Ρίζαn-ο βαθμός και οι ιδιότητές του

Τι είναι ρίζαnο βαθμός; Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα;

Στην όγδοη δημοτικού, έχετε ήδη εξοικειωθεί τετραγωνική ρίζα. Επιλύσαμε χαρακτηριστικά παραδείγματα με ρίζες, χρησιμοποιώντας ορισμένες ιδιότητες των ριζών. Αποφασίστηκε επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, όπου χωρίς εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας - δεν υπάρχει τρόπος. Αλλά η τετραγωνική ρίζα είναι απλώς μια ειδική περίπτωση μιας ευρύτερης έννοιας - ρίζα n ου βαθμού . Εκτός από την τετραγωνική ρίζα, υπάρχουν, για παράδειγμα, κυβικές ρίζες, τέταρτη, πέμπτη και ανώτερη δύναμη. Και για να δουλέψετε με επιτυχία με τέτοιες ρίζες, θα ήταν καλή ιδέα πρώτα να είστε εξοικειωμένοι με τις τετραγωνικές ρίζες.) Επομένως, όποιος έχει προβλήματα με αυτές, συνιστώ ανεπιφύλακτα να το επαναλάβει.

Η εξαγωγή της ρίζας είναι μία από τις πράξεις αντίστροφες από την αύξηση σε δύναμη.) Γιατί "μία από"; Γιατί όταν εξάγουμε τη ρίζα, ψάχνουμε βάσησύμφωνα με τα γνωστά βαθμός και δείκτης. Και υπάρχει μια άλλη αντίστροφη πράξη - εύρεση δείκτηςσύμφωνα με τα γνωστά πτυχίο και βάση.Αυτή η λειτουργία ονομάζεται εύρεση λογάριθμοςΕίναι πιο περίπλοκο από την εξαγωγή ριζών και μελετάται στο γυμνάσιο.)

Λοιπόν, ας γνωριστούμε!

Πρώτον, ο χαρακτηρισμός. Η τετραγωνική ρίζα, όπως ήδη γνωρίζουμε, συμβολίζεται ως εξής: . Αυτό το εικονίδιο ονομάζεται πολύ όμορφα και επιστημονικά - ριζικό. Ποιες είναι οι ρίζες των άλλων βαθμών; Είναι πολύ απλό: πάνω από την «ουρά» του ριζικού, γράψτε επιπλέον τον εκθέτη του βαθμού του οποίου η ρίζα αναζητείται. Αν ψάχνετε για ρίζα κύβου, τότε γράψτε μια τριπλή: . Εάν η ρίζα είναι τέταρτου βαθμού, τότε, κατά συνέπεια, . Και ούτω καθεξής.) Γενικά, η nη ρίζα συμβολίζεται ως εξής:

Οπου .

Αριθμόςένα , όπως στις τετραγωνικές ρίζες, λέγεται ριζική έκφραση , και εδώ είναι ο αριθμόςn Αυτό είναι νέο για εμάς. Και λέγεται δείκτης ρίζας .

Πώς να εξαγάγετε ρίζες οποιωνδήποτε βαθμών; Ακριβώς όπως τα τετράγωνα - υπολογίστε ποιος αριθμός στην nη δύναμη μας δίνει τον αριθμόένα .)

Πώς, για παράδειγμα, παίρνετε την κυβική ρίζα του 8; Αυτό είναι ? Τι αριθμό κόκκος αρωματικός θα μας δώσει 8; Ένα δίδυμο, φυσικά.) Έτσι γράφουν:

Ή . Ποιος αριθμός στην τέταρτη δύναμη δίνει το 81; Τρία.) Λοιπόν,

Τι γίνεται με τη δέκατη ρίζα του 1; Λοιπόν, δεν είναι παράξενο το ότι ένα σε οποιαδήποτε δύναμη (συμπεριλαμβανομένης της δέκατης) είναι ίσο με ένα.) Αυτό είναι:

Και γενικά μιλώντας.

Είναι η ίδια ιστορία με το μηδέν: το μηδέν σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη είναι ίσο με μηδέν. Αυτό είναι, .

Όπως μπορείτε να δείτε, σε σύγκριση με τις τετραγωνικές ρίζες, είναι πιο δύσκολο να καταλάβουμε ποιος αριθμός μας δίνει τον ριζικό αριθμό σε έναν ή τον άλλο βαθμόένα . Πιο δύσκολο μαζεύωαπαντήστε και ελέγξτε το για ορθότητα ανεβάζοντάς το σε ισχύn . Η κατάσταση απλοποιείται πολύ αν γνωρίζετε τις δυνάμεις των δημοφιλών αριθμών αυτοπροσώπως. Τώρα λοιπόν προπονούμαστε. :) Ας αναγνωρίσουμε τα πτυχία!)

Απαντήσεις (σε αταξία):

Ναι ναι! Υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις παρά εργασίες.) Επειδή, για παράδειγμα, τα 2 8, 4 4 και 16 2 είναι όλα ο ίδιος αριθμός 256.

Έχεις εξασκηθεί; Στη συνέχεια, ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Απαντήσεις (επίσης σε αταξία): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Συνέβη; Υπέροχο! Ας προχωρήσουμε.)

Περιορισμοί στις ρίζες. Αριθμητική ρίζαnου βαθμού.

Οι nth ρίζες, όπως και οι τετραγωνικές ρίζες, έχουν επίσης τους δικούς τους περιορισμούς και τα δικά τους κόλπα. Στην ουσία, δεν διαφέρουν από αυτούς τους περιορισμούς για τις τετραγωνικές ρίζες.

Δεν ταιριάζει, σωστά; Τι είναι 3, τι είναι -3 στην τέταρτη δύναμη θα είναι +81. :) Και με οποιαδήποτε ρίζα ακόμη καιμοίρες από έναν αρνητικό αριθμό θα είναι το ίδιο τραγούδι. Και αυτό σημαίνει ότι Είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες άρτιου βαθμού από αρνητικούς αριθμούς . Αυτή είναι μια δράση ταμπού στα μαθηματικά. Είναι τόσο απαγορευμένο όσο η διαίρεση με το μηδέν. Επομένως, εκφράσεις όπως , και παρόμοια - δεν έχει νόημα.

Αλλά οι ρίζες Περιττόςδυνάμεις αρνητικών αριθμών – παρακαλώ!

Για παράδειγμα, ; , και ούτω καθεξής.)

Και από θετικούς αριθμούς μπορείτε να εξαγάγετε οποιεσδήποτε ρίζες, οποιωνδήποτε βαθμών, με ηρεμία:

Σε γενικές γραμμές, είναι κατανοητό, νομίζω.) Και, παρεμπιπτόντως, η ρίζα δεν χρειάζεται να εξαχθεί ακριβώς. Αυτά είναι απλώς παραδείγματα, καθαρά για κατανόηση.) Συμβαίνει ότι στη διαδικασία επίλυσης (για παράδειγμα, εξισώσεων) προκύπτουν μάλλον κακές ρίζες. Κάτι όπως . Η κυβική ρίζα μπορεί να εξαχθεί τέλεια από ένα οκτώ, αλλά εδώ υπάρχει ένα επτά κάτω από τη ρίζα. Τι να κάνω? Είναι εντάξει. Όλα είναι ακριβώς τα ίδια.είναι ένας αριθμός που όταν τον κυβίσουμε θα μας δώσει το 7. Μόνο που αυτός ο αριθμός είναι πολύ άσχημος και δασύτριχος. Εδώ είναι:

Επιπλέον, αυτός ο αριθμός δεν τελειώνει ποτέ και δεν έχει τελεία: οι αριθμοί ακολουθούν εντελώς τυχαία. Είναι παράλογο... Σε τέτοιες περιπτώσεις, η απάντηση αφήνεται με τη μορφή ρίζας.) Αν όμως η ρίζα εξαχθεί καθαρά (για παράδειγμα, ), τότε, φυσικά, η ρίζα πρέπει να υπολογιστεί και να γραφτεί:

Παίρνουμε πάλι τον πειραματικό μας αριθμό 81 και εξάγουμε την τέταρτη ρίζα από αυτόν:

Γιατί τρία στο τέταρτο θα είναι 81. Λοιπόν, καλά! Αλλά επίσης μείον τρίαστο τέταρτο θα είναι και 81!

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την ασάφεια:

Και, για να εξαλειφθεί, όπως και στις τετραγωνικές ρίζες, εισήχθη ένας ειδικός όρος: αριθμητική ρίζαnου βαθμού από μεταξύ ένα - αυτό είναι μη αρνητικόαριθμός,n-ο βαθμός του οποίου ισούται με ένα .

Και η απάντηση με συν ή πλην ονομάζεται διαφορετικά - αλγεβρική ρίζαnου βαθμού. Οποιαδήποτε άρτια δύναμη έχει αλγεβρική ρίζα δύο αντίθετοι αριθμοί. Στο σχολείο δουλεύουν μόνο με αριθμητικές ρίζες. Επομένως, οι αρνητικοί αριθμοί στις αριθμητικές ρίζες απλώς απορρίπτονται. Για παράδειγμα, γράφουν: . Το ίδιο το συν, φυσικά, δεν γράφεται: αυτό συνεπάγονται.

Όλα φαίνονται απλά, αλλά... Τι γίνεται όμως με τις περιττές ρίζες αρνητικών αριθμών; Άλλωστε, όταν το εξάγεις, παίρνεις πάντα αρνητικό αριθμό! Αφού οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός μέσα περίεργος βαθμόςδίνει και αρνητικό αριθμό. Και η αριθμητική ρίζα λειτουργεί μόνο με μη αρνητικούς αριθμούς! Γι' αυτό είναι αριθμητική.)

Σε τέτοιες ρίζες, αυτό κάνουν: βγάζουν το μείον κάτω από τη ρίζα και το τοποθετούν μπροστά από τη ρίζα. Σαν αυτό:

Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι εκφράζεται μέσω μιας αριθμητικής (δηλαδή ήδη μη αρνητικής) ρίζας .

Αλλά υπάρχει ένα σημείο που μπορεί να προκαλέσει σύγχυση - αυτή είναι η λύση απλών εξισώσεων με δυνάμεις. Για παράδειγμα, εδώ είναι η εξίσωση:

Γράφουμε την απάντηση: . Στην πραγματικότητα, αυτή η απάντηση είναι απλώς μια συνοπτική εκδοχή του δύο απαντήσεις:

Η παρεξήγηση εδώ είναι ότι έγραψα ήδη λίγο πιο πάνω ότι στο σχολείο λαμβάνονται υπόψη μόνο οι μη αρνητικές (δηλαδή αριθμητικές) ρίζες. Και εδώ είναι μια από τις απαντήσεις με ένα μείον... Τι να κάνω; Με τιποτα! Τα σημάδια είναι εδώ αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης. ΕΝΑ η ίδια η ρίζα– η τιμή εξακολουθεί να είναι μη αρνητική! Δες το και μονος σου:

Λοιπόν, είναι πιο ξεκάθαρο τώρα; Με αγκύλες;)

Με έναν περίεργο βαθμό όλα είναι πολύ πιο απλά - πάντα λειτουργούν εκεί έξω έναςρίζα. Με ένα συν ή ένα μείον. Για παράδειγμα:

Αν λοιπόν εμείς Μόλιςεξάγουμε τη ρίζα (ζυγού βαθμού) από έναν αριθμό, τότε πάντα παίρνουμε έναςμη αρνητικό αποτέλεσμα. Γιατί είναι αριθμητική ρίζα. Αν όμως αποφασίσουμε την εξίσωσημε άρτιο βαθμό, τότε παίρνουμε δύο αντίθετες ρίζες, αφού αυτό είναι λύση της εξίσωσης.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τις περιττές ρίζες (κυβικές, πέμπτες κ.λπ.). Ας το βγάλουμε μόνοι μας και μην ανησυχούμε για τα σημάδια. Ένα συν κάτω από τη ρίζα σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της εξαγωγής είναι ένα συν. Μείον σημαίνει μείον.)

Και τώρα ήρθε η ώρα να συναντηθούμε ιδιότητες των ριζών. Κάποια θα μας είναι ήδη γνωστά από τετραγωνικές ρίζες, αλλά θα προστεθούν αρκετά νέα. Πηγαίνω!

Ιδιότητες των ριζών. Η ρίζα του έργου.

Αυτή η ιδιότητα είναι ήδη γνωστή σε εμάς από τετραγωνικές ρίζες. Για ρίζες άλλων βαθμών όλα είναι παρόμοια:

Αυτό είναι, η ρίζα του προϊόντος είναι ίση με το γινόμενο των ριζών κάθε παράγοντα ξεχωριστά.

Εάν ο δείκτηςn ακόμη, τότε και οι δύο ριζοσπάστεςένα Καισι πρέπει, φυσικά, να είναι μη αρνητικό, διαφορετικά ο τύπος δεν έχει νόημα. Στην περίπτωση ενός περιττού εκθέτη, δεν υπάρχουν περιορισμοί: μετακινούμε τα μείον από κάτω από τις ρίζες και μετά δουλεύουμε με αριθμητικές ρίζες.)

Όπως και με τις τετραγωνικές ρίζες, αυτός ο τύπος είναι εξίσου χρήσιμος από τα αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Η εφαρμογή του τύπου από αριστερά προς τα δεξιά σας επιτρέπει να εξαγάγετε τις ρίζες από το έργο. Για παράδειγμα:

Αυτός ο τύπος, παρεμπιπτόντως, ισχύει όχι μόνο για δύο, αλλά για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων. Για παράδειγμα:

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να εξαγάγετε ρίζες από μεγάλους αριθμούς: για να γίνει αυτό, ο αριθμός κάτω από τη ρίζα αποσυντίθεται σε μικρότερους παράγοντες και, στη συνέχεια, οι ρίζες εξάγονται ξεχωριστά από κάθε παράγοντα.

Για παράδειγμα, αυτή η εργασία:

Ο αριθμός είναι αρκετά μεγάλος. Εξάγεται η ρίζα από αυτό; λείος- είναι επίσης ασαφές χωρίς αριθμομηχανή. Θα ήταν ωραίο να το συνυπολογίσουμε. Με τι ακριβώς διαιρείται ο αριθμός 3375; Μοιάζει με 5: το τελευταίο ψηφίο είναι πέντε.) Διαίρεση:

Ωχ, διαιρείται ξανά με το 5! 675:5 = 135. Και το 135 διαιρείται πάλι με το πέντε. Πότε θα τελειώσει αυτό!)

135:5 = 27. Με τον αριθμό 27, όλα είναι ήδη ξεκάθαρα - είναι τρεις κύβοι. Που σημαίνει,

Επειτα:

Εξάγαμε τη ρίζα κομμάτι-κομμάτι, και αυτό είναι εντάξει.)

Ή αυτό το παράδειγμα:

Και πάλι παραγοντοποιούμε σύμφωνα με τα κριτήρια της διαιρετότητας. Ποιό απ'όλα? Στα 4 γιατί το τελευταίο ζευγάρι των ψηφίων 40 διαιρείται με το 4. Και με το 10, επειδή το τελευταίο ψηφίο είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διαιρέσουμε με το 40 με μία πτώση:

Γνωρίζουμε ήδη για τον αριθμό 216 ότι είναι έξι κύβοι. Αυτό είναι,

Και το 40, με τη σειρά του, μπορεί να επεκταθεί ως . Επειτα

Και τελικά παίρνουμε:

Δεν λειτούργησε να εξαγάγετε τη ρίζα καθαρά, αλλά δεν πειράζει. Τέλος πάντων, απλοποιήσαμε την έκφραση: ξέρουμε ότι κάτω από τη ρίζα (είτε τετράγωνο είτε κυβικό, ό,τι κι αν είναι) συνηθίζεται να αφήνουμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό.) Σε αυτό το παράδειγμα, εκτελέσαμε μια πολύ χρήσιμη πράξη, επίσης γνωστή σε εμάς από τετραγωνικές ρίζες. Αναγνωρίζεις? Ναί! Εμείς διεξήχθηπολλαπλασιαστές από τη ρίζα. Σε αυτό το παράδειγμα, βγάλαμε ένα δύο και ένα έξι, δηλ. αριθμός 12.

Πώς να αφαιρέσετε τον πολλαπλασιαστή από το σύμβολο της ρίζας;

Η λήψη ενός παράγοντα (ή παραγόντων) πέρα ​​από το ριζικό σημάδι είναι πολύ απλή. Συνυπολογίζουμε τη ριζική έκφραση και εξάγουμε ό,τι εξάγεται.) Και ό,τι δεν εξάγεται, το αφήνουμε κάτω από τη ρίζα. Βλέπω:

Συνυπολογίζουμε τον αριθμό 9072. Δεδομένου ότι έχουμε μια τέταρτη ρίζα δύναμης, πρώτα απ 'όλα προσπαθούμε να την παραγοντοποιήσουμε σε παράγοντες που είναι τέταρτες δυνάμεις φυσικών αριθμών - 16, 81, κ.λπ.

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 9072 με το 16:

Κοινή χρήση!

Αλλά το 567 φαίνεται να διαιρείται με το 81:

Που σημαίνει, .

Επειτα

Ιδιότητες των ριζών. Πολλαπλασιασμός ριζών.

Ας εξετάσουμε τώρα την αντίστροφη εφαρμογή του τύπου - από δεξιά προς τα αριστερά:

Με την πρώτη ματιά, τίποτα καινούργιο, αλλά τα φαινόμενα απατούν.) Η αντίστροφη εφαρμογή της φόρμουλας διευρύνει σημαντικά τις δυνατότητές μας. Για παράδειγμα:

Χμμ, τι συμβαίνει με αυτό; Το πολλαπλασίασαν και τέλος. Δεν υπάρχει τίποτα το ιδιαίτερο εδώ. Κανονικός πολλαπλασιασμός των ριζών. Ορίστε ένα παράδειγμα!

Οι ρίζες δεν μπορούν να εξαχθούν καθαρά από τους παράγοντες ξεχωριστά. Αλλά το αποτέλεσμα είναι εξαιρετικό.)

Και πάλι, ο τύπος ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων. Για παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε την ακόλουθη έκφραση:

Το κύριο πράγμα εδώ είναι η προσοχή. Το παράδειγμα περιέχει διαφορετικόςρίζες – κύβος και τέταρτου βαθμού. Και κανένα από αυτά δεν εξάγεται σίγουρα...

Και ο τύπος για το προϊόν των ριζών ισχύει μόνο για ρίζες με πανομοιότυποδείκτες. Επομένως, θα ομαδοποιήσουμε τις κυβικές ρίζες σε μια ξεχωριστή ομάδα και τις ρίζες τέταρτου βαθμού σε μια ξεχωριστή ομάδα. Και τότε, βλέπετε, όλα θα αναπτυχθούν μαζί.))

Και δεν χρειάστηκες αριθμομηχανή.)

Πώς να εισάγετε έναν πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας;

Το επόμενο χρήσιμο είναι προσθέτοντας έναν αριθμό στη ρίζα. Για παράδειγμα:

Είναι δυνατή η αφαίρεση του τριπλού μέσα στη ρίζα; Στοιχειώδης! Αν μετατρέψουμε τρεις σε ρίζα, τότε ο τύπος για το προϊόν των ριζών θα λειτουργήσει. Λοιπόν, ας μετατρέψουμε τρία σε ρίζα. Εφόσον έχουμε ρίζα τέταρτου βαθμού, θα τη μετατρέψουμε και σε ρίζα τέταρτου βαθμού.) Κάπως έτσι:

Επειτα

Μια ρίζα, παρεμπιπτόντως, μπορεί να γίνει από οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό. Και στον βαθμό που θέλουμε (όλα εξαρτώνται από το συγκεκριμένο παράδειγμα). Αυτή θα είναι η ν η ρίζα αυτού του αριθμού:

Και τώρα - προσοχή!Πηγή πολύ σοβαρών λαθών! Δεν είναι για τίποτα που είπα εδώ μη αρνητικόαριθμοί. Η αριθμητική ρίζα λειτουργεί μόνο με αυτά. Αν έχουμε αρνητικό αριθμό κάπου στην εργασία, τότε είτε αφήνουμε το μείον ακριβώς έτσι, μπροστά από τη ρίζα (αν είναι έξω), είτε απαλλαγούμε από το μείον κάτω από τη ρίζα, αν είναι μέσα. Σας θυμίζω, αν κάτω από τη ρίζα ακόμη καιΟ βαθμός είναι αρνητικός αριθμός, λοιπόν η έκφραση δεν έχει νόημα.

Για παράδειγμα, αυτή η εργασία. Εισαγάγετε τον πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας:

Αν τώρα φέρουμε στη ρίζα μείονδύο, τότε θα κάνουμε σκληρό λάθος:

Τι συμβαίνει εδώ; Και το γεγονός είναι ότι η τέταρτη δύναμη, λόγω της ισοτιμίας της, "έφαγε" ευτυχώς αυτό το μείον, με αποτέλεσμα ένας προφανώς αρνητικός αριθμός να μετατραπεί σε θετικό. Και η σωστή λύση μοιάζει με αυτό:

Στις ρίζες των περιττών βαθμών, αν και το μείον δεν "τρώγεται", είναι επίσης καλύτερο να το αφήσετε έξω:

Εδώ η περιττή ρίζα είναι κυβική, και έχουμε κάθε δικαίωμα να σπρώξουμε το μείον και κάτω από τη ρίζα. Αλλά σε τέτοια παραδείγματα είναι προτιμότερο να αφήνουμε επίσης το μείον έξω και να γράφουμε την απάντηση που εκφράζεται μέσω μιας αριθμητικής (μη αρνητικής) ρίζας, αφού η ρίζα, αν και έχει δικαίωμα στη ζωή, δεν είναι αριθμητική.

Έτσι, με την εισαγωγή του αριθμού κάτω από τη ρίζα, όλα είναι επίσης ξεκάθαρα, ελπίζω.) Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα.

Ιδιότητες των ριζών. Ρίζα κλάσματος. Διαίρεση ρίζας.

Αυτή η ιδιότητα αντιγράφει επίσης πλήρως αυτή των τετραγωνικών ριζών. Μόνο τώρα το επεκτείνουμε σε ρίζες οποιουδήποτε βαθμού:

Η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με τη ρίζα του αριθμητή διαιρούμενη με τη ρίζα του παρονομαστή.

Αν το n είναι άρτιο, τότε ο αριθμόςένα πρέπει να είναι μη αρνητικό και ο αριθμόςσι – αυστηρά θετικό (δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν). Στην περίπτωση ενός περιττού δείκτη, ο μόνος περιορισμός θα είναι .

Αυτή η ιδιότητα σάς επιτρέπει να εξάγετε εύκολα και γρήγορα ρίζες από κλάσματα:

Η ιδέα είναι ξεκάθαρη, νομίζω. Αντί να εργαζόμαστε με ολόκληρο το κλάσμα, προχωράμε στην εργασία χωριστά με τον αριθμητή και χωριστά με τον παρονομαστή.) Εάν το κλάσμα είναι δεκαδικός ή, φρίκη των φρίκης, μικτός αριθμός, τότε προχωράμε πρώτα στα συνηθισμένα κλάσματα:

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργεί αυτός ο τύπος από δεξιά προς τα αριστερά. Και εδώ εμφανίζονται πολύ χρήσιμες ευκαιρίες. Για παράδειγμα, αυτό το παράδειγμα:

Οι ρίζες δεν μπορούν να εξαχθούν ακριβώς από τον αριθμητή και τον παρονομαστή, αλλά από ολόκληρο το κλάσμα είναι εντάξει.) Μπορείτε να λύσετε αυτό το παράδειγμα με άλλο τρόπο - αφαιρέστε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα στον αριθμητή και στη συνέχεια μειώστε τον:

Οπως θέλεις. Η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια – η σωστή. Εάν δεν κάνετε λάθη στην πορεία.)

Έτσι, έχουμε τακτοποιήσει τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση των ριζών. Ας πάμε στο επόμενο βήμα και ας εξετάσουμε την τρίτη ιδιότητα - ρίζα στη δύναμη Και ρίζα της εξουσίας .

Ρίζα σε βαθμό. Ρίζα του πτυχίου.

Πώς να υψώσετε μια ρίζα σε μια δύναμη; Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε έναν αριθμό. Μπορεί αυτός ο αριθμός να αυξηθεί σε δύναμη; Σε έναν κύβο, για παράδειγμα; Σίγουρα! Πολλαπλασιάστε τη ρίζα από μόνη της τρεις φορές και - σύμφωνα με τον τύπο για το γινόμενο των ριζών:

Εδώ είναι η ρίζα και ο βαθμός λες καικαταστρέφονται ή αποζημιώνονται αμοιβαία. Πράγματι, αν σηκώσουμε έναν αριθμό που, όταν σηκωθεί σε κύβο, θα μας δώσει ένα τρία, σε αυτόν ακριβώς τον κύβο, τότε τι παίρνουμε; Θα πάρουμε τρία φυσικά! Και αυτό θα ισχύει για οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό. Γενικά:

Εάν οι εκθέτες και η ρίζα είναι διαφορετικοί, τότε δεν υπάρχουν προβλήματα. Εάν γνωρίζετε τις ιδιότητες των βαθμών.)

Εάν ο εκθέτης είναι μικρότερος από τον εκθέτη της ρίζας, τότε απλώς πιέζουμε τη μοίρα κάτω από τη ρίζα:

Σε γενικές γραμμές θα είναι:

Η ιδέα είναι ξεκάθαρη: ανεβάζουμε τη ριζοσπαστική έκφραση σε μια δύναμη, και στη συνέχεια την απλοποιούμε, αφαιρώντας τους παράγοντες κάτω από τη ρίζα, αν είναι δυνατόν. Ανn ακόμα και τότεένα πρέπει να είναι μη αρνητικό. Το γιατί είναι κατανοητό, νομίζω.) Και ανn περίεργο, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοίένα δεν είναι πλέον διαθέσιμο:

Ας ασχοληθούμε τώρα ρίζα του βαθμού . Δηλαδή, δεν είναι η ίδια η ρίζα που θα υψωθεί σε μια δύναμη, αλλά ριζική έκφραση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο και εδώ, αλλά υπάρχουν πολύ περισσότερα περιθώρια για λάθη. Γιατί; Γιατί μπαίνουν στο παιχνίδι αρνητικοί αριθμοί, που μπορεί να προκαλέσουν σύγχυση στα ζώδια. Προς το παρόν, ας ξεκινήσουμε με τις ρίζες των περιττών δυνάμεων - είναι πολύ πιο απλές.

Ας έχουμε τον αριθμό 2. Μπορούμε να τον κύβουμε; Σίγουρα!

Τώρα ας πάρουμε την κυβική ρίζα πίσω από το σχήμα οκτώ:

Ξεκινήσαμε με ένα δύο και επιστρέψαμε σε ένα δύο.) Δεν είναι περίεργο: ο κύβος αντισταθμίστηκε από την αντίστροφη λειτουργία - την εξαγωγή της ρίζας του κύβου.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Όλα είναι καλά και εδώ. Ο βαθμός και η ρίζα αντιστάθμιζε το ένα το άλλο. Γενικά, για ρίζες περιττών δυνάμεων μπορούμε να γράψουμε τον ακόλουθο τύπο:

Αυτός ο τύπος ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμόένα . Είτε θετικό είτε αρνητικό.

Δηλαδή, ένας περιττός βαθμός και η ρίζα του ίδιου βαθμού αντισταθμίζουν πάντα το ένα το άλλο και προκύπτει μια ριζική έκφραση. :)

Αλλά με ακόμη καισε κάποιο βαθμό αυτό το κόλπο μπορεί να μην λειτουργεί πλέον. Δες το και μονος σου:

Τίποτα ιδιαίτερο εδώ ακόμα. Ο τέταρτος βαθμός και η ρίζα του τέταρτου βαθμού ισορρόπησαν επίσης μεταξύ τους και το αποτέλεσμα ήταν απλώς δύο, δηλ. ριζική έκφραση. Και για κανέναν μη αρνητικόοι αριθμοί θα είναι ίδιοι. Τώρα ας αντικαταστήσουμε απλώς δύο σε αυτή τη ρίζα με μείον δύο. Δηλαδή, ας υπολογίσουμε την ακόλουθη ρίζα:

Το μείον των δύο «κάηκε» επιτυχώς λόγω τέταρτου βαθμού. Και ως αποτέλεσμα της εξαγωγής της ρίζας (αριθμητική!) πήραμε θετικόςαριθμός. Ήταν μείον δύο, τώρα είναι συν δύο.) Αλλά αν απλώς είχαμε «μειώσει» αλόγιστα τον βαθμό και τη ρίζα (το ίδιο!), θα είχαμε

Το οποίο είναι σοβαρό λάθος, ναι.

Επομένως για ακόμη καιεκθέτης, ο τύπος για τη ρίζα ενός βαθμού μοιάζει με αυτό:

Εδώ προσθέσαμε το σύμβολο συντελεστή, το οποίο πολλοί δεν αγαπούν, αλλά δεν υπάρχει τίποτα τρομακτικό σε αυτό: χάρη σε αυτό, ο τύπος λειτουργεί επίσης για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμόένα. Και η ενότητα απλά κόβει τα μειονεκτήματα:

Μόνο στις ρίζες του nου βαθμού εμφανίστηκε μια πρόσθετη διάκριση μεταξύ άρτιων και περιττών μοιρών. Ακόμη και τα πτυχία, όπως βλέπουμε, είναι πιο ιδιότροπα, ναι.)

Ας εξετάσουμε τώρα μια νέα χρήσιμη και πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα, ήδη χαρακτηριστική των ριζών του nου βαθμού: αν ο εκθέτης της ρίζας και ο εκθέτης της ριζικής έκφρασης πολλαπλασιαστούν (διαιρούνται) με τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει.

Θυμίζει κάπως τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, έτσι δεν είναι; Στα κλάσματα, μπορούμε επίσης να πολλαπλασιάσουμε (διαιρέσουμε) τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν). Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα των ριζών είναι επίσης συνέπεια της βασικής ιδιότητας ενός κλάσματος. Οταν θα συναντηθούμε βαθμός με ορθολογικό εκθέτη, τότε όλα θα ξεκαθαρίσουν. Τι, πώς και πού.)

Η άμεση εφαρμογή αυτής της φόρμουλας μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε απολύτως οποιεσδήποτε ρίζες από οποιεσδήποτε δυνάμεις. Συμπεριλαμβανομένων, αν οι εκφραστές της ριζικής έκφρασης και η ίδια η ρίζα διαφορετικός. Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την ακόλουθη έκφραση:

Ας το κάνουμε απλά. Αρχικά, επιλέγουμε την τέταρτη δύναμη του δέκατου κάτω από τη ρίζα και - προχωρήστε! Πως? Σύμφωνα με τις ιδιότητες των πτυχίων, φυσικά! Βγάζουμε τον πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα ή δουλεύουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη ρίζα της δύναμης.

Αλλά ας το απλοποιήσουμε χρησιμοποιώντας μόνο αυτήν την ιδιότητα. Για να γίνει αυτό, ας αναπαραστήσουμε τα τέσσερα κάτω από τη ρίζα ως:

Και τώρα - το πιο ενδιαφέρον πράγμα - διανοητικά βραχύνωο δείκτης κάτω από τη ρίζα (δύο) με τον δείκτη της ρίζας (τέσσερα)! Και παίρνουμε:

Για να χρησιμοποιήσετε με επιτυχία τη λειτουργία εξαγωγής ριζών στην πράξη, πρέπει να εξοικειωθείτε με τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας.
Όλες οι ιδιότητες διατυπώνονται και αποδεικνύονται μόνο για μη αρνητικές τιμές των μεταβλητών που περιέχονται κάτω από τα σημάδια των ριζών.

Θεώρημα 1. Η ν-η ρίζα (n=2, 3, 4,...) του γινόμενου δύο μη αρνητικών μαρκών είναι ίση με το γινόμενο των ντων ριζών αυτών των αριθμών:

Σχόλιο:

1. Το θεώρημα 1 παραμένει έγκυρο για την περίπτωση που η ριζική παράσταση είναι το γινόμενο περισσότερων από δύο μη αρνητικών αριθμών.

Θεώρημα 2.Αν, και n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, τότε η ισότητα είναι αληθής

Σύντομος(αν και ανακριβής) σύνθεση, η οποία είναι πιο βολική για χρήση στην πράξη: η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με το κλάσμα των ριζών.

Το θεώρημα 1 μας επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε το t μόνο ρίζες ίδιου βαθμού , δηλ. μόνο ρίζες με τον ίδιο δείκτη.

Θεώρημα 3.Αν ,Το k είναι φυσικός αριθμός και το n φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, τότε η ισότητα είναι αληθής

Με άλλα λόγια, για να υψώσουμε μια ρίζα σε μια φυσική δύναμη, αρκεί να υψώσουμε τη ριζοσπαστική έκφραση σε αυτή τη δύναμη.
Αυτό είναι συνέπεια του Θεωρήματος 1. Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για k = 3 λαμβάνουμε: Μπορούμε να συλλογιστούμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην περίπτωση οποιασδήποτε άλλης φυσικής τιμής του εκθέτη k.

Θεώρημα 4.Αν ,Τα k, n είναι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1, τότε η ισότητα είναι αληθής

Με άλλα λόγια, για να εξαγάγετε μια ρίζα από μια ρίζα, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους δείκτες των ριζών.
Για παράδειγμα,

Πρόσεχε!Μάθαμε ότι τέσσερις πράξεις μπορούν να εκτελεστούν στις ρίζες: πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εκθετική αύξηση και εξαγωγή ρίζας (από τη ρίζα). Τι γίνεται όμως με την πρόσθεση και την αφαίρεση ριζών; Με τιποτα.
Για παράδειγμα, αντί να γράψετε Really, Αλλά είναι προφανές ότι

Θεώρημα 5.Αν οι δείκτες της έκφρασης ρίζας και ρίζας πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται με τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει, δηλ.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1.Υπολογίζω

Λύση.Χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα των ριζών (Θεώρημα 1), παίρνουμε:

Παράδειγμα 2.Υπολογίζω
Λύση.Μετατρέψτε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα.
Έχουμε Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα των ριζών ( Θεώρημα 2 ), παίρνουμε:

Παράδειγμα 3.Υπολογίζω:

Λύση.Οποιοσδήποτε τύπος στην άλγεβρα, όπως γνωρίζετε καλά, χρησιμοποιείται όχι μόνο "από αριστερά προς τα δεξιά", αλλά και "από τα δεξιά προς τα αριστερά". Έτσι, η πρώτη ιδιότητα των ριζών σημαίνει ότι μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή και, αντίθετα, μπορούν να αντικατασταθούν από την έκφραση. Το ίδιο ισχύει και για τη δεύτερη ιδιότητα των ριζών. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, ας κάνουμε τους υπολογισμούς.

Ορισμός
Συνάρτηση ισχύος με εκθέτη pείναι η συνάρτηση f (x) = x p, η τιμή της οποίας στο σημείο x είναι ίση με την τιμή της εκθετικής συνάρτησης με βάση x στο σημείο p.
Επιπλέον, στ (0) = 0 p = 0για p > 0 .

Για φυσικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n αριθμών ίσων με x:
.
Ορίζεται για όλα έγκυρα .

Για θετικές ορθολογικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n ριζών βαθμού m του αριθμού x:
.
Για περιττό m, ορίζεται για όλα τα πραγματικά x. Για ακόμη και m, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για μη αρνητικές.

Για το αρνητικό, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
.
Επομένως, δεν ορίζεται στο σημείο.

Για παράλογες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
,
όπου α είναι ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός όχι ίσος με ένα: .
Όταν , ορίζεται για .
Όταν , η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για .

Συνέχεια. Μια συνάρτηση ισχύος είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Ιδιότητες και τύποι συναρτήσεων ισχύος για x ≥ 0

Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για ορισμένες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές του x. Σε αυτή την περίπτωση, οι ιδιότητές του μπορούν να ληφθούν από τις ιδιότητες του , χρησιμοποιώντας άρτιο ή περιττό. Αυτές οι περιπτώσεις συζητούνται και παρουσιάζονται αναλυτικά στη σελίδα "".

Μια συνάρτηση ισχύος, y = x p, με εκθέτη p έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(1.1) καθορισμένο και συνεχές στο σετ
στο ,
στο ;
(1.2) έχει πολλές έννοιες
στο ,
στο ;
(1.3) αυξάνεται αυστηρά με,
μειώνεται αυστηρά ως ?
(1.4) στο ;
στο ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Η απόδειξη ιδιοτήτων δίνεται στη σελίδα «Λειτουργία ισχύος (απόδειξη συνέχειας και ιδιότητες)»

Ρίζες - ορισμός, τύποι, ιδιότητες

Ορισμός
Ρίζα αριθμού x βαθμού nείναι ο αριθμός που όταν αυξηθεί στην ισχύ n δίνει x:
.
Εδώ n = 2, 3, 4, ... - φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός.

Μπορείτε επίσης να πείτε ότι η ρίζα ενός αριθμού x βαθμού n είναι η ρίζα (δηλαδή λύση) της εξίσωσης
.
Σημειώστε ότι η συνάρτηση είναι το αντίστροφο της συνάρτησης.

Τετραγωνική ρίζα του xείναι ρίζα του βαθμού 2: .

Κυβική ρίζα του xείναι ρίζα του βαθμού 3: .

Ακόμη και πτυχίο

Για ζυγές δυνάμεις n = 2 μ, η ρίζα ορίζεται για x ≥ 0 . Ένας τύπος που χρησιμοποιείται συχνά ισχύει τόσο για θετικό όσο και για αρνητικό x:
.
Για τετραγωνική ρίζα:
.

Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι σημαντική εδώ - δηλαδή, πρώτα εκτελείται το τετράγωνο, καταλήγοντας σε έναν μη αρνητικό αριθμό και, στη συνέχεια, λαμβάνεται η ρίζα από αυτόν (η τετραγωνική ρίζα μπορεί να ληφθεί από έναν μη αρνητικό αριθμό ). Αν αλλάζαμε τη σειρά: , τότε για το αρνητικό x η ρίζα θα ήταν απροσδιόριστη και μαζί της ολόκληρη η έκφραση θα ήταν απροσδιόριστη.

Περίεργος βαθμός

Για περιττές δυνάμεις, η ρίζα ορίζεται για όλα τα x:
;
.

Ιδιότητες και τύποι ριζών

Η ρίζα του x είναι συνάρτηση ισχύος:
.
Όταν x ≥ 0 ισχύουν οι παρακάτω τύποι:
;
;
, ;
.

Αυτοί οι τύποι μπορούν επίσης να εφαρμοστούν για αρνητικές τιμές μεταβλητών. Απλά πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η ριζοσπαστική έκφραση ακόμη και δυνάμεων δεν είναι αρνητική.

Ιδιωτικές αξίες

Η ρίζα του 0 είναι 0: .
Η ρίζα 1 είναι ίση με 1: .
Η τετραγωνική ρίζα του 0 είναι 0: .
Η τετραγωνική ρίζα του 1 είναι 1: .

Παράδειγμα. Ρίζα ριζών

Ας δούμε ένα παράδειγμα τετραγωνικής ρίζας ριζών:
.
Ας μετατρέψουμε την εσωτερική τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους:
.
Τώρα ας μετατρέψουμε την αρχική ρίζα:
.
Ετσι,
.

y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Ακολουθούν γραφήματα της συνάρτησης για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Τα γραφήματα μιας συνάρτησης ισχύος που ορίζονται για αρνητικές τιμές του x δίνονται στη σελίδα "Συνάρτηση ισχύος, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της"

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο μιας συνάρτησης ισχύος με εκθέτη p είναι μια συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 1/p.

Αν τότε.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Παράγωγο νης τάξης:
;

Εξαγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος

P ≠ - 1 ;
.

Επέκταση σειράς ισχύος

στο - 1 < x < 1 γίνεται η ακόλουθη αποσύνθεση:

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εξετάστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z:
φά (z) = z t.
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική μεταβλητή z ως προς το μέτρο r και το όρισμα φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Αντιπροσωπεύουμε τον μιγαδικό αριθμό t με τη μορφή πραγματικών και φανταστικών μερών:
t = p + i q .
Εχουμε:

Στη συνέχεια, λαμβάνουμε υπόψη ότι το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά:
,

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που q = 0 , δηλαδή ο εκθέτης είναι πραγματικός αριθμός, t = p. Επειτα
.

Αν το p είναι ακέραιος, τότε το kp είναι ακέραιος. Στη συνέχεια, λόγω της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
.
Δηλαδή, η εκθετική συνάρτηση με ακέραιο εκθέτη, για δεδομένο z, έχει μόνο μία τιμή και επομένως είναι μονοσήμαντη.

Αν το p είναι παράλογο, τότε τα γινόμενα kp για οποιοδήποτε k δεν παράγουν ακέραιο αριθμό. Αφού το k διατρέχει μια άπειρη σειρά τιμών k = 0, 1, 2, 3, ..., τότε η συνάρτηση z p έχει άπειρες τιμές. Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης.

Εάν το p είναι ορθολογικό, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
, Οπου m, n- ακέραιοι που δεν περιέχουν κοινούς διαιρέτες. Επειτα
.
Πρώτα n τιμές, με k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, δώστε n διαφορετικές τιμές του kp:
.
Ωστόσο, οι επόμενες τιμές δίνουν τιμές που διαφέρουν από τις προηγούμενες κατά έναν ακέραιο. Για παράδειγμα, όταν k = k 0+nέχουμε:
.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα διαφέρουν κατά πολλαπλάσια του 2π, έχουν ίσες τιμές. Επομένως, με περαιτέρω αύξηση στο k, λαμβάνουμε τις ίδιες τιμές του z p όπως για το k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Έτσι, μια εκθετική συνάρτηση με ορθολογικό εκθέτη είναι πολλαπλών τιμών και έχει n τιμές (κλαδιά). Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης. Μετά από n τέτοιες περιστροφές επιστρέφουμε στον πρώτο κλάδο από τον οποίο ξεκίνησε η αντίστροφη μέτρηση.

Συγκεκριμένα, μια ρίζα του βαθμού n έχει n τιμές. Για παράδειγμα, θεωρήστε την nη ρίζα ενός πραγματικού θετικού αριθμού z = x. Στην περίπτωση αυτή φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Άρα, για τετραγωνική ρίζα, n = 2 ,
.
Ακόμη και για κ. (- 1 ) k = 1. Για περιττό k, (- 1 ) k = - 1.
Δηλαδή, η τετραγωνική ρίζα έχει δύο έννοιες: + και -.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.

• Μια αριθμητική ρίζα μιας φυσικής δύναμης n>=2 ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι κάποιος μη αρνητικός αριθμός, όταν ανυψωθεί στη δύναμη n, προκύπτει ο αριθμός a.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για κάθε μη αρνητικό a και φυσικό n, η εξίσωση x^n=a θα έχει μία μόνο μη αρνητική ρίζα. Είναι αυτή η ρίζα που ονομάζεται αριθμητική ρίζα της νης μοίρας του αριθμού α.

Η αριθμητική ρίζα του ν ου βαθμού ενός αριθμού συμβολίζεται ως εξής: n√a. Ο αριθμός a σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται ριζική έκφραση.

Μια αριθμητική ρίζα του δεύτερου βαθμού ονομάζεται τετραγωνική ρίζα και μια αριθμητική ρίζα του τρίτου βαθμού ονομάζεται κυβική ρίζα.

Βασικές ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας του ν ου βαθμού

• 1. (n√a)^n = a.

Για παράδειγμα, (5√2)^5 = 2.

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της νης αριθμητικής ρίζας.

Αν το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, το b είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και το n, ο m είναι μερικοί φυσικοί αριθμοί τέτοιοι που το n είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 2 και το m είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 2, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Για παράδειγμα, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Για παράδειγμα, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Για παράδειγμα, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Για παράδειγμα, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Σημειώστε ότι στην ιδιότητα 2, ο αριθμός b μπορεί να είναι ίσος με μηδέν και στην ιδιότητα 4, ο αριθμός m μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος, με την προϋπόθεση ότι a>0.

Απόδειξη του δεύτερου ακινήτου

Και οι τέσσερις τελευταίες ιδιότητες μπορούν να αποδειχθούν με παρόμοιο τρόπο, επομένως θα περιοριστούμε στην απόδειξη μόνο της δεύτερης: n√(a*b)= n√a*n√b.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αριθμητικής ρίζας, αποδεικνύουμε ότι n√(a*b)= n√a*n√b.

Για να γίνει αυτό, αποδεικνύουμε δύο γεγονότα: n√a*n√b. Μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, και ότι (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. Το n√a*n√b είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, αφού τόσο το a όσο και το b είναι μεγαλύτερα ή ίσα με μηδέν.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, αφού (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

Q.E.D. Άρα η ιδιοκτησία είναι αληθινή. Αυτές οι ιδιότητες θα πρέπει συχνά να χρησιμοποιούνται κατά την απλοποίηση παραστάσεων που περιέχουν αριθμητικές ρίζες.

Συγχαρητήρια: σήμερα θα δούμε τις ρίζες - ένα από τα πιο εντυπωσιακά θέματα στην 8η τάξη. :)

Πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται με τις ρίζες, όχι επειδή είναι περίπλοκες (τι είναι τόσο περίπλοκο σε αυτό - μερικοί ορισμοί και μερικές ακόμη ιδιότητες), αλλά επειδή στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια οι ρίζες ορίζονται μέσα από μια τέτοια ζούγκλα που μόνο οι συγγραφείς των εγχειριδίων οι ίδιοι μπορούν να καταλάβουν αυτό το γράψιμο. Και ακόμα και τότε μόνο με ένα μπουκάλι καλό ουίσκι. :)

Επομένως, τώρα θα δώσω τον πιο σωστό και πιο ικανό ορισμό της ρίζας - τον μόνο που πρέπει πραγματικά να θυμάστε. Και στη συνέχεια θα εξηγήσω: γιατί χρειάζονται όλα αυτά και πώς να τα εφαρμόσουμε στην πράξη.

Αλλά πρώτα, θυμηθείτε ένα σημαντικό σημείο που πολλοί μεταγλωττιστές σχολικών βιβλίων για κάποιο λόγο «ξεχνούν»:

Οι ρίζες μπορεί να είναι ζυγού βαθμού (το αγαπημένο μας $\sqrt(a)$, καθώς και όλων των ειδών $\sqrt(a)$ και ακόμη και $\sqrt(a)$) και περιττού βαθμού (όλα τα είδη $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, κ.λπ.). Και ο ορισμός της ρίζας περιττού βαθμού είναι κάπως διαφορετικός από τον άρτιο.

Μάλλον το 95% όλων των λαθών και των παρεξηγήσεων που σχετίζονται με τις ρίζες κρύβονται σε αυτό το γαμημένο «κάπως διαφορετικό». Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν μια για πάντα την ορολογία:

Ορισμός. Ακόμα και ρίζα nαπό τον αριθμό $a$ είναι οποιαδήποτε μη αρνητικόο αριθμός $b$ είναι τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$. Και η περιττή ρίζα του ίδιου αριθμού $a$ είναι γενικά οποιοσδήποτε αριθμός $b$ για τον οποίο ισχύει η ίδια ισότητα: $((b)^(n))=a$.

Σε κάθε περίπτωση, η ρίζα συμβολίζεται ως εξής:

\(ένα)\]

Ο αριθμός $n$ σε μια τέτοια σημείωση ονομάζεται εκθέτης ρίζας και ο αριθμός $a$ ονομάζεται ριζική έκφραση. Συγκεκριμένα, για $n=2$ παίρνουμε την «αγαπημένη» μας τετραγωνική ρίζα (παρεμπιπτόντως, αυτή είναι ρίζα άρτιας μοίρας) και για $n=3$ παίρνουμε μια κυβική ρίζα (μονός βαθμός), που είναι επίσης συχνά βρίσκεται σε προβλήματα και εξισώσεις.

Παραδείγματα. Κλασικά παραδείγματα τετραγωνικών ριζών:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(στοίχιση)\]

Παρεμπιπτόντως, $\sqrt(0)=0$ και $\sqrt(1)=1$. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού $((0)^(2))=0$ και $((1)^(2))=1$.

Οι ρίζες κύβων είναι επίσης κοινές - δεν χρειάζεται να τις φοβάστε:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, μερικά «εξωτικά παραδείγματα»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλαβαίνετε ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός άρτιου και ενός περιττού βαθμού, διαβάστε ξανά τον ορισμό. Είναι πολύ σημαντικό!

Εν τω μεταξύ, θα εξετάσουμε ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό των ριζών, εξαιτίας του οποίου χρειάστηκε να εισαγάγουμε έναν ξεχωριστό ορισμό για άρτιους και περιττούς εκθέτες.

Γιατί χρειάζονται καθόλου οι ρίζες;

Αφού διαβάσουν τον ορισμό, πολλοί μαθητές θα ρωτήσουν: «Τι κάπνιζαν οι μαθηματικοί όταν το σκέφτηκαν;» Και αλήθεια: γιατί χρειάζονται καθόλου όλες αυτές οι ρίζες;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας επιστρέψουμε για λίγο στο δημοτικό. Θυμηθείτε: σε εκείνες τις μακρινές εποχές, που τα δέντρα ήταν πιο πράσινα και τα ζυμαρικά πιο νόστιμα, το κύριο μέλημά μας ήταν να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους αριθμούς. Λοιπόν, κάτι σαν "πέντε επί πέντε - είκοσι πέντε", αυτό είναι όλο. Αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς όχι σε ζεύγη, αλλά σε τρίδυμα, τετραπλά και γενικά ολόκληρα σύνολα:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ωστόσο, αυτό δεν είναι το ζητούμενο. Το κόλπο είναι διαφορετικό: οι μαθηματικοί είναι τεμπέληδες, οπότε δυσκολεύτηκαν να γράψουν τον πολλαπλασιασμό των δέκα πεντάδων ως εξής:

Γι' αυτό κατέληξαν στα πτυχία. Γιατί να μην γράψετε τον αριθμό των παραγόντων ως εκθέτη αντί για μια μεγάλη συμβολοσειρά; Κάτι σαν αυτό:

Είναι πολύ βολικό! Όλοι οι υπολογισμοί μειώνονται σημαντικά και δεν χρειάζεται να σπαταλήσετε ένα σωρό φύλλα περγαμηνής και σημειωματάρια για να σημειώσετε περίπου 5.183. Αυτός ο δίσκος ονομαζόταν δύναμη ενός αριθμού· ένα σωρό ιδιότητες βρέθηκαν σε αυτό, αλλά η ευτυχία αποδείχθηκε βραχύβια.

Μετά από ένα μεγαλειώδες πάρτι ποτού, το οποίο οργανώθηκε μόνο για την «ανακάλυψη» των πτυχίων, κάποιος ιδιαίτερα πεισματάρης μαθηματικός ρώτησε ξαφνικά: «Κι αν γνωρίζουμε τον βαθμό ενός αριθμού, αλλά ο ίδιος ο αριθμός είναι άγνωστος;» Τώρα, πράγματι, αν γνωρίζουμε ότι ένας ορισμένος αριθμός $b$, ας πούμε, στην 5η δύναμη δίνει 243, τότε πώς μπορούμε να μαντέψουμε με τι ισούται ο ίδιος ο αριθμός $b$;

Αυτό το πρόβλημα αποδείχθηκε πολύ πιο παγκόσμιο από ό,τι φαίνεται με την πρώτη ματιά. Επειδή αποδείχθηκε ότι για τις περισσότερες «έτοιμες» δυνάμεις δεν υπάρχουν τέτοιοι «αρχικοί» αριθμοί. Κρίνετε μόνοι σας:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Δεξί βέλος b=4\cdot 4\cdot 4\Δεξί βέλος b=4. \\ \end(στοίχιση)\]

Τι γίνεται αν $((b)^(3))=50$; Αποδεικνύεται ότι πρέπει να βρούμε έναν συγκεκριμένο αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του τρεις φορές, θα μας δώσει το 50. Ποιος είναι όμως αυτός ο αριθμός; Είναι σαφώς μεγαλύτερο από 3, αφού 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Δηλαδή αυτός ο αριθμός βρίσκεται κάπου μεταξύ τρία και τέσσερα, αλλά δεν θα καταλάβετε με τι ισούται.

Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που οι μαθηματικοί βρήκαν $n$th ρίζες. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που εισήχθη το σύμβολο ριζοσπαστικού $\sqrt(*)$. Για να ορίσουμε τον ίδιο τον αριθμό $b$, ο οποίος στον υποδεικνυόμενο βαθμό θα μας δώσει μια προηγουμένως γνωστή τιμή

\[\sqrt[n](a)=b\Δεξί βέλος ((b)^(n))=a\]

Δεν διαφωνώ: συχνά αυτές οι ρίζες υπολογίζονται εύκολα - είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα παραπάνω. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, εάν σκεφτείτε έναν αυθαίρετο αριθμό και στη συνέχεια προσπαθήσετε να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αυθαίρετου βαθμού από αυτόν, θα αντιμετωπίσετε τρομερό κακό.

Τι ΕΙΝΑΙ εκει! Ακόμη και το πιο απλό και γνωστό $\sqrt(2)$ δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στη συνήθη μορφή μας - ως ακέραιος ή κλάσμα. Και αν εισαγάγετε αυτόν τον αριθμό σε μια αριθμομηχανή, θα δείτε αυτό:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Όπως μπορείτε να δείτε, μετά την υποδιαστολή υπάρχει μια ατελείωτη ακολουθία αριθμών που δεν υπακούουν σε καμία λογική. Μπορείτε, φυσικά, να στρογγυλοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να συγκρίνετε γρήγορα με άλλους αριθμούς. Για παράδειγμα:

\[\sqrt(2)=1,4142...\περίπου 1,4 \lt 1,5\]

Ή εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:

\[\sqrt(3)=1,73205...\περίπου 1,7 \gt 1,5\]

Αλλά όλες αυτές οι στρογγυλοποιήσεις, πρώτον, είναι αρκετά σκληρές. και δεύτερον, πρέπει επίσης να μπορείτε να εργάζεστε με κατά προσέγγιση τιμές, διαφορετικά μπορείτε να πιάσετε μια δέσμη μη προφανών σφαλμάτων (παρεμπιπτόντως, η ικανότητα σύγκρισης και στρογγυλοποίησης απαιτείται να δοκιμαστεί στο προφίλ Unified State Examination).

Επομένως, στα σοβαρά μαθηματικά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς ρίζες - είναι οι ίδιοι ίσοι εκπρόσωποι του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών $\mathbb(R)$, ακριβώς όπως τα κλάσματα και οι ακέραιοι αριθμοί που μας ήταν από καιρό γνωστοί.

Η αδυναμία αναπαράστασης μιας ρίζας ως κλάσματος της μορφής $\frac(p)(q)$ σημαίνει ότι αυτή η ρίζα δεν είναι ρητός αριθμός. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια παρά μόνο με τη βοήθεια μιας ρίζας ή άλλων κατασκευών ειδικά σχεδιασμένων για αυτό (λογάριθμοι, δυνάμεις, όρια κ.λπ.). Αλλά περισσότερα για αυτό άλλη φορά.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα όπου, μετά από όλους τους υπολογισμούς, οι παράλογοι αριθμοί θα εξακολουθούν να παραμένουν στην απάντηση.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\περίπου 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\περίπου -1,2599... \\ \end(στοίχιση)\]

Φυσικά, από την εμφάνιση της ρίζας είναι σχεδόν αδύνατο να μαντέψουμε ποιοι αριθμοί θα έρθουν μετά την υποδιαστολή. Ωστόσο, μπορείτε να βασιστείτε σε μια αριθμομηχανή, αλλά ακόμα και η πιο προηγμένη αριθμομηχανή ημερομηνίας μας δίνει μόνο τα πρώτα ψηφία ενός παράλογου αριθμού. Επομένως, είναι πολύ πιο σωστό να γράψετε τις απαντήσεις με τη μορφή $\sqrt(5)$ και $\sqrt(-2)$.

Γι' αυτό ακριβώς εφευρέθηκαν. Για εύκολη καταγραφή των απαντήσεων.

Γιατί χρειάζονται δύο ορισμοί;

Ο προσεκτικός αναγνώστης μάλλον έχει ήδη παρατηρήσει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες που δίνονται στα παραδείγματα προέρχονται από θετικούς αριθμούς. Λοιπόν, τουλάχιστον από την αρχή. Αλλά οι ρίζες κύβου μπορούν να εξαχθούν ήρεμα από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό - είτε είναι θετικός είτε αρνητικός.

Γιατί συμβαίνει αυτό? Ρίξτε μια ματιά στο γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(2))$:

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης δίνει δύο ρίζες: θετική και αρνητική

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το $\sqrt(4)$ χρησιμοποιώντας αυτό το γράφημα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζεται μια οριζόντια γραμμή $y=4$ στο γράφημα (σημειώνεται με κόκκινο), η οποία τέμνεται με την παραβολή σε δύο σημεία: $((x)_(1))=2$ και $((x )_(2)) =-2$. Αυτό είναι πολύ λογικό, αφού

Όλα είναι ξεκάθαρα με τον πρώτο αριθμό - είναι θετικό, επομένως είναι η ρίζα:

Αλλά τότε τι να κάνουμε με το δεύτερο σημείο; Σαν τέσσερα έχουν δύο ρίζες ταυτόχρονα; Άλλωστε, αν τετραγωνίσουμε τον αριθμό −2, παίρνουμε επίσης 4. Γιατί να μην γράψουμε τότε $\sqrt(4)=-2$; Και γιατί οι δάσκαλοι βλέπουν τέτοιες αναρτήσεις σαν να θέλουν να σε φάνε; :)

Το πρόβλημα είναι ότι αν δεν επιβάλετε πρόσθετους όρους, τότε το τετράγωνο θα έχει δύο τετραγωνικές ρίζες - θετικές και αρνητικές. Και κάθε θετικός αριθμός θα έχει επίσης δύο από αυτούς. Αλλά οι αρνητικοί αριθμοί δεν θα έχουν καθόλου ρίζες - αυτό φαίνεται από το ίδιο γράφημα, αφού η παραβολή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα y, δηλ. δεν δέχεται αρνητικές τιμές.

Παρόμοιο πρόβλημα παρουσιάζεται για όλες τις ρίζες με ζυγό εκθέτη:

1. Αυστηρά μιλώντας, κάθε θετικός αριθμός θα έχει δύο ρίζες με ζυγό εκθέτη $n$.
2. Από αρνητικούς αριθμούς, η ρίζα με ακόμη και $n$ δεν εξάγεται καθόλου.

Γι' αυτό στον ορισμό μιας ρίζας ζυγού βαθμού $n$ ορίζεται συγκεκριμένα ότι η απάντηση πρέπει να είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Έτσι απαλλαγούμε από την ασάφεια.

Αλλά για το μονό $n$ δεν υπάρχει τέτοιο πρόβλημα. Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(3))$:

Μια κυβική παραβολή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, επομένως η κυβική ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε αριθμό

Από αυτό το γράφημα μπορούν να εξαχθούν δύο συμπεράσματα:

1. Οι κλάδοι μιας κυβικής παραβολής, σε αντίθεση με μια κανονική, πηγαίνουν στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις - και προς τα πάνω και προς τα κάτω. Επομένως, ανεξάρτητα από το ύψος που σχεδιάζουμε μια οριζόντια γραμμή, αυτή η γραμμή σίγουρα θα τέμνεται με το γράφημά μας. Κατά συνέπεια, η ρίζα του κύβου μπορεί πάντα να εξαχθεί από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό.
2. Επιπλέον, μια τέτοια τομή θα είναι πάντα μοναδική, επομένως δεν χρειάζεται να σκεφτείτε ποιος αριθμός θεωρείται η "σωστή" ρίζα και ποιος να αγνοήσετε. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο προσδιορισμός των ριζών για έναν περιττό βαθμό είναι απλούστερος από ό, τι για έναν ζυγό βαθμό (δεν υπάρχει απαίτηση για μη αρνητικότητα).

Είναι κρίμα που αυτά τα απλά πράγματα δεν εξηγούνται στα περισσότερα σχολικά βιβλία. Αντίθετα, ο εγκέφαλός μας αρχίζει να πετάει στα ύψη με κάθε είδους αριθμητικές ρίζες και τις ιδιότητές τους.

Ναι, δεν διαφωνώ: πρέπει επίσης να ξέρετε τι είναι η αριθμητική ρίζα. Και θα μιλήσω για αυτό λεπτομερώς σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Σήμερα θα μιλήσουμε επίσης για αυτό, γιατί χωρίς αυτό όλες οι σκέψεις για τις ρίζες της πολλαπλότητας $n$-th θα ήταν ελλιπείς.

Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τον ορισμό που έδωσα παραπάνω. Διαφορετικά, λόγω της πληθώρας των όρων, θα ξεκινήσει ένα τέτοιο χάλι στο κεφάλι σου που στο τέλος δεν θα καταλάβεις απολύτως τίποτα.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να κατανοήσετε τη διαφορά μεταξύ ζυγών και περιττών δεικτών. Επομένως, ας συλλέξουμε για άλλη μια φορά όλα όσα πραγματικά πρέπει να γνωρίζετε για τις ρίζες:

1. Μια ρίζα ενός ζυγού βαθμού υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό και η ίδια είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Για αρνητικούς αριθμούς μια τέτοια ρίζα είναι απροσδιόριστη.
2. Αλλά η ρίζα ενός περιττού βαθμού υπάρχει από οποιονδήποτε αριθμό και μπορεί η ίδια να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: για θετικούς αριθμούς είναι θετικός, και για αρνητικούς αριθμούς, όπως υποδηλώνει το κεφαλαίο, είναι αρνητικός.

Είναι δύσκολο? Όχι, δεν είναι δύσκολο. Είναι σαφές? Ναι, είναι απολύτως προφανές! Τώρα λοιπόν θα εξασκηθούμε λίγο με τους υπολογισμούς.

Βασικές ιδιότητες και περιορισμοί

Οι ρίζες έχουν πολλές περίεργες ιδιότητες και περιορισμούς - αυτό θα συζητηθεί σε ξεχωριστό μάθημα. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε μόνο το πιο σημαντικό «κόλπο», το οποίο ισχύει μόνο για ρίζες με άρτιο δείκτη. Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα ως τύπο:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]

Με άλλα λόγια, αν υψώσουμε έναν αριθμό σε άρτια ισχύ και στη συνέχεια εξαγάγουμε τη ρίζα της ίδιας δύναμης, δεν θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό, αλλά το μέτρο του. Αυτό είναι ένα απλό θεώρημα που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί (αρκεί να εξετάσουμε τα μη αρνητικά $x$ ξεχωριστά και μετά τα αρνητικά ξεχωριστά). Οι δάσκαλοι μιλούν συνεχώς για αυτό, δίνεται σε κάθε σχολικό εγχειρίδιο. Αλλά μόλις πρόκειται για την επίλυση παράλογων εξισώσεων (δηλαδή, εξισώσεων που περιέχουν ένα ριζικό πρόσημο), οι μαθητές ξεχνούν ομόφωνα αυτόν τον τύπο.

Για να κατανοήσουμε το ζήτημα λεπτομερώς, ας ξεχάσουμε όλους τους τύπους για ένα λεπτό και ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε δύο αριθμούς κατευθείαν:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Αυτά είναι πολύ απλά παραδείγματα. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα λύσουν το πρώτο παράδειγμα, αλλά πολλοί άνθρωποι κολλάνε στο δεύτερο. Για να λύσετε οποιαδήποτε τέτοια χάλια χωρίς προβλήματα, σκεφτείτε πάντα τη διαδικασία:

1. Πρώτον, ο αριθμός αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη. Λοιπόν, είναι κάπως εύκολο. Θα λάβετε έναν νέο αριθμό που μπορεί να βρεθεί ακόμη και στον πίνακα πολλαπλασιασμού.
2. Και τώρα από αυτόν τον νέο αριθμό είναι απαραίτητο να εξαχθεί η τέταρτη ρίζα. Εκείνοι. δεν συμβαίνει "μείωση" των ριζών και των δυνάμεων - αυτές είναι διαδοχικές ενέργειες.

Ας δούμε την πρώτη έκφραση: $\sqrt(((3)^(4)))$. Προφανώς, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την έκφραση κάτω από τη ρίζα:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Στη συνέχεια εξάγουμε την τέταρτη ρίζα του αριθμού 81:

Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Αρχικά, ανεβάζουμε τον αριθμό −3 στην τέταρτη δύναμη, η οποία απαιτεί πολλαπλασιασμό του με τον εαυτό του 4 φορές:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ αριστερά(-3 \δεξιά)=81\]

Πήραμε έναν θετικό αριθμό, αφού ο συνολικός αριθμός των μείον στο γινόμενο είναι 4, και όλα θα ακυρώσουν το ένα το άλλο (εξάλλου, ένα μείον για ένα μείον δίνει ένα συν). Στη συνέχεια εξάγουμε ξανά τη ρίζα:

Κατ' αρχήν, αυτή η γραμμή δεν θα μπορούσε να είχε γραφτεί, αφού δεν είναι λογικό ότι η απάντηση θα ήταν η ίδια. Εκείνοι. μια άρτια ρίζα της ίδιας άρτιας ισχύος «καίει» τα μειονεκτήματα, και από αυτή την άποψη το αποτέλεσμα δεν διακρίνεται από μια κανονική ενότητα:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \δεξιά|=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Αυτοί οι υπολογισμοί συμφωνούν καλά με τον ορισμό της ρίζας ζυγού βαθμού: το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό και το ριζικό πρόσημο περιέχει επίσης πάντα έναν μη αρνητικό αριθμό. Διαφορετικά, η ρίζα είναι απροσδιόριστη.

Σημείωση για τη διαδικασία

1. Ο συμβολισμός $\sqrt(((a)^(2)))$ σημαίνει ότι πρώτα τετραγωνίζουμε τον αριθμό $a$ και μετά παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της τιμής που προκύπτει. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αφού $((a)^(2))\ge 0$ σε κάθε περίπτωση.
2. Αλλά ο συμβολισμός $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, αντίθετα, σημαίνει ότι πρώτα παίρνουμε τη ρίζα ενός συγκεκριμένου αριθμού $a$ και μόνο στη συνέχεια τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα. Επομένως, ο αριθμός $a$ δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι αρνητικός - αυτή είναι μια υποχρεωτική απαίτηση που περιλαμβάνεται στον ορισμό.

Έτσι, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει κανείς να μειώνει αλόγιστα τις ρίζες και τους βαθμούς, «απλοποιώντας» δήθεν την αρχική έκφραση. Γιατί αν η ρίζα έχει αρνητικό αριθμό και ο εκθέτης της είναι άρτιος, έχουμε ένα σωρό προβλήματα.

Ωστόσο, όλα αυτά τα προβλήματα αφορούν μόνο ζυγούς δείκτες.

Αφαιρώντας το σύμβολο μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας

Φυσικά, οι ρίζες με περιττούς εκθέτες έχουν επίσης το δικό τους χαρακτηριστικό, το οποίο καταρχήν δεν υπάρχει με άρτιους. Και συγκεκριμένα:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Εν ολίγοις, μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο των ριζών περιττού βαθμού. Αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα που σας επιτρέπει να "πετάξετε" όλα τα μειονεκτήματα:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(στοίχιση)\]

Αυτή η απλή ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά πολλούς υπολογισμούς. Τώρα δεν χρειάζεται να ανησυχείτε: τι θα γινόταν αν μια αρνητική έκφραση ήταν κρυμμένη κάτω από τη ρίζα, αλλά ο βαθμός στη ρίζα αποδείχθηκε ομοιόμορφος; Αρκεί απλώς να «πετάξουμε» όλα τα μειονεκτήματα έξω από τις ρίζες, μετά από τα οποία μπορούν να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο, να διαιρεθούν και γενικά να κάνουμε πολλά ύποπτα πράγματα, τα οποία στην περίπτωση των «κλασικών» ριζών είναι σίγουρο ότι θα μας οδηγήσουν σε ένα λάθος.

Και εδώ έρχεται στη σκηνή ένας άλλος ορισμός - ο ίδιος με τον οποίο στα περισσότερα σχολεία αρχίζουν τη μελέτη των παράλογων εκφράσεων. Και χωρίς αυτό το σκεπτικό μας θα ήταν ελλιπές. Συναντώ!

Αριθμητική ρίζα

Ας υποθέσουμε για λίγο ότι κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπορούν να υπάρχουν μόνο θετικοί αριθμοί ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν. Ας ξεχάσουμε τους ζυγούς/μονούς δείκτες, ας ξεχάσουμε όλους τους ορισμούς που δίνονται παραπάνω - θα εργαστούμε μόνο με μη αρνητικούς αριθμούς. Τι τότε?

Και τότε θα πάρουμε μια αριθμητική ρίζα - επικαλύπτεται εν μέρει με τους "τυποποιημένους" ορισμούς μας, αλλά εξακολουθεί να διαφέρει από αυτούς.

Ορισμός. Μια αριθμητική ρίζα του $n$th βαθμού ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός $b$ τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$.

Όπως βλέπουμε, δεν μας ενδιαφέρει πλέον η ισοτιμία. Αντίθετα, εμφανίστηκε ένας νέος περιορισμός: η ριζική έκφραση είναι πλέον πάντα μη αρνητική και η ίδια η ρίζα είναι επίσης μη αρνητική.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς διαφέρει η αριθμητική ρίζα από τη συνηθισμένη, ρίξτε μια ματιά στα γραφήματα του τετραγώνου και της κυβικής παραβολής που γνωρίζουμε ήδη:

Περιοχή αναζήτησης αριθμητικής ρίζας - μη αρνητικοί αριθμοί

Όπως μπορείτε να δείτε, από εδώ και πέρα ​​μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα κομμάτια γραφημάτων που βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο συντεταγμένων - όπου οι συντεταγμένες $x$ και $y$ είναι θετικές (ή τουλάχιστον μηδέν). Δεν χρειάζεται πλέον να κοιτάτε τον δείκτη για να καταλάβετε αν έχουμε το δικαίωμα να βάλουμε αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα ή όχι. Επειδή οι αρνητικοί αριθμοί δεν λαμβάνονται πλέον υπόψη κατ' αρχήν.

Μπορεί να ρωτήσετε: "Λοιπόν, γιατί χρειαζόμαστε έναν τόσο στειρωμένο ορισμό;" Ή: "Γιατί δεν μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τον τυπικό ορισμό που δίνεται παραπάνω;"

Λοιπόν, θα δώσω μόνο μία ιδιότητα εξαιτίας της οποίας ο νέος ορισμός γίνεται κατάλληλος. Για παράδειγμα, ο κανόνας της εκθέσεως:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Παρακαλώ σημειώστε: μπορούμε να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε ισχύ και ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουμε τον εκθέτη ρίζας με την ίδια ισχύ - και το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος αριθμός! Ακολουθούν παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(στοίχιση)\]

Ποια είναι λοιπόν η μεγάλη υπόθεση; Γιατί δεν μπορούσαμε να το κάνουμε αυτό πριν; Να γιατί. Ας εξετάσουμε μια απλή έκφραση: $\sqrt(-2)$ - αυτός ο αριθμός είναι αρκετά φυσιολογικός στην κλασική μας κατανόηση, αλλά απολύτως απαράδεκτος από την άποψη της αριθμητικής ρίζας. Ας προσπαθήσουμε να το μετατρέψουμε:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση αφαιρέσαμε το μείον από κάτω από τη ρίζα (έχουμε κάθε δικαίωμα, αφού ο εκθέτης είναι περιττός), και στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήσαμε τον παραπάνω τύπο. Εκείνοι. Από μαθηματική άποψη όλα γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες.

WTF;! Πώς μπορεί ο ίδιος αριθμός να είναι θετικός και αρνητικός; Με τιποτα. Απλώς η φόρμουλα για την εκτίμηση, η οποία λειτουργεί εξαιρετικά για θετικούς αριθμούς και μηδέν, αρχίζει να παράγει πλήρη αίρεση στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών.

Ήταν για να απαλλαγούμε από μια τέτοια ασάφεια που εφευρέθηκαν οι αριθμητικές ρίζες. Ένα ξεχωριστό μεγάλο μάθημα είναι αφιερωμένο σε αυτούς, όπου εξετάζουμε όλες τις ιδιότητές τους λεπτομερώς. Επομένως, δεν θα σταθούμε σε αυτά τώρα - το μάθημα έχει ήδη αποδειχθεί πολύ μεγάλο.

Αλγεβρική ρίζα: για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα

Σκέφτηκα πολύ αν θα βάλω αυτό το θέμα σε ξεχωριστή παράγραφο ή όχι. Στο τέλος αποφάσισα να το αφήσω εδώ. Αυτό το υλικό προορίζεται για όσους θέλουν να κατανοήσουν τις ρίζες ακόμα καλύτερα - όχι πλέον στο μέσο επίπεδο «σχολείου», αλλά σε επίπεδο κοντά στο επίπεδο της Ολυμπιάδας.

Έτσι: εκτός από τον «κλασικό» ορισμό της $n$th ρίζας ενός αριθμού και τη σχετική διαίρεση σε άρτιους και περιττούς εκθέτες, υπάρχει ένας πιο «ενήλικος» ορισμός που δεν εξαρτάται καθόλου από την ισοτιμία και άλλες λεπτότητες. Αυτό ονομάζεται αλγεβρική ρίζα.

Ορισμός. Η αλγεβρική $n$th ρίζα οποιουδήποτε $a$ είναι το σύνολο όλων των αριθμών $b$ έτσι ώστε $((b)^(n))=a$. Δεν υπάρχει καθιερωμένος προσδιορισμός για τέτοιες ρίζες, επομένως θα βάλουμε απλώς μια παύλα στην κορυφή:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \δεξιά. \δεξιά\) \]

Η θεμελιώδης διαφορά από τον τυπικό ορισμό που δόθηκε στην αρχή του μαθήματος είναι ότι μια αλγεβρική ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, αλλά ένα σύνολο. Και δεδομένου ότι εργαζόμαστε με πραγματικούς αριθμούς, αυτό το σύνολο διατίθεται μόνο σε τρεις τύπους:

1. Αδειο σετ. Εμφανίζεται όταν χρειάζεται να βρείτε μια αλγεβρική ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό.
2. Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο. Όλες οι ρίζες των περιττών δυνάμεων, καθώς και οι ρίζες των άρτιων δυνάμεων μηδέν, εμπίπτουν σε αυτήν την κατηγορία.
3. Τέλος, το σετ μπορεί να περιλαμβάνει δύο αριθμούς - τους ίδιους $((x)_(1))$ και $((x)_(2))=-((x)_(1))$ που είδαμε στο γραφική τετραγωνική συνάρτηση. Κατά συνέπεια, μια τέτοια διάταξη είναι δυνατή μόνο κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ζυγού βαθμού από έναν θετικό αριθμό.

Η τελευταία περίπτωση αξίζει λεπτομερέστερης εξέτασης. Ας μετρήσουμε μερικά παραδείγματα για να καταλάβουμε τη διαφορά.

Παράδειγμα. Αξιολογήστε τις εκφράσεις:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Λύση. Η πρώτη έκφραση είναι απλή:

\[\overline(\sqrt(4))=\αριστερά\( 2;-2 \δεξιά\)\]

Είναι δύο αριθμοί που αποτελούν μέρος του συνόλου. Επειδή κάθε ένα από αυτά στο τετράγωνο δίνει ένα τέσσερα.

\[\overline(\sqrt(-27))=\αριστερά\( -3 \δεξιά\)\]

Εδώ βλέπουμε ένα σύνολο που αποτελείται από έναν μόνο αριθμό. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού ο ριζικός εκθέτης είναι περίεργος.

Τέλος, η τελευταία έκφραση:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Λάβαμε ένα κενό σύνολο. Διότι δεν υπάρχει ούτε ένας πραγματικός αριθμός που, όταν αυξηθεί στην τέταρτη (δηλαδή, ζυγή!) δύναμη, θα μας δώσει τον αρνητικό αριθμό −16.

Τελική σημείωση. Παρακαλώ σημειώστε: δεν ήταν τυχαίο που παρατήρησα παντού ότι δουλεύουμε με πραγματικούς αριθμούς. Επειδή υπάρχουν και μιγαδικοί αριθμοί - είναι πολύ πιθανό να υπολογιστούν εκεί $\sqrt(-16)$ και πολλά άλλα περίεργα πράγματα.

Ωστόσο, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν εμφανίζονται σχεδόν ποτέ στα σύγχρονα σχολικά μαθήματα μαθηματικών. Έχουν αφαιρεθεί από τα περισσότερα σχολικά βιβλία επειδή οι αξιωματούχοι μας θεωρούν το θέμα "πολύ δύσκολο να κατανοηθεί".

Αυτό είναι όλο. Στο επόμενο μάθημα θα δούμε όλες τις βασικές ιδιότητες των ριζών και τέλος θα μάθουμε πώς να απλοποιούμε τις παράλογες εκφράσεις. :)