Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv cel transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află acest element, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare vor rămâne netașate.

• De exemplu, pentru a găsi matricea 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
• Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
• Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare anumitor elemente ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori.Înregistrați rezultatele obținute anterior sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă o matrice de 2x2 este considerată pentru elementul (1,1), notați determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unui anumit model, care este prezentat în figură.

• Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-”, care sunt prezentate în diagramă (vezi figura), nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică faptul că semnul elementului s-a schimbat.
• Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
• Acesta este modul în care găsiți matricea asociată matricei originale. Uneori este numită matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinant. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Înregistrați rezultatul fiecărei operațiuni de împărțire în care se află elementul corespunzător. Deci veți găsi matricea, inversul originalului.

• Determinantul matricei prezentate în figură este 1. Astfel, aici matricea asociată este matricea inversă (deoarece împărțirea oricărui număr la 1 nu îl schimbă).
• În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). În acest caz, rezultatul final nu se schimbă.

Notează matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este o matrice inversă.

Folosind un calculator

Alegeți un calculator care funcționează cu matrici. Calculatoarele simple nu pot găsi matricea inversă, dar se poate face cu un calculator grafic bun, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului depinde de modelul calculatorului).

Introduceți denumirea matricei. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi notate literele A-J. Ca regulă generală, trebuie doar să selectați [A] pentru a indica matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați butonul Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou butonul Enter.

Introduceți fiecare element al matricei. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă o matrice a fost deja introdusă în calculator înainte, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea primului element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element al matricei.

1. Aflați determinantul matricei originale. Dacă , atunci matricea este degenerată și nu există o matrice inversă. Dacă, atunci matricea este nesingulară și matricea inversă există.

2. Găsiți matricea transpusă în.

3. Găsim complementele algebrice ale elementelor și compunem din ele matricea adjunctă.

4. Compunem matricea inversă după formula.

5. Verificăm corectitudinea calculului matricei inverse, pe baza definiției acesteia:.

Exemplu. Aflați matricea inversă celei date: .

Soluţie.

1) Determinant de matrice

.

2) Găsim complementele algebrice ale elementelor matricei și compunem din ele matricea adiacentă:

3) Calculați matricea inversă:

,

4) Verificați:

№4Rangul matricei. Independența liniară a rândurilor matricei

Să rezolve și să studieze o serie de matematică și sarcini aplicate conceptul de rang al unei matrice este important.

Într-o matrice de dimensiune, prin ștergerea oricăror rânduri și coloane, se pot izola submatrice pătrate de ordinul al treilea, unde. Determinanții unor astfel de submatrici se numesc -minorii de ordinul al matricei .

De exemplu, submatricele de ordinul 1, 2 și 3 pot fi obținute din matrici.

Definiție. Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al minorilor non-zero din această matrice. Denumire: sau.

Din definitie rezulta:

1) Rangul unei matrice nu depășește cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică.

2) dacă și numai dacă toate elementele matricei sunt egale cu zero, adică.

3) Pentru matrice pătrată Ordinul n-a dacă și numai dacă matricea este nesingulară.

Deoarece enumerarea directă a tuturor minorilor posibile ale matricei, pornind de la cea mai mare dimensiune, este dificilă (consumă timp), se folosesc transformări elementare ale matricei care păstrează rangul matricei.

Transformări matrice elementare:

1) Respingerea rândului (coloana) zero.

2) Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (coloană) cu un număr.

3) Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) a matricei.

4) Adăugarea fiecărui element dintr-un rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr.

5) Transpunerea matricei.

Definiție. O matrice obtinuta dintr-o matrice folosind transformari elementare se numeste echivalenta si se noteaza A ÎN.

Teorema. Rangul unei matrice nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale matricei.

Cu ajutorul transformărilor elementare, se poate aduce matricea la așa-numita formă de pas, atunci când calculul rangului său nu este dificil.

O matrice se numește matrice pasă dacă are forma:

Evident, rangul unei matrice pas este egal cu numărul de rânduri diferite de zero, deoarece există un ordin minor, care nu este egal cu zero:

.

Exemplu. Determinați rangul unei matrice folosind transformări elementare.

Rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero, adică. .

№5Independența liniară a rândurilor matricei

Dată o matrice de dimensiuni

Notăm rândurile matricei după cum urmează:

Cele două linii sunt numite egal dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. .

Introducem operațiile de înmulțire a unui șir cu un număr și de adăugare a șirurilor ca operații efectuate element cu element:

Definiție. Un rând se numește o combinație liniară de rânduri matrice dacă este egal cu suma produselor acestor rânduri prin numere reale arbitrare (orice numere):

Definiție. Se numesc rândurile matricei dependent liniar , dacă există astfel de numere care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât combinația liniară a rândurilor matricei să fie egală cu rândul zero:

Unde . (1,1)

Dependența liniară a rândurilor matricei înseamnă că cel puțin 1 rând al matricei este o combinație liniară a restului.

Definiție. Dacă combinație liniară rândurile (1.1) este zero dacă și numai dacă toți coeficienții , atunci rândurile sunt numite liniar independent .

Teorema rangului matricei . Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri (coloane) sunt exprimate liniar.

Teorema joacă un rol fundamental în analiza matricei, în special, în studiul sistemelor de ecuații liniare.

№6Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu necunoscute

Sistemele de ecuații liniare sunt utilizate pe scară largă în economie.

Sistemul de ecuații liniare cu variabile are forma:

,

unde () sunt numere arbitrare numite coeficienți pentru variabile Și termeni liberi ai ecuațiilor , respectiv.

Scurtă intrare: ().

Definiție. Soluția sistemului este un astfel de set de valori, la înlocuirea cărora fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

1) Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutii.

2) Sistemul comun de ecuații se numește anumit dacă are o soluție unică și incert daca are mai multe solutii.

3) Se numesc două sisteme de ecuații echivalent (echivalent ) , dacă au același set de soluții (de exemplu, o soluție).

Metode de găsire a matricei inverse. Luați în considerare o matrice pătrată

Se notează Δ = detA.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nespecială dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, DacăΔ = 0.

O matrice pătrată B există pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero.

Matrice inversă față de matricea A, notată cu A- 1 deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde А i j - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 prin formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă prin EP de numai coloane (sau numai rânduri) la matricea de identitate E. Dacă EP-urile efectuate pe matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, atunci rezultatul este o matrice inversă. Este convenabil să se efectueze un EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrice una lângă alta prin linie. Observăm încă o dată că la căutarea formei canonice a unei matrice, pentru a o găsi, se pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți matricea inversă, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în procesul de transformare.

Exemplul 1. Pentru matrice găsiți A-1.

Soluţie.Găsim mai întâi determinantul matricei A
deci matricea inversă există și o putem găsi prin formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A=.

Soluţie.Atribuim o matrice de identitate de aceeași ordine matricei originale din dreapta: . Cu ajutorul transformărilor elementare ale coloanei, reducem „jumătatea” stângă la cea de identitate, efectuând simultan exact astfel de transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . Adăugăm primul la a treia coloană, iar primul înmulțit cu -2 la a doua: . Din prima coloană scadem secunda dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă matricei date A. Deci,
.

Definiția 1: O matrice se numește degenerată dacă determinantul ei este zero.

Definiția 2: O matrice se numește nesingulară dacă determinantul său nu este egal cu zero.

Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea identității) este îndeplinită.

O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.

Schema de calcul a matricei inverse:

1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.

2) Aflați toate complementele algebrice ale matricei „A”.

3) Compuneți o matrice de adunări algebrice (Aij )

4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T

5) Înmulțiți matricea transpusă cu reciproca determinantului acestei matrice.

6) Efectuați o verificare:

La prima vedere poate părea că este dificil, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.

Acum să decidem împreună sarcină practică, calculând matricea inversă.

Sarcină: găsiți matricea inversă „A”, prezentată în imaginea de mai jos:

1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":

Explicaţie:

Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale principale. Mai întâi, am adăugat la al 2-lea și al 3-lea rând elementele primului rând, înmulțite cu un număr.

În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.

În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din al doilea rând, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.

Avem un determinant triunghiular, în care elementele de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonalei. Drept urmare, am primit ∆ A = 26, deci există matricea inversă.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:

5. Înmulțim această matrice cu reciproca determinantului, adică cu 1/26:

6. Ei bine, acum trebuie doar să verificăm:

În timpul verificării, am primit o matrice de identitate, prin urmare, decizia a fost luată în mod absolut corect.

2 moduri de a calcula matricea inversă.

1. Transformarea elementară a matricelor

2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.

Transformarea matricei elementare include:

1. Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero.

2. Adunarea la orice linie a unei alte linii, înmulțită cu un număr.

3. Schimbarea rândurilor matricei.

4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Să ne uităm la asta într-un exemplu practic cu numere reale.

Exercițiu: Aflați matricea inversă.

Soluţie:

Sa verificam:

O mica precizare asupra solutiei:

Mai întâi am schimbat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).

După aceea, primul rând a fost înmulțit cu (-2) și adăugat la al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit al 2-lea rând cu 1/4.

stadiu final transformări a fost înmulțirea celui de-al doilea rând cu 2 și adunarea din primul. Ca urmare, avem o matrice de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.

După verificare, ne-am convins de corectitudinea deciziei.

După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.

În încheierea acestei prelegeri, aș dori de asemenea să dedic ceva timp proprietăților unei astfel de matrice.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A, dacă A * A -1 \u003d E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. Matricea inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Atribuirea serviciului. Folosind acest serviciu online, puteți găsi adunări algebrice, matrice transpusă A T , matrice de unire și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și în format Excel (adică este posibilă verificarea soluției). vezi exemplul de proiectare.

Instruire. Pentru a obține o soluție, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A .

Vezi și Matrice inversă prin metoda Jordan-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiţia algebraic additions. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A . Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, în caz contrar, matricea inversă nu există.
3. Definiţia algebraic additions.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea matricei inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Faceți o verificare: înmulțiți matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul #1. Scriem matricea sub forma:

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflați determinantul matricei pătrate date A .
2. Găsim adunări algebrice la toate elementele matricei A .
3. Complementele algebrice ale elementelor rândurilor le scriem în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A .

Un caz special: Inversul, în raport cu matricea de identitate E , este matricea de identitate E .