Уравнение на повърхнина и уравнение на линия в пространството. Алгебрични повърхнини от първи ред Равнината като алгебрична повърхнина от първи ред

В следващите раздели се установява, че повърхностите от първи ред са равнини и само равнини и се разглеждат различни форми на записване на уравненията на равнините.

198. Теорема 24. В декартовите координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен.

Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разглеждаме произволна равнина a и доказваме, че тази равнина се определя от уравнение от първа степен. Качете се на самолета до някаква точка М 0 (d: 0; y 0; z0); Освен това избираме всеки вектор (само не равен на нула!), Перпендикулярен на равнината a. Избраният вектор ще бъде обозначен с буквата p, неговите проекции върху координатните оси- букви A, B, C.

Нека M(x; y; z) е произволна точка. Той лежи на равнината a тогава и само ако векторът MqM е перпендикулярна на вектора n. С други думи, точката W, лежаща на равнината a, се характеризира с условието:

Получаваме уравнението на равнината a, ако изразим това условие по отношение на координатите x, y, z. За тази цел записваме координатите на векторите M 0M и th:

M 0M \u003d (x-x 0; y-y 0; z-z0), P \u003d (A; B; C).

Според бр.165 знак за перпендикулярност на два вектора е равенството на нула на скаларния им продукт, т.е. сумата от продуктите по двойки на съответните координати на тези вектори. Така че М 0M J_ p тогава и само ако

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Това е желаното уравнение на равнината a, тъй като то е удовлетворено от координатите x, y, z точка M тогава и само ако M лежи в равнината a (т.е. когато lui j_").

Отваряйки скобите, представяме уравнението(1) като

Ah + By + Cz + (- A x 0 - Wu 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Виждаме, че равнината a наистина се определя от уравнение от първа степен. Теоремата е доказана.

199. Всеки (не равен на нула) вектор, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален към нея вектор. Използвайки това име, можем да кажем, че уравнението

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (x 0; y 0; z0) и с нормален вектор n- (A; B; СЪС). Типово уравнение

Ax + Vy-\- Cz + D = 0

се нарича общо уравнение на равнината.

200. Теорема 25. В декартовите координати всяко уравнение от първа степен определя равнина.

Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разглеждаме произволно уравнение от първа степен

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Когато казваме „произволно“ уравнение, имаме предвид, че коефициентите A, B, C,д могат да бъдат всякакви числа, но, разбира се, без

случай на едновременно равенство на нула на трите коефициента A, B, C. Трябва да докажем, че уравнението(2) е уравнението на някаква равнина.

Нека lg 0, y 0, r 0- всяко решение на уравнението(2), т.е. тройка числа, която удовлетворява това уравнение *). Заместване на числата за 0,z0 вместо текущите координати в лявата страна на уравнението(2), получаваме аритметичното тъждество

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Извадете от уравнението(2) идентичност (3). Ще получим уравнението

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

което според предишното е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (jc0; y 0; z0) и има нормален вектор n - (A; B; C). Но уравнението(2) е еквивалентно на уравнението(1), тъй като уравнението(1) получено от уравнението(2) чрез почленно изваждане на тъждеството(3) и уравнение (2) на свой ред се получава от уравнението(1) чрез добавяне на идентичността термин по термин(3). Следователно уравнението(2) е уравнение в същата равнина.

Доказахме, че произволно уравнение от първа степен определя равнина; така теоремата е доказана.

201. Повърхностите, които в "декартовите координати се определят от уравнения от първа степен, се наричат, както знаем, повърхности от първи ред. Използвайки тази терминология, можем да изразим установените резултати, както следва:

Всяка равнина е повърхност от първи ред; всяка повърхност от първи ред е равнина.

Пример. Напишете уравнение за равнина, която минава през точка afe(l; 1; 1) перпендикулярно на вектора i*=( 2; 2; 3}.

Решение Съгласно кла 199 изискваното уравнение е

2(*- 1) +2 (y -1) +3 (g -1) \u003d 0,

или

2x + 2y + 3r - 7 = 0.

*) Уравнение (2), като всяко уравнение от първа степен с три неизвестни, то има безкрайно много решения. За да намерите един от тях, трябва да присвоите числени стойности на две неизвестни и след това да намерите третото неизвестно от уравнението.

202. За да завършим този раздел, доказваме следното предложение: ако две уравнения Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 и A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 определят една и съща равнина, тогава техните коефициенти са пропорционални.

Наистина, в този случай векторите nx = (A 1; Bx \ и n 2 - (/ 42; B 2 ; Cr) са перпендикулярни на една равнина, следователно, колинеарни един на друг. Но тогава, съгласно ал 154 числа Ab B 2, C 2 са пропорционални на числата A1r B1rCx; означавайки коефициента на пропорционалност с p, имаме: A 2-A 1c, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Нека M 0 (x 0; y 0 ; ^-която и да е точка от равнината; нейните координати трябва да удовлетворяват всяко от тези уравнения, така че Axx 0 + Vhu 0

Cxz0 = 0 и A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Умножаваме първото от тези равенства по p. и извадете от второто; получаваме D2-Djp = 0. Следователно Dx-Dx\i и

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1^

Така нашето твърдение е доказано.

1.7.1. Самолет.

Да разгледаме произволна равнина P в декартова основа и нормалния вектор (перпендикулярен) към нея `n (A, B, C). Вземете в тази равнина произволна фиксирана точка M0(x0, y0, z0) и текуща точка M(x, y, z).

Очевидно ?`n = 0 (1,53)

(виж (1.20) за j = p /2). Това е уравнението на равнината във векторна форма. Преминавайки към координатите, получаваме общото уравнение на равнината

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Може да се покаже, че в декартови координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен и обратното, всяко уравнение от първа степен дефинира равнина (т.е. равнината е повърхност от първи ред, а повърхността от първи ред е равнина).

Разгледайте някои специални случаи на местоположението на равнината, дадено от общото уравнение:

A \u003d 0 - успоредно на оста Ox; B \u003d 0 - успоредно на оста Oy; C \u003d 0 - успоредно на оста Oz. (Такива равнини, перпендикулярни на една от координатните равнини, се наричат проектиращи); D = 0 - преминава през началото; A = B = 0 - перпендикулярна на оста Oz (успоредна на равнината xOy); A = B = D = 0 - съвпада с равнината xOy (z = 0). Всички други случаи се анализират по подобен начин.

Ако D? 0, тогава, разделяйки двете части на (1.54) на -D, можем да доведем уравнението на равнината до формата: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Съотношението (1.55) се нарича уравнение на равнина в сегменти; a, b, c са абсцисата, ординатата и апликата на пресечните точки на равнината с осите Ox, Oy, Oz и |a|, |b|, |c| са дължините на отсечките, отсечени от равнината на съответните оси от началото.

Умножаване на двете страни на (1,54) по нормализиращия фактор (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

където cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm са косинусите на посоката на нормалата към равнината, p е разстоянието до равнината от началото.

Нека разгледаме основните съотношения, използвани при изчисленията. Ъгълът между равнините A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 може лесно да се определи като ъгъл между нормалите на тези равнини `n1 (A1, B1, C1) и

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

От (1.57) е лесно да се получи условието за перпендикулярност

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

и паралелизъм (1.59) равнини и техните нормали.

Разстояние от произволна точка M0(x0, y0, z0) до равнината (1.54)

се определя от израза: (1.60)

Уравнение на равнина, минаваща през три дадени точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) се записва най-удобно, като се използва условието за компланарност (1.25) на вектори, където M(x, y, z) е текущата точка на равнината.

(1.61)

Представяме уравнението за сноп от равнини (т.е.

Набори от равнини, преминаващи през една права линия) - удобно е да се използва в редица проблеми.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Където l Î R, а в скоби са уравненията на произволни две равнини на гредата.

Контролни въпроси.

1) Как да проверим дали дадената точка лежи върху повърхността, дадена от даденото уравнение?

2) Каква е характерната особеност, която отличава уравнението на равнина в декартова координатна система от уравнението на други повърхности?

3) Как е равнината спрямо координатната система, ако нейното уравнение не съдържа: а) свободен член; б) една от координатите; в) две координати; г) една от координатите и свободен срок; д) две координати и свободен термин?

1) Дадени са точки М1(0,-1,3) и М2(1,3,5). Напишете уравнението на равнината, минаваща през точка M1 и перпендикулярна на вектора Изберете верният отговор:

а) ; б) .

2) Намерете ъгъла между равнините и . Изберете верният отговор:

а) 135o, б) 45o

1.7.2. Направо. Равнини, чиито нормали не са колинеарни или се пресичат, уникално определяйки линията като линия на тяхното пресичане, което се записва, както следва:

През тази линия могат да се начертаят безкрайно много равнини (молив от равнини (1.62)), включително тези, които я проектират върху координатните равнини. За да се получат техните уравнения, е достатъчно да се преобразува (1.63), като се елиминира едно неизвестно от всяко уравнение и се редуцират, например, до формата (1.63`).

Нека поставим задачата - да начертаем права линия през точката M0 (x0, y0, z0) успоредна на вектора `S (l, m, n) (нарича се водач). Вземете произволна точка M(x, y, z) на желаната права. Вектори и трябва да бъде колинеарен, откъдето получаваме каноничните уравнения на правата.

(1,64) или (1.64`)

където cosa, cosb, cosg са насочващите косинуси на вектора `S. От (1.64) лесно се получава уравнението на права линия, минаваща през дадените точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) (тя е успоредна )

Или (1,64``)

(Стойностите на дробите в (1.64) са равни за всяка точка от правата и могат да бъдат означени с t, където t R. Това ви позволява да въведете параметричните уравнения на правата линия

Всяка стойност на параметъра t съответства на набор от координати x, y, z на точка от линията или (в противен случай) - стойностите на неизвестните, които отговарят на уравненията на линията).

Използвайки вече известните свойства на векторите и операциите върху тях и каноничните уравнения на права линия, е лесно да се получат следните формули:

Ъгъл между линиите: (1.65)

Условие за паралелизъм (1.66).

перпендикулярност l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) линии.

Ъгъл между права и равнина (получава се лесно чрез намиране на ъгъла между правата и нормалата към равнината, което се събира до необходимото p / 2)

(1.68)

От (1.66) получаваме условието за паралелност Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярност (1.70) на права и равнина. Необходимото и достатъчно условие две прави да бъдат в една равнина може лесно да се получи от условието за компланарност (1.25).

(1.71)

Контролни въпроси.

1) Какви са начините за задаване на права линия в пространството?

1) Напишете уравненията на права линия, минаваща през точка A (4,3,0) и успоредна на вектора Посочете верния отговор:

а) ; б) .

2) Напишете уравненията на правата, минаваща през точките A(2,-1,3) и B(2,3,3). Посочете верния отговор.

а) ; б) .

3) Намерете пресечната точка на правата с равнината: , . Посочете верния отговор:

а) (6,4,5); б) (6, -4,5).

1.7.3. Повърхнини от втори ред. Ако линейно уравнениев триизмерна декартова основа уникално дефинира равнина, която и да е нелинейно уравнение, съдържаща x, y, z описва друга повърхност. Ако уравнението изглежда така

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, тогава той описва повърхност от втори ред (общо уравнение на повърхността от втори ред). Чрез избиране или трансформиране на декартови координати уравнението може да бъде опростено възможно най-много, което води до една от следните форми, описващи съответната повърхност.

1. Канонични уравнения на цилиндри от втори ред, чиито генератори са успоредни на оста Oz, и съответните криви от втори ред, лежащи в равнината xOy, служат като водачи:

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

съответно елиптични, хиперболични и параболични цилиндри.

(Припомнете си, че цилиндрична повърхност се нарича повърхност, получена чрез преместване на права линия, наречена генератора, успоредна на себе си. Линията на пресичане на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на генератора, се нарича водач - тя определя формата на повърхността).

По аналогия могат да се запишат уравненията на същите цилиндрични повърхности с генератори, успоредни на оста Oy и оста Ox. Водачът може да се определи като пресечна линия на повърхността на цилиндъра и съответната координатна равнина, т.е. система от уравнения от вида:

2. Уравнения на конус от втори ред с връх в началото:

(1.75)

(осите на конуса са съответно осите Oz, Oy и Ox)

3. Канонично уравнение на елипсоида: (1.76);

Специални случаи са например елипсоидите на революцията - повърхността, получена чрез завъртане на елипсата около оста Oz (Когато

а > с елипсоидът е компресиран, за a x2 + y2+ z2 + = r2 е уравнението на сфера с радиус r с център в началото).

4. Канонично уравнение на еднослоен хиперболоид

(знакът “-” може да стои пред който и да е от трите члена от лявата страна - това променя само позицията на повърхността в пространството). Частни случаи са например еднолистните хиперболоиди на революцията е повърхността, получена чрез завъртане на хиперболата около оста Oz (въображаемата ос на хиперболата).

5. Канонично уравнение на двуслоен хиперболоид

(знакът „-“ може да се постави пред който и да е от трите термина от лявата страна).

Частни случаи са двуслойни хиперболоиди на въртене, например повърхност, получена чрез въртене на хипербола около оста Oz (истинската ос на хиперболата).

6. Канонично уравнение на елиптичен параболоид

(p >0, q >0) (1,79)

7. Канонично уравнение на хиперболичен параболоид

(p >0, q >0) (1,80)

(променливата z може да смени местата си с която и да е от променливите x и y - позицията на повърхността в пространството ще се промени).

Обърнете внимание, че е лесно да получите представа за характеристиките (формата) на тези повърхности, като разгледате участъци от тези повърхности с равнини, перпендикулярни на координатните оси.

Контролни въпроси.

1) Какъв набор от точки в пространството определя уравнението?

2) Какви са каноничните уравнения на цилиндри от втори ред; конуси от втори ред; елипсоид; еднолистов хиперболоид; двулистов хиперболоид; елипсовиден параболоид; хиперболичен параболоид?

1) Намерете центъра и радиуса на сферата и посочете верния отговор:

а) С (1,5; -2,5; 2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;

2) Определете вида на повърхността, дадена от уравненията: . Посочете верния отговор:

а) еднолистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

б) двулистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

Лекция 2. Равнината като повърхнина от първи ред. Равнинни уравнения и тяхното изследване. Права линия в пространството взаимно споразумениеправи в пространството, равнина и права в пространството. Права на равнина, уравнения на права на равнина, разстояние от точка до права на равнина. Криви от втори ред; извеждане на канонични уравнения, изследване на уравнения и конструиране на криви. Повърхности от втори ред, изследване на канонични уравнения на повърхности. Метод на раздела. 1

Елементи на аналитичната геометрия § 1. Равнина. Имаме OXYZ и някаква повърхност S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Определение 1: уравнение с три променливи се нарича уравнение на повърхност S в пространството, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща на повърхността, а не по координатите няма точка, лежаща върху нея. 2

Пример. Уравнението (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) определя сфера с център в точка C(a, b, c) и радиус R. M M( x , y, z) е променлива точка M ϵ (S) |CM| = RC 3

Определение 2: Повърхност S се нарича повърхност от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен F(x, y, z) = 0 (1) В примера ( S) - кръг, повърхност от втори ред. Ако S е повърхност от n-ти ред, тогава F(x, y, z) е полином от n-та степен по отношение на (x, y, z). Разгледайте единствената повърхност от 1-ви ред - равнината. Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през точката M (x, y, z), с нормалния вектор 4

Нека M(x, y, z) е произволна (текуща) точка от равнината. M M 0 О α или в координатна форма: (2) Уравнение (2) - уравнението на равнината, минаваща през точката M с дадения нормален вектор. 5

D (*) (3) - пълно уравнение на равнината Непълно уравнение на равнината. Ако в уравнение (3) няколко коефициента (но не A, B, C едновременно) = 0, тогава уравнението се нарича непълно и равнината α има особености в местоположението. Например, ако D = 0, тогава α минава през началото. 6

Разстоянието от точката M 1 до равнината α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 се прилага към точката M 0 K 7

- разстояние от точката M 1 до равнината α Уравнение на равнината "в сегменти" Нека направим уравнението на равнината, отрязваща ненулеви сегменти по координатните оси със стойности C (0, 0, c) a, b, c. Нека вземем B(0, b, 0) като уравнение за точка A с A(a, 0, 0) 8

- уравнение на равнината α "в сегменти" - уравнение на равнината, минаваща през точка А, перпендикулярна на нормалния вектор 9

§ 2. Общо уравнение на права линия. Правата линия в пространството може да бъде определена от пресечната точка на 2 равнини. (1) уравнение на права линия Система от вида (1) определя права линия в пространството, ако коефициентите A 1, B 1, C 1 са едновременно непропорционални на A 2, B 2, C 2. 10

Параметрични и канонични уравнения на права - произволна точка права точка M M 0 Параметрично уравнение t - параметър 11

Елиминирайки t, получаваме: - каноничното уравнение Система (3) определя движението на материална точка, праволинейна и равномерно от началната позиция M 0(x 0, y 0, z 0) със скорост в посока на вектора . 12

Ъгъл между линиите в пространството. Условия на успоредност и перпендикулярност. Нека две прави L 1, L 2 в пространството са дадени чрез техните канонични уравнения: Тогава проблемът за определяне на ъгъла между тези прави се свежда до определяне на ъгъла

техните насочващи вектори: Използвайки дефиницията на скаларното произведение и израза в координатите на посоченото скаларно произведение и дължините на векторите q 1 и q 2, намираме: 15

Условието за паралелност на линиите l 1 и l 2 съответства на колинеарността на q 1 и q 2, се състои в пропорционалността на координатите на тези вектори, т.е. има формата: Условието за перпендикулярност следва от определението на скалара произведение и равенството му на нула (при cos = 0) и има формата: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Ъгълът между права и равнина: условия за успоредност и перпендикулярност на права и равнина Разгледайте равнината P, дадена от общото уравнение: Ax + By + Cz + D = 0, и правата L, дадена от каноничната уравнение: 17

Тъй като ъгълът между правата L и равнината P е комплементарен на ъгъла между насочващия вектор на правата q = (l, m, n) и нормалния вектор на равнината n = (A, B, C), тогава от дефиницията на скаларното произведение q n = q n cos и равенствата cos = sin (= 90 -), получаваме: 18

Условието за паралелност на правата L и равнината P (което включва факта, че L принадлежи на P) е еквивалентно на условието за перпендикулярност на векторите q и n и се изразява = 0 на скаларното произведение на тези вектори: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Условието за перпендикулярност на правата L и равнината P е еквивалентно на условието за успоредност на векторите n и q и се изразява чрез пропорционалността на координатите на тези вектори: 19

Условия две прави да принадлежат на една и съща равнина Две прави в пространството L 1 и L 2 могат: 1) да се пресичат; 2) да са успоредни; 3) кръстосват се. В първите два случая правите L 1 и L 2 лежат в една и съща равнина. Нека установим условието за принадлежност към една и съща равнина на две прави, дадени от канонични уравнения: 20

Очевидно, за да принадлежат двете посочени прави на една и съща равнина, е необходимо и достатъчно три вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), са копланарни, за което от своя страна е необходимо и достатъчно смесеното произведение на тези три вектора = 0. 21

записване смесени произведенияна посочените вектори в координати, получаваме необходимото и достатъчно условие за принадлежност на две прави L 1 и L 2 към една и съща равнина: 22

Условие правата да принадлежи на равнина Нека има права и равнина Ax + Vy + Cz + D = 0. Тези условия имат формата: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 и Al + Bm + Cn = 0, първото от които означава, че точката M 1 (x1, y1, z 1), през която минава правата, принадлежи на равнината, а второто е условието за успоредност на правата и равнината. 23

Криви от втори ред. § 1. Концепцията за уравнението на права върху равнина. Уравнението f (x, y) = 0 се нарича уравнение на правата L в избраната координатна система, ако е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата, а не от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Права L се нарича права от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен по отношение на x и y. Познаваме единствената линия от 1-ви ред - права линия: Ax + By + D = 0 Ще разгледаме криви от 2-ри ред: елипса, хипербола, парабола. Общото уравнение на линиите от 2-ри ред е: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Елипса (E) Определение. Елипса - съвкупността от всички точки на равнината, чиято сума от разстоянията до две фиксирани точки на равнината F 1 и F 2, наречени фокуси, е константа и е по-голяма от разстоянието между фокусите. Означаваме константата 2 a, разстоянието между фокусите 2 c. Нека начертаем оста X през фокусите, (a > c, a > 0, c > 0). оста Y през средните точки на фокусното разстояние. Нека M е произволна точка от елипсата, т.е. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), където r 1, r 2 са фокални 27 радиуса на E.

Записваме (1) в координатна форма: (2) Това е уравнението на елипса в избраната координатна система. Опростявайки (2), получаваме: b 2 = a 2 - c 2 (3) е каноничното уравнение на елипсата. Може да се покаже, че (2) и (3) са еквивалентни: 28

Изследване на формата на елипса според каноничното уравнение 1) Елипса е крива от 2-ри ред 2) Симетрия на елипса. тъй като x и y са включени в (3) само в четни степени, то елипсата има 2 оси и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с избраните координатни оси и точка O. 29

3) Местоположението на елипсата Тоест цялото E е разположено вътре в правоъгълник, чиито страни са x = ± a и y = ± b. 4) Пресичане с оси. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: върховете на елипсата C OC: B 1(0; b); B2(0;-b); Поради симетрията на елипсата, ще разгледаме нейното поведение (↓) само през първото тримесечие. тридесет

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Решаване на (3) по отношение на y, получаваме: в първия квадрант x > 0 и елипсата намалява."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Хипербола (G) Определение: Г е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията на които до 2 фиксирани точки на равнината F 1 , F 2 е постоянна стойност и

Опростявайки (1): (2) е каноничното уравнение на G. (1) и (2) са еквивалентни. Изследване на хипербола според каноничното уравнение 1) Г-линия от 2-ри ред 2) Г има две оси и един център на симетрия, които в нашия случай съвпадат с координатните оси и началото. 3) Местоположението на хиперболата. 34

Хиперболата се намира извън лентата между правите x = a, x = -a. 4) Точки на пресичане с оси. OX: OY: няма решения A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – реални върхове на Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - имагинерни върхове Г 2 a - реална ос Г 2 b - имагинерна ос Г 35

5) Асимптоти на хипербола. По силата на симетрията на Γ, нека разгледаме неговата част в първата четвърт. Разрешавайки (2) по отношение на y, получаваме: уравнението Г в I четвърт x ≥ 0 съответстваща точка Γ, т.е. в първата четвърт Γ лежи под тази линия. Всички Г лежат във вертикален ъгъл със страни 36

6) Може да се покаже, че в първата част G нараства 7) Планът за изграждане на G

Парабола (P) Разгледайте d (директриса) и F (фокус) върху равнина. Определение. P - множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от правата d и точката F (фокус) 39

d-директриса F-фокус XOY точка MP P след това |MF| = |MN| (1) P уравнение, избрано в координатната система Опростявайки (1) получаваме y 2 = 2 px (2) – P каноничното уравнение.

Изследвайте P според каноничното уравнение x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Цилиндрите. Цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на координатните оси. През точката x на правата L прекарваме права, успоредна на оста OZ. Повърхността, образувана от тези линии, се нарича цилиндрична повърхност или цилиндър (C). Всяка права, успоредна на оста OZ, се нарича образуваща. l - водач на цилиндричната повърхност на равнината XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Нека M(x, y, z) е произволна точка от цилиндричната повърхност. Ние го проектираме върху L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, че е, координатите M удовлетворяват (1) очевидно е, че ако M е C, то не е проектирано към точката M 0 ϵ L и следователно координатите на M няма да удовлетворяват уравнение (1), което определя C с образуваща, успоредна на оста OZ в пространството. По същия начин можем да покажем, че: Ф(x, z) = 0 в пространството Ц || OY 43 (y, z) = 0 дефинира в пространството Ц || ОХ

Проекция на пространствена линия върху координатна равнина Правата в пространството може да бъде зададена параметрично и чрез пресичане на повърхности. Една и съща линия може да бъде дадена от ∩ различни повърхности. Нека пространствената линия L е дадена от ∩ на две повърхности α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Нека намерим проекцията на L върху равнината XOY от уравнение (1) изключим Z. Получаваме уравнението: Z(x, y) = 0 – в пространството това е уравнението Ц с генератор || OZ и ръководство L. 46

Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Повърхнини от втори ред Елипсоид – каноничното уравнение на повърхнината има вида: 1) Елипсоид – повърхнина от втори ред. 2) X, Y, Z влизат в уравнението само в четни степени => повърхността има 3 равнини и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с координатните равнини и началото. 47

3) Местоположение на елипсоида Повърхността е затворена между || равнини с уравненията x = a, x = -a. По същия начин, т.е. цялата повърхност е затворена в правоъгълен паралелепипед. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Ще изследваме повърхността по метода на сеченията - пресичане на повърхността с координатни равнини || координирам. В участъка ще получим линии, по формата на които ще преценим формата на повърхността. 48

Пресичаме повърхността с равнината XOY. В секцията получаваме линия. - елипса a и b - полуоси Аналогично с равнината YOZ - елипса с полуоси b и c Равнинна || XOY Ако h(0, c), тогава осите на елипсата намаляват от a и b до 0. 49

a = b = c - сфера Параболоиди a) Хиперболичен параболоид е повърхност с канонично уравнение: 1) Повърхност от втори ред 2) Тъй като x, y влизат в уравнението само в четни степени, повърхността има равнини на симетрия, които съвпадат с a даден избор на координати с 50 равнини XOZ, YOZ.

3) изследваме повърхността по метода на разрез седло pl. XOZ В напречно сечение парабола, симетрична на оста OZ, възходяща. кв. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY за h > 0 хипербола, с реална полуос по протежение на OX, за h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

б) двуслоен хиперболоид 1) повърхнина от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) местоположение на повърхнината x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Повърхнината се състои от две части, разположени извън лентата между равнините с уравненията x = a, x = -a 4) изучаваме по метода на сеченията (Независимо!) 57

Конус от втори ред Конус от втори ред е повърхност, чието канонично уравнение има формата: 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) изучаваме метода на сеченията pl. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ sq. YOZ двойка линии , преминавайки през"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

С тази разлика, че вместо "плоски" графики, ще разгледаме най-често срещаните пространствени повърхности и ще се научим как правилно да ги изграждаме на ръка. От доста време търсих софтуерни инструменти за изграждане на 3D чертежи и намерих няколко добри приложения, но въпреки цялата лекота на използване, тези програми не решават добре важен практически проблем. Факт е, че в обозримо историческо бъдеще учениците все още ще бъдат въоръжени с линийка с молив и дори да имат висококачествена „машинна“ рисунка, мнозина няма да могат да я прехвърлят правилно на карирана хартия. Ето защо в ръководството за обучение се обръща специално внимание на техниката на ръчно конструиране, а значителна част от илюстрациите на страницата са ръчно изработени продукти.

Как този референтен материал се различава от аналозите?

С приличен практически опит знам много добре кои повърхности най-често се разглеждат в реални проблеми на висшата математика и се надявам, че тази статия ще ви помогне бързо да попълните багажа си със съответните знания и приложни умения, които са 90-95% от случаите трябва да е достатъчно.

Какво трябва да можете този момент?

Най-елементарното:

Първо, трябва да можете изградете правилнопространствена декартова координатна система (вижте началото на статията Графики и свойства на функциите) .

Какво ще спечелите след като прочетете тази статия?

Бутилка След като усвоите материалите от урока, ще научите как бързо да определяте вида на повърхността по нейната функция и / или уравнение, да си представите как се намира в пространството и, разбира се, да правите чертежи. Добре е, ако не всичко се побира в главата ви от първото четене - винаги можете да се върнете към който и да е параграф, ако е необходимо по-късно.

Информацията е по силите на всеки - за нейното развитие не са необходими никакви свръхзнания, специален артистичен талант и пространствено виждане.

Започнете!

На практика обикновено се дава пространствената повърхност функция на две променливиили уравнение от формата (константата на дясната страна най-често е равна на нула или единица). Първото обозначение е по-типично за математическия анализ, второто - за аналитична геометрия. Уравнението по същество е имплицитно даденофункция на 2 променливи, която в типичните случаи може лесно да се редуцира до формата . Напомням ви най-простия пример c:

–уравнение на равнинатамил.

е равнинната функция в изрично .

Да започнем с него:

Общи равнинни уравнения

Типични опцииразположението на равнините в правоъгълна координатна система са разгледани подробно в самото начало на статията Уравнение на равнината. Въпреки това, отново ще се спрем на уравнения, които са от голямо значение за практиката.

Първо, трябва напълно да разпознаете уравненията на равнините, които са успоредни на координатните равнини. Фрагменти от равнини стандартно се изобразяват като правоъгълници, които в последните два случая приличат на успоредници. По подразбиране можете да изберете всякакви размери (разбира се, в разумни граници), като е желателно точката, в която координатната ос „пробива“ равнината, да е центърът на симетрия:

Строго погледнато, координатните оси на някои места трябваше да бъдат изобразени с пунктирана линия, но за да избегнем объркване, ще пренебрегнем този нюанс.

– (лява рисунка)неравенството определя най-отдалеченото от нас полупространство, като изключим самата равнина;

– (среден чертеж)неравенството определя дясното полупространство, включително равнината;

– (десен чертеж)двойно неравенство определя "слой", разположен между равнините, включително и двете равнини.

За самостоятелна тренировка:

Пример 1

Начертайте тяло, ограничено от равнини
Съставете система от неравенства, които определят даденото тяло.

Изпод повода на молива ви трябва да излезе стар познат кубоид. Не забравяйте, че невидимите ръбове и лица трябва да бъдат начертани с пунктирана линия. Завърши рисуването в края на урока.

Моля те, НЕ ПРЕНЕБРАВАЙТЕ Цели на обучението, дори да изглеждат твърде прости. В противен случай може да се окаже, че са го пропуснали веднъж, пропуснали са го два пъти и след това са прекарали час в шлайфане на триизмерна рисунка в някакъв реален пример. В допълнение, механичната работа ще помогне да се научи материалът много по-ефективно и да се развие интелигентността! Неслучайно в детска градинаИ начално училищедецата са натоварени с рисуване, моделиране, дизайнери и други задачи фина моторикапръсти. Простете ми за отклонението, но двете ми тетрадки по психология на развитието не трябва да изчезват =)

Условно ще наречем следната група равнини „директни пропорции“ - това са равнини, преминаващи през координатните оси:

2) уравнението на формата определя равнина, минаваща през оста;

3) уравнението на формата определя равнина, минаваща през оста.

Въпреки че формалният знак е очевиден (коя променлива липсва в уравнението - равнината минава през тази ос), винаги е полезно да разберете същността на случващите се събития:

Пример 2

Изграждане на самолет

Кой е най-добрият начин за изграждане? Предлагам следния алгоритъм:

Първо, пренаписваме уравнението във формата , от което ясно се вижда, че „y“ може да вземе всякаквистойности. Фиксираме стойността, т.е. ще разгледаме координатната равнина. Наборът от уравнения пространствена линиялежащи в дадената координатна равнина. Нека начертаем тази линия на чертежа. Правата минава през началото, така че за да се построи е достатъчно да се намери една точка. Позволявам . Отделете точка и начертайте линия.

Сега обратно към уравнението на равнината. Тъй като "у" отнема всякаквистойности, тогава правата линия, построена в равнината, непрекъснато се „възпроизвежда“ наляво и надясно. Така се образува нашата равнина, минаваща през оста. За да завършим чертежа, отляво и отдясно на правата линия отделяме две успоредни линии и „затваряме“ символичния паралелограм с напречни хоризонтални сегменти:

Тъй като условието не налага допълнителни ограничения, фрагментът от самолета може да бъде изобразен малко по-малък или малко по-голям.

Още веднъж повтаряме значението на пространственото линейно неравенство, използвайки примера. Как да определим полупространството, което определя? Нека вземем точка не е собственостравнина, например, точка от най-близкото до нас полупространство и заместваме нейните координати в неравенството:

получено правилно неравенство, което означава, че неравенството определя долното (по отношение на равнината ) полупространство, докато самата равнина не е включена в решението.

Пример 3

Изградете самолети
А) ;
б) .

Това са задачи за самостоятелна конструкция, в случай на затруднение използвайте подобни разсъждения. Кратки инструкции и рисунки в края на урока.

На практика особено често се срещат равнини, успоредни на оста. Специален случай, когато равнината преминава през оста, беше точно в параграф "b", а сега ще анализираме по-общ проблем:

Пример 4

Изграждане на самолет

Решение: променливата "z" не участва изрично в уравнението, което означава, че равнината е успоредна на приложената ос. Нека използваме същата техника като в предишните примери.

Нека пренапишем уравнението на равнината във формата от което става ясно, че "Z" може да вземе всякаквистойности. Нека го поправим и в "родната" равнина начертайте обичайната "плоска" права линия. За да го изградите, е удобно да вземете референтни точки.

Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната права линия непрекъснато се "умножава" нагоре и надолу, като по този начин образува желаната равнина . Внимателно начертайте успоредник с разумен размер:

Готов.

Уравнение на равнина в отсечки

Най-важният приложен сорт. Ако всичкокоефициенти общо уравнение на равнината различен от нула, тогава може да се представи като , което се нарича уравнение на равнина в сегменти. Очевидно равнината пресича координатните оси в точки , а голямото предимство на такова уравнение е лекотата на чертане:

Пример 5

Изграждане на самолет

Решение: първо съставяме уравнението на равнината в сегменти. Хвърлете свободния член надясно и разделете двете части на 12:

Не, това не е печатна грешка и всичко се случва в космоса! Изследваме предложената повърхност по същия метод, който наскоро беше използван за самолети. Пренаписваме уравнението във формата , от което следва, че "Z" взема всякаквистойности. Фиксираме и конструираме елипса в равнината. Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната елипса непрекъснато се "репликира" нагоре и надолу. Лесно е да се разбере, че повърхността безкраен:

Тази повърхност се нарича елиптичен цилиндър. Извиква се елипса (на произволна височина). ръководствоцилиндър, а успоредните прави, минаващи през всяка точка на елипсата, се наричат генериранецилиндър (които буквално го образуват). ос е ос на симетрияповърхност (но не част от нея!).

Координатите на всяка точка, принадлежаща на дадена повърхност, задължително удовлетворяват уравнението .

Пространственинеравенството определя "вътрешността" на безкрайната "тръба", включително самата цилиндрична повърхност, и съответно противоположното неравенство определя множеството от точки извън цилиндъра.

В практическите задачи най-популярният случай е когато ръководствоцилиндърът е кръг:

Пример 8

Построете повърхността, дадена от уравнението

Невъзможно е да се изобрази безкрайна „тръба“, следователно изкуството се ограничава, като правило, до „рязане“.

Първо е удобно да се изгради кръг с радиус в равнината, а след това още няколко кръга отгоре и отдолу. Получените кръгове ( водачицилиндър), спретнато свързани с четири успоредни прави линии ( генериранецилиндър):

Не забравяйте да използвате пунктирани линии за невидими линии.

Координатите на всяка точка, принадлежаща на даден цилиндър, удовлетворяват уравнението . Координатите на всяка точка, лежаща строго вътре в "тръбата", удовлетворяват неравенството , и неравенството определя набор от точки на външната част. За по-добро разбиране препоръчвам да разгледате няколко конкретни точки в пространството и да видите сами.

Пример 9

Построете повърхнина и намерете нейната проекция върху равнина

Пренаписваме уравнението във формата от което следва, че "х" взема всякаквистойности. Нека фиксираме и начертаем равнината кръг– центрирано в началото, единичен радиус. Тъй като "x" непрекъснато взема всичкостойности, тогава конструираният кръг генерира кръгъл цилиндър с ос на симетрия. Начертайте друг кръг ръководствоцилиндър) и внимателно ги свържете с прави линии ( генериранецилиндър). На някои места се оказаха наслагвания, но какво да се прави, такъв наклон:

Този път се ограничих до парче от цилиндъра в пролуката и това не е случайно. На практика често е необходимо да се изобрази само малък фрагмент от повърхността.

Тук, между другото, се оказаха 6 генератора - две допълнителни прави линии "затварят" повърхността от горния ляв и долния десен ъгъл.

Сега нека се заемем с проекцията на цилиндъра върху равнината. Много читатели разбират какво е проекция, но въпреки това нека прекараме още пет минути физическо възпитание. Моля, изправете се и наклонете главата си над чертежа, така че върхът на оста да изглежда перпендикулярен на челото ви. Как изглежда цилиндърът от този ъгъл е неговата проекция върху равнината. Но изглежда като безкрайна ивица, затворена между прави линии, включително самите прави линии. Тази проекция е точно така домейнфункции (горен "улей" на цилиндъра), (долен "улей").

Между другото, нека изясним ситуацията с проекциите върху други координатни равнини. Оставете слънчевите лъчи да огряват цилиндъра от страната на върха и по протежение на оста. Сянката (проекцията) на цилиндър върху равнина е подобна безкрайна ивица - част от равнината, ограничена от прави линии ( - всякакви), включително самите прави линии.

Но проекцията върху равнината е малко по-различна. Ако погледнете цилиндъра от върха на оста, тогава той се проектира в кръг с единичен радиус с които започнахме строителството.

Пример 10

Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини

Това е задача за самостоятелно решение. Ако условието не е много ясно, повдигнете двете страни на квадрат и анализирайте резултата; разберете каква точно част от цилиндъра определя функцията. Използвайте строителната техника, която многократно е използвана по-горе. Кратко решение, чертеж и коментари в края на урока.

Елиптични и други цилиндрични повърхности могат да бъдат изместени спрямо координатните оси, например:

(на познатите основания на статия за Редове от 2-ри ред) - цилиндър с единичен радиус с линия на симетрия, минаваща през точка, успоредна на оста. На практика обаче такива цилиндри се срещат доста рядко и е абсолютно невероятно да се срещне "наклонена" по отношение на координатните оси цилиндрична повърхност.

Параболични цилиндри

Както подсказва името, ръководствотакъв цилиндър е парабола.

Пример 11

Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатните равнини.

Не можах да устоя на този пример =)

Решение: Ние следваме утъпкания път. Нека пренапишем уравнението във формата , от което следва, че "Z" може да приеме всякаква стойност. Нека фиксираме и построим обикновена парабола на равнината, като предварително сме маркирали тривиалните опорни точки. Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната парабола непрекъснато се "репликира" нагоре и надолу до безкрайност. Заделяме същата парабола, да речем, на височина (в равнината) и внимателно ги свързваме с успоредни линии ( генератори на цилиндъра):

напомням полезна техника: ако първоначално няма увереност в качеството на рисунката, тогава е по-добре първо да нарисувате линиите тънко и тънко с молив. След това оценяваме качеството на скицата, откриваме областите, където повърхността е скрита от очите ни, и едва след това прилагаме натиск върху стилуса.

Проекции.

1) Проекцията на цилиндър върху равнина е парабола. Трябва да се отбележи, че в този случай не може да се говори за области на функция на две променливи- поради това, че уравнението на цилиндъра не се свежда до функционалната форма.

2) Проекцията на цилиндъра върху равнината е полуравнина, включително оста

3) И накрая, проекцията на цилиндъра върху равнината е цялата равнина.

Пример 12

Конструирайте параболични цилиндри:

а) , ограничаваме се до фрагмент от повърхността в близкото полупространство;

б) между тях

В случай на затруднения не бързаме и спорим по аналогия с предишните примери, за щастие технологията е добре разработена. Не е критично, ако повърхностите се окажат малко тромави - важно е правилно да се покаже основната картина. Аз самият не се занимавам особено с красотата на линиите, ако получа поносима рисунка „С клас“, обикновено не я преправям. В примерния разтвор, между другото, е използвана още една техника за подобряване на качеството на чертежа ;-)

Хиперболични цилиндри

водачитакива цилиндри са хиперболи. Този тип повърхност, според моите наблюдения, е много по-рядък от предишните типове, така че ще се огранича до един схематичен чертеж на хиперболичен цилиндър:

Принципът на разсъждение тук е абсолютно същият - обичайният училищна хиперболаот равнината непрекъснато се "умножава" нагоре и надолу до безкрайност.

Разглежданите цилиндри спадат към т.нар повърхности от 2-ри ред, а сега ще продължим да се запознаваме с други представители на тази група:

Елипсоид. Сфера и топка

Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна координатна система има формата , където са положителни числа ( полуоскиелипсоид), което в общия случай различен. Елипсоидът се нарича повърхност, и тялоограничена от тази повърхност. Тялото, както мнозина предполагат, е дадено от неравенството и координатите на всяка вътрешна точка (както и всяка повърхностна точка) задължително удовлетворяват това неравенство. Дизайнът е симетричен по отношение на координатните оси и координатните равнини:

Произходът на термина "елипсоид" също е очевиден: ако повърхността е "нарязана" от координатни равнини, тогава в сеченията ще има три различни (в общия случай)

Повърхност

Повърхността, дефинирана от някакво уравнение в дадена координатна система, е геометричното място на точките, чиито координати удовлетворяват даденото уравнение F(x; y; z) = 0.

линия в пространството

Ако уравненията F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определят някаква повърхност, тогава правата L (x; y; z) = 0 може да се определи като геометрично място на общите точки към двете повърхности (линия на пресичане на повърхности)

Равнина като повърхност от първи ред

Има поне три дефиниции на равнина:

1) Равнината е повърхност, която напълновсяка права, свързваща произволни две нейни точки.

2) Равнината е набор от точки в пространството, еднакво отдалечени от дадени две точки.

А сега за една от формите на уравнението на равнината.

Първо, от ученическите дни се знае; „Всички три точки, които не съвпадат и не лежат на една права, определят равнина и то само една.“ Неслучайно стол с три крака е абсолютно стабилен (т.е. „не се люлее”), а стол с два или повече от три крака не е стабилен („скали”). Второ, нормалният вектор към равнината я ориентира в пространството (виж Фиг.31)

Нека желаната равнина p минава през точката M 0 перпендикулярно на вектора, тогава

Първо, векторът е резултат от кръстосаното произведение на вектора M 0 M 2 и вектора M 0 M 1

Второ, векторът е перпендикулярен както на вектора M 0 M 2, така и на вектора M 1 M 2. От къде, откъде условия за векторна ортогоналностполучаваме, че скаларното произведение върху вектора M 0 M 2 (или върху вектора M 0 M 1) е равно на нула. Ако точката M 2 има координати (x; y; z), тогава скаларното произведение на вектора и вектора M 0 M 2 трябва да бъде равно на нула. Като се вземе предвид факта, че векторът M 0 M 2 се определя като

разбираме това

Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на даден вектор

Пример 30 (получаване на уравнението на равнината)

Намерете уравнението на равнината, минаваща през точката M 0 (1; 1; 1), перпендикулярна на вектора

Решение

В нашия случай

A=1, B=1 и C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

следователно уравнението на равнината има формата

Или накрая,

Отговор

Желаната равнина се определя от уравнението

Общо уравнение на равнината

Като цяло всяко уравнение от формата

A x + B y + C z + D = 0

дефинира равнина (където A, B и C са координатите на нормалния вектор към равнината). Тази форма на уравнението на равнината се нарича "общо уравнение на равнината".

Уравнения на непълни равнини

Нека равнината е дадена от нейното общо уравнение

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) ако D = 0, тогава (*) дефинира равнина, минаваща през началото;

2) ако A \u003d 0, тогава B y + C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на оста Ox(защото);

3) ако B \u003d 0, тогава A x + C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на оста Oy(защото);

4) ако C = 0, тогава A x + B y + D = 0 и имаме равнина, успоредна на оста Oz(защото);

5) А = 0; B \u003d 0, след това C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oxy;

6) А = 0; C \u003d 0, след това B y + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oxz;

7) B = 0; C = 0, тогава A x + D = 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oyz;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, тогава C z = 0 е равнината Oxy;

9) A = 0, C = 0, D = 0, тогава B y = 0 е равнината Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, тогава A z = 0 е равнината Oyz.

Точно както беше преди с общото уравнение на права линия в равнина, от общо уравнениемогат да се получат други форми на уравнението на равнината. Една от тези форми е уравнението на равнина в сегменти.

От общото уравнение на равнината

A x + B y + C z + D = 0

Оказва се уравнението на равнината в сегменти