Μεταξύ όλης της ποικιλίας των λογαριθμικών ανισώσεων, οι ανισώσεις με μεταβλητή βάση μελετώνται χωριστά. Επιλύονται χρησιμοποιώντας μια ειδική φόρμουλα, η οποία για κάποιο λόγο σπάνια διδάσκεται στο σχολείο:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Αντί για το πλαίσιο ελέγχου "∨", μπορείτε να βάλετε οποιοδήποτε σύμβολο ανισότητας: περισσότερο ή λιγότερο. Το κυριότερο είναι ότι και στις δύο ανισότητες τα ζώδια είναι ίδια.

Έτσι απαλλαγούμε από τους λογάριθμους και ανάγουμε το πρόβλημα σε μια ορθολογική ανισότητα. Το τελευταίο είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί, αλλά κατά την απόρριψη λογαρίθμων, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Για να τα κόψετε, αρκεί να βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών. Εάν έχετε ξεχάσει το ODZ ενός λογάριθμου, συνιστώ ανεπιφύλακτα να το επαναλάβετε - δείτε «Τι είναι ο λογάριθμος».

Όλα όσα σχετίζονται με το εύρος των αποδεκτών τιμών πρέπει να γράφονται και να επιλύονται ξεχωριστά:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Αυτές οι τέσσερις ανισότητες αποτελούν ένα σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα. Όταν βρεθεί το εύρος των αποδεκτών τιμών, το μόνο που μένει είναι να το τέμνουμε με τη λύση της ορθολογικής ανισότητας - και η απάντηση είναι έτοιμη.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ του λογαρίθμου:

Οι δύο πρώτες ανισότητες ικανοποιούνται αυτόματα, αλλά η τελευταία θα πρέπει να διαγραφεί. Εφόσον το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μηδέν αν και μόνο αν ο ίδιος ο αριθμός είναι μηδέν, έχουμε:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογάριθμου είναι όλοι οι αριθμοί εκτός από το μηδέν: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Τώρα λύνουμε την κύρια ανισότητα:

Κάνουμε τη μετάβαση από τη λογαριθμική ανισότητα στην ορθολογική. Η αρχική ανισότητα έχει πρόσημο "λιγότερο από", που σημαίνει ότι η προκύπτουσα ανισότητα πρέπει επίσης να έχει πρόσημο "λιγότερο από". Εχουμε:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Τα μηδενικά αυτής της έκφρασης είναι: x = 3; x = −3; x = 0. Επιπλέον, το x = 0 είναι ρίζα της δεύτερης πολλαπλότητας, που σημαίνει ότι κατά τη διέλευση από αυτήν, το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει. Εχουμε:

Παίρνουμε x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Αυτό το σύνολο περιέχεται πλήρως στο ODZ του λογαρίθμου, που σημαίνει ότι αυτή είναι η απάντηση.

Μετατροπή λογαριθμικών ανισώσεων

Συχνά η αρχική ανισότητα είναι διαφορετική από την παραπάνω. Αυτό μπορεί εύκολα να διορθωθεί χρησιμοποιώντας τους τυπικούς κανόνες για την εργασία με λογάριθμους - βλέπε «Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων». Και συγκεκριμένα:

1. Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος με δεδομένη βάση.
2. Το άθροισμα και η διαφορά λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις μπορούν να αντικατασταθούν από έναν λογάριθμο.

Ξεχωριστά, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω το εύρος των αποδεκτών τιμών. Δεδομένου ότι μπορεί να υπάρχουν αρκετοί λογάριθμοι στην αρχική ανισότητα, απαιτείται να βρεθεί η VA καθενός από αυτούς. Έτσι, το γενικό σχήμα για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων έχει ως εξής:

1. Βρείτε το VA κάθε λογάριθμου που περιλαμβάνεται στην ανισότητα.
2. Μειώστε την ανισότητα σε τυπική χρησιμοποιώντας τους τύπους για την πρόσθεση και την αφαίρεση λογαρίθμων.
3. Λύστε την προκύπτουσα ανισότητα χρησιμοποιώντας το σχήμα που δίνεται παραπάνω.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού (DO) του πρώτου λογάριθμου:

Λύνουμε με τη μέθοδο του διαστήματος. Βρίσκοντας τα μηδενικά του αριθμητή:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Τότε - τα μηδενικά του παρονομαστή:

x − 1 = 0;
x = 1.

Σημειώνουμε μηδενικά και σημάδια στο βέλος συντεταγμένων:

Παίρνουμε x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Ο δεύτερος λογάριθμος θα έχει το ίδιο VA. Αν δεν το πιστεύετε, μπορείτε να το ελέγξετε. Τώρα μετασχηματίζουμε τον δεύτερο λογάριθμο έτσι ώστε η βάση να είναι δύο:

Όπως βλέπετε, τα τριάρια στη βάση και μπροστά από τον λογάριθμο έχουν μειωθεί. Πήραμε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση. Ας τα αθροίσουμε:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Λάβαμε την τυπική λογαριθμική ανισότητα. Απαλλαγούμε από τους λογάριθμους χρησιμοποιώντας τον τύπο. Εφόσον η αρχική ανισότητα περιέχει ένα πρόσημο "λιγότερο από", η προκύπτουσα ορθολογική έκφραση πρέπει επίσης να είναι μικρότερη από το μηδέν. Εχουμε:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Έχουμε δύο σετ:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Απάντηση υποψηφίου: x ∈ (−1; 3).

Απομένει να διασταυρωθούν αυτά τα σύνολα - παίρνουμε την πραγματική απάντηση:

Μας ενδιαφέρει η τομή των συνόλων, επομένως επιλέγουμε διαστήματα που είναι σκιασμένα και στα δύο βέλη. Παίρνουμε x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - όλα τα σημεία είναι τρυπημένα.

Για παράδειγμα, η ανισότητα είναι η έκφραση \(x>5\).

Τύποι ανισοτήτων:

Αν τα \(a\) και \(b\) είναι αριθμοί ή , τότε καλείται η ανισότητα αριθμητικός. Στην πραγματικότητα απλώς συγκρίνει δύο αριθμούς. Τέτοιες ανισότητες χωρίζονται σε πιστόςΚαι άπιστος.

Για παράδειγμα:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

Το \(17+3\geq 115\) είναι μια λανθασμένη αριθμητική ανισότητα, αφού το \(17+3=20\), και το \(20\) είναι μικρότερο από \(115\) (και όχι μεγαλύτερο ή ίσο με) .

Εάν τα \(a\) και \(b\) είναι εκφράσεις που περιέχουν μια μεταβλητή, τότε έχουμε ανισότητα με μεταβλητή. Τέτοιες ανισότητες χωρίζονται σε τύπους ανάλογα με το περιεχόμενο:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Μεταβλητή μόνο στην πρώτη δύναμη
\(3x^2-x+5>0\)				Υπάρχει μια μεταβλητή στη δεύτερη δύναμη (τετράγωνο), αλλά δεν υπάρχουν ανώτερες δυνάμεις (τρίτη, τέταρτη, κ.λπ.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... και ούτω καθεξής.

Ποια είναι η λύση σε μια ανισότητα;

Αν αντικαταστήσετε έναν αριθμό αντί για μια μεταβλητή με μια ανισότητα, θα μετατραπεί σε αριθμητική.

Εάν μια δεδομένη τιμή για το x μετατρέψει την αρχική ανισότητα σε αληθινή αριθμητική, τότε καλείται λύση στην ανισότητα. Εάν όχι, τότε αυτή η τιμή δεν είναι λύση. Και στο λύσει την ανισότητα– πρέπει να βρείτε όλες τις λύσεις του (ή να δείξετε ότι δεν υπάρχουν).

Για παράδειγμα,Αν αντικαταστήσουμε τον αριθμό \(7\) στη γραμμική ανισότητα \(x+6>10\), παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα: \(13>10\). Και αν αντικαταστήσουμε το \(2\), θα υπάρξει μια λανθασμένη αριθμητική ανισότητα \(8>10\). Δηλαδή, το \(7\) είναι μια λύση στην αρχική ανισότητα, αλλά το \(2\) δεν είναι.

Ωστόσο, η ανισότητα \(x+6>10\) έχει άλλες λύσεις. Πράγματι, θα πάρουμε τις σωστές αριθμητικές ανισώσεις όταν αντικαταστήσουμε τα \(5\), και \(12\), και \(138\)... Και πώς μπορούμε να βρούμε όλες τις πιθανές λύσεις; Για αυτό χρησιμοποιούν Για την περίπτωσή μας έχουμε:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος από τέσσερα είναι κατάλληλος για εμάς. Τώρα πρέπει να γράψετε την απάντηση. Οι λύσεις των ανισώσεων συνήθως γράφονται αριθμητικά, σημειώνοντάς τες επιπλέον στον αριθμητικό άξονα με σκίαση. Για την περίπτωσή μας έχουμε:

Απάντηση: \(x\in(4;+\infty)\)

Πότε αλλάζει το πρόσημο μιας ανισότητας;

Υπάρχει μια μεγάλη παγίδα στις ανισότητες που πραγματικά «λατρεύουν» να πέφτουν οι μαθητές:

Κατά τον πολλαπλασιασμό (ή τη διαίρεση) μιας ανίσωσης με έναν αρνητικό αριθμό, αντιστρέφεται ("περισσότερο" με "λιγότερο", "περισσότερο ή ίσο" με "λιγότερο από ή ίσο" και ούτω καθεξής)

Γιατί συμβαίνει αυτό? Για να το καταλάβουμε αυτό, ας δούμε τους μετασχηματισμούς της αριθμητικής ανισότητας \(3>1\). Είναι σωστό, το τρία είναι όντως μεγαλύτερο από ένα. Αρχικά, ας προσπαθήσουμε να το πολλαπλασιάσουμε με οποιονδήποτε θετικό αριθμό, για παράδειγμα, δύο:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Όπως μπορούμε να δούμε, μετά τον πολλαπλασιασμό η ανισότητα παραμένει αληθινή. Και ανεξάρτητα από το θετικό αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε, πάντα θα έχουμε τη σωστή ανισότητα. Τώρα ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε με έναν αρνητικό αριθμό, για παράδειγμα, μείον τρία:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Το αποτέλεσμα είναι μια λανθασμένη ανισότητα, γιατί το μείον εννέα είναι μικρότερο από το μείον τρία! Δηλαδή, για να γίνει αληθινή η ανισότητα (και επομένως, ο μετασχηματισμός του πολλαπλασιασμού με αρνητικό ήταν "νόμιμος"), πρέπει να αντιστρέψετε το πρόσημο σύγκρισης, ως εξής: \(−9<− 3\).
Με τη διαίρεση θα λειτουργήσει με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να το ελέγξετε μόνοι σας.

Ο κανόνας που γράφτηκε παραπάνω ισχύει για όλους τους τύπους ανισώσεων, όχι μόνο για αριθμητικές.

Παράδειγμα: Λύστε την ανίσωση \(2(x+1)-1<7+8x\)
Λύση:

\(2x+2-1<7+8x\)	Ας μετακινηθούμε \(8x\) προς τα αριστερά και \(2\) και \(-1\) προς τα δεξιά, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με το \(-6\), χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε από "λιγότερο" σε "περισσότερο"
	Ας σημειώσουμε ένα αριθμητικό διάστημα στον άξονα. Ανισότητα, επομένως «τρυπάμε» την ίδια την τιμή \(-1\) και δεν την παίρνουμε ως απάντηση
	Ας γράψουμε την απάντηση ως ένα διάστημα

Απάντηση: \(x\in(-1;\infty)\)

Ανισότητες και αναπηρία

Οι ανισότητες, όπως και οι εξισώσεις, μπορεί να έχουν περιορισμούς στο , δηλαδή στις τιμές του x. Συνεπώς, αυτές οι τιμές που είναι απαράδεκτες σύμφωνα με το DZ θα πρέπει να εξαιρεθούν από το φάσμα των λύσεων.

Παράδειγμα: Λύστε την ανισότητα \(\sqrt(x+1)<3\)

Λύση: Είναι σαφές ότι για να είναι η αριστερή πλευρά μικρότερη από \(3\), η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μικρότερη από \(9\) (εξάλλου από \(9\) μόλις \(3\)). Παίρνουμε:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(Χ<8\)

Ολα? Οποιαδήποτε τιμή x μικρότερη από \(8\) θα μας ταιριάζει; Οχι! Διότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, την τιμή \(-5\) που φαίνεται να ταιριάζει στην απαίτηση, δεν θα είναι λύση στην αρχική ανισότητα, αφού θα μας οδηγήσει στον υπολογισμό της ρίζας ενός αρνητικού αριθμού.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Επομένως, πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τους περιορισμούς στην τιμή του X - δεν μπορεί να είναι τέτοιος ώστε να υπάρχει αρνητικός αριθμός κάτω από τη ρίζα. Έτσι, έχουμε τη δεύτερη απαίτηση για το x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Και για να είναι το x η τελική λύση, πρέπει να ικανοποιεί και τις δύο απαιτήσεις ταυτόχρονα: πρέπει να είναι μικρότερο από \(8\) (για να είναι λύση) και μεγαλύτερο από \(-1\) (για να είναι αποδεκτό κατ' αρχήν). Σχεδιάζοντας το στην αριθμητική γραμμή, έχουμε την τελική απάντηση:

Απάντηση: \(\αριστερά[-1;8\δεξιά)\)

Στόχος του μαθήματος: σκεφτείτε να λύσετε πιο σύνθετες ανισότητες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Δήλωση του θέματος και του σκοπού του μαθήματος.

II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού.

1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με την εργασία (ανάλυση άλυτων προβλημάτων).

2. Παρακολούθηση αφομοίωσης του υλικού (τεστ).

III. Εκμάθηση νέου υλικού.

Επίλυση σύνθετων ανισοτήτων με ενότητες ή παραμέτρους σε αυτές.

Ας λύσουμε την ανίσωση |x – 1| < 3.

Αρχικά, ας λύσουμε αναλυτικά αυτήν την ανισότητα εξετάζοντας δύο περιπτώσεις:

α) Αν x – 1 > 0, δηλαδή x > 1, τότε |x – 1| = x – 1 και η ανισότητα μοιάζει με x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε τη λύση 1< х < 4 или х [ 1; 4).

β) Αν x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Βρίσκουμε την ένωση των λύσεων που λαμβάνονται.

Δεδομένου ότι η εγγραφή της απάντησης σε προβλήματα με παραμέτρους είναι πολύ σημαντική (η απάντηση γράφεται με αύξουσα σειρά της παραμέτρου), δίνουμε την πλήρη απάντηση:

Όταν ένα< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

Τώρα ας δούμε τις γραμμικές ανισότητες σε δύο μεταβλητές. Κατά κανόνα, τέτοια προβλήματα περιορίζονται στην απεικόνιση ενός συνόλου σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα στο επίπεδο συντεταγμένων.

Στο επίπεδο συντεταγμένων απεικονίζουμε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα y-2 > x-3.

Ας γράψουμε αυτή την ανισότητα με τη μορφή y > x-1. Αρχικά, ας σχεδιάσουμε τη γραμμική συνάρτηση y = x-1 (ευθεία γραμμή). Αυτή η ευθεία διαιρεί όλα τα σημεία του επιπέδου συντεταγμένων σε σημεία που βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία και σημεία που βρίσκονται κάτω από αυτήν την ευθεία. Ας ελέγξουμε ποια σημεία ικανοποιούν αυτήν την ανισότητα.

Από την πρώτη περιοχή παίρνουμε, για παράδειγμα, το σημείο ελέγχου A (0; 0) - την αρχή των συντεταγμένων. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι τότε ισχύει η ανισότητα y > -1. Από τη δεύτερη περιοχή επιλέγουμε, για παράδειγμα, το σημείο ελέγχου Β (1; -1). Για ένα τέτοιο σημείο δεν ισχύει η ανίσωση y > x-1. Κατά συνέπεια, αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από σημεία που βρίσκονται πάνω και στην ευθεία y = x-1 (δηλαδή σημεία παρόμοια με το σημείο Α). Αυτά τα σημεία είναι σκιασμένα.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου a δεν έχει λύσεις η εξίσωση ax 2 + x – 1 = 0;

Δεδομένου ότι ο κύριος συντελεστής της εξίσωσης εξαρτάται από την παράμετρο a, είναι απαραίτητο να εξεταστούν δύο περιπτώσεις.

α) Αν a 0, τότε η εξίσωση ax 2 + x – 1 = 0 είναι τετραγωνική. Μια τέτοια εξίσωση δεν έχει λύσεις αν η διακρίνουσα D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

β) Αν a = 0, τότε η εξίσωση ax 2 + x – 1 = 0 είναι γραμμική και έχει τη μορφή x – 1 = 0. Προφανώς, η εξίσωση έχει μοναδική λύση x = 1.

Άρα, για ένα (-; -) αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Ας λύσουμε την ανίσωση |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Ας γράψουμε την ανισότητα με τη μορφή |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 και a 2 > 0 για όλες τις τιμές του a, μετά το άθροισμα

|α| + a 2 > 0 για όλα τα a. Επομένως η ανισότητα, |a| + α 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Παρόμοιοι τύποι ανισοτήτων υπάρχουν με δύο μεταβλητές.

Στο επίπεδο συντεταγμένων απεικονίζουμε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα y-1< х 2 .

Ας γράψουμε την ανισότητα με τη μορφή y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

1. Λύστε την ανισότητα αναλυτικά:

2. Για όλες τις τιμές του a, λύστε την ανισότητα:

3. Σε ποιες τιμές της παραμέτρου a κάνει η εξίσωση

α) 3x 2 – 2x + a = 0 δεν έχει ρίζες.
β) 2x 2 – 3x + 5a = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες.
γ) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες.
δ) το ax 2 – 3x + 2 = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

4. Να λύσετε αναλυτικά (και αν είναι δυνατόν, γραφικά) τις ανισότητες:

Τι πρέπει να γνωρίζετε για τα εικονίδια ανισότητας; Ανισότητες με εικονίδιο περισσότερο (> ), ή πιο λιγο (< ) λέγονται αυστηρός.με εικονίδια περισσότερο ή ίσο (≥ ), λιγότερο ή ίσο (≤ ) λέγονται όχι αυστηρή.Εικόνισμα όχι ίσα (≠ ) ξεχωρίζει, αλλά πρέπει επίσης να λύνετε παραδείγματα με αυτό το εικονίδιο συνέχεια. Και θα αποφασίσουμε.)

Το ίδιο το εικονίδιο δεν έχει μεγάλη επίδραση στη διαδικασία λύσης. Αλλά στο τέλος της απόφασης, κατά την επιλογή της τελικής απάντησης, η έννοια του εικονιδίου εμφανίζεται σε πλήρη ισχύ! Αυτό θα δούμε παρακάτω σε παραδείγματα. Υπάρχουν μερικά αστεία εκεί...

Οι ανισότητες, όπως και οι ισότητες, υπάρχουν πιστός και άπιστος.Όλα είναι απλά εδώ, χωρίς κόλπα. Ας πούμε 5 > Το 2 είναι μια πραγματική ανισότητα. 5 < 2 - λάθος.

Αυτή η προετοιμασία λειτουργεί για τις ανισότητες κάθε είδουςκαι απλό μέχρι φρίκης.) Απλά πρέπει να εκτελέσετε σωστά δύο (μόνο δύο!) στοιχειώδεις ενέργειες. Αυτές οι ενέργειες είναι γνωστές σε όλους. Αλλά, χαρακτηριστικά, τα λάθη σε αυτές τις ενέργειες είναι το κύριο λάθος στην επίλυση των ανισοτήτων, ναι... Επομένως, αυτές οι ενέργειες πρέπει να επαναληφθούν. Οι ενέργειες αυτές ονομάζονται ως εξής:

Πανομοιότυποι μετασχηματισμοί ανισοτήτων.

Οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των ανισοτήτων είναι πολύ παρόμοιοι με πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εξισώσεων.Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το κύριο πρόβλημα. Οι διαφορές ξεπερνούν το κεφάλι σας και... ορίστε.) Ως εκ τούτου, θα τονίσω ιδιαίτερα αυτές τις διαφορές. Έτσι, ο πρώτος πανομοιότυπος μετασχηματισμός των ανισοτήτων:

1. Ο ίδιος αριθμός ή έκφραση μπορεί να προστεθεί (να αφαιρεθεί) και στις δύο πλευρές της ανισότητας. Οποιος. Αυτό δεν θα αλλάξει το πρόσημο της ανισότητας.

Στην πράξη, αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται ως μεταφορά όρων από την αριστερή πλευρά της ανισότητας προς τα δεξιά (και αντίστροφα) με αλλαγή προσήμου. Με αλλαγή στο πρόσημο του όρου, όχι την ανισότητα! Ο κανόνας ένα προς ένα είναι ο ίδιος με τον κανόνα για τις εξισώσεις. Αλλά οι παρακάτω πανομοιότυποι μετασχηματισμοί στις ανισότητες διαφέρουν σημαντικά από εκείνους στις εξισώσεις. Τα ξεχωρίζω λοιπόν με κόκκινο:

2. Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με το ίδιο πράγμαθετικόςαριθμός. Για κάθεθετικός Δεν θα αλλάξει.

3. Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με το ίδιο πράγμααρνητικόςαριθμός. Για κάθεαρνητικόςαριθμός. Το σημάδι της ανισότητας από αυτόθα αλλάξει στο αντίθετο.

Θυμάσαι (ελπίζω...) ότι η εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί/διαιρεθεί με οτιδήποτε. Και για οποιονδήποτε αριθμό και για έκφραση με Χ. Μακάρι να μην ήταν μηδέν. Αυτό τον κάνει, η εξίσωση, ούτε ζεστό ούτε κρύο.) Δεν αλλάζει. Αλλά οι ανισότητες είναι πιο ευαίσθητες στον πολλαπλασιασμό/διαίρεση.

Ένα ξεκάθαρο παράδειγμα μακράς μνήμης. Ας γράψουμε μια ανισότητα που δεν προκαλεί αμφιβολίες:

5 > 2

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές κατά +3, παίρνουμε:

15 > 6

Καμιά αντίρρηση; Δεν υπάρχουν αντιρρήσεις.) Και αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής ανισότητας επί -3, παίρνουμε:

15 > -6

Και αυτό είναι ένα καθαρό ψέμα.) Ένα απόλυτο ψέμα! Παραπλάνηση του λαού! Αλλά μόλις αλλάξετε το σύμβολο της ανισότητας στο αντίθετο, όλα μπαίνουν στη θέση τους:

15 < -6

Δεν ορκίζομαι μόνο για ψέματα και εξαπάτηση.) «Ξέχασα να αλλάξω το σύμβολο της ισότητας…»- Αυτό Σπίτισφάλμα στην επίλυση ανισοτήτων. Αυτός ο τετριμμένος και απλός κανόνας έχει πληγώσει τόσους πολλούς ανθρώπους! Το οποίο ξέχασαν...) Ορκίζομαι λοιπόν. Ίσως θυμηθώ...)

Ιδιαίτερα προσεκτικοί άνθρωποι θα παρατηρήσουν ότι η ανισότητα δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια έκφραση με Χ. Σεβασμός σε όσους είναι προσεκτικοί!) Γιατί όχι; Η απάντηση είναι απλή. Δεν γνωρίζουμε το πρόσημο αυτής της έκφρασης με ένα Χ. Μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό... Επομένως, δεν ξέρουμε ποιο πρόσημο ανισότητας να βάλουμε μετά τον πολλαπλασιασμό. Να το αλλάξω ή όχι; Αγνωστος. Φυσικά, αυτός ο περιορισμός (η απαγόρευση του πολλαπλασιασμού/διαίρεσης μιας ανισότητας με μια παράσταση με x) μπορεί να παρακαμφθεί. Εάν το χρειάζεστε πραγματικά. Αλλά αυτό είναι ένα θέμα για άλλα μαθήματα.

Αυτοί είναι όλοι οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των ανισοτήτων. Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι δουλεύουν για όποιοςανισότητες Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε σε συγκεκριμένους τύπους.

Γραμμικές ανισότητες. Λύση, παραδείγματα.

Γραμμικές ανισώσεις είναι οι ανισώσεις στις οποίες το x είναι στην πρώτη δύναμη και δεν υπάρχει διαίρεση με το x. Τύπος:

x+3 > 5x-5

Πώς επιλύονται τέτοιες ανισότητες; Λύνονται πολύ εύκολα! Δηλαδή: με τη βοήθεια του μειώνουμε την πιο μπερδεμένη γραμμική ανισότητα κατευθείαν στην απάντηση.Αυτή είναι η λύση. Θα επισημάνω τα κύρια σημεία της απόφασης. Για να αποφύγετε ανόητα λάθη.)

Ας λύσουμε αυτήν την ανισότητα:

x+3 > 5x-5

Το λύνουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως μια γραμμική εξίσωση. Με τη μόνη διαφορά:

Παρακολουθούμε προσεκτικά το ζώδιο της ανισότητας!

Το πρώτο βήμα είναι το πιο συνηθισμένο. Με Χ - προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά... Αυτή είναι η πρώτη πανομοιότυπη μεταμόρφωση, απλή και απροβλημάτιστη.) Απλά μην ξεχάσετε να αλλάξετε τα σημάδια των μεταφερόμενων όρων.

Το πρόσημο της ανισότητας παραμένει:

x-5x > -5-3

Εδώ είναι παρόμοια.

Το πρόσημο της ανισότητας παραμένει:

4x > -8

Απομένει να εφαρμόσουμε τον τελευταίο πανομοιότυπο μετασχηματισμό: διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

Διαιρέστε με αρνητικόςαριθμός.

Το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει στο αντίθετο:

Χ < 2

Αυτή είναι η απάντηση.

Έτσι λύνονται όλες οι γραμμικές ανισότητες.

Προσοχή! Το σημείο 2 σχεδιάζεται λευκό, δηλ. αζωγράφιστος. Άδειο μέσα. Αυτό σημαίνει ότι δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση! Την ζωγράφισα τόσο υγιής επίτηδες. Ένα τέτοιο σημείο (άδειο, όχι υγιές!)) στα μαθηματικά λέγεται τρυπημένο σημείο.

Οι υπόλοιποι αριθμοί στον άξονα μπορούν να επισημανθούν, αλλά όχι απαραίτητοι. Οι εξωγενείς αριθμοί που δεν σχετίζονται με την ανισότητά μας μπορεί να προκαλούν σύγχυση, ναι... Απλά πρέπει να θυμάστε ότι οι αριθμοί αυξάνονται προς την κατεύθυνση του βέλους, δηλ. αριθμοί 3, 4, 5 κ.λπ. είναι δεξιάείναι δύο και οι αριθμοί είναι 1, 0, -1 κ.λπ. - αριστερά.

Ανισότητα x < 2 - αυστηρός. Το Χ είναι αυστηρά μικρότερο από δύο. Εάν έχετε αμφιβολίες, ο έλεγχος είναι απλός. Αντικαθιστούμε τον αμφίβολο αριθμό με την ανισότητα και σκεφτόμαστε: "Το δύο είναι μικρότερο από δύο; Όχι, φυσικά!" Ακριβώς. Ανισότητα 2 < 2 ανακριβής.Ένα δύο σε αντάλλαγμα δεν είναι κατάλληλο.

Είναι ένα εντάξει; Σίγουρα. Λιγότερο... Και το μηδέν είναι καλό, και το -17, και το 0,34... Ναι, όλοι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι από δύο είναι καλοί! Και μάλιστα 1,9999.... Τουλάχιστον λίγο, αλλά λιγότερο!

Ας σημειώσουμε λοιπόν όλους αυτούς τους αριθμούς στον αριθμητικό άξονα. Πως? Υπάρχουν επιλογές εδώ. Η πρώτη επιλογή είναι η σκίαση. Μετακινούμε το ποντίκι πάνω από την εικόνα (ή αγγίζουμε την εικόνα στο tablet) και βλέπουμε ότι η περιοχή όλων των x που πληρούν την συνθήκη x είναι σκιασμένη < 2 . Αυτό είναι όλο.

Ας δούμε τη δεύτερη επιλογή χρησιμοποιώντας το δεύτερο παράδειγμα:

Χ ≥ -0,5

Σχεδιάστε έναν άξονα και σημειώστε τον αριθμό -0,5. Σαν αυτό:

Παρατηρήστε τη διαφορά;) Λοιπόν, ναι, είναι δύσκολο να μην παρατηρήσετε... Αυτή η κουκκίδα είναι μαύρη! Βαμμένο πάνω. Αυτό σημαίνει -0,5 περιλαμβάνεται στην απάντηση.Εδώ, παρεμπιπτόντως, η επαλήθευση μπορεί να μπερδέψει κάποιον. Ας αντικαταστήσουμε:

-0,5 ≥ -0,5

Πως και έτσι? -0,5 δεν είναι περισσότερο από -0,5! Και υπάρχει κι άλλο εικονίδιο...

Είναι εντάξει. Σε μια ασθενή ανισότητα, ό,τι ταιριάζει στο εικονίδιο είναι κατάλληλο. ΚΑΙ ισοδυναμείκαλό και περισσότεροΚαλός. Επομένως, το -0,5 περιλαμβάνεται στην απάντηση.

Έτσι, σημειώσαμε -0,5 στον άξονα, απομένει να σημειώσουμε όλους τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από -0,5. Αυτή τη φορά σημειώνω την περιοχή των κατάλληλων τιμών x τόξο(από τη λέξη τόξο), αντί για σκίαση. Περνάμε τον κέρσορα πάνω από το σχέδιο και βλέπουμε αυτό το τόξο.

Δεν υπάρχει ιδιαίτερη διαφορά μεταξύ της σκίασης και των βραχιόνων. Κάνε όπως λέει ο δάσκαλος. Εάν δεν υπάρχει δάσκαλος, σχεδιάστε καμάρες. Σε πιο σύνθετες εργασίες, η σκίαση είναι λιγότερο εμφανής. Μπορεί να μπερδευτείτε.

Έτσι σχεδιάζονται οι γραμμικές ανισότητες σε έναν άξονα. Ας προχωρήσουμε στο επόμενο χαρακτηριστικό των ανισοτήτων.

Γράφοντας την απάντηση για τις ανισότητες.

Οι εξισώσεις ήταν καλές.) Βρήκαμε το x και γράψαμε την απάντηση, για παράδειγμα: x=3. Υπάρχουν δύο μορφές γραφής απαντήσεων στις ανισότητες. Το ένα έχει τη μορφή τελικής ανισότητας. Καλό για απλές περιπτώσεις. Για παράδειγμα:

Χ< 2.

Αυτή είναι μια ολοκληρωμένη απάντηση.

Μερικές φορές χρειάζεται να γράψετε το ίδιο πράγμα, αλλά με διαφορετική μορφή, σε αριθμητικά διαστήματα. Τότε η ηχογράφηση αρχίζει να φαίνεται πολύ επιστημονική):

x ∈ (-∞; 2)

Κάτω από το εικονίδιο ∈ η λέξη είναι κρυμμένη «ανήκει».

Το λήμμα έχει ως εξής: Το x ανήκει στο διάστημα από μείον άπειρο έως δύο δεν περιλαμβάνει. Αρκετά λογικό. Το X μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από όλους τους πιθανούς αριθμούς από μείον άπειρο έως δύο. Δεν μπορεί να υπάρχει διπλό Χ, αυτό που μας λέει η λέξη "δεν περιλαμβάνει".

Και πού στην απάντηση είναι ξεκάθαρο ότι "δεν περιλαμβάνει"? Αυτό το γεγονός σημειώνεται στην απάντηση γύροςπαρένθεση αμέσως μετά τα δύο. Αν περιλαμβάνονταν και τα δύο, η αγκύλη θα ήταν τετράγωνο.Σαν αυτό: ]. Το παρακάτω παράδειγμα χρησιμοποιεί μια τέτοια παρένθεση.

Ας γράψουμε την απάντηση: x ≥ -0,5 κατά διαστήματα:

x ∈ [-0,5; +∞)

Διαβάζει: Το x ανήκει στο διάστημα από μείον 0,5, συμπεριλαμβανομένου,στο συν άπειρο.

Το Infinity δεν μπορεί ποτέ να ενεργοποιηθεί. Δεν είναι αριθμός, είναι σύμβολο. Επομένως, σε τέτοιες σημειώσεις, το άπειρο βρίσκεται πάντα δίπλα σε μια παρένθεση.

Αυτή η μορφή εγγραφής είναι κατάλληλη για σύνθετες απαντήσεις που αποτελούνται από πολλά κενά. Αλλά - μόνο για τελικές απαντήσεις. Σε ενδιάμεσα αποτελέσματα, όπου αναμένεται περαιτέρω λύση, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται η συνήθης μορφή, με τη μορφή απλής ανισότητας. Θα ασχοληθούμε με αυτό στα σχετικά θέματα.

Δημοφιλείς εργασίες με ανισότητες.

Οι ίδιες οι γραμμικές ανισότητες είναι απλές. Ως εκ τούτου, οι εργασίες γίνονται συχνά πιο δύσκολες. Άρα ήταν απαραίτητο να σκεφτούμε. Αυτό, αν δεν το έχετε συνηθίσει, δεν είναι πολύ ευχάριστο.) Αλλά είναι χρήσιμο. Θα δείξω παραδείγματα τέτοιων εργασιών. Όχι για να τα μάθεις, είναι περιττό. Και για να μη φοβάσαι όταν συναντάς τέτοια παραδείγματα. Σκεφτείτε λίγο - και είναι απλό!)

1. Βρείτε οποιεσδήποτε δύο λύσεις στην ανίσωση 3x - 3< 0

Εάν δεν είναι πολύ σαφές τι πρέπει να κάνετε, θυμηθείτε τον κύριο κανόνα των μαθηματικών:

Αν δεν ξέρετε τι χρειάζεστε, κάντε ό,τι μπορείτε!)

Χ < 1

Και τι? Τίποτα ιδιαίτερο. Τι μας ζητάνε; Μας ζητείται να βρούμε δύο συγκεκριμένους αριθμούς που είναι η λύση μιας ανισότητας. Εκείνοι. ταιριάζει στην απάντηση. Δύο όποιοςαριθμοί. Στην πραγματικότητα, αυτό προκαλεί σύγχυση.) Μερικά 0 και 0,5 είναι κατάλληλα. Ένα ζευγάρι -3 και -8. Υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτά τα ζευγάρια! Ποια απάντηση είναι σωστή;!

Απαντώ: τα πάντα! Οποιοδήποτε ζευγάρι αριθμών, καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος από έναν, θα είναι η σωστή απάντηση.Γράψε ποιο θέλεις. Ας προχωρήσουμε.

2. Λύστε την ανίσωση:

4x - 3 ≠ 0

Οι εργασίες σε αυτή τη μορφή είναι σπάνιες. Αλλά, ως βοηθητικές ανισότητες, κατά την εύρεση ODZ,για παράδειγμα, ή όταν βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, εμφανίζονται αρκετά συχνά. Μια τέτοια γραμμική ανισότητα μπορεί να λυθεί ως μια συνηθισμένη γραμμική εξίσωση. Μόνο παντού εκτός από το σύμβολο "=" ( ισοδυναμεί) βάλε ένα σημάδι " ≠ " (όχι ίσα). Έτσι προσεγγίζετε την απάντηση, με πρόσημο ανισότητας:

Χ ≠ 0,75

Σε πιο σύνθετα παραδείγματα, είναι καλύτερο να κάνετε τα πράγματα διαφορετικά. Φτιάξτε την ανισότητα από την ισότητα. Σαν αυτό:

4x - 3 = 0

Λύστε το ήρεμα όπως διδάσκεται και λάβετε την απάντηση:

x = 0,75

Το κύριο πράγμα είναι, στο τέλος, όταν γράφετε την τελική απάντηση, μην ξεχνάτε ότι βρήκαμε το x, το οποίο δίνει ισότητα.Και χρειαζόμαστε - ανισότητα.Επομένως, δεν χρειαζόμαστε πραγματικά αυτό το X.) Και πρέπει να το γράψουμε με το σωστό σύμβολο:

Χ ≠ 0,75

Αυτή η προσέγγιση οδηγεί σε λιγότερα σφάλματα. Αυτοί που λύνουν εξισώσεις αυτόματα. Και για όσους δεν λύνουν εξισώσεις, οι ανισότητες, στην πραγματικότητα, δεν ωφελούν...) Ένα άλλο παράδειγμα δημοφιλούς εργασίας:

3. Βρείτε τη μικρότερη ακέραια λύση της ανίσωσης:

3 (x - 1) < 5x + 9

Πρώτα απλά λύνουμε την ανισότητα. Ανοίγουμε τις αγκύλες, τις μετακινούμε, φέρνουμε παρόμοιες... Παίρνουμε:

Χ > - 6

Δεν βγήκε έτσι!; Ακολούθησες τα σημάδια!? Και πίσω από τα σημάδια των μελών, και πίσω από το σημάδι της ανισότητας...

Ας ξανασκεφτούμε. Πρέπει να βρούμε έναν συγκεκριμένο αριθμό που να ταιριάζει τόσο με την απάντηση όσο και με την προϋπόθεση «μικρότερος ακέραιος».Εάν δεν σας ξημερώσει αμέσως, μπορείτε απλώς να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό και να τον καταλάβετε. Δύο πάνω από μείον έξι; Σίγουρα! Υπάρχει κατάλληλος μικρότερος αριθμός; Φυσικά. Για παράδειγμα, το μηδέν είναι μεγαλύτερο από -6. Και ακόμα λιγότερο; Χρειαζόμαστε το μικρότερο δυνατό πράγμα! Το μείον τρία είναι περισσότερο από το μείον έξι! Μπορείς ήδη να πιάσεις το μοτίβο και να σταματήσεις να περνάς ανόητα τους αριθμούς, σωστά;)

Ας πάρουμε έναν αριθμό πιο κοντά στο -6. Για παράδειγμα, -5. Η απάντηση εκπληρώνεται, -5 > - 6. Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας άλλος αριθμός μικρότερος από -5 αλλά μεγαλύτερος από -6; Μπορείς, για παράδειγμα, -5,5... Σταμάτα! Μας είπαν ολόκληροςλύση! Δεν κυλάει -5,5! Τι γίνεται με το μείον έξι; Α-α! Η ανισότητα είναι αυστηρή, το μείον 6 δεν είναι σε καμία περίπτωση μικρότερο από το μείον 6!

Επομένως, η σωστή απάντηση είναι -5.

Ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα με την επιλογή της αξίας από τη γενική λύση. Ενα άλλο παράδειγμα:

4. Λύστε την ανισότητα:

7 < 3x+1 < 13

Ουάου! Αυτή η έκφραση ονομάζεται τριπλή ανισότητα.Αυστηρά μιλώντας, αυτό είναι μια συντομευμένη μορφή ενός συστήματος ανισοτήτων. Αλλά τέτοιες τριπλές ανισότητες πρέπει ακόμα να λυθούν σε κάποιες εργασίες... Μπορεί να λυθεί χωρίς κανένα σύστημα. Σύμφωνα με τις ίδιες ταυτόσημες μετατροπές.

Πρέπει να απλοποιήσουμε, να φέρουμε αυτήν την ανισότητα στο καθαρό Χ. Αλλά... Τι να μετακινηθεί πού;! Εδώ είναι που ήρθε η ώρα να θυμάστε ότι είναι η κίνηση αριστερά και δεξιά σύντομη μορφήπρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας.

Και η πλήρης φόρμα ακούγεται ως εξής: Οποιοσδήποτε αριθμός ή έκφραση μπορεί να προστεθεί/αφαιρηθεί και στις δύο πλευρές της εξίσωσης (ανισότητα).

Υπάρχουν τρία μέρη εδώ. Θα εφαρμόσουμε λοιπόν πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και στα τρία μέρη!

Λοιπόν, ας απαλλαγούμε από αυτό που βρίσκεται στο μεσαίο τμήμα της ανισότητας. Ας αφαιρέσουμε ένα από ολόκληρο το μεσαίο τμήμα. Για να μην αλλάξει η ανισότητα αφαιρούμε ένα από τα υπόλοιπα δύο μέρη. Σαν αυτό:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Αυτό είναι καλύτερο, σωστά;) Το μόνο που μένει είναι να χωρίσουμε και τα τρία μέρη σε τρία:

2 < Χ < 4

Αυτό είναι όλο. Αυτή είναι η απάντηση. Το X μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από δύο (μη συμπεριλαμβανομένου) έως τέσσερα (μη συμπεριλαμβανομένου). Αυτή η απάντηση καταγράφεται επίσης κατά διαστήματα, τέτοιες εγγραφές θα περιλαμβάνονται τετραγωνικές ανισότητες.Εκεί είναι το πιο συνηθισμένο πράγμα.

Στο τέλος του μαθήματος θα επαναλάβω το πιο σημαντικό. Η επιτυχία στην επίλυση γραμμικών ανισοτήτων εξαρτάται από την ικανότητα μετασχηματισμού και απλοποίησης γραμμικές εξισώσεις.Αν την ίδια στιγμή προσέξτε το σημάδι της ανισότητας,δεν θα υπάρξουν προβλήματα. Αυτό σου εύχομαι. Χωρίς προβλήματα.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.