Свойства на числовите функции. Числени функции и техните свойства Този материал е съставен в съответствие с Федералните държавни стандарти

Числова функцияТова съответствие между набор от числа се нарича хи много Рреални числа, в които всяко число от множеството хсъвпада с едно число от набор Р.Няколко хНаречен област на функцията . Функциите са обозначени с букви f, g, hи т.н. Ако f– функция, дефинирана в комплекта х, след това реално число y,съответстващ на числото хима много от тях х, често обозначаван f(x)и пиши
y = f(x).Променлива хтова се нарича аргумент. Набор от числа на формуляра f(x)Наречен функционален диапазон

Функцията се определя с помощта на формула. Например , y = 2Х - 2. Ако при посочване на функция с помощта на формула нейната област на дефиниция не е посочена, тогава се приема, че областта на дефиниция на функцията е област на дефиниция на израза f(x).

1. Функцията се извиква монотонен на определен интервал А, ако се увеличава или намалява на този интервал

2. Функцията се извиква повишаване на на определен интервал A, ако за произволни числа от тяхното множество A е изпълнено следното условие: .

Графиката на нарастваща функция има специална характеристика: когато се движите по оста x отляво надясно по интервала Аординатите на точките на графиката се увеличават (фиг. 4).

3. Функцията се извиква намаляващи на някакъв интервал А, ако за произволни числа има много от тях Аусловието е изпълнено: .

Графиката на намаляваща функция има специална характеристика: когато се движите по оста x отляво надясно по интервала Аординатите на точките на графиката намаляват (фиг. 4).

4. Функцията се извиква дори на някакъв комплект Х,ако условието е изпълнено: .

Графиката на четната функция е симетрична спрямо ординатната ос (фиг. 2).

5. Функцията се извиква странно на някакъв комплект Х,ако условието е изпълнено: .

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (фиг. 2).

6. Ако функцията y = f(x)
f(x) f(x), тогава те казват, че функцията y = f(x)приема най-малка стойност при =f(x)при х= х(Фиг. 2, функцията приема най-малка стойност в точка с координати (0;0)).

7. Ако функцията y = f(x)е дефинирано на множеството X и съществува такова, че за всяко неравенство f(x) f(x), тогава те казват, че функцията y = f(x)приема най-висока стойност при =f(x)при х= х(Фиг. 4, функцията няма най-големи и най-малки стойности) .

Ако за тази функция y = f(x)всички изброени имоти са проучени, тогава казват, че проучванефункции.

Ограничения.

Число A се нарича граница на функция, когато x клони към ∞, ако за всяко E>0 съществува δ (E)>0, така че за всички x удовлетворява неравенството |x|>δ неравенството |F(x) -A|

Число A се нарича граница на функция, когато X клони към X 0, ако за всяко E>0 съществува δ (E)>0, така че за всички X≠X 0 удовлетворява неравенството |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

ЕДНОСТРАННИ ОГРАНИЧЕНИЯ.

Когато дефинира границата, X клони към X0 по произволен начин, тоест от всяка посока. Когато X клони към X0, така че винаги да е по-малко от X0, тогава границата се нарича граница при X0 отляво. Или ограничение за лявата ръка. Дясната граница се определя по подобен начин.

ОБОБЩИТЕЛЕН УРОК ПО ТЕМА „ФУНКЦИИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА”.

Цели на урока:

Методически:повишаване на активно-познавателната дейност на учениците чрез индивидуална самостоятелна работа и използване на тестови задачи от развиващ тип.

Образователни:повторете елементарни функции, техните основни свойства и графики. Въведете концепцията за взаимно обратни функции. Систематизира знанията на учениците по темата; допринасят за консолидирането на уменията за изчисляване на логаритми, за прилагане на техните свойства при решаване на задачи от нестандартен тип; повторете изграждането на графики на функции с помощта на трансформации и тествайте уменията и способностите си при самостоятелно решаване на упражнения.

Образователни:възпитаване на точност, хладнокръвие, отговорност и способност за вземане на самостоятелни решения.

Развитие:развиват интелектуални способности, умствени операции, реч, памет. Развийте любов и интерес към математиката; По време на урока се уверете, че учениците развиват независимо мислене в учебните дейности.

Тип урок:обобщаване и систематизиране.

Оборудване:дъска, компютър, проектор, екран, учебна литература.

Епиграф на урока:„Тогава трябва да се преподава математика, защото тя подрежда ума.“

(М. В. Ломоносов).

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Проверка на домашните.

Повторение на показателни и логаритмични функции с основа a = 2, построяване на техните графики в една и съща координатна равнина, анализ на взаимното им разположение. Помислете за взаимозависимостта между основните свойства на тези функции (OOF и OFP). Дайте концепцията за взаимно обратни функции.

Разгледайте експоненциални и логаритмични функции с основа a = ½ c

за да се гарантира спазването на взаимозависимостта на изброените свойства и за

намаляващи взаимно обратни функции.

Организиране на самостоятелна тестова работа за развитие на мисловните умения

операции за систематизиране по темата „Функции и техните свойства“.

ФУНКЦИОНАЛНИ СВОЙСТВА:

1). y = ‌│х│ ;

2). Увеличава се в цялата зона на дефиниция;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = sin x;

5). Намалява на 0< а < 1 ;

6). y = x³;

7). OPF: (0; + ∞) ;

8). Обща функция;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞) ;

единадесет). Намалява по цялата зона на дефиниране;

12). y = kx + b;

13). OSF: (- ∞; + ∞) ;

14). Увеличава се при k > 0;

15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). y = cos x;

17). Няма екстремни точки;

18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). Намалява при к< 0 ;

20). y = x²;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Дори;

25). Намалява за k > 0;

26). OOF: [0; + ∞) ;

27). y = тен x;

28). Увеличава се с k< 0;

29). OSF: [0; + ∞) ;

тридесет). странно;

31). y = log x;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctg x ;

34). Увеличава се, когато a > 1.

По време на тази работа анкетирайте учениците по индивидуални задачи:

номер 1. а) Графика на функцията

б) Графика на функцията

номер 2. а) Изчислете:

б) Изчислете:

номер 3. а) Опростете израза
и намерете стойността му при

б) Опростете израза
и намерете стойността му при
.

Домашна работа: No1. Изчислете: а)
;

V)
;

G)
.

номер 2. Намерете областта на дефиниция на функцията: а)
;

V)
; G)
.

Уроци 1-2. Дефиниция на числова функция и методи за нейното уточняване

09.07.2015 11705 0

Мишена: обсъдете дефиницията на функция и как да я дефинирате.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Преговор на материала за 9 клас

Различни аспекти на тази тема вече са разгледани в 7-9 клас. Сега трябва да разширим и обобщим информацията за функциите. Напомняме, че темата е една от най-важните за целия курс по математика. Различни функции ще се изучават до завършване и по-нататък във висшите учебни заведения. Тази тема е тясно свързана с решаването на уравнения, неравенства, текстови задачи, прогресии и др.

Определение 1. Нека са дадени две групи реални числад и E и законът е посочен f според което всяко число x∈ D съвпада с единственото число y ∈ E (вижте снимката). Тогава те казват, че функцията y = f(x ) или y(x) с домейн на дефиниция (O.O.)д и зоната на промяна (O.I.) E. В този случай стойността x се нарича независима променлива (или аргумент на функцията), стойността y се нарича зависима променлива (или стойността на функцията).

Функционален домейн f означава D(f ). Комплектът се състои от всички числа f(x ) (функционален диапазон f), означете E(f).

Пример 1

Помислете за функциятаЗа да намерите y за всяка стойност на x, трябва да извършите следните операции: извадете числото 2 (x - 2) от стойността на x, извлечете корен квадратен от този изрази накрая добавете числото 3Наборът от тези операции (или законът, според който стойността y се търси за всяка стойност на x) се нарича функция y(x). Например за x = 6 намирамеПо този начин, за да се изчисли функцията y в дадена точка x, е необходимо тази стойност x да се замени в дадената функция y(x).

Очевидно за дадена функция, за всяко допустимо число x, може да се намери само една стойност на y (т.е. на всяка стойност на x съответства една стойност на y).

Нека сега разгледаме домейна на дефиницията и диапазона на вариация на тази функция. Възможно е да се извлече корен квадратен от израза (x - 2) само ако тази стойност е неотрицателна, т.е. x - 2 ≥ 0 или x ≥ 2. НамеретеТъй като по дефиниция на аритметичен коренслед това добавяме числото 3 към всички части на това неравенство, получаваме:или 3 ≤ y< +∞. Находим

Рационалните функции често се използват в математиката. В този случай функции на формата f(x ) = p(x) (където p(x) е полином) се наричат цели рационални функции. Функции на формата(където p(x) и q(x ) - полиноми) се наричат дробно-рационални функции. Очевидно е частсе определя, ако знаменателят q(x ) не изчезва. Следователно областта на дефиниция на дробната рационална функция- множеството от всички реални числа, от които са изключени корените на полинома q(x).

Пример 2

Рационална функциядефинирана за x - 2 ≠ 0, т.е.х ≠ 2. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството от всички реални числа, които не са равни на 2, т.е. обединението на интервалите (-∞; 2) и (2; ∞).

Спомнете си, че обединението на множества A и B е множество, състоящо се от всички елементи, включени в поне едно от множествата A или B. Обединението на множества A и B се обозначава със символа A U B. По този начин обединението на сегменти и (3; 9) е интервал (непресичащите се интервали) се означават с .

Връщайки се към примера, можем да напишем:Тъй като за всички приемливи стойности на x дробтане изчезва, тогава функцията f(x ) приема всички стойности с изключение на 3. Следователно

Пример 3

Нека намерим областта на дефиниция на дробната рационална функция

Знаменателите на дробите се нулират при x = 2, x = 1 и x = -3. Следователно областта на дефиниция на тази функция

Пример 4

Пристрастяване вече не е функция. Наистина, ако искаме да изчислим стойността на y, например, за x = 1, тогава използвайки горната формула намираме: y = 2 1 - 3 = -1, а използвайки долната формула получаваме: y = 12 + 1 = 2. Така една стойност x(x = 1) съответстват на две стойности на y (y = -1 и y = 2). Следователно тази зависимост (по дефиниция) не е функция.

Пример 5

Показани са графики на две зависимости y(x ). Нека определим коя от тях е функция.

На фиг. и е дадена графиката на функцията, тъй като във всяка точках 0 съответства само една стойност y0. На фиг. b е графика на някаква зависимост (но не и функция), тъй като такива точки съществуват (например,х 0 ), които съответстват на повече от една стойност y (например y1 и y2).

Нека сега разгледаме основните начини за специфициране на функции.

1) Аналитичен (с помощта на формула или формули).

Пример 6

Нека да разгледаме функциите:

Въпреки необичайната си форма, тази връзка също така определя функция. За всяка стойност на x е лесно да се намери стойността на y. Например за x = -0,37 (тъй като x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, тогава използваме долния израз) имаме:От метода за намиране на y става ясно, че всяка стойност x съответства само на една стойност y.

в) 3x + y = 2y - x2. Нека изразим стойността y от тази зависимост: 3x + x2 = 2y - y или x2 + 3x = y. Така тази връзка дефинира и функцията y = x2 + 3x.

2) Табличен

Пример 7

Нека напишем таблица с квадрати y за числата x.


		2,25		6,25

Данните от таблицата също дефинират функция - за всяка (посочена в таблицата) стойност на x може да се намери една стойност на y. Например y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 и т.н.

3) Графика

В правоъгълна координатна система, за да се изобрази функционалната зависимост y(x), е удобно да се използва специален чертеж - графика на функцията.

Определение 2. Графика на функция y(x ) е множеството от всички точки на координатната система, чиито абсциси са равни на стойностите на независимата променлива x, а ординатите са равни на съответните стойности на зависимата променлива y.

По силата на тази дефиниция всички двойки точки (x0, y0), които удовлетворяват функционалната зависимост y(x), се намират върху графиката на функцията. Всякакви други двойки точки, които не отговарят на зависимостта y(x ), функциите не лежат на графиката.

Пример 8

Дадена функция Точката с координати принадлежи ли на графиката на тази функция: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Намерете стойността на функцията y приТъй като y(-2) = -6, тогава точка A (-2; -6) принадлежи на графиката на тази функция.

2. Определете стойността на функцията y приОт г (-3) = -11, тогава точка B (-3; -10) не принадлежи на графиката на тази функция.

Според тази графика на функцията y = f(x ) лесно се намира домейнът на дефиницията D(f ) и диапазон E(f ) функции. За да направите това, точките на графиката се проектират върху координатните оси. Тогава абсцисите на тези точки образуват дефиниционната област D(f ), ординати - диапазон от стойности E(f).

Нека сравним различни начини за дефиниране на функция. Аналитичният метод трябва да се счита за най-пълен. Тя ви позволява да създадете таблица с функционални стойности за някои стойности на аргументи, да изградите графика на функцията и да извършите необходимото изследване на функцията. В същото време табличният метод ви позволява бързо и лесно да намерите стойността на функцията за някои стойности на аргумента. Графиката на функция ясно показва нейното поведение. Следователно не трябва да се противопоставяте на различни методи за определяне на функция, всеки от тях има своите предимства и недостатъци. На практика се използват и трите начина за задаване на функция.

Пример 9

Дадена е функцията y = 2x2 - 3x +1.

Да намерим: а) y (2); b) y (-3x); в) y(x + 1).

За да се намери стойността на функция за определена стойност на аргумента, е необходимо тази стойност на аргумента да се замени в аналитичната форма на функцията. Следователно получаваме:

Пример 10

Известно е, че y(3 - x) = 2x2 - 4. Нека намерим: a) y(x); б) y(-2).

а) Нека го означим с буква z = 3, тогава x = 3 - z . Нека заместим тази стойност x в аналитичната форма на тази функция y(3 - x) = 2x2 - 4 и получаваме: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, или y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, или y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, или y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Тъй като няма значение с каква буква е обозначен аргументът на функцията - z, x, t или всяко друго, веднага получаваме: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Сега е лесно да се намери y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно е, че Нека намерим x(y).

Нека означим с буквата z = x - 2, тогава x = z + 2 и запишете условието на проблема:или Да се ще напишем същото условие за аргумента (- z ): За удобство въвеждаме нови променливи a = y (z) и b = y (- z ). За такива променливи получаваме система от линейни уравнения

Интересуваме се от неизвестнотоа.

За да го намерим, използваме метода на алгебричното събиране. Затова нека умножим първото уравнение по числото (-2), второто уравнение по числото 3. Получаваме:

Нека добавим тези уравнения:където Тъй като аргументът на функцията може да бъде обозначен с всяка буква, имаме:

В заключение отбелязваме, че до края на 9 клас са изучени следните свойства и графики:

а) линейна функция y = kx +м (графиката е права линия);

б) квадратна функция y = ax2 + b x + c (графика - парабола);

в) дробна линейна функция(графика - хипербола), по-специално функции

г) степенна функция y = xa (по-специално функцията

д) функции y = |x|.

За по-нататъшно изучаване на материала препоръчваме да повторите свойствата и графиките на тези функции. Следващите уроци ще покрият основните методи за конвертиране на графики.

1. Дефинирайте числова функция.

2. Обяснете как се дефинира функция.

3. Какво се нарича обединение на множества A и B?

4. Какви функции се наричат рационални цели числа?

5. Какви функции се наричат дробни рационални? Какъв е домейнът на дефиниране на такива функции?

6. Какво се нарича графика на функция f(x)?

7. Дайте свойствата и графиките на основните функции.

IV. Задание на урока

§ 1, № 1 (а, г); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 (а ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Домашна работа

§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Творчески задачи

1. Намерете функцията y = f(x), ако:

Отговори:

2. Намерете функцията y = f(x), ако:

Отговори:

VII. Обобщаване на уроците

Резюме - Проблемът с пристрастяването към масови мултиплейър онлайн ролеви игри (MMORPG) и неговото лечение (Резюме)

Панова Т.В., Гьоринг Г.И. Физика на кондензираната материя (документ)

Лекции - Теория на алгоритмите (Лекция)

Отговори на въпроси за изпита Матан (Cheat Sheet)

Резюме - Функции на физическата култура (Резюме)

Jones M.H. Електроника - практически курс (Документ)

Ауерман Т.Л., Генералова Т.Г., Суслянок Г.М. Липиди. Витамини (Документ)

n1.doc

OGOI SPO Рязански педагогически колеж

РЕЗЮМЕ

Тема: „Числени функции и техните свойства. Прави и обратнопропорционални връзки"

Титова Елена Владимировна

Специалност: 050709 „Обучение в начален етап с допълнителна подготовка в областта на предучилищното образование”

Курс: 1 Група: 2

Отдел: училище

Ръководител: Приступлюк Олга Николаевна
Рязан

Въведение……………………………………………………………………………………3
Теоретична част

Числови функции

1.1 Развитие на концепцията за функционалната зависимост в математиката………………………………………………………………4

1.2 Методи за определяне на функции…………………………………………….6
1.3 Функционални свойства…………………………………………………………7
2. Прави и обратнопропорционални зависимости

2.1 Концепцията за пряка пропорционалност………………..9
2.2 Свойства на пряка пропорционална зависимост……………………………………………….10
2.3 Концепцията за обратната пропорционалност и нейните свойства…………………………………………………………………-
Практическа част

3.1 Функционална пропедевтика в началния курс по математика....11

3.2 Решаване на задачи с пропорционално зависими величини……18
Заключение……………………………………………………………......21

Списък с литература……………………………..22

Въведение

В математиката идеята за функция се появява заедно с понятието за количество. Беше тясно свързано с геометричните и механичните концепции. Терминът функция (от латински - изпълнение) е въведен за първи път от Лайбниц през 1694 г. Под функция той разбира абсцисите, ординатите и други сегменти, свързани с точка, описваща определена линия.
През първата половина на 18в. имаше преход от визуално представяне на концепцията за функция към аналитична дефиниция. Швейцарският математик Йохан Бернули, а след това и академикът Леонхард Ойлер, смятат, че функцията

Това аналитичен израз,съставен от променлива и константа.

С други думи, функцията се изразява с различни видове формули: y=ax+b, y= =axІ+bx+c и т.н.
Днес знаем, че една функция може да бъде изразена не само на математически език, но и графично. Откривателят на този метод е Декарт. Това откритие изигра огромна роля в по-нататъшното развитие на математиката: настъпи преходът от точки към числа, от линии към уравнения, от геометрия към алгебра. Така стана възможно да се намерят общи техники за решаване на проблеми.
От друга страна, благодарение на координатния метод стана възможно изобразяването на геометрично различни зависимости.
По този начин графиките осигуряват визуално представяне на естеството на връзката между количествата; те често се използват в различни области на науката и технологиите.

Основните тенденции в развитието на съвременното училищно образование се изразяват в идеите за хуманизация, хуманитаризация, дейностен и личностно-ориентиран подход при организиране на образователния процес.

В основата на обучението по математика в средните училища принципът за приоритет на развиващата функция на обучението излиза на преден план.

Следователно изучаването на концепцията за числова функция в началното училище е доста важен компонент във формирането на математическите концепции на учениците. За учител в начално училище е необходимо да се съсредоточи върху изучаването на тази концепция, тъй като има пряка връзка между функцията и много области на човешката дейност, което по-късно ще помогне на децата да навлязат в света на науката.

Освен това , Студентите, като правило, формално схващат дефиницията на понятието функция и нямат холистично разбиране за функционалната зависимост, т.е. не могат да прилагат знанията си при решаване на математически и практически задачи; асоциирайте функция изключително с аналитичен израз, в който променливата приизразено чрез променлива х; не може да интерпретира представяне на функция в различни модели; затрудняват се да конструират графики на функции въз основа на техните свойства и т.н.

Причините за тези трудности са свързани не само и не толкова с методиката на изучаване на функционалния материал в курса по алгебра, а с неподготвеността на мисленето на учениците да възприемат и асимилират понятието „функция“.
Това означава, че преди да се въведе понятието „функция“, е необходимо да се работи по формирането на умения за функционално мислене, така че „в момента, когато общата идея за функционална зависимост трябва да влезе в съзнанието на учениците, това съзнание ще бъде достатъчно подготвено за съдържателното и ефективно, а не само за формалното възприемане на нова концепция и свързаните с нея идеи и умения” (А. Я. Хинчин)

1. Числови функции

1.1 Развитие на концепцията за функционалната зависимост в математиката

Нека анализираме напредъка в развитието на педагогическите идеи в областта на преподаването на най-важния компонент на математиката - функционалната зависимост.

Функционалната линия на училищния курс по математика е един от водещите курсове по алгебра, алгебра и началото на анализа. Основната характеристика на учебния материал от тази линия е, че с негова помощ можете да установите различни връзки в обучението по математика.

В течение на няколко века концепцията за функция се е променила и подобрила. Необходимостта от изучаване на функционалната зависимост в училищния курс по математика е във фокуса на педагогическата преса от втората половина на 19 век. Такива известни методисти като М. В. Остроградски, В. Н. Шкларевич, С. И. Шохор-Троцки, В. Е. Сердобински, В. П. Шереметевски обърнаха много внимание на този въпрос в своите трудове.
Развитието на идеята за функционална зависимост протича на няколко етапа:

Първи етап- етапът на въвеждане на понятието функция (главно чрез аналитичен израз) в училищния курс по математика.

Втора фазаВъвеждането на понятието функция в курса по алгебра в гимназията се характеризира главно с преход към графично представяне на функционалната зависимост и разширяване на обхвата на изучаваните функции.

Трети етапРазвитието на руското училище започва през 20-те години. двадесети век. Анализът на методическата литература от съветския период показа, че въвеждането на понятието функция в училищния курс по математика беше придружено от разгорещени дискусии и ни позволи да идентифицираме четири основни проблема, около които имаше различия в мненията между методистите, а именно:

1) целта и значението на изучаването на понятието функция от учениците;

2) подходи за дефиниране на функция;

3) въпросът за функционалната пропедевтика;

4) мястото и обема на функционалния материал в училищния курс по математика.

Четвърти етаппоради прехвърлянето на икономиката на RSFSR на планова основа

През 1934 г. училището получава първия стабилен учебник от А. П. Киселев „Алгебра“, преработен под редакцията на А. П. Барсуков в две части.

Втората му част включваше раздели „Функции и техните графики“, „Квадратична функция“. Освен това в раздела „Обобщаване на понятието степен“ бяха разгледани експоненциалната функция и нейната графика, а в раздела „Логаритми“ бяха разгледани логаритмичната функция и нейната графика.

В него функцията беше дефинирана чрез концепцията за променлива величина: „Тази променлива величина, чиито числени стойности се променят в зависимост от числените стойности на друга, се нарича зависима променлива или функция на друго променливо количество." Въпреки това, той не отразява идеята за кореспонденция и не се споменава аналитичен израз, което ни позволява да заключим, че това определение има значителен недостатък.
И. Я. Хинчин обърна много внимание на този проблем в своите произведения.

Ученият разглежда формирането на идея за функция като проява на формализъм в преподаването. Той вярваше, че в средното училище концепцията за функция трябва да се преподава въз основа на концепцията за съответствие.

Този период се характеризира с недостатъчно време за изучаване на функциите, недобре замислени системи за упражнения, липса на разбиране на истинската същност на концепцията за функция от учениците и ниско ниво на функционални и графични умения на завършилите училище.

Така отново възникна необходимостта от реформа на обучението по математика в средните училища. Преструктурирането на цялата училищна математика на базата на теоретико-множествения подход бележи петия етап в развитието на идеята за функционална зависимост. Идеята за теоретико-множествения подход е подета от група френски учени, обединени под псевдонима Никола Бурбаки. В Роймон (Франция, 1959 г.) се провежда международна среща, на която се провъзгласява премахването на всички конвенционални курсове. Фокусът беше върху структурите и унификациите на цялата училищна математика, основана на теорията на множествата.

Важна роля в развитието на идеите за реформи изиграха статиите на В. Л. Гончаров, в които авторът посочи значението на ранната и дългосрочна функционална пропедевтика и предложи използването на упражнения, състоящи се от изпълнение на редица предварително определени числови замествания в същия даден буквен израз.

Стабилизирането на програмите и учебниците създаде почва за положителни промени в качеството на функционалните знания на учениците. В края на шейсетте и началото на седемдесетте години, наред с отрицателните отзиви, в пресата започнаха да се появяват такива, които отбелязаха известно подобрение в знанията на завършилите училище за функции и графики. Въпреки това общото ниво на математическото развитие на учениците остава като цяло недостатъчно. Училищните курсове по математика продължават да отделят прекалено много време за формална подготовка и не обръщат достатъчно внимание на развиването на способността на учениците да учат самостоятелно.

1.2 Методи за специфициране на функции

Съвременната концепция за функция се различава значително от предишните. Той по-пълно отразява всички свойства и зависимости, които притежава.

Така, числова функцияе съответствие между числово множество R от реални числа, в което всяко число от множеството X съответства на едно число от множеството R.

Съответно X представлява областта на дефиниране на функцията (DOF).

Самата функция се обозначава с малки букви от латинската азбука (f, d, e, k).

Ако върху множество X е дадена функция f, тогава реалното число y, съответстващо на числото x от множеството X, се означава като f(x) (y=f(x)).

Извиква се променливата x аргумент.Множеството от числа от формата f(x) за всички x се нарича функционален диапазонf.

Най-често функциите се задават с различни видове формули: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, където x е реално число, y е съответното единствено число.

Въпреки това, с една формула можете да зададете няколкофункции, чиято разлика се определя само от областта на дефиниция:

Y= 2x-3, където x принадлежи към набора от реални числа и y=2x-3,

X - принадлежност към множеството от естествени числа.

Често, когато се указва функция с помощта на формула, OOF не се посочва (OOF е областта на дефиниране на израза f(x)).

Също така е доста удобно цифровите функции да се представят визуално, т.е. с помощта на координатна равнина.
1.3 Функционални свойства.

Подобно на много други, числовите функции имат следните свойства:

Нарастваща, намаляваща, монотонност, област на дефиниция и област на стойност на функция, ограниченост и неограниченост, четно и нечетно, периодичност.

Област и набор от функции.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа R. Това означава, че аргументът на функция може да приема само тези реални стойности, за които е дефинирана функцията, т.е. също така приема само реални стойности. Множеството X от всички допустими реални стойности на аргумента x, за които е дефинирана функцията y = f(x), се нарича домейн на функцията. Наборът Y от всички реални стойности на y, които функцията приема, се нарича диапазон на функцията. Сега можем да дадем по-точна дефиниция на функция: правилото (законът) за съответствие между множествата X и Y, според което за всеки елемент от множеството X може да се намери един и само един елемент от множеството Y, е наречена функция.

Една функция се счита за дефинирана, ако: е посочена област на дефиниране на функцията X; посочен е диапазонът от стойности на функцията Y; правилото (законът) за съответствие е известно и такова, че за всяка стойност на аргумента може да се намери само една стойност на функцията. Това изискване за уникалност на функцията е задължително.
Ограничени и неограничени функции.Една функция се нарича ограничена, ако има положително число M такова, че | f(x) | M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена.

Четни и нечетни функции. Ако за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно f (- x) = f (x), то функцията се нарича четна; ако се появи: f (- x) = - f (x), тогава функцията се нарича нечетна. Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Y (фиг. 5), а графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (фиг. 6).

Периодична функция. Функция f (x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f (x + T) = f (x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични.

Но най-важното свойство за учебната функция в началните класове е монотонен.

Монотонна функция. Ако за всеки две стойности на аргумента x1 и x2 условието x2 > x1 предполага f (x2) > f (x1), тогава функцията | f(x) | наречена нарастваща; ако за всеки x1 и x2 условието x2 > x1 предполага f (x2)
2. Прави и обратнопропорционални зависимости.
2.1 Концепцията за пряка пропорционалност.

В началното училище функцията се проявява под формата на пряка и обратно пропорционална зависимост.

Пряка пропорционалност- това е, на първо място, функция,което може да се даде с помощта на формулата y=kx, където k е ненулево реално число. Името на функцията y = kx е свързано с променливите x и y, съдържащи се в тази формула. Ако поведениедве количества са равни на някакво число, различно от нула, тогава се наричат право-пропорционален.

K е коефициентът на пропорционалност.

Като цяло функцията y=kx е математически модел на много реални ситуации, разглеждани в началния курс по математика.

Например, да кажем, че има 2 кг брашно в един пакет и са закупени x такива пакети, тогава цялата маса на закупеното брашно е y. Това може да се запише като формула като тази: y=2x, където 2=k.
2.2 Свойства на правата пропорционалност.

Пряката пропорционалност има редица свойства:

Областта на дефиниране на функцията y=kx е множеството от реални числа R;
Графиката на пряка пропорционалност е права линия, минаваща през началото;
За k>0, функцията y=kx нараства в цялата област на дефиниране (за k
Ако функцията f е пряка пропорционалност, тогава (x1,y1),(x2,y2) са двойки от съответните променливи x и y, където x не е равно на нула, което означава x1/x2=y1/y2.

Ако стойностите на променливитехИг

хняколко пъти съответната положителна стойност y се увеличава (намалява) със същото количество.

2.3 Концепцията за обратната пропорционалност.
Обратна пропорционалност- Това функция,което може да се даде с помощта на формулата y=k/x, където k е ненулево реално число. Името на функцията y = k/x се свързва с променливите x и y, чието произведение е равно на някакво реално число, което не е равно на нула.

Свойства на обратната пропорционалност:

Домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на функцията y=k/x е множеството от реални числа R;
Графика на пряка пропорционалност – хипербола;
Когато k 0, съответно, намалява в цялата област на дефиниция, клонове - надолу)
Ако функцията f е обратно пропорционална, тогава (x1,y1),(x2,y2) са двойки от съответните променливи x и y, където x не е равно на нула, което означава x1/x2=y2/y1.

Ако стойностите на променливитехИгтогава ще бъдат положителни реални числа

с нарастваща (намаляваща) променливахняколко пъти съответната стойност на y намалява (увеличава) със същото количество.

Практическа част
3.1 Функционална пропедевтика в началния курс по математика

Концепцията за функционална зависимост е една от водещите в математическата наука, следователно формирането на тази концепция сред учениците е важна задача в целенасочената дейност на учителя за развитие на математическото мислене и творческата активност на децата. Развитието на функционалното мислене предполага преди всичко развитие на способността за откриване на нови връзки и овладяване на общообразователни техники и умения.

В началния курс на математиката значителна роля трябва да се даде на функционалната пропедевтика, която осигурява подготовката на учениците да изучават систематични курсове по алгебра и геометрия, а също така им внушава диалектическа природа на мислене, разбиране на причинно-следствените връзки между явления от заобикалящата действителност. В тази връзка ще очертаем основните насоки на пропедевтичната работа в началния етап на преподаване на предмета според програмата на L.G. Питърсън:

Концепцията за множества, съответствие на елементи от две множества и функции. Зависимост на резултатите от аритметичните операции от промените в компонентите.

Табличен, вербален, аналитичен, графичен методи за определяне на функция.

Линейна зависимост.

Координатна система, първа и втора координата, подредена двойка.

Решаване на най-простите комбинаторни задачи: компилиране и преброяване на броя на възможните пермутации, подмножества от елементи на крайно множество..

Използване на систематично изброяване на естествени стойности на една и две променливи при решаване на сюжетни проблеми.

Попълване на таблици с аритметични изчисления, данни от условията на приложни задачи. Избор на данни от таблица по условие.

Връзка между пропорционалните величини; приложно изследване на техните графики.

Съдържанието на началния курс по математика позволява на учениците да формират разбиране за една от най-важните идеи в математиката - идея за съответствие.При изпълнение на задачи за намиране значенията на изрази и попълване на таблици учениците установяват, че на всяка двойка числа отговаря не повече от едно число, получено в резултат. За да се разбере това обаче, трябва да се анализира съдържанието на таблиците.

Измислете всички възможни примери за събиране на две едноцифрени числа с отговор 12.

Когато изпълняват тази задача, учениците установяват връзка между два набора от стойности на термини. Установеното съответствие е функция, тъй като всяка стойност на първия член съответства на една стойност на втория член с постоянна сума.

Във ваза има 10 ябълки. Колко ябълки ще останат, ако вземете 2 ябълки? 3 ябълки? 5 ябълки? Запишете решението в таблицата. От какво зависи резултатът? С колко единици се променя? Защо?

Този проблем всъщност представя функцията при = 10 - х, където променливата хприема стойностите 2, 3, 5. В резултат на изпълнението на тази задача учениците трябва да заключат: колкото по-голям е субтрахендът, толкова по-малка е разликата.

Идеята за функционална кореспонденция присъства и в упражнения като:

Свържете със стрелка математическите изрази и съответните им числени стойности:

15 + 6 27 35

Въведение буквени символиви позволява да запознаете учениците с най-важните понятия на съвременната математика - променлива, уравнение, неравенство, което допринася за развитието на функционалното мислене, тъй като идеята за функционалната зависимост е тясно свързана с тях. Когато работят с променлива, учениците осъзнават, че буквите, включени в израза, могат да приемат различни числени стойности, а самият буквен израз е обобщена нотация на числови изрази.

Опитът на общуването на учениците с упражнения върху установяване на модели в числови последователности и тяхното продължение:

1, 2, 3, 4… (при = х + 1)

1, 3, 5, 7… (при= 2 · х + 1)

Концепция количества, заедно с понятието число, е основното понятие в началния курс по математика. Материалът в този раздел е богат източник за прилагане на индиректна функционална пропедевтика. Първо, това е зависимостта (обратно пропорционална) между избраната единица за количество (мярка) и нейната числена стойност (мярка) - колкото по-голяма е мярката, толкова по-малко число се получава в резултат на измерване на количеството с тази мярка. Ето защо е важно при работа с всяка величина учениците да придобият опит в измерването на величини с различни стандарти, за да изберат съзнателно първо удобно, а след това едно измерване.

На второ място, при изучаване на количествата, характеризиращи процесите на движение, работа, покупка и продажба, се формират идеи за връзката между скорост, време и разстояние, цена, количество и цена в процеса на решаване на текстови задачи от следните видове - свеждане до единица (намиране на четвърто пропорционално) , намиране на неизвестното по две разлики, пропорционално деление.

За учениците е особено трудно да разберат връзката между тези количества, тъй като понятието „пропорционална зависимост“ не е предмет на специално изучаване и асимилация. В програмата L.G. Питърсън методично решава този проблем, като използва следните техники:

- Решаване на проблеми с липсващи данни („отворено“ състояние):

Домът на Вася до училището е на 540 м, а този на Паша е на 480 м. Кой живее по-близо? Кой ще стигне по-бързо?

Саша купи тетрадки за 30 рубли и моливи за 45 рубли. За кои неща е похарчил най-много пари? Какви артикули е купил повече?

Анализирайки текстовете на тези задачи, учениците откриват, че им липсват данни и че отговорите на въпросите зависят от цената и скоростта.

- Фиксиране на условията на задачите не само в таблица (както се предлага в класическия метод), но и под формата на диаграма. Това ви позволява да „визуализирате“ зависимостите, разглеждани в проблема. Така че, ако движещи се обекти покриват едно и също разстояние от 12 км за различно време (2 часа, 3 часа, 4 часа, 6 часа), тогава с помощта на диаграмата обратното съотношение се интерпретира ясно - колкото повече части (време), толкова по-малка е всяка част (скорост).

- Променете една от данните на задачата и сравнете резултатите от решаването на проблеми.

В училищната столова са докарани 48 кг ябълки. Колко кашона биха могли да донесат, ако всички кашони съдържат еднакво количество ябълки?

Учениците попълват условията на задачата и записват връзката между величините, като използват различни средства за структуриране на теоретичните знания - в таблица, диаграма и устно.

Тук е полезно да се обърне внимание на многократното съотношение на разглежданите величини – колко пъти повече е едната величина, колко пъти повече (по-малко) е другата, като третата е постоянна.

В началното училище учениците имплицитно се запознават с таблични, аналитични, вербални, графични методи за определяне на функции.

Например връзката между скорост, време и разстояние може да се изрази:

А) устно: „за да намерите разстоянието, трябва да умножите скоростта по времето“;

Б) аналитично: с= v T;

Б) таблично: v =5 km/h

г) графично (с помощта на координатен лъч или ъгъл).

Графичен начин за указване на зависимостта между v, T, сни позволява да формираме представа за скоростта като промяна в местоположението на движещ се обект за единица време (заедно с общоприетото - като изминато разстояние за единица време) и сравнение на графиките на движението на две тела (движещи се независимо едно от друго) изяснява идеята за скоростта като величина, характеризираща скоростта на движение.

Съставни числови изрази(с и без скоби), изчисляването на техните стойности според правилата за реда на действията позволява на учениците да разберат, че резултатът зависи от реда, в който се извършват действията.

Подредете скобите така, че да образуват правилни равенства.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

В хода на Л.Г. Питърсън, учениците се запознават имплицитно линейна зависимост,като частен случай на функция. Тази функция може да бъде зададена чрез формула на формата при= х + б,Където х- независима променлива, кИ b- числа. Неговата област е множеството от всички реални числа.

След като измина 350 километра, влакът започна да се движи t часа със скорост 60 km/h. Колко километра е изминал влакът общо?(350 + 60 · T)

Чрез изпълнение на задачи с именувани числа учениците осъзнават зависимостта числени стойности на количества от използването на различни мерни единици.

Същият сегмент беше измерен първо в сантиметри, след това в дециметри. В първия случай числото, което получихме, беше със 135 повече, отколкото във втория. Каква е дължината на отсечката в сантиметри? (Зависимост= 10 · Х)

В процеса на изучаване на началния курс на математиката учениците формират понятието естествена редица от числа, сегмент от естествена редица, усвояват свойствата на естествена редица от числа - безкрайност, подреденост и др., форма идеята за възможността за неограничено увеличаване на естественото число или намаляване на неговия дял.

В курса по математика за 3-4 клас се обръща значително внимание на обучението на учениците да използват формули, тяхното самостоятелно заключение. Тук е важно да научим учениците да представят една и съща информация в различни форми – графично и аналитично, като им дадем правото да избират формата в съответствие с когнитивните си стилове.

Особен интерес за учениците предизвикват задачи, свързани с анализиране на таблици със стойности на променливи, „откриване“ на зависимости между тях и записването им като формули.

Когато анализират числата, представени в таблицата, учениците лесно забелязват, че числата в първия ред се увеличават с единица, числата във втория ред се увеличават с четири. Задачата на учителя е да обърне внимание на връзката между стойностите на променливите АИ b. За да се засили приложната ориентация на математическото образование, тази ситуация трябва да бъде „ревитализирана“ и прехвърлена в статут на сюжет.

За да развиете способността на учениците да извеждат формули, трябва да ги научите да пишат различни твърдения на математически език (под формата на равенства):

Писалката е три пъти по-скъпа от молива ( Р = Да се + 3);

Номер АКогато се раздели на 5, остатъкът е 2 ( А= 5 · b + 2);

Дължината на правоъгълника е с 12 см по-голяма от ширината ( А = b + 12).

Предпоставка е да обсъдите възможните варианти за стойностите на тези величини и да попълните съответните таблици.

Специално място в курса на Л.Г. Питърсън поема задачи, свързани с математически изследвания:

Представете числото 16 като произведение на два фактора по различни начини. За всеки метод намерете сумата от факторите. В кой случай е получена по-малката сума? Направете същото с числата 36 и 48. Какво е вашето предположение?

При изпълнение на подобни задачи (за изучаване на връзката между броя на ъглите на многоъгълник и общата стойност на градусните мерки на ъглите, между стойността на периметъра на фигури с различни форми с еднаква площ и т.н.), учениците подобряват своите умения за работа с таблица, тъй като е удобно да запишете решението в таблица. В допълнение, табличният метод за фиксиране на решението се използва при решаване на нестандартни математически задачи чрез метода на подредено търсене или рационален избор.

В класа има 13 деца. Момчетата имат толкова зъби, колкото момичетата имат пръсти на ръцете и краката. Колко момчета и колко момичета има в класа? (Всяко момче има точно 32 зъба).

Обучението по математика по програма Л.Г. Питърсън гарантира, че учениците разбират връзката между резултатите и компонентите на аритметичните операции и една идея за „скорост“ на промяна на резултата от аритметични операции в зависимост от промените в компонентите:

Упражнения по числов състав;

Специални методи за изчисление (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Оценка на сбор, разлика, произведение, частно.

Когато изпълнявате задачи като тези, е важно информацията да се представя по мултисензорен начин.

Как ще се промени сборът, ако един член се увеличи с 10, а вторият се намали с 5?

Как ще се промени площта на правоъгълник (или произведението на две числа), ако една от страните (едно от числата) се увеличи с 3?

Значителна част от учениците изпълняват такива задачи чрез заместване на конкретни числови стойности. Методически компетентно в тази ситуация би било състоянието да се интерпретира графично и аналитично.

(А+ 3) · b = А· b+ 3 ·b

Понятието функция в гимназията се свързва с координатна система. В хода на Л.Г. Питърсън съдържа материал за пропедевтична работа в тази посока:

Числова отсечка, числен лъч, координатен лъч;

Питагорова таблица, координати на равнината (координатен ъгъл);

Разписания на движението;

Кръгови, стълбовидни и линейни диаграми, които визуално представят връзки между отделни количества.

И така, изучаването на аритметични операции, увеличаване и намаляване на число с няколко единици или няколко пъти, връзката между компонентите и резултатите от аритметичните операции, решаване на задачи за намиране на четвъртата пропорционална, за връзката между скорост, време и разстояние; цена, количество и стойност; масата на отделния артикул, тяхното количество и обща маса; производителност, време и работа; и т.н., от една страна, лежат в основата на формирането на понятието функция, а от друга страна, те се изучават на базата на функционалните понятия. Трябва да се отбележи, че графичното моделиране има доста голямо пропедевтично значение: графична интерпретация на условията на проблема, чертеж, чертеж и др. Информацията, представена в графична форма, е по-лесна за възприемане, обемна и доста условна, предназначена да предава информация само за основните характеристики на даден обект и да развива графичните умения на учениците.

В допълнение, резултатът от пропедевтиката на функционалната зависимост трябва да бъде висока умствена активност на по-младите ученици, развитието на интелектуални, общи предмети и специфични математически умения. Всичко това създава солидна основа не само за решаване на методически проблеми на началната математика - формиране на изчислителни умения, способност за решаване на текстови задачи и т.н., но и за прилагане на възможностите за развитие на математическото съдържание и, не по-малко важно, за успешното изучаване на функциите в средното училище.

3.2 Решаване на задачи с пропорционално зависими величини

Решаването на проблем означава използване на логически правилна последователност от действия

и операции с числа, количества, изрично или косвено налични в проблема,

връзки за изпълнение на изискването на задачата (отговорете на нейния въпрос).

Основните в математиката са: аритметикаИ

алгебриченначини за решаване на проблеми. При аритметиканачин

отговорът на въпроса на задачата се намира в резултат на извършване на аритметика

действия върху числата.

Различните аритметични методи за решаване на една и съща задача са различни

връзки между данни, данни и неизвестни, данни и това, което се търси,

в основата на избора на аритметични операции или последователността

използване на тези връзки при избора на действия.

Решаването на текстова задача с помощта на аритметика е сложна дейност.

решаващ. В него обаче има няколко етапа:

1. Възприемане и анализ на съдържанието на задачата.

2. Търсене и съставяне на план за решаване на проблема.

3. Изпълнение на плана за решение. Формулиране на заключението за изпълнение на изискването

задачи (отговор на въпроса на задачата).

4. Проверка на решението и отстраняване на грешки, ако има такива.

Задачи с пропорционално делениесе въвеждат по различни начини: можете да предложите

за решаване на готов проблем или можете първо да го съставите, като трансформирате проблема

за намиране на четвъртата пропорционална част. И в двата случая успехът на решението

задачите с пропорционално деление ще се определят от солидна способност за решаване

проблеми с намирането на четвъртата пропорционална, следователно, като

подготовката трябва да включва решаване на проблеми от подходящия тип за намиране

четвърти пропорционален. Ето защо второто е за предпочитане

споменатите варианти за въвеждане на проблеми с пропорционално деление.

Преминава се към решаване на готови задачи от учебника, както и на съставени задачи

учител, включително различни групи количества, първо трябва да установите кои

количествата, обсъдени в проблема, след това напишете проблема накратко в таблицата,

като предварително е разделил въпроса на проблема на два въпроса, ако съдържа думата

всеки. По правило учениците попълват решението самостоятелно, анализират

провежда се само с отделни ученици. Вместо кратка бележка можете да направите

рисунка. Например, ако проблемът включва парчета плат, намотки от тел и

и т.н., тогава те могат да бъдат представени чрез сегменти чрез записване на съответната цифра

стойностите на тези количества. Имайте предвид, че не трябва да изпълнявате кратко бягане всеки път.

запис или чертеж, ако ученикът, след като прочете задачата, знае как да я реши, тогава

нека той реши, а тези, които се затрудняват, да използват кратка бележка или рисунка

За решаване на задачата. Постепенно задачите трябва да се усложняват чрез въвеждане

допълнителни данни (например: „Първото парче съдържаше 16 m материя, а второто

2 пъти по-малко.“) или задаване на въпрос (например: „Колко метра

Имаше ли повече материя в първото парче, отколкото във второто?).

Когато се запознаете с решението на проблема с непропорционалното деление, можете да отидете

друг начин: първо решете готови проблеми и по-късно изпълнете

трансформиране на задачата за намиране на четвъртата пропорционална в задача на

пропорционално деление и след решаването им сравнете както самите задачи, така и

техните решения.

Упражненията спомагат за обобщаване на способността за решаване на проблеми от разглеждания тип.

творческа природа. Нека назовем някои от тях.

Преди да я решите, е полезно да попитате на кой от въпросите в задачата ще получите отговор

по-голям номер и защо и след като реши да провери дали отговаря на този тип

получените числа, което ще бъде един от начините за проверка на решението. Можете и по-нататък

разберете дали отговорът би могъл да доведе до същите числа и при какви условия.

Полезни упражнения за учениците да съставят задачи и след това да ги решават,

и упражнения за преобразуване на задачи. Това е преди всичко компилация

проблеми, подобни на решения. И така, след решаване на проблема с количествата: цена,

количество и цена - предложете да съставите и решите подобна задача с

същите количества или с други, като скорост, време и разстояние.

Това е компилация от задачи за тяхното решаване, записани като отделни

действия, а под формата на изразяване, е съставянето и решаването на проблеми според техните

кратка схематична нотация

1 начин:

X = 15*30 / 8 = 56 рубли 25 копейки

Метод 2: количеството плат се е увеличило 15/8 пъти, което означава, че ще плащат 15/8 пъти повече пари

X =30*15/8 = 56 рубли 25 копейки

2. Един господин извикал дърводелец и му наредил да построи двор. Дал му 20 работници и попитал за колко дни ще му построят двора. Дърводелецът отговорил: след 30 дни. Но майсторът трябва да го построи за 5 дни и за това той попита дърводелеца: колко хора трябва да имате, за да можете да построите двор с тях за 5 дни; и дърводелецът в недоумение те пита, аритметик: колко души трябва да наеме, за да направи двор за 5 дни?

На дъската е написано незавършено кратко условие:

Вариант I: пропорция

Вариант II: без пропорции

аз

II. X = 20*6 = 120 работници

3. Те взеха 560 войници с храна за 7 месеца, но им беше наредено да служат 10 месеца и искаха да отстранят хората от себе си, за да има достатъчно храна за 10 месеца. Въпросът е колко души трябва да бъдат намалени?

Древна задача.

Решете тази задача без пропорция:

(Броят на месеците се увеличава с фактор, което означава, че броят на войниците намалява с фактор.

560 – 392 = 168 (войниците трябва да бъдат намалени)

В древни времена за решаването на много видове проблеми е имало специални правила за решаването им. Познатите проблеми на пряката и обратната пропорционалност, в които трябва да намерим четвъртата от три стойности на две величини, бяха наречени проблеми с „тройното правило“.

Ако за три количества са дадени пет стойности и е необходимо да се намери шестата, тогава правилото се нарича "петорка". По същия начин, за четири количества имаше „правило на седемте“. Проблемите, свързани с прилагането на тези правила, също се наричат проблеми на „сложното тройно правило“.

4. Три кокошки снесоха 3 яйца за 3 дни. Колко яйца ще снесат 12 кокошки за 12 дни?

пилета	дни	яйца
3	3	3
12	12	х

Трябва да разберете:

Колко пъти се е увеличил броят на пилетата? (4 пъти)

Как се промени броят на яйцата, ако броят на дните не се промени? (увеличен 4 пъти)

Колко пъти се е увеличил броят на дните? (4 пъти)

Как се промени броят на яйцата? (увеличен 4 пъти)

X = 3*4*4 =48(яйца)

5 . Ако един писар може да напише 15 листа за 8 дни, колко писари ще са необходими, за да напишат 405 листа за 9 дни?

(броят на писарите се увеличава с увеличаването на листовете с пъти и намалява

От увеличаване на работните дни (писари)).

Нека разгледаме по-сложна задача с четири количества.

6. За осветяването на 18 стаи са изразходвани 120 тона керосин за 48 дни, като във всяка стая са горели по 4 лампи. За колко дни ще стигнат 125 паунда керосин, ако 20 стаи са осветени и във всяка стая светят 3 лампи?

Броят на дните на употреба на керосин се увеличава с увеличаване на количеството на керосина
пъти и от намаляване на лампите с коефициент.

Броят на дните на използване на керосин намалява с увеличаването на стаите в 20 пъти.

X = 48 * * : = 60 (дни)

Крайната стойност е X = 60. Това означава, че 125 паунда керосин стигат за 60 дни.

Заключение

Методическата система за изучаване на функционалната зависимост в началното училище, разработена в контекста на модулното обучение, представлява цялост, съставена от взаимовръзката на основните компоненти (целеви, съдържателни, организационни, технологични, диагностични) и принципи (модулност, съзнателна перспектива, откритост, насоченост на обучението към развитието на личността на ученика, гъвкавост на методическото консултиране).

Модулният подход е средство за подобряване на процеса на изучаване на функционалната зависимост при учениците от началното училище, което позволява: учениците да овладеят система от функционални знания и методи на действие, практически (оперативни) умения; учителят - да развива математическото си мислене на базата на функционален материал, да възпитава самостоятелност в ученето.

Методическата подкрепа за процеса на изучаване на функциите в началното училище е изградена въз основа на модулни програми, които са в основата на идентифицирането на основни модели, които са задължителни за разбиране на темата, успешно и пълно усвояване на съдържанието на учебния материал и усвояване от ученици със солидни знания, умения и способности.

Библиография.

Демидова Т. Е., Тонких А. П., Теория и практика на решаване на текстови задачи: Учебник. помощ за студенти по-висок пед. учебник заведения. – М.: Издателски център “Академия”, 2002. -288 с.
Фридман Л. М. Математика: Учебник за учители и студенти от педагогически университети и колежи. – М.: Училищна преса, 2002.- 208 с.
Стоилова Л. П., Пышкало А. М. Основи на началния курс по математика: Учебник. наръчник за студенти по педагогика. уч - щ на спец. „Обучението в началните класове на общообразователната подготовка. Шк." - М.: Образование, 1998. – 320-те.
Стоилова Л. П. Математика: Учебник за студенти. по-висок пед. учебник заведения. – М.: Издателски център „Академия”, 1999. – 424 с.
Пехлецки И. Д. Математика: Учебник. – 2-ро издание стереотипно – М.: Издателски център „Академия”; Майсторство, 2002. – 304 стр.
Крючкова В. В. Работа върху задачи с пропорционални количества в режим на развитие: Ръководство за учители в началото. класове: Част 2 / Рязански регионален институт за развитие на образованието. Рязан, 1996. – 75-те години.
Падун Т. А. Нестандартни задачи в курса на началната математика: Методически. Препоръчва се В помощ на учителите в началното училище / Ryaz. Регион Институт за развитие на образованието. – Рязан, 2003 – 85 с.
Глейзър Г. И. История на математиката в училище: IX – X клас. Наръчник за учители. – М.: Образование, 1983. – 351 с., ил.
Дорофеев Г. В. Курсът с хуманитарна насоченост е в основата на учебния предмет „Математика“ в средното училище // Математика в училище. – 1997. - № 4. - P.59-66, p. 59.
Актуални проблеми на обучението по математика в началното училище. / Ед. M.I. Моро, А.М. Подпухнал. - М.: Педагогика, 1977. - 262 с.
Бантова М.А., Белтюкова Г.В. Методика на обучението по математика в началното училище. - М.: Педагогика, 1984. - 301 с.
Давидов В.В. Математика, 3 клас: Учебник за 4-годишно основно училище. - М.: Издателски център "Академия", 1998. - 212 с.
Моро М.И. и др.Математика: Учебник за 3. клас на тригодишно основно училище и 4. клас на четиригодишно основно училище. / Ед. Калягина Ю.М. - М.: Образование, 1997. - 240 с.
Питърсън Л.Г. Математика 3 клас. Ч. 1, 2. Учебник за 4-годишно основно училище. - М .: “Балас”, 2001.

Те имат много свойства: