Лекция 6

4.6 Детерминанта на произведението на две квадратни матрици.

Произведение на две квадратни матрици нредът винаги е дефиниран. Тук следната теорема е от голямо значение.

Теорема. Детерминантата на продуктовата матрица е равна на произведението на детерминантите на факторните матрици:

Доказателство.Позволявам

И
,

.

Съставете спомагателна определител

.

Съгласно следствието от теоремата на Лаплас имаме:

.

Така,
, ще покажем това
. За да направим това, трансформираме детерминантата, както следва. първо първо П
, добави към
-та колона. Тогава първият Пколони, умножени съответно по
, добави към
-та колона и т.н. На последната стъпка към
-та колона ще бъде добавена първата Пколони, умножени съответно по
. В резултат на това получаваме детерминантата

.

Разширяване на получената детерминанта с помощта на теоремата на Лаплас по отношение на последната Пколони, намираме:

Така че доказахме равенствата
И
, от което следва, че
.

4.7 Обратна матрица

Определение 1 . Нека е дадена квадратна матрица А П-та поръчка. Квадратна матрица
от същия ред се наричат обратенкъм матрицата А, ако , къде д- идентична матрица П-та поръчка.

Изявление. Ако има матрица, обратна на матрицата А, тогава такава матрица е уникална.

Доказателство.Да приемем, че матрицата
не е единствената матрица, обратна на матрицата А. Да вземем друг обратна матрицаБ. Тогава условията

Обмислете продукта
. Има равенствата

от което следва че
. По този начин се доказва уникалността на обратната матрица.

Когато доказваме теоремата за съществуването на обратна матрица, се нуждаем от понятието "присъединена матрица".

Определение 2 . Нека матрицата

.

чиито елементи са алгебрични допълнения елементи матрици А, е наречен приложен матрица до матрица А.

Обърнете внимание, че за да се конструира свързаната матрица СЪСматрични елементи Атрябва да ги замените с алгебрични добавки и след това да транспонирате получената матрица.

Определение 3. квадратна матрица АНаречен неизродени , Ако
.

Теорема. За да матрицата Аимаше обратна матрица
, необходимо и достатъчно е матрицата Абеше неизроден. В този случай матрицата
се определя по формулата

, (1)

Където - алгебрични допълнения на матрични елементи А.

Доказателство.Нека матрицата Аима обратна матрица
. Тогава са изпълнени условията, които предполагат. От последното равенство получаваме, че детерминантите
И
. Тези детерминанти са свързани с релацията
. матрици АИ
неизродени, тъй като техните детерминанти са различни от нула.

Сега нека матрицата Анеизродени. Нека докажем, че матрицата Аима обратна матрица
и се определя по формула (1). За това помислете за работата

матрици Аи прикрепената към него матрица СЪС.

По правилото за матрично умножение елементът върши работа
матрици АИ СЪСима формата: . Тъй като сумата от произведенията на елементите аз-ти ред на алгебричните допълнения на съответните елементи й- ред е нула при
и детерминантата при
. следователно

Където д– матрица на идентичност П-та поръчка. Равенството
. По този начин,

, което означава, че
и матрица е обратната на матрицата А. Следователно, неособената матрица Аима обратна матрица, която се определя по формула (1).

Следствие 1 . Матрични детерминанти АИ
свързани със съотношението
.

Следствие 2 . Основното свойство на асоциираната матрица СЪСкъм матрицата Аизразени

равенства
.

Следствие 3 . Детерминанта на неизродена матрица Аи прикрепената към него матрица

СЪСобвързани с равенство
.

Следствие 3 следва от равенството
и свойства на детерминанти, според които, когато се умножи по П-та степен на това число. В такъв случай

откъдето следва, че
.

Пример. А:

.

Решение.Матрична детерминанта

различен от нула. Следователно матрицата Аима обратна страна. За да го намерим, първо изчисляваме алгебричните допълнения:

,
,
,

,
,
,

,
.

Сега, използвайки формула (1), записваме обратната матрица

.

4.8. Елементарни трансформации над матрици. Алгоритъм на Гаус.

Определение 1. Под елементарни трансформации по-горе размер матрица

разберете следните стъпки.

Умножение на произволен ред (колона) на матрица с всяко ненулево число.

допълнение към всяко аз-ти ред от матрицата на който и да е от нейните й- ред, умножен по произволно число.

допълнение към всяко аз-та колона на матрица на която и да е от нейните й- та колона, умножена по произволно число.

Пермутация на редове (колони) на матрица.

Определение 2. матрици АИ INще се обадим еквивалентен , ако едното от тях може да се трансформира в другото чрез елементарни трансформации. Ще напиша
.

Матричната еквивалентност има следните свойства:

Определение 3 . стъпил наречена матрица Апритежаващи следните свойства:

1) ако аз-ти ред е нула, т.е. се състои само от нули, тогава
-тият низ също е нула;

2) ако първите ненулеви елементи аз-та и
-ти редове са подредени в колони с номера кИ л, Че
.

Пример.матрици

И

са стъпаловидни, а матрицата

не е стъпка.

Нека покажем как, използвайки елементарни трансформации, можем да редуцираме матрицата Акъм стъпаловиден изглед.

Алгоритъм на Гаус . Помислете за матрицата Аразмер
. Без загуба на общост можем да предположим, че
. (Ако в матрицата Аима поне различен от нула елемент, тогава чрез размяна на редовете и след това на колоните можете да гарантирате, че този елемент попада в пресечната точка на първия ред и първата колона.) Нека добавим към втория ред на матрицата Апърво умножено по , към третия ред - първият, умножен по и т.н.

В резултат на това получаваме

.

Скорошни артикули
линии се определят по формулите:

,
,
.

Помислете за матрицата

.

Ако всички матрични елементи тогава са равни на нула

и еквивалентната стъпкова матрица. Ако сред елементите на матрицата поне едно е различно от нула, тогава можем да приемем без загуба на общост, че
(това може да се постигне чрез пренареждане на редовете и колоните на матрицата ). В този случай, трансформиране на матрицата същото като матрицата А, получаваме

съответно,

.

Тук
,
,
.

и
,
, … ,
. В матрицата А Tредове и да го сведете до стъпаловидна форма по посочения начин, ще отнеме не повече от Tстъпки. След това процесът може да приключи к-та стъпка тогава и само ако всички елементи на матрицата

са равни на нула. В такъв случай

и
,
, … ,
.

4.9. Намиране на обратната матрица чрез елементарни трансформации.

За голяма матрица е удобно да се намери обратната матрица, като се използват елементарни трансформации върху матрици. Този метод е както следва. Напишете съставна матрица
и съгласно схемата на метода на Гаус, те се извършват върху редовете на тази матрица (т.е. едновременно в матрицата Аи в матрицата д) елементарни трансформации. В резултат на това матрицата Асе трансформира в матрицата на идентичността и матрицата д- в матрица
.

Пример.Намерете матрица, обратна на матрицата

.

Решение.Нека напишем съставна матрица
и го трансформира с помощта на елементарни низови трансформации в съответствие с метода на Гаус. В резултат на това получаваме:

.

От тези трансформации заключаваме, че

.

4.10 Ранг на матрицата.

Определение. Цяло число rНаречен ранг матрици А, ако има минор от ред r, различни от нула, и всички минори от по-висок порядък rса равни на нула. Рангът на матрицата ще бъде обозначен със символа
.

Рангът на матрицата се изчислява по метода кантиране на малолетни .

Пример.Изчислете ранга на матрица, като използвате метода на незначителни ръбове

.

Решение.

Горният метод не винаги е удобен, т.к. свързани с изчисляването на голям

броя на детерминантите.

Изявление. Рангът на матрицата не се променя при елементарни трансформации на нейните редове и колони.

Посоченото твърдение показва втория начин за изчисляване на ранга на матрица. Нарича се метод на елементарни трансформации . За да намерите ранга на матрица, е необходимо да я доведете до стъпаловидна форма, като използвате метода на Гаус, и след това да изберете максималния ненулев минор. Нека обясним това с пример.

Пример.Използвайки елементарни трансформации, изчислете ранга на матрица

.

Решение.Нека извършим верига от елементарни трансформации в съответствие с метода на Гаус. В резултат на това получаваме верига от еквивалентни матрици.

Теорема. Нека A и B са две квадратни матрици от ред n. Тогава детерминантата на тяхното произведение е равна на произведението на детерминантите, т.е.

| AB | = | A| | B|.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(d) (2n) = | A | | б | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.

Ако покажем, че детерминантата (d) (2n) е равна на детерминантата на матрицата C=AB, тогава теоремата ще бъде доказана.

В (d) (2n) ще направим следните трансформации: към 1 ред добавяме (n + 1) ред, умножен по a11; (n+2) низ, умножен по a12 и т.н. (2n) низ, умножен по (a) (1n) . В получената детерминанта първите n елемента от първия ред ще бъдат нула, а останалите n елемента ще станат така:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

По същия начин получаваме нули в 2, ..., n реда на детерминантата (d) (2n) и последните n елемента във всеки от тези редове ще станат съответните елементи на матрицата C. В резултат на това детерминантата (d) (2n) се трансформира в равен детерминант:

(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Последица. Детерминантата на произведението на краен брой квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

ОБРАТНА МАТРИЦА.

Нека A = (aij) (n x n) е квадратна матрица над полето P.

Определение 1. Матрица A ще се нарича изродена, ако нейният детерминант е равен на 0. В противен случай матрица A ще се нарича неизродена.

Определение 2. Нека А н Pn. Матрица B Î Pn ще се нарича обратна на A, ако AB = BA=E.

Теорема (критерий за обратимост на матрицата) Матрица А е обратима тогава и само тогава, когато е неизродена.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Нека, назад, | A | ¹ 0. Трябва да покажем, че съществува матрица B, така че AB = BA = E. Като B приемаме следната матрица:

където A ij е алгебричното допълнение към елемента a ij . Тогава

Трябва да се отбележи, че резултатът ще бъде единична матрица (достатъчно е да се използват следствия 1 и 2 от теоремата на Лаплас), т.е. AB \u003d E. По същия начин е показано, че BA \u003d E. >

Пример. За матрица A намерете обратната матрица или докажете, че тя не съществува.

det A = -3 Þ съществува обратната матрица. Сега разглеждаме алгебричните добавки.

A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6

A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3

A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1

И така, обратната матрица изглежда така: B = =

Алгоритъм за намиране на обратната матрица за матрица

1. Изчислете det A.

2. Ако е равно на 0, тогава обратната матрица не съществува. Ако det A не е равно

0, разглеждаме алгебричните добавки.

3. Поставяме алгебричните добавки на съответните места.

4. Разделете всички елементи на получената матрица на det A.

СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ.

Определение 1. Уравнение от вида a1x1+ ....+an xn=b , където a, ... ,an са числа; x1, ... ,xn са неизвестни, се нарича линейно уравнение с ннеизвестен.

суравнения с ннеизвестен се нарича система с линейни уравненияс ннеизвестен, т.е.

(1)
Матрицата А, съставена от коефициентите на неизвестните на система (1), се нарича матрица на система (1). .

Ако добавим колона от свободни членове към матрица A, тогава получаваме разширената матрица на система (1).

X = - колона с неизвестни. - колона с безплатни членове.

В матричен вид системата има формата: AX=B (2).

Решението на система (1) е подреденото множество нчисла (α1 ,…, αn), така че ако заместим в (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , тогава получаваме числени идентичности.

Определение 2. Система (1) се нарича консистентна, ако има решения, и неконсистентна в противен случай.

Определение 3. Две системи се наричат ​​еквивалентни, ако множествата на техните решения са еднакви.

Има универсален начин за решаване на система (1) - методът на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни)

Нека разгледаме по-подробно случая, когато s = n. Има метод на Крамер за решаване на такива системи.

Нека d = det,

dj - детерминантата на d, в която j-тата колона е заменена с колона от свободни членове.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Теорема (правило на Крамер). Ако детерминантата на системата е d ¹ 0, тогава системата има уникално решение, получено от формулите:

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

и разгледайте уравнението AX = B (2) с неизвестна колонна матрица X. Тъй като A, X, B са матрици с размери n x n, n x 1, n x 1съответно произведението на правоъгълните матрици AX е дефинирано и има същите размери като матрицата B. Следователно уравнение (2) има смисъл.

Връзката между система (1) и уравнение (2) е това, което е решението на тази система, ако и само ако

колоната е решението на уравнение (2).

Всъщност това твърдение означава, че равенството

Последното равенство, като равенство на матрици, е еквивалентно на системата от равенства

което означава, че е решение на система (1).

Така решението на система (1) се свежда до решение на матричното уравнение (2). Тъй като детерминантата d на матрица A е различна от нула, тя има обратна матрица A -1 . Тогава AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) В z X = A(^-1)B (3). Следователно, ако уравнение (2) има решение, тогава то е дадено с формула (3). От друга страна, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.

Следователно X \u003d A (^-1) B е единственото решение на уравнение (2).

защото,

където A ij е алгебричното допълнение на елемента a ij в детерминантата d, тогава

откъде (4).

В равенство (4) в скоби е записано разлагането по елементи на j-тата колона на детерминантата dj, която се получава от детерминантата d след заместването в нея

j-та колона по колона от свободни членове. Ето защо, xj = dj/d.>

Последица. Ако една хомогенна система от n линейни уравнения от нна неизвестни има ненулево решение, то детерминантата на тази система е равна на нула.

Определение.Произведението на две матрици АИ INнаречена матрица СЪС, чийто елемент, разположен на пресечката аз-ти ред и й-та колона, е равна на сумата от произведенията на елементите аз-ти ред на матрицата Авърху съответните (по ред) елементи й-та колона на матрицата IN.

Това определение предполага формулата за матричния елемент ° С:

Матричен продукт Ада се матрица INозначено AB.

Пример 1Намерете произведението на две матрици АИ б, Ако

,

.

Решение. Удобно е да се намери произведението на две матрици АИ INнапишете като на фиг. 2:

На диаграмата сивите стрелки показват елементите на кой ред от матрицата Апо елементите на коя колона от матрицата INтрябва да се умножи, за да се получат елементите на матрицата СЪС, и цветовете на матричния елемент ° Ссъответните елементи на матриците са свързани АИ б, чиито продукти се добавят за получаване на матричен елемент ° С.

В резултат на това получаваме елементите на произведението на матриците:

Сега имаме всичко, за да запишем произведението на две матрици:

.

Произведение на две матрици ABима смисъл само когато броят на колоните на матрицата Асъвпада с броя на редовете на матрицата IN.

Тази важна функция ще бъде по-лесна за запомняне, ако използвате следните напомняния по-често:

Има още една важна характеристика на произведението на матриците по отношение на броя на редовете и колоните:

В произведението на матрици ABброят на редовете е равен на броя на редовете на матрицата А, а броят на колоните е равен на броя на колоните на матрицата IN .

Пример 2Намерете броя на редовете и колоните на матрица ° С, което е произведение на две матрици АИ бследните размери:

а) 2 X 10 и 10 X 5;

б) 10 X 2 и 2 X 5;

Пример 3Намерете произведение на матрици АИ б, ако:

.

А б- 2. Следователно размерността на матрицата ° С = AB- 2 X 2.

Изчисляване на матрични елементи ° С = AB.

Намерено произведение на матрици: .

Можете да проверите решението на този и други подобни проблеми на калкулатор на матричен продукт онлайн .

Пример 5Намерете произведение на матрици АИ б, ако:

.

Решение. Брой редове в матрицата А- 2, броят на колоните в матрицата б ° С = AB- 2 X 1.

Изчисляване на матрични елементи ° С = AB.

Произведението на матриците ще бъде записано като матрица в колона: .

Можете да проверите решението на този и други подобни проблеми на калкулатор на матричен продукт онлайн .

Пример 6Намерете произведение на матрици АИ б, ако:

.

Решение. Брой редове в матрицата А- 3, броят на колоните в матрицата б- 3. Следователно размерността на матрицата ° С = AB- 3 X 3.

Изчисляване на матрични елементи ° С = AB.

Намерено произведение на матрици: .

Можете да проверите решението на този и други подобни проблеми на калкулатор на матричен продукт онлайн .

Пример 7Намерете произведение на матрици АИ б, ако:

.

Решение. Брой редове в матрицата А- 1, броят на колоните в матрицата б- 1. Следователно, размерът на матрицата ° С = AB- 1 X 1.

Изчислете елемента на матрицата ° С = AB.

Произведението на матриците е матрица от един елемент: .

Можете да проверите решението на този и други подобни проблеми на калкулатор на матричен продукт онлайн .

Софтуерната реализация на произведението на две матрици в C++ е разгледана в съответната статия в блока "Компютри и програмиране".

Матрично степенуване

Повдигането на матрица на степен се дефинира като умножаване на матрица по същата матрица. Тъй като произведението на матриците съществува само когато броят на колоните на първата матрица е същият като броя на редовете на втората матрица, само квадратни матрици могат да бъдат повдигнати до степен. нстепен на матрица чрез умножаване на матрицата по себе си нведнъж:

Пример 8Дадена е матрица. намирам А² и А³ .

Намерете сами произведението на матриците и след това вижте решението

Пример 9Дадена е матрица

Намерете произведението на дадената матрица и транспонираната матрица, произведението на транспонираната матрица и дадената матрица.

Свойства на произведението на две матрици

Имот 1. Произведението на произволна матрица A и единичната матрица E от съответния ред както отдясно, така и отляво съвпада с матрицата A, т.е. AE = EA = A.

С други думи, ролята на единичната матрица в матричното умножение е същата като ролята на единиците в умножението на числата.

Пример 10Уверете се, че свойство 1 е вярно, като намерите произведенията на матрицата

към матрицата на идентичността отдясно и отляво.

Решение. Тъй като матрицата Асъдържа три колони, тогава трябва да намерите продукта AE, Където

-
матрицата на идентичност от трети ред. Да намерим елементите на произведението СЪС = AE :

Оказва се, че AE = А .

Сега да намерим работата EA, Където де единичната матрица от втори ред, тъй като матрицата A съдържа два реда. Да намерим елементите на произведението СЪС = EA :

Теорема.Нека A и B са две квадратни матрици от ред n. Тогава детерминантата на тяхното произведение е равна на произведението на детерминантите, т.е.

| AB | = | A| | B|.

¢ Нека A = (a ij) n x n, B = (b ij) n x n. Да разгледаме детерминантата d 2 n от ред 2n

d 2n = | A | | б | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|.

Ако покажем, че детерминантата d 2 n е равна на детерминантата на матрицата С=AB, то теоремата ще бъде доказана.

Нека направим следните трансформации в d 2 n: добавете (n+1) ред, умножен по 11 към ред 1; (n+2) низ, умножен по 12 и т.н. (2n) низ, умножен по 1 n. В получената детерминанта първите n елемента от първия ред ще бъдат нула, а останалите n елемента ще станат така:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

По същия начин получаваме нули в 2, ..., n реда на детерминантата d 2 n и последните n елемента във всеки от тези редове ще станат съответните елементи на матрицата C. В резултат на това детерминантата d 2 n се трансформира в равен детерминант:

d 2n = | c | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Последица.Детерминантата на произведението на краен брой квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти.

¢ Доказателството е чрез индукция: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Тази верига от равенства е вярна според теоремата. £

Обратна матрица.

Нека A = (a ij) n x n е квадратна матрица над полето Р.

Определение 1.Матрица A ще се нарича изродена, ако нейният детерминант е равен на 0. В противен случай матрица A ще се нарича неизродена.

Определение 2.Нека А н P n . Матрица В О P n ще се нарича обратна на А, ако АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий за обратимост на матрицата).Матрицата A е обратима тогава и само тогава, когато е неизродена.

¢ Нека A има обратна матрица. Тогава AA -1 = E и, прилагайки теоремата за умножение на детерминанти, получаваме | A | | A -1 | = | д | или | A | | A -1 | = 1. Следователно, | A | №0.

Нека, назад, | A | ¹ 0. Трябва да покажем, че съществува матрица B, така че AB = BA = E. Като B приемаме следната матрица:

където A ij е алгебричното допълнение към елемента a ij . Тогава

Трябва да се отбележи, че резултатът ще бъде единична матрица (достатъчно е да се използват следствия 1 и 2 от теоремата на Лаплас § 6), т.е. AB = E. По същия начин се показва, че BA = E. £

Пример.За матрица A намерете обратната матрица или докажете, че тя не съществува.

det A = -3 съществува обратна матрица. Сега разглеждаме алгебричните добавки.

A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6

A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3

A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1

И така, обратната матрица изглежда така: B = =

Алгоритъм за намиране на обратната матрица за матрица А.

1. Изчислете det A.

2. Ако е равно на 0, тогава обратната матрица не съществува. Ако det A не е равно на 0, ние броим алгебрични добавки.

3. Поставяме алгебричните добавки на съответните места.

4. Разделете всички елементи на получената матрица на det A.

Упражнение 1.Разберете дали обратната матрица е еднозначна.

Упражнение 2.Нека елементите на матрицата A са цели рационални числа. Ще бъдат ли елементите на обратната матрица цели рационални числа?

Системи линейни уравнения.

Определение 1.Уравнение от формата a 1 x 1 + ....+a n x n =b , където a, ... ,a n са числа; x 1 , ... ,x n - неизвестно, се нарича линейно уравнение с ннеизвестен.

суравнения с ннеизвестен се нарича система слинейни уравнения с ннеизвестен, т.е.

Матрицата А, съставена от коефициентите на неизвестните на система (1), се нарича матрица на система (1).

.

Ако добавим колона от свободни членове към матрица A, тогава получаваме разширената матрица на система (1).

X = - колона с неизвестни.

Колона с безплатни членове.

В матричен вид системата има формата: AX=B (2).

Решението на система (1) е подреденото множество нчисла (α 1 ,…, α n), така че ако направим заместване в (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , тогава получаваме числени идентичности.

Определение 2.Система (1) се нарича последователна, ако има решения, и непоследователна в противен случай.

Определение 3.Две системи се наричат ​​еквивалентни, ако техните набори от решения са еднакви.

Има универсален начин за решаване на система (1) - методът на Гаус (методът на последователното елиминиране на неизвестните), виж, стр.15.

Нека разгледаме по-подробно случая, когато s = n. Има метод на Крамер за решаване на такива системи.

Нека d = det,

d j - детерминанта d, в която j-тата колона се заменя с колона от свободни членове.

Теорема (правило на Крамер). Ако детерминантата на системата е d ¹ 0, тогава системата има уникално решение, получено от формулите:

x 1 \u003d d 1 / d ... x n \u003d d n / d

¢Идеята на доказателството е да пренапише системата (1) под формата на матрично уравнение. Да сложим

и разгледайте уравнението AX = B (2) с неизвестна колонна матрица X. Тъй като A, X, B са матрици с размери n x n, n x 1, n x 1съответно произведението на правоъгълните матрици AX е дефинирано и има същите размери като матрицата B. Следователно уравнение (2) има смисъл.

Връзката между система (1) и уравнение (2) е това, което е решението на тази система, ако и само ако

колоната е решението на уравнение (2).

Всъщност това твърдение означава, че равенството

=

защото ,

където A ij е алгебричното допълнение на елемента a ij в детерминантата d, тогава

= ,

откъде (4).

В равенство (4) в скоби е разложеното по елементи на j-тата колона на детерминантата d j , която се получава от детерминантата d след замяната в нея

j-та колона по колона от свободни членове. Ето защо, x j = d j / d.£

Последица.Ако една хомогенна система от n линейни уравнения от нна неизвестни има ненулево решение, то детерминантата на тази система е равна на нула.

ТЕМА 3.Полиноми в една променлива.

Детерминантът на матрицата е число, което характеризира квадратната матрица A и е тясно свързано с решението на системи от линейни уравнения. Детерминантата на матрица A се означава с или . На всяка квадратна матрица А от ред n се приписва, съгласно определен закон, изчислено число, наречено детерминанта или детерминанта от n-ти ред на тази матрица. Разгледайте детерминантите от втори и трети ред.

Нека матрицата

,

тогава неговата детерминанта от втори ред се изчислява по формулата

.

Пример.Изчислете детерминантата на матрица A:

Отговор: -10.

Детерминантата от третия ред се изчислява по формулата

Пример.Изчислете детерминантата на матрица B

.

Отговор: 83.

Изчисляването на детерминанта от n-ти ред се основава на свойствата на детерминантата и следната теорема на Лаплас: детерминантата е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (колона) на матрицата и техните алгебрични допълнения:

Алгебрично събиранеелемент е равен , където е елементът минор, получен чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона в детерминантата.

Незначителенредът на елемента от матрицата A е детерминантата на матрицата (n-1)-ти ред, получена от матрицата A чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона.

Пример. Намерете алгебрични допълнения на всички елементи на матрица A:

.

Отговор: .

Пример. Изчислете матричната детерминанта на триъгълна матрица:

Отговор: -15.

Свойства на детерминантите:

1. Ако някой ред (колона) на матрицата се състои само от нули, тогава неговият детерминант е 0.

2. Ако всички елементи на който и да е ред (колона) на матрицата се умножат по число, то неговият детерминант ще бъде умножен по това число.

3. При транспониране на матрица нейният детерминант няма да се промени.

4. При размяна на два реда (колони) на една матрица нейният детерминант променя знака на противоположния.

5. Ако квадратна матрица съдържа два еднакви реда (колони), тогава детерминантата й е 0.

6. Ако елементите на два реда (колони) на една матрица са пропорционални, то детерминантата й е 0.

7. Сумата от произведението на елементите на всеки ред (колона) на матрицата от алгебричните допълнения на елементите на друг ред (колона) на тази матрица е 0.

8. Детерминантата на матрицата няма да се промени, ако елементите на който и да е ред (колона) на матрицата се добавят към елементите на друг ред (колона), предварително умножени по същото число.

9. Сумата от произведенията на произволни числа и алгебричните допълнения на елементите на всеки ред (колона) е равна на детерминанта на матрицата, получена от дадената чрез замяна на елементите на този ред (колона) с числа.

10. Детерминантата на произведението на две квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти.

Обратна матрица.

Определение.Матрицата се нарича обратна на квадратна матрица A, ако, когато тази матрица се умножи по дадената както отдясно, така и отляво, се получава матрицата за идентичност:

.

От определението следва, че само квадратна матрица има обратна; в този случай обратната матрица също е квадратна от същия ред. Ако детерминантата на матрицата е различна от нула, тогава такава квадратна матрица се нарича недегенерирана.

Необходимо и достатъчно условие за съществуването на обратна матрица: Обратна матрица съществува (и е уникална) тогава и само ако оригиналната матрица е неособена.

Първият алгоритъм за изчисляване на обратната матрица:

1. Намерете детерминантата на оригиналната матрица. Ако детерминантата е различна от нула, тогава оригиналната матрица е несингулярна и обратната матрица съществува.

2. Намерете матрицата, транспонирана в A.

3. Намираме алгебричните допълнения на елементите на транспонираната матрица и от тях съставяме присъединената матрица.

4. Изчислете обратната матрица по формулата: .

5. Проверяваме правилността на изчислението на обратната матрица, въз основа на нейната дефиниция .

Пример.

.

Отговор: .

Вторият алгоритъм за изчисляване на обратната матрица:

Обратната матрица може да се изчисли въз основа на следните елементарни трансформации на редовете на матрицата:

Разменете два реда;

Умножаване на матричен ред с всяко различно от нула число;

Добавяне към един ред от матрица на друг ред, умножен по всяко ненулево число.

За да се изчисли обратната матрица за матрицата A, е необходимо да се състави матрицата , след което чрез елементарни трансформации да се приведе матрицата A във формата на матрицата на идентичност E, след което на мястото на матрицата на идентичността получаваме матрицата .

Пример.Изчислете обратната матрица за матрица A:

.

Съставяме матрица B във формата:

.

Елемент = 1 и първият ред, съдържащ този елемент, ще се нарича направляващи. Нека извършим елементарни трансформации, в резултат на които първата колона се трансформира в единична колона с единица в първия ред. За да направите това, към втория и третия ред добавете първия ред, съответно умножен по 1 и -2. В резултат на тези трансформации получаваме:

.

Накрая получаваме

.

Където .

Ранг на матрицата.Рангът на матрица A е най-високият порядък на ненулевите минори на тази матрица. Рангът на матрица A се означава с rang(A) или r(A).

От дефиницията следва: а) рангът на една матрица не превишава най-малката от нейните размери, т.е. r(A) е по-малко или равно на минимума от числата m или n; б) r(A)=0 тогава и само тогава, когато всички елементи на матрицата A са равни на нула; в) за квадратна матрица от n-ти ред r(A)=n тогава и само ако матрицата A е неособена.

Пример: изчислете ранговете на матриците:

.

Отговор: r(A)=1. Отговор: r(A)=2.

Ние наричаме следните матрични трансформации елементарни:

1) Отхвърляне на нулевия ред (колона).

2) Умножение на всички елементи от ред (колона) на матрица с ненулево число.

3) Промяна на реда на редовете (колоните) на матрицата.

4) Добавяне към всеки елемент от един ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.

5) Транспониране на матрица.

Рангът на матрицата не се променя при елементарни матрични трансформации.

Примери: Изчислете матрица , където

; ;

Отговор: .

Пример: Изчисляване на матрица , Където

; ; ; E е матрицата на идентичността.

Отговор: .

Пример: Изчислете детерминанта на матрицата

.

Отговор: 160.

Пример: Определете дали матрица A има обратна и ако има, изчислете я:

.

Отговор: .

Пример: Намерете ранга на матрица

.

Отговор: 2.

2.4.2. Системи линейни уравнения.

Системата от m линейни уравнения с n променливи има формата:

,

където , са произволни числа, наречени съответно коефициенти на променливите и свободни членове на уравненията. Решението на система от уравнения е такъв набор от n числа (), при заместването на които всяко уравнение на системата се превръща в истинско равенство.

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма решения. Обединена система от уравнения се нарича определена, ако има единствено решение, и неопределена, ако има повече от едно решение.

Теорема на Крамър:Нека - детерминантата на матрицата A, съставена от коефициентите на променливите "x", и - детерминантата на матрицата, получена от матрицата A чрез замяна на j-тата колона на тази матрица с колона от свободни членове. Тогава, ако , то системата има единствено решение, определено по формулите: (j=1, 2, …, n). Тези уравнения се наричат ​​формули на Крамер.

Пример.Решете системи от уравнения, като използвате формулите на Крамер:

Отговори: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Метод на Гаус- методът за последователно елиминиране на променливи се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последните променливи по номер.

Пример: Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Отговори: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

За последователни системи от линейни уравнения са верни следните твърдения:

· ако рангът на матрицата на съвместната система е равен на броя на променливите, т.е. r = n, тогава системата от уравнения има единствено решение;

ако рангът на матрицата на ставната система по-малко от числопроменливи, т.е. r

2.4.3. Технология за извършване на операции върху матрици в среда EXCEL.

Нека разгледаме някои аспекти на работата с процесора за електронни таблици на Excel, които ни позволяват да опростим изчисленията, необходими за решаване на проблеми с оптимизацията. Процесорът за електронни таблици е софтуерен продукт, предназначен да автоматизира обработката на данни в таблична форма.

Работа с формули.В програмите за електронни таблици формулите се използват за извършване на много различни изчисления. С помощта на Excel можете бързо да създадете формула. Формулата има три основни части:

знак за равенство;

Оператори.

Използване във формули за функции. За да улесните въвеждането на формули, можете да използвате функциите на Excel. Функциите са формули, вградени в Excel. За да активирате определена формула, натиснете бутоните Поставете, Функции.В прозореца, който се появява Съветник за функциивляво има списък с типове функции. След като изберете типа, вдясно ще се появи списък със самите функции. Изборът на функции се извършва чрез щракване на бутона на мишката върху съответното име.

Когато извършвате операции върху матрици, решавате системи от линейни уравнения, решавате оптимизационни задачи, можете да използвате следните функции на Excel:

MULTIPLE - матрично умножение;

TRANSPOSE - матрично транспониране;

МОПРЕД - изчисляване на детерминантата на матрицата;

MOBR - изчисляване на обратната матрица.

Бутонът е на лентата с инструменти. Функциите за извършване на операции с матрици са в категорията Математически.

Умножение на матрица с функция МУМНОЖ . Функцията MULTIP връща произведението на матриците (матриците се съхраняват в масиви 1 и 2). Резултатът е масив със същия брой редове като масив 1 и същия брой колони като масив 2.

Пример.Намерете произведението на две матрици A и B в Excel (вижте Фигура 2.9):

; .

Въведете матрици A в клетки A2:C3 и B в клетки E2:F4.

Изберете диапазона от клетки за резултата от умножението - H2:I2.

Въведете формулата за умножение на матрица =MMULT(A2:C3, E2:F4).

Натиснете CTRL+SHIFT+ENTER.

Изчисления на обратната матрица с помощта на функцията NIBR.

Функцията MIN връща обратното на матрица, съхранена в масив. Синтаксис: NBR(масив). На фиг. 2.10 е показано решението на примера в среда на Excel.

Пример.Намерете матрицата, обратна на дадената:

.

Фигура 2.9. Изходни данни за матрично умножение.