коренн-та степен и нейните свойства

Какво е кореннта степен? Как да извлечете корена?

В осми клас вече сте се запознали с корен квадратен. Решихме типични примери с корени, използвайки определени свойства на корените. Също решено квадратни уравнения, където без изваждане на корен квадратен - няма как. Но квадратният корен е само частен случай на по-широко понятие - корен н та степен . В допълнение към квадратния корен има например кубични корени, четвърта, пета и по-високи правомощия. И за да работите успешно с такива корени, би било добра идея първо да се запознаете с термините с квадратни корени.) Ето защо, всеки, който има проблеми с тях, силно препоръчвам да повтори това.

Извличането на корен е една от операциите, обратни на повдигането на степен.) Защо „един от“? Защото, когато извличаме корена, ние търсим базаспоред известното степен и показател. И има още една обратна операция - намиране индикаторспоред известното степен и основа.Тази операция се нарича намиране логаритъмПо-сложно е от извличането на корени и се изучава в гимназията.)

И така, нека се запознаем!

Първо, обозначението. Квадратният корен, както вече знаем, се обозначава така: . Тази икона се нарича много красиво и научно - радикален. Какви са корените на другите степени? Много е просто: над „опашката“ на радикала напишете допълнително показателя на степента, чийто корен се търси. Ако търсите кубичен корен, тогава напишете тройка: . Ако коренът е от четвърта степен, тогава, съответно, . И така нататък.) Като цяло n-тият корен се обозначава така:

Където .

Номера , както при квадратни корени, се нарича радикален израз , а ето и числотон Това е ново за нас. И се нарича коренов индекс .

Как да извлечете корени от всякакви степени? Точно като квадратите - разберете кое число на n-та степен ни дава числотоа .)

Как, например, изваждате корен кубичен от 8? Това е ? Какъв номер на кубчета ще ни даде 8? Двойка, естествено.) Така че те пишат:

Или . Кое число на четвърта степен дава 81? Три.) И така,

Какво ще кажете за корен десети от 1? Е, не е логично, че едно на която и да е степен (включително десета) е равно на едно.) Това е:

И най-общо казано.

Същата история е и с нулата: нула към всяка естествена степен е равна на нула. Това е, .

Както можете да видите, в сравнение с квадратния корен е по-трудно да разберем кое число ни дава радикалното число в една или друга степена . По-трудно Вдигниотговорете и проверете правилността му, като го повдигнете на степенн . Ситуацията е значително опростена, ако познавате силата на популярните числа лично. Така че сега тренираме. :) Да разпознаем градусите!)

Отговори (в безпорядък):

Да да! Има повече отговори, отколкото задачи.) Защото, например, 2 8, 4 4 и 16 2 са едно и също число 256.

Тренирал ли си? Тогава нека да разгледаме някои примери:

Отговори (също в безпорядък): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Се случи? Страхотно! Да продължим.)

Ограничения в корените. Аритметичен кореннта степен.

Корените n, подобно на квадратните корени, също имат свои собствени ограничения и свои собствени трикове. По същество те не се различават от тези ограничения за квадратни корени.

Не пасва, нали? Колкото е 3, колкото е -3 на четвърта степен, ще бъде +81. :) И то с произволен корен дориградуса от отрицателно число ще бъде същата песен. И това означава, че Невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа . Това е действие табу в математиката. То е също толкова забранено, колкото и деленето на нула. Следователно изрази като и други подобни - нямат смисъл.

Но корените странностепени на отрицателни числа – моля!

Например, ; , и така нататък.)

И от положителни числа можете да извлечете всякакви корени, от всякакви степени, спокойно:

Като цяло, мисля, че е разбираемо.) И, между другото, коренът не трябва да се извлича точно. Това са само примери, чисто за разбиране.) Случва се в процеса на решаване (например уравнения) да излязат доста лоши корени. Нещо като . Кубичният корен може да се извлече перфектно от осмица, но тук има седем под корена. Какво да правя? Всичко е наред. Всичко е абсолютно същото.е число, което, подложено на куб, ще ни даде 7. Само че това число е много грозно и рошаво. Ето го:

Освен това това число никога не свършва и няма точка: числата следват напълно произволно. Ирационално е... В такива случаи отговорът се оставя под формата на корен.) Но ако коренът се извлича чисто (например ), тогава, естествено, коренът трябва да бъде изчислен и записан:

Отново вземаме нашето експериментално число 81 и извличаме четвъртия корен от него:

Защото три в четвъртия ще бъдат 81. Е, добре! Но също минус трив четвъртата също ще са 81!

Това води до неяснота:

И за да го елиминира, точно както при квадратни корени, беше въведен специален термин: аритметичен кореннта степен измежду а - ето какво е неотрицателниномер,н-та степен на което е равно на а .

И отговорът с плюс или минус се нарича по различен начин - алгебричен кореннта степен. Всяка четна степен има алгебричен корен две противоположни числа. В училище работят само с аритметични корени. Следователно отрицателните числа в аритметичните корени просто се изхвърлят. Например те пишат: . Самият плюс, разбира се, не е написан: то предполагат.

Всичко изглежда просто, но... Но какво да кажем за нечетните корени на отрицателни числа? В крайна сметка, когато го извличате, винаги получавате отрицателно число! Тъй като всяко отрицателно число в нечетна степенсъщо дава отрицателно число. А аритметичният корен работи само с неотрицателни числа! Ето защо това е аритметика.)

В такива корени те правят това: изваждат знака минус изпод корена и го поставят пред корена. Като този:

В такива случаи се казва, че изразено чрез аритметичен (т.е. вече неотрицателен) корен .

Но има един момент, който може да предизвика объркване - това е решението на прости уравнения със степени. Например, ето уравнението:

Пишем отговора: . Всъщност този отговор е само съкратена версия на два отговора:

Недоразумението тук е, че вече писах малко по-нагоре, че в училище се считат само неотрицателни (т.е. аритметични) корени. И ето един от отговорите с минус... Какво да правя? Няма начин! Знаците тук са резултат от решаването на уравнението. А самият корен– стойността все още е неотрицателна! Вижте сами:

Е, сега по-ясно ли е? Със скоби?)

С нечетна степен всичко е много по-просто - там винаги работи единкорен. С плюс или минус. Например:

Така че, ако ние Простоизвличаме корена (с четна степен) от число, тогава винаги получаваме единнеотрицателен резултат. Защото е аритметичен корен. Но ако решим уравнениетос четна степен, тогава получаваме два противоположни корена, тъй като това е решение на уравнението.

Няма проблеми с нечетните корени (кубични, пети и т.н.). Нека да го извадим сами и да не се тревожим за знаците. Плюс под корена означава, че резултатът от извличането е плюс. Минус означава минус.)

И сега е време да се срещнем свойства на корените. Някои вече ще са ни познати от квадратни корени, но ще бъдат добавени няколко нови. Отивам!

Свойства на корените. Коренът на произведението.

Това свойство вече ни е познато от квадратни корени. За корени от други степени всичко е подобно:

Това е, коренът на произведението е равен на произведението на корените на всеки фактор поотделно.

Ако индикаторътн даже, тогава и двата радикалаа Иb трябва, естествено, да е неотрицателна, в противен случай формулата няма смисъл. В случай на нечетен показател няма ограничения: преместваме минусите напред от под корените и след това работим с аритметични корени.)

Както при квадратните корени, тази формула е еднакво полезна както отляво надясно, така и отдясно наляво. Прилагането на формулата отляво надясно ви позволява да извлечете корените от работата. Например:

Тази формула, между другото, е валидна не само за два, но и за произволен брой фактори. Например:

Можете също да използвате тази формула за извличане на корени от големи числа: за да направите това, числото под корена се разлага на по-малки множители и след това корените се извличат отделно от всеки множител.

Например тази задача:

Броят е доста голям. Коренът извлича ли се от него? гладка– също е неясно без калкулатор. Би било хубаво да го изключим. На какво точно се дели числото 3375? Изглежда като 5: последната цифра е пет.) Разделете:

Опа, пак се дели на 5! 675:5 = 135. И 135 отново се дели на пет. Кога ще свърши това!)

135:5 = 27. С числото 27 всичко вече е ясно - това е три кубчета. означава,

Тогава:

Извличахме корена част по част и това е добре.)

Или този пример:

Отново разлагаме на множители според критериите за делимост. Кое? На 4, защото последните две цифри 40 се делят на 4. И на 10, защото последната цифра е нула. Това означава, че можем да разделим на 40 с един замах:

Вече знаем за числото 216, че е шест в куб. Това е,

А 40 от своя страна може да се разшири като . Тогава

И тогава най-накрая получаваме:

Не се получи чисто извличане на корена, но това е добре. Както и да е, ние опростихме израза: знаем, че под корена (било то квадратен, дори кубичен, какъвто и да е) е обичайно да оставяме възможно най-малкото число.) В този пример извършихме една много полезна операция, също вече позната ни от квадратни корени. разпознаваш ли да Ние извършеномножители от корена. В този пример извадихме двойка и шестица, т.е. номер 12.

Как да извадя множителя от знака за корен?

Вземането на фактор (или фактори) отвъд знака за корен е много просто. Факторизираме радикалния израз и извличаме това, което е извлечено.) А това, което не е извлечено, оставяме под корена. Вижте:

Разлагаме числото 9072 на множители. Тъй като имаме корен на четвърта степен, първо се опитваме да го разложим на множители, които са четвърти степени на естествени числа - 16, 81 и т.н.

Нека се опитаме да разделим 9072 на 16:

Споделено!

Но 567 изглежда се дели на 81:

Означава,.

Тогава

Свойства на корените. Умножаващи се корени.

Нека сега разгледаме обратното приложение на формулата - отдясно наляво:

На пръв поглед нищо ново, но външният вид лъже.) Обратното приложение на формулата значително разширява нашите възможности. Например:

Хм, какво лошо има в това? Умножиха го и това е. Тук наистина няма нищо особено. Нормално умножение на корени. Ето един пример!

Корените не могат да бъдат извлечени само от факторите поотделно. Но резултатът е отличен.)

Отново, формулата е валидна за произволен брой фактори. Например, трябва да изчислите следния израз:

Основното тук е вниманието. Примерът съдържа различенкорени – куб и четвърта степен. И никой от тях не е извлечен със сигурност...

А формулата за произведение на корени е приложима само за корени с идентиченпоказатели. Затова ще групираме кубичните корени в отделна група и корените от четвърта степен в отделна група. И тогава, виждате ли, всичко ще расте заедно.))

И нямате нужда от калкулатор.)

Как да въведете множител под знака на корена?

Следващото полезно нещо е добавяне на число към корена. Например:

Възможно ли е да се премахне тройката вътре в корена? Елементарно! Ако превърнем три в корен, тогава формулата за произведението на корените ще работи. И така, нека превърнем три в корен. Тъй като имаме корен от четвърта степен, ние също ще го превърнем в корен от четвърта степен.) Така:

Тогава

Корен, между другото, може да бъде направен от всяко неотрицателно число. И в степента, която желаем (всичко зависи от конкретния пример). Това ще бъде корен n-ти от това число:

И сега - внимание!Източник на много сериозни грешки! Не напразно казах тук неотрицателничисла. Аритметичният корен работи само с тях. Ако имаме отрицателно число някъде в задачата, тогава или оставяме минуса просто така, пред корена (ако е отвън), или се отърваваме от минуса под корена, ако е вътре. Напомням ви, ако под корена дористепен е отрицателно число, тогава изразът няма смисъл.

Например тази задача. Въведете множителя под знака на корена:

Ако сега доведем до корена минусдве, тогава ще сбъркаме жестоко:

какво не е наред тук И факт е, че четвъртата мощност, поради своя паритет, щастливо „изяде“ този минус, в резултат на което очевидно отрицателно число се превърна в положително. И правилното решение изглежда така:

В корените на нечетни градуси, въпреки че минусът не е „изяден“, също е по-добре да го оставите навън:

Тук нечетният корен е кубичен и имаме пълното право да пъхнем и минуса под корена. Но в такива примери е за предпочитане също да оставите минуса отвън и да напишете отговора, изразен чрез аритметичен (неотрицателен) корен, тъй като коренът, въпреки че има право на живот, не е аритметика.

Така че, с въвеждането на числото под корена, всичко също е ясно, надявам се.) Да преминем към следващото свойство.

Свойства на корените. Корен от дроб. Коренно деление.

Това свойство също напълно повтаря това на квадратните корени. Едва сега го разширяваме до корени от всякаква степен:

Коренът на дроб е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя.

Ако n е четно, тогава числотоа трябва да е неотрицателно и числотоb – строго положителен (не може да се дели на нула). В случай на нечетен индикатор, единственото ограничение ще бъде .

Това свойство ви позволява лесно и бързо да извличате корени от фракции:

Мисля, че идеята е ясна. Вместо да работим с цялата дроб, преминаваме към работа отделно с числителя и отделно със знаменателя.) Ако дробта е десетична или, ужас на ужасите, смесено число, тогава първо преминаваме към обикновени дроби:

Сега нека видим как тази формула работи отдясно наляво. Тук също се появяват много полезни възможности. Например този пример:

Корените не могат да бъдат точно извлечени от числителя и знаменателя, но от цялата дроб е добре.) Можете да решите този пример по друг начин - премахнете фактора под корена в числителя и след това го намалете:

Както желаеш. Отговорът винаги ще бъде един и същ – верният. Ако не правите грешки по пътя.)

И така, подредихме умножението/деленето на корени. Нека преминем към следващата стъпка и да разгледаме третото свойство - корен към властта И корен на властта .

Корен до степен. Корен на степента.

Как да издигнем корен до степен? Например, да кажем, че имаме число. Може ли това число да се повдигне на степен? В куб например? Със сигурност! Умножете корена по себе си три пъти и - според формулата за произведението на корените:

Ето корена и степента сякашвзаимно унищожени или компенсирани. Наистина, ако вдигнем число, което, когато бъде повдигнато в куб, ще ни даде тройка, в същия този куб, тогава какво получаваме? Ще получим тройка, разбира се! И това ще бъде случаят за всяко неотрицателно число. Общо взето:

Ако показателите и коренът са различни, тогава също няма проблеми. Ако знаете свойствата на градусите.)

Ако показателят е по-малък от показателя на корена, тогава просто избутваме степента под корена:

Като цяло ще бъде:

Идеята е ясна: повдигаме радикалния израз на степен и след това го опростяваме, като премахваме факторите под корена, ако е възможно. Акон дори и тогаваа трябва да е неотрицателно. Защо е разбираемо, мисля.) И акон странно, тогава няма ограничения заа вече не се предлага:

Нека се заемем сега с корен на степента . Тоест, не самият корен ще бъде повдигнат на степен, а радикален израз. Тук също няма нищо сложно, но има много повече място за грешки. Защо? Тъй като в действие влизат отрицателни числа, които могат да причинят объркване в знаците. Засега нека започнем с корените на нечетните степени - те са много по-прости.

Нека имаме числото 2. Можем ли да го разделим на куб? Със сигурност!

Сега нека вземем кубичния корен обратно от осмицата:

Започнахме с две и се върнахме на две.) Нищо чудно: кубът беше компенсиран чрез обратната операция - извличането на кубичния корен.

Друг пример:

И тук всичко е наред. Степента и корена се компенсират взаимно. Най-общо за корени на нечетни степени можем да напишем следната формула:

Тази формула е валидна за всяко реално числоа . Или положително, или отрицателно.

Тоест нечетна степен и корен от същата степен винаги се компенсират взаимно и се получава радикален израз. :)

Но със доридо известна степен този трик може вече да не работи. Вижте сами:

Тук все още няма нищо особено. Четвъртата степен и коренът на четвъртата степен също се балансираха взаимно и резултатът беше просто две, т.е. радикален израз. И за всеки неотрицателничислата ще са същите. Сега нека просто заместим две в този корен с минус две. Тоест, нека изчислим следния корен:

Минусът на двамата беше успешно "изгорял" поради четвърта степен. И в резултат на извличането на корена (аритметика!) получихме положителенномер. Беше минус две, сега е плюс две.) Но ако просто безмислено бяхме „намалили“ степента и корена (същите!), щяхме да имаме

Което е груба грешка, да.

Следователно за дористепен, формулата за корена на степен изглежда така:

Тук сме добавили знака за модул, който не е обичан от мнозина, но в него няма нищо страшно: благодарение на него формулата работи и за всяко реално числоа. И модулът просто премахва минусите:

Само в корените на n-та степен се появи допълнително разграничение между четни и нечетни степени. Дори градусите, както виждаме, са по-капризни, да.)

Сега нека разгледаме едно ново полезно и много интересно свойство, вече характерно за корените от n-та степен: ако показателят на корена и показателят на радикалния израз се умножат (разделят) на едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени.

Това донякъде напомня на основното свойство на дроб, нали? При дроби можем също да умножим (разделим) числителя и знаменателя с едно и също число (с изключение на нула). Всъщност това свойство на корените също е следствие от основното свойство на дробта. Когато се срещнем степен с рационален показател, тогава всичко ще стане ясно. Какво, как и къде.)

Директното прилагане на тази формула ни позволява да опростим абсолютно всякакви корени от всякакви правомощия. Включително, ако експонентите на радикалния израз и самия корен различен. Например, трябва да опростите следния израз:

Нека го направим просто. Като начало избираме четвъртата степен на десетата под корена и - давай! как? Според свойствата на степените, разбира се! Изваждаме множителя изпод корена или работим по формулата за корена на степента.

Но нека го опростим, като използваме само това свойство. За да направите това, нека представим четирите под корена като:

И сега - най-интересното - мислено съкратетеиндексът под корена (две) с индекса на корена (четири)! И получаваме:

За да използвате успешно операцията за извличане на корен на практика, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция.
Всички свойства са формулирани и доказани само за неотрицателни стойности на променливите, съдържащи се под знаците на корените.

Теорема 1. Коренът n-ти (n=2, 3, 4,...) от произведението на два неотрицателни чипа е равен на произведението от корените n-ти на тези числа:

коментар:

1. Теорема 1 остава валидна за случая, когато радикалният израз е произведение на повече от две неотрицателни числа.

Теорема 2.Ако, и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

Накратко(макар и неточна) формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на една дроб е равен на частта от корените.

Теорема 1 ни позволява да умножим t само корени от една и съща степен , т.е. само корени със същия индекс.

Теорема 3. Ако ,k е естествено число и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да се издигне корен до естествена сила, достатъчно е да се издигне радикалният израз до тази сила.
Това е следствие от теорема 1. Всъщност, например, за k = 3 получаваме: Можем да разсъждаваме по абсолютно същия начин в случай на всяка друга естествена стойност на показателя k.

Теорема 4. Ако ,k, n са естествени числа, по-големи от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да извлечете корен от корен, достатъчно е да умножите показателите на корените.
Например,

Бъди внимателен!Научихме, че върху корените могат да се извършват четири операции: умножение, деление, степенуване и извличане на корен (от корена). Но какво да кажем за добавяне и изваждане на корени? Няма начин.
Например, вместо да напишете Наистина, Но е очевидно, че

Теорема 5. Ако показателите на корена и радикалния израз се умножават или разделят на едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени, т.е.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1.Изчисли

Решение.Използвайки първото свойство на корените (теорема 1), получаваме:

Пример 2.Изчисли
Решение.Преобразувайте смесено число в неправилна дроб.
Имаме Използване на второто свойство на корените ( Теорема 2 ), получаваме:

Пример 3.Изчисли:

Решение.Всяка формула в алгебрата, както добре знаете, се използва не само „отляво надясно“, но и „отдясно наляво“. По този начин първото свойство на корените означава, че те могат да бъдат представени във формата и, обратно, могат да бъдат заменени с израза. Същото важи и за второто свойство на корените. Като вземем това предвид, нека направим изчисленията.

Определение
Степенна функция с показател pе функцията f (x) = xp, чиято стойност в точка x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точка p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

За естествени стойности на степента степенната функция е произведението на n числа, равни на x:
.
Дефинира се за всички валидни .

За положителни рационални стойности на експонента, степенната функция е произведението на n корени от степен m на числото x:
.
За нечетно m то е определено за всички реални x. За четни m, степенната функция е дефинирана за неотрицателни.

За отрицателна степенната функция се определя по формулата:
.
Следователно не е дефиниран в точката.

За ирационални стойности на експонента p, степенната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, което не е равно на единица: .
Когато , то е определено за .
Когато , мощностната функция е дефинирана за .

Приемственост. Степенната функция е непрекъсната в своята област на дефиниция.

Свойства и формули на степенни функции при x ≥ 0

Тук ще разгледаме свойствата на степенната функция за неотрицателни стойности на аргумента x. Както беше посочено по-горе, за определени стойности на експонента p, степенната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата на , като се използват четни или нечетни. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".

Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(1.1) определени и непрекъснати на множеството
в ,
в ;
(1.2) има много значения
в ,
в ;
(1.3) стриктно нараства с ,
стриктно намалява като ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказателство за свойства е дадено на страницата „Степенна функция (доказателство за непрекъснатост и свойства)“

Корени - определение, формули, свойства

Определение
Корен на число x от степен nе числото, което, когато се повдигне на степен n, дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ... - естествено число, по-голямо от едно.

Можете също така да кажете, че коренът на число x от степен n е коренът (т.е. решението) на уравнението
.
Обърнете внимание, че функцията е обратна на функцията.

Корен квадратен от xе корен от степен 2: .

Корен кубичен от xе корен от степен 3: .

Дори степен

За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0 . Една често използвана формула е валидна както за положителен, така и за отрицателен x:
.
За корен квадратен:
.

Редът, в който се извършват операциите, е важен тук - тоест първо се извършва квадратът, което води до неотрицателно число, а след това се взема корен от него (квадратният корен може да се вземе от неотрицателно число ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.

Странна степен

За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.

Свойства и формули на корените

Коренът на x е степенна функция:
.
Когато x ≥ 0 се прилагат следните формули:
;
;
, ;
.

Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливи. Просто трябва да се уверите, че радикалният израз на четните степени не е отрицателен.

Частни ценности

Коренът на 0 е 0: .
Корен 1 е равен на 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .

Пример. Корен на корените

Нека да разгледаме пример за квадратен корен от корени:
.
Нека трансформираме вътрешния квадратен корен, използвайки формулите по-горе:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Ето графики на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенна функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“

Обратна функция

Обратната на степенна функция с показател p е степенна функция с показател 1/p.

Ако, тогава.

Производна на степенна функция

Производна от n-ти ред:
;

Извличане на формули >>>

Интеграл на степенна функция

P ≠ - 1 ;
.

Разширение на степенни редове

на - 1 < x < 1 се извършва следното разлагане:

Изрази, използващи комплексни числа

Разгледайте функцията на комплексната променлива z:
f (z) = z t.
Нека изразим комплексната променлива z по отношение на модула r и аргумента φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Представяме комплексното число t под формата на реални и имагинерни части:
t = p + i q .
Ние имаме:

След това вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,

Нека разгледаме случая, когато q = 0 , тоест показателят е реално число, t = p. Тогава
.

Ако p е цяло число, тогава kp е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
Това означава, че експоненциалната функция с цяло число за даден z има само една стойност и следователно е недвусмислена.

Ако p е ирационално, тогава продуктите kp за всяко k не произвеждат цяло число. Тъй като k преминава през безкрайна серия от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогава функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията.

Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, Където м, н- цели числа, които не съдържат общи делители. Тогава
.
Първи n стойности, с k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дайте n различни стойности на kp:
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, когато k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават с кратни на 2π, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p, както за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

По този начин експоненциална функция с рационален показател е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива оборота се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.

По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример, разгледайте n-тия корен от реално положително число z = x. В този случай φ 0 = 0, z = r = |z| = х, .
.
И така, за квадратен корен, n = 2 ,
.
За дори k, (- 1) k = 1. За нечетно k, (- 1) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

• Аритметичен корен от естествена степен n>=2 на неотрицателно число a е някакво неотрицателно число, при повдигане на степен n се получава числото a.

Може да се докаже, че за всяко неотрицателно a и естествено n, уравнението x^n=a ще има един единствен неотрицателен корен. Именно този корен се нарича аритметичен корен на n-та степен на числото a.

Аритметичният корен на n-та степен на число се означава по следния начин: n√a. Числото a в този случай се нарича радикален израз.

Аритметичен корен от втора степен се нарича квадратен корен, а аритметичен корен от трета степен се нарича кубичен корен.

Основни свойства на аритметичния корен от n-та степен

• 1. (n√a)^n = a.

Например (5√2)^5 = 2.

Това свойство следва пряко от дефиницията на n-тия аритметичен корен.

Ако a е по-голямо или равно на нула, b е по-голямо от нула и n, m са някои естествени числа, така че n е по-голямо или равно на 2 и m е по-голямо или равно на 2, тогава следните свойства са верни:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Например, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Например, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Например 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Например, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Обърнете внимание, че в свойство 2 числото b може да бъде равно на нула, а в свойство 4 числото m може да бъде всяко цяло число, при условие че a>0.

Доказателство за второто свойство

Всичките последни четири свойства могат да бъдат доказани по подобен начин, така че ще се ограничим до доказването само на второто: n√(a*b)= n√a*n√b.

Използвайки дефиницията на аритметичен корен, ние доказваме, че n√(a*b)= n√a*n√b.

За да направим това, доказваме два факта: n√a*n√b. По-голямо или равно на нула и това (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b е по-голямо или равно на нула, тъй като и a, и b са по-големи или равни на нула.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, тъй като (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

Q.E.D. Така че собствеността е вярна. Тези свойства често трябва да се използват при опростяване на изрази, съдържащи аритметични корени.

Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)

Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на учебниците сами могат да разберат това писане. И то само с бутилка хубаво уиски. :)

Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.

Но първо запомнете една важна точка, която много компилатори на учебници по някаква причина „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.

Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.

Във всеки случай коренът се обозначава така:

\(a)\]

Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-конкретно, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.

Примери. Класически примери за квадратни корени:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]

Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]

Е, няколко „екзотични примера“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо са необходими корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да запишат умножението на десет петици по този начин:

Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:

Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на число, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.

След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?

Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]

Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.

Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност

\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корен от произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.

Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]

Или ето друг пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]

Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване е необходимо да се тества на профилния Единен държавен изпит).

Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.

Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ​​ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.

Нека разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора все още ще останат ирационални числа.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]

Естествено, от външния вид на корена е почти невъзможно да се познае какви числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две определения?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:

Графиката на квадратична функция дава два корена: положителен и отрицателен

Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като

С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива публикации, сякаш искат да те изядат? :)

Проблемът е, че ако не наложите никакви допълнителни условия, тогава квадратът ще има два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
2. От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.

Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:

Кубичната парабола може да приеме всякаква стойност, така че кубичният корен може да бъде взет от произволно число

От тази графика могат да се направят два извода:

1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност и в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия със сигурност ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде извлечен от абсолютно всяко число;
2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

1. Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
2. Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.

Трудно е? Не, не е трудно. Ясно е? Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.

Основни свойства и ограничения

Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде обсъдено в отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]

С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корена на същата степен, няма да получим оригиналното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която може лесно да бъде доказана (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно отрицателните). Учителите непрекъснато говорят за това, има го във всеки учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.

За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Това са много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:

1. Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
2. И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.

Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]

Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]

Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги съдържа неотрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.

Забележка относно процедурата

1. Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
2. Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включено в дефиницията.

По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.

Премахване на знака минус под знака за корен

Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени с нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички недостатъци:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което в повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!

Аритметичен корен

Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.

Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:

Област за търсене на аритметичен корен - неотрицателни числа

Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това преди? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме пълното право, тъй като показателят е нечетен), а във втория случай използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.

WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.

Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветен отделен голям урок, в който подробно разглеждаме всичките им свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:

1. Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
2. Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
3. И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.

Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Решение. Първият израз е прост:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.

И накрая, последният израз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.

Последна бележка. Обърнете внимание: не случайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.

Комплексните числа обаче почти никога не се появяват в съвременните училищни курсове по математика. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.

Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази. :)