Лекции

Лекции 4-5.Равнинно движение на твърдо тяло и движение на плоска фигура в неговата равнина. Уравнения за равнинно движение, брой степени на свобода. Разлагане на движението на транслационно заедно с полюса и ротационно около оста, минаваща през полюса. Съотношението между скоростите на произволни две точки върху плоска фигура. Моментен център на скоростите - MCS; методи за намирането му. Определяне на точковите скорости с помощта на MCS. Различни начиниопределяне на ъглова скорост. Съотношението между ускоренията на произволни две точки върху равнинна фигура. Концепцията за моментния център на ускорението. Различни начини за определяне на ъгловото ускорение. Пример OL4-5.14.

OL-1, гл. 3, §§ 3.1-3.9.

Лекции 6-7.Въртене на твърдо тяло около фиксирана точка. Брой степени на свобода. Ойлерови ъгли. Уравнения на движението. Моментна ос на въртене. Вектори на ъглова скорост и ъглово ускорение. Точкови скорости на тялото: векторни и скаларни формули на Ойлер. Формули на Поасон. Ускорения на точки на тялото. Пример L5-19.4. Общ случай на движение на свободно твърдо тяло. Разлагане на движението на транслационно по полюса и въртеливо около полюса. Уравнения на движението. Скорости и ускорения на точките на тялото.

OL-1, гл. 4, гл. 5.

Лекции 8-9.Комплексно движение на точка, основни понятия и определения. Пълни и локални производни на вектор, формула на Boer. Теорема за добавяне на скорост. Теоремата за събирането на ускоренията е теоремата на Кориолис. Ускорение на Кориолис, правило на Жуковски. Особени случаи. Примери: L4-7.9, 7.18. Сложно движение на твърдо тяло. Добавяне на транслационни движения, добавяне на въртене около пресичащи се оси.

OL-1, гл. 6, гл. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

Студентите самостоятелно изучават темата "Добавяне на завъртания около успоредни оси, двойка завъртания."

OL-1, гл. 7, § 7.3.

Лекция 10Концепцията за криволинейни координати. Определяне на скоростта и ускорението на точка при задаване на нейното движение в цилиндрични и сферични координати.

OL-1, гл. 1, § 1.4.

Семинари

Урок 5.Определяне на скоростите на точки на твърдо тяло при равнинното му движение. Моментен център на скоростите - MCS; методи за намирането му. Определяне на точкови скорости чрез MCS, определяне на ъгловата скорост на тяло.

Стая: ОЛ5-16.29, Л4-5.6,5.7,5.14.

У дома: OL4-5.8,5.15,5.20.

Урок 6.Определяне на ускоренията на точки от плоска фигура чрез съотношението между ускоренията на всеки две нейни точки и използване на моментния център на ускоренията. Различни начини за определяне на ъгловото ускорение.

Стая: ОЛ5-18.11, Л4-5.26,5.30.

У дома: OL4-5.21, 5.28.

Урок 7

Аудитория: ОЛ4-5.38, 5.37.

У дома: OL4-5.39, 5.43.

Урок 8Определяне на скорости и ускорения на точки на твърди тела при плоско движение в системи с една степен на свобода.

Стая: ОЛ4-5.40.

У дома: OL4-5.41.

Урок 9.Решаване на задачи като ДЗ-2 "Кинематика на равнинното движение на твърдо тяло"

Аудитория: Задачи от типа ДЗ-2.

Къщи: ДЗ-2, МП 5-7.

Урок 10.Определяне на скорости и ускорения на точки при зададени преносими и относителни движения.

Урок 11.Определяне на скорости и ускорения на точки в сложно движение с известна траектория на абсолютното му движение.

Аудитория: ОЛ5-23.18, 23.27, 23.30, ОЛ4-7.17.

У дома: OL4-7.6 (7.3), 7.16 (7.13).

Урок 12.Решаване на задачи като ДЗ-3 „Сложно движение на точка“

Публика: OL4-7.34 (7.29). Задачи от тип DZ-3.

Къщи: ДЗ № 3, МП 8-10.

Модул 3: Статика

Лекции

Лекция 11Статика, основни понятия и определения. Аксиоми на статиката. Основните видове връзки и техните реакции: гладка повърхност, цилиндрично съединение, сферично съединение, опорен лагер, гъвкава резба, шарнирен прът.

OL-1, гл. 8, §§ 8.1, 8.2.

Лекция 12Система от събиращи се сили, условия на равновесие. Алгебрични и векторни моменти на сила спрямо точка. Силов момент около оста. Връзката на вектора на момента на силата спрямо точка с момента на силата спрямо ос, минаваща през тази точка. Аналитични изрази за моменти на сила спрямо координатните оси. Няколко правомощия. Теоремата за сумата от моментите на силите, които образуват двойка, спрямо всяка точка или ос. Векторни и алгебрични моменти на двойка.

OL-1, гл. 8, §§ 8.3-8.5.

Лекция 13Еквивалентност на двойки. Събиране на двойки. Условието за равновесие на система от двойки сили. Лема за паралелно предаване на сила. Теоремата за редуцирането на произволна система от сили до сила и двойка сили е основната теорема на статиката.

OL-1, гл. 8, § 8.6.

Лекция 14Главен вектор и главен момент на системата от сили. Формули за тяхното изчисляване. Условия за равновесие на произволна система от сили. Частни случаи: система от успоредни сили, плоска система от сили - основна форма. Теорема на Вариньон за момента на резултантните, разпределени сили. Примери: K5-4.26, K4-2.17. Зависимост между основните моменти на системата от сили по отношение на два центъра на редукция.

OL-1, гл. 8, § 8.6, гл. 9, § 9.1.

Лекции 15-16.Инварианти на силовата система. Специални случаи на намаление. Равновесието на телесната система. Външни и вътрешни сили. Имоти вътрешни сили. Задачите са статично дефинирани и статично неопределени. Баланс на тяло върху грапава повърхност. Триене при плъзгане. Законите на Кулон. Ъгъл и триещ конус. Пример L5-5.29. Триене при търкаляне. Коефициент на триене при търкаляне.

OL-1, гл. 9, § 9.2, гл. 10.

Лекция 17Център на система от успоредни сили. Формули за радиус вектор и координати на центъра на системата от успоредни сили. Център на тежестта на тялото: обем, площ, линии. Методи за намиране на центъра на тежестта: метод на симетрия, метод на разделяне, метод на отрицателна маса. Примери.

OL-1, гл. единадесет.

Семинари

Урок 13.

Публика: OL5-2.19,2.29,4.17,4.25.

Начало: L4-1.3, 1.5.

Урок 14.Определяне на реакциите при равновесие на плоска система от тела.

Аудитория: ОЛ4-1.14,1.15,1.17.

Начало: L4-1.12, 1.16, MP 11.14.

Урок 15.Определяне на реакциите при равновесие на произволна пространствена система от сили.

Стая: OL4-1.26, L5-8.17, 8.19.

У дома: OL4-1.24,1.25,1.29.

Урок 16Определяне на реакциите при равновесие на произволна пространствена система от сили. Решаване на задачи като DZ-4.

Стая: ОЛ5-8.26, Л4-2.12,2.18,2.19.

Къщи: ОЛ4-2.16, ДЗ No4, МП 12-14.

Урок 17.Определяне на силите в равновесие с отчитане на триенето.

Публика: RL5-5.26,5.28, L4-1.39 (1.38).

Начало: OL4-1.43(1.42), 1.46(1.45).

Модул 4: Изпит

Изпитът е базиран на модули 1-4.

Самоподготовка

· Разработване на курс от лекции, учебници, учебни помагалапо темите на лекции 1 - 17, семинари 1 - 17

· Изпълнение на домашни No 1–4.

· Подготовка за писмена работа No 1–4 и техният правопис.

апартамент(плоскопаралелен) нар. движение, при което всички негови точки се движат успоредно на някаква фиксирана равнина. Уравнения на равнинното движение: x A \u003d f 1 (t), y A \u003d f 2 (t), j \u003d f 3 (t), точка А се нарича. полюс. Равнинното движение на твърдо тяло се състои от транслационно движение, при което всички точки на тялото се движат по същия начин като полюса (A), и от ротационно движение около този полюс. Постъпателното движение зависи от избора на полюса, докато големината и посоката на ъгъла на въртене са независими.

плоско движение Твърдо тяло се нарича такова движение, при което всяка негова точка винаги се движи в една и съща равнина.

Равнините, в които се движат отделните точки на тялото, са успоредни една на друга и успоредни на една и съща неподвижна равнина. Равнинното движение на твърдо тяло често се нарича плоскопаралелно. Траекториите на точките на тялото при равнинно движение са равнинни криви.

Равнинното движение на твърдо тяло има голямо значениев технологиите. Въртеливото движение на твърдо тяло около неподвижна ос е частен случай на движението на твърдо тяло.

При изучаване на равнинното движение, както при всяко друго, е необходимо да се обмислят начини за уточняване на това движение, както и методи за изчисляване на скоростите и ускоренията на точките на тялото.

Ако в тялото се начертае определена линия O 1 O 2, перпендикулярна на равнините, в които се движат точките, тогава всички точки от тази линия ще се движат по една и съща траектория с еднакви скорости и ускорения; самата линия естествено ще запази ориентацията си в пространството. По този начин при плоско движение на твърдо тяло е достатъчно да се разгледа движението на една от секциите на тялото.

Сечението на твърдо тяло ще се нарича плоска фигура. Позицията на фигура в нейната равнина се определя изцяло от позицията на сегмент от права линия, здраво прикрепен към тази равнинна фигура.

Уравнения за равнинно движение на твърдо тяло

За да зададете позицията на плоска фигура в равнината спрямо координатната система, лежаща в равнината на фигурата, е достатъчно да зададете позицията на сегмента AB, прикрепен към фигурата в тази равнина.

Положението на отсечката AB спрямо координатната система се определя чрез задаване на координатите на някоя точка от тази отсечка и нейната посока. Например координатите на точка A () и посоката, дадена от ъгъла.

Уравненията на движение на плоска фигура спрямо координатната система са: .

Твърдото тяло при равнинно движение има три степени на свобода.

Наречен уравнения за равнинно движение на твърдо тяло .

Нека преминем към изучаване на движението на една точка от твърдо тяло. Позицията на която и да е точка M от плоска фигура спрямо подвижна отправна система , прикрепена към тази движеща се фигура и лежаща в нейната равнина, се определя напълно чрез уточняване на координатите x и y на точката M (фиг.6-3).

Съществува връзка между координатите на точка М в различни референтни системи:

, (6-1)

където е дължината на отсечката OM, е постоянен ъгъл между OM и оста. Като вземем предвид изразите и получаваме

, (6-2)

Формули (6-2) са уравненията на движението на точка М на плоска фигура по отношение на координатите . Тези формули ви позволяват да определите координатите на всяка точка от плоска фигура чрез дадени уравнениядвижението на тази фигура и координатите на тази точка спрямо подвижната референтна система, прикрепена към движещата се фигура.

Използвайки матрично-векторна нотация, уравненията (6-2) могат да бъдат записани в следната форма:

, (6-3)

където A е матрицата на въртене в равнината:

, , , .

Разлагане на равнинното движение на транслационно

И въртеливо движение.

Теорема . Всяко движение на твърдо тяло, включително движението на плоска фигура в неговата равнина, може да се разложи по безброй начини на две движения, едното от които е преносимо, а другото е относително.

По-специално, движението на плоска фигура в нейната равнина спрямо система, разположена в същата равнина, може да се разложи на транслационни и относителни движения, както следва. Да приемем за преносимо движение на фигурата нейното движение заедно с постъпателно движещата се координатна система , чието начало е закрепено към точката O на фигурата, взета за полюс. Тогава относителното движение на фигурата ще бъде по отношение на движещата се координатна система въртене около движещата се ос, перпендикулярна на плоската фигура и минаваща през избрания полюс.

За да се докаже това, достатъчно е да се покаже, че плоска фигура в нейната равнина от една позиция в друга може да бъде пренесена чрез две движения - транслационно движение в равнината на фигурата заедно с някакъв полюс и въртене в същата равнина около този полюс.

Помислете за произволни две позиции на плоска фигура 1 и 2. Изберете сегмента AB в разглежданата фигура. Преместването на фигурата от позиция 1 в позиция 2 може да се разглежда като суперпозиция на две движения: постъпателно от 1 към 1 "и ротационно от 1" към 2 около точката А", обикновено наричана полюс (фиг. 6-4a). Важно е, че като полюс можете да изберете всяка точка, която принадлежи на фигурата или дори лежи в равнината извън фигурата.На фиг.6-4b, например, точка B е избрана като полюс. един и същ!

Плоско (плоскопаралелно) движение на твърдо тяло е такова движение на тяло, при което всички негови точки се движат в равнини, успоредни на някаква фиксирана равнина.

Равнинното движение на твърдо тяло може да се разложи на постъпателно движение на тялото заедно с определена точка на тялото (полюса) и въртене около ос, минаваща през полюса, перпендикулярен на равнината на движение.

Броят на степените на свобода при равнинно движение е три. Избираме точка А на тялото - полюса. Две координати ще зададат движението на полюса, а третият - ъгълът на въртене - въртене около полюса:

,
,
.

Последните изрази се наричат ​​уравнения на равнинното движение на твърдо тяло.

3.2. Скорости на точките на тялото при равнинно движение.

Моментален център на скоростта

Обмислете точките АИ INтвърдо тяло в равнинно движение. Радиус на точков вектор IN
,
, тъй като това е разстоянието между две точки в твърдо тяло. Нека разграничим двете части на това равенство:
или
. За
прилагаме формулата за производната на вектор, който има постоянен модул:

- точкова скорост INкогато тялото се върти около полюса А. Тогава,
или
, Където - векторът на ъгловата скорост на тялото, той е насочен по оста, минаваща през точката Аперпендикулярно на равнината на движение. модул - защото ABлежи в равнина и перпендикулярна на равнината.

Моментният център на скоростите на тялото при равнинно движение е точка от тялото или подвижна равнина, твърдо свързана с тялото, чиято скорост е в този моментвремето е нула.

Нека покажем, че ако в даден момент от време ъгловата скорост на тялото
, тогава моментният център на скоростите съществува. Помислете за плоска фигура, движеща се в равнината на чертежа,
, точкова скорост А–. Начертайте перпендикуляр на Ада ускоря и поставете сегмент върху него
. Нека покажем това Ре моментният център на скоростите, т.е.
.

Точкова скорост Р
,
, т.е.
, следователно
, което означава Ре моментният център на скоростта.

Нека сега тялото извършва равнинно движение и положението на моментния център на скоростите е известно Р. Нека първо определим скоростта на точката А:,
; точкова скорост IN:
; Тогава
. Следователно скоростите на точките на тялото по време на равнинно движение са свързани като техните разстояния до моментния център на скоростите.

Обмислете начини за намиране на моментния център на скоростите.

3.3. Ускорение на точките на тялото по време на равнинно движение.

Моментален център за ускорение

Обмислете точките АИ INтвърдо тяло в равнинно движение. Точкова скорост IN
. Нека разграничим двете части на това равенство:
. Обозначете
,
,
- ъглово ускорение,
- точкова скорост INспрямо полюса А,. Нека въведем обозначението:
е тангенциалното (ротационното) ускорение на точката IN, когато тялото се върти около полюса А,е векторът на ъгловото ускорение, насочен перпендикулярно на равнината на движение; е нормалното ускорение на точката бкогато тялото се върти около полюса А. Като се имат предвид тези обозначения, изразът за ускорение се записва, както следва:
. По този начин ускорението на всяка точка на тялото по време на равнинно движение е равно на геометричната сума от ускорението на всяка друга точка на тялото (полюса) и ускорението на точката на тялото по време на въртенето му около полюса. Ако обозначим
, Че
,
,
,
.

Моментният център на ускорение на тяло при равнинно движение е точка от тяло или движеща се равнина, твърдо свързана с тялото, чието ускорение в даден момент от време е равно на нула.

Нека покажем, че ако в даден момент
И
, тогава моментният център на ускорението съществува. Помислете за плоска фигура, движеща се в равнината на чертежа,
,
точково ускорение А–
. Нека начертаем точката Алъч под ъгъл
до ускорение
и поставете сегмент върху него
. Нека покажем това Qе моментният център на ускоренията, т.е.
.

точково ускорение Q
,

,
,
,
, следователно
, което означава Qе моментният център на ускорението. Тогава
,
,
.

Обмислете начини за определяне на ъгловото ускорение на тялото при равнинно движение.

1. Ако е известен ъгълът на завъртане
, Че
.

2. Проектиране на векторно уравнение
върху ос, перпендикулярна на ускорението на точката IN(с познати , посока и величина
, векторна посока
), получаваме уравнение, от което определяме
и тогава
.

Досега при изучаване на движението на точка (отделна точка, точка от тяло) винаги сме приемали, че координатната система Oxyz, спрямо която се разглежда движението, е неподвижна. Сега разгледайте случая, когато координатната система Oxyz също се движи, така че както точката M, така и координатната система Oxyz се движат - по отношение на друга координатна система, която е неподвижна (фиг. 111). Този случай, когато движението на точката М се разглежда едновременно в две координатни системи - подвижна и неподвижна, се нарича комплексно движение на точката.

Преместването на точка спрямо фиксирана координатна система се нарича абсолютно движение. Скоростта и ускорението му спрямо неподвижните оси се наричат ​​съответно абсолютна скорост и абсолютно ускорение.

Преместването на точка спрямо движеща се координатна система се нарича относително движение.

Скоростта и ускорението на точка по отношение на движещите се оси се наричат ​​относителна скорост (обозначено) и относително ускорение. Индекс – от латинската дума relativus (роднина).

Движението на подвижна координатна система заедно с неизменно свързани с нея геометрични точки спрямо фиксирана координатна система се нарича транслационно движение. Преносимата скорост и преносимото ускорение на точка М са скоростта и ускорението спрямо неподвижната координатна система на точка М, неизменно свързана с подвижните оси, с които движещата се точка М съвпада в даден момент.Индексът e е от латинското enteiner (за носене със себе си).

Понятията скорост на трансфер и ускорение на трансфер са по-фини. Даваме следното допълнително разяснение. В процеса на относително движение точката М се намира на различни места (точки) от подвижната координатна система.

Нека обозначим с М тази точка от подвижната координатна система, с която в дадения момент съвпада движещата се точка М. Точката М се движи заедно с подвижната координатна система спрямо неподвижната система с известна скорост и ускорение. Тези количества служат като преносима скорост и преносимо ускорение на точка М:

Нека направим още две забележки.

1. Подвижни и неподвижни координатни оси, които се появяват при формулирането на проблема за сложно движение, са необходими само за общото формулиране на проблема. На практика ролята на координатни системи изпълняват конкретни тела и обекти – движещи се и неподвижни.

2. Преносимото движение или, което е същото, движението на подвижни оси спрямо неподвижни, се свежда до едно от движенията на твърдо тяло - транслационно, ротационно и др. Следователно, когато се изчислява скоростта на трансфер и ускорението на трансфера, трябва да се използват съответните правила, установени за различни видоведвижения на тялото.

Скоростите и ускоренията при сложно движение са свързани със строги математически зависимости - теорема за добавяне на скорости и теорема за добавяне на ускорение.