Ιδιότητες αριθμητικών συναρτήσεων. Αριθμητικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους Αυτό το υλικό έχει συνταχθεί σύμφωνα με τα Ομοσπονδιακά Κρατικά Πρότυπα
Αριθμητική συνάρτησηΑυτή η αντιστοιχία μεταξύ ενός συνόλου αριθμών ονομάζεται Χκαι πολλά Rπραγματικοί αριθμοί, στους οποίους κάθε αριθμός από το σύνολο Χταιριάζει με έναν αριθμό από ένα σύνολο R.Ενα μάτσο Χπου ονομάζεται τομέα της συνάρτησης
. Οι λειτουργίες υποδεικνύονται με γράμματα στ, ζ, ηκλπ. Αν φά– λειτουργία που ορίζεται στο σετ Χ, μετά πραγματικός αριθμός y,που αντιστοιχεί στον αριθμό Χείναι πολλοί από αυτούς Χ, συχνά υποδηλώνεται f(x)και γράψε
y = f(x).Μεταβλητός Χαυτό ονομάζεται επιχείρημα. Σύνολο αριθμών της φόρμας f(x)που ονομάζεται εύρος λειτουργίας
Η συνάρτηση καθορίζεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο. Για παράδειγμα , y = 2Χ - 2. Εάν, κατά τον καθορισμό μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας έναν τύπο, το πεδίο ορισμού της δεν υποδεικνύεται, τότε θεωρείται ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το πεδίο ορισμού της έκφρασης f(x).
1. Η συνάρτηση καλείται μονότονος σε ένα ορισμένο διάστημα Α, εάν αυξάνεται ή μειώνεται σε αυτό το διάστημα
2. Η συνάρτηση καλείται αυξανόμενη σε ένα ορισμένο διάστημα Α, εάν για οποιονδήποτε αριθμό του συνόλου τους Α ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: .
Το γράφημα μιας αυξανόμενης συνάρτησης έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό: όταν κινείται κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του διαστήματος ΕΝΑοι τεταγμένες των σημείων του γραφήματος αυξάνονται (Εικ. 4).
3. Η συνάρτηση καλείται μειώνεται σε κάποιο διάστημα ΕΝΑ, εάν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχουν πολλοί από αυτούς ΕΝΑπληρούται η προϋπόθεση: .
Το γράφημα μιας φθίνουσας συνάρτησης έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό: όταν κινείται κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του διαστήματος ΕΝΑοι τεταγμένες των σημείων του γραφήματος μειώνονται (Εικ. 4).
4. Η συνάρτηση καλείται ακόμη και
σε κάποιο σετ Χ,εάν πληρούται η προϋπόθεση: 
.
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων (Εικ. 2).
5. Η συνάρτηση καλείται Περιττός
σε κάποιο σετ Χ,εάν πληρούται η προϋπόθεση: 
.
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (Εικ. 2).
6. Εάν η συνάρτηση y = f(x)
f(x) f(x), τότε λένε ότι η συνάρτηση y = f(x)δέχεται μικρότερη τιμή
στο =f(x)στο Χ= Χ(Εικ. 2, η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή στο σημείο με συντεταγμένες (0;0)).
7. Εάν η συνάρτηση y = f(x)ορίζεται στο σύνολο Χ και υπάρχει τέτοιο ώστε για οποιαδήποτε η ανισότητα f(x) f(x), τότε λένε ότι η συνάρτηση y = f(x)δέχεται υψηλότερη τιμή στο =f(x)στο Χ= Χ(Εικ. 4, η συνάρτηση δεν έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές) .
Αν για αυτή τη λειτουργία y = f(x)όλα τα αναγραφόμενα ακίνητα έχουν μελετηθεί, τότε λένε ότι μελέτηλειτουργίες.
Όρια.
Ένας αριθμός Α ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης καθώς το x τείνει στο ∞ αν για οποιοδήποτε E>0, υπάρχει δ (E)>0 έτσι ώστε για όλα τα x να ικανοποιεί την ανισότητα |x|>δ η ανίσωση |F(x) -Α| Ένας αριθμός Α ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης καθώς το X τείνει στο X 0 εάν για οποιοδήποτε E>0, υπάρχει δ (E)>0 τέτοιο ώστε για όλα τα X≠X 0 να ικανοποιεί την ανισότητα |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| ΜΟΝΟΜΕΡΗ ΟΡΙΑ. Κατά τον καθορισμό του ορίου, το X τείνει στο X0 με αυθαίρετο τρόπο, δηλαδή από οποιαδήποτε κατεύθυνση. Όταν το Χ τείνει στο Χ0, έτσι ώστε να είναι πάντα μικρότερο από το Χ0, τότε το όριο ονομάζεται όριο στο Χ0 στα αριστερά. Ή ένα αριστερό όριο. Το δεξί όριο ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Περίληψη μαθήματος σχετικά με το θέμα "Λειτουργίες και τις ιδιότητές τους". Στόχοι μαθήματος: Μεθοδικός:Αύξηση της ενεργητικής-γνωστικής δραστηριότητας των μαθητών μέσω της ανεξάρτητης εργασίας των ατομικών εργασιών και της χρήσης των εργασιών δοκιμής αναπτυξιακού τύπου. Εκπαιδευτικός:Επαναλάβετε τις στοιχειώδεις λειτουργίες, τις βασικές ιδιότητες και τα γραφήματα τους. Εισάγετε την έννοια των αμοιβαία αντίστροφων λειτουργιών. Συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με το θέμα. συμβάλλουν στην ενοποίηση των δεξιοτήτων στον υπολογισμό των λογαρίθμων, στην εφαρμογή των ιδιοτήτων τους κατά την επίλυση των καθηκόντων ενός μη τυπικού τύπου. Επαναλάβετε την κατασκευή γραφημάτων των λειτουργιών χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς και δοκιμάστε τις ικανότητές σας και τις ικανότητές σας κατά την επίλυση των ασκήσεων μόνοι σας. Εκπαιδευτικός:Προώθηση της ακρίβειας, της ψυχραιμίας, της ευθύνης και της ικανότητας λήψης ανεξάρτητων αποφάσεων. Αναπτυξιακή:Αναπτύξτε τις πνευματικές ικανότητες, τις ψυχικές επιχειρήσεις, την ομιλία, τη μνήμη. Αναπτύξτε μια αγάπη και ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, βεβαιωθείτε ότι οι μαθητές αναπτύσσουν ανεξάρτητη σκέψη στις μαθησιακές δραστηριότητες. Τύπος μαθήματος:γενίκευση και συστηματοποίηση. Εξοπλισμός:Διοικητικό Συμβούλιο, Υπολογιστής, Προβολέας, Οθόνη, Εκπαιδευτική Λογοτεχνία. Επίγραμμα μαθήματος:"Τα μαθηματικά πρέπει στη συνέχεια να διδαχθούν, επειδή θέτει το μυαλό σε τάξη." (M.V. Lomonosov). ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Έλεγχος εργασιών για το σπίτι. Επανάληψη εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων με βάση α = 2, κατασκευή των γραφημάτων τους στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων, ανάλυση της σχετικής τους θέσης. Εξετάστε την αλληλεξάρτηση μεταξύ των κύριων ιδιοτήτων αυτών των λειτουργιών (OOF και OFP). Δώστε την έννοια των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων. Εξετάστε τις εκθετικές και λογαριθμικές λειτουργίες με βάση a = ½ c Προκειμένου να διασφαλιστεί ότι παρατηρείται η αλληλεξάρτηση των καταχωρημένων ιδιοτήτων και για μειώνοντας τις αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Οργάνωση ανεξάρτητης εργασίας τύπου δοκιμής για την ανάπτυξη δεξιοτήτων σκέψης Λειτουργίες συστηματοποίησης σχετικά με το θέμα "Λειτουργίες και τις ιδιότητές τους". ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 1). y = │х│ ; 2). Αυξάνεται σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού. 3). OOF: (- ∞; + ∞) ; 4). y = αμαρτία x; 5). Μειώνεται στο 0< а < 1 ; 6). y = x³; 7). OPF: (0; + ∞) ; 8). Γενική λειτουργία; 9). y = √ x; 10). OOF: (0; + ∞) ; έντεκα). Μειώνεται σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού. 12). y = kx + b; 13). OSF: (- ∞; + ∞) ; 14). Αυξάνεται στο k > 0; 15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ; 16). y = cos x; 17). Δεν έχει ακραίους πόντους. 18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ; 19). Μειώνεται στο k< 0 ; 20). y = x²; 21). OOF: x ≠ πn; 22). y = k/x; 23). Ακόμη και; 25). Μειώνεται για k > 0; 26). OOF: [ 0; + ∞) ; 27). y = tan x; 28). Αυξάνεται με κ< 0; 29). OSF: [ 0; + ∞) ; τριάντα). Περιττός; 31). y = log x ; 32). OOF: x ≠ πn/2; 33). y = ctg x ; 34). Αυξάνεται όταν a > 1. Κατά τη διάρκεια αυτής της εργασίας, ερευνήστε τους μαθητές για ατομικές εργασίες: Νο 1. α) Να παραθέσετε τη συνάρτηση σε γραφική παράσταση β) Να σχηματίσετε τη συνάρτηση γραφικά Νο 2. α) Υπολογίστε: β) Υπολογίστε: Νο 3. α) Απλοποιήστε την έκφραση β) Απλοποιήστε την έκφραση Εργασία για το σπίτι: Νο. 1. Υπολογίστε: α) V) ΣΟΛ) Νο 2. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: α) V) Μαθήματα 1-2. Ορισμός αριθμητικής συνάρτησης και μέθοδοι προσδιορισμού της Στόχος: συζητήστε τον ορισμό μιας συνάρτησης και πώς να την ορίσετε. I. Επικοινωνία του θέματος και του σκοπού των μαθημάτων II. Ανασκόπηση υλικού 9ης τάξης Διάφορες πτυχές αυτού του θέματος έχουν ήδη καλυφθεί στους βαθμούς 7-9. Τώρα πρέπει να επεκτείνουμε και να συνοψίσουμε τις πληροφορίες σχετικά με τις λειτουργίες. Να σας υπενθυμίσουμε ότι το θέμα είναι από τα πιο σημαντικά για ολόκληρο το μάθημα των μαθηματικών. Διάφορες λειτουργίες θα μελετηθούν μέχρι την αποφοίτηση και περαιτέρω σε ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Αυτό το θέμα σχετίζεται στενά με την επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, προβλημάτων λέξεων, προόδους κ.λπ. Ορισμός 1. Έστω δύο σύνολα πραγματικών αριθμώνρε και ο Ε και ο νόμος υποδεικνύεταιφά Σύμφωνα με τον οποίο κάθε αριθμός x∈ Δ ταιριάζει με τον μοναδικό αριθμό y ∈ Ε (βλ. εικόνα). Τότε λένε ότι η λειτουργία y = f(x ) ή y (x) με τομέα ορισμού (O.O.)ρε και η περιοχή αλλαγής (O.I.) E. Στην περίπτωση αυτή, η τιμή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή (ή όρισμα της συνάρτησης), η τιμή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή (ή τιμή της συνάρτησης). Τομέας συνάρτησης f δηλώνουν D(f ). Το σετ αποτελούμενο από όλους τους αριθμούς f(x ) (εύρος λειτουργιών f), δηλώνετε E(f). Παράδειγμα 1 Εξετάστε τη συνάρτηση Προφανώς, για μια δεδομένη συνάρτηση, για οποιονδήποτε αποδεκτό αριθμό x, μπορεί να βρεθεί μόνο μία τιμή του y (δηλαδή, για κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μία τιμή του y). Ας εξετάσουμε τώρα το πεδίο ορισμού και το εύρος παραλλαγής αυτής της συνάρτησης. Είναι δυνατή η εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας της παράστασης (x - 2) μόνο εάν αυτή η τιμή είναι μη αρνητική, δηλαδή x - 2 ≥ 0 ή x ≥ 2. Βρείτε Οι ορθολογικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συχνά στα μαθηματικά. Σε αυτή την περίπτωση, συναρτήσεις της φόρμας f(x ) = p(x) (όπου το p(x) είναι πολυώνυμο) ονομάζονται ολόκληρες ορθολογικές συναρτήσεις. Λειτουργίες της φόρμας(όπου p(x) και q(x ) - πολυώνυμα) ονομάζονται κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις. Προφανώς ένα κλάσμαορίζεται αν ο παρονομαστής q(x ) δεν εξαφανίζεται. Επομένως, το πεδίο ορισμού της κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης- το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών από τους οποίους εξαιρούνται οι ρίζες του πολυωνύμου q(x). Παράδειγμα 2 Λογική λειτουργία Θυμηθείτε ότι η ένωση των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α ή Β. Η ένωση των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με το σύμβολο Α U Β. Έτσι, η ένωση των τμημάτων και (3; 9) είναι ένα διάστημα (μη τέμνοντα διαστήματα) συμβολίζονται με . Επιστρέφοντας στο παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε:Αφού για όλες τις αποδεκτές τιμές του x το κλάσμαδεν εξαφανίζεται, τότε η συνάρτηση f(x ) παίρνει όλες τις τιμές εκτός από το 3. Επομένως Παράδειγμα 3 Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης Οι παρονομαστές των κλασμάτων εξαφανίζονται σε x = 2, x = 1 και x = -3. Επομένως, ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης Παράδειγμα 4 Εθισμός Παράδειγμα 5 Εμφανίζονται γραφήματα δύο εξαρτήσεων y(x ). Ας προσδιορίσουμε ποια από αυτές είναι συνάρτηση. Στο Σχ. και δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης, αφού σε οποιοδήποτε σημείο x 0 αντιστοιχεί μόνο μία τιμή y0. Στο Σχ. Το b είναι ένα γράφημα κάποιου είδους εξάρτησης (αλλά όχι συνάρτησης), αφού υπάρχουν τέτοια σημεία (για παράδειγμα, x 0 ), οι οποίες αντιστοιχούν σε περισσότερες από μία τιμές y (για παράδειγμα, y1 και y2). Ας εξετάσουμε τώρα τους κύριους τρόπους καθορισμού συναρτήσεων. 1) Αναλυτικό (με χρήση τύπου ή τύπων). Παράδειγμα 6 Ας δούμε τις λειτουργίες: Παρά την ασυνήθιστη μορφή της, αυτή η σχέση ορίζει επίσης μια συνάρτηση. Για οποιαδήποτε τιμή του x είναι εύκολο να βρεθεί η τιμή του y. Για παράδειγμα, για x = -0,37 (από x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, τότε χρησιμοποιούμε την κάτω έκφραση) έχουμε: γ) 3x + y = 2y - x2. Ας εκφράσουμε την τιμή y από αυτή τη σχέση: 3x + x2 = 2y - y ή x2 + 3x = y. Έτσι, αυτή η σχέση ορίζει και τη συνάρτηση y = x2 + 3x. 2) Πίνακας Παράδειγμα 7 Ας γράψουμε έναν πίνακα με τετράγωνα y για τους αριθμούς x. 2,25
6,25
Τα δεδομένα του πίνακα ορίζουν επίσης μια συνάρτηση - για κάθε (που δίνεται στον πίνακα) τιμή του x, μπορεί να βρεθεί μια μεμονωμένη τιμή του y. Για παράδειγμα, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, κ.λπ. 3) Γραφικό Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, για να απεικονίσετε τη λειτουργική εξάρτηση y(x), είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα ειδικό σχέδιο - ένα γράφημα της συνάρτησης. Ορισμός 2. Γράφημα συνάρτησης y(x ) είναι το σύνολο όλων των σημείων του συστήματος συντεταγμένων, των οποίων οι τετμημένες είναι ίσες με τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x και οι τεταγμένες είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y. Δυνάμει αυτού του ορισμού, όλα τα ζεύγη σημείων (x0, y0) που ικανοποιούν τη συναρτητική εξάρτηση y(x) βρίσκονται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Οποιαδήποτε άλλα ζεύγη σημείων δεν ικανοποιούν την εξάρτηση y(x ), οι συναρτήσεις δεν βρίσκονται στο γράφημα. Παράδειγμα 8 Δίνεται μια λειτουργία 1. Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης y στοΕφόσον y(-2) = -6, τότε το σημείο Α (-2; -6) ανήκει στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης. 2. Να προσδιορίσετε την τιμή της συνάρτησης y atΑπό το y (-3) = -11, τότε το σημείο Β (-3; -10) δεν ανήκει στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης. Σύμφωνα με αυτή τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x ) είναι εύκολο να βρεθεί ο τομέας ορισμούΔ(στ ) και το εύροςΕ(στ ) λειτουργίες. Για να γίνει αυτό, τα σημεία του γραφήματος προβάλλονται στους άξονες συντεταγμένων. Τότε τα τετμημένα αυτών των σημείων αποτελούν το πεδίο ορισμούΔ(στ ), τεταγμένες - εύρος τιμώνΕ(στ). Ας συγκρίνουμε διαφορετικούς τρόπους ορισμού μιας συνάρτησης. Η αναλυτική μέθοδος θα πρέπει να θεωρείται η πληρέστερη. Σας επιτρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων για ορισμένες τιμές ορίσματος, να δημιουργήσετε ένα γράφημα της συνάρτησης και να πραγματοποιήσετε την απαραίτητη έρευνα της συνάρτησης. Ταυτόχρονα, η μέθοδος του πίνακα σάς επιτρέπει να βρείτε γρήγορα και εύκολα την τιμή της συνάρτησης για ορισμένες τιμές ορίσματος. Το γράφημα μιας συνάρτησης δείχνει ξεκάθαρα τη συμπεριφορά της. Επομένως, δεν πρέπει να αντιταχθεί κανείς σε διαφορετικές μεθόδους καθορισμού μιας συνάρτησης· καθεμία από αυτές έχει τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται και οι τρεις τρόποι καθορισμού μιας συνάρτησης. Παράδειγμα 9 Δίνεται η συνάρτηση y = 2x2 - 3x +1. Ας βρούμε: α) y (2); β) y (-3x); γ) y(x + 1). Για να βρεθεί η τιμή μιας συνάρτησης για μια ορισμένη τιμή του ορίσματος, είναι απαραίτητο να αντικατασταθεί αυτή η τιμή του ορίσματος στην αναλυτική μορφή της συνάρτησης. Επομένως παίρνουμε: Παράδειγμα 10 Είναι γνωστό ότι y (3 - x) = 2x2 - 4. Ας βρούμε: α) y(x); β) y(-2). α) Ας το δηλώσουμε με γράμμα z = 3, μετά x = 3 - z . Ας υποκαταστήσουμε αυτήν την τιμή x στην αναλυτική μορφή αυτής της συνάρτησης y (3 - x) = 2x2 - 4 και πάρτε: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z) 2 - 4, ή y (z) = 2 (3 - z) 2 - 4, ή y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, ή y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Δεδομένου ότι δεν έχει σημασία ποιο γράμμα δηλώνεται το όρισμα της λειτουργίας - z, x, t ή οποιοδήποτε άλλο, παίρνουμε αμέσως: y (x) = 2x2 - 12x + 14; β) Τώρα είναι εύκολο να βρεθεί Y (-2) = 2 · (-2) 2-12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46. Παράδειγμα 11 Είναι γνωστό ότι Ας δηλώσουμε με το γράμμα z = x - 2, μετά x = z + 2, και γράψτε την κατάσταση του προβλήματος:ή Μας ενδιαφέρει το άγνωστοένα. Για να το βρούμε, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αλγεβρικής προσθήκης. Επομένως, ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με τον αριθμό (-2), τη δεύτερη εξίσωση με τον αριθμό 3. Παίρνουμε: Ας προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις: Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι μέχρι το τέλος της 9ης τάξης μελετήθηκαν οι ακόλουθες ιδιότητες και γραφήματα: α) γραμμική συνάρτηση y = kx +Μ (η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή). β) τετραγωνική συνάρτηση y = ax2 +σι x + c (γραφική παράσταση - παραβολή); γ) κλασματική γραμμική συνάρτηση(γραφική παράσταση - υπερβολή), σε συγκεκριμένες συναρτήσεις δ) συνάρτηση ισχύος y = xa (συγκεκριμένα, η συνάρτηση ε) συναρτήσεις y = |x|. Για περαιτέρω μελέτη του υλικού, συνιστούμε να επαναλάβετε τις ιδιότητες και τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων. Τα παρακάτω μαθήματα θα καλύψουν τις βασικές μεθόδους μετατροπής γραφημάτων. 1. Ορίστε μια αριθμητική συνάρτηση. 2. Εξηγήστε πώς να ορίσετε μια συνάρτηση. 3. Τι ονομάζεται ένωση των συνόλων Α καιΣΙ? 4. Ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ορθολογικοί ακέραιοι; 5. Ποιες συναρτήσεις ονομάζονται κλασματικές ορθολογικές; Ποιος είναι ο τομέας ορισμού τέτοιων συναρτήσεων; 6. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x); 7. Δώστε τις ιδιότητες και τις γραφικές παραστάσεις των κύριων συναρτήσεων. IV. Ανάθεση μαθήματος § 1, Αρ. 1 (α, δ); 2 (c, d); 3 (α, β); 4 (c, d); 5 (α, β); 6 (γ); 7 (α, β); 8 (c, d); 10 (ένα ) 13 (c, d); 16 (α, β); 18. V. Εργασία για το σπίτι § 1, Νο. 1 (β, γ); 2 (α, β); 3 (c, d); 4 (α, β); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (α, β); 10 (β); 13 (α, β); 16 (c, d); 19. VI. Δημιουργικές εργασίες 1. Να βρείτε τη συνάρτηση y = f(x), εάν: Απαντήσεις: 2. Να βρείτε τη συνάρτηση y = f(x) εάν: Απαντήσεις: VII. Συνοψίζοντας τα μαθήματα OGOI SPO Ryazan Pedagogical College ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ Θέμα: «Αριθμητικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους. Άμεσες και αντιστρόφως αναλογικές σχέσεις» Τίτοβα Έλενα Βλαντιμίροβνα Ειδικότητα: 050709 «Διδασκαλία στο δημοτικό σχολείο με συμπληρωματική κατάρτιση στον τομέα της προσχολικής αγωγής» Μάθημα: 1 Ομάδα: 2 Τμήμα: σχολείο Επικεφαλής: Pristuplyuk Olga Nikolaevna Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………3 1.2 Μέθοδοι καθορισμού συναρτήσεων…………………………………………………….6 2.1 Η έννοια της ευθείας αναλογικότητας…………………..9 3.1
Λειτουργική προπαίδεια στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών....11 3.2 Επίλυση προβλημάτων που αφορούν αναλογικά εξαρτώμενα μεγέθη……18 Κατάλογος αναφορών………………………………..22 Εισαγωγή Στα μαθηματικά, η ιδέα μιας συνάρτησης εμφανίστηκε μαζί με την έννοια της ποσότητας. Είχε στενή σχέση με γεωμετρικές και μηχανικές έννοιες. Ο όρος συνάρτηση (από τα λατινικά - execution) εισήχθη για πρώτη φορά από τον Leibniz το 1694. Με τη συνάρτηση κατανοούσε τις τετμημένες, τις τεταγμένες και άλλα τμήματα που σχετίζονται με ένα σημείο που περιγράφει μια συγκεκριμένη γραμμή. Αυτό αναλυτική έκφραση,που αποτελείται από μια μεταβλητή και μια σταθερά. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση εκφράζεται με διάφορους τύπους τύπων: y=ax+b, y= =axІ+bx+c κ.λπ. Οι κύριες τάσεις στην ανάπτυξη της σύγχρονης σχολικής εκπαίδευσης εκφράζονται στις ιδέες του ανθρωπισμού, της ανθρωποποίησης, της προσέγγισης που βασίζεται στη δραστηριότητα και της προσωπικότητας για την οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Στη βάση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση έρχεται στο προσκήνιο η αρχή της προτεραιότητας της αναπτυξιακής λειτουργίας της διδασκαλίας. Κατά συνέπεια, η μελέτη της έννοιας της αριθμητικής συνάρτησης στο δημοτικό σχολείο είναι ένα αρκετά σημαντικό συστατικό στη διαμόρφωση των μαθηματικών εννοιών των μαθητών. Για έναν δάσκαλο πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, είναι απαραίτητο να επικεντρωθεί στη μελέτη αυτής της έννοιας, καθώς υπάρχει άμεση σχέση μεταξύ της λειτουργίας και πολλών τομέων της ανθρώπινης δραστηριότητας, που αργότερα θα βοηθήσουν τα παιδιά να εισέλθουν στον κόσμο της επιστήμης. εκτός ,
Οι μαθητές, κατά κανόνα, αντιλαμβάνονται επίσημα τον ορισμό της έννοιας της συνάρτησης και δεν έχουν ολιστική κατανόηση της λειτουργικής εξάρτησης, δηλ. δεν μπορούν να εφαρμόσουν τις γνώσεις τους στην επίλυση μαθηματικών και πρακτικών προβλημάτων. συσχετίζουν μια συνάρτηση αποκλειστικά με μια αναλυτική έκφραση στην οποία η μεταβλητή στοεκφράζεται μέσω μιας μεταβλητής Χ; δεν μπορεί να ερμηνεύσει αναπαραστάσεις συνάρτησης σε διαφορετικά μοντέλα. δυσκολεύονται να κατασκευάσουν γραφήματα συναρτήσεων με βάση τις ιδιότητές τους κ.λπ. Οι λόγοι για αυτές τις δυσκολίες σχετίζονται όχι μόνο και όχι τόσο με τη μεθοδολογία της μελέτης λειτουργικού υλικού σε ένα μάθημα άλγεβρας, αλλά με την απροετοιμασία της σκέψης των μαθητών να αντιληφθούν και να αφομοιώσουν την έννοια της «λειτουργίας». 1. Αριθμητικές συναρτήσεις 1.1 Ανάπτυξη της έννοιας της συναρτησιακής εξάρτησης στα μαθηματικά Ας αναλύσουμε την πρόοδο της ανάπτυξης παιδαγωγικών ιδεών στον τομέα της διδασκαλίας του πιο σημαντικού στοιχείου των μαθηματικών - της λειτουργικής εξάρτησης. Η λειτουργική γραμμή του μαθήματος των σχολικών μαθηματικών είναι ένα από τα κορυφαία μαθήματα στην άλγεβρα, την άλγεβρα και τις απαρχές της ανάλυσης. Το κύριο χαρακτηριστικό του εκπαιδευτικού υλικού αυτής της γραμμής είναι ότι με τη βοήθειά του μπορείτε να δημιουργήσετε διάφορες συνδέσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών. Κατά τη διάρκεια αρκετών αιώνων, η έννοια της λειτουργίας έχει αλλάξει και βελτιωθεί. Η ανάγκη μελέτης της λειτουργικής εξάρτησης σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών ήταν το επίκεντρο του παιδαγωγικού τύπου από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Τέτοιοι γνωστοί μεθοδολόγοι όπως οι M.V. Ostrogradsky, V.N. Shklarevich, S.I. Shokhor-Trotsky, V.E. Serdobinsky, V.P. Sheremetevsky έδωσαν μεγάλη προσοχή σε αυτό το θέμα στα έργα τους. Πρώτο στάδιο- το στάδιο της εισαγωγής της έννοιας της συνάρτησης (κυρίως μέσω μιας αναλυτικής έκφρασης) στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου. Δεύτερη φάσηΗ εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης σε ένα μάθημα άλγεβρας γυμνασίου χαρακτηρίζεται κυρίως από μια μετάβαση σε μια γραφική αναπαράσταση της λειτουργικής εξάρτησης και μια επέκταση του εύρους των συναρτήσεων που μελετήθηκαν. Τρίτο στάδιοΗ ανάπτυξη του ρωσικού σχολείου ξεκίνησε τη δεκαετία του '20. εικοστός αιώνας. Μια ανάλυση της μεθοδολογικής βιβλιογραφίας της σοβιετικής περιόδου έδειξε ότι η εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών συνοδεύτηκε από έντονες συζητήσεις και μας επέτρεψε να εντοπίσουμε τέσσερα κύρια προβλήματα γύρω από τα οποία υπήρχαν διαφορές απόψεων μεταξύ των μεθοδολόγων, και συγκεκριμένα: 1) ο σκοπός και η σημασία της μελέτης της έννοιας της λειτουργίας από τους μαθητές. 2) προσεγγίσεις για τον ορισμό μιας συνάρτησης. 3) το θέμα της λειτουργικής προπαίδειας. 4) η θέση και ο όγκος του λειτουργικού υλικού στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου. Τέταρτο στάδιολόγω της μεταφοράς της οικονομίας της RSFSR σε προγραμματισμένη βάση Το 1934, το σχολείο έλαβε το πρώτο σταθερό εγχειρίδιο του A.P. Kiselev, "Algebra", το οποίο αναθεωρήθηκε υπό την επιμέλεια του A.P. Barsukov σε δύο μέρη. Το δεύτερο μέρος του περιλάμβανε ενότητες «Συναρτήσεις και γραφήματα τους», «Τετραγωνική συνάρτηση». Επιπλέον, στην ενότητα «Γενίκευση της έννοιας του βαθμού» εξετάστηκε η εκθετική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της και στην ενότητα «Λογάριθμοι» εξετάστηκαν η λογαριθμική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της. Ήταν σε αυτό που η συνάρτηση ορίστηκε μέσω της έννοιας μιας μεταβλητής ποσότητας: «Αυτή η μεταβλητή ποσότητα, οι αριθμητικές τιμές της οποίας αλλάζουν ανάλογα με τις αριθμητικές τιμές μιας άλλης, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του άλλη μεταβλητή ποσότητα." Ωστόσο, δεν αντικατοπτρίζει την ιδέα της αντιστοιχίας και δεν αναφέρεται καμία αναλυτική έκφραση, η οποία μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι αυτός ο ορισμός έχει ένα σημαντικό ελάττωμα. Ο επιστήμονας θεώρησε τον σχηματισμό μιας ιδέας μιας λειτουργίας ως εκδήλωση φορμαλισμού στη διδασκαλία. Πίστευε ότι στο γυμνάσιο η έννοια της λειτουργίας πρέπει να διδάσκεται με βάση την έννοια της αντιστοιχίας. Αυτή η περίοδος χαρακτηρίζεται από ανεπαρκή χρόνο μελέτης λειτουργιών, κακοσχεδιασμένα συστήματα άσκησης, έλλειψη κατανόησης από τους μαθητές της πραγματικής ουσίας της έννοιας της λειτουργίας και χαμηλό επίπεδο λειτουργικών και γραφικών δεξιοτήτων των αποφοίτων σχολείων. Έτσι, προέκυψε και πάλι η ανάγκη μεταρρύθμισης της διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Η αναδιάρθρωση όλων των σχολικών μαθηματικών με βάση μια προσέγγιση θεωρητικής συνόλων σηματοδότησε το πέμπτο στάδιο στην ανάπτυξη της ιδέας της λειτουργικής εξάρτησης. Η ιδέα της προσέγγισης της θεωρητικής συνόλων αναλήφθηκε από μια ομάδα Γάλλων επιστημόνων που ενώθηκαν με το ψευδώνυμο Nicolas Bourbaki. Μια διεθνής συνάντηση πραγματοποιήθηκε στο Roymont (Γαλλία, 1959), στην οποία κηρύχθηκε η ανατροπή όλων των συμβατικών μαθημάτων. Το επίκεντρο ήταν οι δομές και οι ενοποιήσεις όλων των σχολικών μαθηματικών με βάση τη θεωρία συνόλων. Σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των μεταρρυθμιστικών ιδεών έπαιξαν τα άρθρα του V.L. Goncharov, στα οποία ο συγγραφέας επεσήμανε τη σημασία της πρώιμης και μακροπρόθεσμης λειτουργικής προπαίδειας και πρότεινε τη χρήση ασκήσεων που συνίστανται στην εκτέλεση ορισμένων προκαθορισμένων αριθμητικές αντικαταστάσεις στην ίδια δεδομένη έκφραση γραμμάτων. Η σταθεροποίηση των προγραμμάτων και των σχολικών βιβλίων δημιούργησε το έδαφος για θετικές αλλαγές στην ποιότητα των λειτουργικών γνώσεων των μαθητών. Στα τέλη της δεκαετίας του εξήντα και στις αρχές της δεκαετίας του '70, μαζί με τις αρνητικές αναθεωρήσεις, αυτές άρχισαν να εμφανίζονται στον Τύπο, γεγονός που σημείωσε μια ορισμένη βελτίωση στη γνώση των πτυχιούχων σχολείων για λειτουργίες και γραφήματα. Ωστόσο, το συνολικό επίπεδο μαθηματικής ανάπτυξης των μαθητών παρέμεινε γενικά ανεπαρκές. Τα μαθήματα μαθηματικών σχολείων συνέχισαν να ξοδεύουν ένα υπερβολικό χρονικό διάστημα για την επίσημη προετοιμασία και δεν έδωσαν αρκετή προσοχή στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να μαθαίνουν ανεξάρτητα. Ετσι, αριθμητική συνάρτησηείναι μια αλληλογραφία μεταξύ ενός αριθμητικού συνόλου r πραγματικών αριθμών, στην οποία κάθε αριθμός από το σύνολο x αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό από το σετ R. Αντίστοιχα, το X αντιπροσωπεύει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (DOF). Η ίδια η συνάρτηση συμβολίζεται με πεζά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (f, d, e, k). Αν μια συνάρτηση f δίνεται σε ένα σύνολο X, τότε ο πραγματικός αριθμός y που αντιστοιχεί στον αριθμό x από το σύνολο X συμβολίζεται ως f(x) (y=f(x)). Καλείται η μεταβλητή x διαφωνία.Καλείται το σύνολο των αριθμών της μορφής f(x) για όλα τα x εύρος λειτουργίαςφά.
Τις περισσότερες φορές, οι λειτουργίες καθορίζονται από διάφορους τύπους τύπων: y = 2x+3, y = xi, y = 3xi, y =? 3xI, όπου x είναι ένας πραγματικός αριθμός, y είναι ο αντίστοιχος μοναδικός αριθμός. Ωστόσο, με έναν τύπο μπορείτε να ορίσετε ένα μάτσοσυναρτήσεις, η διαφορά των οποίων καθορίζεται μόνο από το πεδίο ορισμού: Y= 2x-3, όπου το x ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και το y=2x-3, X - που ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Συχνά, όταν καθορίζετε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας έναν τύπο, το OOF δεν καθορίζεται (το OOF είναι ο τομέας ορισμού της έκφρασης f(x)). Είναι επίσης αρκετά βολικό να αναπαραστήσετε αριθμητικές συναρτήσεις οπτικά, δηλ. χρησιμοποιώντας ένα επίπεδο συντεταγμένων. Όπως πολλές άλλες, οι αριθμητικές συναρτήσεις έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: Αύξηση, μείωση, μονοτονικότητα, πεδίο ορισμού και τομέα της αξίας μιας λειτουργίας, οριοθετημένη και αθόρυβη, ακόμη και περίεργη, περιοδικότητα. Τομέας και εύρος λειτουργιών. Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι λειτουργίες μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Αυτό σημαίνει ότι το επιχείρημα μιας συνάρτησης μπορεί να πάρει μόνο αυτές τις πραγματικές τιμές για τις οποίες ορίζεται η λειτουργία, δηλ. δέχεται επίσης μόνο πραγματικές αξίες. Το σύνολο X όλων των αποδεκτών πραγματικών τιμών του ορίσματος x για το οποίο ορίζεται η συνάρτηση y = f(x) ονομάζεται τομέας της συνάρτησης. Το σύνολο Y όλων των πραγματικών τιμών του y που παίρνει μια συνάρτηση ονομάζεται εύρος της συνάρτησης. Τώρα μπορούμε να δώσουμε έναν πιο ακριβή ορισμό μιας συνάρτησης: ο κανόνας (νόμος) αντιστοιχίας μεταξύ των συνόλων X και Y, σύμφωνα με τον οποίο για κάθε στοιχείο από το σύνολο X μπορεί να βρεθεί ένα και μόνο ένα στοιχείο από το σύνολο Y, είναι ονομάζεται συνάρτηση. Ζυγές και περιττές συναρτήσεις. Αν για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει το εξής: f (- x) = f (x), τότε η συνάρτηση καλείται άρτια. αν συμβεί: f (- x) = - f (x), τότε η συνάρτηση ονομάζεται περιττή. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Υ (Εικ. 5), και η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (Εικ. 6). Περιοδική συνάρτηση. Μια συνάρτηση f (x) είναι περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει το εξής: f (x + T) = f (x). Αυτός ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. Αλλά η πιο σημαντική ιδιότητα για τη μαθησιακή λειτουργία στις δημοτικές τάξεις είναι μονότονη ομιλία. Μονοτονική λειτουργία. Εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 η συνθήκη x2 > x1 υποδηλώνει f (x2) > f (x1), τότε η συνάρτηση | f(x) | ονομάζεται αύξηση? αν για οποιαδήποτε x1 και x2 η συνθήκη x2 > x1 συνεπάγεται f (x2) Στο δημοτικό σχολείο, η συνάρτηση εκδηλώνεται με τη μορφή σχέσεων άμεσης και αντιστρόφως αναλογικής. Άμεση αναλογικότητα- αυτό είναι, πρώτα απ 'όλα,
λειτουργία,που μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y=kx, όπου k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενικός. Το όνομα της συνάρτησης y = kx σχετίζεται με τις μεταβλητές x και y που περιέχονται σε αυτόν τον τύπο. Αν στάσηδύο ποσότητες είναι ίσες με κάποιον αριθμό διαφορετικό από το μηδέν, τότε καλούνται ευθέως ανάλογο. K είναι ο συντελεστής αναλογικότητας. Γενικά, η συνάρτηση y=kx είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που εξετάστηκαν στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι υπάρχουν 2 κιλά αλεύρι σε μια συσκευασία και αγοράστηκαν x τέτοιες συσκευασίες, τότε ολόκληρη η μάζα αλευριού που αγοράστηκε είναι y. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως τύπος όπως αυτός: y=2x, όπου 2=k. Η άμεση αναλογικότητα έχει μια σειρά από ιδιότητες: Χαρκετές φορές η αντίστοιχη θετική τιμή y αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό. 2.3 Η έννοια της αντίστροφης αναλογικότητας. Ιδιότητες αντίστροφης αναλογικότητας: Αν οι τιμές των μεταβλητώνΧΚαιyθα είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε με αυξανόμενη (φθίνουσα) μεταβλητήΧαρκετές φορές η αντίστοιχη τιμή του y μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό. Πρακτικό μέρος Η έννοια της λειτουργικής εξάρτησης είναι μία από τις κορυφαίες στη μαθηματική επιστήμη, επομένως, ο σχηματισμός αυτής της έννοιας μεταξύ των μαθητών είναι ένα σημαντικό έργο στις σκόπιμες δραστηριότητες του δασκάλου για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και της δημιουργικής δραστηριότητας των παιδιών. Η ανάπτυξη της λειτουργικής σκέψης προϋποθέτει, πρώτα απ' όλα, την ανάπτυξη της ικανότητας ανακάλυψης νέων συνδέσεων και κατοχής γενικών εκπαιδευτικών τεχνικών και δεξιοτήτων. Στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών, σημαντικός ρόλος θα πρέπει να δοθεί στη λειτουργική προπαίδεια, η οποία προβλέπει την προετοιμασία των μαθητών για τη μελέτη συστηματικών μαθημάτων στην άλγεβρα και τη γεωμετρία και επίσης ενσταλάζει σε αυτούς μια διαλεκτική φύση της σκέψης, την κατανόηση των αιτιακών σχέσεων μεταξύ των φαινόμενα της περιβάλλουσας πραγματικότητας. Από αυτή την άποψη, θα περιγράψουμε τις κύριες κατευθύνσεις της προπαιδευτικής εργασίας στο αρχικό στάδιο της διδασκαλίας του αντικειμένου σύμφωνα με το πρόγραμμα του L.G. Peterson: Η έννοια των συνόλων, η αντιστοιχία στοιχείων δύο συνόλων και συναρτήσεων. Εξάρτηση των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων από αλλαγές σε συνιστώσες. Πίνακες, λεκτικές, αναλυτικές, γραφικές μέθοδοι προσδιορισμού μιας συνάρτησης. Γραμμική εξάρτηση. Σύστημα συντεταγμένων, πρώτη και δεύτερη συντεταγμένη, διατεταγμένο ζεύγος. Επίλυση των απλούστερων συνδυαστικών προβλημάτων: μεταγλώττιση και μέτρηση του αριθμού των πιθανών μεταθέσεων, υποσυνόλων στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου.. Χρήση συστηματικής απαρίθμησης φυσικών τιμών μιας και δύο μεταβλητών κατά την επίλυση προβλημάτων γραφικής παράστασης. Συμπλήρωση πινάκων με αριθμητικούς υπολογισμούς, στοιχεία από τις συνθήκες εφαρμοζόμενων προβλημάτων. Επιλογή δεδομένων από έναν πίνακα κατά συνθήκη. Σχέση μεταξύ αναλογικών μεγεθών; εφαρμοσμένη μελέτη των γραφημάτων τους. Το περιεχόμενο του αρχικού μαθήματος των μαθηματικών επιτρέπει στους μαθητές να κατανοήσουν μια από τις πιο σημαντικές ιδέες στα μαθηματικά - ιδέα της συμμόρφωσης.Όταν ολοκληρώνουν εργασίες για να βρουν τις έννοιες των παραστάσεων και συμπληρώνουν πίνακες, οι μαθητές διαπιστώνουν ότι κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε όχι περισσότερους από έναν αριθμούς που ελήφθησαν ως αποτέλεσμα. Ωστόσο, για να γίνει κατανοητό αυτό, πρέπει να αναλυθούν τα περιεχόμενα των πινάκων. Δημιουργήστε όλα τα πιθανά παραδείγματα πρόσθεσης δύο μονοψήφιων αριθμών με την απάντηση να είναι 12. Κατά την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας, οι μαθητές δημιουργούν μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων τιμών όρων. Η καθιερωμένη αντιστοιχία είναι συνάρτηση, αφού κάθε τιμή του πρώτου όρου αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του δεύτερου όρου με σταθερό άθροισμα. Υπάρχουν 10 μήλα σε ένα βάζο. Πόσα μήλα θα μείνουν αν πάρετε 2 μήλα; 3 μήλα; 5 μήλα; Γράψτε τη λύση στον πίνακα. Από τι εξαρτάται το αποτέλεσμα; Κατά πόσες μονάδες αλλάζει; Γιατί; Αυτό το πρόβλημα στην πραγματικότητα παρουσιάζει τη λειτουργία στο = 10 - Χ, όπου η μεταβλητή Χπαίρνει τις τιμές 2, 3, 5. Ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης αυτής της εργασίας, οι μαθητές πρέπει να καταλήξουν: όσο μεγαλύτερη είναι η υποεπιτροπή, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά. Η ιδέα της λειτουργικής αντιστοιχίας υπάρχει επίσης σε ασκήσεις όπως: Συνδέστε με ένα βέλος τις μαθηματικές παραστάσεις και τις αντίστοιχες αριθμητικές τιμές: 15 + 6 27 35 Εισαγωγή σύμβολα γραμμάτωνΣας επιτρέπει να εισαγάγετε τους μαθητές στις σημαντικότερες έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών - μεταβλητή, εξίσωση, ανισότητα, η οποία συμβάλλει στην ανάπτυξη της λειτουργικής σκέψης, καθώς η ιδέα της λειτουργικής εξάρτησης συνδέεται στενά με αυτά. Όταν εργάζονται με μια μεταβλητή, οι μαθητές συνειδητοποιούν ότι τα γράμματα που περιλαμβάνονται σε μια έκφραση μπορούν να λάβουν διαφορετικές αριθμητικές τιμές και η ίδια η έκφραση του γράμματος είναι μια γενικευμένη σημείωση αριθμητικών εκφράσεων. Η εμπειρία των μαθητών στην επικοινωνία με ασκήσεις για καθιέρωση προτύπων σε ακολουθίες αριθμών και η συνέχισή τους: 1, 2, 3, 4… (στο = Χ + 1) 1, 3, 5, 7… (στο= 2 · Χ + 1) Εννοια ποσότητες, μαζί με την έννοια του αριθμού, είναι η κύρια έννοια του αρχικού μαθήματος των μαθηματικών. Το υλικό αυτής της ενότητας είναι μια πλούσια πηγή για την υλοποίηση της έμμεσης λειτουργικής προπαίδειας. Πρώτον, αυτή είναι η εξάρτηση (αντιστρόφως αναλογική) μεταξύ της επιλεγμένης μονάδας ποσότητας (μέτρησης) και της αριθμητικής τιμής (μέτρηση) - όσο μεγαλύτερη είναι η μέτρηση, τόσο μικρότερος είναι ο αριθμός που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της μέτρησης της ποσότητας με αυτό το μέτρο. Ως εκ τούτου, είναι σημαντικό όταν εργάζονται με κάθε ποσότητα, οι μαθητές αποκτούν εμπειρία στη μέτρηση των ποσοτήτων με διαφορετικά πρότυπα, προκειμένου να επιλέξουν συνειδητά, πρώτα ένα βολικό και στη συνέχεια μια μόνο μέτρηση. Δεύτερον, κατά τη μελέτη των ποσοτήτων που χαρακτηρίζουν τις διαδικασίες κίνησης, εργασίας, αγοράς και πώλησης, διαμορφώνονται ιδέες σχετικά με τη σχέση μεταξύ ταχύτητας, χρόνου και απόστασης, τιμής, ποσότητας και κόστους στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων λέξεων των ακόλουθων τύπων - μείωση ενότητα (εύρεση της τέταρτης αναλογικής) , εύρεση του αγνώστου με δύο διαφορές, αναλογική διαίρεση. Είναι ιδιαίτερα δύσκολο για τους μαθητές να κατανοήσουν τη σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων, καθώς η έννοια της "αναλογικής εξάρτησης" δεν αποτελεί αντικείμενο ειδικής μελέτης και αφομοίωσης. Στο πρόγραμμα Λ.Γ. Ο Peterson λύνει μεθοδικά αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες τεχνικές: - Επίλυση προβλημάτων με δεδομένα που λείπουν (συνθήκη "ανοιχτή"): Το σπίτι με το σχολείο του Βάσια είναι 540 μ. και του Πασά 480 μ. Ποιος μένει πιο κοντά; Ποιος θα φτάσει εκεί πιο γρήγορα; Η Σάσα αγόρασε σημειωματάρια για 30 ρούβλια και μολύβια για 45 ρούβλια. Σε ποια είδη ξόδεψε τα περισσότερα χρήματα; Τι αντικείμενα αγόρασε περισσότερα; Αναλύοντας τα κείμενα αυτών των προβλημάτων, οι μαθητές ανακαλύπτουν ότι τους λείπουν δεδομένα και ότι οι απαντήσεις στις ερωτήσεις εξαρτώνται από την τιμή και την ταχύτητα. - Καθορισμός των συνθηκών των εργασιών όχι μόνο σε πίνακα (όπως προτείνεται στην κλασική μέθοδο), αλλά και με τη μορφή διαγράμματος. Αυτό σας επιτρέπει να "οπτικοποιήσετε" τις εξαρτήσεις που εξετάζονται στο πρόβλημα. Έτσι, εάν κινούμενα αντικείμενα καλύπτουν την ίδια απόσταση 12 km σε διαφορετικούς χρόνους (2 ώρες, 3 ώρες, 4 ώρες, 6 ώρες), τότε χρησιμοποιώντας το διάγραμμα ερμηνεύεται σαφώς η αντίστροφη σχέση - όσο περισσότερα μέρη (χρόνος), τόσο μικρότερο το καθένα μέρος (ταχύτητα). - Αλλάξτε ένα από τα δεδομένα εργασιών και συγκρίνετε τα αποτελέσματα της επίλυσης προβλημάτων. 48 κιλά μήλα μεταφέρθηκαν στο κυλικείο του σχολείου. Πόσα κουτιά θα μπορούσαν να φέρουν αν όλα τα κουτιά περιείχαν την ίδια ποσότητα μήλων; Οι μαθητές συμπληρώνουν τις συνθήκες του προβλήματος και καταγράφουν τη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων χρησιμοποιώντας διάφορα μέσα δόμησης της θεωρητικής γνώσης - σε πίνακα, διάγραμμα και προφορικά. Εδώ είναι χρήσιμο να προσέξουμε την πολλαπλή αναλογία των υπό εξέταση ποσοτήτων - πόσες φορές περισσότερο είναι το ένα από τα μεγέθη, πόσες φορές περισσότερο (λιγότερο) το άλλο, με το τρίτο να είναι σταθερό. Στο δημοτικό σχολείο, οι μαθητές εισάγονται σιωπηρά Πίνακες, αναλυτικές, λεκτικές, γραφικές μέθοδοι καθορισμού συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ ταχύτητας, χρόνου και απόστασης μπορεί να εκφραστεί: Α) προφορικά: "για να βρείτε την απόσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ταχύτητα με το χρόνο". Β) αναλυτικά: μικρό= v t; Β) πίνακα: v =5 km/h Γραφικός τρόπος για τον καθορισμό της εξάρτησης μεταξύ v, t, μικρόσας επιτρέπει να σχηματίσετε μια ιδέα της ταχύτητας ως αλλαγή στη θέση ενός κινούμενου αντικειμένου ανά μονάδα χρόνου (μαζί με τη γενικά αποδεκτή - ως απόσταση που διανύθηκε ανά μονάδα χρόνου) και μια σύγκριση των γραφημάτων του η κίνηση δύο σωμάτων (που κινούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο) διευκρινίζει την ιδέα της ταχύτητας ως μια ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα κίνησης. Σύνθετες αριθμητικές εκφράσεις(με και χωρίς παρενθέσεις), ο υπολογισμός των τιμών τους σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των ενεργειών επιτρέπει στους μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι το αποτέλεσμα εξαρτάται από τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες. Τοποθετήστε τις παρενθέσεις έτσι ώστε οι εξισώσεις να είναι σωστές. 20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26 Στην πορεία του Λ.Γ. Peterson, οι μαθητές εισάγονται σιωπηρά γραμμική εξάρτηση,ως ειδική περίπτωση μιας συνάρτησης. Αυτή η συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί από έναν τύπο της φόρμας στο= kh + σι,Οπου Χ- ανεξάρτητη μεταβλητή, κΚαι σι- αριθμοί. Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Έχοντας διανύσει 350 χιλιόμετρα, το τρένο άρχισε να ταξιδεύει για t ώρες με ταχύτητα 60 km/h. Πόσα χιλιόμετρα διένυσε συνολικά το τρένο;(350 + 60 · t) Ολοκληρώνοντας εργασίες με ονομασμένους αριθμούς, οι μαθητές αντιλαμβάνονται την εξάρτηση αριθμητικές τιμές ποσοτήτων από τη χρήση διαφορετικών μονάδων μέτρησης. Το ίδιο τμήμα μετρήθηκε πρώτα σε εκατοστά και μετά σε δεκατόμετρα. Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός που πήραμε ήταν 135 περισσότεροι από τη δεύτερη. Ποιο είναι το μήκος του τμήματος σε εκατοστά; (Εξάρτηση= 10 · Χ) Στη διαδικασία της μελέτης του αρχικού μαθήματος των μαθηματικών, οι μαθητές σχηματίζουν την έννοια μιας φυσικής σειράς αριθμών, ένα τμήμα μιας φυσικής σειράς, αφομοιώνουν τις ιδιότητες μιας φυσικής σειράς αριθμών - άπειρο, τάξη κ.λπ., μορφή την ιδέα της δυνατότητας απεριόριστης αύξησης ενός φυσικού αριθμού ή μείωσης του μεριδίου του. Στο μάθημα των μαθηματικών για τις τάξεις 3-4, δίνεται μεγάλη προσοχή στη διδασκαλία των μαθητών στη χρήση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι, το ανεξάρτητο συμπέρασμά τους. Εδώ είναι σημαντικό να διδάξουμε στους μαθητές να παρουσιάζουν τις ίδιες πληροφορίες με διαφορετικές μορφές - γραφικά και αναλυτικά, δίνοντας στους μαθητές το δικαίωμα να επιλέξουν τη φόρμα σύμφωνα με τα γνωστικά τους στυλ. Οι μαθητές ενδιαφέρονται ιδιαίτερα για εργασίες που σχετίζονται με την ανάλυση πινάκων τιμών μεταβλητών, την «ανακάλυψη» εξαρτήσεων μεταξύ τους και την καταγραφή τους ως τύπους. Για να αναπτύξετε την ικανότητα των μαθητών να παράγουν τύπους, πρέπει να τους διδάξετε να γράφουν διάφορες προτάσεις σε μαθηματική γλώσσα (με τη μορφή ισοτήτων): Ένα στυλό είναι τρεις φορές πιο ακριβό από ένα μολύβι ( R = Προς την + 3); Αριθμός ΕΝΑΌταν διαιρεθεί με το 5, το υπόλοιπο είναι 2 ( ΕΝΑ= 5 · σι + 2); Το μήκος του ορθογωνίου είναι 12 cm μεγαλύτερο από το πλάτος ( ΕΝΑ = σι + 12). Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να συζητήσετε πιθανές επιλογές για τις τιμές αυτών των ποσοτήτων και να συμπληρώσετε τους αντίστοιχους πίνακες. Ξεχωριστή θέση στην πορεία του Λ.Γ. Ο Peterson αναλαμβάνει εργασίες που σχετίζονται με μαθηματική έρευνα: Αντιπροσωπεύστε τον αριθμό 16 ως γινόμενο δύο παραγόντων με διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε μέθοδο, βρείτε το άθροισμα των παραγόντων. Σε ποια περίπτωση ελήφθη το μικρότερο ποσό; Κάντε το ίδιο με τους αριθμούς 36 και 48. Ποια είναι η εικασία σας; Κατά την ολοκλήρωση παρόμοιων καθηκόντων (για να μελετηθεί η σχέση μεταξύ του αριθμού των γωνιών ενός πολυγώνου και της συνολικής αξίας των μέτρων πτυχίου των γωνιών, μεταξύ της αξίας της περιμετρικής μορφής διαφορετικών σχημάτων με την ίδια περιοχή κ.λπ.), οι μαθητές βελτιώνονται δεξιότητες στην εργασία με έναν πίνακα, καθώς είναι βολικό να καταγράψετε τη λύση σε έναν πίνακα. Επιπλέον, χρησιμοποιείται η πληροφορική μέθοδος για τον καθορισμό της λύσης κατά την επίλυση μη τυποποιημένων μαθηματικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διατεταγμένης αναζήτησης ή της ορθολογικής επιλογής. Υπάρχουν 13 παιδιά στην τάξη. Τα αγόρια έχουν τόσα δόντια όσα τα κορίτσια έχουν τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια υπάρχουν στην τάξη; (Κάθε αγόρι έχει ακριβώς 32 δόντια). Ασκήσεις για τη σύνθεση αριθμών. Συγκεκριμένες μέθοδοι υπολογισμών (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2); Εκτίμηση αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου, πηλίκου. Όταν εκτελείτε εργασίες όπως αυτές, είναι σημαντικό να παρουσιάζετε πληροφορίες με πολυαισθητηριακό τρόπο. Πώς θα αλλάξει το άθροισμα αν ένας όρος αυξηθεί κατά 10 και ο δεύτερος μειωθεί κατά 5; Πώς θα αλλάξει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου (ή του γινόμενου δύο αριθμών) εάν μια από τις πλευρές (ένας από τους αριθμούς) αυξηθεί κατά 3; Ένα σημαντικό μέρος των μαθητών ολοκληρώνει τέτοιες εργασίες αντικαθιστώντας συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Μεθοδολογικά ικανός σε αυτή την περίπτωση θα ήταν να ερμηνεύσει τη συνθήκη γραφικά και αναλυτικά. (ΕΝΑ+ 3) · σι = ΕΝΑ· σι+ 3 ·σι
Η έννοια της λειτουργίας στο γυμνάσιο συνδέεται με σύστημα συντεταγμένων. Στην πορεία του Λ.Γ. Ο Peterson περιέχει υλικό για προπαιδευτική εργασία προς αυτή την κατεύθυνση: Αριθμητικό τμήμα, αριθμητική ακτίνα, ακτίνα συντεταγμένων. Πυθαγόρειος πίνακας, συντεταγμένες στο επίπεδο (γωνία συντεταγμένων). Δρομολόγια κυκλοφορίας. Διαγράμματα πίτας, ράβδων και γραμμών που αναπαριστούν οπτικά σχέσεις μεταξύ διακριτών ποσοτήτων. Έτσι, η μελέτη των αριθμητικών πράξεων, η αύξηση και η μείωση ενός αριθμού κατά πολλές μονάδες ή πολλές φορές, η σχέση μεταξύ των συστατικών και των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων, η επίλυση προβλημάτων σχετικά με την εύρεση της τέταρτης αναλογικής, τη σχέση μεταξύ ταχύτητας, χρόνου και απόστασης. τιμή, ποσότητα και αξία· τη μάζα ενός μεμονωμένου είδους, την ποσότητα και τη συνολική μάζα τους· παραγωγικότητα, χρόνος και εργασία· κ.λπ., αφενός βασίζονται στη διαμόρφωση της έννοιας της συνάρτησης και αφετέρου μελετώνται με βάση λειτουργικές έννοιες. Πρέπει να σημειωθεί ότι η γραφική μοντελοποίηση έχει αρκετά μεγάλη προπαιδευτική σημασία: γραφική ερμηνεία των συνθηκών του προβλήματος, σχέδιο, σχέδιο κ.λπ. Οι πληροφορίες που παρουσιάζονται σε γραφική μορφή είναι πιο εύκολα αντιληπτές, χωρητικότητας και μάλλον υπό όρους, σχεδιασμένες για να μεταφέρουν πληροφορίες μόνο για τα βασικά χαρακτηριστικά ενός αντικειμένου και να αναπτύξουν τις γραφικές δεξιότητες των μαθητών. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της προπαίδειας της λειτουργικής εξάρτησης θα πρέπει να είναι η υψηλή νοητική δραστηριότητα των νεότερων μαθητών, η ανάπτυξη πνευματικών, γενικού αντικειμένου και ειδικών μαθηματικών δεξιοτήτων. Όλα αυτά δημιουργούν μια σταθερή βάση όχι μόνο για την επίλυση μεθοδολογικών προβλημάτων των πρωτοβάθμιων μαθηματικών - το σχηματισμό υπολογιστικών δεξιοτήτων, την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων λέξεων κ.λπ., αλλά και για την υλοποίηση των αναπτυξιακών δυνατοτήτων του μαθηματικού περιεχομένου και, όχι λιγότερο σημαντικό, για την επιτυχή μελέτη των λειτουργιών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. 3.2 Επίλυση προβλημάτων που αφορούν αναλογικά εξαρτώμενα μεγέθη Η επίλυση ενός προβλήματος σημαίνει τη χρήση μιας λογικά σωστής σειράς ενεργειών και πράξεις με αριθμούς, ποσότητες, ρητά ή έμμεσα διαθέσιμες στο πρόβλημα, σχέσεις για την εκπλήρωση της απαίτησης της εργασίας (απαντήστε στην ερώτησή της). Τα κυριότερα στα μαθηματικά είναι: αριθμητικήΚαι αλγεβρικόςτρόπους επίλυσης προβλημάτων. Στο αριθμητικήτρόπος η απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος βρίσκεται ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης αριθμητικής ενέργειες στους αριθμούς. Οι διαφορετικές αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση του ίδιου προβλήματος είναι διαφορετικές σχέσεις μεταξύ δεδομένων, δεδομένων και αγνώστων, δεδομένων και αυτού που αναζητείται, κάτω από την επιλογή των αριθμητικών πράξεων ή της ακολουθίας χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις κατά την επιλογή ενεργειών. Η επίλυση ενός λεκτικού προβλήματος με χρήση αριθμητικής είναι μια σύνθετη δραστηριότητα. αποφασιστικός. Ωστόσο, υπάρχουν πολλά στάδια σε αυτό: 1. Αντίληψη και ανάλυση του περιεχομένου της εργασίας. 2. Αναζήτηση και κατάρτιση σχεδίου επίλυσης του προβλήματος. 3. Εκτέλεση του σχεδίου λύσης. Διατύπωση του πορίσματος για την εκπλήρωση της απαίτησης εργασίες (απαντώντας στην ερώτηση της εργασίας). 4. Έλεγχος της λύσης και εξάλειψη σφαλμάτων, εάν υπάρχουν. Προβλήματα αναλογικής διαίρεσηςεισάγονται με διάφορους τρόπους: μπορείτε να προσφέρετε για να λύσετε ένα έτοιμο πρόβλημα ή μπορείτε πρώτα να το συνθέσετε μεταμορφώνοντας το πρόβλημα να βρούμε την τέταρτη αναλογική. Και στις δύο περιπτώσεις, η επιτυχία της λύσης προβλήματα αναλογικής διαίρεσης θα καθοριστούν από μια σταθερή ικανότητα επίλυσης προβλήματα εύρεσης της τέταρτης αναλογικής, επομένως, καθώς Η προετοιμασία πρέπει να περιλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων του κατάλληλου τύπου προς εύρεση τέταρτη αναλογική. Γι' αυτό είναι προτιμότερο το δεύτερο τις αναφερόμενες επιλογές για την εισαγωγή προβλημάτων αναλογικής διαίρεσης. Προχωρώντας στην επίλυση έτοιμων προβλημάτων από το σχολικό βιβλίο, καθώς και προβλημάτων που έχουν συνταχθεί δάσκαλος, συμπεριλαμβανομένων διαφόρων ομάδων ποσοτήτων, πρέπει πρώτα να καθορίσετε ποιες τις ποσότητες που συζητήθηκαν στο πρόβλημα και, στη συνέχεια, γράψτε το πρόβλημα εν συντομία στον πίνακα, έχοντας προηγουμένως χωρίσει την ερώτηση του προβλήματος σε δύο ερωτήσεις, αν περιέχει τη λέξη κάθε. Κατά κανόνα, οι μαθητές ολοκληρώνουν τη λύση ανεξάρτητα, αναλύουν διεξάγεται μόνο με μεμονωμένους μαθητές. Αντί για μια σύντομη σημείωση, μπορείτε να κάνετε σχέδιο. Για παράδειγμα, εάν το πρόβλημα αφορά κομμάτια υφάσματος, πηνία σύρματος και κ.λπ., τότε μπορούν να αναπαρασταθούν με τμήματα γράφοντας το αντίστοιχο αριθμητικό τις τιμές αυτών των ποσοτήτων. Σημειώστε ότι δεν πρέπει να εκτελείτε ένα σύντομο τρέξιμο κάθε φορά. ηχογράφηση ή σχέδιο, αν ο μαθητής, αφού διαβάσει το πρόβλημα, ξέρει πώς να το λύσει, τότε αφήστε τον να αποφασίσει, και όσοι δυσκολεύονται να χρησιμοποιήσουν μια σύντομη σημείωση ή ένα σχέδιο Για να λύσετε την εργασία. Σταδιακά οι εργασίες θα πρέπει να γίνουν πιο σύνθετες με την εισαγωγή πρόσθετα δεδομένα (για παράδειγμα: «Το πρώτο κομμάτι περιείχε 16 μέτρα ύλης και το δεύτερο 2 φορές λιγότερο.») ή κάνοντας μια ερώτηση (για παράδειγμα: «Πόσα μέτρα Υπήρχε περισσότερη ύλη στο πρώτο κομμάτι παρά στο δεύτερο;). Όταν εξοικειωθείτε με τη λύση στο πρόβλημα της δυσανάλογης διαίρεσης, μπορείτε να πάτε ένας άλλος τρόπος: πρώτα λύστε έτοιμα προβλήματα και αργότερα εκτελέστε μετατρέποντας το πρόβλημα της εύρεσης της τέταρτης αναλογικής σε πρόβλημα του αναλογική διαίρεση και, αφού τα λύσετε, συγκρίνετε τόσο τα ίδια τα προβλήματα όσο και τις αποφάσεις τους. Οι ασκήσεις βοηθούν στη γενίκευση της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων αυτού του τύπου. δημιουργική φύση. Ας αναφέρουμε μερικά από αυτά. Πριν το λύσετε, είναι χρήσιμο να ρωτήσετε ποιες από τις ερωτήσεις του προβλήματος θα απαντηθούν μεγαλύτερο αριθμό και γιατί, και αφού αποφασίσουμε να ελέγξουμε αν αντιστοιχεί σε αυτόν τον τύπο τους αριθμούς που προκύπτουν, οι οποίοι θα είναι ένας από τους τρόπους ελέγχου της λύσης. Μπορείτε περαιτέρω Μάθετε εάν η απάντηση θα μπορούσε να είχε τους ίδιους αριθμούς και υπό ποιες συνθήκες. Χρήσιμες ασκήσεις για τους μαθητές να συνθέσουν προβλήματα και στη συνέχεια να τα λύσουν, και ασκήσεις μετασχηματισμού εργασιών. Αυτό είναι, πρώτα απ 'όλα, συλλογή προβλήματα παρόμοια με αυτό που λύθηκε. Έτσι, μετά την επίλυση του προβλήματος με τις ποσότητες: τιμή, ποσότητα και κόστος - προσφορά για σύνθεση και επίλυση παρόμοιου προβλήματος τις ίδιες ποσότητες ή με άλλες, όπως ταχύτητα, χρόνος και απόσταση. Αυτή είναι η συλλογή προβλημάτων για την επίλυσή τους, γραμμένη ως ξεχωριστή δράσεις, και με τη μορφή έκφρασης, είναι η σύνταξη και η επίλυση προβλημάτων σύμφωνα με τους σύντομη σχηματική σημειογραφία 1 τρόπος: X = 15 * 30 / 8 = 56 ρούβλια 25 καπίκια Μέθοδος 2: η ποσότητα του υφάσματος έχει αυξηθεί 15/8 φορές, που σημαίνει ότι θα πληρώσουν 15/8 φορές περισσότερα χρήματα Χ =30*15/8 = 56 ρούβλια 25 καπίκια 2.
Κάποιος κύριος κάλεσε έναν ξυλουργό και τον διέταξε να φτιάξει μια αυλή. Του έδωσε 20 εργάτες και ρώτησε πόσες μέρες θα φτιάξουν την αυλή του. Ο μάστορας απάντησε: σε 30 μέρες. Αλλά ο κύριος πρέπει να το χτίσει σε 5 μέρες, και γι' αυτό ρώτησε τον ξυλουργό: πόσα άτομα πρέπει να έχεις για να μπορείς να φτιάξεις μια αυλή μαζί τους σε 5 μέρες. και ο μάστορας σαστισμένος σε ρωτάει, αριθμητικό: πόσα άτομα χρειάζεται να προσλάβει για να φτιάξει μια αυλή σε 5 μέρες; Μια ημιτελής σύντομη συνθήκη αναγράφεται στον πίνακα: Επιλογή I: αναλογία Επιλογή II: χωρίς αναλογίες ΕΓΩ. II. Χ = 20*6 = 120 εργάτες 3.
Πήραν 560 στρατιώτες με φαγητό για 7 μήνες, αλλά τους διέταξαν να υπηρετήσουν για 10 μήνες και ήθελαν να απομακρύνουν τους ανθρώπους από τον εαυτό τους για να υπάρχει αρκετό φαγητό για 10 μήνες. Το ερώτημα είναι πόσα άτομα πρέπει να μειωθούν; Ένα αρχαίο έργο. Λύστε αυτό το πρόβλημα χωρίς αναλογία: (Ο αριθμός των μηνών αυξάνεται κατά έναν παράγοντα, που σημαίνει ότι ο αριθμός των στρατιωτών μειώνεται κατά έναν παράγοντα. 560 – 392 = 168 (οι στρατιώτες πρέπει να μειωθούν) Στην αρχαιότητα, για την επίλυση πολλών ειδών προβλημάτων, υπήρχαν ειδικοί κανόνες για την επίλυσή τους. Τα γνωστά προβλήματα άμεσης και αντίστροφης αναλογικότητας, στα οποία πρέπει να βρούμε την τέταρτη από τρεις τιμές δύο ποσοτήτων, ονομάστηκαν προβλήματα «τριπλού κανόνα». Εάν, για τρεις ποσότητες, δόθηκαν πέντε τιμές και ήταν απαραίτητο να βρεθεί η έκτη, τότε ο κανόνας ονομαζόταν "πενταπλός". Ομοίως, για τέσσερις ποσότητες υπήρχε ένας «επταετής κανόνας». Τα προβλήματα που αφορούσαν την εφαρμογή αυτών των κανόνων ονομάζονταν επίσης προβλήματα «σύνθετου τριπλού κανόνα». 4.
Τρία κοτόπουλα γέννησαν 3 αυγά σε 3 μέρες. Πόσα αυγά θα γεννήσουν 12 κότες σε 12 μέρες; Πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των κοτόπουλων; (4 φορές) Πώς άλλαξε ο αριθμός των αυγών αν δεν άλλαζε ο αριθμός των ημερών; (αυξήθηκε 4 φορές) Πόσες φορές έχει αυξηθεί ο αριθμός των ημερών; (4 φορές) Πώς άλλαξε ο αριθμός των αυγών; (αυξήθηκε 4 φορές) X = 3*4*4 =48(αυγά) 5
. Εάν ένας γραφέας μπορεί να γράψει 15 φύλλα σε 8 ημέρες, πόσοι γραφείς θα χρειαστούν για να γράψει 405 φύλλα σε 9 ημέρες; Από την αύξηση των ημερών εργασίας Ας εξετάσουμε ένα πιο σύνθετο πρόβλημα με τέσσερις ποσότητες. 6.
Για να φωτιστούν 18 δωμάτια, χρησιμοποιήθηκαν 120 τόνοι κηροζίνης σε 48 ημέρες, με 4 λαμπτήρες να καίνε σε κάθε δωμάτιο. Πόσες μέρες θα διαρκέσουν 125 κιλά κηροζίνης αν 20 δωμάτια είναι φωτισμένα και 3 λάμπες σε κάθε δωμάτιο; Ο αριθμός των ημερών χρήσης κηροζίνης μειώνεται με την αύξηση των δωματίων 20
φορές. X = 48 * * : = 60 (ημέρες) Η τελική τιμή είναι Χ = 60. Αυτό σημαίνει ότι 125 λίβρες κηροζίνης διαρκεί για 60 ημέρες. συμπέρασμα Το μεθοδολογικό σύστημα για τη μελέτη της λειτουργικής εξάρτησης στο δημοτικό σχολείο, που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της σπονδυλωτής εκπαίδευσης, αντιπροσωπεύει μια ακεραιότητα που αποτελείται από την αλληλεπίδραση των κύριων στοιχείων (στόχος, περιεχόμενο, οργανωτικό, τεχνολογικό, διαγνωστικό) και αρχών (αρθρότητα, συνειδητή προοπτική, διαφάνεια, εστίαση της μάθησης στην ανάπτυξη της προσωπικότητας του μαθητή, ευελιξία της μεθοδολογικής συμβουλευτικής). Η σπονδυλωτή προσέγγιση είναι ένα μέσο βελτίωσης της διαδικασίας μελέτης της λειτουργικής εξάρτησης σε μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, η οποία επιτρέπει: στους μαθητές να κυριαρχήσουν ένα σύστημα λειτουργικής γνώσης και μεθόδων δράσης, πρακτικές (επιχειρησιακές) δεξιότητες. ο δάσκαλος - να αναπτύξουν τη μαθηματική τους σκέψη με βάση το λειτουργικό υλικό, να καλλιεργήσουν την ανεξαρτησία στη μάθηση. Η μεθοδολογική υποστήριξη για τη διαδικασία μελέτης των λειτουργιών στο δημοτικό σχολείο βασίζεται σε σπονδυλωτά προγράμματα, τα οποία αποτελούν τη βάση για τον εντοπισμό θεμελιωδών προτύπων που είναι υποχρεωτικά για την κατανόηση του θέματος, την επιτυχή και πλήρη αφομοίωση του περιεχομένου του εκπαιδευτικού υλικού και την απόκτηση από μαθητές με στέρεες γνώσεις, δεξιότητες και ικανότητες. Βιβλιογραφία. Έχουν πολλές ιδιότητες: 1. Η συνάρτηση καλείται μονότονος
σε ένα ορισμένο διάστημα Α, εάν αυξάνεται ή μειώνεται σε αυτό το διάστημα 2. Η συνάρτηση καλείται αυξανόμενη
σε ένα ορισμένο διάστημα Α, εάν για οποιουσδήποτε αριθμούς του συνόλου τους A ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:. Το γράφημα μιας αυξανόμενης συνάρτησης έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό: όταν κινείται κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του διαστήματος ΕΝΑοι τεταγμένες των σημείων του γραφήματος αυξάνονται (Εικ. 4). 3. Η συνάρτηση καλείται μειώνεται
σε κάποιο διάστημα ΕΝΑ, εάν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχουν πολλοί από αυτούς ΕΝΑπληρούται η προϋπόθεση:. Το γράφημα μιας φθίνουσας συνάρτησης έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό: όταν κινείται κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του διαστήματος ΕΝΑοι τεταγμένες των σημείων του γραφήματος μειώνονται (Εικ. 4). 4. Η συνάρτηση καλείται ακόμη και
σε κάποιο σετ Χ,εάν πληρούται η προϋπόθεση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων (Εικ. 2). 5. Η συνάρτηση καλείται Περιττός
σε κάποιο σετ Χ,εάν πληρούται η προϋπόθεση: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (Εικ. 2). 6. Εάν η συνάρτηση y = f(x) 7. Εάν η συνάρτηση y = f(x)ορίζεται στο σύνολο Χ και υπάρχει τέτοιο ώστε για οποιαδήποτε η ανισότητα f(x) f(x), τότε λένε ότι η συνάρτηση y = f(x)δέχεται υψηλότερη τιμή
στο=f(x)στο Χ= Χ(Εικ. 4, η συνάρτηση δεν έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές) .
Αν για αυτή τη λειτουργία y = f(x)όλα τα αναγραφόμενα ακίνητα έχουν μελετηθεί, τότε λένε ότι μελέτηλειτουργίες.
και βρείτε την αξία του σε
και βρείτε την αξία του σε 
.
;
;
.
;
; ΣΟΛ) 
.
Για να βρείτε το y για κάθε τιμή του x, πρέπει να εκτελέσετε τις ακόλουθες πράξεις: αφαιρέστε τον αριθμό 2 (x - 2) από την τιμή του x, εξάγετε την τετραγωνική ρίζα αυτής της παράστασηςκαι τελικά προσθέστε τον αριθμό 3Το σύνολο αυτών των πράξεων (ή ο νόμος σύμφωνα με τον οποίο αναζητείται η τιμή y για κάθε τιμή του x) ονομάζεται συνάρτηση y(x). Για παράδειγμα, για x = 6 βρίσκουμεΈτσι, για να υπολογίσουμε τη συνάρτηση y σε ένα δεδομένο σημείο x, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή x στη δεδομένη συνάρτηση y(x).
Αφού εξ ορισμού αριθμητική ρίζα
τότε προσθέτουμε τον αριθμό 3 σε όλα τα μέρη αυτής της ανισότητας, παίρνουμε:
ή 3 ≤ y< +∞. Находим
ορίζεται για x - 2 ≠ 0, δηλ.Χ ≠ 2. Επομένως, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που δεν ισούται με 2, δηλ., η ένωση των διαστημάτων (-∞; 2) και (2; ∞).
δεν είναι πλέον συνάρτηση. Πράγματι, αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του y, για παράδειγμα, για x = 1, τότε χρησιμοποιώντας τον άνω τύπο βρίσκουμε: y = 2 1 - 3 = -1, και χρησιμοποιώντας τον κατώτερο τύπο παίρνουμε: y = 12 + 1 = 2. Έτσι, μία τιμή x(x = 1) αντιστοιχούν σε δύο τιμές του y (y = -1 και y = 2). Επομένως, αυτή η εξάρτηση (εξ ορισμού) δεν είναι συνάρτηση.
Από τη μέθοδο εύρεσης του y είναι σαφές ότι οποιαδήποτε τιμή x αντιστοιχεί μόνο σε μία τιμή y.
Ανήκει το σημείο με συντεταγμένες στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης: α) (-2; -6); β) (-3; -10);
Ας βρούμε το x(y).
Προς την Θα γράψουμε την ίδια προϋπόθεση για το επιχείρημα (- z): 
Για ευκολία, εισάγουμε νέες μεταβλητές a = y (z) και b = y (- z ). Για τέτοιες μεταβλητές λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων
που 
Δεδομένου ότι το όρισμα της συνάρτησης μπορεί να δηλώσει με οποιαδήποτε επιστολή, έχουμε:
n1.doc
Ριαζάν
Θεωρητικό μέρος
1.1 Ανάπτυξη της έννοιας της συναρτησιακής εξάρτησης στα μαθηματικά……………………………………………………………………4
Αριθμητικές συναρτήσεις
1.3 Ιδιότητες συνάρτησης………………………………………………………………7
2. Άμεσες και αντιστρόφως αναλογικές σχέσεις
2.2 Ιδιότητες ευθέως αναλογικής εξάρτησης………………………………………………….10
2.3 Η έννοια της αντίστροφης αναλογικότητας και οι ιδιότητές της…………………………………………………………………
Πρακτικό μέρος
Συμπέρασμα…………………………………………………………………………………….
Στο πρώτο μισό του 18ου αιώνα. υπήρξε μια μετάβαση από μια οπτική αναπαράσταση της έννοιας μιας συνάρτησης σε έναν αναλυτικό ορισμό. Ο Ελβετός μαθηματικός Johann Bernoulli, και στη συνέχεια ο ακαδημαϊκός Leonhard Euler, πίστευαν ότι η συνάρτηση
Σήμερα γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί όχι μόνο σε μαθηματική γλώσσα, αλλά και γραφικά. Ο ανακαλυπτής αυτής της μεθόδου ήταν ο Ντεκάρτ. Αυτή η ανακάλυψη έπαιξε τεράστιο ρόλο στην περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών: έγινε η μετάβαση από τα σημεία στους αριθμούς, από τις ευθείες στις εξισώσεις, από τη γεωμετρία στην άλγεβρα. Έτσι, κατέστη δυνατή η εύρεση κοινών τεχνικών για την επίλυση προβλημάτων.
Από την άλλη, χάρη στη μέθοδο των συντεταγμένων, κατέστη δυνατή η απεικόνιση γεωμετρικά διαφορετικών εξαρτήσεων.
Έτσι, τα γραφήματα παρέχουν μια οπτική αναπαράσταση της φύσης της σχέσης μεταξύ των ποσοτήτων· χρησιμοποιούνται συχνά σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας.
Αυτό σημαίνει ότι πριν εισαχθεί η έννοια της "λειτουργίας", είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί εργασία για το σχηματισμό δεξιοτήτων λειτουργικής σκέψης, έτσι ώστε "τη στιγμή που η γενική ιδέα της λειτουργικής εξάρτησης πρέπει να εισέλθει στη συνείδηση των μαθητών, αυτή η συνείδηση θα είναι επαρκώς προετοιμασμένη για την ουσιαστική και αποτελεσματική, και όχι απλώς την επίσημη αντίληψη μιας νέας έννοιας και των σχετικών ιδεών και δεξιοτήτων» (A.Ya. Khinchin)
Η ανάπτυξη της ιδέας της λειτουργικής εξάρτησης προχώρησε σε διάφορα στάδια:
Ο I. Ya. Khinchin έδωσε μεγάλη προσοχή σε αυτό το πρόβλημα στα έργα του.
Η σύγχρονη έννοια της λειτουργίας διαφέρει σημαντικά από τις προηγούμενες. Αντικατοπτρίζει πληρέστερα όλες τις ιδιότητες και τις εξαρτήσεις που διαθέτει.
1.2 Μέθοδοι καθορισμού συναρτήσεων
1.3 Ιδιότητες λειτουργίας.
Μια συνάρτηση θεωρείται ορισμένη εάν: καθορίζεται το πεδίο ορισμού της συνάρτησης X. καθορίζεται το εύρος τιμών της συνάρτησης Y. ο κανόνας (νόμος) της αντιστοιχίας είναι γνωστός και τέτοιος ώστε για κάθε τιμή του ορίσματος μπορεί να βρεθεί μόνο μία τιμή της συνάρτησης. Αυτή η απαίτηση μοναδικότητας της λειτουργίας είναι υποχρεωτική.
Περιορισμένες και απεριόριστες λειτουργίες.Μια συνάρτηση ονομάζεται δεσμευμένη αν υπάρχει θετικός αριθμός M τέτοιος ώστε | f(x) | M για όλες τις τιμές του x. Εάν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι απεριόριστη.
2. Άμεσες και αντιστρόφως αναλογικές σχέσεις.
2.1 Η έννοια της ευθείας αναλογικότητας.
2.2 Ιδιότητες ευθείας αναλογικότητας.
Αν οι τιμές των μεταβλητώνΧΚαιy
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=kx είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.
Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή.
Για k>0, η συνάρτηση y=kx αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού (για k
Αν η συνάρτηση f είναι ευθείας αναλογικότητας, τότε (x1,y1),(x2,y2) είναι ζεύγη αντίστοιχων μεταβλητών x και y, όπου το x δεν ισούται με μηδέν, που σημαίνει x1/x2=y1/y2.
Αντιστρόφως αναλογικότητα- Αυτό λειτουργία,που μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y=k/x, όπου k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενικός. Το όνομα της συνάρτησης y = k/x συνδέεται με τις μεταβλητές x και y, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με κάποιον πραγματικό αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν.
Το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών της συνάρτησης y=k/x είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.
Γράφημα ευθείας αναλογικότητας – υπερβολή;
Όταν το k 0, αντίστοιχα, μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, διακλαδώνεται - προς τα κάτω)
Αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως αναλογική, τότε (x1,y1),(x2,y2) είναι ζεύγη αντίστοιχων μεταβλητών x και y, όπου το x δεν ισούται με μηδέν, που σημαίνει x1/x2=y2/y1.
3.1 Λειτουργική προπαίδεια στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών
δ) γραφικά (χρησιμοποιώντας ακτίνα συντεταγμένων ή γωνία).
Κατά την ανάλυση των αριθμών που παρουσιάζονται στον πίνακα, οι μαθητές εύκολα παρατηρούν ότι οι αριθμοί στην πρώτη γραμμή αυξάνονται κατά ένα, οι αριθμοί στη δεύτερη γραμμή αυξάνονται κατά τέσσερις. Το καθήκον του δασκάλου είναι να δώσει προσοχή στη σχέση μεταξύ των τιμών των μεταβλητών ΕΝΑΚαι σι. Προκειμένου να ενισχυθεί ο εφαρμοσμένος προσανατολισμός της μαθηματικής εκπαίδευσης, αυτή η κατάσταση θα πρέπει να «αναζωογονηθεί» και να μεταφερθεί σε κατάσταση πλοκής.
Διδασκαλία μαθηματικών σύμφωνα με το πρόγραμμα L.G. Ο Peterson διασφαλίζει ότι οι μαθητές κατανοούν τη σχέση μεταξύ των αποτελεσμάτων και των συνιστωσών των αριθμητικών πράξεων και μια ιδέα «ταχύτητα» μεταβολής στο αποτέλεσμα αριθμητικών πράξεων ανάλογα με τις αλλαγές στα συστατικά στοιχεία:
κοτόπουλα
ημέρες
αυγά
3
3
3
12
12
Χ
Πρέπει να μάθετε:
(ο αριθμός των γραφέων αυξάνεται με την αύξηση των φύλλων κατά φορές και μειώνεται
(γραφείς)).
Ο αριθμός των ημερών χρήσης κηροζίνης αυξάνεται με την αύξηση της ποσότητας κηροζίνης μέσα
φορές και από τη μείωση των λαμπτήρων κατά έναν παράγοντα.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Θεωρία και πρακτική επίλυσης προβλημάτων κειμένου: Εγχειρίδιο. βοήθεια για μαθητές πιο ψηλά πεδ. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. – Μ.: Εκδοτικό Κέντρο “Ακαδημία”, 2002. -288 σελ.
Fridman L. M. Mathematics: Ένα εγχειρίδιο για δασκάλους και φοιτητές παιδαγωγικών πανεπιστημίων και κολεγίων. – Μ.: Σχολικός Τύπος, 2002.- 208 σελ.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Βασικές αρχές ενός αρχικού μαθήματος στα μαθηματικά: Εγχειρίδιο. εγχειρίδιο για φοιτητές παιδαγωγικής. uch - sch on special. «Διδασκαλία στις δημοτικές τάξεις της γενικής εκπαίδευσης. Shk." - Μ.: Εκπαίδευση, 1998. – Δεκαετία 320.
Stoilova L.P. Μαθηματικά: Εγχειρίδιο για μαθητές. πιο ψηλά Πεντ. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. – Μ.: Εκδοτικό κέντρο “Akakdemiya”, 1999. – 424 σελ.
Pekhletsky I. D. Μαθηματικά: Εγχειρίδιο. – 2η έκδοση στερεότυπη – Μ.: Εκδοτικό Κέντρο “Academy”; Mastery, 2002. – 304 σελ.
Kryuchkova V.V. Εργασία σε προβλήματα με αναλογικές ποσότητες σε αναπτυξιακό τρόπο: Ένα εγχειρίδιο για δασκάλους που ξεκινούν. τάξεις: Μέρος 2 / Περιφερειακό Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Ανάπτυξης Ryazan. Ryazan, 1996. – Δεκαετία 75.
Padun T. A. Μη τυπικές εργασίες στο μάθημα των μαθηματικών στοιχειωδών μαθηματικών: Μεθοδολογικές. Συνιστάται Για να βοηθήσω τους δασκάλους της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης / Ryaz. Περιοχή Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Ανάπτυξης. – Ryazan, 2003 – 85 p.
Glazer G.I. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο: IX – X τάξεις. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς. - Μ.: Εκπαίδευση, 1983. - 351 σελ., Ill.
Dorofeev G.V. Ένα μάθημα προσανατολισμένο στις ανθρωπιστικές επιστήμες είναι η βάση του εκπαιδευτικού μαθήματος "Μαθηματικά" στο γυμνάσιο // Μαθηματικά στο σχολείο. – 1997. - Νο. 4. - Σελ.59-66, σελ. 59.
Σύγχρονα προβλήματα στη διδασκαλία των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο. / Εκδ. ΜΙ. Moreau, Α.Μ. Φουσκωμένος. - Μ.: Παιδαγωγική, 1977. - 262 σελ.
Bantova Μ.Α., Beltyukova G.V. Μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο. - Μ.: Παιδαγωγική, 1984. - 301 σελ.
Davydov V.V. Μαθηματικά Γ ́ τάξης: Διδακτικό βιβλίο 4ετούς δημοτικού. - Μ.: Εκδοτικό κέντρο "Ακαδημία", 1998. - 212 σελ.
Moro M.I. και άλλα.Μαθηματικά: Διδακτικό εγχειρίδιο Γ' τάξης τριετούς δημοτικού και Δ' τάξης τετραετούς δημοτικού. / Εκδ. Kalyagina Yu.M. - Μ.: Εκπαίδευση, 1997. - 240 σελ.
Peterson L.G. Μαθηματικά, Γ' τάξη. Μέρη 1, 2. Διδακτικό εγχειρίδιο 4ετούς δημοτικού. - Μ.: "Balass", 2001.
.
.
f(x) f(x), τότε λένε ότι η συνάρτηση y = f(x)δέχεται μικρότερη τιμή
στο=f(x)στο Χ= Χ(Εικ. 2, η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή στο σημείο με συντεταγμένες (0;0)).