Често в университета има задачи по висша математика, в които е необходимо изчислява детерминанта на матрицата. Между другото детерминантата може да бъде само в квадратни матрици. По-долу разглеждаме основните дефиниции на това какви свойства има детерминантата и как да я изчислим правилно.Също така ще покажем подробно решение с помощта на примери.

Какво представлява детерминантата на матрица: изчисляване на детерминантата с помощта на дефиницията

Матрична детерминанта

Вторият ред е числото.

Детерминантата на матрицата се обозначава - (съкратено от латинско имедетерминанта), или .

Ако: тогава се оказва

Припомняме още няколко спомагателни определения:

Определение

Подреден набор от числа, който се състои от елементи, се нарича ред на пермутация.

За набор, който съдържа елементи, има факториел (n), който винаги се означава с удивителен знак: . Пермутациите се различават една от друга само по реда си. За да стане по-ясно, нека вземем пример:

Помислете за набор от три елемента (3, 6, 7). Има общо 6 пермутации, тъй като .:

Определение

Инверсия в пермутация на реда е подреден набор от числа (нарича се още биекция), където две от тях образуват вид разстройство. Това е, когато по-голямото от числата в дадена пермутация е разположено отляво на по-малкото число.

По-горе разгледахме пример с инверсия на пермутация, където имаше числа. И така, нека вземем втория ред, където, съдейки по дадените числа, се оказва, че , и , тъй като вторият елемент е по-голям от третия елемент . Да вземем за сравнение шестия ред, където са разположени числата: . Тук има три двойки: , и , тъй като title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Представено от QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Няма да изучаваме самата инверсия, но пермутациите ще ни бъдат много полезни при по-нататъшното разглеждане на темата.

Определение

Детерминанта на матрицата x - число:

е пермутация на числа от 1 до безкрайно число и е броят на инверсиите в пермутацията. Така детерминантата включва термини, които се наричат ​​„термини на детерминантата“.

Можете да изчислите детерминантата на матрица от втори ред, трети и дори четвърти. Също така си струва да се спомене:

Определение

детерминантата на матрицата е число, което е равно на

За да разберем тази формула, ще я опишем по-подробно. Детерминантата на квадратна матрица x е сума, която съдържа членове и всеки член е продукт на определен брой матрични елементи. В същото време всеки продукт има елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата.

Може да се появи пред определен член, ако елементите на матрицата в продукта вървят по ред (по номер на ред), а броят на инверсиите в пермутацията на набора от номера на колони е нечетен.

По-горе беше споменато, че детерминантата на матрицата се обозначава с или , т.е. детерминантата често се нарича детерминанта.

И така, обратно към формулата:

От формулата се вижда, че детерминантата на матрица от първи ред е елемент от същата матрица.

Изчисляване на детерминанта на матрица от втори ред

Най-често на практика матричната детерминанта се решава с методи от втори, трети и по-рядко от четвърти ред. Помислете как се изчислява детерминантата на матрица от втори ред:

В матрица от втори ред следва, че факториелът. Преди прилагане на формулата

Необходимо е да се определи какви данни получаваме:

2. пермутации на множества: и ;

3. брой инверсии в пермутация : и , тъй като title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. съответни произведения : и .

Оказва се:

Въз основа на горното получаваме формула за изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от втори ред, т.е. x:

Помислете върху конкретен примеркак да изчислим детерминантата на квадратна матрица от втори ред:

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрицата x:

Решение

И така, получаваме , , , .

За да го разрешите, трябва да използвате обсъдената по-рано формула:

Заменяме числата от примера и намираме:

Отговор

Детерминант на матрица от втори ред = .

Изчисляване на детерминанта на матрица от трети ред: пример и решение по формулата

Определение

Детерминантата на матрица от трети ред е числото, получено от девет дадени числа, подредени в квадратна таблица,

Детерминантата от трети ред се намира почти по същия начин като детерминантата от втори ред. Единствената разлика е във формулата. Следователно, ако сте добре запознати с формулата, тогава няма да има проблеми с решението.

Помислете за квадратна матрица от трети ред * :

Въз основа на тази матрица разбираме, че съответно факториелът = , което означава, че се получават общите пермутации

За да приложите правилно формулата, трябва да намерите данните:

И така, общите пермутации на множеството:

Броят на инверсиите в пермутацията и съответните продукти = ;

Брой инверсии в пермутация title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Пермутационни инверсии title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Сега получаваме:

Така получихме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от ред x:

Намиране на матрица от трети ред по правилото на триъгълника (правило на Сарус)

Както бе споменато по-горе, елементите на детерминанта от 3-ти ред са разположени в три реда и три колони. Ако въведете нотацията на общия елемент, тогава първият елемент обозначава номера на реда, а вторият елемент от индексите - номера на колоната. Има главни (елементи) и вторични (елементи) диагонали на детерминантата. Членовете от дясната страна се наричат ​​членове на детерминантата).

Може да се види, че всеки член на детерминантата е в схемата само с един елемент във всеки ред и всяка колона.

Можете да изчислите детерминантата, като използвате правилото на правоъгълника, което е показано като диаграма. Детерминантните членове от елементите на главния диагонал са подчертани в червено, както и членовете от елементите, които са във върха на триъгълници, които имат една страна, са успоредни на главния диагонал (лява диаграма), са взети с знак.

Членовете със сини стрелки от елементите на страничния диагонал, както и от елементите, които са във върховете на триъгълници, които имат страни, успоредни на страничния диагонал (дясна диаграма), се вземат със знака.

В следващия пример ще научим как да изчисляваме детерминантата на квадратна матрица от трети ред.

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрицата от трети ред:

Решение

В този пример:

Ние изчисляваме детерминантата, като използваме формулата или схемата, обсъдена по-горе:

Отговор

Детерминанта на матрица от трети ред =

Основни свойства на матричните детерминанти от трети ред

Въз основа на предишните определения и формули, помислете за основните детерминантни свойства на матрицата.

1. Размерът на детерминантата няма да се промени, когато се заменят съответните редове, колони (такава замяна се нарича транспониране).

Използвайки пример, уверете се, че детерминантата на матрицата е равна на детерминантата на транспонираната матрица:

Спомнете си формулата за изчисляване на детерминантата:

Транспонираме матрицата:

Изчисляваме детерминантата на транспонираната матрица:

Уверихме се, че детерминантата на транспортираната матрица е равна на оригиналната матрица, което показва правилното решение.

2. Знакът на детерминантата ще се промени на противоположния, ако произволни две нейни колони или два реда се сменят в нея.

Да разгледаме един пример:

Дадени са две матрици от трети ред ( x ):

Необходимо е да се покаже, че детерминантите на тези матрици са противоположни.

Решение

В матрицата и в матричните редове са се променили (третият от първия и от първия към третия). Според второто свойство детерминантите на две матрици трябва да се различават по знак. Тоест, едната матрица е положителна, а другата е отрицателна. нека проверим това свойство, като приложим формулата за изчисляване на детерминантата.

Имотът е верен, защото .

3. Детерминантата е равна на нула, ако има еднакви съответни елементи в два реда (колони). Нека детерминантата има еднакви елементи от първата и втората колона:

Разменяйки същите колони, ние, съгласно свойство 2, получаваме нова детерминанта: = . От друга страна, новата детерминанта е същата като оригиналната, тъй като отговорите са същите елементи, т.е. = . От тези равенства получаваме: = .

4. Детерминантата е равна на нула, ако всички елементи на един ред (колона) са нули. Това твърдение произтича от факта, че всеки член на детерминантата съгласно формула (1) има един и само един елемент от всеки ред (колона), който има само нули.

Да разгледаме един пример:

Нека покажем, че детерминантата на матрицата е равна на нула:

Нашата матрица има две еднакви колони (втора и трета), следователно, базирана на даден имот, детерминантата трябва да е нула. Да проверим:

Наистина детерминантата на матрица с две еднакви колони е нула.

5. Общият фактор на елементите на първия ред (колона) може да бъде изваден от детерминантния знак:

6. Ако елементите на един ред или една колона на детерминантата са пропорционални на съответните елементи на втория ред (колона), тогава такава детерминанта е равна на нула.

Наистина, след свойство 5, коефициентът на пропорционалност може да бъде изваден от знака на детерминантата и тогава може да се използва свойство 3.

7. Ако всеки от елементите на редовете (колоните) на детерминантата е сумата от два члена, то тази детерминанта може да бъде дадена като сума от съответните детерминанти:

За да проверите, достатъчно е да напишете в разширен вид според (1) детерминантата, която е от лявата страна на равенството, след което да групирате отделно членовете, които съдържат елементи и , Всяка от получените групи от членове ще бъде първата и втори детерминанти от дясната страна на равенството, съответно.

8. Стойностите на дефиницията няма да се променят, ако съответните елементи на втория ред (колона), умножени по същото число, се добавят към елемента на един ред или една колона:

Това равенство се получава от свойства 6 и 7.

9. Детерминантата на матрицата , , е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.

Тук под означава алгебричното допълнение на матричния елемент . С помощта на това свойство можете да изчислявате не само матрици от трети ред, но и матрици от по-високи редове ( x или x ). С други думи, това е рекурсивна формула, която е необходима, за да се изчисли детерминантата на матрица на всяка поръчка. Запомнете го, тъй като често се използва на практика.

Струва си да се каже, че използвайки деветото свойство, можете да изчислите детерминантите на матрици не само от четвърти ред, но и от по-високи редове. В този случай обаче трябва да извършите много изчислителни операции и да бъдете внимателни, тъй като най-малката грешка в знаците ще доведе до неправилно решение. Матриците от по-високи порядки се решават най-удобно по метода на Гаус и ще говорим за това по-късно.

10. Детерминантата на произведението на матрици от един и същи ред е равна на произведението на техните детерминанти.

Да разгледаме един пример:

Пример

Задача

Уверете се, че детерминантата на двете матрици и е равна на произведението на техните детерминанти. Дадени са две матрици:

Решение

Първо, намираме произведението на детерминантите на две матрици и .

Сега извършваме умножението на двете матрици и по този начин изчисляваме детерминантата:

Отговор

Уверихме се в това

Изчисляване на детерминанта на матрица по метода на Гаус

Матрична детерминантаактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

Упражнение.Изчислете детерминантата, като я разгънете върху елементите на някой ред или колона.

Решение.Нека първо извършим елементарни трансформации на редовете на детерминантата, като направим възможно най-много нули в ред или в колона. За да направите това, първо изваждаме девет трети от първия ред, пет трети от втория и три трети от четвъртия, получаваме:

Разширяваме получения детерминант с елементите на първата колона:

Полученият детерминант от трети ред също се разширява от елементите на реда и колоната, като преди това са получени нули, например в първата колона. За да направите това, изваждаме два втори реда от първия ред и втория от третия:

Отговор.

12. Slough 3 поръчки

1. Правило на триъгълника

Схематично това правило може да бъде представено по следния начин:

Продуктът на елементите в първата детерминанта, които са свързани с линии, се приема със знак плюс; аналогично за втората детерминанта съответните произведения се вземат със знак минус, т.е.

2. Правилото на Сарус

Вдясно от определителя се добавят първите две колони и произведенията на елементите по главния диагонал и по успоредните му диагонали се вземат със знак плюс; и произведенията на елементите на вторичния диагонал и диагоналите, успоредни на него, със знак минус:

3. Разгъване на определителя в ред или колона

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено изберете реда/колоната, в която/та има нули. Редът или колоната, върху които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Упражнение.Разгънете над първия ред, изчислете детерминантата

Решение.

Отговор.

4. Привеждане на определителя в триъгълна форма

С помощта на елементарни трансформации по редове или колони детерминантата се редуцира до триъгълна форма, след което стойността му, според свойствата на детерминантата, е равна на произведението на елементите на главния диагонал.

Пример

Упражнение.Изчислителна детерминанта довеждайки го до триъгълна форма.

Решение.Първо правим нули в първата колона под главния диагонал. Всички трансформации ще бъдат по-лесни за изпълнение, ако елементът е равен на 1. За да направим това, ще разменим първата и втората колона на детерминантата, което според свойствата на детерминантата ще я накара да промени знака на противоположния :

След това получаваме нули във втората колона на мястото на елементите под главния диагонал. И отново, ако диагоналният елемент е равен на , тогава изчисленията ще бъдат по-прости. За да направите това, разменяме втория и третия ред (и в същото време променяме на противоположния знак на детерминантата):

След това правим нули във втората колона под главния диагонал, за това процедираме по следния начин: добавяме три втори реда към третия ред и два втори реда към четвъртия, получаваме:

Освен това от третия ред изваждаме (-10) като определител и правим нули в третата колона под главния диагонал и за това добавяме третия към последния ред:

В хода на решаването на задачи по висша математика много често се налага да изчислява детерминанта на матрицата. Детерминантата на матрица се появява в линейната алгебра, аналитична геометрия, математически анализ и други раздели на висшата математика. По този начин човек просто не може без умението да решава детерминанти. Също така за самопроверка можете да изтеглите безплатно калкулатора на детерминанти, той няма да ви научи как да решавате детерминанти сам, но е много удобен, защото винаги е полезно да знаете правилния отговор предварително!

Няма да давам строго математическо определение на детерминантата и като цяло ще се опитам да минимизирам математическата терминология, това няма да улесни повечето читатели. Целта на тази статия е да ви научи как да решавате детерминанти от втори, трети и четвърти ред. Целият материал е представен в проста и достъпна форма и дори пълен (празен) чайник във висшата математика, след внимателно изучаване на материала, ще може да реши правилно детерминантите.

На практика най-често можете да намерите детерминанта от втори ред, например: , и детерминанта от трети ред, например: .

Детерминанта от четвърти ред също не е антика и ще стигнем до нея в края на урока.

Надявам се всички да разберат следното:Числата вътре в детерминантата живеят сами и за изваждане не може да става дума! Не можете да разменяте номера!

(В частност, възможно е да се извършват по двойки пермутации на редове или колони на детерминанта с промяна на неговия знак, но често това не е необходимо - вижте следващия урок Свойства на детерминанта и понижаване на нейния ред)

Следователно, ако е даден детерминант, тогава не пипайте нищо вътре в него!

Нотация: Ако е дадена матрица , тогава неговата детерминанта се означава с . Също така много често детерминантата се обозначава с латинска буква или гръцка.

1)Какво означава да се реши (намери, разкрие) детерминанта?Да изчислиш детерминантата означава да НАМЕРИШ ЧИСЛОТО. Въпросителните знаци в горните примери са напълно обикновени числа.

2) Сега остава да разберем КАК да намеря този номер?За да направите това, трябва да приложите определени правила, формули и алгоритми, които ще бъдат обсъдени сега.

Да започнем с определителя "две" до "две":

ТОВА ТРЯБВА ДА СЕ ЗАПОМНИ, поне за времето на изучаване на висшата математика в университета.

Нека веднага да разгледаме един пример:

Готов. Най-важното е, НЕ ОБЪРКВАЙТЕ ЗНАЦИТЕ.

Детерминанта на матрицата три по триможе да се отвори по 8 начина, 2 от които са прости и 6 са нормални.

Да започнем с две прости начини

Подобно на детерминантата „две по две“, детерминантата „три по три“ може да бъде разширена с помощта на формулата:

Формулата е дълга и лесно може да се направи грешка поради невнимание. Как да избегнем неудобните грешки? За това е изобретен втори метод за изчисляване на детерминанта, който всъщност съвпада с първия. Нарича се метод на Sarrus или метод на "успоредни ленти".
Долният ред е, че първата и втората колона се приписват отдясно на детерминантата и линиите са внимателно начертани с молив:

Факторите, разположени на "червените" диагонали, се включват във формулата със знак "плюс".
Факторите, разположени на "сините" диагонали, са включени във формулата със знак минус:

Пример:

Сравнете двете решения. Лесно е да се види, че това е СЪЩОТО, просто във втория случай факторите на формулата са леко пренаредени и най-важното е, че вероятността да направите грешка е много по-малка.

Сега разгледайте шестте нормални начина за изчисляване на детерминантата

Защо нормално? Тъй като в по-голямата част от случаите детерминантите трябва да бъдат отворени по този начин.

Както можете да видите, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Можете да решите детерминантата, като я разширите на всеки ред или на която и да е колона.
Така се оказват 6 начина, като във всички случаи се използват от същия типалгоритъм.

Детерминантът на матрицата е равен на сумата от произведенията на елементите на реда (колона) и съответните алгебрични добавки. Страшен? Всичко е много по-просто, ще използваме ненаучен, но разбираем подход, достъпен дори за човек, който е далеч от математиката.

В следващия пример ще разширим детерминантата на първия ред.
За да направим това, имаме нужда от матрица от знаци: . Лесно се вижда, че знаците са разположени шахматно.

внимание! Матрицата от знаци е мое собствено изобретение. Тази концепцияне е научен, не е необходимо да се използва при окончателния дизайн на задачите, той само ви помага да разберете алгоритъма за изчисляване на детерминанта.

Първо ще дам пълното решение. Отново вземаме нашата експериментална детерминанта и извършваме изчисления:

И основен въпрос: КАК да получите това от детерминанта „три по три“:
?

И така, детерминантата „три по три“ се свежда до решаването на три малки детерминанти, или както още се наричат, НЕпълнолетни. Препоръчвам да запомните термина, особено след като е запомнящ се: незначителен - малък.

Веднага след като се избере методът за разширяване на детерминантата на първия ред, явно всичко се върти около него:

Елементите обикновено се разглеждат от ляво на дясно (или отгоре надолу, ако се избере колона)

Хайде, първо се занимаваме с първия елемент на низа, тоест с единицата:

1) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

2) След това пишем самия елемент:

3) МИСЛЕНО задраскайте реда и колоната, в които първият елемент е:

Останалите четири числа образуват определителя "две по две", който се нарича НЕЗНАЧИТЕЛЕНдаден елемент (единица).

Преминаваме към втория елемент на линията.

4) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

5) След това записваме втория елемент:

6) Мислено задраскайте реда и колоната, съдържащи втория елемент:

Е, третият елемент от първия ред. Без оригиналност

7) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

8) Запишете третия елемент:

9) МИСЛЕНО задраскайте реда и колоната, в които е третият елемент:

Останалите четири числа са записани в малка детерминанта.

Останалите стъпки не са трудни, тъй като вече знаем как да броим детерминантите „две по две“. НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАЦИТЕ!

По същия начин детерминантата може да бъде разширена върху всеки ред или колона.Естествено и в шестте случая отговорът е един и същ.

Детерминантата "четири по четири" може да се изчисли по същия алгоритъм.
В този случай матрицата на знаците ще се увеличи:

В следващия пример разширих детерминантата на четвъртата колона:

А как се случи, опитайте се да разберете сами. Повече информация ще дойде по-късно. Ако някой иска да реши детерминантата докрай, правилният отговор е: 18. За обучение е по-добре детерминантата да се отвори в някоя друга колона или друг ред.

Да практикуваш, да разкриваш, да правиш изчисления е много хубаво и полезно. Но колко време ще отделите за голяма детерминанта? Няма ли по-бърз и надежден начин? Предлагам ви да се запознаете с ефективни методипресмятане на детерминанти във втори урок – Свойства на детерминантата. Намаляване на реда на детерминантата.

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!

Тя е равна на сумата от произведенията на елементите на някакъв ред или колона и техните алгебрични допълнения, т.е. , където i 0 е фиксирано.
Изразът (*) се нарича разлагане на детерминантата D по елементите на реда с номер i 0 .

Сервизно задание. Тази услуга е предназначена да намери детерминантата на матрицата онлайн с изпълнението на цялото решение във формат Word. Освен това в Excel се създава шаблон за решение.

Инструкция. Изберете размера на матрицата, щракнете върху Напред. Има два начина за изчисляване на детерминантата: а-приоренИ разлагане по ред или колона. Ако искате да намерите детерминантата, като създадете нули в един от редовете или колоните, тогава можете да използвате този калкулатор.

Алгоритъм за намиране на детерминантата

1. За матрици от ред n=2 детерминантата се изчислява по формулата: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. За матрици от ред n=3 детерминантата се изчислява чрез алгебрични събирания или Метод на Sarrus.
3. Матрица с размерност, по-голяма от три, се разлага на алгебрични добавки, за които се изчисляват техните детерминанти (минори). Например, Детерминанта на матрица от 4-ти редсе намира чрез разширяване в редове или колони (вижте примера).

За изчисляване на детерминантата, съдържаща функции в матрицата, се използват стандартни методи. Например, изчислете детерминантата на матрица от 3-ти ред:

Нека използваме разширението на първия ред.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методи за изчисляване на детерминанти

Намиране на детерминанта чрез алгебрични събиранияе често срещан метод. Неговата опростена версия е изчисляването на детерминантата по правилото на Сарус. При големи размери на матрицата обаче се използват следните методи:

1. изчисляване на детерминантата чрез намаляване на поръчката
2. изчисляване на детерминантата по метода на Гаус (чрез редуциране на матрицата до триъгълна форма).

В Excel за изчисляване на детерминантата се използва функцията = MOPRED (диапазон от клетки).

Приложно използване на детерминанти

Детерминантите се изчисляват, като правило, за конкретна система, дадена под формата на квадратна матрица. Помислете за някои видове задачи намиране на детерминанта на матрицата. Понякога се изисква да се намери неизвестен параметър a, за който детерминантата би била равна на нула. За да направите това, е необходимо да съставите уравнение за детерминантата (например според правило на триъгълника) и като го приравните на 0, изчислете параметъра a .
разлагане по колони (по първата колона):
Малък за (1,1): Изтрийте първия ред и първата колона от матрицата.
Нека намерим детерминанта за този минор. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Нека да определим минора за (2,1): за да направим това, изтриваме втория ред и първата колона от матрицата.

Нека намерим детерминанта за този минор. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Малък за (3,1): Изтрийте 3-ти ред и 1-ва колона от матрицата.
Нека намерим детерминанта за този минор. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Основната детерминанта е: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Нека намерим детерминантата, като използваме разширение по редове (по първия ред):
Малък за (1,1): Изтрийте първия ред и първата колона от матрицата.

Нека намерим детерминанта за този минор. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Малък за (1,2): Изтрийте 1-ви ред и 2-ра колона от матрицата. Нека изчислим детерминантата за този минор. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. И за да намерим второстепенното за (1,3), изтриваме първия ред и третата колона от матрицата. Нека намерим детерминанта за този минор. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Намираме основната детерминанта: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Определение1. 7. Незначителенелемент на детерминантата е детерминантата, получена от дадения чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи избрания елемент.

Нотация: избраният елемент от детерминантата, неговият минор.

Пример. За

Определение1. 8. Алгебрично събиранеелемент от детерминантата се нарича негов минор, ако сумата от индексите на дадения елемент i + j е четно число, или обратното на минор, ако i + j е нечетно, т.е.

Помислете за друг начин за изчисляване на детерминанти от трети ред - така нареченото разширение на ред или колона. За да направим това, доказваме следната теорема:

Теорема 1.1. Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите на всеки от неговите редове или колони и техните алгебрични допълнения, т.е.

където i=1,2,3.

Доказателство.

Ще докажем теоремата за първия ред на детерминантата, тъй като за всеки друг ред или колона можем да проведем подобно разсъждение и да получим същия резултат.

Нека намерим алгебрични добавки към елементите на първия ред:

По този начин, за да се изчисли детерминантата, е достатъчно да се намерят алгебричните допълнения към елементите на всеки ред или колона и да се изчисли сумата от техните продукти по съответните елементи на детерминантата.

Пример. Нека изчислим детерминантата, като използваме разширението в първата колона. Обърнете внимание, че в този случай не е необходимо да търсите, тъй като следователно намираме и следователно

Детерминанти от по-висок порядък.

Определение1. 9. детерминанта от n-ти ред

е сумата от n! членове всеки от които съответства на един от n! подредени множества, получени чрез r двойни пермутации на елементи от множеството 1,2,…,n.

Забележка 1. Свойствата на детерминанти от 3-ти ред са валидни и за детерминанти от n-ти ред.

Забележка 2. На практика детерминантите от висок ред се изчисляват с помощта на разширение на ред или колона. Това прави възможно намаляването на реда на изчислените детерминанти и в крайна сметка свеждане на проблема до намиране на детерминанти от 3-ти ред.

Пример. Изчислете детерминанта от 4-ти ред използвайки разширението във 2-ра колона. За да направим това, намираме:

следователно

Теорема на Лаплас- една от теоремите на линейната алгебра. Тя е кръстена на френския математик Пиер-Симон Лаплас (1749 - 1827), на когото се приписва формулирането на тази теорема през 1772 г., въпреки че специален случай на тази теорема за разширяване на детерминанта в ред (колона) е бил известен на Лайбниц .

завършеноствторостепенен се определя, както следва:

Вярно е следното твърдение.

Броят на второстепенните, върху които се взема сумата в теоремата на Лаплас, е равен на броя на начините за избор на колони от , тоест на биномния коефициент .

Тъй като редовете и колоните на матрицата са еквивалентни по отношение на свойствата на детерминантата, теоремата на Лаплас може да бъде формулирана и за колоните на матрицата.

Разлагане по ред (колона) на детерминантата (следствие 1)

Специален случай на теоремата на Лаплас е широко известен - разширяването на детерминантата в ред или колона. Тя ви позволява да представите детерминантата на квадратна матрица като сбор от продуктите на елементите на който и да е от нейните редове или колони и техните алгебрични допълнения.

Позволявам - квадратна матрицаразмер . Нека също е даден номер на ред или номер на колона от матрицата. Тогава детерминантата може да се изчисли с помощта на следните формули.