Obiectivele lecției

• Educativ - repetarea, generalizarea și testarea cunoștințelor pe tema: „Tangent la un cerc”; dezvoltarea abilităților de bază.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
• Educativ - printr-o lecție, de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de ascultare a camarazilor, asistență reciprocă, independență.
• Introduceți conceptul de tangentă, punct de contact.
• Luați în considerare proprietatea tangentei și semnul acesteia și arătați aplicarea acestora în rezolvarea problemelor din natură și tehnologie.

Obiectivele lecției

• Pentru a forma abilități în construirea tangentelor folosind o riglă de scară, un raportor și un triunghi de desen.
• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.
• Asigurați stăpânirea tehnicilor algoritmice de bază pentru construirea unei tangente la un cerc.
• Dezvoltați abilități de aplicat cunoștințe teoretice la rezolvarea problemelor.
• Pentru a dezvolta gândirea și vorbirea elevilor.
• Lucrați la formarea abilităților de a observa, de a observa modele, de a generaliza, de a raționa prin analogie.
• Cultivați interesul pentru matematică.

Planul lecției

1. Apariția conceptului de tangentă.
2. Istoria apariției tangentei.
3. Definiții geometrice.
4. Teoreme de bază.
5. Construcția unei tangente la un cerc.
6. Consolidare.

Apariția conceptului de tangentă

Conceptul de tangentă este unul dintre cele mai vechi din matematică. În geometrie, o tangentă la un cerc este definită ca o dreaptă care are exact un punct de intersecție cu acest cerc. Anticii, cu ajutorul unui compas și al unei linii drepte, au putut să deseneze tangente la un cerc, iar mai târziu la secțiuni conice: elipse, hiperbole și parabole.

Istoria apariției tangentei

Interesul pentru tangente a reînviat în vremurile moderne. Apoi au fost descoperite curbe care nu erau cunoscute de oamenii de știință din antichitate. De exemplu, Galileo a introdus cicloida, iar Descartes și Fermat au construit o tangentă la aceasta. În prima treime a secolului al XVII-lea. Ei au început să înțeleagă că o tangentă este o linie dreaptă, „cel mai aproape adiacentă” unei curbe într-o mică vecinătate a unui punct dat. Este ușor de imaginat o situație în care este imposibil să construiți o tangentă la o curbă într-un punct dat (figura).

Definiții geometrice

Cerc- locul punctelor planului, echidistant de un punct dat, numit centru lui.

cerc.

Definiții înrudite

• Segmentul care leagă centrul cercului cu orice punct de pe acesta (și, de asemenea, lungimea acestui segment) se numește rază cercuri.
• Se numește partea de plan mărginită de un cerc în jurul.
• Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru.
• Oricare două puncte necoincidente de pe cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită arc cercuri. Măsura unui arc poate fi măsura unghiului său central corespunzător. Un arc se numește semicerc dacă segmentul care îi leagă capetele are un diametru.
• Se numește o dreaptă care are exact un punct în comun cu un cerc tangentă la cerc, iar punctul lor comun se numește punctul de contact al liniei și al cercului.
• Se numește o dreaptă care trece prin două puncte dintr-un cerc secantă.
• Un unghi central într-un cerc este un unghi plat cu un vârf în centru.
• Se numește un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează cercul unghi înscris.
• Se numesc două cercuri care au un centru comun concentric.

Linie tangentă- o linie dreaptă care trece printr-un punct al curbei și coincide cu acesta în acest punct până la primul ordin.

Tangent la un cerc Se numește o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.

O linie dreaptă care trece printr-un punct al unui cerc în același plan perpendicular pe raza trasată în acest punct, numită tangentă. În acest caz, acest punct al cercului se numește punct de contact.

În cazul în care în cazul nostru „a” este o dreaptă care este tangentă la cercul dat, punctul „A” este punctul de contact. În acest caz, a ⊥ OA (linia a este perpendiculară pe raza OA).

Ei spun asta două cercuri se ating dacă au un singur punct comun. Acest punct se numește punctul tangent al cercurilor. Printr-un punct tangent, se poate desena o tangentă la unul dintre cercuri, care este, de asemenea, tangentă la celălalt cerc. Tangența cercurilor este internă și externă.

O tangență se numește internă dacă centrele cercurilor se află pe aceeași parte a tangentei.

O tangenta se numeste externa daca centrele cercurilor se afla pe laturile opuse ale tangentei

a este o tangentă comună la două cercuri, K este un punct de contact.

Teoreme de bază

Teorema despre tangenta si secanta

Dacă o tangentă și o secante sunt trase dintr-un punct situat în afara cercului, atunci pătratul lungimii tangentei este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare: MC 2 = MA MB.

Teorema. Raza trasată la punctul tangent al cercului este perpendiculară pe tangente.

Teorema. Dacă raza este perpendiculară pe dreapta în punctul de intersecție al cercului, atunci această linie este tangentă la acest cerc.

Dovada.

Pentru a demonstra aceste teoreme, trebuie să ne amintim ce este o perpendiculară de la un punct la o dreaptă. Aceasta este cea mai scurtă distanță de la acest punct la această linie. Să presupunem că OA nu este perpendiculară pe tangente, dar există o dreaptă OC perpendiculară pe tangente. Lungimea OS include lungimea razei și un anumit segment BC, care este cu siguranță mai mare decât raza. Astfel, se poate dovedi pentru orice linie. Concluzionăm că raza, raza trasată la punctul de contact, este cea mai scurtă distanță până la tangenta de la punctul O, adică. OS este perpendicular pe tangente. În demonstrarea teoremei inverse, vom pleca de la faptul că tangenta are un singur punct comun cu cercul. Fie ca linia dată să aibă încă un punct comun B cu cercul. Triunghiul AOB este dreptunghic și cele două laturi ale sale sunt egale cu raze, ceea ce nu poate fi. Astfel, obținem că linia dată nu are mai multe puncte în comun cu cercul cu excepția punctului A, adică. este tangentă.

Teorema. Segmentele tangentelor desenate dintr-un punct la cerc sunt egale, iar linia dreaptă care leagă acest punct de centrul cercului împarte unghiul dintre tangente în lovituri.

Dovada.

Dovada este foarte simplă. Folosind teorema anterioară, afirmăm că OB este perpendicular pe AB, iar OS este perpendicular pe AC. Triunghiurile dreptunghiulare ABO și ACO sunt egale în catete și ipotenuză (OB = OS - raze, AO - total). Prin urmare, catetele lor AB = AC și unghiurile OAC și OAB sunt de asemenea egale.

Teorema. Valoarea unghiului format dintr-o tangentă și o coardă având un punct comun pe un cerc este egală cu jumătate din valoarea unghiulară a arcului cuprins între laturile sale.

Dovada.

Luați în considerare unghiul NAB format de tangentă și coardă. Desenați diametrul AC. Tangenta este perpendiculară pe diametrul trasat la punctul de contact, prin urmare, ∠CAN=90 o. Cunoscând teorema, vedem că unghiul alfa (a) este egal cu jumătate din mărimea unghiulară a arcului BC sau jumătate din unghiul BOC. ∠NAB=90 o -a, deci obținem ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB sau = jumătate din valoarea unghiulară a arcului BA. h.t.d.

Teorema. Dacă o tangentă și o secantă sunt trase dintr-un punct la un cerc, atunci pătratul segmentului tangentei de la punctul dat la punctul de tangență este egal cu produsul lungimilor segmentelor secantei din punctul dat. indică punctele de intersecție a acestuia cu cercul.

Dovada.

În figură, această teoremă arată astfel: MA 2 \u003d MV * MS. Să demonstrăm. Conform teoremei anterioare, unghiul MAC este egal cu jumătate din mărimea unghiulară a arcului AC, dar și unghiul ABC este egal cu jumătate din dimensiunea unghiulară a arcului AC, conform teoremei, prin urmare, aceste unghiuri sunt egale cu reciproc. Ținând cont de faptul că triunghiurile AMC și VMA au un unghi comun la vârful M, precizăm asemănarea acestor triunghiuri în două unghiuri (al doilea semn). Din similitudine avem: MA / MB = MC / MA, din care obținem MA 2 \u003d MB * MC

Construcția tangentelor la un cerc

Și acum să încercăm să ne dăm seama și să aflăm ce trebuie făcut pentru a construi o tangentă la un cerc.

În acest caz, de regulă, în problemă sunt date un cerc și un punct. Și tu și cu mine trebuie să construim o tangentă la cerc, astfel încât această tangentă să treacă printr-un punct dat.

În cazul în care nu cunoaștem locația punctului, atunci să luăm în considerare cazurile de locație posibilă a punctelor.

În primul rând, punctul poate fi în interiorul unui cerc care este delimitat de cercul dat. În acest caz, nu este posibil să construiți o tangentă prin acest cerc.

În al doilea caz, punctul se află pe un cerc și putem construi o tangentă trasând o dreaptă perpendiculară pe rază, care este trasată către punctul cunoscut de noi.

În al treilea rând, să presupunem că punctul se află în afara cercului, care este delimitat de un cerc. În acest caz, înainte de a construi o tangentă, este necesar să găsim un punct pe cerc prin care trebuie să treacă tangenta.

Cu primul caz, sper că înțelegeți totul, dar pentru a rezolva a doua opțiune, trebuie să construim un segment pe linia dreaptă pe care se află raza. Acest segment trebuie să fie egal cu raza și cu segmentul care se află pe cerc, pe partea opusă.

Aici vedem că un punct dintr-un cerc este punctul de mijloc al unui segment care este egal cu dublul razei. Următorul pas este să desenați două cercuri. Razele acestor cercuri vor fi egale cu dublul razei cercului original, cu centre la capetele segmentului, ceea ce este egal cu dublul razei. Acum putem trage o linie dreaptă prin orice punct de intersecție al acestor cercuri și un punct dat. O astfel de linie dreaptă este mediana perpendiculară pe raza cercului, care a fost desenată la început. Astfel, vedem că această dreaptă este perpendiculară pe cerc, iar din aceasta rezultă că este tangentă la cerc.

În a treia opțiune, avem un punct situat în afara cercului, care este delimitat de un cerc. În acest caz, construim mai întâi un segment care va conecta centrul cercului furnizat și punctul dat. Și apoi îi găsim mijlocul. Dar pentru aceasta trebuie să construiți o bisectoare perpendiculară. Și știi deja cum să-l construiești. Apoi trebuie să desenăm un cerc, sau măcar o parte din el. Acum vedem că punctul de intersecție al cercului dat și al celui nou construit este punctul prin care trece tangenta. De asemenea, trece prin punctul care a fost specificat de starea problemei. Și în sfârșit, prin cele două puncte pe care le cunoașteți deja, puteți trasa o linie tangentă.

Și, în sfârșit, pentru a demonstra că dreapta pe care am construit-o este o tangentă, trebuie să acordați atenție unghiului care a fost format de raza cercului și segmentul cunoscut prin condiția și care leagă punctul de intersecție al cercului. cercuri cu punctul dat de starea problemei. Acum vedem că unghiul rezultat se sprijină pe un semicerc. Și de aici rezultă că acest unghi este corect. Prin urmare, raza va fi perpendiculară pe linia nou construită, iar această linie este tangenta.

Construcția unei tangente.

Construcția tangentelor este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată referitoare la calculul diferențial, scrisă de Leibniz, s-a intitulat „O nouă metodă a maximelor și minimelor, precum și a tangentelor, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale nu reprezintă un obstacol și un tip special de calcul pentru aceasta”.

Cunoștințe geometrice ale egiptenilor antici.

Dacă nu luăm în considerare contribuția foarte modestă a vechilor locuitori ai văii dintre Tigru și Eufrat și Asia Mică, atunci geometria și-a luat naștere în Egiptul antic înainte de 1700 î.Hr. În timpul sezonului ploios tropical, Nilul și-a umplut aprovizionarea cu apă și s-a inundat. Apa acoperea petice de teren cultivat, iar în scopuri fiscale a fost necesar să se stabilească cât de mult pământ s-a pierdut. Inspectorii au folosit o frânghie întinsă strâns ca instrument de măsurare. Un alt stimulent pentru acumularea de cunoștințe geometrice de către egipteni au fost activitățile lor, cum ar fi construcția de piramide și arte plastice.

Nivelul cunoștințelor geometrice poate fi judecat din manuscrisele antice, care sunt dedicate în mod specific matematicii și sunt ceva asemănător unor manuale, sau mai degrabă, cărți de probleme, în care se oferă soluții la diferite probleme practice.

Cel mai vechi manuscris matematic al egiptenilor a fost copiat de un anumit student între 1800 - 1600. î.Hr. dintr-un text mai vechi. Papirusul a fost găsit de egiptologul rus Vladimir Semenovici Golenishchev. Este depozitat la Moscova - în Muzeu Arte Frumoase numit după A.S. Pușkin și este numit papirusul Moscovei.

Un alt papirus matematic, scris cu două sau trei sute de ani mai târziu decât Moscova, se păstrează la Londra. Se numește: „Instrucțiuni despre cum să obțineți cunoașterea tuturor lucrurilor întunecate, a tuturor secretelor care ascund lucrurile în sine... Conform vechilor monumente, scribul Ahmes a scris asta.” și a cumpărat acest papirus în Egipt. Papirusul lui Ahmes oferă soluția a 84 de probleme pentru diferite calcule care pot fi necesare în practică.

Transecte, tangente - toate acestea au putut fi auzite de sute de ori la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii s-a terminat, anii trec și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui reținut?

Esență

Termenul „tangent la un cerc” este probabil familiar tuturor. Dar este puțin probabil ca toată lumea să-și poată formula rapid definiția. Între timp, o tangentă este o astfel de linie dreaptă situată în același plan cu un cerc care o intersectează doar într-un singur punct. Poate exista o mare varietate de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de contact este locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz concret ea este una, dar dacă sunt mai multe, atunci va fi o secantă.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangentă a apărut în antichitate. Construcția acestor linii drepte, mai întâi la un cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbole cu ajutorul unei rigle și a unei busole, a fost realizată chiar și în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și la acea vreme oamenii erau destul de conștienți de proprietățile unei tangente la un cerc.

În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a aprins din nou - a început o nouă rundă de studiu a acestui concept, combinată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes au construit o tangentă la acesta. Cât despre cercuri, se pare că nu au mai rămas secrete pentru străvechi în această zonă.

Proprietăți

Raza trasată până la punctul de intersecție va fi

principala, dar nu singura proprietate pe care o are tangenta la un cerc. O altă caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct situat în afara cercului, pot fi trase două tangente, în timp ce segmentele lor vor fi egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar rareori este trecută în cadrul standardului curs şcolar, deși este extrem de convenabil pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, sunt trase la el o tangentă și o secantă. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de contact, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, la pătrat, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.

Există o consecință importantă a celor de mai sus. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic aruncând o perpendiculară din rază pe ea, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este unică.

Clădire

Printre alte sarcini în geometrie, există o categorie specială, de regulă, nu

favorizată de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Există și metode de construire a unei tangente.

Deci, având în vedere un cerc și un punct situat în afara granițelor sale. Și este necesar să desenați o tangentă prin ele. Cum să o facă? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și punct dat. Apoi, folosind o busolă, împărțiți-o în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceea, trebuie să construiți două arce care se intersectează. În plus, raza busolei nu trebuie schimbată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie să fie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul în punctul de intersecție, desenați un alt cerc. Pe el se vor afla atât punctul inițial, cât și O. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de contact pentru punctul dat inițial.

Construcția tangentelor la cerc a dus la naștere

calcul diferenţial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de celebrul matematician german Leibniz. El prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționale și iraționale. Ei bine, acum este folosit și pentru multe alte calcule.

În plus, tangenta la cerc este legată de semnificația geometrică a tangentei. De aici provine numele lui. Tradus din latină, tangens înseamnă „tangentă”. Astfel, acest concept este conectat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

O tangentă nu afectează întotdeauna o singură figură. Dacă un număr mare de linii drepte pot fi trase într-un cerc, atunci de ce nu invers? Poate sa. Dar sarcina în acest caz este serios complicată, deoarece tangenta la două cercuri poate să nu treacă prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor cifre poate fi foarte

diferit.

Tipuri și soiuri

Când vine vorba de două cercuri și una sau mai multe linii drepte, chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu devine imediat clar cum sunt situate toate aceste figuri una în raport cu cealaltă. Pe baza acestui fapt, există mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau să nu le aibă deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea, se vor atinge. Și aici există două soiuri. Dacă un cerc este, așa cum ar fi, încorporat în al doilea, atunci atingerea se numește intern, dacă nu, atunci extern. Puteți înțelege poziția relativă a figurilor nu numai pe baza desenului, ci și având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile se ating. Dacă primul este mai mare, se intersectează, iar dacă este mai mic, atunci nu au puncte comune.

La fel și cu liniile drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, se poate

construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, se numesc interne. Alți doi sunt externi.

Dacă vorbim despre cercuri care au un punct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Ideea este că pentru orice poziție relativăîn acest caz vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.

Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci se poate construi o linie dreaptă pentru ele, tangentă la cerc, atât unul cât și al doilea, dar numai cel exterior. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai jos.

Rezolvarea problemelor

Atât tangentele interne și externe la două cercuri nu sunt atât de simple în construcție, deși această problemă poate fi rezolvată. Faptul este că o figură auxiliară este folosită pentru aceasta, așa că gândiți-vă singur la această metodă

destul de problematic. Deci, date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.

În primul rând, în apropierea centrului cercului mai mare, trebuie să construiți unul auxiliar. În acest caz, diferența dintre razele celor două cifre inițiale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele la cercul auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceea, de la O1 și O2, se desenează perpendiculare pe aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea principală a tangentei, se găsesc punctele dorite pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin, prima ei parte.

Pentru a construi tangentele interne, trebuie rezolvate practic

o sarcină similară. Din nou, este nevoie de o figură auxiliară, dar de data aceasta raza ei va fi egală cu suma celor inițiale. Tangentele sunt construite la acesta din centrul unuia dintre cercurile date. Evoluția ulterioară a soluției poate fi înțeleasă din exemplul anterior.

Tangenta la un cerc sau chiar două sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și să aibă încredere în calcule programe speciale. Dar să nu credeți că acum nu este necesar să o puteți face singur, deoarece pentru a formula corect o sarcină pentru un computer, trebuie să faceți și să înțelegeți multe. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor cauza din ce în ce mai multe dificultăți elevilor.

În ceea ce privește găsirea de tangente comune pentru mai multe cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar în unele cazuri este posibil să găsiți o astfel de linie.

Exemple din viața reală

O tangentă comună la două cercuri este adesea întâlnită în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transmisie cu scripete, tensiunea firului în interior mașină de cusut, și chiar și doar un lanț de biciclete - toate acestea sunt exemple din viață. Deci, să nu credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii, ele își găsesc aplicație practică.

puncte $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb(R)$, și este diferențiabilă în ea: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Tangenta la graficul unei functii $f$ la punct $x\_0$ se numește graficul unei funcții liniare, dat de ecuație $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Dacă funcţia $f$ are la punct $x\_0$ derivat infinit $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$ atunci linia tangentă în acest punct este linia verticală dată de ecuație $x\; =\; x\_0.$

cometariu

Rezultă direct din definiție că graficul dreptei tangente trece prin punct $(x\_0,f(x\_0))$. Colţ $\backslash alfa$între tangenta la curbă și axa x satisface ecuația

$\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

Unde $\backslash operatorname(tg)$ reprezintă tangentă și $\backslash operatorname\; (k)$- coeficientul de pantă tangentă. Derivată la un punct $x\_0$ este egal cu coeficient unghiular tangentă la graficul funcției $y\; =\; f(x)$în acest moment.

Tangenta ca pozitie limitatoare a unei secante

Lăsa $f\backslash colon\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$Și $x\_1\backslash în\; U(x\_0).$ Apoi o linie dreaptă care trece prin puncte $(x\_0,f(x\_0))$Și $(x\_1,f(x\_1))$ dat de ecuaţie

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Această linie trece prin punct $(x\_0,f(x\_0))$ pentru oricine $x\_1\backslash în\; U(x\_0),$și unghiul său de înclinare $\backslash alpha(x\_1)$ satisface ecuația

$\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Datorită existenţei derivatei funcţiei $f$ la punct $x\_0,$ trecand la limita la $x\_1\backslash la\; x\_0,$înțelegem că există o limită

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

iar datorită continuităţii arc-tangentei şi unghiului limitator

$\backslash alpha\; =\; \backslash operatorname(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Linie care trece printr-un punct $(x\_0,f(x\_0))$şi având un unghi limită de înclinare care satisface $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$ este dat de ecuația tangentei:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Tangenta la cerc

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc și se află în același plan cu acesta se numește tangentă la cerc.

Proprietăți

1. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
2. Segmentele tangentelor la cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin acest punct și centrul cercului.
3. Lungimea segmentului tangentei trasat la un cerc de rază unitară, luată între punctul de tangență și punctul de intersecție al tangentei cu raza trasă din centrul cercului, este tangenta unghiului dintre această rază. și direcția de la centrul cercului până la punctul de tangență. „Tangens” din lat. tangente- „tangentă”.

Variații și generalizări

Semitangente unilaterale

• Dacă există o derivată de drept Acea semitangenta dreapta la graficul funcției $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Dacă există o derivată stângă Acea semitangentă stângă la graficul funcției $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Dacă există o derivată dreaptă infinită $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Dacă există o derivată stângă infinită $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ apoi semitangenta dreapta la graficul functiei $f$ la punct $x\_0$ numită grindă

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

Vezi si

• Normal, binormal

Scrieți o recenzie la articolul „Linia tangentă”

Literatură

• Toponogov V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Un fragment care caracterizează linia tangentă

- In locuri! – strigă un tânăr ofițer către soldații adunați în jurul lui Pierre. Acest tânăr ofițer, se pare, și-a îndeplinit funcția pentru prima sau a doua oară și, prin urmare, a tratat atât soldații, cât și comandantul cu o distincție și uniformitate deosebită.
Tragerile neregulate ale tunurilor și puștilor s-au intensificat pe tot terenul, mai ales spre stânga, unde erau fulgerele lui Bagration, dar din cauza fumului de focuri din locul unde se afla Pierre, era aproape imposibil să se vadă ceva. Mai mult decât atât, observațiile despre cum, parcă, un cerc familial (separat de toate celelalte) de oameni care se aflau pe baterie, au absorbit toată atenția lui Pierre. Prima sa emoție inconștient de veselă, produsă de vederea și sunetele câmpului de luptă, a fost acum înlocuită, mai ales după vederea acestui soldat singuratic întins pe pajiște, cu un alt sentiment. Aşezându-se acum pe panta şanţului, urmărea chipurile din jurul lui.
Până la ora zece, douăzeci de persoane fuseseră deja duse din baterie; două pistoale au fost sparte, tot mai multe obuze au lovit bateria și au zburat, bâzâind și șuierând, gloanțe cu rază lungă de acțiune. Dar oamenii care erau pe baterie nu păreau să observe acest lucru; din toate părţile s-au auzit conversaţii vesele şi glume.
- Chinenko! - a strigat soldatul la grenada care se apropia, fluieratoare. - Nu aici! La infanterie! - adăugă un altul râzând, observând că grenada a zburat peste și a lovit rândurile copertei.
- Ce prieten? – râse un alt soldat de țăranul ghemuit sub ghiulele zburătoare.
Câțiva soldați s-au adunat la metereze, privind ce se întâmpla în față.
„Și au scos lanțul, vezi, s-au întors”, au spus ei, arătând peste ax.
„Uitați-vă la afacerea voastră”, le strigă bătrânul subofițer. - S-au întors, ceea ce înseamnă că e de lucru înapoi. - Iar subofiţerul, luând de umăr pe unul dintre soldaţi, l-a împins cu genunchiul. S-au auzit râsete.
- Treci la a cincea armă! strigă dintr-o parte.
„Împreună, mai amiabil, în burlatski”, s-au auzit strigătele vesele ale celor care au schimbat pistolul.
„Da, aproape că i-am dat jos pălăria stăpânului nostru”, a râs de Pierre, arătându-și dinții. — O, neîndemânatic, adăugă el cu reproș la mingea care căzuse în roata și piciorul unui bărbat.
- Ei bine, vulpi! un altul a râs de milițienii care se zvârcoliau care intrau în bateria pentru răniți.
- Al nu este terci delicios? Ah, corbi, legănat! – au strigat la miliție, care a ezitat în fața unui soldat cu piciorul tăiat.
„Așa ceva, micuțule”, mimau țăranii. - Nu le place pasiunea.
Pierre a observat cum, după fiecare lovitură, după fiecare înfrângere, o renaștere generală a izbucnit din ce în ce mai mult.
Ca dintr-un nor de tunete înaintat, din ce în ce mai des, din ce în ce mai strălucitoare fulgerau pe fețele tuturor acestor oameni (parcă în respingere față de ceea ce se întâmpla) fulgere de foc ascuns, care arde.
Pierre nu privea înainte pe câmpul de luptă și nu era interesat să știe ce se întâmplă acolo: era cu totul absorbit în contemplarea acestui foc, tot mai aprins, care în același fel (simțea) se aprindea în sufletul său.
La ora zece soldații infanteriei, care se aflau înaintea bateriei în tufișuri și de-a lungul râului Kamenka, s-au retras. Din baterie se vedea cum au fugit înapoi pe lângă ea, purtând răniții pe arme. Un general cu alaiul său a intrat în movilă și, după ce a vorbit cu colonelul, privind furios la Pierre, a coborât din nou, poruncând capacului de infanterie, care stătea în spatele bateriei, să se întindă pentru a fi mai puțin expus la împușcături. În urma acesteia, în rândurile infanteriei, în dreapta bateriei, s-a auzit o tobă, strigăte de comandă, iar din baterie se vedea cum înaintează rândurile infanteriei.
Pierre se uită peste puț. O față în special i-a atras atenția. Era un ofițer care, cu un chip tânăr palid, mergea cu spatele, purtând o sabie coborâtă și privind neliniștit în jur.
Rândurile soldaților de infanterie au dispărut în fum, s-au auzit strigătele lor lungi și tragerile dese de arme. Câteva minute mai târziu, de acolo au trecut mulțimi de răniți și brancardieri. Obuzele au început să lovească bateria și mai des. Mai mulți oameni zăceau necurățați. Lângă tunuri, soldații se mișcau mai ocupați și mai vioi. Nimeni nu i-a mai dat atenție lui Pierre. O dată sau de două ori a fost strigat furios la el pentru că era pe drum. Ofițerul superior, cu o față încruntă, se mișca cu pași mari și rapizi de la o armă la alta. Tânărul ofițer, înroșit și mai mult, a poruncit soldaților și mai sârguincios. Soldații au tras, s-au întors, au încărcat și și-au făcut treaba cu strălucire intensă. Au sărit pe drum, ca pe izvoare.

Definiție. O tangentă la un cerc este o dreaptă în plan care are exact un punct comun cu cercul.

Iată câteva exemple:

Cerc cu centru O atinge o linie dreaptă l la punct A De oriunde MÎn afara cercului pot fi trase exact două tangente diferența dintre tangentă l, secant î.Hr si direct m, care nu are puncte comune cu cercul

Acesta ar putea fi sfârșitul, dar practica arată că nu este suficient doar să memorezi definiția - trebuie să înveți să vezi tangentele din desene, să le cunoști proprietățile și, în plus, să exersezi utilizarea acestor proprietăți atunci când rezolvi probleme reale. . Ne vom ocupa de toate acestea astăzi.

Proprietățile de bază ale tangentelor

Pentru a rezolva orice problemă, trebuie să cunoașteți patru proprietăți cheie. Două dintre ele sunt descrise în orice carte de referință / manual, dar ultimele două sunt cumva uitate, dar în zadar.

1. Segmentele de tangente trase dintr-un punct sunt egale

Puțin mai sus, am vorbit deja despre două tangente trase dintr-un punct M. Deci:

Segmentele tangentelor la cerc, desenate dintr-un punct, sunt egale.

Segmente A.MȘi BM egal

2. Tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact

Să ne uităm din nou la poza de mai sus. Să desenăm razele OAȘi OB, după care constatăm că unghiurile OAMȘi OBM- Drept.

Raza trasată la punctul tangent este perpendiculară pe tangente.

Acest fapt poate fi folosit fără dovezi în orice problemă:

Razele trasate la punctul tangent sunt perpendiculare pe tangente

Apropo, rețineți: dacă desenați un segment OM, atunci obținem două triunghiuri egale: OAMȘi OBM.

3. Relația dintre tangentă și secantă

Dar acesta este un fapt mai grav și majoritatea școlarilor nu îl știu. Luați în considerare o tangentă și o secantă care trec prin același punct comun M. Desigur, secanta ne va oferi două segmente: în interiorul cercului (segment î.Hr- se mai numește și coardă) și în exterior (se numește așa - partea exterioară MC).

Produsul întregii secante prin partea sa exterioară este egal cu pătratul segmentului tangent

Relația dintre secantă și tangentă

4. Unghiul dintre tangentă și coardă

Un fapt și mai avansat, care este adesea folosit pentru a rezolva probleme complexe. Recomand cu căldură să-l luați la bord.

Unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu unghiul înscris pe baza acestei coarde.

De unde vine punctul B? În problemele reale, de obicei „apare” undeva în stare. Prin urmare, este important să învățați să recunoașteți această configurație în desene.

Uneori inca se aplica :)

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.