Care dreaptă din plan este determinată de ecuație. Carte: Ecuația unei drepte pe un plan. Unghiul dintre liniile unui plan

Ecuația unei drepte pe un plan

Principalele întrebări ale prelegerii: ecuațiile unei drepte pe un plan; diverse forme ale ecuației unei drepte pe un plan; unghiul dintre liniile drepte; condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor; distanța de la un punct la o linie; curbe de ordinul doi: cerc, elipsă, hiperbola, parabolă, ecuațiile și proprietățile geometrice ale acestora; ecuații ale unui plan și ale unei drepte în spațiu.

O ecuație de formă se numește ecuația unei linii drepte în vedere generala.

Dacă este exprimată în această ecuație, atunci după înlocuire și obținem o ecuație numită ecuația unei linii drepte cu factor de pantă, și , unde este unghiul dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei x. Dacă în ecuație generală linie dreaptă pentru a transfera coeficientul liber în partea dreaptă și a împărți la el, apoi obținem ecuația în segmente

Unde și sunt punctele de intersecție ale dreptei cu axele absciselor și, respectiv, ordonatelor.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Liniile se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Lăsați două linii drepte și să fie date.

Pentru a găsi punctul de intersecție al dreptelor (dacă se intersectează) este necesar să rezolvăm sistemul cu aceste ecuații. Soluția acestui sistem va fi punctul de intersecție a liniilor. Să găsim condițiile poziție relativă două linii drepte.

Deoarece , atunci unghiul dintre aceste linii este găsit prin formula

Din aceasta se poate obține că pentru , dreptele vor fi paralele, iar pentru , vor fi perpendiculare. Dacă liniile sunt date într-o formă generală, atunci liniile sunt paralele sub condiție și perpendiculare sub condiție

Distanța de la un punct la o linie poate fi găsită folosind formula

Ecuația normală a unui cerc:

O elipsă este locul punctelor de pe un plan, suma distanțelor de la care la doi puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse este:

. Vârfurile elipsei sunt punctele , , ,. Excentricitatea unei elipse este raportul

O hiperbola este locul punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma:

unde este semiaxa majoră, este semiaxa minoră și . Focalele sunt în puncte . Vârfurile hiperbolei sunt punctele , . Excentricitatea unei hiperbole este raportul

Liniile drepte se numesc asimptotele hiperbolei. Dacă , atunci hiperbola se numește isoscelă.

Din ecuație obținem o pereche de drepte care se intersectează și .

O parabolă este locul punctelor dintr-un plan, dintre care distanța până la un punct dat, numit focar, este egală cu distanța până la o dreaptă dată, numită directrixă, este o valoare constantă.

Ecuația parabolei canonice

Linia dreaptă se numește directrice, iar punctul se numește focar.

Conceptul de dependență funcțională

Principalele întrebări ale prelegerii: decoruri; operații de bază pe platouri; definirea unei funcții, aria ei de existență, metode de setare; funcții elementare de bază, proprietățile și graficele acestora; secvențe numerice și limitele acestora; limita unei funcții într-un punct și la infinit; cantități infinitezimale și infinit de mari și proprietățile acestora; teoreme de bază despre limite; limite minunate; continuitatea unei funcții într-un punct și pe un interval; proprietățile funcțiilor continue.

Dacă fiecare element al mulțimii este asociat cu un element bine definit al mulțimii, atunci se spune că pe mulțime este dată o funcție. În acest caz, se numește variabilă sau argument independent și variabilă dependentă, iar litera denotă legea corespondenței.

Mulțimea se numește domeniul definiției sau existenței funcției, iar mulțimea se numește domeniul funcției.

Există următoarele moduri de a defini o funcție

1. Metoda analitica, daca functia este data printr-o formula de forma

2. Metoda tabulară este că funcția este dată de un tabel care conține valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției

3. Metoda grafică constă în afișarea graficului funcției - un set de puncte în plan, ale căror abscise sunt valorile argumentului, iar ordonatele sunt valorile funcției corespunzătoare

10.1. Noțiuni de bază

O linie pe un plan este considerată (dată) ca un set de puncte care au o proprietate geometrică inerentă numai acestora. De exemplu, un cerc cu raza R este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la o distanță - R de un punct fix O (centrul cercului).

Introducerea unui sistem de coordonate în plan vă permite să determinați poziția unui punct pe plan prin setarea a două numere - coordonatele sale și să determinați poziția dreptei pe plan folosind o ecuație (adică o egalitate care raportează coordonatele). a punctelor dreptei).

Ecuația liniilor(sau curbă) pe planul Oxy este o astfel de ecuație F(x;y) = 0 cu două variabile, care este satisfăcută de coordonatele x și y ale fiecărui punct al dreptei și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui punct care nu se află. pe această linie.

Variabilele x și y din ecuația liniei se numesc coordonatele curente ale punctelor liniei.

Ecuația dreptei permite ca studiul proprietăților geometrice ale dreptei să fie înlocuit cu studiul ecuației sale.

Deci, pentru a stabili dacă punctul A (x 0; y 0) se află pe o dreaptă dată, este suficient să verificăm (fără a recurge la construcții geometrice) dacă coordonatele punctului A satisfac ecuația acestei drepte din sistemul de coordonate ales.

Problema găsirii punctelor de intersecție a două drepte date de ecuațiile F 1 (x 1; y 1) = 0 și F 2 (x 2; y) = 0 se reduce la găsirea de puncte ale căror coordonate satisfac ecuațiile ambelor drepte, adică se reduce la soluția unui sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Dacă acest sistem nu are soluții reale, atunci liniile nu se intersectează.

Conceptul de ecuație a unei linii într-un sistem de coordonate polare este introdus într-un mod similar.

Ecuația F(r; φ)=O se numește ecuația unei linii date în sistemul de coordonate polar dacă coordonatele oricărui punct situat pe această dreaptă și numai ele satisfac această ecuație.

O linie pe un plan poate fi definită folosind două ecuații:

unde x și y sunt coordonatele unui punct arbitrar M(x; y) situat pe o dreaptă dată, iar t este o variabilă numită parametru; parametrul t determină poziţia punctului (x; y) pe plan.

De exemplu, dacă x \u003d t + 1, y \u003d t 2, atunci punctul (3; 4) corespunde valorii parametrului t \u003d 1 pe plan, deoarece x \u003d 1 + 1 \u003d 3 , y \u003d 22 - 4.

Dacă parametrul t se modifică, atunci punctul din plan se deplasează, descriind linia dată. Acest mod de definire a unei linii se numește parametrice, și ecuațiile (10.1) - ecuații parametrice linii.

Pentru a trece de la ecuațiile parametrice ale dreptei la o ecuație de forma F(x;y) = 0, parametrul t trebuie eliminat într-un fel din cele două ecuații.

De exemplu, din ecuații prin înlocuirea t = x

în a doua ecuație, este ușor să obțineți ecuația y \u003d x 2; sau y-x 2 = 0, adică de forma F(x; y) = 0. Totuși, observăm că o astfel de tranziție nu întotdeauna posibil.

O linie pe un plan poate fi specificată prin ecuația vectorială r=r(t), unde t este un parametru variabil scalar. Fiecare valoare t 0 corespunde unui anumit vector r=r(t) avioane. Când parametrul t se modifică, sfârșitul vectorului r=r(t) descrie o linie (vezi Fig. 31).

Ecuație vectorială linie r=r(t)în sistemul de coordonate Oxy, două ecuații scalare (10.1) corespund, adică ecuațiile proiecțiilor pe axele de coordonate ale ecuației vectoriale a dreptei sunt ecuații parametrice. I Ecuația vectorială și ecuațiile parametrice ale dreptei I au o semnificație mecanică. Dacă un punct se mișcă pe un plan, atunci aceste ecuații se numesc ecuații ale mișcării, iar linia se numește traiectoria punctului, în timp ce parametrul t este timpul. Deci, orice dreaptă din plan corespunde unei ecuații de forma F(x; y) = 0.

Oricărei ecuații de forma F (x; y) \u003d 0, în general, îi corespunde o anumită linie, ale cărei proprietăți sunt determinate de ecuația dată (expresia „în general vorbind” înseamnă că ceea ce s-a spus admite excepții . Deci, ecuația (x-2) 2 + (y- 3) 2 \u003d 0 nu corespunde unei linii, ci unui punct (2; 3); ecuația x 2 + y 2 + 5 \u003d 0 în plan nu corespunde nici unei imagini geometrice).

ÎN geometrie analiticăîn avion apar două probleme principale. În primul rând: cunoașterea proprietăților geometrice ale curbei, găsiți ecuația acesteia) al doilea: cunoașterea ecuației curbei, studiați forma și proprietățile acesteia.

Figurile 32-40 prezintă exemple ale unor curbe și ecuațiile acestora.

10.2. Ecuațiile unei drepte pe un plan

Cea mai simplă dintre linii este linia dreaptă. căi diferite atribuirile unei linii drepte corespund într-un sistem de coordonate dreptunghiular tipuri diferite ecuațiile sale.

Ecuația dreptei cu panta

Să fie dată o dreaptă arbitrară care nu este paralelă cu axa Oy pe planul Oxy. Poziția sa este complet determinată de ordonata b a punctului N(0; b) de intersecție cu axa Oy și unghiul a dintre axa Ox și linia dreaptă (vezi Fig. 41).

La un unghi a (0

Definiția tangentei unui unghi implică egalitatea

Introducem notatia tg a=k , obtinem ecuatia

(10.2)

care este satisfăcută de coordonatele oricărui punct M(x; y) al dreptei. Se poate observa că coordonatele oricărui punct P (x; y) aflat în afara dreptei date nu satisfac ecuația (10.2).

Numărul k = tga se numește panta dreptei, iar ecuația (10.2) este ecuația dreptei cu panta.

Dacă linia trece prin origine, atunci b = 0 și, prin urmare, ecuația acestei linii va arăta ca y=kx .

Dacă linia este paralelă cu axa Ox, atunci a \u003d 0, prin urmare, k \u003d tga \u003d 0 și ecuația (10.2) ia forma y \u003d b.

Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa Oy, atunci ecuația (10.2) își pierde sensul, deoarece pentru ea panta nu exista.

În acest caz, ecuația unei linii drepte va arăta ca

Unde A- abscisa punctului de intersectie a dreptei cu axa Ox. Rețineți că ecuațiile (10.2) și (10.3) sunt ecuații de gradul I.

Ecuația generală a unei drepte.

Considerăm o ecuație de gradul întâi pentru x și y în formă generală

(10.4)

unde A, B, C sunt numere arbitrare, iar A și B nu sunt egale cu zero în același timp.

Să arătăm că ecuația (10.4) este ecuația unei drepte. Două cazuri sunt posibile.

Dacă B = 0, atunci ecuația (10.4) are forma Ax + C = O și A ¹ 0 adică . Aceasta este ecuația unei drepte paralele cu axa Oy și care trece prin punct

Dacă B ¹ 0, atunci din ecuația (10.4) obținem . Aceasta este ecuația unei drepte cu o pantă |.

Deci, ecuația (10.4) este ecuația unei linii drepte, se numește ecuația generală a unei drepte.

Câteva cazuri speciale ale ecuației generale a unei linii drepte:

1) dacă A = 0, atunci ecuația se reduce la forma. Aceasta este ecuația unei linii drepte paralele cu axa x;

2) dacă B \u003d 0, atunci linia dreaptă este paralelă cu axa Oy;

3) dacă С = 0, atunci obținem . Ecuația este satisfăcută de coordonatele punctului O(0;0), dreapta trece prin origine.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată

Lasă o dreaptă să treacă printr-un punct și direcția sa este determinată de panta k. Ecuația acestei drepte poate fi scrisă ca , unde b este o mărime necunoscută. Deoarece linia trece prin punct, atunci coordonatele punctului satisfac ecuația dreptei:. De aici. Înlocuind valoarea lui b în ecuație, obținem ecuația dorită a dreptei: , i.e.

(10.5)

Ecuația (10.5) cu valori diferite ale lui k se mai numește și ecuațiile unui creion de linii drepte centrate într-un punct Din acest creion, este imposibil să se determine doar o linie dreaptă paralelă cu axa Oy.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Lasă linia să treacă prin puncte și . Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma

(10.6)

unde k este un coeficient încă necunoscut.

Deoarece dreapta trece prin punctul , atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația (10.6): . Aici găsim. Înlocuind valoarea găsită a lui k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin puncte M1 şi M2.

(10.7)

Se presupune că în această ecuație

Dacă x 2 \u003d x 1 este o linie dreaptă care trece prin puncte și paralelă cu axa y. Ecuația sa este .

Dacă y 2 = y 1 atunci ecuația unei drepte poate fi scrisă ca , linie dreaptă M1 M2 paralel cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox într-un punct și axa Oy într-un punct (vezi Fig. 42). În acest caz, ecuația (10.7) ia forma

Această ecuație se numește ecuația unei drepte în segmente, deoarece numerele α și b indică segmentele pe care linia le decupează pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat diferit de zero.

Să luăm un punct arbitrar M(x; y) pe linie și să considerăm un vector (vezi Fig. 43). Deoarece vectorii și sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

Un vector perpendicular pe o dreaptă se numește vector normal al acelei drepte. Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca

(10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, este termenul liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei linii drepte (vezi (10.4)).

Ecuația polară a unei linii drepte

Să găsim ecuația unei drepte în coordonate polare. Poziția sa poate fi determinată indicând distanța ρ de la polul O la linia dreaptă dată și unghiul α dintre axa polară Op și axa l trecând prin polul O perpendicular pe linia dată (vezi Fig. 44).

Pentru orice punct de pe această linie avem:

Pe de alta parte,

Prin urmare,

(10.10)

Ecuația rezultată (10.10) este ecuația unei linii drepte în coordonate polare.

Ecuația normală a unei linii drepte

Fie determinată linia prin setarea p și α (vezi Fig. 45). Luați în considerare un sistem de coordonate dreptunghiular. Introducem sistemul polar, luând polul și axa polară. Ecuația unei linii drepte poate fi scrisă ca

Dar, datorită formulelor care leagă coordonatele dreptunghiulare și polare, avem: , . În consecință, ecuația (10.10) a unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular ia forma

(10.11)

Ecuația (10.11) se numește ecuația normală a unei linii drepte.

Să arătăm cum să aducem ecuația (10.4) direct la forma (10.11).

Înmulțim toți termenii ecuației (10.4) cu un factor . Primim . Această ecuație ar trebui să se transforme în ecuația (10.11). Prin urmare, trebuie îndeplinite egalitățile: , , . Din primele două egalități, găsim e. . Se numește factorul λ factor de normalizare. Conform celei de-a treia egalități, semnul factorului de normalizare este opus semnului termenului liber C al ecuației generale a dreptei.

Ecuația unei drepte pe un plan.

După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.

Definiție. Ecuația liniilor se numeste raport y=f(x ) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.

Rețineți că ecuația liniei poate fi exprimată într-un mod parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independentt.

Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, timpul joacă rolul unui parametru.

Ecuația unei drepte pe un plan.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

în plus, constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A¹ 0, B¹ 0 - linia trece prin origine

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Prin + C \u003d 0) - o linie dreaptă este paralelă cu axa Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - o linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linia coincide cu axa Oy

A = C = 0, B1 0 - linia coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonate x 1 și y 1 poate fi găsit ca o soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvând, obținem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii: y=-3x+7; y = 2 x + 1.

K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Aflați: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, deci dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Având în vedere vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6;5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Acest articol este o continuare a liniei pe secțiunea plană. Aici ne întoarcem la descrierea algebrică a unei drepte folosind ecuația unei drepte.

Materialul acestui articol este răspunsul la întrebările: „Ce ecuație se numește ecuația unei drepte și ce formă are ecuația unei drepte într-un plan”?

Navigare în pagină.

Ecuația unei drepte pe un plan - definiție.

Lasă Oxy să fie fixat pe plan și să fie dată în el o linie dreaptă.

O linie dreaptă, ca orice altă figură geometrică, este formată din puncte. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix, fiecare punct al dreptei are propriile sale coordonate - abscisa și ordonata. Deci relația dintre abscisă și ordonata fiecărui punct al unei drepte dintr-un sistem de coordonate fix poate fi dată de o ecuație, care se numește ecuația unei drepte pe un plan.

Cu alte cuvinte, ecuația unei drepte într-un planîn sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy există o ecuație cu două variabile x și y care se transformă într-o identitate atunci când coordonatele oricărui punct al acestei drepte sunt substituite în ea.

Rămâne să ne ocupăm de întrebarea ce formă are ecuația unei drepte pe un plan. Răspunsul la acesta este conținut în următorul paragraf al articolului. Privind în perspectivă, observăm că există diverse forme de scriere a ecuației unei linii drepte, ceea ce se explică prin specificul sarcinilor care se rezolvă și prin metoda de stabilire a unei linii drepte pe un plan. Deci, să începem o trecere în revistă a principalelor tipuri de ecuație a unei linii drepte pe un plan.

Ecuația generală a unei drepte.

Forma ecuației unei drepte în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan este dată de următoarea teoremă.

Teorema.

Orice ecuație de gradul I cu două variabile x și y de forma , unde A , B și C sunt niște numere reale, iar A și B nu sunt egale cu zero în același timp, definește o dreaptă în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan, iar orice linie dreaptă pe plan este dată de tipul ecuației .

Ecuația numit ecuația generală a unei drepte la suprafata.

Să explicăm sensul teoremei.

Dată o ecuație de formă corespunde unei linii drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dat, iar o linie dreaptă pe un plan dintr-un sistem de coordonate dat corespunde unei ecuații a unei linii drepte de forma .

Uită-te la desen.

Pe de o parte, putem spune că această linie este determinată de ecuația generală a unei drepte de formă , deoarece coordonatele oricărui punct al dreptei reprezentate satisfac această ecuație. Pe de altă parte, mulțimea de puncte din planul definit de ecuație , dați-ne o linie dreaptă prezentată în desen.

Ecuația generală a unei drepte se numește complet, dacă toate numerele A, B și C sunt diferite de zero, în caz contrar, ecuația generală a unei drepte se numește incomplet. O ecuație incompletă a unei forme de linie dreaptă definește o linie dreaptă care trece prin origine. Când A=0, ecuația stabilește o dreaptă paralelă cu axa absciselor Ox , iar când B=0 - paralelă cu axa ordonatelor Oy .

Astfel, orice linie dreaptă pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular dat Oxy poate fi descrisă folosind ecuația generală a unei drepte pentru un anumit set de valori ale numerelor A, B și C.

Vector normal al unei drepte dat de o ecuație generală a unei drepte de forma , are coordonate .

Toate ecuațiile de linii, care sunt date în paragrafele următoare ale acestui articol, pot fi obținute din ecuația generală a unei linii și pot fi, de asemenea, reduse înapoi la ecuația generală a unei linii.

Vă recomandăm să studiați în continuare articolul. Acolo se demonstrează teorema formulată la începutul acestui paragraf al articolului, se oferă ilustrații grafice, se analizează în detaliu soluții de exemple pentru alcătuirea ecuației generale a unei drepte, trecerea de la ecuația generală a unei drepte la sunt prezentate ecuații de alt tip și invers și sunt luate în considerare și alte probleme caracteristice.

Ecuația unei drepte în segmente.

Se numește o ecuație în linie dreaptă, unde a și b sunt numere reale diferite de zero ecuația unei drepte în segmente. Acest nume nu este întâmplător, deoarece valorile absolute ale numerelor a și b sunt egale cu lungimile segmentelor pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate Ox și, respectiv, Oy (segmentele sunt măsurate de la origine) . Astfel, ecuația unei linii drepte în segmente facilitează construirea acestei linii drepte într-un desen. Pentru a face acest lucru, marcați punctele cu coordonate și într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și utilizați o riglă pentru a le conecta cu o linie dreaptă.

De exemplu, să construim o linie dreaptă dată de o ecuație în segmente de forma . Marcarea punctelor și conectați-le.

Puteți obține informații detaliate despre acest tip de ecuație a unei linii drepte în plan în articol.

Ecuația unei drepte cu o pantă.

Se numește o ecuație în linie dreaptă, unde x și y sunt variabile și k și b sunt numere reale ecuația unei drepte cu pantă(k este factorul de pantă). Ecuațiile unei drepte cu pantă ne sunt bine cunoscute dintr-un curs de algebră de liceu. Acest tip de ecuație a unei linii drepte este foarte convenabil pentru cercetare, deoarece variabila y este o funcție explicită a argumentului x.

Definiţia pantei dreptei este dată prin definirea unghiului de înclinare a dreptei faţă de direcţia pozitivă a axei Ox .

Definiție.

Unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei xîntr-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular dat, Oxy este unghiul măsurat de la direcția pozitivă a axei Ox la linia dreaptă dată în sens invers acelor de ceasornic.

Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, atunci unghiul de înclinare a acesteia este considerat egal cu zero.

Definiție.

Panta unei drepte este tangenta pantei acestei drepte, adică .

Dacă linia este paralelă cu axa y, atunci panta merge la infinit (în acest caz, se mai spune că panta nu există). Cu alte cuvinte, nu putem scrie ecuația unei drepte cu panta pentru o dreaptă paralelă sau care coincide cu axa Oy.

Rețineți că linia dreaptă definită de ecuație trece printr-un punct de pe axa y.

Astfel, ecuația unei drepte cu pantă determină o dreaptă pe un plan care trece printr-un punct și formează un unghi cu direcția pozitivă a axei absciselor, și .

Ca exemplu, să desenăm o linie dreaptă definită de o ecuație de forma . Această linie trece prin punct și are o pantă radiani (60 de grade) pe direcția pozitivă a axei Ox. Panta sa este .

Rețineți că este foarte convenabil să căutați sub forma unei ecuații a unei linii drepte cu o pantă.

Ecuația canonică a unei drepte pe un plan.

Ecuația canonică a unei drepte într-un planîntr-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy are forma , unde și sunt câteva numere reale și și nu sunt egale cu zero în același timp.

Este evident că linia dreaptă, definită de ecuația canonică a dreptei, trece prin punct. La rândul lor, numerele și , aflate în numitorii fracțiilor, sunt coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte. Astfel, ecuația canonică a unei drepte în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan corespunde unei drepte care trece printr-un punct și având un vector de direcție .

De exemplu, să desenăm o linie dreaptă pe planul corespunzătoare ecuației canonice drepte a formei . Este evident că punctul aparține dreptei, iar vectorul este vectorul de direcție al acestei drepte.

Ecuația canonică a dreptei este utilizată chiar și atunci când unul dintre numere sau este egal cu zero. În acest caz, intrarea este considerată condiționată (deoarece numitorul conține zero) și trebuie înțeleasă ca . Dacă , atunci ecuația canonică ia forma și definește o linie paralelă cu axa y (sau care coincide cu aceasta). Dacă , atunci ecuația canonică a dreptei ia forma și definește o linie dreaptă paralelă cu axa x (sau care coincide cu aceasta).

Informații detaliate despre ecuația unei linii drepte în formă canonică, precum și soluții detaliate la exemple și probleme tipice sunt colectate în articol.

Ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan.

Ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan arată ca , unde și sunt unele numere reale și și nu sunt egale cu zero în același timp și este un parametru care ia orice valori reale.

Ecuațiile parametrice ale unei drepte stabilesc o relație implicită între abscisele și ordonatele punctelor unei drepte folosind un parametru (de unde și denumirea acestui tip de ecuații de drepte).

O pereche de numere, care sunt calculate prin ecuațiile parametrice ale liniei drepte pentru o valoare reală a parametrului, sunt coordonatele unui punct de pe linia dreaptă. De exemplu, când avem , adică punctul cu coordonate se află pe o dreaptă.

De remarcat că coeficienții și la parametrul din ecuațiile parametrice ale dreptei sunt coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte.

Ecuația unei drepte pe un plan

O ecuație de formă se numește ecuația unei linii drepte în formă generală.

Dacă exprimăm în această ecuație , atunci după înlocuire și obținem ecuația , numită ecuația unei drepte cu pantă, și , unde este unghiul dintre dreapta și direcția pozitivă a axei x. Dacă, în ecuația generală a unei drepte, transferăm coeficientul liber în partea dreaptă și împărțim la el, atunci obținem ecuația în segmente

Unde și sunt punctele de intersecție ale dreptei cu axele absciselor și, respectiv, ordonatelor.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Liniile se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Lăsați două linii drepte și să fie date.

Deoarece , atunci unghiul dintre aceste linii este găsit prin formula

Distanța de la un punct la o linie poate fi găsită folosind formula

Ecuația normală a unui cerc:

O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la care la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse este:

. Vârfurile elipsei sunt punctele , , ,. Excentricitatea unei elipse este raportul

O hiperbola este locul punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma:

unde este semiaxa majoră, este semiaxa minoră și . Focalele sunt în puncte . Vârfurile hiperbolei sunt punctele , . Excentricitatea unei hiperbole este raportul

Liniile drepte se numesc asimptotele hiperbolei. Dacă , atunci hiperbola se numește isoscelă.

Din ecuație obținem o pereche de drepte care se intersectează și .

Ecuația parabolei canonice

Linia dreaptă se numește directrice, iar punctul se numește focar.

Conceptul de dependență funcțională

Mulțimea se numește domeniul definiției sau existenței funcției, iar mulțimea se numește domeniul funcției.

Există următoarele moduri de a defini o funcție

1. Metoda analitica, daca functia este data printr-o formula de forma

2. Metoda tabulară este că funcția este dată de un tabel care conține valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției

3. Metoda grafică constă în afișarea graficului funcției - un set de puncte în plan, ale căror abscise sunt valorile argumentului, iar ordonatele sunt valorile funcției corespunzătoare

4. Metoda verbală, dacă funcția este descrisă de regula compilării ei.

Principalele proprietăți ale funcției

1. Par și impar. O funcție este apelată chiar dacă pentru toate valorile din domeniul definiției și impar dacă . În caz contrar, funcția se numește funcție generică.

2. Monotonie. O funcție se numește crescător (descrescător) pe interval dacă valoarea mai mare a argumentului din acest interval corespunde valorii mai mari (mai mici) a funcției.

3. Limitat. O funcție se numește mărginită pe un interval dacă există un număr pozitiv astfel încât pentru orice . În caz contrar, funcția se numește nemărginită.

4. Periodicitatea. O funcție se numește periodică cu o perioadă dacă pentru oricare din domeniul funcției .

Clasificarea funcțiilor.

1. Funcția inversă. Să existe o funcție a unei variabile independente definite pe o mulțime cu un interval de valori. Să atribuim fiecăruia o valoare unică pentru care . Apoi funcția rezultată definită pe mulțimea cu interval se numește inversă.

2. Funcție complexă. Fie o funcție o funcție a unei variabile definite pe o mulțime cu un interval de valori, iar variabila, la rândul ei, o funcție.

Următoarele funcții sunt cel mai frecvent utilizate în economie.

1. Funcția de utilitate și funcția de preferință - în sensul larg al dependenței de utilitate, adică rezultatul, efectul unei acțiuni asupra nivelului de intensitate al acestei acțiuni.

2. Funcția de producție - dependența rezultatului activității de producție de factorii care au determinat-o.

3. Funcția de ieșire (un anumit tip de funcție de producție) este dependența volumului producției de începutul sau consumul de resurse.

4. Funcția de cost (un anumit tip de funcție de producție) - dependența costurilor de producție de volumul producției.

5. Funcțiile cererii, consumului și ofertei - dependența volumului cererii, consumului sau ofertei pentru bunuri sau servicii individuale de diverși factori.

Dacă, conform unei legi, fiecărui număr natural i se atribuie un număr bine definit, atunci ei spun că este dată o succesiune numerică.

Numerele sunt numite membri ai secvenței, iar numărul este membrul comun al secvenței.

Un număr se numește limita unei secvențe numerice dacă pentru orice număr mic există un astfel de număr (în funcție de) încât egalitatea este adevărată pentru toți membrii secvenței cu numere.Se notează limita unei secvențe numerice.

O secvență care are o limită se numește convergentă, în caz contrar este divergentă.

Un număr se numește limita funcției pentru dacă pentru orice număr mic există un număr atât de pozitiv încât pentru toate astfel încât inegalitatea este adevărată.

Limita unei funcții într-un punct. Fie ca funcția să fie dată într-o vecinătate a punctului, cu excepția, poate, a punctului însuși. Numărul se numește limita funcției la , dacă pentru oricare, chiar și în mod arbitrar mic, există un număr atât de pozitiv (în funcție de ) încât pentru toate și satisfacând condiția inegalitatea este adevărată. Această limită este notată cu .

O funcție se numește valoare infinitezimală la dacă limita sa este zero.

Proprietățile infinitezimale

1. Suma algebrică a unui număr finit de mărimi infinitezimale este o mărime infinitezimală.

2. Produsul unei valori infinit de mici de o funcție mărginită este o mărime infinitezimală

3. Cât de împărțire a unei mărimi infinitezimale la o funcție a cărei limită este diferită de zero este o mărime infinitezimală.

Conceptul de derivată și diferențială a unei funcții

Principalele întrebări ale prelegerii: probleme care duc la conceptul de derivat; definiția derivatului; semnificația geometrică și fizică a derivatului; conceptul de funcție diferențiabilă; reguli de bază de diferențiere; derivate ale funcțiilor elementare de bază; derivată a unei funcții complexe și inverse; derivate de ordin superior, teoreme de bază ale calculului diferenţial; teorema lui L'Hopital; dezvăluirea incertitudinilor; funcții de creștere și scădere; funcția extremă; convexitatea și concavitatea graficului funcției; semne analitice de convexitate și concavitate; puncte de inflexiune; asimptotele verticale și oblice ale graficului funcției; schema generală a studiului funcției și construcția graficului acesteia, definirea unei funcții a mai multor variabile; limită și continuitate; derivate parțiale și funcții diferențiale; derivată direcțională, gradient; extremul unei funcții a mai multor variabile; cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției; extremul condiționat, metoda Lagrange.

Derivata unei functii este limita raportului dintre incrementul functiei si incrementul variabilei independente atunci cand aceasta din urma tinde spre zero (daca aceasta limita exista)

Dacă o funcție într-un punct are o derivată finită, atunci se spune că funcția este diferențiabilă în acel punct. O funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al intervalului se numește diferențiabilă pe acest interval.

Sensul geometric al derivatei: derivata este panta (tangenta unghiului de panta) tangentei redusa la curba in punct.

Apoi, ecuația tangentei la curba în punct ia forma

Semnificația mecanică a derivatei: derivata căii în raport cu timpul este viteza unui punct la un moment de timp:

Semnificația economică a derivatei: derivata volumului producției în raport cu timpul este productivitatea muncii în acest moment

Teorema. Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci este continuă în acel punct.

Derivata unei functii poate fi gasita in felul urmator

1. Să incrementăm argumentul și să găsim valoarea incrementată a funcției .

2. Găsiți incrementul funcției.

3. Facem raportul.

4. Limita acestei relații o găsim la, adică (dacă această limită există).

Reguli de diferențiere

1. Derivata unei constante este zero, adica.

2. Derivata argumentului este 1, adică.

3. Derivata sumei algebrice a unui numar finit de functii diferentiabile este egala cu aceeasi suma a derivatelor acestor functii, adica.

4. Derivata produsului a doua functii diferentiabile este egala cu produsul derivatei primului factor cu al doilea plus produsul primului factor cu derivata celui de-al doilea, adica

5. Derivata coeficientului a doua functii diferentiabile poate fi gasita prin formula:

Teorema. Dacă și sunt funcții diferențiabile ale variabilelor lor, atunci derivata funcției complexe există și este egală cu derivata funcției date în raport cu argumentul intermediar și înmulțită cu derivata argumentului intermediar însuși în raport cu variabila independentă, acesta este

Teorema. Pentru o funcție diferențiabilă cu o derivată care nu este egală cu zero, derivata funcției inverse este egală cu reciproca derivatei acestei funcții, adică .

Elasticitatea unei funcții este limita raportului dintre incrementul relativ al funcției și incrementul relativ al variabilei la:

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția atunci când variabila independentă se modifică cu un procent.

Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că elasticitatea funcției (în valoare absolută) este egală cu raportul distanțelor tangențiale de la un punct dat al graficului funcției la punctele de intersecție a acesteia cu axele și .

Principalele proprietăți ale funcției de elasticitate:

1. Elasticitatea unei funcții este egală cu produsul variabilei independente și rata de modificare a funcției , acesta este .

2. Elasticitatea produsului (coeficientului) a două funcții este egală cu suma (diferența) elasticităților acestor funcții:

, .

3. Elasticitatea funcțiilor reciproc inverse - mărimi reciproc inverse:

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului.

teorema lui Fermat. Dacă o funcție diferențiabilă pe un interval își atinge valoarea maximă sau minimă într-un punct interior al acestui interval, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero, adică .

teorema lui Rolle. Fie ca funcția să îndeplinească următoarele condiții:

1) este continuă pe segment ;

2) diferenţiabil pe interval ;

3) la capetele segmentului ia valori egale, adică .

Atunci în interiorul segmentului există cel puțin un astfel de punct în care derivata funcției este egală cu zero: .

teorema lui Lagrange. Fie ca funcția să îndeplinească următoarele condiții

1. Continuă pe segmentul .

2. Diferențiabil pe interval ;

Apoi în interiorul segmentului există cel puțin un astfel de punct în care derivata este egală cu incrementul funcției împărțit la incrementul argumentului de pe acest segment, adică .

Teorema. Limita raportului a două funcții infinit de mici sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor (finite sau infinite), dacă aceasta din urmă există în sensul indicat. Deci, dacă există o incertitudine a formei sau , atunci

Teoremă (condiție suficientă pentru ca funcția să crească)

Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă în interiorul unui interval X, atunci crește pe acest interval.

Teoremă (condiție suficientă pentru ca o funcție să scadă), Dacă derivata unei funcții diferențiabile este negativă în interiorul unui interval, atunci ea scade pe acest interval.

Un punct se numește punct maxim al unei funcții dacă inegalitatea este adevărată într-o vecinătate a punctului.

Un punct se numește punct minim al unei funcții dacă inegalitatea este adevărată într-o vecinătate a punctului.

Valorile funcției în puncte și sunt numite maxim și, respectiv, minim al funcției. Maximul și minimul unei funcții sunt combinate prin denumirea comună a extremului funcției.

Pentru ca o funcție să aibă un extremum într-un punct, derivata sa în acel punct trebuie să fie egală cu zero sau să nu existe.

Prima condiție suficientă pentru un extremum. Teorema.

Dacă, la trecerea printr-un punct, derivata unei funcții diferențiabile își schimbă semnul din plus în minus, atunci punctul este punctul maxim al funcției, iar dacă de la minus la plus, atunci punctul minim.

Schema studierii unei funcții pentru un extremum.

1. Găsiți derivata.

2. Aflați punctele critice ale funcției la care derivata sau nu există.

3. Examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta fiecărui punct critic și trageți o concluzie despre prezența extremelor funcției.

4. Găsiți extreme (valori extreme) ale funcției.

A doua condiție suficientă pentru un extremum. Teorema.

Dacă prima derivată a unei funcții de două ori diferențiabile este egală cu zero într-un anumit punct, iar derivata a doua în acest punct este pozitivă, adică punctul minim al funcției, dacă este negativ, atunci punctul maxim.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori de pe segment, folosim următoarea schemă.

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți punctele critice ale funcției în care există sau nu.

3. Găsiți valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele.

O funcție se numește convexă în sus pe intervalul X dacă segmentul care leagă oricare două puncte ale graficului se află sub graficul funcției.

O funcție se numește convexă în jos pe intervalul X dacă segmentul care leagă oricare două puncte ale graficului se află deasupra graficului funcției.

Teorema. O funcție este convexă în jos (în sus) pe intervalul X dacă și numai dacă derivata sa prima pe acest interval este monoton crescătoare (descrescătoare).

Teorema. Dacă derivata a doua a unei funcții diferențiabile de două ori este pozitivă (negativă) în interiorul unui interval X, atunci funcția este convexă în jos (în sus) pe acest interval.

Punctul de inflexiune al graficului unei funcții continue este punctul care separă intervalele în care funcția este convexă în jos și în sus.

Teorema (condiția de inflexiune necesară). Derivata a doua a unei functii de doua ori diferentiabile la punctul de inflexie este egala cu zero, adica .

Teoremă (condiție suficientă pentru inflexiune). Dacă derivata a doua a unei funcții de două ori diferențiabile își schimbă semnul la trecerea printr-un anumit punct, atunci există un punct de inflexiune al graficului său.

Schema de studiu a funcției pentru punctele de convexitate și de inflexiune:

1. Aflați derivata a doua a funcției.

2. Găsiți puncte în care derivata a doua sau nu există.

3. Examinați semnul derivatei a doua în stânga și dreapta punctelor găsite și trageți o concluzie despre intervalele de convexitate și prezența punctelor de inflexiune.

4. Găsiți valorile funcției la punctele de inflexiune.

Când examinați o funcție pentru trasarea graficelor lor, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1. Găsiți domeniul funcției.

2. Investigați funcția pentru egalitate - ciudat.

3. Găsiți asimptote verticale

4. Investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptote orizontale sau oblice.

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați intervalele de convexitate ale funcției și punctele de inflexiune.

7. Găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate și, eventual, câteva puncte suplimentare care rafinează graficul.

Diferenţialul unei funcţii este principalul, liniar în raport cu o parte din incrementul funcţiei, egal cu produsul derivatei şi incrementul variabilei independente.

Să fie variabile și fiecare set de valori ale acestora dintr-un set X corespunde unei valori bine definite a variabilei. Apoi spunem că este dată o funcție a mai multor variabile .

Variabilele se numesc variabile independente sau argumente, - variabilă dependentă. Mulțimea X se numește domeniul funcției.

Analogul multidimensional al funcției de utilitate este funcția , care exprimă dependența de bunurile achiziționate.

De asemenea, în cazul variabilelor, conceptul de funcție de producție este generalizat, exprimând rezultatul activității de producție din factorii care au determinat-o. mai puțin decât prin definiție și sunt continue în punctul însuși. Apoi derivatele parțiale., și găsiți punctele critice ale funcției.

3. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi, calculați valorile lor în fiecare punct critic și, folosind o condiție suficientă, trageți o concluzie despre prezența extremelor.

Găsiți extremele (valorile extreme) ale funcției.

Literatură

1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITI, 2003.

2.E.S. Kochetkov, S.O. Smerchinskaya Teoria probabilității în probleme și exerciții / M. INFRA-M 2005.

3. Matematică superioară pentru economiști: Atelier / Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2004. Partea 1, 2

4. Gmurman V.E. Ghid de rezolvare a problemelor de teoria probabilităților și statistică matematică. M., Liceul, 1977

5. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. M., Liceul, 1977

6. M.S. Matematică Crasă pentru specialități economice: Manual / M. INFRA-M 1998.

7. Vygodsky M.Ya. Manual de matematică superioară. - M., 2000.

8. Berman G.N. Culegere de probleme pe parcursul analizei matematice. – M.: Nauka, 1971.

9.A.K. Kazashev Colecție de probleme de matematică superioară pentru economiști - Almaty - 2002

10. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. - M .: Nauka, 1985, T. 1.2.

11.P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov Matematică superioară în exerciții și probleme / M. ONIKS-2005.

12.I.A. Matematică superioară Zaitsev / Şcoala superioară M.-1991

13. Golovina L.I. Algebra liniară și unele dintre aplicațiile sale. – M.: Nauka, 1985.

14. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Metode matematice de analiză economică. – M.: DIS, 1997.

15. Karasev A.I., Aksyutina Z.M., Savelyeva T.I. Curs de matematică superioară pentru universitățile economice. - M .: Liceu, 1982 - Ch 1, 2.

16. Kolesnikov A.N. Un scurt curs de matematică pentru economiști. – M.: Infra-M, 1997.

17.V.S. Shipatsev Caiet de sarcini pentru matematica superioară-M. Liceu, 2005