За по-задълбочено разбиране на случващото се в тази статия можете да прочетете.

Да разгледаме хомогенна система от диференциални уравнения от трети ред

Тук x(t), y(t), z(t) са желаните функции в интервала (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) са реални числа.

Записваме оригиналната система в матрична форма
,
Където

Ще търсим решението на оригиналната система във формата
,
Където , C 1 , C 2 , C 3 са произволни константи.

За да се намери основната система от решения, е необходимо да се реши така нареченото характеристично уравнение

Това уравнение е алгебрично уравнениетрети ред, така че има 3 корена. В този случай са възможни следните случаи:

1. Корените (собствените стойности) са реални и различни.

2. Сред корените (собствените стойности) има комплексно спрегнати, нека
- истински корен
=

3. Корените (собствените стойности) са реални. Един от корените е множествен.

За да разберем как да действаме във всеки от тези случаи, имаме нужда от:
Теорема 1.
Нека са по двойки различни собствени стойности на матрицата A и са собствените вектори, съответстващи на тях. Тогава

формират фундаментална система от решения на оригиналната система.

Коментирайте .
Нека - реалната собствена стойност на матрицата A (реалният корен на характеристичното уравнение), - съответният собствен вектор.
= - комплексни собствени стойности на матрицата A, - съответен - собствен вектор. Тогава

(Re - реална част, Im - въображаема)
формират фундаментална система от решения на оригиналната система. (т.е. и = се разглеждат заедно)

Теорема 3.
Нека е коренът на характеристичното уравнение с кратност 2. Тогава оригиналната система има 2 линейно независими решения от формата
,
където , - векторни константи. Ако кратностите са 3, тогава има 3 линейно независими решения на формата
.
Векторите се намират чрез заместване на решения (*) и (**) в оригиналната система.
За да разберете по-добре метода за намиране на решения във формата (*) и (**), вижте типичните примери, разгледани по-долу.

Сега нека разгледаме по-подробно всеки от горните случаи.

1. Алгоритъм за решаване на хомогенни системи диференциални уравнения от трети ред при различни реални корени на характеристичното уравнение.
Дадена система

1) Съставете характеристичното уравнение

са реални и различни собствени стойности (корените на това уравнение).
2) Ние строим къде

3) Ние строим къде
- собствен вектор на матрицата A, съответстващ на , т.е. - всяко системно решение

4) Ние строим къде
- собствен вектор на матрицата A, съответстващ на , т.е. - всяко системно решение

5)

представляват основната система от решения. След това записваме общото решение на оригиналната система във формуляра
,
тук C 1 , C 2 , C 3 са произволни константи,
,
или в координатна форма

Нека да разгледаме няколко примера:
Пример 1




2) Намерете


3) Намерете


4) Векторни функции



или в координатна нотация

Пример 2

1) Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

2) Намерете


3) Намерете


4) Намерете


5) Векторни функции

образуват фундаментална система. Общото решение има формата

или в координатна нотация

2. Алгоритъм за решаване на хомогенни системи диференциални уравнения от трети ред при комплексно спрегнати корени на характеристичното уравнение.


- истински корен

2) Ние строим къде

3) Сграда

- собствен вектор на матрицата A, съответстващ на , т.е. удовлетворява системата

Тук Re е истинската част
Im е въображаемата част
4) представляват основната система от решения. След това пишем общото решение на оригиналната система:
, Където
С 1 , С 2 , С 3 са произволни константи.

Пример 1

1) Съставяме и решаваме характеристичното уравнение

2) Сграда

3) Сграда
, Където

Намаляваме първото уравнение с 2. След това добавяме първото уравнение, умножено по 2i, към второто уравнение и изваждаме писалката, умножено по 2, от третото уравнение.

По-нататък

следователно

4) - фундаментална система от решения. Пишем общото решение на оригиналната система:

Пример 2

1) Съставяме и решаваме характеристичното уравнение


2) Сграда

(т.е. и разглеждани заедно), където

Умножете второто уравнение по (1-i) и намалете с 2.


следователно

3)
Общо решение на оригиналната система

или

2. Алгоритъм за решаване на хомогенни системи диференциални уравнения от трети ред при множество корени на характеристичното уравнение.
Съставете и решете характеристичното уравнение

Възможни са два случая:

Разгледайте случай a) 1) , където

- собствен вектор на матрицата A, съответстващ на , т.е. удовлетворява системата

2) Нека се позовем на теорема 3, от която следва, че има две линейно независими решения от вида
,
където са постоянни вектори. Да ги вземем.
3) - фундаментална система от решения. След това пишем общото решение на оригиналната система:

Разгледайте случай b):
1) Нека се позовем на теорема 3, от която следва, че има три линейно независими решения от вида
,
където , , са постоянни вектори. Да ги вземем.
2) - фундаментална система от решения. След това записваме общото решение на оригиналната система.

За да разберете по-добре как да намерите решения във формата (*), разгледайте няколко типични примера.

Пример 1

Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

Имаме случай а)
1) Сграда
, Където

Извадете първото уравнение от второто уравнение:

? Третият ред е подобен на втория, зачеркваме го. Извадете второто от първото уравнение:

2) = 1 (кратност 2)
Според T.3 този корен трябва да съответства на две линейно независими решения от вида .
Нека се опитаме да намерим всички линейно независими решения, за които , т.е. решения на формата
.
Такъв вектор ще бъде решение тогава и само ако е собствен вектор, съответстващ на =1, т.е.
, или
, вторият и третият ред са подобни на първия, изхвърляме ги.

Системата беше сведена до едно уравнение. Следователно има две свободни неизвестни, например и . Нека първо им дадем стойностите 1, 0; след това стойностите 0, 1. Получаваме следните решения:
.
следователно .
3) - фундаментална система от решения. Остава да напишем общото решение на оригиналната система:
. .. По този начин има само едно решение на формата Заместете X 3 в тази система: Зачеркнете третия ред (той е подобен на втория). Системата е последователна (има решение) за всяко s. Нека c=1.
или

За това уравнение имаме:

; (5.22)

. (5.23)

Последната детерминанта дава условието a 3 > 0. Условието Δ 2 > 0, когато a 0 > 0, a 1 > 0 и a 3 > 0, може да бъде изпълнено само когато a 2 > 0.

Следователно, за уравнение от трети ред вече не е достатъчно всички коефициенти на характеристичното уравнение да са положителни. Изисква се също да се изпълни определено съотношение между коефициентите a 1 a 2 > a 0 a 3 .

4. Уравнение от четвърти ред

Подобно на това, което беше направено по-горе, може да се получи, че за уравнение от четвърти ред, в допълнение към положителността на всички коефициенти, трябва да бъде изпълнено следното условие

Значителен недостатък на алгебричните критерии, включително критериите на Хурвиц, е също така, че за уравнения от висок ред в най-добрия случай можете да получите отговор дали системата за автоматично управление е стабилна или не. В същото време, в случай на нестабилна система, критерият не дава отговор как трябва да се променят параметрите на системата, за да стане тя стабилна. Това обстоятелство доведе до търсенето на други критерии, които биха били по-удобни в инженерната практика.

5.3. Критерий за устойчивост на Михайлов

Разгледайте отделно лявата страна на характеристичното уравнение (5.7), което е характеристичният полином

Нека заместим в този полином чисто имагинерната стойност p = j, където  е ъгловата честота на трептенията, съответстваща на чисто имагинерния корен на характеристичното решение. В този случай получаваме характерния комплекс

където реалната част ще съдържа четни степени на честота

и имагинерни - нечетни степени на честота

д

Ориз. 5.4. Ходограф на Михайлов

Ако са дадени всички коефициенти и определена стойност на честотата , тогава стойността D(j) ще се покаже на комплексната равнина като точка с координати U и V или като вектор, свързващ тази точка с началото. Ако стойността на честотата  се променя непрекъснато от нула до безкрайност, тогава векторът ще се променя по големина и посока, описвайки с края си определена крива (ходограф), която се нарича Крива на Михайлов (фиг. 5.4).

На практика кривата на Михайлов се конструира точка по точка, като се посочват различни стойности на честотата  и U() и V() се изчисляват по формули (5.28), (5.29). Резултатите от изчислението са обобщени в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Построяване на кривата на Михайлов

По тази таблица се изгражда самата крива (фиг. 5.4).

Нека определим на какво трябва да бъде равен ъгълът на завъртане  на вектора D(j), когато честотата  се променя от нула до безкрайност. За да направим това, записваме характеристичния полином като произведение на фактори

където  1 – n са корените на характеристичното уравнение.

Тогава характеристичният вектор може да бъде представен в следната форма:

Всяка от скобите е комплексно число. Следователно D(j) е произведението на n комплексни числа. При умножение се добавят аргументите на комплексните числа. Следователно полученият ъгъл на въртене на вектора D(j) ще бъде равен на сумата от ъглите на въртене на отделните фактори (5.31), когато честотата  се променя от нула до безкрайност

Нека дефинираме всеки член в (5.31) поотделно. За да обобщите проблема, помислете различни видовекорени.

1. Нека произволен корен, например  1, е истински и отрицателни , т.е.  1 = – 1 . Факторът в израза (5.31), определен от този корен, ще изглежда като ( 1 + j). Нека изградим ходограф на този вектор върху комплексната равнина, когато честотата  се променя от нула до безкрайност (фиг. 5.5, А). Когато = 0, реалната част е U= 1, а имагинерната част е V= 0. Това съответства на точка A, която лежи на реалната ос. При 0 векторът ще се промени по такъв начин, че реалната му част все още ще бъде равна на , а имагинерната V = (точка B на графиката). Когато честотата нараства до безкрайност, векторът отива в безкрайност и краят на вектора винаги остава на вертикална линия, минаваща през точка А, а векторът се върти обратно на часовниковата стрелка.

Ориз. 5.5. Истински корени

Полученият ъгъл на завъртане на вектора  1 = +( / 2).

2. Сега нека коренът  1 бъде истински и положителен , тоест 1 = + 1. Тогава факторът в (5.31), определен от този корен, ще изглежда като (- 1 + j). Подобни конструкции (фиг. 5.5, b) показват, че полученият ъгъл на завъртане ще бъде  1 = –( / 2). Знакът минус показва, че векторът е завъртян по посока на часовниковата стрелка.

3. Нека два спрегнати корена, например  2 и  3, са комплекс с отрицателна реална част , т.е.  2;3 = –±j. По същия начин факторите в израз (5.31), определени от тези корени, ще бъдат във формата (–j + j)( + j + j).

Когато = 0, началните позиции на двата вектора се определят от точките A 1 и A 2 (фиг. 5.6, А). Първият вектор се завърта по посока на часовниковата стрелка около реалната ос на ъгъл, равен на arctg( / ), а вторият вектор се завърта обратно на часовниковата стрелка на същия ъгъл. С постепенно увеличаване на  от нула до безкрайност, краищата на двата вектора се издигат до безкрайност и двата вектора се сливат с въображаемата ос в границата.

Полученият ъгъл на завъртане на първия вектор  2 = ( / 2) + . Полученият ъгъл на завъртане на втория вектор  3 = ( / 2) –. Векторът, съответстващ на произведението (–j + j)( + j + j), ще се завърти под ъгъл 2 +  3 = 2 / 2 =.

Ориз. 5.6. Сложни корени

4. Нека същото сложните корени имат положителна реална част , т.е.  2;3 = +±j.

Извършване на конструкцията по същия начин като случая, разгледан по-рано (Фигура 5.6, b), получаваме получения ъгъл на завъртане  2 +  3 = –2 / 2 = –.

Така, ако характеристичното уравнение има f корени с положителна реална част, тогава каквито и да са тези корени (реални или комплексни), те ще съответстват на сумата от ъглите на завъртане, равна на –f ( / 2). Всички други (n - f) корени на характеристичното уравнение, които имат отрицателни реални части, ще съответстват на сумата от ъглите на завъртане, равна на + (n - f) ( / 2). В резултат на това общият ъгъл на завъртане на вектора D(j), когато честотата  се променя от нула до безкрайност съгласно формула (5.32), ще изглежда така

 = (n - f)( / 2) -f( / 2) = n ( / 2) -f . (5,33)

Този израз определя желаната връзка между формата на кривата на Михайлов и знаците на реалните части на корените на характеристичното уравнение. През 1936 г. А.В. Михайлов формулира следния критерий за устойчивост на линейни системивсяка поръчка.

За стабилността на системата от n-ти ред е необходимо и достатъчно векторът D(j  ), която описва кривата на Михайлов, с промяна  от нула до безкрайност имаше ъгъл на завъртане  = н (  / 2).

Тази формулировка следва пряко от (5.33). За стабилността на системата е необходимо всички корени да лежат в лявата полуравнина. От тук се определя необходимият резултатен ъгъл на завъртане на вектора.

Критерият за устойчивост на Михайлов се формулира, както следва: за стабилността на линейна ACS е необходимо и достатъчно ходографът на Михайлов, когато честотата се променя от нула до безкрайност, започвайки от положителната полуравнина и не пресича началото, последователно да пресича толкова квадранти на комплексната равнина, колкото реда на полинома на характеристичното уравнение на системата.

ОТНОСНО

Ориз. 5.7. Устойчив ATS

изглежда, че кривата на Михайлов за стабилни системи винаги има гладка спираловидна форма и нейният край отива до безкрайност в този квадрант на комплексната равнина, чийто брой е равен на степента на характеристичното уравнение (фиг. 5.7). Повече от n броя квадранти кривата на Михайлов изобщо не може да премине. Следователно нестабилността на системата винаги се свързва с факта, че последователността на преминаване на квадрантите е нарушена в кривата на Михайлов, в резултат на което ъгълът на въртене на вектора D (j) се оказва по-малък от n ( / 2) (фиг. 5.8).

За стабилна система кривата на Михайлов преминава последователно n квадранта на комплексната равнина.

Наличието на границата на стабилност и на трите типа може да се определи от кривата на Михайлов, както следва.

Ако има граница на стабилност първи тип (нулев корен) няма свободен член на характеристичния полином a n = 0 и кривата на Михайлов напуска началото (фиг. 5.9, крива 1)

Ориз. 5.8. Неустойчиво ATS

Ориз. 5.9. Граници на устойчивост

На границата на стабилност втори тип (граница на колебателна стабилност) лявата страна на характеристичното уравнение, т.е. характеристичният полином, изчезва, когато p = j 0 се замести

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Откъдето следват две равенства: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Това означава, че точката  =  0 на кривата на Михайлов попада в началото (фиг. 5.9, крива 2). В този случай стойността  0 е честотата на незатихващите трептения на системата.

За границата на стабилност трети тип (безкраен корен) краят на кривата на Михайлов се хвърля (фиг. 5.9, крива 3) от един квадрант в друг през безкрайност. В този случай коефициентът a 0 на характеристичния полином (5.7) ще премине през нулевата стойност, променяйки знака от плюс на минус.

Обикновено диференциално уравнение наречено уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различен порядък.

поръчка диференциално уравнение е редът на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова ще пропуснем думата "обикновен" за краткост.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение нредът не трябва изрично да съдържа функция, всички нейни производни от първи до нти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на някои поръчки, функция, независима променлива.

Например в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори ред, както и функции; в уравнение (2) - производна от втори ред и функция; в уравнение (4) - независима променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) изрично съдържа всички производни, функцията и независимата променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнение която и да е функция се извиква y = f(x), замествайки което в уравнението, се превръща в тъждество.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1Намерете решение на диференциалното уравнение.

Решение. Записваме това уравнение във формата . Решението е да се намери функцията по нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е първоизводната за, т.е.

Това е, което е решение на даденото диференциално уравнение . променяйки се в него ° С, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение нред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо ннезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение неговото решение се нарича, в което конкретни числени стойности се присвояват на произволни константи.

Пример 2Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частно решение за .

Решение. Ние интегрираме двете части на уравнението толкова пъти, че редът на диференциалното уравнение да е равен.

,

.

В резултат на това получихме общото решение -

дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направим това, ние заместваме техните стойности вместо произволни коефициенти и получаваме

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение първоначалното условие е дадено във формата , тогава такава задача се нарича Проблем с Коши . Стойностите и се заместват в общото решение на уравнението и се намира стойността на произволна константа ° Си след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от Пример 1 при условието .

Решение. Заместваме в общото решение стойностите от началното условие г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на задачата на Коши за даденото диференциално уравнение от първи ред:

Когато решавате диференциални уравнения, дори и най-простите, добри уменияинтегриране и вземане на производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че и двете страни могат да бъдат интегрирани веднага.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променливата (заместване). Нека тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - правим го според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция ("ябълка" - извличане на корен квадратен или, което е същото - повдигане на степен "една секунда", и "кайма" - самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишните раздели на висшата математика, но и умения от началната, тоест училищната математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. променлива х. Знанието за пропорциите, което не е забравено (но всеки го има) от училищната скамейка, ще помогне за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Изброени са основните типове обикновени диференциални уравнения (ДУ) от по-високи редове, които могат да бъдат решени. Накратко са описани методите за тяхното решаване. Предоставени са връзки към страници Подробно описаниеметоди за решаване и примери.

Съдържание

Вижте също: Диференциални уравнения от първи ред
Линейни частични диференциални уравнения от първи ред

Диференциални уравнения от по-висок порядък, допускащи намаляване на реда

Уравнения, решавани чрез директно интегриране

Разгледайте диференциално уравнение със следната форма:
.
Интегрираме n пъти.
;
;
и така нататък. Можете също да използвате формулата:
.
Вижте директно решени диференциални уравнения интеграция >>>

Уравнения, които не съдържат изрично зависимата променлива y

Заместването води до намаляване на реда на уравнението с единица. Ето една функция на .
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които не съдържат изрична функция > > >

Уравнения, които не съдържат изрично независимата променлива x

.
Предполагаме, че това е функция на . Тогава
.
По същия начин за други производни. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които не съдържат явна променлива > > >

Уравнения, хомогенни по отношение на y, y′, y′′, ...

За да решим това уравнение, правим заместване
,
където е функция от . Тогава
.
По същия начин трансформираме производните и т.н. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, хомогенни по отношение на функция и нейните производни > > >

Линейни диференциални уравнения от по-високи редове

Обмисли линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред:
(1) ,
където са функции на независимата променлива. Нека има n линейно независими решения на това уравнение. Тогава общото решение на уравнение (1) има формата:
(2) ,
където са произволни константи. Самите функции образуват фундаментална система от решения.
Фундаментална система за вземане на решениялинейно хомогенно уравнение от n-ти ред са n линейно независими решения на това уравнение.

Обмисли линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред:
.
Нека има конкретно (всяко) решение на това уравнение. Тогава общото решение изглежда така:
,
където е общото решение на хомогенното уравнение (1).

Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти и техните редукции

Линейни еднородни уравнения с постоянни коефициенти

Това са уравнения от вида:
(3) .
Ето реални числа. За да намерим общо решение на това уравнение, трябва да намерим n линейно независими решения, които образуват фундаментална система от решения. Тогава общото решение се определя по формула (2):
(2) .

Търся решение във формата. Получаваме характеристично уравнение:
(4) .

Ако това уравнение има различни корени, тогава фундаменталната система от решения има формата:
.

Ако е налична сложен корен
,
тогава има и комплексно спрегнат корен . Тези два корена съответстват на решения и , които включваме във фундаменталната система вместо комплексни решения и .

Множество кореникратности съответстват на линейно независими решения: .

Множество сложни коренимножественостите и техните комплексно спрегнати стойности съответстват на линейно независими решения:
.

Линейни нееднородни уравнения със специална нееднородна част

Обмисли уравнение на формата
,
където са полиноми от степени s 1 и s 2 ; - постоянен.

Първо, търсим общо решение на хомогенното уравнение (3). Ако характеристичното уравнение (4) не съдържа корен, тогава търсим конкретно решение във формата:
,
Където
;
;
s - най-голямото от s 1 и s 2 .

Ако характеристичното уравнение (4) има коренмножественост, тогава търсим конкретно решение във формата:
.

След това получаваме общото решение:
.

Линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти

Тук има три възможни решения.

1) Метод на Бернули.
Първо, намираме всяко ненулево решение на хомогенното уравнение
.
След това правим замяна
,
където е функция на променливата x. Получаваме диференциално уравнение за u, което съдържа само производни на u по отношение на x. Като заместим , получаваме уравнението n - 1 -та поръчка.

2) Метод на линейно заместване.
Да направим замяна
,
където е един от корените на характеристичното уравнение (4). В резултат на това получаваме линейно нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти на ред. Последователно прилагайки това заместване, ние редуцираме първоначалното уравнение до уравнение от първи ред.

3) Метод на вариация на константите на Лагранж.
При този метод първо решаваме хомогенното уравнение (3). Неговото решение изглежда така:
(2) .
По-нататък приемаме, че константите са функции на променливата x. Тогава решението на първоначалното уравнение има формата:
,
където са неизвестни функции. Замествайки в първоначалното уравнение и налагайки някои ограничения, получаваме уравнения, от които можем да намерим формата на функциите.

Уравнение на Ойлер

То се свежда до линейно уравнение с постоянни коефициенти чрез заместване:
.
Въпреки това, за да се реши уравнението на Ойлер, няма нужда да се прави такова заместване. Веднага може да се търси решение на хомогенно уравнение във формата
.
В резултат на това получаваме същите правила като за уравнение с постоянни коефициенти, в което вместо променлива трябва да заместим .

Препратки:
В.В. Степанов, Курс диференциални уравнения, ЛКИ, 2015г.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Вижте също: