УПРАЖНЕНИЕ

за курсова работа по дисциплината

Автоматизирани методи за обработка на резултатите от експеримента.

Тема за работа: Разработване на програма за построяване на интерполационна полиномна графика.

Разработете програма за начертаване на графики, като използвате формулата за многоинтервална интерполационна линия.

Функционална таблица:

х
г	0,23	0,56	0,15	0,1	0,27	0,2

ВЪВЕДЕНИЕ

Системата за програмиране Turbo Pascal е съвкупност от два, до известна степен, независими принципа: компилатор от езика за програмиране Pascal и някаква инструментална софтуерна обвивка, която подобрява ефективността на създаването на програми.

Средата Turbo Pascal е първото нещо, с което всеки програмист се сблъсква, когато започва практическа работапрограмиране.

Това срочна писмена работае да се напише в Turbo Pascal програма за начертаване на графика на интерполационен полином.

ГЛАВНА ЧАСТ

ТЕОРЕТИЧНО ВЪВЕДЕНИЕ

интерполационен проблем.

Нека таблица с числа (xi , fi), i = 0, 1, ..., N ; x0< x1 < … < xN .

Определение. Всяка функция f(x) такава, че f(xi) = fi ; = 0, 1, ..., N се нарича интерполираща (интерполация) за таблицата.

Проблемът с интерполацията е да се намери (конструира) интерполираща функция (тоест такава, която приема дадени стойности fi в дадени интерполационни възли xi) и принадлежи към даден клас функции. Разбира се, проблемът с интерполацията може или не може да има решение (и не единственото), всичко зависи от „даден клас функции“. Необходимо е да се открият условията, при които интерполационният проблем ще бъде конкретно формулиран. Един от методите за интерполация е, че интерполиращата функция се търси във формата линейна комбинациянякои специфични характеристики. Такава интерполация се нарича линейна.

Линейна интерполация.

Интерполация на формула за n = 1, т.е. използвайки линейната функция , се нарича линеен. При работа с частично полиномиални функции се извикват абсцисите на данните възли, ставиили точки на прекъсване. Има технически разлики между тези имена, но и трите термина често се използват взаимозаменяемо. Линейна частично-полиномна функция L(x) е функция, дефинирана за всички x, която има свойството L(x) да е права линия между xi и x i +1. Дефиницията допуска, че в интервалите между различни двойки съседни възли, L(x) може да съвпада с различни линии. Ако въведем нотацията, , тогава формулата за линейна интерполация може да бъде записана както следва: (1)

Количеството q се нарича фаза на интерполация, която варира от 0 до 1, когато x преминава през x 0 до x 1.

Геометрично линейна интерполация означава (фиг. 1) замяна на графиката на функция върху сегмент с хорда, свързваща точките (x 0, f 0), (x 1, f 1). Тъй като според формулата имаме и следователно , тогава оценката на максималната грешка на линейната интерполация на сегмента в съответствие с формулата има формата , (2) където .

Често таблица с голям брой стойности на някаква функция f се задава с постоянна стъпка h на промяната на аргумента. След това за даден x се избират два възела, които са най-близо до него. Левият възел се приема като x 0, а десният възел като x 1 и линейната интерполация се извършва съгласно формула (1). Интерполационната грешка се оценява по формула (2).

ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА

Разработете програма за конструиране на интерполационна полиномна графика, като използвате формулата за многоинтервална частична линейна интерполация.

Много от нас са срещали неразбираеми термини в различни науки. Но има много малко хора, които не се страхуват от неразбираеми думи, а напротив, те ги ободряват и ги принуждават да навлязат по-дълбоко в изучавания предмет. Днес ще говорим за такова нещо като интерполация. Това е метод за начертаване на графики с помощта на известни точки, което позволява да се предвиди поведението му върху определени участъци от кривата с минимално количество информация за функцията.

Преди да преминем към същността на самото определение и да разкажем за него по-подробно, нека се потопим малко в историята.

История

Интерполацията е известна от древни времена. Това явление обаче дължи своето развитие на няколко от най-видните математици от миналото: Нютон, Лайбниц и Грегъри. Именно те разработиха тази концепция, използвайки по-напредналите математически методи, налични по това време. Преди това интерполацията, разбира се, се прилагаше и използваше в изчисленията, но те го правеха по напълно неточни начини, изисквайки Голям бройданни за изграждане на модел, повече или по-малко близък до реалността.

Днес дори можем да изберем кой от методите за интерполация е по-подходящ. Всичко е преведено на компютърен език, който може да предвиди с голяма точност поведението на функция в определена област, ограничена от известни точки.

Интерполацията е доста тясна концепция, така че нейната история не е толкова богата на факти. В следващия раздел ще разберем какво всъщност представлява интерполацията и как се различава от нейната противоположност – екстраполацията.

Какво е интерполация?

Както вече казахме, това е общото наименование на методите, които ви позволяват да начертаете графика по точки. В училище това се прави главно чрез съставяне на таблица, идентифициране на точки на графика и грубо построяване на линии, които ги свързват. Последното действие се извършва въз основа на съображения за сходството на изследваната функция с други, чийто тип графики знаем.

Съществуват обаче и други, по-сложни и точни начини за изпълнение на задачата за начертаване на графика точка по точка. И така, интерполацията всъщност е "предсказание" на поведението на функция в определена област, ограничена от известни точки.

Съществува подобно понятие, свързано със същата област - екстраполация. Това също е предсказание на графиката на функция, но извън известните точки на графиката. С този метод се прави прогноза въз основа на поведението на функция в известен интервал и след това тази функция се прилага и към неизвестен интервал. Този метод е много удобен за практическо приложение и се използва активно, например, в икономиката за прогнозиране на възходи и спадове на пазара и за прогнозиране на демографската ситуация в страната.

Но се отклонихме от основната тема. В следващия раздел ще разберем какво е интерполация и какви формули могат да се използват за извършване на тази операция.

Видове интерполация

Най-простият тип е интерполация на най-близкия съсед. С този метод получаваме много приблизителна графика, състояща се от правоъгълници. Ако сте виждали поне веднъж обяснение на геометричния смисъл на интеграла върху графика, тогава ще разберете за каква графична форма говорим.

Освен това има и други методи за интерполация. Най-известните и популярни са свързани с полиноми. Те са по-точни и позволяват да се предвиди поведението на функция с доста оскъден набор от стойности. Първият метод за интерполация, който ще разгледаме, е линейна полиномна интерполация. Това е най-лесният метод от тази категория и със сигурност всеки от вас го е използвал в училище. Същността му се състои в изграждането на прави линии между известни точки. Както знаете, една права линия минава през две точки от равнината, чието уравнение може да се намери въз основа на координатите на тези точки. След като изградим тези прави линии, получаваме счупена графика, която най-малкото, но отразява приблизителни стойностифункции и в общи линиисъвпада с реалността. Ето как работи линейната интерполация.

Сложни видове интерполация

Има по-интересен, но в същото време по-сложен начин за интерполация. Изобретен е от френския математик Жозеф Луи Лагранж. Ето защо изчисляването на интерполацията по този метод е наречено на негово име: интерполация по метода на Лагранж. Номерът тук е следният: ако методът, описан в предишния параграф, използва само линейна функция за изчисление, тогава разширението на Лагранж включва и използването на полиноми от по-високи степени. Но не е толкова лесно да се намерят самите формули за интерполация за различни функции. И колкото повече точки са известни, толкова по-точна е формулата за интерполация. Но има и много други методи.

Има и по-съвършен и по-близък до реалността метод на изчисление. Използваната в него интерполационна формула е колекция от полиноми, приложението на всеки от които зависи от сечението на функцията. Този метод се нарича сплайн функция. В допълнение, има и начини да се направи такова нещо като интерполация на функции на две променливи. Тук има само два метода. Сред тях са билинейна или двойна интерполация. Този метод ви позволява лесно да изградите графика по точки в триизмерното пространство. Други методи няма да бъдат засегнати. Като цяло интерполацията е универсално наименование за всички тези методи за начертаване на графики, но разнообразието от начини, по които това действие може да се извърши, ги принуждава да бъдат разделени на групи в зависимост от типа функция, която е обект на това действие. Тоест интерполацията, пример за която разгледахме по-горе, се отнася до директни методи. Има и обратна интерполация, която се различава по това, че ви позволява да изчислите не пряка, а обратна функция (т.е. x от y). Няма да разглеждаме последните опции, тъй като е доста трудно и изисква добра математическа база от знания.

Нека да преминем към може би един от най-важните раздели. От него научаваме как и къде се прилага в живота наборът от методи, които обсъждаме.

Приложение

Математиката, както знаете, е кралицата на науките. Следователно, дори ако първоначално не виждате смисъл в определени операции, това не означава, че те са безполезни. Например, изглежда, че интерполацията е безполезно нещо, с помощта на което могат да се изграждат само графики, от които малко хора се нуждаят сега. Въпреки това, при всякакви изчисления в инженерството, физиката и много други науки (например биология) е изключително важно да се представи доста пълна картина на явлението, като същевременно има определен набор от стойности. Самите стойности, разпръснати по графиката, не винаги дават ясна представа за поведението на функцията в определена област, стойностите на нейните производни и точките на пресичане с осите. А това е много важно за много области от живота ни.

И как ще бъде полезно в живота?

Може да бъде много трудно да се отговори на такъв въпрос. Но отговорът е прост: няма начин. Това знание не ви е от полза. Но ако разберете този материал и методите, по които се извършват тези действия, ще тренирате логиката си, което ще ви бъде много полезно в живота. Основното нещо не са самите знания, а уменията, които човек придобива в процеса на обучение. В края на краищата, не напразно има една поговорка: "Живей един век - учи се един век."

Свързани понятия

Можете сами да разберете колко важна е била (и все още е) тази област на математиката, като разгледате разнообразието от други концепции, свързани с това. Вече говорихме за екстраполация, но има и приближение. Може би сте чували тази дума преди. Във всеки случай, ние също анализирахме какво означава в тази статия. Апроксимацията, както и интерполацията, са понятия, свързани с начертаване на графики на функции. Но разликата между първия и втория е, че това е приблизителна конструкция на графика, базирана на подобни известни графики. Тези две понятия са много сходни една с друга и толкова по-интересно е да се изучава всяка от тях.

Заключение

Математиката не е толкова трудна наука, колкото изглежда на пръв поглед. Тя е доста интересна. И в тази статия се опитахме да ви го докажем. Разгледахме понятията, свързани с изчертаването на графики, научихме какво е двойна интерполация и анализирахме с примери къде се използва.

На кои други получени стойности биха могли да паднат с висока точност. Такава задача се нарича апроксимация. Интерполацията е вид приближение, при което кривата на построената функция минава точно през наличните точки от данни.

Съществува и проблем, близък до интерполацията, който се състои в апроксимирането на сложна функция с друга, по-проста функция. Ако определена функция е твърде сложна за продуктивни изчисления, можете да опитате да изчислите нейната стойност в няколко точки и да изградите, тоест да интерполирате, по-проста функция от тях. Разбира се, използването на опростена функция не ви позволява да получите същите точни резултати, каквито би дала оригиналната функция. Но в някои класове проблеми печалбата в простотата и скоростта на изчисленията може да надделее над получената грешка в резултатите.

Трябва да споменем и съвсем различен вид математическа интерполация, известна като "операторна интерполация". Класическите трудове по операторна интерполация включват теоремата на Riesz-Thorin и теоремата на Marcinkiewicz, които са в основата на много други работи.

Дефиниции

Помислете за система от несъвпадащи точки () от някаква област. Нека стойностите на функцията са известни само в тези точки:

Проблемът на интерполацията е да се намери такава функция от даден клас функции, която

Пример

1. Да предположим, че имаме таблична функция, като описаната по-долу, която за няколко стойности определя съответните стойности:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполацията ни помага да разберем каква стойност може да има такава функция в точка, различна от посочените (например, когато х = 2,5).

Към днешна дата има много различни начиниинтерполация. Изборът на най-подходящия алгоритъм зависи от отговорите на въпросите: колко точен е избраният метод, каква е цената за използването му, колко гладка е функцията за интерполация, колко точки от данни изисква и т.н.

2. Намерете междинна стойност (чрез линейна интерполация).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Интерполационни методи

Интерполация на най-близкия съсед

Най-простият метод за интерполация е интерполацията на най-близкия съсед.

Интерполация чрез полиноми

В практиката най-често се използва интерполация чрез полиноми. Това се дължи главно на факта, че полиномите са лесни за изчисляване, лесно е аналитично да се намерят техните производни и множеството от полиноми е плътно в пространството на непрекъснатите функции (теорема на Вайерщрас).

• IMN-1 и IMN-2
• Полином на Лагранж (интерполационен полином)
• Схемата на Ейткен

Обратна интерполация (изчисляване на x при дадено y)

• Обратна интерполация по формулата на Нютон

Интерполация на функция с множество променливи

Други методи за интерполация

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Вижте какво е "Интерполация" в други речници:

1) начин за определяне от серия от дадени стойности на всеки математически израз, неговите междинни стойности; така, например, според обсега на гюлето при ъгъл на повдигане на оста на канала на оръдието от 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° и т.н., може да се определи с помощта на ... ... Речник чужди думируски език

Вмъкване, интерполация, включване, търсене Речник на руските синоними. интерполация вижте вмъкване Речник на синонимите на руския език. Практическо ръководство. М.: Руски език. З. Е. Александрова. 2… Речник на синонимите

интерполация- Изчисляване на междинни стойности между две известни точки. Например: линейна линейна интерполация експоненциална експоненциална интерполация Процесът на извеждане на цветно изображение, когато пикселите, принадлежащи към областта между два цвята ... ... Наръчник за технически преводач

- (интерполация) Оценка на стойността на неизвестна стойност между две точки от поредица от известни стойности. Например, познавайки показателите за населението на страната, получени по време на преброяването, проведено на интервали от 10 години, можете ... ... Речник на бизнес термините

От латински всъщност "фалшив". Това е името, дадено на грешни корекции или по-късни вмъквания в ръкописи, направени от писари или читатели. Особено често този термин се използва в критиката на ръкописите на древни писатели. В тези ръкописи... Литературна енциклопедия

Намиране на междинни стойности на някаква закономерност (функция) по редица нейни известни стойности. На английски: Интерполация Вижте също: Трансформации на данни Finam Financial Dictionary ... Финансов речник

интерполация- и добре. интерполация f. лат. интерполационна промяна; промяна, изкривяване. 1. Вложка от по-късен произход, в която л. текст, който не принадлежи на оригинала. ALS 1. Има много интерполации, направени от писари в древни ръкописи. Уш. 1934. 2 ... Исторически речник на галицизмите на руския език

ИНТЕРПОЛАЦИЯ- (interpolatio), завършване на емпирих. поредица от стойности на произволно количество чрез липсващите междинни стойности. Интерполацията може да се извърши по три начина: математически, графичен. и логично. Те се основават на общата хипотеза, че ... Голяма медицинска енциклопедия

- (от латинската interpolatio промяна, промяна), търсенето на междинни стойности на количество според някои от неговите известни стойности. Например, намиране на стойностите на функцията y = f(x) в точки x, разположени между точките x0 и xn, x0 ... Съвременна енциклопедия

- (от лат. interpolatio промяна промяна), в математиката и статистиката, търсенето на междинни стойности на количество според някои от известните му стойности. Например, намиране на стойностите на функцията f (x) в точки x, разположени между точките xo x1 ... xn, според ... ... Голям енциклопедичен речник

Контролната програма за обработка на детайла е траекторията на движение на центъра на фрезата. Траекторията на движение се състои от отделни участъци, свързани помежду си, линеенили дъга. Точките, които определят траекторията, се наричат поддържащ. Всъщност контролната програма е последователен набор от референтни точки. GCP могат да лежат в равнина; две координати се използват за тяхното уточняване ( две координатниобработка) или в космоса ( обемна трикоординатналечение).

На практика, за да премести инструмента, CNC системата не се нуждае само от референтни точки, тя се нуждае от по-подробно представяне. За изчисляване на междинни точки и издаване на команди за движение по линейни оси се използва специално изчислително устройство - интерполатор.

Интерполаторите се делят на линеенИ кръгъл. Линейният интерполатор се използва за изчисляване на праволинейното движение на инструмента. На входа интерполаторът получава информация за координатите на референтните точки, на изхода за всяка координата се формира последователност от импулси, необходими за изработване на дадена геометрия. Линейният интерполатор ви позволява да тренирате само праволинейнадвижение. Осигурете обаче точносъответствието на преместване по дадена права линия е доста трудно. Крайната траектория на движение приблизително прилича на прекъсната линия (фигурата по-долу).

В процеса на работа директният интерполатор последователно контролира активирането на задвижванията, след това ос X, след това от Y ос(ако линията лежи в равнината XY), изпращайки необходимия брой импулси към устройството. На фигурата по-горе, за да се изработи права линия, един импулс се изпраща към оста Y и два импулса към оста X. Значение допределя отклонението от зададената геометрия. защото резолюцията ви позволява да зададете един импулс, по който да се движите 0.001 mm, тогава може да се вземе предвид крайната счупена крива гладка.

По този начин линейният интерполатор изчислява необходимия брой импулси по една или друга ос и ги извежда към задвижванията.

Линейно програмиране

За да използвате линейния интерполатор (за програмиране на линейни движения), използвайте подготвителната функция G01и посочват координатите на крайната точка на движение с дадена скорост.

G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, където

X, Y, Z– адреси на линейни оси;

Е- скорост на движението;

Например, за програмиране на праволинейно движение от точка Аточно бсъс скорост 1000 мм/мине необходимо да се формира следната рамка в UE.

Този термин има други значения, вижте Интерполация. За функцията вижте: Interpolant.

Интерполация, интерполация (отлат. интерполис - « изгладен, обновен, обновен; преобразуван"") - в изчислителната математика, метод за намиране на междинни стойности на количество от съществуващ дискретен набор от известни стойности. Терминът "интерполация" е използван за първи път от Джон Валис в неговия трактат "Аритметиката на безкрайното" (1656).

Във функционалния анализ интерполацията на линейни оператори е раздел, който разглежда банаховите пространства като елементи от определена категория.

Много от тези, които се занимават с научни и инженерни изчисления, често трябва да работят с набори от стойности, получени емпирично или чрез произволно вземане на проби. Като правило, въз основа на тези набори, се изисква да се конструира функция, върху която други получени стойности биха могли да паднат с висока точност. Такава задача се нарича апроксимация. Интерполацията е вид приближение, при което кривата на построената функция минава точно през наличните точки от данни.

Съществува и проблем, близък до интерполацията, който се състои в апроксимирането на сложна функция с друга, по-проста функция. Ако определена функция е твърде сложна за продуктивни изчисления, можете да опитате да изчислите нейната стойност в няколко точки и да изградите, тоест да интерполирате, по-проста функция от тях. Разбира се, използването на опростена функция не ви позволява да получите същите точни резултати, каквито би дала оригиналната функция. Но в някои класове проблеми печалбата в простотата и скоростта на изчисленията може да надделее над получената грешка в резултатите.

Трябва да споменем и съвсем различен вид математическа интерполация, известна като "операторна интерполация". Класическите трудове по операторна интерполация включват теоремата на Riesz-Thorin и теоремата на Marcinkiewicz, които са в основата на много други работи.

Дефиниции

Да разгледаме система от несъвпадащи точки x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) от някакъв домейн D ( \displaystyle D) . Нека стойностите на функцията f (\displaystyle f) са известни само в тези точки:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Проблемът с интерполацията е да се намери функция F (\displaystyle F) от даден клас функции, така че

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Точките x i (\displaystyle x_(i)) се извикват интерполационни възли, а съвкупността им е интерполационна мрежа.
• Двойките (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) се наричат точки за данниили базови точки.
• Разлика между "съседни" стойности Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - стъпка на интерполационната мрежа. Тя може да бъде както променлива, така и постоянна.
• Функция F (x) (\displaystyle F(x)) - интерполираща функцияили интерполант.

Пример

1. Да кажем, че имаме таблична функция като тази по-долу, която за множество стойности на x (\displaystyle x) определя съответните стойности на f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполацията ни помага да знаем каква стойност може да има такава функция в точка, различна от посочените точки (например, когато х = 2,5).

Към днешна дата има много различни методи за интерполация. Изборът на най-подходящия алгоритъм зависи от отговорите на въпросите: колко точен е избраният метод, каква е цената за използването му, колко гладка е функцията за интерполация, колко точки от данни изисква и т.н.

2. Намерете междинна стойност (чрез линейна интерполация).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2- 15.5))(1))=16.1993)

В езиците за програмиране

Пример за линейна интерполация за функцията y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Потребителят може да въведе число между 1 и 10.

Fortran

програма interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 измерение x(10) измерение y(10) извикване prisv(x, i) извикване func(x, y, i) write(*,*) "въведете число: " прочетете(*,*) xv ако ((xv >= 1).и.(xv xv)) тогава yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end подпрограма

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2 "); system("echo Enter число: "); cin >> ob; система ("ехо Например 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Интерполационни методи

Интерполация на най-близкия съсед

Най-простият метод за интерполация е интерполацията на най-близкия съсед.

Интерполация чрез полиноми

В практиката най-често се използва интерполация чрез полиноми. Това се дължи главно на факта, че полиномите са лесни за изчисляване, лесно е аналитично да се намерят техните производни и множеството от полиноми е плътно в пространството на непрекъснатите функции (теорема на Вайерщрас).

• Линейна интерполация
• Интерполационна формула на Нютон
• Метод на крайните разлики
• IMN-1 и IMN-2
• Полином на Лагранж (интерполационен полином)
• Схемата на Ейткен
• сплайн функция
• кубичен сплайн

Обратна интерполация (изчисляване на x при дадено y)

• Полином на Лагранж
• Обратна интерполация по формулата на Нютон
• Обратна интерполация на Гаус

Интерполация на функция с множество променливи

• Билинейна интерполация
• Бикубична интерполация

Други методи за интерполация

• Рационална интерполация
• Тригонометрична интерполация

Свързани понятия

• Екстраполация - методи за намиране на точки извън даден интервал (разширение на кривата)
• Апроксимация – методи за построяване на приближени криви

Обратна интерполация

върху класа функции от пространството C2, чиито графики минават през точките от масива (xi, yi), i = 0, 1, . . . , м.

Решение. Сред всички функции, които преминават през референтните точки (xi, f(xi)) и принадлежат към споменатото пространство, а именно кубичен сплайн S(x), удовлетворяващ граничните условия S00(a) = S00(b) = 0, осигурява екстремум (минимум) на функционала I(f).

Често в практиката възниква проблем с търсенето на дадена стойност на функцията на стойността на аргумента. Този проблем се решава чрез методи на обратна интерполация. Ако дадената функция е монотонна, тогава най-лесният начин да извършите обратна интерполация е да замените функцията с аргумент и обратно и след това да интерполирате. Ако дадената функция не е монотонна, тогава тази техника не може да се използва. След това, без да променяме ролите на функцията и аргумента, записваме тази или онази интерполационна формула; използвайки известните стойности на аргумента и, ако приемем, че функцията е известна, решаваме полученото уравнение по отношение на аргумента.

Оценката на остатъчния член при използване на първия трик ще бъде същата като при директна интерполация, само производните на директната функция трябва да бъдат заменени с производни на обратна функция. Нека оценим грешката на втория метод. Ако ни е дадена функция f(x) и Ln (x) е интерполационният полином на Лагранж, конструиран за тази функция върху възлите x0, x1, x2, . . . , xn, тогава

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Да предположим, че трябва да намерим стойност x¯, така че f (¯x) = y¯ (y¯ е дадено). Ще решим уравнението Ln (x) = y¯. Нека получим някаква стойност x¯. Замествайки в предишното уравнение, получаваме:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Прилагайки формулата на Лангранж, получаваме
(x¯ − x¯) f0 (η) =
където η е между x¯ и x¯. If е интервал, който съдържа x¯ и x¯ и min

от последния израз следва:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

В този случай, разбира се, се приема, че сме решили точно уравнението Ln (x) = y¯.

Използване на интерполация за табулиране

Теорията на интерполацията има приложения при съставянето на таблици с функции. След като получи такъв проблем, математикът трябва да реши редица въпроси, преди да започне изчисленията. Трябва да се избере формулата, по която ще се извършват изчисленията. Тази формула може да варира от сайт на сайт. Обикновено формулите за изчисляване на стойностите на функцията са тромави и затова се използват за получаване на някои референтни стойности и след това, чрез подтаблиране, те удебеляват таблицата. Формулата, която дава референтните стойности на функцията, трябва да осигури необходимата точност на таблиците, като се вземе предвид следната подтаблица. Ако искате да компилирате таблици с постоянна стъпка, първо трябва да определите нейната стъпка.

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

Най-често функционалните таблици се съставят така, че да е възможна линейна интерполация (т.е. интерполация, използваща първите два члена на формулата на Тейлър). В този случай оставащият срок ще изглежда така

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Тук ξ принадлежи на интервала между две съседни таблични стойности на аргумента, в който се намира x, а t е между 0 и 1. Продуктът t(t − 1) приема най-големия модул

стойност при t = 12. Тази стойност е равна на 14. Така,

Трябва да се помни, че до тази грешка - грешката на метода, при практическото изчисляване на междинните стойности, все още ще има непоправима грешка и грешка при закръгляване. Както видяхме по-рано, фаталната грешка при линейна интерполация ще бъде равна на грешката на табличните стойности на функцията. Грешката при закръгляване ще зависи от изчислителните средства и от програмата за изчисление.

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

Предметен индекс

разделени разлики от втори ред, 8 от първи ред, 8

шпонка, 15

интерполационни възли, 4

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как се прави интерполация

Формула за интерполиране на таблични данни

Използва се във 2-ра стъпка, когато количеството NXR (Q, t) от условието е междинно между 100 т и 300 т.

(Изключение:ако Q е равно на 100 или 300 по условие, тогава не е необходима интерполация).

г о- Вашето първоначално количество NHR от условието, в тонове

(съответства на буквата Q)

г 1 – по-малък

(от таблици 11-16, обикновено 100).

г 2 – Повече ▼ най-близката до вашата стойност на количеството NCR, в тонове

(от таблици 11-16, обикновено 300).

х 1 г 1 (х 1 разположен отсреща г 1 ), км.

х 2 - таблична стойност на дълбочината на разпространение на облак от замърсен въздух (G t), съответно г 2 (х 2 разположен отсреща г 2 ), км.

х 0 - желана стойност Ж Tсъответстващ г о(според формулата).

Пример.

NCR - хлор; Q = 120 t;

Тип SVSP (степен на вертикално съпротивление на въздуха) - инверсия.

намирам Ж T- таблична стойност на дълбочината на разпространение на облака от замърсен въздух.

Преглеждаме таблици 11-16 и намираме данни, които отговарят на вашето състояние (хлор, инверсия).

Подходяща таблица 11.

Избор на ценности г 1 , г 2, х 1 , х 2 . важно - вземаме скоростта на вятъра 1 m / s., вземаме температурата - 20 ° C.

Заменете избраните стойности във формулата и намерете х 0 .

важно - изчислението е правилно, ако х 0 ще има стойност някъде между х 1 , х 2 .

1.4. Интерполационна формула на Лагранж

Предложеният от Лагранж алгоритъм за конструиране на интерполация

функции съгласно таблици (1) осигурява изграждането на интерполационния полином Ln(x) във формата

Очевидно изпълнението на условия (11) за (10) определя изпълнението на условия (2) от постановката на интерполационния проблем.

Полиномите li(x) се записват по следния начин

Обърнете внимание, че нито един фактор в знаменателя на формула (14) не е равен на нула. След като изчислите стойностите на константите ci, можете да ги използвате, за да изчислите стойностите на интерполираната функция в дадени точки.

Формулата на интерполационния полином на Лагранж (11), като се вземат предвид формули (13) и (14), може да бъде записана като

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Организиране на ръчни изчисления по формулата на Лагранж

Директното прилагане на формулата на Лагранж води до голям брой еднотипни изчисления. За таблици с малки размери тези изчисления могат да се извършват както ръчно, така и в софтуерната среда.

На първия етап разглеждаме алгоритъма на изчисленията, извършени ръчно. В бъдеще същите изчисления трябва да се повторят в околната среда

Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc.

На фиг. 6 показва пример на изходна таблица на интерполирана функция, дефинирана от четири възела.

Фиг.6. Таблица, съдържаща началните данни за четирите възела на интерполираната функция

В третата колона на таблицата записваме стойностите на коефициентите qi, изчислени по формули (14). По-долу е даден запис на тези формули за n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Следващата стъпка в изпълнението на ръчните изчисления е изчисляването на стойностите li(x) (j=0,1,2,3), извършено по формули (13).

Нека напишем тези формули за версията на таблицата, която разглеждаме с четири възела:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Нека изчислим стойностите на полиномите li(xj) (j=0,1,2,3) и ги запишем в клетките на таблицата. Стойностите на функцията Ycalc(x), съгласно формула (11), ще бъдат получени в резултат на сумиране на стойностите на li(xj) в редове.

Форматът на таблицата, която включва колони с изчислени стойности li(xj) и колона със стойности Ycalc(x), е показан на фиг.8.

Ориз. 8. Таблица с резултатите от ръчните изчисления, извършени по формули (16), (17) и (11) за всички стойности на аргумента xi

След завършване на формирането на таблицата, показана на фиг. 8, по формули (17) и (11) е възможно да се изчисли стойността на интерполираната функция за всяка стойност на аргумента X. Например, за X=1 изчисляваме стойностите li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Обобщавайки стойностите на li(1) получаваме стойността Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Реализиране на алгоритъма за интерполация по формули на Лагранж в средата на програмата Microsoft Excel

Изпълнението на алгоритъма за интерполация започва, както при ръчните изчисления, с писане на формули за изчисляване на коефициентите qi. 9 показва колоните на таблицата с дадените стойности на аргумента, интерполираната функция и коефициентите qi. Вдясно от тази таблица са формулите, които са записани в клетките на колона C за изчисляване на стойностите на коефициентите qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Ориз. 9 Таблица с коефициенти qi и формули за изчисление

След въвеждане на формулата q0 в клетка C2, тя се изтегля през клетки от C3 до C5. След това формулите в тези клетки се коригират в съответствие с (16) във формата, показана на фиг. 9.

Ycalc(xi),

Внедрявайки формули (17), ние пишем формули за изчисляване на стойностите li(x) (i=0,1,2,3) в клетките на колони D, E, F и G. В клетка D2 за изчисляване на стойността l0(x0), записваме формулата:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

получаваме стойностите l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Форматът на връзката $A2 ви позволява да разтегнете формулата по колони E, F, G, за да формирате изчислителни формули за изчисляване на li(x0) (i=1,2,3). Плъзгането на формула върху ред не променя индекса на колоната на аргументите. За да се изчисли li(x0) (i=1,2,3) след изчертаване на формулата l0(x0) е необходимо да се коригират по формули (17).

В колона H поставяме формулите на Excel за сумиране на li(x) по формулата

(11) алгоритъм.

На фиг. 10 показва таблица, реализирана в програмната среда Microsoft Excel. Признак за коректността на формулите, записани в клетките на таблицата, и извършените изчислителни операции е получената диагонална матрица li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), повтаряйки резултатите, показани на фиг. 8 и колона със стойности, съответстващи на стойностите на интерполираната функция във възлите на оригиналната таблица.

Ориз. 10. Таблица със стойности li(xj) (j=0,1,2,3) и Ycalc(xj)

За да изчислите стойностите в някои междинни точки, това е достатъчно

В клетките на колона A, започвайки от клетка A6, въведете стойностите на аргумента X, за които искате да определите стойностите на интерполираната функция. Маркирайте

в последния (5-ти) ред на таблицата с клетки от l0(xn) до Ycalc(xn) и разтегнете формулите, записани в избраните клетки, до реда, съдържащ последния

дадената стойност на аргумента x.

На фиг. 11 показва таблица, в която се изчислява стойността на функцията в три точки: x=1, x=2 и x=3. В таблицата е въведена допълнителна колона с номера на редове от таблицата с изходни данни.

Ориз. 11. Изчисляване на стойностите на интерполирани функции с помощта на формули на Лагранж

За по-голяма яснота на показване на резултатите от интерполацията ще изградим таблица, която включва колона със стойности на аргумента X, подредени във възходящ ред, колона с начални стойности на функцията Y(X) и колона

Кажете ми как да използвам формулата за интерполация и коя при решаването на задачи в термодинамиката (топлотехника)

Иван Шестакович

Най-простата, но често недостатъчно точна интерполация е линейната. Когато вече имате две известни точки (X1 Y1) и (X2 Y2) и трябва да намерите Y стойностите на деня на някой X, който е между X1 и X2. Тогава формулата е проста.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Между другото, тази формула работи и за X стойности извън интервала X1..X2, но това вече се нарича екстрополация и на значително разстояние от този интервал дава много голяма грешка.
Има много други изтривалки. методи на интерполация - съветвам те да прочетеш учебника или да се поровиш в интернет.
Методът на графичната интерполация също не е изключен - ръчно начертайте графика през известни точки и намерете Y от графиката за търсеното X. ;)

Роман

Имате две значения. И приблизително зависимостта (линейна, квадратна, ..)
Графиката на тази функция минава през вашите две точки. Имате нужда от стойност някъде по средата. Е, експрес!
Например. В таблицата при температура 22 градуса налягането на наситените пари е 120 000 Ра, а при 26 124 000 Ра. След това при температура 23 градуса 121000 Pa.

Интерполация (координати)

На картата (изображение) има координатна мрежа.
Има някои добре известни референтни точки (n>3) с две x,y стойности- координати в пиксели и координати в метри.
Необходимо е да се намерят междинни стойности на координатите в метри, като се знаят координатите в пиксели.
Линейната интерполация не е подходяща - твърде много грешки извън линията.
Подобно на това: (Xc - координата в метри по x, Xp - координата в пиксели по x, Xc3 - желана стойност по x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Как да намерим същата формула за намиране на Xc и Yc, при дадени не две (като тук), а N известни референтни точки?

Joka папрат lowd

Съдейки по написаните формули, съвпадат ли осите на координатните системи в пиксели и метри?
Тоест Xp -> Xc се интерполира независимо и Yp -> Yc се интерполира независимо. Ако не, тогава трябва да използвате двумерна интерполация Xp,Yp->Xc и Xp,Yp->Yc, което донякъде усложнява задачата.
Освен това се приема, че координатите Xp и Xc са свързани с някаква зависимост.
Ако природата на зависимостта е известна (или се предполага, например, че Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), тогава е възможно да се получат параметрите на тази зависимост (за дадената зависимост a, b, c) с помощта на регресионен анализ (Метод на най-малките квадрати). При този метод, ако зададете определена зависимост Xc(Xp), можете да получите формула за параметрите на зависимостта от референтните данни. Този метод позволява по-специално да се намери линейна връзка, която най-добре отговаря на даден набор от данни.
Недостатък: При този метод координатите Xc, получени от данните на контролните точки Xp, могат да се различават от дадените. Например, апроксимационната права линия, начертана през експерименталните точки, не минава точно през самите тези точки.
Ако се изисква точно съвпадение и естеството на зависимостта е неизвестно, трябва да се използват методи на интерполация. Най-простият математически е интерполационният полином на Лагранж, минаващ точно през референтните точки. Въпреки това, поради високата степен на този полином с голям брой контролни точки и лошо качество на интерполация, е по-добре да не се използва. Предимството е сравнително простата формула.
По-добре е да използвате сплайн интерполация. Същността на този метод е, че във всеки участък между две съседни точки изследваната зависимост се интерполира с полином, а в точките на свързване на два интервала се записват условия за гладкост. Предимството на този метод е качеството на интерполацията. Недостатъци - почти невъзможно е да се изведе обща формула, трябва да намерите коефициентите на полинома във всяка секция алгоритмично. Друг недостатък е трудността при обобщаване на 2D интерполация.