изчисли, без да се вземат предвид локални (локални) деформации, които се появяват в близост до точките на прилагане на външни сили и се различават от деформациите на основния обем на материала, което в повечето случаи опростява решението на проблемът.

Хипотезата за плоските сечения (хипотезата на Дж. Бернули):напречните сечения на пръта са плоски и перпендикулярни на оста си преди деформация остават плоски и перпендикулярни на оста, а след деформация.

Мислено разчленявайки пръта, ние определяме вътрешните сили в опънатия прът:

а) прът, натоварен със сили на опън P и в равновесие, се срязва с произволно сечение;

б) изхвърляме една от частите на пръта, а въздействието й върху другата част се компенсира от вътрешни сили с интензитет;

в) аксиална вътрешна сила N, възникваща в сечението на пръта, определяме чрез съставяне на уравненията на равновесието за отсечената част:

Чрез проектирането на външната сила P, действаща върху отрязаната част на пръта, върху други оси (z и y), както и съставянето на уравненията на моментите спрямо координатните оси, е лесно да се уверите, че аксиалната сила N е единствената вътрешна сила, която възниква в сечението на пръта (останалите са идентично равни на нула).

По този начин, по време на напрежение (компресия), от шест вътрешни сили в напречното сечение на пръта възниква само една - надлъжна сила N.

Нормалните напрежения, възникващи в сечението на пръта, са свързани с аксиалната сила N, както следва:

Или . (2.2)

Като се има предвид, че в съответствие с хипотезата на Бернули напреженията са равномерно разпределени по напречното сечение (т.е. = const), можем да запишем:

По този начин нормалните напрежения на опън (натиск) се определят като

Графики на вътрешните сили при опън-натиск

Опънът или компресията е такъв прост вид съпротивление, при което външни сили се прилагат по надлъжната ос на гредата и само нормална сила възниква в нейното напречно сечение.

Помислете за изчислителната схема на греда с постоянно напречно сечение с дадено външно концентрирано натоварване P и разпределено q, (фиг. 1).

а) изчислителна схема, б) първи участък, лява отсечена част, в) втори участък, лява отсечена част, г) втори участък, дясна отсечена част, д) диаграма на нормалните сили

Фиг. 1.График на нормални сили:

Позволявам . На първо място, ние определяме реакцията на подкрепа Р, предвид посоката му по оста х.

Гредата има 2 секции 1 и 2.

В рамките на първата секция мислено разрязваме лъча на 2 части с нормално сечение и вземаме предвид баланса, да речем лявата страна, като въвеждаме следната координата х 1, фиг.1 b:

Следователно, в рамките на първата секция, гредата претърпява компресия от постоянна нормална сила.

Ще направим същото и с втория раздел. Мислено го отрежете с разрез 2-2 и помислете за баланса на лявата страна (фиг. 1 c).Нека първо установим границите на промяната х 2:

Заместване на граничните стойности на параметъра х 2, получаваме:

Така във втората секция гредата се разтяга и нормалната сила се променя линейно.

Подобен резултат се получава при разглеждане на дясната отрязана част (фиг. 1d):

Въз основа на получените данни се построява диаграма на нормалните сили под формата на графика на разпределението на нормалната сила по дължината на пръта (фиг. 1д). Характерно е, че скоковете в диаграмата се дължат на наличието на концентрирани сили в съответните участъци РИ Р, което от своя страна може да служи като правило за правилността на извършените конструкции.

За проверка на якостта на огъване, в зависимост от външните натоварвания, действащи върху гредата, се изграждат графики на промените на вътрешните сили по нейната дължина и се определят опасните участъци на гредата, за всяко от които е необходимо да се извърши изпитване на якост .

При пълен тест за якост ще има поне три такива секции (понякога те съвпадат):

1. сечение, в което огъващият момент Mx- достига максималната си стойност по абсолютна стойност, - именно за тази секция е избрано сечението на целия лъч;

2. сечение, в което напречната сила Qy, достига своята максимална модулна стойност;

3. сечение, в което и огъващ момент Mxи сила на срязване Qyдостигат достатъчно големи стойности в модула.

Във всеки от опасните участъци е необходимо, след като са изградени диаграми на нормални и срязващи напрежения, да се намерят опасните точки на участъка (проверка на якостта се извършва за всеки от тях), които също ще бъдат най-малко три:

1. точката, в която нормалните напрежения достигат максималната си стойност - т.е. точката на външната повърхност на гредата, която е най-отдалечена от неутралната ос на сечението;

2. точката, в която напреженията на срязване достигат максималната си стойност - точка, разположена на неутралната ос на сечението;

точката, в която нормалните напрежения и напреженията на срязване достигат достатъчно големи стойности (тази проверка има смисъл
за секции като тройник или I-лъч, където ширината рязко променя стойността си).

14) Условие за якост на усукване. Концепцията за опасен участък
Условието за якост на усукване, като се вземе предвид възприетата нотация, се формулира, както следва: максималните напрежения на срязване, които възникват в опасната част на вала, не трябва да надвишават допустимите напрежения и се записват като

където се взема или въз основа на експериментални данни, или (при липса на необходимите експериментални характеристики) според теориите за якост, съответстващи на материала. Например, от теориите за якост за крехки материали, приложени към чисто срязване, следват следните резултати:

От втората теория на силата

От теорията на Мор

От теориите за якост на пластичните материали при чисто срязване получаваме:

Според третата теория за силата

Според четвъртата теория за силата

Както следва от закона за сдвояване на тангенциалните напрежения, едновременно с тангенциалните напрежения, действащи в равнината на напречното сечение на вала, възникват тангенциални напрежения в надлъжните равнини. Те са равни по големина на двойните напрежения, но имат обратен знак. По този начин всички елементи на гредата по време на усукване са в състояние на чисто срязване. Тъй като чистото срязване е специален случай на равнинно напрегнато състояние, при което , , , тогава, когато челата на елемента се завъртят с 45 0, в нови области се откриват само нормални напрежения, равни по големина (фиг. 5.8).

Помислете за възможните видове разрушаване на валове, изработени от различни материали по време на усукване. Валовете, изработени от пластмасови материали, най-често се разрушават по протежение на участък, перпендикулярен на оста на вала, под въздействието на напреженията на срязване, действащи в този участък (фиг. 5.9, а). Валовете от крехки материали се разрушават по спиралната повърхност, наклонена към оста на вала под ъгъл 45 0, т.е. в посоката на действие на максималните напрежения на опън (фиг. 5.9, б). При дървените валове се появяват първите пукнатини по протежение на генераторите на цилиндъра, тъй като дървото слабо се съпротивлява на действието на напреженията на срязване, насочени по протежение на влакната (фиг. 5.9, в).

Фиг.5.8 Фиг.5.9

По този начин естеството на разрушаването зависи от способността на материала на вала да устои на ефектите от нормални и срязващи напрежения. В съответствие с това допустимите напрежения на срязване се приемат равни на - за крехки материали и - за пластични материали.

IN опасен участък на вала при огъване с усукваневъзникват едновременно най-висок въртящ момент () и получения момент на огъване.

15) Усукване. Напрежение на усукване. График на напреженията на срязване.
усукване наречена деформация, която възниква, когато двойка сили действа върху пръта, разположен в равнина, перпендикулярна на неговата ос (фиг. 5.1).

Наричат ​​се пръти с кръгло или пръстеновидно сечение, работещи на усукване валове. При изчисляване на валовете мощността, предавана на вала, обикновено е известна и трябва да се определи големината на външните усукващи моменти. Външните усукващи моменти, като правило, се предават на вала в местата, където шайби, зъбни колела и др.

Оставете вала да се върти с постоянна скорост ноб/мин и мощност на предаване н Nm/s Ъгловата скорост на въртене на вала е равна на (рад / сек), а предаваната мощност е .

Моментът на усукване е .

Ако мощността е дадена в киловати, тогава стойността на въртящия момент се определя по формулата

НАПРЕЖЕНИЕ НА УСУКВАНЕ.

Ако към краищата на вала се прилагат еднакви, но противоположно насочени външни усукващи моменти, тогава във всичките му напречни сечения съществуват само тангенциални напрежения, т.е. състоянието на напрежение в точките на усуканата пръчка е чисто срязване. В кръговото напречно сечение на вала деформациите на срязване и напреженията на срязване са равни на нула в центъра и са максимални на ръба; в междинните точки са пропорционални на разстоянието от центъра на тежестта на сечението. Обичайната формула за максимално напрежение на срязване при усукване е: С = Tc/Дж, Където T- момент на усукване в единия край, ° Се радиусът на вала и Дже полярният момент на сечението. За кръг Дж = пр 4/2. Тази формула е приложима само в случай на кръгло напречно сечение. Формулите за валове с напречно сечение с различна форма се извеждат чрез решаване на съответните задачи с помощта на методите на математическата теория на еластичността, в някои случаи с помощта на методите на експерименталния анализ.

Ориз. 2.9. Графики на срязващите напрежения при усукване

а) еластичен етап; б) етап на пластична деформация;

в) етап на разрушаване; 1 – еластична зона; 2 - пластмасова зона