Адамс е английски астроном и математик от 19 век, който работи много по небесната механика. Когато изучаваше траекториите на планетите, той постоянно трябваше да интегрира числено уравненията на тяхното движение. Желаейки да сведе до минимум количеството изчисления, Адамс разработи един от най-икономичните методи за числено решаване на диференциални уравнения, към който сега се обръщаме.

Нека е решение на диференциално уравнение. Производната на тази функция удовлетворява равенството

Интегрирайки го между две точки на мрежата, получаваме връзката

.

Не можем да използваме тази връзка директно за прехода в процеса на решаване на задачата от -та решетка сочи към
-опа, защото функцията
ние не знаем. За да предприемем следващата стъпка, трябва приблизително да заменим тази функция с функция, която може да бъде изчислена. Нека опишем как този проблем се решава в метода на Адамс.

Нека в процеса на числено решаване на задачата доведем изчислението до точката . В резултат на изчисленията открихме известните стойности И
,
. Вземете някакво фиксирано цяло число
и конструиране на интерполационен полином
-та степен, приемаща на точки ,
стойности

,
.

Може да се напише с помощта на формулата на Лагранж

,

Където
специални полиноми от формата

които вече обсъдихме в трета глава.

Основната идея на метода на Адамс е да се изчисли
използвайте формула за тип, като приблизително замените функцията в нея
към интерполационния полином
, съставен според резултатите от предишни изчисления. Това води до рекурсивната формула

,

.

Нека разгледаме по-подробно тази схема за числено решение на задачата на Коши в най-простите случаи
И
когато техническите затруднения не затварят прозрачната идея на метода. При
за приближаване на функцията
използва се полином от нулева степен, т.е. константа

.

В този случай формулата влиза в рекурентната формула на метода на Ойлер

,

осигуряване на точност от първи ред. Този резултат е тривиален сам по себе си. Включихме го само за да покажем, че за метода на Адамс, както и за метода на Рунге-Кута, началната точка е схемата на Ойлер.

Нека да преминем към проучване на опцията
. В този случай, за да се приближи функцията
използва се полином от първа степен, изграден върху стойностите на функцията в две точки
И
:

Като го заместим във формулата и интегрираме, получаваме

.

Обърнете внимание на следната характеристика на рекурентната формула. За изчисляване на следващата стойност на мрежовата функция
трябва да знаете стойностите му в предишните две точки И
. Така формулата започва да работи едва от втора точка. Изчислете го забранено е. Тази стойност на решението на проблема с разликата трябва да се изчисли по някакъв друг метод, например метода на Рунге-Кута.

Рекурентната формула може да се напише като диференциално уравнение

.

Нека изчислим за него грешката на апроксимация на диференциалното уравнение

Да приемем, че функцията
има непрекъснати втори производни в областта, която ни интересува, така че решението на проблема
е три пъти непрекъснато диференцируема. Нека напишем разширенията на Тейлър

Като ги заместим във формулата, получаваме

.

От тук може да се напише оценка

,

Където
е константа, мажорираща третата производна на функцията
:

,
.

Виждаме, че диференциалното уравнение на метода на Адамс съответства на случая
, приближава диференциалното уравнение с втори ред на точност по отношение на . Както в случая с метода Runge-Kutta, това осигурява втори ред на точност за грешката на решението
при предположението, че стойността , който се изчислява нестандартно, се изчислява с втори ред на точност.

Процесът на конструиране на по-точни вериги може да бъде продължен чрез увеличаване
. При
се получава схема от трети ред на точност, с
- четвърти и т.н. Схемата от четвърти ред, както и в метода на Рунге-Кута, е най-често използваната, така че ще се спрем накратко на нейното извеждане и обсъждане.

Ако запишем интерполационен полином от трета степен
върху решетка от четири точки ,
,
,
и извърши интегрирането, тогава рекурсивната формула ще приеме формата:

Нека дадем друга форма на записване на тази формула по отношение на така наречените крайни разлики

Първата, втората и третата разлика съответстват приблизително на първата, втората и третата производна на функцията
. Еквивалентността на формулите и е лесно да се провери директно. Формулата понякога е по-удобна за организиране на изчислителния процес и контрол на точността.

Особеността на метода на Адамс се проявява във формулата още по-силно, отколкото във формулата. Тук, за да изчислите следващата стойност
трябва да знаете значението в четирите предишни точки - ,
,
,
. Така формулата започва да работи едва от четвърта точка. Изчислете го ,,забранено е. Тези стойности на решението на проблема с разликата трябва да бъдат изчислени по друг метод, например по метода на Runge-Kutta.

Нека да преминем към обсъждане на точността на схемата. Ако функцията
има непрекъснати четвърти производни по отношение на своите аргументи в областта, която ни интересува, така че решението на проблема
пет пъти непрекъснато диференцируеми, тогава диференциалното уравнение приближава диференциалното уравнение с четвърти ред на точност по отношение на . Доказателството на това твърдение се извършва по същия начин, както за схемата от втори ред, само че сега трябва да се запазят повече термини в типовите разширения. Четвъртият ред на точност в апроксимацията на уравнението осигурява четвъртия ред на точност за грешката на решението
при предположението, че първоначалните стойности за метода на Адамс ,,изчислени със същата точност. Те се изчисляват независимо и е важно началният етап на изчислителния процес да не въвежда такава грешка, която да изкриви всички последващи резултати.

Задача 5.

Конструирайте решение на задачата на Коши върху отсечката
стъпка по стъпка
по схемата на Адамс II и четвърто поръчка. Сравнете резултатите от изчисленията помежду си, с резултатите от изчисленията по схемата Runge-Kutta и с аналитичното решение на проблема.

Резултатите от изчислението са показани в четвъртата и петата колона на таблица 2. В съответствие със задачата трябва да сравните четвъртата колона с втората и шестата, а петата с третата и шестата. Спомнете си, че шестата колона съдържа аналитичното решение (53) на разглеждания проблем, така че сравнението с него ни позволява да преценим точността на приблизителното решение, използвайки схемата Runge-Kutta и схемата на Adams.

Изчислението по схемата на Адамс от втори ред на точност започва с , четвърти - от . Значение в четвъртата колона ,,в петата колона са изчислени съгласно схемата Runge-Kutta от съответния ред, така че в таблицата те са същите като съответните данни от втората и третата колона. Сравнението на резултатите от изчисленията, извършени по два метода, с аналитичното решение на задачата показва, че тяхната точност е приблизително еднаква.

Нека сравним схемите от четвърти ред на точност в метода Рунге-Кута и Адамс от гледна точка на организацията на изчислителния процес. За да направите една стъпка по метода на Runge-Kutta, е необходимо да изчислите функцията
четири пъти, докато при метода на Адамс само веднъж. В трите предходни точки функцията
вече е изчислено в предишните стъпки и не е необходимо да се изчислява отново. Това е основното предимство на метода на Адамс, който беше особено високо ценен в предкомпютърната ера.

Вече отбелязахме основния недостатък на метода на Адамс: когато го прилагате, първите стъпки трябва да се предприемат по друг метод, например по метода Runge-Kutta, и едва след това можете да преминете към изчислението според Схема на Адамс. По този начин програмата за решаване на задачата на Коши по метода на Адамс трябва да включва като елемент програмата на метода на Рунге-Кута за изчисляване на началния етап на изчислителния процес.

Има и друг проблем с тази характеристика на метода на Адамс. Когато интегрирате числено диференциално уравнение, често е необходимо да промените стъпката . При метода Runge-Kutta това не е трудно, тъй като всяка стъпка се извършва независимо от предишната. При метода на Адамс ситуацията е различна. Тук е необходимо или първоначално да се програмират много сложни формули за изчисление с променлива стъпка, или след всяка промяна на стъпката, да се изчислят отново първите три точки, като се използва методът Runge-Kutta. Едва след това можете да преминете към стандартния акаунт по метода на Адамс. Тези недостатъци водят до факта, че днес в компютърните изчисления често се дава предпочитание на по-удобния метод Runge-Kutta.

Метод на Адамс

Нека за проблема на Коши се намерят по някакъв начин (например по метода на Ойлер или Рунге-Кута) три последователни стойности на желаната функция

Нека изчислим стойностите, .

Методът на Адамс ви позволява да намерите решение на проблема - функция - под формата на таблица с функции. Продължаването на получената таблица от четири точки се извършва съгласно формулата за екстраполация на Адамс:

След това уточняването се извършва съгласно интерполационната формула на Адамс:

Методът на Адамс може лесно да се разшири до системи диференциални уравнения. Грешката на метода на Адамс е от същия порядък като метода на Рунге-Кута.

Приложение на диференциални уравнения с малък параметър за решаване на нелинейни трансцендентни и алгебрични уравнения

Нека е дадена някаква непрекъснато диференцируема функция. Изисква се да се реши нелинейно или трансцендентно уравнение от формата

Срещаните в практиката уравнения не могат да бъдат решени с директни методи, затова за решаването им се използват итеративни методи. Всички итеративни методи за решаване на трансцендентни и алгебрични уравнения от вида (31) могат да бъдат разделени на две групи:

дискретни схеми на решение.

схеми за непрекъснато решение.

Схемите за дискретно решение бяха обсъдени по-горе. Имайте предвид, че основните недостатъци на горните методи са:

зависимост от началните условия или от интервала на намиране на корена;

относително нисък процент на конвергенция;

нищо не се казва за правилата за преход от корен към корен на уравнение (31), ако има няколко от тях.

Когато се прилагат непрекъснати схеми за решаване на уравнение (31), процесът на намиране на корените се извършва чрез решаване на съответното обикновено диференциално уравнение

Нека е дефинирана и монотонна при и нека има крайна производна. Проблемът за намиране на корените на уравнение (31), което е непрекъснат аналог на метода на простите итерации, може да се разглежда като граница при решаването на проблема на Коши

ако това ограничение съществува. Означаваме с решението на задачата на Коши (33), - желаното решение на уравнение (31). Тогава трябва да има идентичност. Въвеждайки обозначението за отклонението и изваждайки от (33) последното уравнение, имаме

Разширявайки се в серия на Тейлър в близост до точката със запазване на линейните членове и замествайки получения израз в (34), получаваме диференциално уравнение в отклонения, чието решение има формата

Виждаме, че условието за сходимост към корена е изискването, тъй като в този случай at, и, следователно. Ако приемем, че е монотонно при , последното уравнение може да бъде разширено до целия регион, разгледан по-горе. По този начин условието за прилагане на непрекъснатата схема на метода на простите итерации (33) е

Схемите за непрекъснато решение имат по-висока скорост на сходимост и по-висока точност на решението от съответните. дискретни вериги. Но проблемът за зависимостта от началните условия и липсата на правила за преход от корен към корен в случая, когато уравнение (31) има повече от едно решение, остава открит.

Както може да се види от диференциалното уравнение (33) и уравнението (31), лявата страна на последното е заменена с производна. Тази замяна е грубо приближение на решението на задача (33) към решението на задача (31). Това води не само до голяма грешка в изчисленията, но и до намаляване на скоростта на изчисленията.

Нека пренапишем уравнение (31) във формата

където е малък параметър, .

Преходът от задача (31) към задача (37) е теоретично оправдан, тъй като интегралните криви, които са решението на уравнението с малък параметър (37), преминават през всички решения на уравнение (31). Проблемът за намиране на корените на това уравнение чрез непрекъснат сингулярен аналог на метода на простите итерации може да се разглежда като граница за и на решението на проблема на Коши от вида

ако това ограничение съществува.

Извършвайки разсъждения, подобни на разсъжденията, дадени по-горе, получаваме, че решението на уравнение (37) в точка ще има формата:

В този случай, тъй като условието за конвергенция (36) остава същото.

Получената модификация на класическите схеми на решение не зависи от началните условия и има по-висока точност на решението. За да докажем по-бърза скорост на конвергенция, приемаме, че прилагането на итеративни методи никога не дава точно решение и въвеждаме точността на решението. Моментите на намиране на решения с точност чрез класически и модифицирани методи ще бъдат означени като и. Използвайки решения (35) и (39), записваме неравенства от вида

От отношенията се вижда, че Сравнявайки получените стойности и, виждаме, че, т.е. степента на конвергенция при решаването на проблема с модифицирани методи е няколко пъти по-висока от класическата.

В момента методите на Адамс са един от обещаващите числени методи за интегриране за решаване на проблема на Коши. Доказано е, че при използване на многоетапни числени методи на Адамс за решаване на проблема на Коши до 12-ти ред, областта на стабилност намалява. С по-нататъшно увеличаване на реда се увеличава областта на стабилност, както и точността на метода. В допълнение, със същата точност, многоетапните методи изискват по-малко изчисления на десните части на диференциалните уравнения на една стъпка на интегриране, отколкото в методите на Runge-Kutta. Предимствата на методите на Адамс включват факта, че те лесно променят стъпката на интегриране и реда на метода.

В практиката широко се използват два вида методи на Адамс – явни и неявни. Явните методи са известни като методи на Адамс-Башфорт, неявните методи са известни като методи на Адамс-Мултън.

Разгледайте приложението на числени методи за решаване на проблема на Коши

При решаване на задача (2. 1) с помощта на едноетапни методи, стойността на yn+1 зависи само от информацията в предходната точка xn. Може да се предположи, че можете да постигнете по-голяма точност, ако използвате информация за няколко предишни точки xn, xn-1 ... xn-k. На тази идея се основават многоетапните методи.

Повечето от многоетапните методи възникват на базата на следния подход. Ако заместим точното решение y (x) в уравнение (2. 1) и интегрираме уравнението върху сегмента, получаваме:

Заменяйки функцията f (x, y (x)) във формула (2. 2) с интерполационния полином P (x), получаваме приблизителен метод

За да конструираме полином P (x), да предположим, че yn, yn-1... yn-k са приближения на решението в точките xn, xn-1... xn-k. Предполагаме, че възлите xi са равномерно разположени със стъпка h. Тогава fi=f (xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) са приближения на f (x, y (x)) в точки xn, xn-1... xn-k.

За P (x) вземаме интерполационен полином от степен k, удовлетворяващ условията

Ако интегрираме изрично този полином, получаваме следния метод:

Когато k=0, полиномът P (x) е константа, равна на fn, и формула (2.4) се превръща в обичайния метод на Ойлер.

За k=1 полиномът P (x) е линейна функция, минаваща през точките (xn-1, fn-1) и (xn, fn), т.е.

Интегрирайки този полином от xn до xn+1, получаваме двуетапен метод

който използва информация в две точки xn и xn+1.

Ако k=2, тогава P(x) е квадратичен полином, интерполиращ данни (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) и (xn, fn). Може да се покаже, че съответният метод има формата

Ако k=3, тогава съответният метод се определя по формулата

За k=4 имаме

Обърнете внимание, че метод (2.7) е триетапен, (2.8) четириетапен и (2.9) пететапен. Формули (2.6) - (2.9) са известни като методи на Адамс-Башфорт. Методът (2.6) има втори ред на точност, поради което се нарича метод на Адамс-Башфорт от втори ред. По подобен начин методите (2.7), (2.8) и (2.9) се наричат ​​методи на Адамс-Башфорт съответно от трети, четвърти и пети ред.

Продължавайки този процес, използвайки нарастващ брой предишни точки, както и интерполационен полином с по-висока степен, получаваме методи на Адамс-Башфорт от произволно висок порядък.

Многоетапните методи пораждат трудности, които не възникват при използването на едноетапни методи. Тези трудности стават ясни, ако например се обърнем към методите на Адамс-Башфорт от пети ред (2. 9).

В задача (2.1) е зададена началната стойност y0, но когато n=0, за изчислението по формулата (2.9) е необходима информация в точки x-1, x-2, x-3 , x-4, което естествено отсъства. Обичайният изход от тази ситуация е да се използва някакъв едноетапен метод със същия порядък на точност, като например метода Runge-Kutta, докато се получат достатъчно стойности, за да работи многоетапният метод. Или можете да използвате метода на една стъпка на първата стъпка, метода на две стъпки на втората и т.н., докато не бъдат получени всички начални стойности. От съществено значение е тези начални стойности да бъдат изчислени със същата степен на точност, с която ще работи крайният метод. Тъй като началните методи имат по-нисък порядък на точност, трябва да броите с по-малка стъпка в началото и да използвате повече междинни точки.

Извеждането на методите (2. 6) - (2. 9) се основава на заместването на функцията f (x, y) с интерполационен полином P (x). Известно е, че съществува теорема, която доказва съществуването и уникалността на интерполационния полином. Ако възлите x0, x1… xn са различни, тогава за всяко f0, f1… fn има уникален полином P (x) със степен най-много n, така че P (xi) = fi, i=0, 1,.. н.

Въпреки че интерполационният полином е уникален, има няколко начина за представяне на този полином. Най-често се използват полиноми на Лагранж, но те също се оказват неудобни, ако трябва да се добави възел към (или да се премахне) набор от данни. В този случай има друго представяне на интерполационния полином. Това е представянето на Нютон

Полиномът Pn+1 (x) може да бъде записан като

Представянето на интерполационния полином във формата (2.11) в редица случаи е особено полезно за практиката.

Методите на Адамс-Башфорт използват вече известни стойности в точките xn, xn-1... xn-k. Когато конструирате интерполационен полином, можете също да използвате точките xn, xn, xn-1... xn-k. Това поражда клас неявни m-стъпкови методи, известни като методи на Адамс-Мултън.

Ако k=0, тогава P (x) - линейна функцияпреминаване през точките (xn, fn) и (xn+1, fn+1) и съответния метод

е методът на Адамс-Мултън от втори ред.

За k=1, 2, 3 получаваме съответните методи

трети, четвърти и пети ред на приближение. Релациите (2. 12) - (2. 15) неявно съдържат желаните стойности yn+1, така че трябва да се използват итеративни методи за тяхното прилагане.

На практика те обикновено не решават директно уравнения (2. 12) - (2. 15), а използват явната и неявната форма заедно, което води до метода на прогнозата и корекцията.

Например, за метода на Адамс от втори ред, използвайки нотацията, където r е номерът на итерация, имаме следната изчислителна схема за r = 1:

Този процес се нарича метод PECE (P означава прилагане на прогнозната формула, C - прилагане на коригиращата формула, E - изчисляване на функцията f). Можете да съкратите процеса на изчисление, като изпуснете последната формула. Това води до така наречения PEC метод.

Разгледайте втория метод за решаване на уравнения (2. 12) - (2. 15). Формули (2. 12) - (2. 15) могат да бъдат пренаписани като

където gn съдържа известни количества. Доказано е, че ако, където L е константата на Липшиц, тогава има уникално решение на уравнение (2.17), което може да бъде получено с помощта на итеративния процес

където е произволно.

Итерациите в израз (2.18) продължават до достигане на конвергенция. В този случай броят на изчисленията на функцията f варира от точка до точка и може да бъде доста голям.

От друга страна, ако стойността на h се намали, тогава конвергенцията може да бъде постигната при фиксиран брой итерации. Този метод се нарича корекция към конвергенция.

На пръв поглед може да изглежда, че изричният многоетапен метод е най-простият метод по отношение на изчисленията. Изричните методи обаче рядко се използват на практика. Неявният метод на Адамс-Мултън е по-точен от изричния метод на Адамс-Башфорт. Например изчислителната схема за метода на Адамс-Мултън от 5-ти ред е следната:

Методите на Адамс до пети ред включително могат да се използват за решаване на обикновени диференциални уравнения, които не изискват висока степен на точност.

Както в случая с метода на Адамс-Башфорт, когато се използва методът на Адамс-Мултън важен въпросе въпросът за избора на оптималното съотношение на стъпката на интегриране и реда на метода. Трябва да се отбележи, че когато се създават ефективни алгоритми и програми, увеличаването на реда на метода е по-предпочитано от намаляването на стъпката на интегриране.

За решаване на по-сложни проблеми е необходимо да се прилагат методи на Адамс от по-висок порядък. Таблица 2.1 показва стойностите на коефициентите за методите на Адамс. Първият ред определя реда на метода; във втория - стойностите на коефициентите Ck за съответния ред k; в следващите редове - двойки коефициенти Bkj и Mkj съответно за методите на Адамс-Башфорт и Адамс-Мултън. След това, като се вземат предвид данните в таблица 2. 14, коефициентите в j в израза

за метода на Адамс-Башфорт от k-ти ред може да се намери от връзката

и за метода на Адамс-Мултън от k-ти ред, използвайки подобна формула

Формулите за предикторно-коригиращите методи на Адамс от 6-ти до 14-ти ред са както следва:

• 6 ред:
• 7 ред:
• 8 ред:
• 9 ред:
• 10 ред:
• 11 ред:
• 12 ред:
• 13 ред:
• 14 ред:
• 15 ред:
• 16 ред:

Дадените по-горе формули за предпочитане се използват за практическо приложение при решаване на обикновени диференциални уравнения или системи от диференциални уравнения от първи ред с постоянна стъпка на интегриране. Ако в процеса на решаване на уравнението стъпката на интегриране е променлива, тогава за методите на Адамс има специални триковеза добавяне на нови начални данни при промяна на стъпката на интегриране.

Пред нас е същият проблем на Коши

f (1) (T)=Е(T, f(T)), а£ T£ b, f(а)=f a.

При едноетапните методи стойността f(t k+1) се определя само от информацията в предишната точка t k. Възможно е да се подобри точността на решението, като се използва информацията в няколко предишни точки, ако е налична. Това се прави в методите, които се наричат ​​многостъпкови. От първия поглед върху изложението на проблема става очевидно, че в момента на стартиране T=таима само едно начално условие и ако ще работим с две, три или четири предишни точки, тогава не е ясно как да получим втората, освен с помощта на едноетапни методи. Това правят те; Един „сложен“ алгоритъм за решение може да изглежда така:

първата стъпка получава втората точка, използвайки метода на една стъпка, втората получава третата, използвайки метода на две стъпки, третата получава четвъртата, използвайки метода на три стъпки, и така нататък, докато има достатъчно предишни точки за основен метод, който ще се използва.

Друг вариант е целият начален набор от точки да се получи с помощта на едноетапен метод, например Runge-Kutta от четвърти ред. Тъй като се приема, че многоетапните методи са по-точни, обикновено се използва по-голям брой междинни точки за началния едноетапен метод, т.е. работа с по-къси стъпки.

Многоетапни алгоритми могат да бъдат създадени по този начин. Като се има предвид това

f(t k +1)=f(t k)+ ,

може да се интегрира числено дясната страна на ODE под интегралния знак. Ако използваме метода на правоъгълниците (интерполационният полином за интегрируемата функция е константа), получаваме обичайния метод на Ойлер. Ако използваме 2 точки и интерполационен полином от първи ред

стр(х)= ,

след това интегриране по метода на трапеца от t kпреди t k+1 ще даде следния алгоритъм:

f(t k +1)=f(t k)+0.5ч(3F k-F k -1).

По същия начин, за три точки ще имаме квадратен интерполиращ полином в данните ( t k -2 , F k -2), (t k -1 , F k -1), (t k, F k) и интегрирането по метода на Симпсън ще даде алгоритъма:

f(t k +1)=f(t k)+ (23F k–16F k -1 +5F k -2).

За 4 точки полиномът ще бъде кубичен и неговото интегриране ще даде:

f(t k +1)=f(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

По принцип можем да продължим така колкото си искаме.

Горните алгоритми се наричат ​​методи на Адамс-Башфорт от втори, трети и четвърти ред.

Формално, когато се конструира интерполационен полином, в допълнение към нвече изчислени точки за използване и др Рбъдеще t k +1 , t k+2 ; в най-простия случай множеството

t k +1 , t k, t k -1 ,…, t k -н .

Това генерира клас от така наречените методи на Adams-Moulton. Във версията с четири стъпки той работи с данни ( t k +1 , F k +1), (t k, F k), (t k -1 , F k -1), (t k -2 , F k-2) и неговия алгоритъм:

f(t k +1)=f(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Невъзможно е, разбира се, да се изчисли с липсващи данни, така че алгоритмите на Адамс се комбинират в последователност от алгоритми на Адамс-Башфорт и Адамс-Мултън, като същевременно се получават така наречените методи за прогнозиране и корекция. Например, методът за предсказване и корекция от четвърти ред изглежда така: първо, ние прогнозираме с помощта на алгоритъма на Адамс-Башфорт, използвайки "минали" точки

f(t k +1)=f(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

След това изчисляваме приблизителната стойност на дясната страна на уравнението

F k +1 =Е(t k +1 , f(t k +1).

И накрая, коригираме f(t k+1), използвайки собствената си приблизителна стойност

f(t k +1)=f(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Най-ефективните налични компютърни програми, позволяващи на потребителя да променя размера на стъпката и реда на методите, се основават на методите на Адамс от висок порядък (над 10). Опитът от работата с тези програми показва, че разликите в тяхното изпълнение могат да имат по-значително влияние върху точността, отколкото разликите във вътрешните свойства на самите методи.