vector de variabile de ieșire, Y= t,

Z - vector de influențe externe, Z= t,

t - coordonata de timp.

Clădire model matematic constă în determinarea legăturilor dintre anumite procese și fenomene, crearea unui aparat matematic care să permită exprimarea cantitativ și calitativ a relației dintre anumite procese și fenomene, dintre mărimile fizice de interes pentru un specialist, și factorii care afectează rezultatul final.

De obicei, sunt atât de multe încât nu este posibil să-și introducă întregul set în model. La construirea model matematicînainte de studiu, se pune sarcina de a identifica și exclude din considerare factorii care nu afectează semnificativ rezultatul final ( model matematic include de obicei un număr mult mai mic de factori decât în ​​realitate). Pe baza datelor experimentale se propun ipoteze cu privire la relația dintre mărimile care exprimă rezultatul final și factorii introduși în model matematic. O astfel de relație este adesea exprimată prin sisteme diferențiale ecuații cu diferențe parțiale(de exemplu, în probleme de mecanică corp solid, lichid și gaz, teoria filtrării, conductivitatea termică, teoria câmpurilor electrostatice și electrodinamice).

Scopul final al acestei etape este formularea unei probleme matematice, a cărei rezolvare, cu acuratețea necesară, exprimă rezultatele care prezintă interes pentru un specialist.

Forma și principiile de prezentare model matematic depinde de mulți factori.

Conform principiilor de construcţie modele matematice divizat in:

1. analitic;
2. imitaţie.

În modelele analitice, procesele de funcționare a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale sunt scrise sub formă explicită. dependențe funcționale.

Modelul analitic este împărțit în tipuri în funcție de problema matematică:

1. ecuații (algebrice, transcendentale, diferențiale, integrale),
2. probleme de aproximare (interpolare, extrapolare, integrare numericăȘi diferenţiere),
3. probleme de optimizare,
4. probleme stocastice.

Cu toate acestea, pe măsură ce obiectul de modelare devine mai complex, construirea unui model analitic devine o problemă insolubilă. Apoi cercetătorul este forțat să folosească modelare prin simulare .

ÎN modelare prin simulare funcționarea obiectelor, proceselor sau sistemelor este descrisă de un set de algoritmi. Algoritmii imită fenomene elementare reale care alcătuiesc un proces sau un sistem, menținându-le în același timp structura logicași secvențierea în timp. Simulare vă permite să obțineți informații despre datele sursă stări de proces sau sisteme în anumite momente în timp, totuși, prezicerea comportamentului obiectelor, proceselor sau sistemelor este dificilă aici. Se poate spune că modele de simulare- acestea sunt bazate pe computer experimente de calcul Cu modele matematice, imitând comportamentul obiectelor, proceselor sau sistemelor reale.

În funcţie de natura proceselor şi sistemelor reale studiate modele matematice poate fi:

1. determinat,
2. stocastică.

În modelele deterministe, se presupune că nu există influențe aleatorii, elementele modelului (variabile, relații matematice) sunt destul de bine stabilite, iar comportamentul sistemului poate fi determinat cu precizie. La construirea modelelor deterministe se folosesc cel mai des ecuațiile algebrice, ecuațiile integrale, algebra matriceală.

Modelul stocastic ia în considerare natura aleatorie a proceselor din obiectele și sistemele studiate, care este descrisă prin metodele teoriei probabilităților și statisticii matematice.

În funcție de tipul de informații de intrare, modelele sunt împărțite în:

1. continuu,
2. discret.

Dacă informațiile și parametrii sunt continui, iar relațiile matematice sunt stabile, atunci modelul este continuu. Și invers, dacă informațiile și parametrii sunt discreti, iar conexiunile sunt instabile, atunci model matematic- discret.

În funcție de comportamentul modelelor în timp, acestea sunt împărțite în:

1. static,
2. dinamic.

Modelele statice descriu comportamentul unui obiect, proces sau sistem în orice moment. Modelele dinamice reflectă comportamentul unui obiect, proces sau sistem în timp.

După gradul de corespondenţă dintre

O serie de proprietăți generale ale modelelor decurg direct din structura definiției adoptate, care sunt de obicei luate în considerare în practica de modelare.

• 1. Modelul este o „structură cvadruplă” ale cărei componente sunt:
  • - subiect;
  • - sarcina rezolvată de subiect;
  • - obiectul original și limbajul descrierii sau metoda de reproducere a modelului.

Problema rezolvată de subiect joacă un rol deosebit în structura modelului generalizat. În afara contextului unei sarcini sau al unei clase de sarcini, conceptul de model este lipsit de sens.

• 2. În general, fiecărui obiect material îi corespunde un set nenumărat de modele la fel de adecvate, dar în esență diferite, asociate cu sarcini diferite.
• 3. O pereche de sarcină-obiect corespunde și unui set de modele care conțin, în principiu, aceleași informații, dar care diferă prin formele de prezentare sau reproducere a acesteia.
• 4. Prin definiție, un model este întotdeauna doar o asemănare relativă, aproximativă, a obiectului original și, din punct de vedere al informației, este fundamental mai sărac decât acesta din urmă. Aceasta este proprietatea sa fundamentală.
• 5. Natura arbitrară a obiectului original, care apare în definiția acceptată, înseamnă că acest obiect poate fi material-material, poate fi de natură pur informațională și, în sfârșit, poate fi un complex de componente materiale și informaționale eterogene. Oricum, indiferent de natura obiectului, natura problemei care se rezolvă și metoda de implementare, modelul este o entitate informațională.
• 6. Particular, dar foarte important pentru disciplinele științifice și tehnice dezvoltate teoretic, este cazul când rolul obiectului de modelare într-o activitate de cercetare sau aplicată este jucat nu de un fragment din lumea reală, considerat direct, ci de un construct ideal. , adică, de fapt, un alt model, creat mai devreme și practic de încredere. O astfel de modelare secundară și, în cazul general, de n ori poate fi realizată prin metode teoretice cu verificarea ulterioară a rezultatelor obținute pe baza datelor experimentale, ceea ce este tipic pentru științele naturale fundamentale.

În domeniile de cunoaștere teoretic mai puțin dezvoltate (biologie, unele discipline tehnice), modelul secundar include de obicei informații empirice care nu sunt acoperite de teoriile existente.

Proprietățile oricărui model sunt următoarele:

• - finitate: modelul reflectă originalul doar într-un număr finit al relaţiilor sale şi, în plus, resursele de modelare sunt finite;
• - simplitate: modelul afiseaza doar aspectele esentiale ale obiectului;
• - Aproximație: realitatea este afișată aproximativ sau aproximativ de către model;
• - adecvare: modelul descrie cu succes sistemul modelat;
• - informativitatea: modelul trebuie să conţină suficiente informaţii despre sistem - în cadrul ipotezelor adoptate în construirea modelului.

Clasificarea modelelor matematice. La proiectarea obiectelor tehnice se folosesc multe tipuri de modele matematice. În acest sens, există modele matematice ale elementelor și sistemelor. La trecerea la un nivel ierarhic superior de structurare a blocurilor, un sistem de nivel inferior devine un element al unui sistem de nivel nou, iar invers, la trecerea la un nivel inferior, un element devine un sistem. În consecință, cele mai complexe modele matematice sunt utilizate la nivelurile inferioare.

La niveluri superioare, modelele mai simple pot fi aplicate cu succes. Ele pot fi obținute prin aproximarea modelelor de niveluri ierarhice inferioare.

În cazul general, ecuațiile modelului matematic se raportează mărimi fizice, care caracterizează starea obiectului și nu au legătură cu parametrii de ieșire, interni și externi enumerați mai sus. Aceste mărimi sunt: ​​viteze și forțe - în sistemele mecanice. Mărimile care caracterizează starea unui obiect tehnic în procesul de funcționare a acestuia se numesc variabile de fază (coordonate de fază).

Vectorul variabilelor de fază definește un punct dintr-un spațiu numit spațiu de fază. Modelele matematice sunt supuse cerințelor de adecvare, economie, universalitate. Aceste cerințe sunt contradictorii, prin urmare, de obicei, pentru designul fiecărui obiect, se folosește modelul lor original. Modelul este considerat adecvat dacă reflectă proprietățile studiate cu o acuratețe acceptabilă.

Precizia este estimată prin gradul de coincidență a valorilor parametrilor de ieșire prezise în timpul experimentului de calcul pe model cu valorile lor adevărate. În același timp, modelul matematic trebuie să fie cât mai simplu posibil, dar în același timp să ofere o descriere adecvată a procesului analizat.

Clasificarea modelelor matematice utilizate în proiectare sisteme tehnice, prezentat în figură.

Figura 1. - Clasificarea modelelor matematice:

După forma de reprezentare a modelelor matematice se disting modele invariante, algoritmice, analitice și grafice ale obiectului de proiectare.

Într-o formă invariantă, un model matematic este reprezentat de un sistem de ecuații (diferențial, algebric), indiferent de metoda de rezolvare a acestor ecuații.

În forma algoritmică, relațiile modelului sunt asociate cu metoda de soluție numerică aleasă și sunt scrise ca algoritm pentru succesiunea de calcule.

Modelul analitic este o dependență explicită a variabilelor dorite de valorile date (de obicei, dependența parametrilor de ieșire ai obiectului de parametrii interni și externi).

Un model grafic (de circuit) este prezentat sub formă de grafice, circuite echivalente, modele dinamice, diagrame etc.

Dintre modelele algoritmice se disting modele de simulare, concepute pentru a simula procesele fizice și informaționale care au loc într-un obiect atunci când acesta funcționează sub influența diverșilor factori de mediu.

Modelele structurale prezintă doar structura obiectelor și sunt utilizate în rezolvarea problemelor de sinteză structurală. Parametrii modelelor structurale se numesc variabile morfologice.

Modelele funcționale descriu procesele de funcționare a obiectelor tehnice și au forma unor sisteme de ecuații. Acestea iau în considerare proprietățile structurale și funcționale atât ale obiectului și permit rezolvarea problemelor de sinteză parametrică și structurală.

Conform metodelor de obținere a modelelor matematice funcționale se împart în teoretice și experimentale.

Modelele teoretice se obțin pe baza unei descrieri a proceselor fizice de funcționare a obiectului, iar modelele experimentale - pe baza studierii comportamentului obiectului în mediul extern, considerându-l ca o cutie neagră cibernetică. Experimentele pot fi fizice (pe un obiect tehnic sau modelul său fizic) sau computaționale (pe un model matematic teoretic).

La construirea modelelor teoretice se folosesc abordări fizice și formale.

Abordarea fizică se reduce la aplicarea directă a legilor fizice pentru a descrie obiecte, de exemplu, legile lui Newton, Hooke, Kirchhoff, Fourier etc.

Abordarea formală folosește principii matematice generale și este utilizată în construcția atât a modelelor teoretice, cât și a celor experimentale.

Modelele matematice funcționale pot fi liniare și neliniare.

Modelele liniare conțin numai funcții liniare variabilele de fază și derivatele lor. Modelele matematice ale unor astfel de obiecte includ funcții neliniare ale variabilelor de fază și (sau) derivatele acestora și sunt neliniare.

Dacă simularea ia în considerare proprietățile inerțiale ale unui obiect tehnic și (sau) schimbarea în timp a parametrilor obiectului sau ai mediului, atunci modelul se numește dinamic. În caz contrar, modelul este static.

Majoritatea procedurilor de proiectare sunt efectuate pe modele deterministe. Un model matematic determinist este caracterizat de o corespondență unu-la-unu între o influență externă asupra unui sistem dinamic și răspunsul său la această influență. Într-un experiment de calcul, la proiectare, sunt de obicei setate unele efecte standard tipice asupra unui obiect: treptat, impuls, armonic, liniar pe bucăți, exponențial etc.

Ele sunt numite influențe de testare.

Conceptul de model și simulare.

Model în sens larg- este orice imagine, analog al unei imagini mentale sau stabilite, descriere, diagramă, desen, hartă etc. a oricărui volum, proces sau fenomen, folosit ca înlocuitor sau reprezentativ al acesteia. Obiectul, procesul sau fenomenul însuși se numește originalul acestui model.

Modelare - acesta este studiul oricărui obiect sau sistem de obiecte prin construirea și studierea modelelor acestora. Aceasta este utilizarea modelelor pentru a determina sau rafina caracteristicile și a raționaliza modalitățile de construire a obiectelor nou construite.

Orice metodă se bazează pe ideea de modelare cercetare științifică, totodată, în metodele teoretice se folosesc diverse feluri de semne, modele abstracte, în cele experimentale - modele subiect.

În studiu, un fenomen real complex este înlocuit cu o copie sau schemă simplificată, uneori o astfel de copie servește doar la amintirea și recunoașterea fenomenului dorit la următoarea întâlnire. Uneori, schema construită reflectă unele caracteristici esențiale, vă permite să înțelegeți mecanismul fenomenului, face posibilă prezicerea schimbării acestuia. Diferite modele pot corespunde aceluiași fenomen.

Sarcina cercetătorului este de a prezice natura fenomenului și cursul procesului.

Uneori, se întâmplă ca un obiect să fie disponibil, dar experimentele cu acesta sunt costisitoare sau duc la consecințe grave asupra mediului. Cunoștințele despre astfel de procese se obțin cu ajutorul modelelor.

Un punct important este că însăși natura științei implică studiul nu a unui fenomen specific, ci a unei clase largi de fenomene înrudite. Implică necesitatea formulării unor enunţuri categorice generale, care se numesc legi. Desigur, cu o astfel de formulare, multe detalii sunt neglijate. Pentru a identifica mai clar tiparul, ei merg în mod deliberat spre grosier, idealizare, schematicitate, adică nu studiază fenomenul în sine, ci o copie sau un model mai mult sau mai puțin exact a acestuia. Toate legile sunt legi despre modele și, prin urmare, nu este de mirare că, în timp, unele teorii științifice se dovedesc a fi inutilizabile. Acest lucru nu duce la prăbușirea științei, deoarece un model a fost înlocuit cu altul. mai modern.

Un rol deosebit în știință îl au modelele matematice, materialul de construcție și instrumentele acestor modele - conceptele matematice. S-au acumulat și s-au îmbunătățit de-a lungul a mii de ani. Matematica modernă oferă mijloace de cercetare excepțional de puternice și universale. Aproape fiecare concept din matematică, fiecare obiect matematic, pornind de la conceptul de număr, este un model matematic. Atunci când se construiește un model matematic al unui obiect sau fenomen studiat, se disting cele ale trăsăturilor, trăsăturilor și detaliilor acestuia care, pe de o parte, conțin informații mai mult sau mai puțin complete despre obiect și, pe de altă parte, permit efectuarea de acțiuni matematice. formalizarea. Formalizarea matematică înseamnă că trăsăturile și detaliile unui obiect pot fi asociate cu concepte matematice adecvate adecvate: numere, funcții, matrici și așa mai departe. Apoi legăturile și relațiile găsite și asumate în obiectul studiat între detaliile sale individuale și părțile constitutive poate fi scris folosind relații matematice: egalități, inegalități, ecuații. Rezultatul este o descriere matematică a procesului sau fenomenului studiat, adică modelul său matematic.

Studiul unui model matematic este întotdeauna asociat cu unele reguli de acțiune asupra obiectelor studiate. Aceste reguli reflectă relațiile dintre cauze și efecte.

Construirea unui model matematic este o etapă centrală în studiul sau proiectarea oricărui sistem. Întreaga analiză ulterioară a obiectului depinde de calitatea modelului. Construirea unui model nu este o procedură formală. Depinde foarte mult de cercetător, experiența și gustul lui, se bazează întotdeauna pe un anumit material experimental. Modelul trebuie să fie suficient de precis, adecvat și să fie convenabil pentru utilizare.

Modelare matematică.

Clasificarea modelelor matematice.

Modelele matematice pot fideterminat Și stocastică .

Determinat model și - acestea sunt modele în care se stabilește o corespondență unu-la-unu între variabilele care descriu un obiect sau un fenomen.

Această abordare se bazează pe cunoașterea mecanismului de funcționare a obiectelor. Obiectul modelat este adesea complex, iar descifrarea mecanismului său poate fi foarte laborioasă și consumatoare de timp. În acest caz, se procedează astfel: experimentele sunt efectuate pe original, rezultatele sunt procesate și, fără a aprofunda în mecanismul și teoria obiectului modelat, folosind metodele statisticii matematice și teoria probabilității, se stabilesc relații între variabilele care descriu obiectul. În acest caz, obținețistocastică model . ÎN stocastică model, relația dintre variabile este aleatorie, uneori se întâmplă fundamental. Impactul unui număr mare de factori, combinația lor duce la un set aleatoriu de variabile care descriu un obiect sau un fenomen. După natura modurilor, modelul estestatistic Și dinamic.

Statisticmodelinclude o descriere a relațiilor dintre principalele variabile ale obiectului simulat în starea staționară fără a ține cont de modificarea parametrilor în timp.

ÎN dinamicmodeledescrie relația dintre principalele variabile ale obiectului simulat în trecerea de la un mod la altul.

Modelele sunt discretȘi continuu, și amestecat tip. ÎN continuu variabilele iau valori dintr-un anumit interval, îndiscretvariabilele iau valori izolate.

Modele liniare- toate funcţiile şi relaţiile care descriu modelul sunt dependente liniar de variabile şinu liniarăin caz contrar.

Modelare matematică.

Cerințe , prezentat la modele.

1. Versatilitate- caracterizează completitudinea afişajului prin modelul proprietăţilor studiate ale obiectului real.

1. Adecvarea - capacitatea de a reflecta proprietățile dorite ale obiectului cu o eroare nu mai mare decât cea specificată.
2. Acuratețea - este estimată prin gradul de coincidență a valorilor caracteristicilor unui obiect real și a valorilor acestor caracteristici obținute cu ajutorul modelelor.
3. Economie - este determinată de costul resurselor de memorie a calculatorului și de timpul necesar implementării și exploatării acestuia.

Modelare matematică.

Principalele etape ale modelării.

1. Enunțarea problemei.

Determinarea scopului analizei și a modalităților de realizare a acesteia și dezvoltarea unei abordări comune a problemei studiate. În această etapă, este necesară o înțelegere profundă a esenței sarcinii. Uneori, nu este mai puțin dificil să stabiliți corect o sarcină decât să o rezolvați. Stadionarea nu este un proces formal, nu există reguli generale.

2. Studiul fundamentelor teoretice și culegerea de informații despre obiectul originalului.

În această etapă, se selectează sau se dezvoltă o teorie adecvată. Dacă nu este prezentă, se stabilesc relații cauzale între variabilele care descriu obiectul. Se determină datele de intrare și de ieșire, se fac ipoteze simplificatoare.

3. Formalizarea.

Constă în alegerea unui sistem de simboluri și utilizarea lor pentru a scrie relația dintre componentele obiectului sub formă de expresii matematice. Se stabilește o clasă de sarcini, cărora i se poate atribui modelul matematic rezultat al obiectului. Este posibil ca valorile unor parametri în această etapă să nu fie încă specificate.

4. Alegerea metodei soluției.

În această etapă, parametrii finali ai modelelor sunt stabiliți, ținând cont de condițiile de funcționare a obiectului. Pentru problema matematică obținută se selectează o metodă de rezolvare sau se dezvoltă o metodă specială. La alegerea unei metode, se iau în considerare cunoștințele utilizatorului, preferințele acestuia, precum și preferințele dezvoltatorului.

5. Implementarea modelului.

După ce a dezvoltat un algoritm, se scrie un program care este depanat, testat și se obține o soluție la problema dorită.

6. Analiza informatiilor primite.

Se compară soluția primită și cea așteptată, se controlează eroarea de modelare.

7. Verificarea adecvării unui obiect real.

Se compară rezultatele obținute de modelfie cu informațiile disponibile despre obiect, fie se efectuează un experiment și se compară rezultatele acestuia cu cele calculate.

Procesul de modelare este iterativ. În cazul rezultatelor nesatisfăcătoare ale etapelor 6. sau 7. se realizează o revenire la una dintre etapele incipiente, care ar putea duce la dezvoltarea unui model nereușit. Această etapă și toate etapele ulterioare sunt rafinate și o astfel de rafinare a modelului are loc până când se obțin rezultate acceptabile.

Un model matematic este o descriere aproximativă a oricărei clase de fenomene sau obiecte din lumea reală în limbajul matematicii. Scopul principal al modelării este de a explora aceste obiecte și de a prezice rezultatele observațiilor viitoare. Cu toate acestea, modelarea este și o metodă de cunoaștere a lumii înconjurătoare, ceea ce face posibilă controlul acesteia.

Modelarea matematică și experimentul computerizat asociat sunt indispensabile în cazurile în care un experiment la scară completă este imposibil sau dificil dintr-un motiv sau altul. De exemplu, este imposibil să înființați un experiment la scară completă în istorie pentru a verifica „ce s-ar întâmpla dacă...” Este imposibil să verificați corectitudinea uneia sau aceleia dintre teorii cosmologice. În principiu, este posibil, dar deloc rezonabil, să se înființeze un experiment privind răspândirea unor boli, cum ar fi ciuma, sau să se realizeze explozie nucleara pentru a studia implicațiile acesteia. Totuși, toate acestea se pot face pe un computer, având în prealabil construit modele matematice ale fenomenelor studiate.

1.1.2 2. Principalele etape ale modelării matematice

1) Construire model. În această etapă, este specificat un obiect „nematematic” - un fenomen natural, construcție, plan economic, proces de producție etc. În acest caz, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă.În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și relația dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă parte a modelării.

2) Rezolvarea problemei matematice la care duce modelul. În această etapă, se acordă multă atenție dezvoltării algoritmilor și metodelor numerice de rezolvare a problemei pe un computer, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu precizia necesară și într-un timp acceptabil.

3) Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic.Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în acest domeniu.

4) Verificarea adecvării modelului.În această etapă, se află dacă rezultatele experimentului sunt de acord cu consecințele teoretice ale modelului într-o anumită acuratețe.

5) Modificarea modelului.În această etapă, fie modelul devine mai complex astfel încât să fie mai adecvat realității, fie se simplifică pentru a obține o soluție practic acceptabilă.

1.1.3 3. Clasificarea modelului

Modelele pot fi clasificate după diferite criterii. De exemplu, în funcție de natura problemelor care se rezolvă, modelele pot fi împărțite în funcționale și structurale. În primul caz, toate mărimile care caracterizează un fenomen sau obiect sunt exprimate cantitativ. În același timp, unele dintre ele sunt considerate ca variabile independente, în timp ce altele sunt considerate ca funcții ale acestor cantități. Un model matematic este de obicei un sistem de ecuații tip diferit(diferențial, algebric etc.), stabilirea de relații cantitative între mărimile luate în considerare. În al doilea caz, modelul caracterizează structura unui obiect complex, format din părți separate, între care există anumite conexiuni. De obicei, aceste relații nu sunt cuantificabile. Pentru a construi astfel de modele, este convenabil să folosiți teoria grafurilor. Un graf este un obiect matematic, care este un set de puncte (puncte) pe un plan sau în spațiu, dintre care unele sunt conectate prin linii (margini).

În funcție de natura datelor inițiale și a rezultatelor predicției, modelele pot fi împărțite în deterministe și probabilistic-statistice. Modelele de primul tip oferă predicții clare, fără ambiguitate. Modelele de al doilea tip se bazează pe informații statistice, iar predicțiile obținute cu ajutorul lor sunt de natură probabilistică.

MODELARE MATEMATICĂ ȘI MODELE GENERALE DE COMPUTERIZARE SAU SIMULARE

Acum, când în țară are loc informatizarea aproape universală, se aud declarații de la specialiști de diverse profesii: „Să introducem un computer în țara noastră, atunci toate sarcinile vor fi rezolvate imediat”. Acest punct de vedere este complet greșit, computerele în sine nu pot face nimic fără modele matematice ale anumitor procese și nu se poate decât să viseze la informatizare universală.

În sprijinul celor de mai sus, vom încerca să justificăm necesitatea modelării, inclusiv a modelării matematice, să dezvăluim avantajele acesteia în cunoașterea și transformarea lumii exterioare de către o persoană, să identificăm deficiențele existente și să mergem ... la modelarea prin simulare, i.e. modelare cu ajutorul computerelor. Dar totul este în ordine.

În primul rând, să răspundem la întrebarea: ce este un model?

Un model este un obiect material sau reprezentat mental care, în procesul de cunoaștere (studiu), înlocuiește originalul, păstrând unele proprietăți tipice care sunt importante pentru acest studiu.

Un model bine construit este mai accesibil pentru cercetare decât un obiect real. De exemplu, experimentele cu economia țării în scop educațional sunt inacceptabile, aici nu se poate face fără model.

Rezumând cele spuse, putem răspunde la întrebarea: pentru ce sunt modelele? Pentru a

• înțelegeți cum funcționează un obiect (structura lui, proprietățile, legile dezvoltării, interacțiunea cu lumea exterioară).
• învață să gestionezi un obiect (proces) și să determine cele mai bune strategii
• prezice consecințele impactului asupra obiectului.

Ce este pozitiv în orice model? Vă permite să obțineți noi cunoștințe despre obiect, dar, din păcate, nu este complet într-o măsură sau alta.

Modelformulat în limbajul matematicii folosind metode matematice se numește model matematic.

Punctul de plecare pentru construcția sa este de obicei o sarcină, de exemplu, una economică. Răspândit, atât descriptiv, cât și de optimizare matematică, care caracterizează diverse procesele economiceși evenimente precum:

• alocare resurselor
• tăiere rațională
• transport
• consolidarea întreprinderilor
• planificarea rețelei.

Cum se construiește un model matematic?

• În primul rând, se formulează scopul și subiectul studiului.
• În al doilea rând, sunt evidențiate cele mai importante caracteristici corespunzătoare acestui scop.
• În al treilea rând, relațiile dintre elementele modelului sunt descrise verbal.
• În plus, relația este oficializată.
• Iar calculul se efectuează după modelul matematic și analiza soluției obținute.

Folosind acest algoritm, puteți rezolva orice problemă de optimizare, inclusiv una multicriterială, de ex. una în care se urmăresc nu unul, ci mai multe scopuri, inclusiv contradictorii.

Să luăm un exemplu. Teoria cozilor de aşteptare - problema stării de aşteptare. Trebuie să echilibrați doi factori - costul de întreținere a dispozitivelor de service și costul de a rămâne în linie. După ce a construit o descriere formală a modelului, calculele sunt efectuate folosind metode analitice și de calcul. Dacă modelul este bun, atunci răspunsurile găsite cu ajutorul lui sunt adecvate sistemului de modelare; dacă este rău, atunci trebuie îmbunătățit și înlocuit. Criteriul de adecvare este practica.

Modelele de optimizare, inclusiv cele multicriteriale, au proprietate comună– se cunoaște un scop (sau mai multe obiective), de atins pe care de multe ori se are de a face cu sisteme complexe, unde nu este vorba atât de rezolvarea problemelor de optimizare, cât de cercetarea și prezicerea stărilor în funcție de strategiile de control alese. Și aici ne confruntăm cu dificultăți în implementarea planului anterior. Acestea sunt după cum urmează:

• un sistem complex conține multe conexiuni între elemente
• sistemul real este influențat de factori aleatori, fiind imposibil de luat în considerare analitic
• posibilitatea de a compara originalul cu modelul există doar la început și după aplicarea aparatului matematic, deoarece este posibil ca rezultatele intermediare să nu aibă analogi într-un sistem real.

În legătură cu dificultățile enumerate care apar la studierea sistemelor complexe, practica a necesitat o metodă mai flexibilă și a apărut - modelarea prin simulare „Modelarea prin simulare”.

De obicei, un model de simulare este înțeles ca un set de programe de calculator care descrie funcționarea blocurilor individuale de sisteme și regulile de interacțiune dintre ele. Utilizare variabile aleatoare face necesară efectuarea de experimente repetate cu un sistem de simulare (pe computer) și analiza statistică ulterioară a rezultatelor obținute. Un exemplu foarte comun de utilizare a modelelor de simulare este rezolvarea unei probleme de coadă prin metoda MONTE CARLO.

Astfel, lucrul cu sistemul de simulare este un experiment efectuat pe un computer. Care sunt beneficiile?

– Apropiere mai mare de sistemul real decât modelele matematice;

– Principiul blocului face posibilă verificarea fiecărui bloc înainte de a fi inclus în sistemul general;

– Utilizarea dependențelor de natură mai complexă, nedescrise prin simple relații matematice.

Avantajele enumerate determină dezavantajele

– construirea unui model de simulare este mai lungă, mai dificilă și mai costisitoare;

– pentru a lucra cu sistemul de simulare, trebuie să ai un calculator potrivit pentru clasă;

– interacțiunea dintre utilizator și modelul de simulare (interfață) nu trebuie să fie prea complicată, convenabilă și binecunoscută;

- construirea unui model de simulare necesită un studiu mai profund al procesului real decât modelarea matematică.

Se pune întrebarea: modelarea prin simulare poate înlocui metodele de optimizare? Nu, dar le completează convenabil. Un model de simulare este un program care implementează un algoritm, pentru a optimiza controlul căruia se rezolvă mai întâi o problemă de optimizare.

Deci, nici un computer, nici un model matematic, nici un algoritm pentru studierea lui separat nu pot rezolva o problemă destul de complicată. Dar împreună reprezintă puterea care vă permite să cunoașteți lumea, gestionează-l în interesul omului.

1.2 Clasificarea modelului

1.2.1 Clasificare ținând cont de factorul timp și zona de utilizare (Makarova N.A.) Model static - este ca o porțiune unică de informații despre obiect (rezultatul unui sondaj) Dinamic modelul-permite vezi modificări ale obiectului în timp (card în clinică) Modelele pot fi clasificate după din ce domeniu de cunoaștere aparțin(biologic, istoric ecologic, etc.) Reveniți la început

1.2.2 Clasificarea pe domenii de utilizare (Makarova N.A.) Instruire- vizual ajutoare, instructori , o batere programe Cu experienta modele-redus copii (mașină într-un tunel de vânt) Științific și tehnic sincrofazotron, stand pentru testarea echipamentelor electronice Joc- economic, sport, jocuri de afaceri simulare- Nu ele pur și simplu reflectă realitatea, dar o imită (medicamentele sunt testate pe șoareci, experimente sunt efectuate în școli etc.. Această metodă de modelare se numește încercare și eroare Reveniți la început

1.2.3 Clasificare după metoda de prezentare Makarova N.A.) material modele- in caz contrar poate fi numit subiect. Ei percep geometric și proprietăți fizice originale și au întotdeauna o întruchipare reală Informațional modele-nu sunt permise atinge sau vezi. Ele se bazează pe informații. .Informație modelul este un set de informații care caracterizează proprietățile și stările unui obiect, proces, fenomen, precum și relația cu lumea exterioară. Model verbal - model informațional într-o formă mentală sau conversațională. Simbolic model-informaţional model exprimat prin semne , adică. prin intermediul oricărui limbaj formal. model computer - m Un model implementat prin intermediul unui mediu software.

1.2.4 Clasificarea modelelor prezentate în cartea „Țara Informaticii” (Gein A.G.)) „...iată o sarcină aparent simplă: cât timp va dura să traversezi deșertul Karakum? Răspunde, desigur depinde de modul de deplasare. Dacă călătorii mai departe cămile, atunci va fi necesar un termen, altul dacă mergi cu mașina, al treilea dacă zbori cu avionul. Și cel mai important, sunt necesare modele diferite pentru a planifica o călătorie. Pentru primul caz, modelul necesar poate fi găsit în memoriile exploratorilor celebri din deșert: la urma urmei, nu se poate face fără informații despre oaze și trasee pentru cămile. În al doilea caz, informații de neînlocuit conținute în atlasul drumurilor. În al treilea - puteți utiliza programul de zbor. Aceste trei modele diferă - memorii, atlas și orar și natura prezentării informațiilor. În primul caz, modelul este reprezentat printr-o descriere verbală a informaţiei (model descriptiv), în al doilea - ca o fotografie din natură (model natural), în al treilea - un tabel care conține simboluri: ora de plecare și de sosire, ziua săptămânii, prețul biletului (așa-numitul model de semne) Cu toate acestea, această împărțire este foarte condiționată - hărți și diagrame (elementele unui model la scară completă) pot fi găsite în memorii, există simboluri pe hărți (elementele unui model de semne), o decodare a simbolurilor (elementele unui model descriptiv). ) este dat în program. Deci această clasificare a modelelor... în opinia noastră este neproductivă" În opinia mea, acest fragment demonstrează descriptiv (limbaj minunat și stil de prezentare) comun tuturor cărților lui Gein și, parcă, stilul socratic de predare (Toată lumea crede că așa este. Sunt complet de acord cu tine, dar dacă te uiți cu atenție, atunci...).În astfel de cărți este destul de dificil să găsești un sistem clar de definiții (nu este intenționat de autor). În manualul editat de N.A. Makarova demonstrează o abordare diferită - definițiile conceptelor sunt clar distinse și oarecum statice.

1.2.5 Clasificarea modelelor prezentate în manualul lui A.I.Bochkin Există multe moduri de clasificare .Vă prezentăm doar câteva dintre cele mai cunoscute fundaţii şi semne: discretieȘi continuitate, matriceși modele scalare, modele statice și dinamice, modele analitice și informaționale, modele subiect și semne figurative, la scară mare și non-scale... Fiecare semn dă un anumit cunoștințe despre proprietățile modelului și ale realității modelate. Semnul poate servi drept indiciu despre modul în care simularea a fost efectuată sau urmează să fie realizată. Discretență și continuitate discretie - o trăsătură caracteristică a modelelor computerizate .La urma urmelor un computer poate fi într-un număr finit, deși foarte mare, de stări. Prin urmare, chiar dacă obiectul este continuu (timp), în model se va schimba în salturi. Ar putea fi luat în considerare continuitate un semn al modelelor de tip non-computer. Aleatorie și determinism . Incertitudine, accident inițial opus lumii computerelor: Algoritmul lansat din nou trebuie să se repete și să dea aceleași rezultate. Dar pentru imitație procese aleatorii folosind generatoare de numere pseudoaleatoare. Introducerea aleatoriei în problemele deterministe duce la modele puternice și interesante (Random Tossing Area Calculation). Matrice - scalar. Disponibilitatea parametrilor matrice modelul indică o mai mare complexitate și, eventual, acuratețe în comparație cu scalar. De exemplu, dacă nu scoatem în evidență toate grupele de vârstă din populația țării, luând în considerare schimbarea acesteia în ansamblu, obținem un model scalar (de exemplu, modelul Malthus), dacă delimităm, o matrice (sex și vârstă) model. Modelul matriceal a făcut posibilă explicarea fluctuațiilor natalității de după război. dinamism static. Aceste proprietăți ale modelului sunt de obicei predeterminate de proprietățile obiectului real. Nu există libertate de alegere aici. Doar static modelul poate fi un pas spre dinamic, sau unele dintre variabilele modelului pot fi considerate neschimbate pentru moment. De exemplu, un satelit se mișcă în jurul Pământului, mișcarea lui este influențată de Lună. Dacă considerăm că Luna este staționară în timpul revoluției satelitului, obținem un model mai simplu. Modele analitice. Descrierea proceselor analitic, formule și ecuații. Dar atunci când încercați să construiți un grafic, este mai convenabil să aveți tabele cu valorile funcției și argumente. modele de simulare. simulare modelele au apărut cu mult timp în urmă sub formă de copii la scară mare ale navelor, podurilor etc. au apărut cu mult timp în urmă, dar în legătură cu computerele sunt considerate recent. Știind cât de conectat modelați elementele analitic și logic, este mai ușor să nu rezolvați un sistem de anumite relații și ecuații, ci să mapați sistemul real în memoria computerului, ținând cont de legăturile dintre elementele de memorie. Modele de informare. Informațional Se obișnuiește să se opună modelele celor matematice, mai exact celor algoritmice. Raportul date/algoritm este important aici. Dacă există mai multe date sau sunt mai importante, avem un model de informare, în caz contrar - matematic. Modele de subiecte. Acesta este în primul rând un model pentru copii - o jucărie. Modele cu semne figurative. Este în primul rând un model în mintea umană: figurativ, dacă predomină imaginile grafice, și simbolic, dacă există mai mult decât cuvinte și/sau numere. Modelele cu semne figurative sunt construite pe un computer. machete la scară. LA pe scară largă modelele sunt cele ale subiectului sau modelele figurative care repetă forma obiectului (hărții).

Calculatoarele au intrat ferm în viața noastră și practic nu există o astfel de zonă a activității umane în care computerele să nu fie folosite. Calculatoarele sunt acum utilizate pe scară largă în procesul de creare și cercetare a mașinilor noi, noi procese tehnologiceși căutându-i cele mai bune opțiuni; la rezolvarea problemelor economice, la rezolvarea problemelor de planificare și conducere a producției la diferite niveluri. Crearea de obiecte mari în rachete, construcții de aeronave, construcții navale, precum și proiectarea de baraje, poduri etc., este în general imposibilă fără utilizarea computerelor.

Pentru utilizarea calculatoarelor în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând sarcina aplicata trebuie „tradus” într-un limbaj matematic formal, adică pentru un obiect, proces sau sistem real, acesta model matematic.

Cuvântul „Model” provine din latinescul modus (copie, imagine, contur). Modelarea este înlocuirea unui obiect A cu un alt obiect B. Obiectul înlocuit A se numește original sau obiect de modelare, iar înlocuitorul B se numește model. Cu alte cuvinte, un model este un obiect-înlocuire a obiectului original, oferind studiul unor proprietăți ale originalului.

Scopul simulării sunt primirea, prelucrarea, prezentarea și utilizarea informațiilor despre obiecte care interacționează între ele și Mediul extern; iar modelul acționează aici ca un mijloc de cunoaștere a proprietăților și modelelor comportamentului obiectului.

Modelarea este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane, în special în domeniile proiectării și managementului, unde procesele de luare a deciziilor eficiente pe baza informațiilor primite sunt deosebite.

Un model este întotdeauna construit având în vedere un scop specific, care influențează care proprietăți ale unui fenomen obiectiv sunt semnificative și care nu. Modelul este, parcă, o proiecție a realității obiective dintr-un anumit punct de vedere. Uneori, în funcție de obiective, puteți obține o serie de proiecții ale realității obiective care intră în conflict. Acest lucru este tipic, de regulă, pentru sistemele complexe, în care fiecare proiecție evidențiază ceea ce este esențial pentru un anumit scop dintr-un set de cele neesențiale.

Teoria modelării este o ramură a științei care studiază modalități de a studia proprietățile obiectelor originale pe baza înlocuirii lor cu alte obiecte model. Teoria asemănării stă la baza teoriei modelării. La modelare, asemănarea absolută nu are loc și se străduiește doar să se asigure că modelul reflectă suficient de bine partea studiată a funcționării obiectului. Asemănarea absolută poate avea loc numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel.

Toate modelele pot fi împărțite în două clase:

1. real,
2. ideal.

La rândul lor, modelele reale pot fi împărțite în:

1. natural,
2. fizic,
3. matematic.

Modele ideale poate fi împărțit în:

1. vizual,
2. simbolic,
3. matematic.

Modelele reale la scară reală sunt obiecte, procese și sisteme reale pe care se efectuează experimente științifice, tehnice și industriale.

Modele fizice reale- sunt modele, modele care reproduc proprietatile fizice ale originalelor (modele cinematice, dinamice, hidraulice, termice, electrice, usoare).

Modelele matematice reale sunt analogice, structurale, geometrice, grafice, digitale și cibernetice.

Modelele vizuale ideale sunt diagramele, hărțile, desenele, graficele, graficele, analogii, structurale și modele geometrice.

Modelele de semne ideale sunt simbolurile, alfabetul, limbaje de programare, notația ordonată, notația topologică, reprezentarea în rețea.

Ideal modele matematice- acestea sunt modele analitice, funcționale, de simulare, combinate.

În clasificarea de mai sus, unele modele au o dublă interpretare (de exemplu, analogică). Toate modelele, cu excepția celor la scară largă, pot fi combinate într-o singură clasă de modele mentale, deoarece sunt produsul gândirii abstracte a omului.

Să ne oprim asupra unuia dintre cele mai universale tipuri de modelare - matematică, care pune în corespondență cu procesul fizic simulat un sistem de relații matematice, a cărui soluție vă permite să obțineți un răspuns la întrebarea despre comportamentul unui obiect fără crearea unui model fizic, care de multe ori se dovedește a fi costisitor și ineficient.

Modelare matematică este un mijloc de studiere a unui obiect, proces sau sistem real prin înlocuirea lor model matematic, mai convenabil pentru cercetarea experimentală cu ajutorul unui computer.

Model matematic este o reprezentare aproximativă a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, exprimată în termeni matematici și reținând trăsăturile esențiale ale originalului. Modele matematice sub formă cantitativă, cu ajutorul construcțiilor logice și matematice, ele descriu principalele proprietăți ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, relațiile interne și externe.

În general, model este o reflectare a unui obiect real. O astfel de reflexie a unui obiect poate fi reprezentată printr-o schiță, diagramă, fotografie, grafic, tabel etc.

Vom lua în considerare doar modele matematice ale diferitelor procese economice care sunt descrise prin simboluri matematice și rezolvate folosind metode matematice adecvate.

În economie se folosesc în principal modele matematice care descriu fenomenul studiat cu ajutorul aparatelor matematice (funcții, ecuații, inegalități, sistemele acestora).

În teoria soluţiilor optime rolul principal atribuite modelării matematice. Pentru a construi un model matematic, este necesar să aveți o înțelegere strictă a scopului funcționării sistemului studiat și să aveți informații despre restricțiile care determină intervalul de valori acceptabile ale variabilelor controlate. Atât scopul, cât și constrângerile trebuie reprezentate ca funcții ale variabilelor controlate. Analiza modelului ar trebui să conducă la determinarea celei mai bune acțiuni de control asupra obiectului de control atunci când sunt îndeplinite toate restricțiile stabilite.

Modelul unui obiect gestionat este construit pentru a aplica un dispozitiv de calcul care să optimizeze funcționarea acestui obiect (creșterea maximă posibilă a eficienței muncii sale). Dezvoltarea unui model este aproape întotdeauna asociată cu încercarea de a atinge două obiective conflictuale: de a reflecta procesele reale cât mai precis posibil și de a obține modelul cât mai simplu, astfel încât să fie ușor de lucrat.

Pentru a aplica metode cantitative pentru studierea proceselor economice, este necesară construirea unui model matematic al obiectului de optimizare. La construirea unui model, un obiect este de obicei simplificat, schematizat, iar schema obiectului este descrisă folosind unul sau altul aparat matematic.

Model matematic- aceasta este o descriere aproximativă a oricărui obiect sau clasă de fenomene ale lumii exterioare, exprimată cu ajutorul aparaturii matematice și a simbolurilor matematice.

Modelele matematice au o serie de avantaje față de alte tipuri de modele. Cele mai importante dintre ele includ următoarele:

o gamă largă de aplicații,

cost scăzut de creare a unui model în comparație cu alte tipuri,

viteza de obținere a rezultatelor cercetării atunci când se utilizează computere electronice,

posibilitatea de a experimenta procesul economic studiat,

· posibilitatea verificării corectitudinii premiselor şi condiţiilor propuse pentru sarcina economică stabilită.

Modelul matematic al oricărei probleme economice include o funcție obiectivă, un sistem de constrângeri și un criteriu de optimitate.

Funcția obiectivă leagă între ele diferitele valori ale modelului. De obicei, ținta este indicator economic(profit, cost, rentabilitate etc.). Prin urmare, funcția obiectivă se numește uneori economic, criteriu.

funcție obiectivă- o caracteristică a obiectului din condiția căutării ulterioare a criteriului optimității, legând matematic unul sau altul factor al obiectului de studiu.

La rezolvarea problemelor de optimizare este necesar să se determine criteriul de optimitate, adică. un semn prin care se realizează o evaluare comparativă a alternativelor și se alege cea mai bună dintre ele din punctul de vedere al scopului de optimizare.

Criteriul de optimizare- Acesta este un indicator care, de regulă, are o semnificație economică, care servește la formalizarea scopului specific de gestionare a obiectului de studiu și se exprimă folosind funcția obiectiv.

Criteriul optimității operațiunii îndeplinește o funcție atât de importantă ca evaluarea comparativă a strategiilor (soluțiilor) alese înainte de implementarea lor și în etapa finală a operațiunii. Vă permite să analizați rezultatele și să trageți o concluzie despre care dintre strategii ar fi optimă.

Valorile care sunt modificate în timpul optimizării și incluse în modelul matematic al obiectului de optimizare se numesc parametrii de optimizare, iar rapoartele care stabilesc limitele pentru posibila modificare a acestor parametri sunt restricții.

Restricții- acestea sunt rapoarte care îngustează aria soluțiilor fezabile, acceptabile sau admisibile și fixează principalele proprietăți externe și interne ale obiectului. Aceste constrângeri pot fi date sub formă de egalități sau inegalități (sau sistemele lor).

Decizie modelul matematic al problemei economice, sau plan acceptabil, este un set de valori necunoscute care își satisface sistemul de constrângeri. Modelul poate avea multe solutii, sau planuri fezabile, printre care este necesar sa se gaseasca singura care sa satisfaca sistemul de constrangeri si functia obiectiv.

Se numește un plan fezabil care satisface funcția obiectiv optim .

Dacă modelul problemei are un set de planuri optime, atunci pentru fiecare dintre ele valoarea funcției obiectiv este aceeași.

Prin urmare, pentru a face o soluție optimă oricărei probleme economice, este necesar să se construiască modelul matematic al acesteia, care cuprinde în structură un sistem de constrângeri, o funcție obiectivă, un criteriu de optimitate și o soluție.

Procesul de construire a unui model matematic se numește modelare matematică .

Întocmirea unui model al unui obiect necesită înțelegerea esenței fenomenului descris și cunoașterea aparatului matematic.

Modelarea și construirea unui model matematic al unui obiect economic fac posibilă reducerea analizei economice a proceselor de producție la analiză matematică și adoptarea unor decizii eficiente (optime).

La construirea unui model matematic, este important să se evite, pe de o parte, simplificarea excesivă a unui fenomen sau proces economic (deoarece simplificarea excesivă nu reflectă realitatea), pe de altă parte, detalierea și complicarea excesivă a acestuia (deoarece aceasta duce la un numar mare variabile şi complică construcţia modelului).

Elementele principale ale modelului:

1) Date inițiale:

determinat,

Aleatoriu.

2) Variabile necesare:

continuu,

discret.

3) Dependente:

liniară (variabilele sunt incluse în primul grad și nu există un produs),

neliniare (variabilele sunt incluse în grade mai mari decât prima sau există un produs de variabile).

Combinarea diferitelor elemente ale modelului duce la diferite clase de probleme de optimizare (subiectul 2) care necesită metode diferite de rezolvare.

La rezolvarea unei probleme economice specifice, utilizarea metodelor de soluții optime presupune:

construirea de modele matematice pentru probleme decizionale în situații complexe sau în condiții de incertitudine,

Studierea relațiilor care determină ulterior luarea deciziilor, și stabilirea criteriilor de optimitate care să permită evaluarea avantajului uneia sau alteia variante de acțiune.

La principalele metode luarea celor mai bune decizii includ:

1) Metode de programare matematică:

programare liniară,

programare neliniară

programare cu numere întregi,

programare dinamica,

programare convexa,

programare geometrica,

programare parametrica

programare stocastică,

programare euristica.

2) Metode ale teoriei cozilor de aşteptare.

3) Metode ale teoriei jocurilor.

4) Metode clasice de optimizare (metoda Lagrange, metoda gradientului).

5) Metode de planificare și management al rețelei.