Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

По този начин се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите диапазона от приемливи стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте „Какво е логаритъм“.

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства представляват система и трябва да бъдат изпълнени едновременно. Когато диапазонът от приемливи стойности е намерен, остава само да го пресечете с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, но последното ще трябва да се изпише. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Правим преход от логаритмично неравенство към рационално. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулите на този израз са: x = 3; x = −3; x = 0. Освен това x = 0 е корен от втора кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство е различно от горното. Това може лесно да се коригира с помощта на стандартните правила за работа с логаритми - вижте „Основни свойства на логаритмите“. а именно:

1. Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
2. Сумата и разликата на логаритми с еднакви основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно бих искал да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, трябва да се намери VA на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

1. Намерете VA на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Редуцирайте неравенството до стандартно, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
3. Решете полученото неравенство, като използвате схемата, дадена по-горе.

Задача. Решете неравенството:

Нека намерим дефиниционната област (DO) на първия логаритъм:

Решаваме с помощта на интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм ще има същия VA. Ако не вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Имаме два логаритма с една и съща основа. Нека ги съберем:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите с помощта на формулата. Тъй като първоначалното неравенство съдържа знак „по-малко от“, полученият рационален израз също трябва да бъде по-малък от нула. Ние имаме:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Отговорът на кандидата: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервали, които са защриховани и на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

Например неравенството е изразът \(x>5\).

Видове неравенства:

Ако \(a\) и \(b\) са числа или , тогава неравенството се извиква числови. Всъщност това е просто сравняване на две числа. Такива неравенства се разделят на веренИ неверен.

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) е неправилно числово неравенство, тъй като \(17+3=20\) и \(20\) е по-малко от \(115\) (и не е по-голямо или равно на) .

Ако \(a\) и \(b\) са изрази, съдържащи променлива, тогава имаме неравенство с променлива. Такива неравенства са разделени на видове в зависимост от съдържанието:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Променлива само на първа степен
\(3x^2-x+5>0\)				Има променлива във втората степен (квадрат), но няма по-високи степени (трета, четвърта и т.н.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... и така нататък.

Какво е решението на едно неравенство?

Ако заместите число вместо променлива в неравенство, то ще се превърне в числово.

Ако дадена стойност за x превръща оригиналното неравенство в истинско числово, тогава то се извиква решение на неравенството. Ако не, тогава тази стойност не е решение. И към решаване на неравенство– трябва да намерите всички негови решения (или да покажете, че няма такива).

Например,ако заместим числото \(7\) в линейното неравенство \(x+6>10\), получаваме правилното числено неравенство: \(13>10\). И ако заместим \(2\), ще има неправилно числено неравенство \(8>10\). Тоест \(7\) е решение на първоначалното неравенство, но \(2\) не е.

Неравенството \(x+6>10\) обаче има и други решения. Наистина, ще получим правилните числени неравенства, когато заместим \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как можем да намерим всички възможни решения? За това те използват За нашия случай имаме:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тоест всяко число, по-голямо от четири, е подходящо за нас. Сега трябва да запишете отговора. Решенията на неравенствата обикновено се записват числено, като допълнително се маркират върху числовата ос със засенчване. За нашия случай имаме:

Отговор: \(x\in(4;+\infty)\)

Кога се променя знакът на неравенството?

Има един голям капан в неравенствата, в който учениците наистина „обичат“ да попадат:

При умножаване (или деление) на неравенство с отрицателно число, то се обръща („повече“ с „по-малко“, „повече или равно“ с „по-малко или равно“ и т.н.)

Защо се случва това? За да разберем това, нека разгледаме трансформациите на численото неравенство \(3>1\). Вярно е, три наистина е по-голямо от едно. Първо, нека се опитаме да го умножим по всяко положително число, например две:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Както виждаме, след умножението неравенството остава вярно. И без значение по какво положително число умножаваме, винаги ще получим правилното неравенство. Сега нека се опитаме да умножим по отрицателно число, например минус три:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Резултатът е неправилно неравенство, защото минус девет е по-малко от минус три! Тоест, за да стане неравенството вярно (и следователно преобразуването на умножението с минус е било „законно“), трябва да обърнете знака за сравнение по следния начин: \(−9<− 3\).
С разделянето ще се получи по същия начин, можете да го проверите сами.

Правилото, написано по-горе, важи за всички видове неравенства, не само за числовите.

Пример: Решете неравенството \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Нека преместим \(8x\) наляво и \(2\) и \(-1\) надясно, като не забравяме да променим знаците
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Нека разделим двете страни на неравенството на \(-6\), като не забравяме да променим от „по-малко“ на „повече“
	Нека отбележим цифров интервал върху оста. Неравенство, следователно ние „изваждаме“ самата стойност \(-1\) и не я приемаме като отговор
	Нека запишем отговора като интервал

Отговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и увреждания

Неравенствата, точно като уравненията, могат да имат ограничения върху , тоест върху стойностите на x. Съответно тези стойности, които са неприемливи според DZ, трябва да бъдат изключени от обхвата на решенията.

Пример: Решете неравенството \(\sqrt(x+1)<3\)

Решение: Ясно е, че за да бъде лявата страна по-малка от \(3\), радикалният израз трябва да е по-малък от \(9\) (в края на краищата от \(9\) само \(3\)). Получаваме:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Всичко? Всяка стойност на x, по-малка от \(8\), ще ни подхожда? Не! Защото ако вземем, например, стойността \(-5\), която изглежда отговаря на изискването, това няма да е решение на първоначалното неравенство, тъй като ще ни доведе до изчисляване на корен от отрицателно число.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Следователно трябва да вземем предвид и ограниченията за стойността на X - не може да има отрицателно число под корена. Така имаме второто изискване за x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И за да бъде x крайното решение, то трябва да отговаря на двете изисквания едновременно: трябва да е по-малко от \(8\) (за да бъде решение) и по-голямо от \(-1\) (за да е допустимо по принцип). Начертавайки го на числовата ос, имаме крайния отговор:

Отговор: \(\ляво[-1;8\дясно)\)

Цел на урока: обмислете решаването на по-сложни неравенства.

По време на часовете

I. Изложение на темата и целта на урока.

II. Повторение и затвърдяване на преминатия материал.

1. Отговори на въпроси за домашна работа (анализ на нерешени задачи).

2. Проследяване на усвояването на материала (тест).

III. Учене на нов материал.

Решаване на сложни неравенства с модули или параметри в тях.

Нека решим неравенството |x – 1| < 3.

Първо, нека решим това неравенство аналитично, като разгледаме два случая:

а) Ако x – 1 > 0, т.е. x > 1, тогава |x – 1| = x – 1 и неравенството изглежда като x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, в този случай получаваме решение 1< х < 4 или х [ 1; 4).

б) Ако x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Намираме обединението на получените решения.

Тъй като писането на отговора в задачи с параметри е много важно (отговорът се записва във възходящ ред на параметъра), даваме пълния отговор:

Когато< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

Сега нека да разгледаме линейните неравенства в две променливи. По правило такива задачи се свеждат до изобразяване на набор от точки, чиито координати удовлетворяват неравенството в координатната равнина.

На координатната равнина изобразяваме набор от точки, чиито координати удовлетворяват неравенството y-2 > x-3.

Нека запишем това неравенство във формата y > x-1. Първо, нека начертаем линейната функция y = x-1 (права линия). Тази линия разделя всички точки от координатната равнина на точки, разположени на тази линия, и точки, разположени под тази линия. Нека проверим кои точки удовлетворяват това неравенство.

От първата област вземаме например контролна точка A (0; 0) - началото на координатите. Лесно се проверява, че тогава неравенството y > -1 е в сила. От втората област избираме например контролна точка B (1; -1). За такава точка неравенството y > x-1 не е в сила. Следователно това неравенство се изпълнява от точки, разположени над и на правата y = x-1 (т.е. точки, подобни на точка A). Тези точки са защриховани.

За какви стойности на параметъра a уравнението ax 2 + x – 1 = 0 няма решения?

Тъй като водещият коефициент на уравнението зависи от параметъра a, е необходимо да се разгледат два случая.

а) Ако a е 0, тогава уравнението ax 2 + x – 1 = 0 е квадратно. Такова уравнение няма решения, ако неговият дискриминант D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

б) Ако a = 0, то уравнението ax 2 + x – 1 = 0 е линейно и има формата x – 1 = 0. Очевидно уравнението има единствено решение x = 1.

И така, за (-; -) това уравнение няма решения.

Нека решим неравенството |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Нека запишем неравенството във вида |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 и a 2 > 0 за всички стойности на a, след това сумата

|а| + a 2 > 0 за всички a. Следователно неравенството, |a| + 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Подобни видове неравенства съществуват с две променливи.

На координатната равнина изобразяваме набор от точки, чиито координати удовлетворяват неравенството y-1< х 2 .

Нека запишем неравенството във вида y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Задачи в клас и у дома.

1. Решете аналитично неравенството:

2. За всички стойности на a, решете неравенството:

3. При какви стойности на параметъра a прави уравнението

а) 3x 2 – 2x + a = 0 няма корени;
б) 2x 2 – 3x + 5a = 0 има два различни корена;
в) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 има два различни корена;
г) ax 2 – 3x + 2 = 0 има поне един корен.

4. Решете аналитично (и по възможност графично) неравенствата:

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени не е строг.Икона не е равно (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)

Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...

Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.

Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до точката на ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат ​​по следния начин:

Тъждествени преобразувания на неравенства.

Идентичните трансформации на неравенства са много подобни на идентични трансформации на уравнения.Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.

На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги подчертавам в червено:

2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Ярък пример за дълга памет. Нека напишем неравенство, което не буди съмнение:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се заклевам. Може би ще си спомня...)

Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Трябва ли да го сменя или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Нека решим това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Ние внимателно следим знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.

Знакът за неравенство остава:

х-5х > -5-3

Ето подобни.

Знакът за неравенство остава:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заменяме съмнителното число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Не, разбира се!" Точно. Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.

Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!

Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е всичко.

Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...

Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно надобре и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да маркираме всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.

Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. При по-сложни задачи засенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.

Записване на отговора за неравенства.

Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога трябва да запишете едно и също нещо, но в различна форма, на цифрови интервали. Тогава записът започва да изглежда много научно):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ думата е скрита "принадлежи".

Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две без да включва. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Не може да има двойно Х, което ни казва думата "без да включва".

И къде в отговора е ясно, че "без да включва"? Този факт е отбелязан в отговора кръгълскоба непосредствено след двете. Ако двете бяха включени, скобата щеше да бъде квадрат.Като този: ]. Следващият пример използва такава скоба.

Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:

x ∈ [-0,5; +∞)

Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.

Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива обозначения безкрайността винаги е съседна на скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но – само за окончателни отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да се използва обичайната форма, под формата на просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.

Популярни задачи с неравенства.

Самите линейни неравенства са прости. Следователно задачите често стават по-трудни. Така че беше необходимо да се мисли. Това, ако не сте свикнали с него, не е много приятно.) Но е полезно. Ще покажа примери за такива задачи. Не ти да ги учиш, не е нужно. И за да не се плашим при среща с подобни примери. Просто помислете малко - и е просто!)

1. Намерете произволни две решения на неравенството 3x - 3< 0

Ако не е много ясно какво да правите, помнете основното правило на математиката:

Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете!)

х < 1

И какво? Нищо специално. Какво ни питат? От нас се иска да намерим две конкретни числа, които са решение на неравенство. Тези. отговаря на отговора. две всякаквичисла. Всъщност това е объркващо.) Двойка от 0 и 0,5 са подходящи. Двойка -3 и -8. Тези двойки са безкрайно много! Кой отговор е верен?!

Отговарям: всичко! Всяка двойка числа, всяко от които е по-малко от едно, ще бъде правилният отговор.Напиши коя искаш. Да продължим.

2. Решете неравенството:

4x - 3 ≠ 0

Задачите в тази форма са рядкост. Но, като спомагателни неравенства, при намиране ODZ,например, или при намиране на домейна на дефиниция на функция, те се срещат доста често. Такова линейно неравенство може да се реши като обикновено линейно уравнение. Само навсякъде с изключение на знака "=" ( равно на) сложи знак " ≠ " (не е равно). Ето как подхождате към отговора със знак за неравенство:

х ≠ 0,75

В по-сложни примери е по-добре нещата да се правят по различен начин. Направете неравенство от равенството. Като този:

4x - 3 = 0

Решете го спокойно, както е научено, и получете отговора:

х = 0,75

Основното е, че в самия край, когато записвате крайния отговор, не забравяйте, че намерихме x, което дава равенство.И имаме нужда от - неравенство.Следователно всъщност не се нуждаем от това X.) И трябва да го запишем с правилния символ:

х ≠ 0,75

Този подход води до по-малко грешки. Тези, които решават уравнения автоматично. А за тези, които не решават уравнения, неравенствата всъщност не са от полза...) Друг пример за популярна задача:

3. Намерете най-малкото цяло число решение на неравенството:

3(x - 1) < 5x + 9

Първо просто решаваме неравенството. Отваряме скобите, местим ги, привеждаме подобни... Получаваме:

х > - 6

Не се ли получи така!? Следвахте ли знаците!? И зад знаците членове, и зад знака неравенство...

Нека помислим отново. Трябва да намерим конкретно число, което отговаря както на отговора, така и на условието "най-малкото цяло число".Ако не ви светне веднага, можете просто да вземете произволно число и да го разберете. Две на минус шест? Със сигурност! Има ли подходящ по-малък номер? Разбира се. Например нула е по-голяма от -6. И още по-малко? Имаме нужда от най-малкото възможно нещо! Минус три е повече от минус шест! Вече можете да уловите модела и да спрете глупаво да минавате през числата, нали?)

Нека вземем число, по-близо до -6. Например, -5. Отговорът е изпълнен, -5 > - 6. Възможно ли е да се намери друго число, по-малко от -5, но по-голямо от -6? Можете например -5,5... Спри! Казват ни цялорешение! Не се търкаля -5.5! Какво ще кажете за минус шест? Ъ-ъ-ъ! Неравенството е строго, минус 6 по никакъв начин не е по-малко от минус 6!

Следователно верният отговор е -5.

Надявам се, че всичко е ясно с избора на стойност от общото решение. Друг пример:

4. Решете неравенство:

7 < 3x+1 < 13

Еха! Този израз се нарича тройно неравенство.Строго погледнато, това е съкратена форма на система от неравенства. Но такива тройни неравенства все пак трябва да се решават в някои задачи... Решава се и без никакви системи. Според същите идентични трансформации.

Трябва да опростим, да доведем това неравенство до чисто X. Но... Какво къде трябва да се премести?! Тук е моментът да запомните, че се движите наляво и надясно кратка формапърва трансформация на идентичността.

И пълната форма звучи така: Всяко число или израз може да се добави/извади от двете страни на уравнението (неравенство).

Тук има три части. Така че ще приложим идентични трансформации и към трите части!

И така, нека се отървем от това в средната част на неравенството. Нека извадим едно от цялата средна част. За да не се промени неравенството, изваждаме една от останалите две части. Като този:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Така е по-добре, нали?) Остава само да разделим и трите части на три:

2 < х < 4

Това е всичко. Това е отговорът. X може да бъде всяко число от две (без да се включва) до четири (без да се включва). Този отговор също се записва на интервали, такива записи ще бъдат включени квадратни неравенства.Там те са най-често срещаното нещо.

В края на урока ще повторя най-важното. Успехът при решаването на линейни неравенства зависи от способността за трансформиране и опростяване линейни уравнения.Ако в същото време внимавайте за знака за неравенство,няма да има проблеми. Това ти пожелавам. Никакви проблеми.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.